第十三章 三角形单元练习题2026-2027学年人教版八年级数学上册

人教版八年级数学上册第十三章 三角形单元练习题 一、单选题 1．如图，，，，那么等于（　　）． A． B． C． D． 2．如图，一物体静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力的方向竖直向下，支持力的方向与斜面垂直，摩擦力的方向与斜面平行．若摩擦力与重力G方向的夹角，则斜面的坡角的度数为（　　） A． B． C． D． 3．若一个三角形的一个内角等于另外两个内角的差，则这个三角形一定是（　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 4．如图，为估计池塘岸边A，B间的距离，小杰在池塘的一侧选取一点O，测得OA=9米，OB=5米，器则A，B间的距离可能是（　　） A．3米 B．4米 C．10米 D．15米 5．如图，，，于点，于点D．下面四个结论：①；②；③；④，其中正确的是（　　） A．①②④ B．①②③ C．①③④ D．②③④ 6．已知命题：“三角形三条高线的交点一定在三角形的内部．”琪琪想举一反例说明它是假命题，则下列选项中符合要求的反例是（　　） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．等边三角形 D．任意三角形 7．下列说法中不正确的个数是（　　） ①一个三角形中至少有两个角为锐角； ②三角形的中线、高线、角平分线都是线段； ③三角形的外角大于它的任何一个内角； ④若三条线段的长a、b、c满足，则以a、b、c为边一定能组成三角形． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 8．下列四个命题：①的算术平方根是；②实数与数轴上的点是一一对应的；③三角形的一个外角大于任何一个内角；④平面内点与点关于轴对称．其中真命题是（　　） A．②④ B．①②④ C．②③ D．①②③④ 9．等腰三角形一腰上的中线将这个等腰三角形的周长分为和两部分，那么这个等腰三角形的底边长是（　　） A．2 B．1 C．13 D．1或13 10．如图，四边形中，，点E在的延长线上，连接与交于点F，，比的余角小，点H、G在上，且，平分．下列结论：①；②是的平分线；③；④，其中正确结论的个数为（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 二、填空题 11．如图，学校门口的移动拒马是由三角形结构构成的，这样做的道理是　 　． 12．如图，的面积为垂直的平分线于点，则的面积为　 ． 13．如图，在中，，平分交于点D，平分交于点E，则的度数是　 　． 14．在中，，D为的中点，中线的长为4，则边的取值范围是　 　． 三、解答题 15．如图，已知在中，，求的度数． 16．如图，任意三角形，延长线段至点D，测量，与的度数（写出测量结果，精确到度），猜想，与的数量关系． 17．如图，在中，的平分线和外角的平分线交于点，请将下面对求解“与关系”的过程补充完整． 解：∵分别平分、， （　 　） 为的外角， 　 　（　 　） （等量代换） 　 　（等式的基本性质）① 又为的外角， （三角形外角的性质）② 由①②可知：　 　． 18． 如图， 在 中， BE是 的平分线，点D 在AB上(不与点A，B 重合)，连接CD交BE于点O. （1）若CD是AB边上的中线， 的周长为25cm，求 的周长； （2）若CD与AB交于点D， 求 的度数. 19．【阅读理解】 在一个三角形中，如果有一个角是另一个角的，我们称这两个角互为“友爱角”，这个三角形叫作“友爱三角形”．例如：在中，如果，，那么与互为“友爱角”，为“友爱三角形”． 【数学运用】 （1）如图1，是“友爱三角形”，，且与互为“友爱角”．求、的度数． 【拓展探索】 （2）如图2，在中，，，是边上一点（不与点，重合），连接，若是“友爱三角形”，则________________． 20．已知AB∥CD，E为直线AB，CD所确定的平面内一点。 （1）如图1，若AE⊥AB，求证：∠C+∠E=90°。 （2）如图2，若CE⊥CD，点 F 在线段 BA 的延长线上，连接AE，BE，EF，且 EF 平分∠AEC，∠B=∠AEB，则∠BEF的度数为　 　。 （3）如图3，在（2）的条件下，过点 F 作∠BFG=∠BFE交EC 的延长线于点G，连接DF，作∠DFG的平分线交CD 于点 H。当FD∥BE时，求∠CHF的度数。 21．如图，在同一平面内有三个点，，． （1）利用尺规，按下面的要求作图．要求：不写画法，保留作图痕迹，不必写结论； ①作射线； ②作线段； ③连接，并在线段上作一条线段，使，连接． （2）观察（1）题得到的图形，请直接写出与的大小关系是　 　． 22．已知在△ABC中，AE平分∠BAC，∠C>∠B。 （1）【特例探究】如图（a），AD⊥BC，垂足为D，若，则∠DAE的度数为　 　； （2）【一般推导】如图（b），点P在线段AE上，过点P作PG⊥BC，垂足为G。请写出∠EPG与∠B，∠C之间的数量关系：　 　； （3）【拓展应用】如图（c），在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，EP，CP分别平分∠AEC和∠ACM，过点P作PG⊥BC交BC延长线于点G。若，求∠B的度数。 23．在平面直角坐标系中，，，且、满足． （1）填空：　 　，　　； （2）如图1，点，若三角形的面积为三角形的面积的2倍，求点的坐标； （3）如图2，若将线段平移至，点、也在坐标轴上，点为线段上的一动点， ①若为直线、之间的一个点，直接写出、、之间的数量关系； ②连接，若平分，，求式子的值． 答案解析部分 1．【答案】A 2．【答案】C 【解析】【解答】解：如图所示， ∵摩擦力的方向与斜面平行．摩擦力与重力方向的夹角，∴， ∵重力的方向竖直向下，∴， ∴， 故选：C． 【分析】根据平行线的性质可知，由重力的方向竖直向下可得到，根据三角形的外角性质即可求得的度数． 3．【答案】B 4．【答案】C 【解析】【解答】解：∵OA=9米，OB=5米 ∴9-5<AB<9+5，即4<AB<14． ABD、3米，4米，15米不满足范围，ABD错误； C、10米满足范围，C正确． 故答案为：C． 【分析】先根据△AOB两条边长OA=9，OB=5，再利用三角形三边关系列出不等式OA-OB<AB<OA+OB，求出AB取值范围4<AB<14，最后对照选项中10米满足范围． 5．【答案】A 6．【答案】B 7．【答案】B 8．【答案】A 9．【答案】B 10．【答案】B 【解析】【解答】解：①， ， ， ， ， ，①正确； ②， ， ， ， 平分，②不正确； ③， ， 比的余角小， ， ， ， 又， ，③正确； ④平分， ， 平分， ， ， 又， ，④正确； 综上所述，正确的有①③④， 故答案为：B． 【分析】①根据内错角相等，两直线平行可得出，又，从而可判断①； ②根据两直线平行，内错角相等可得，进而可得出，从而可判断②； ③根据两直线平行，同位角相等可得，结合∠EFA比∠FCD的余角小10°，可求出的度数，再由结合三角形内角和定理可求出，从而可判断③； ④由角平分线的概念可得出，，从而可判断④正确. 11．【答案】三角形具有稳定性 【解析】【解答】解：学校门口的移动拒马是由三角形结构构成的，这样做的道理是三角形具有稳定性． 故答案为：三角形具有稳定性． 【分析】由三角形特性的相关知识点，联系生活里移动拒马搭建三角形结构的用途，直接得出该设计利用了三角形具有稳定性这一性质. 12．【答案】 13．【答案】 14．【答案】 15．【答案】52° 16．【答案】，，， 17．【答案】角平分线定义；∠ABC；三角形外角的性质；； 【解析】【解答】解：∵BP、CP分别平分∠ABC、∠ACD， ∴∠ABC=2∠1， ∠ACD=2∠2(角平分线的定义)， ∵∠ACD为△ABC的外角， ∴∠ACD=∠A+∠ABC(三角形外角的性质) ∴2∠2=∠A+2∠1(等量代换)， (等式的基本性质2)①， 又∵∠2为△BCP的外角， ∴∠2 =∠1+∠P(三角形外角的性质)②，由①②可知： 故答案为：角平分线的定义，∠ABC，三角形外角的性质， 【分析】由角平分线的定义得∠ABC =2∠1， ∠ACD=2∠2， 由三角形外角的性质得∠ACD=∠A+∠ABC，进而等量代换可得 ， 又由∠2 = ∠1 +∠P即可求解. 18．【答案】（1）解：是的中线， ， ∵的周长为， 的周长， ∴， ∵， ∴， ∴的周长 ； （2）解：， ， 是的角平分线，， ， ． 【解析】【分析】（1）根据三角形的中线可得，然后根据三角形的周长解答即可； （2）根据垂直得到，利用角平分线的定义可得，然后根据三角形的外角性质解答即可． 19．【答案】（1），； 解：∵△ABC是“友爱三角形”，∠ACB=90°，且∠A与∠B互为“友爱角”（∠A > ∠B）， ∴∠A = 2∠B ∵∠A + ∠B = 180°−90° = 90°， 将∠A = 2∠B代入得：2∠B + ∠B = 90°， 解得∠B = 30°， ∴∠A = 2×30° = 60° （2）或 【解析】【解答】(2) 解：在△ABC中，∠ACB=70°，∠A=66°， ∴∠B = 180°−70°−66° = 44° ∵点D在AB上，∠ADC是△BCD的外角， ∴∠ADC > ∠B = 44°，且∠ACD < ∠ACB = 70° △ACD是“友爱三角形”，分两种有效情况讨论： ① 当∠ACD =∠A时： ∠ACD =×66° = 33°， 此时∠ADC = 180°−66°−33° = 81° > 44°，符合条件。 ② 当∠ACD =∠ADC时，即∠ADC = 2∠ACD： 由三角形内角和得：∠A + ∠ACD + ∠ADC = 180°， 代入得：66° + ∠ACD + 2∠ACD = 180°， 3∠ACD = 114°，解得∠ACD = 38° < 70°，符合条件。 综上所述，的度数为或． 【分析】(1) 本问考查直角三角形两锐角互余与新定义理解。已知直角三角形∠ACB=90°，可得∠A+∠B=90°；结合“友爱角”定义与∠A＞∠B的条件，得到∠A=2∠B，通过代入解方程即可求出两个角的度数。 (2) 本问考查三角形内角和定理与分类讨论思想。先利用△ABC的内角和算出∠B的度数，结合三角形外角性质确定∠ADC的取值范围；再根据“友爱三角形”的定义，对哪两个角互为“友爱角”进行分类讨论，筛选出符合角度范围的有效情况，分别计算出∠ACD的度数。 20．【答案】（1）证明：如图1，延长BA，交CE于点F。 ∵AB∥CD， ∴∠EFA=∠C， ∴∠EAB =180°-∠EAF =∠EFA +∠E =∠C+∠E。 ∵AE⊥AB， ∴∠EAB=90°， ∴∠E+∠C=90°。 （2）45° （3）解：∵∠CHF=180°-∠FHD=∠DFH+∠D，∠DFH= ∠DFG， ∵AB∥CD，FD∥BE， ∴∠D=∠BFD=∠B， ∴∠DFG=∠BFG-∠B， ∵∠BFG=∠BFE， 【解析】【解答】解：（2）如图2，延长BF，交CE于点G。 ∵AB∥CD，CE⊥CD， ∴EG⊥BG， ∴∠EGB=90°， ∴∠GEB+∠B=90°。 ∵EF平分∠AEC， ∴∠GEF=∠AEF。 ∵∠B=∠AEB， ∴2∠AEF+2∠AEB=90°， ∴∠AEF+∠AEB=45°，即∠BEF=45°。 【分析】 （1）通过作辅助线(延长BA交CE于点F），利用平行线的性质将∠C转化到△AEF中，结合垂直定义求解。 （2）利用平行线性质和垂直定义得出直角三角形，结合角平分线和已知角相等关系，建立方程求解∠BEF。 （3）综合运用平行线性质（AB//CD，FD//BE)推导角的关系，利用角平分线定义和三角形外角性质，将∠CHF转化为与∠BEF相关的式子求解. 21．【答案】（1）解：①如图，射线即为所求； ②如图，线段即为所求； ③如图，线段、即为所求； （2）DB+DC＞BC 【解析】【解答】（2）根据两点之间，线段最短，可得：DB+DC＞BC． 故答案为：DB+DC＞BC． 【分析】（1）根据要求作出图象即可； （2）利用三角形三边的关系求解即可。 22．【答案】（1）15° （2）∠EPG= （3）解：设∠EAD＝∠CAD＝2α， ∵AE平分∠BAC， ∴∠BAE＝∠CAE＝4α。 ∴∠BAD＝6α，∠BAC＝8α。 ∵∠ADE＝90°， ∴∠B＝90°﹣∠BAD＝90°﹣6α。 ∵EP，CP分别平分∠AEC和∠ACM， ∴∠PEM=∠AEM，∠PCM=∠ACM。 ∵∠EPC+∠PEC+∠PCE=180°，∠PCE+∠PCM=180°， ∴∠EPC＝∠PCM﹣∠PEM=∠ACM-∠AEM。 ∵∠AEM+∠AEB=180°，∠B+∠BAE+∠AEB=180°， ∴∠AEM＝∠B+∠BAE=90°﹣6α+4α=90°﹣2α。 ∵∠ACM+∠ACB=180°，∠ACB+∠B+∠BAC=180°， ∴∠ACM＝∠B+∠BAC=90°﹣6α+8α=90°+2α。 ∴∠EPC＝∠ACM-∠AEM＝2α，∠PCM=∠ACM=（90°+2α）＝45°+α。 ∵PG⊥BC， ∴∠PCG+∠CPG＝90°。 ∵∠CPG=（∠B+∠CPE）=（90°﹣6a+2α）=（90°﹣4a）， ∴（45°+α）+（90°﹣4a）＝90° 解得α＝9° ∴∠B＝90°﹣6α＝36° 【解析】【解答】解：（1）∵ ∴BAC=180°-∠B-∠C=80° ∵AE平分∠BAC ∴∠CAE=∠BAE= ∵AD⊥BC ∴∠CAD=90°-∠C=25° ∴∠DAE=∠CAE-∠CAD=15° 故答案为：15° （2）∵∠BAC+∠B+∠C=180° ∴∠BAC=180°-∠B-∠C ∵AE平分∠BAC ∴∠CAE=∠BAE= ∴∠AEC=180°-∠CAE-∠C= ∵PG⊥BC ∴∠EPG=90°-∠AEC= 故答案为：∠EPG= 【分析】（1）根据三角形内角和定理可得∠BAC，根据角平分线定义可得∠CAE，再根据直角三角形两锐角互余可得∠CAD，再根据角之间的关系即可求出答案. （2）根据三角形内角和定理可得∠BAC，根据角平分线定义可得∠CAE，根据三角形内角和定理可得∠AEC，再根据直角三角形两锐角互余即可求出答案. （3）设∠EAD＝∠CAD＝2α，根据角平分线定义可得∠BAE＝∠CAE＝4α，根据直角三角形两锐角互余可得∠B，根据角平分线定义可得∠PEM=∠AEM，∠PCM=∠ACM，根据三角形内角和定理可得∠EPC＝∠PCM﹣∠PEM=∠ACM-∠AEM，∠AEM＝∠B+∠BAE=90°﹣2α，∠ACM＝∠B+∠BAC=90°+2α，再根据角之间的关系建立方程，解方程即可求出答案. 23．【答案】（1）2，​​​​​​​ （2）解：由（1）可知：，， ，，， ， ， 当位于轴下方时， ， ， ， ， 当位于轴上方时， ， ， ， ， 或． （3）解 ： ①． ②延长交直线于点， 设，， 由①可知：， ， ， ， ， ． 【解析】【解答】解：（1）， ，， 解得：，． 故答案为：2，-4； （3）①过点作直线交轴于点， ， ，， ． 【分析】（1）根据算术平方根及绝对值的非负性，由两个非负数的和等于零，则每一个数都等于零可求出a、b的值； （2）由（1）可知：，，则，，根据三角形面积公式由S△MAB=2S△OAB可求出S△ABM=8，然后分类讨论：当M位于x轴下方时，由S△ABM=S△AOB+S△AOM+S△BOM列出方程，求解得出t的值，从而可得点M的坐标； 当M位于x轴上方时，由S△ABM=S△MOB-S△AOB-S△AOM列出方程，求解得出t的值，从而可得点M的坐标； （3）①过点作PE∥AB交轴于点E，由平行于同一直线的两条直线互相平行得出PE∥AB∥CD，由二直线平行，内错角相等得∠PFB=∠FPE，∠DCP=∠EPC，然后根据角的构成及等量代换即可得出∠FPC=∠PFB+∠PCD； ②延长CP交直线AB于点Q，设，，由①可知：，根据平行线的性质、三角形外角的性质即可求出，，最后代入待求式子即可求出答案． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $