29.3　弧长和扇形面积（第1课时）教学设计 2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学教学设计聚焦弧长和扇形面积公式的推导与应用，通过“什么是弧、弧长”问题串导入，从圆周长出发探究1°、2°、90°圆心角弧长，逐步推导n°弧长公式，为扇形面积公式的类比推导搭建学习支架。 以问题驱动探究，通过整体到局部的转化思想推导公式，培养抽象能力与几何直观。类比弧长推导扇形面积发展推理意识，结合弯形管道展直、排水管道截面等实际问题强化模型意识与应用意识。分层练习与典例助力学生巩固，为教师提供清晰教学路径，提升课堂效率。

29.3　弧长和扇形面积（第1课时） 教学目标 1．经历探索弧长和扇形面积公式的过程，培养学生的探索能力，并会利用弧长公式、扇形面积公式解决问题. 2．在弧长和扇形面积计算公式的探究过程中，理解局部与整体之间的关系，感受转化、类比的数学思想． 教学重点 弧长公式及扇形面积公式的推导和应用． 教学难点 利用扇形面积公式解决不规则图形的面积问题． 教学过程 新知探究 一、探究学习 【思考】（1）什么是弧？（2）什么是弧长？ 【追问】如何求弧长？ 【师生活动】学生根据前面学过的知识得出答案：（1）弧是圆的一部分；（2）弧长是弧的长度，就是圆周长的一部分．教师引导学生思考如何求弧长． 【设计意图】通过简单的问题串，让学生初步感知弧长的实际意义，为学习弧长公式做铺垫． 【问题】（1）半径为R，圆心角为1°的弧长是多少？ （2）半径为R，圆心角为2°的弧长是多少？ （3）半径为R，圆心角为90°的弧长是多少？ 【师生活动】教师引导学生得出（1）～（3）的答案： （1）1°的弧长是圆周长的，即； （2）2°是1°的2倍，所以弧长也是1°的弧长的2倍，即； （3）90°是1°的90倍，所以弧长也是1°的弧长的90倍，即． 【设计意图】引导学生关注圆心角的大小，让学生体验弧长公式的推导过程． 【追问】（4）半径为R，圆心角为n°的弧长是多少？ 【师生活动】学生独立思考，n°的圆心角所对的弧长是1°的圆心角所对弧长的n倍，半径为R的圆周长为2πR，利用1°的圆心角所对的弧长乘n，就可以得到n°的圆心角所对的弧长为． 教师强调注意点：n表示1°的圆心角的倍数，它是不带单位的，公式中，180也是不带单位的． 【新知】n°的圆心角所对的弧长． 【设计意图】让学生经历从整体到部分的研究过程，从圆周长公式出发推导出弧长公式． 【问题】弧长的大小由哪些量决定？ 【师生活动】学生独立思考，根据弧长公式，可得180和π是常数，n和R是变量．弧的长度与圆心角的度数和圆的半径有关：当圆的半径一定时，圆心角的度数越大，弧的长度越大；当圆心角的度数一定时，圆的半径越大，弧的长度越大． 【设计意图】通过辨析弧长公式，让学生加深对弧长公式的理解． 【练习】1．已知一条弧所对的圆心角为90°，半径是4，则弧长为________． 2．已知一条弧的半径为9，弧长为8π，那么这条弧所对的圆心角为________． 3．钟表的轴心到分针针端的长为5 cm，那么经过40分钟，分针针端转过的弧长是（　　）cm． A． B． C． D． 【答案】1．2π；2．160°；3．B． 【设计意图】通过练习，考察学生对弧长公式的掌握情况． 二、典例精讲 【例1】制造弯形管道时，经常要先按中心线计算“展直长度”，再下料，试计算如图所示的管道的展直长度L（结果取整数）． 【分析】管道的展直长度L＝AC的长＋BD的长＋弧AB的长． 【答案】解：由弧长公式，得的长 l＝＝500π≈1570． 因此所要求的展直长度 L≈2×700＋1570＝2970（mm）． 【设计意图】通过实际问题，巩固学生对弧长公式的理解． 三、探究新知 【新知】由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形叫作扇形． 【思考】如图，扇形面积就是圆面积的一部分，想一想，如何计算圆的面积？如何计算扇形的面积呢？ 【师生活动】学生独立思考，得出圆的面积公式；教师引导学生思考扇形的面积与哪些量有关． 【问题】（1）半径为R，圆心角为1°的扇形的面积是多少？ （2）半径为R，圆心角为2°的扇形的面积是多少？ （3）半径为R，圆心角为90°的扇形的面积是多少？ （4）半径为R，圆心角为n°的扇形的面积是多少？ 【师生活动】学生独立思考并讨论，类比弧长公式的探究过程，可以发现在半径为R的圆中，360°的圆心角所对的扇形的面积就是圆的面积S＝，所以1°的圆心角所对的扇形面积是圆面积的，即；2°的圆心角所对的扇形面积是圆面积的，即；90°的圆心角所对的扇形面积是圆面积的，即；所以n°的圆心角所对的扇形面积为． 【新知】圆心角为n°的扇形面积是． 扇形的面积与圆的半径和组成扇形的圆心角的度数有关． 【设计意图】类比弧长公式的发现过程，由学生独立思考、归纳出扇形的面积公式。 【问题】比较弧长公式与扇形面积公式，你能用弧长表示扇形面积吗？ 【师生活动】学生小组讨论后得出答案：S扇形＝lR（其中l为扇形的弧长，R为半径）．教师引导学生得出这样的结论：此面积公式与三角形的面积公式类似，只要把扇形看成一个曲边三角形，把弧长l看成底，半径R看成高． 【设计意图】通过对比弧长公式和扇形面积公式，让学生发现可以通过弧长表示扇形面积，为圆锥侧面积公式的推导做准备． 【练习】1．已知扇形的圆心角为120°，半径为2，则这个扇形的面积为_______． 2．已知扇形的圆心角为30°，面积为3π cm2，则这个扇形的半径R＝_______． 3．已知扇形的圆心角为150°，弧长为20π cm，则扇形的面积为__________． 【答案】1．π；2．6 cm；3．240π cm2． 【设计意图】通过练习，考察学生对扇形面积公式的掌握情况． 四、典例精讲 　　【例2】如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是0.6 m，其中水面高0.3 m，求截面上有水部分的面积（结果保留小数点后两位）． 【师生活动】教师引导学生画出辅助线，并分析解题思路，分析得出有水部分的面积S＝S扇形OAB－S△OAB，进而通过已知条件求出相应的线段和圆心角，即可解决本题．同时得出不规则图形面积的解法：若图形为不规则图形时，要把它转化为规则图形来解决． 【答案】解：连接OA，OB，过O作弦AB的垂线，垂足为D，交于点C，连接AC． ∵OD＝OC－DC，OC＝0.6 ，DC＝0.3 , ∴OD＝0.3． ∴OD＝DC． 又AD⊥DC, ∴AD是线段OC的垂直平分线． ∴AC＝AO＝OC． 从而∠AOD＝60°，∠AOB＝120°． 则有水部分的面积 S＝S扇形OAB－S△OAB ≈0.22（m2）． 【设计意图】结合实际问题求不规则图形的面积，加深学生对扇形面积公式的认识． 课堂小结 板书设计 一、弧长公式 二、扇形面积公式 课后任务 完成教材第136页练习第1～3题． 教学反思 ___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 学科网（北京）股份有限公司 $