29.3 第1课时 弧长和扇形面积 教学设计 2026—2027学年人教版数学九年级上册

29.3 弧长和扇形面积 第1课时 教学设计 课题 弧长和扇形面积 学科 数学 年级 九年级 教材版本 人教版（2024） 课时 第5课时（29.3共2课时：弧长和扇形面积、圆锥的侧面积和全面积；本章共10课时） 课型 新授课 教学目标 1. 掌握弧长和扇形面积公式的推导过程，理解公式的来龙去脉，并能初步运用公式进行有关计算；2. 经历“由整体到局部”的类比探究过程，体会“化整为零”“由特殊到一般”的数学思想，发展分析问题、解决问题的能力；3. 在解决弯管下料、排水管道等实际问题中，感受数学与生活的密切联系，强化应用意识. 教学重点 弧长、扇形面积公式的导出及应用. 教学难点 对图形的分析，两个公式的推导及正确区分与运用. 教学方法 情境教学、类比探究、讲练结合 教学准备 多媒体课件、圆形纸片、直尺、圆规、量角器 课后练习 教材本节课后练习中与弧长、扇形面积相关的题目。 板书设计 见“板书设计”部分 教学过程 教学环节 教学内容与教师活动 学生活动 设计意图 一、创设情境 复习引入 一、创设情境，复习引入 【情境引入】制造弯形管道时，经常要先按中心线计算“展直长度”（图中虚线的长度），再下料，这就涉及计算弧长的问题. 【师生活动】教师提出问题后，学生认真思考，说明解题的关键是求中心线的“展直长度”——两段直道与一段弧长之和，但弧长如何求呢？由此引出今天的课题：弧长和扇形面积，板书课题. 学生观察弯管示意图，发现“展直长度＝两段直道与一段弧之和”，意识到需要新工具——弧长公式，带着问题进入新课. 由实际问题引出课题，可激发学生的学习兴趣；教师根据学生已有的知识结构，强调弧、扇形的有关概念，为新课作铺垫. 二、探究互动 获得新知 二、探究互动，获得新知 1. 探究弧长公式 【思考1】我们知道，弧是圆的一部分，弧长就是圆周长的一部分. 想一想：如何计算圆周长？圆的周长可以看作多少度的圆心角所对的弧长？由此出发，1°的圆心角所对的弧长是多少？n°的圆心角呢？ 【师生活动】设圆的半径为 R，求 n°的圆心角所对的弧长. 教师引导学生由圆周长入手推导弧长公式：学生思考后回答——圆周长为 2πR，可看作 360°的圆心角所对的弧长；1°的圆心角所对的弧长为 ；圆心角为 n°的弧长是圆心角为 1°的弧长的 n 倍，∴n°的圆心角所对的弧长为 ． 【归纳】弧长公式：（n 为圆心角的度数，R 为半径）. 【注意】使用公式时，n 不写度数符号，n 与 180 表示的是倍、分关系；公式中涉及 n、R、l 三个量，知道其中两个即可求出第三个. 2. 认识扇形 如图，由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形叫作扇形. 可以发现，扇形的面积除了与圆的半径有关，还与组成扇形的圆心角的大小有关：在同圆或等圆中，圆心角越大，扇形面积也就越大. 3. 探究扇形面积公式 【思考2】由扇形的定义可知，扇形面积就是圆面积的一部分. 想一想：如何计算圆的面积？圆面积可以看作多少度的圆心角所对的扇形的面积？1°的圆心角所对的扇形面积是多少？n°的圆心角呢？ 【师生活动】设⊙O 的半径为 R，求 n°的圆心角所对的扇形面积. 教师引导学生类比弧长公式的推导过程，得到： （1）圆面积 ，可以看作是 360°的圆心角所对的扇形面积；（2）圆心角为 1°的扇形的面积为 ；（3）圆心角为 n°的扇形的面积是圆心角为 1°的扇形的面积的 n 倍，∴扇形面积公式为 ． 【比较】比较扇形面积公式和弧长公式，看看它们之间有什么关系？经过观察，学生能够看出： ，其中 l 是扇形的弧长，R 是扇形的半径. 【师生活动】教师引导学生比较两个公式，明确知识之间的联系：扇形面积等于弧长与半径乘积的一半，这样在解题时可根据题目条件，选择适当的公式. 学生在教师引导下由圆周长推出弧长公式，明确公式的来龙去脉；类比弧长公式的推导方法自主推出扇形面积公式，并比较两公式发现“扇形面积等于弧长与半径乘积的一半”这一联系. 在教师的引导下推出弧长公式，使学生明确公式的推导过程，知道公式的来龙去脉，更要学会学习新知识的方法；类比推出扇形面积公式，并由学生比较两个公式的联系，使学生在学习知识时明确知识之间的联系，在解题时根据题目条件选择适当的公式. 三、学以致用 应用新知 三、学以致用，应用新知 【例1】制造弯形管道时，经常要先按中心线计算“展直长度”（图中虚线的长度），再下料. 试计算图中管道的展直长度 L（结果取整数）. 解：由弧长公式，得弧AB 的长为 （mm）. 因此所要求的展直长度 L≈2×700+1570＝2970（mm）. ∴所要求的展直长度约为 2970 mm. 【例2】如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是 0.6 m，其中水面高 0.3 m，求截面上有水部分的面积（结果保留小数点后两位）. 解：如图，连接 OA、OB，过点 O 作弦 AB 的垂线，垂足为 D，交弧AB 于点 C，连接 AC. ∵OD＝OC−DC，OC＝0.6，DC＝0.3，∴OD＝0.3，∴OD＝DC. 又 AD⊥OC，∴AD 是线段 OC 的垂直平分线，∴AC＝AO＝OC，从而∠AOD＝60°，∠AOB＝120°. 则有水部分的面积 S＝S扇形OAB−S△OAB＝（）. ∴截面上有水部分的面积约为 0.22 ． 【方法点拨】求不规则图形面积的一般思路：规则图形直接用面积公式；不规则图形先割补、转化为规则图形的差或和再计算. 本题即“扇形面积减三角形面积”，其中用到垂径定理确定圆心角. 学生先独立分析例1 的“展直长度”构成并写出计算过程；例2 在教师引导下分析“水面高”的含义，用垂径定理求出圆心角后，独立完成“扇形减三角形”的面积计算，并用投影展示、互相评价. 数学知识来源于生活实际，又用来解决实际中的问题，强化数学的应用意识；教师关注学生对题目中有关概念是否清楚，如水面高指的是什么；学生在学习新知识的同时运用了垂径定理，体会知识间的综合运用. 四、随堂训练 巩固新知 四、随堂训练，巩固新知 （1）在半径为 1 cm 的圆中，圆心角为 120°的扇形的弧长是　　　　　　cm. 解析：（cm）. 答案： （2）如图，⊙O 的半径为 6 cm，直线 AB 是⊙O 的切线，切点为点 B，弦 BC∥AO. 若∠A＝30°，则劣弧BC 的长为　　　　　　cm. 解析：∵AB 是切线，∴OB⊥AB，∴∠OBA＝90°. ∵∠A＝30°，∴∠AOB＝60°. ∵BC∥AO，∴∠OBC＝∠AOB＝60°. 又 OB＝OC，∴△OBC 是等边三角形，∴∠BOC＝60°，∴ （cm）. 答案：2π （3）一个扇形的圆心角为 120°，半径为 3，则这个扇形的面积为　　　　　　．（结果保留 π） 解析：． 答案：3π （4）如图，半径为 1 cm、圆心角为 90°的扇形 OAB 中，分别以 OA、OB 为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为（　　） A． 　　B． 　　C． 　　D． 解析：设以 OA、OB 为直径的两半圆与弦 AB 围成的两个月牙形即为阴影部分. 连接 AB，由勾股定理 ，且两半圆与扇形、三角形的面积满足割补关系，可得两月牙的面积之和恰等于 Rt△OAB 的面积，即 （）．故选 C. 答案：C （5）如图，⊙A、⊙B、⊙C 两两不相交，且半径都等于 2，则圆中三个扇形（即阴影部分）的面积之和为　　　　　　（结果保留 π）. 解析：三个扇形的圆心角分别为 △ABC 的三个内角，其和为 180°，故 ． 答案：2π 学生独立完成（1）（3）并集中订正；（2）（4）（5）先独立思考再小组交流，教师针对“切线垂直、平行弦导角”“月牙割补”“内角和集中”的关键思路点拨. 通过随堂练习进一步巩固课堂所学内容，检测学习效果；（1）（3）题直接运用两个公式，强调公式中字母的含义，知道其中两个量即可求出第三个；（2）题综合切线性质与弧长公式；（4）题渗透割补转化思想；（5）题利用三角形内角和集中圆心角，训练整体思想. 五、课堂小结 自我完善 五、课堂小结，自我完善 教师与学生一起回顾本节课所学的主要内容，并请学生回答以下问题： （1）本节课学习了哪些主要内容？（2）弧长和扇形面积公式是什么？你是如何得到这两个公式的？如何运用？（3）弧长与圆周长，扇形面积与圆面积之间有什么联系？ 【归纳】①弧长公式：；②扇形面积公式：；③两公式的联系：；④推导方法：由整体（圆）到局部（1°）再到任意 n°，渗透由特殊到一般的思想；⑤求面积策略：规则图形直接算，不规则图形割补转化. 学生复述两个公式及其推导思路，比较弧长与扇形面积公式的联系，说明“割补转化”求面积的适用情形. 通过小结，帮助学生梳理本节课所学内容，强化记忆，课后练习巩固，让所学知识得以运用. 六、布置作业 深化提高 六、布置作业，深化提高 教材本节课后练习中与弧长、扇形面积相关的题目. 提示：用公式先认准 n 与 R；不规则图形面积先想“割补转化”；实际问题先把实物抽象为扇形或弓形. 课后独立完成，计算题写明公式代入过程，结果按题目要求保留 π 或指定小数位. 加深认识，深化提高，课后练习巩固，让所学知识得以运用，提高计算能力和做题效率. 板书设计 弧长和扇形面积 一、弧长公式 l=nπR/180（n 不写度数符号，n 与 180 是倍、分关系） 二、扇形面积公式 S=nπR·R/360 = 弧长×半径的一半（l 为弧长，R 为半径） 三、推导思想 由整体到局部：圆 → 1° → n°（由特殊到一般） 四、求面积策略 规则图形直接算；不规则图形割补转化（如弓形=扇形−三角形） 学生板演区 教学反思 学科网（北京）股份有限公司 $