第21章 一元二次方程培优单元测试卷2026-2027学年华东师大版数学九年级上册

一元二次方程培优单元测试卷 （版本：华东师大版） 考试范围：九年级上册第21章全部内容；考试时间：120分钟 满分：120分 一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列方程是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 2．用公式法解一元二次方程时，下列代入求根公式正确的是（     ） A． B． C． D． 3．已知关于的方程有两个不相等的实数根，则的值可能是（     ）． A． B． C． D． 4．若关于的一元二次方程的一个根是，则的值是（     ） A．4 B． C．6 D． 5．若关于的一元二次方程中的，，满足，则方程必有根（    ） A． B． C． D． 6．在解一元二次方程时，可以将其“降次”，转化为两个一元一次方程，若其中一个一元一次方程为，则另一个一元一次方程为（     ） A． B． C． D． 7．某奶茶店月份线下饮品的销量统计如下表所示，若4、5月份该店线下饮品销量的月平均增长率为，则可列方程为（     ） 月份 1 2 3 4 5 销量/杯 140 180 368 410 450 A． B． C． D． 8．将一元二次方程化成的形式，则（     ） A．1 B． C．2025 D． 9．已知关于x的一元二次方程的两个实数根为和，设，则t的最大值为（     ） A． B．4 C． D．6 10．已知，若关于的方程的解为，，关于的方程的解为，，则下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 二．填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 11．如图，在用配方法解一元二次方程时，有一位同学所负责的步骤是错误的，则这位同学是_______． 12．某校在初三年级组织了“追光少年，青春飞扬”篮球比赛，在小组赛阶段设置了单循环赛制（即每两支球队之间进行一场比赛），已知小组赛阶段共比赛28场，则参加小组赛的球队有__________支． 13．若关于的一元二次方程的两根为相邻偶数，则的值为________． 14．已知矩形，对角线，相交于点．若，的长是关于的方程的两个根，则的长为______． 15．设是方程的两个根，是方程的两个根，则代数式的值为___________． 三．解答题（共8小题，共75分） 16．（8分）解下列方程： (1)； (2)． 17．（8分）下面是小明用因式分解法解一元二次方程的过程，请仔细阅读，并完成相应的问题． 解一元二次方程： 解：原方程可以化为：第一步 两边同时除以得：第二步 系数化为1，得：第三步 任务： (1)小明的解法是不正确的，他从第_________步开始出现了错误； (2)请你继续用因式分解法完成这个方程的正确解题过程． 18．（6分）如图所示的是2026年1月的月历，1月1日下方标有“元旦”二字．“元旦”意为“初始之日”．中国历史上的“元旦”指的是农历“正月初一”，1949年中华人民共和国以公历1月1日为元旦．用“日”形框框住任意6个数，若其中最小数与最大数的乘积为100，求这个最小数． 19．（9分）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：方程总有两个实数根． (2)若方程有一个根大于1，求k的取值范围． 20．（10分）项目化学习 项目主题：探究土地规划与销售利润问题． 项目背景：山西中药材资源得天独厚，素有“北药”之称，其中恒山黄芪更是中国国家地理标志产品．药农李伯新得一块土地，计划用来种植黄芪，某校学习小组以“探究土地规划与销售利润问题为主题开展项目学习． 驱动任务：按种植需求探索合理的土地规划方案；按预期利润制定合理售价． 收集数据： 素材1 如图，药农李伯有一块土地，若连接，则土地被分为矩形和菱形． 素材2 调查市场上与李伯所种植的同品相的黄芪，发现当黄芪售价为50元/斤时，每月能售出500斤，销售单价每上涨1元，月销售量就减少10斤，已知该品相黄芪的平均成本价为40元/斤． 解决问题： (1)因种植技术需要，李伯想用一条直线把这块土地分成面积相等的两部分，请你帮李伯进行土地规划，保留作图痕迹，不需要说明理由； (2)为维护市场，该品相黄芪的销售单价不得低于药商的收购价62元，若要使销售黄芪的月利润达到8000元，李伯应将销售单价定为多少元？ 21．（10分）阅读与思考 请认真阅读所给材料，并完成相应任务． 材料一：解方程：． 解：把常数项移到方程的右边，得：． 两边都加，得，即． 两边开方，得，即或 所以． 在上例中，我们通过配成完全平方式的形式得到了一元二次方程的方法称为配方法． 材料二：对于某些二次三项式也可以通过配方，利用完全平方式的非负性解决其最值问题． 例如：， ， ，即有最小值1． 任务： (1)解一元二次方程，配方后可变形为______． A．    B．    C．    D． (2)利用配方法求的最值． 22．（12分）综合与实践 【项目背景】： 学校项目式学习小组针对我市文旅产品“佛宝宝”的销售获利情况开展项目式学习活动，请你与他们共同完成该项目任务． 【驱动问题】： 数学来源于生活，也服务于生活，请你运用所学数学知识帮助销售店老板决策． 【分步探究】： 任务一：市场调查 某文创店以15元/个的成本购入“佛宝宝”钥匙扣．项目式小组同学帮老板调查了近5天该钥匙扣的售价与日销售量情况，记录如下： 时间 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 售价x/（元/个） 20 30 18 22 26 日销售量y（个） 50 30 54 46 38 (1)建立 建立平面直角坐标系，横轴表示售价x（单位：元/个），纵轴表示日销售量y（单位：个），将整理好的数据在平面直角坐标系中描出． (2)观察各点的分布规律，请你建立适当的函数模型刻画它们之间的函数关系式（不需要写出自变量的取值范围）． 任务三：问题解决 (3)若老板希望每天获得的利润为288元，且尽可能让利于顾客，求每个钥匙扣的售价应定为多少元？ 23．（12分）综合与探究 用配方法解一元二次方程，配方的过程可以用拼图直观表示．把方程变形为，即．配方的过程可以看成将一个长为，宽为，面积为24的矩形割补成一个正方形，具体如下： 配方的过程： ，（如图（1）） ，（如图（2）、（3）） ，（如图（4）） ．（如图（5）） 【初步应用】 (1)如图（6）是利用矩形割补对方程配方的结果，则______________；由图（6）可知方程配方的结果是______________． 【综合应用】 (2)如图（7），将面积为8的正方形剪去一个边长为的小正方形，类比以上用矩形割补成正方形完成配方的过程，你能猜想这是对哪个一元二次方程进行配方吗？若该方程有正整数解，请求出的值． 【迁移应用】 (3)现有长为，宽为，面积为的矩形（，，），，为常数，如图（8），请你尝试用四个相同的这样的矩形拼成一个新图形，并利用该图形直观展示如何通过几何方法求一元二次方程的正数解，画出图形并根据图形推导出求解过程（画图时，将，标在对应线段旁）． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 一元二次方程培优单元测试卷 （版本：华东师大版） 考试范围：九年级上册第21章全部内容；考试时间：120分钟 满分：120分 一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列方程是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据一元二次方程的定义，需同时满足三个条件：是整式方程；只含有一个未知数；未知数的最高次数为2且二次项系数不为0，逐一判断选项即可． 【详解】解：选项A：方程含有、两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意； 选项B：将方程，整理得，不是一元二次方程，不符合题意； 选项C：方程中，未明确，当时方程变为一元一次方程，不一定是一元二次方程，不符合题意； 选项D：将方程，整理得，是一元二次方程，符合题意． 2．用公式法解一元二次方程时，下列代入求根公式正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：在方程中，，，， ， ∴ ． 3．已知关于的方程有两个不相等的实数根，则的值可能是（     ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用一元二次方程根的判别式建立关于的不等式，求解后验证选项即可． 【详解】解：∵方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得， ∴选项：，满足题意， 选项：，不满足题意， 选项：，不满足题意， 选项：，不满足题意． 4．若关于的一元二次方程的一个根是，则的值是（     ） A．4 B． C．6 D． 【答案】C 【分析】将方程的根代入原方程得到的整体值，再代入所求式子计算. 【详解】解：将代入， 得，即， ∴ . 5．若关于的一元二次方程中的，，满足，则方程必有根（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据方程根的定义，只需将选项中的值代入方程左边，验证是否能得到的形式，结合已知条件，即可判断方程必有的根． 【详解】解：当时，代入方程左边得： ， ， 满足方程，因此方程必有一根为． 6．在解一元二次方程时，可以将其“降次”，转化为两个一元一次方程，若其中一个一元一次方程为，则另一个一元一次方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】通过开平方根进行降次． 【详解】解：由题意得， ∴或． 7．某奶茶店月份线下饮品的销量统计如下表所示，若4、5月份该店线下饮品销量的月平均增长率为，则可列方程为（     ） 月份 1 2 3 4 5 销量/杯 140 180 368 410 450 A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵4、5月份月平均增长率为x， 又∵3月份销量为368杯，5月份销量为450杯， ∴5月份销量为杯， ∴可列方程． 8．将一元二次方程化成的形式，则（     ） A．1 B． C．2025 D． 【答案】A 【分析】通过配方法将原方程化为的形式，求出,的值后代入计算. 【详解】解：， ， ， ， ， ∴，， ∴. 9．已知关于x的一元二次方程的两个实数根为和，设，则t的最大值为（     ） A． B．4 C． D．6 【答案】D 【分析】先根据题目分别找出，，，再计算并判断正负并求出的取值范围，进而计算并求出最大值． 【详解】解：由题意可知，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴当时，t最大，． 10．已知，若关于的方程的解为，，关于的方程的解为，，则下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用求根公式可得，．同理可得：，．再结合和比较大小即可． 【详解】解：将方程整理为． 由求根公式得． ∵， ∴，． 同理，方程的根为． ∵， ∴，． ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴，即． 又∵， ∴． 二．填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 11．如图，在用配方法解一元二次方程时，有一位同学所负责的步骤是错误的，则这位同学是_______． 【答案】丁 【分析】根据配方法解方程的基本步骤，正确求解后判断即可． 【详解】解：， ， ， ， 或 解得或 故丁的解答有错误． 12．某校在初三年级组织了“追光少年，青春飞扬”篮球比赛，在小组赛阶段设置了单循环赛制（即每两支球队之间进行一场比赛），已知小组赛阶段共比赛28场，则参加小组赛的球队有__________支． 【答案】 【分析】设球队数量为，根据单循环赛制的场次计算规则列出一元二次方程，舍去负根得到结果． 【详解】解：设参加小组赛的球队有支． ∵每两支球队之间只进行一场比赛，每支球队要和其余支球队各比赛一场，每场比赛会被重复计算两次， ∴总比赛场次为． 根据题意列方程得， 整理得， 因式分解得， 解得，． ∵球队的数量为正整数， ∴舍去，得到． 即参加小组赛的球队有支． 13．若关于的一元二次方程的两根为相邻偶数，则的值为________． 【答案】 【分析】设方程两根为相邻偶数，利用根与系数的关系得两根乘积为48，列方程求出两根，再根据两根和计算的值． 【详解】解：设方程的两个相邻偶数根分别为和，其中为偶数． ∵ 对于一元二次方程，两根之积等于常数项与二次项系数的比， ∴ ． 整理得 ， 因式分解得 ， 解得 或 ． 当时，两根为和， ∵ 两根之和等于一次项系数与二次项系数比的相反数， ∴ ， 解得 ． 当时，两根为和， ∴ ， 解得 ． 综上，的值为． 14．已知矩形，对角线，相交于点．若，的长是关于的方程的两个根，则的长为______． 【答案】 【分析】根据矩形的性质得出，，即可得出有两个相等的实数根，利用根的判别式求出的值，进而求出的长，最后根据矩形对角线相等即可求出的长． 【详解】解：∵矩形，对角线，相交于点， ∴，， ∵，的长是关于的方程的两个根， ∴有两个相等的实数根， ∴， 解得， ∴原方程为， 解得，即， ∴． 15．设是方程的两个根，是方程的两个根，则代数式的值为___________． 【答案】 【分析】利用根与系数的关系得到两根和与两根积，结合方程解的定义得到，满足的关系式，将所求代数式展开后整体代入计算即可． 【详解】解：∵，是方程的两个根，，是方程的两个根， ∴，，，，且，， ∴ ． 三．解答题（共8小题，共75分） 16．（8分）解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【详解】（1）解： 或 解得，； （2）解： 或 解得，． 17．（8分）下面是小明用因式分解法解一元二次方程的过程，请仔细阅读，并完成相应的问题． 解一元二次方程： 解：原方程可以化为：第一步 两边同时除以得：第二步 系数化为1，得：第三步 任务： (1)小明的解法是不正确的，他从第_________步开始出现了错误； (2)请你继续用因式分解法完成这个方程的正确解题过程． 【答案】(1)二 (2) 或， 解得：或． 【分析】本题考查了解一元二次方程——因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法． （1）第二步不符合等式的性质； （2）先移项得到，再利用因式分解法把方程转化为或，然后解两个一次方程． 【详解】（1）解：他从第二步开始出现了错误， 故答案为：二； （2）略 18．（6分）如图所示的是2026年1月的月历，1月1日下方标有“元旦”二字．“元旦”意为“初始之日”．中国历史上的“元旦”指的是农历“正月初一”，1949年中华人民共和国以公历1月1日为元旦．用“日”形框框住任意6个数，若其中最小数与最大数的乘积为100，求这个最小数． 【答案】这个最小数为5 【分析】根据题意设最小数为，则最大数为，列出方程，即可求解． 【详解】解：设最小数为，则最大数为， 根据题意，得， 整理得，， 解得，， 由题意可知， ∴不合题意，舍去， ∴， ∴这个最小数为5． 19．（9分）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：方程总有两个实数根． (2)若方程有一个根大于1，求k的取值范围． 【答案】(1)证明：∵一元二次方程中，，，， ∴判别式． ∵对任意实数，，即， ∴方程总有两个实数根． (2)的取值范围是． 【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，可得，由此可证出方程总有两个实数根； （2）利用分解因式法解一元二次方程，可得出，，根据方程有一根大于1，即可得出关于k的一元一次不等式，解之即可得出k的取值范围． 【详解】（1）略； （2）解：∵， ∴， ∴或， ∴，， ∵方程有一根大于1， ∴， 解得：， ∴k的取值范围为． 20．（10分）项目化学习 项目主题：探究土地规划与销售利润问题． 项目背景：山西中药材资源得天独厚，素有“北药”之称，其中恒山黄芪更是中国国家地理标志产品．药农李伯新得一块土地，计划用来种植黄芪，某校学习小组以“探究土地规划与销售利润问题为主题开展项目学习． 驱动任务：按种植需求探索合理的土地规划方案；按预期利润制定合理售价． 收集数据： 素材1 如图，药农李伯有一块土地，若连接，则土地被分为矩形和菱形． 素材2 调查市场上与李伯所种植的同品相的黄芪，发现当黄芪售价为50元/斤时，每月能售出500斤，销售单价每上涨1元，月销售量就减少10斤，已知该品相黄芪的平均成本价为40元/斤． 解决问题： (1)因种植技术需要，李伯想用一条直线把这块土地分成面积相等的两部分，请你帮李伯进行土地规划，保留作图痕迹，不需要说明理由； (2)为维护市场，该品相黄芪的销售单价不得低于药商的收购价62元，若要使销售黄芪的月利润达到8000元，李伯应将销售单价定为多少元？ 【答案】(1) (2)80元 【分析】（1）利用矩形和菱形均为中心对称图形的性质，过中心对称图形对称中心的任意直线都能将该图形面积平分，因此，分别找出矩形和菱形的对称中心（即对角线交点），连接这两点即可得到所求直线； （2）属于典型的利润问题，根据等量关系，“总利润＝单件利润×销售量”列出一元二次方程，求解后，需根据题目中“销售单价不得低于62元”这一限制条件对解进行检验和取舍． 【详解】（1）解：作图思路： ∵矩形和菱形都是中心对称图形， ∴它们的对称中心分别是各自对角线的交点， ∵过中心对称图形对称中心的任意直线都能将该图形面积平分， ∴连接矩形和菱形的对角线交点即可得到所求直线， 作法： ①连接矩形的对角线、，交于点， ②连接菱形的对角线、，交于点， ③作直线， ④直线即为所求作的直线； （2）设黄芪的销售单价定为元，则每斤的销售利润为元，月销售量为斤， 根据题意列方程得： ， 整理得： ， 解得： ，， ∵销售单价不得低于62元， ∴不符合题意，舍去， ∴， 答，李伯应将销售单价定为80元． 21．（10分）阅读与思考 请认真阅读所给材料，并完成相应任务． 材料一：解方程：． 解：把常数项移到方程的右边，得：． 两边都加，得，即． 两边开方，得，即或 所以． 在上例中，我们通过配成完全平方式的形式得到了一元二次方程的方法称为配方法． 材料二：对于某些二次三项式也可以通过配方，利用完全平方式的非负性解决其最值问题． 例如：， ， ，即有最小值1． 任务： (1)解一元二次方程，配方后可变形为______． A．    B．    C．    D． (2)利用配方法求的最值． 【答案】(1)D (2)14 【分析】本题考查了配方法的应用，最值问题，解一元二次方程配方法，偶次方的非负性，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）利用解一元二次方程配方法进行计算，即可解答； （2）利用材料二的思路进行计算，即可解答． 【详解】（1）解：， ， ， ， 故答案为：D； （2）解： ， ， ，即有最大值14． 22．（12分）综合与实践 【项目背景】： 学校项目式学习小组针对我市文旅产品“佛宝宝”的销售获利情况开展项目式学习活动，请你与他们共同完成该项目任务． 【驱动问题】： 数学来源于生活，也服务于生活，请你运用所学数学知识帮助销售店老板决策． 【分步探究】： 任务一：市场调查 某文创店以15元/个的成本购入“佛宝宝”钥匙扣．项目式小组同学帮老板调查了近5天该钥匙扣的售价与日销售量情况，记录如下： 时间 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 售价x/（元/个） 20 30 18 22 26 日销售量y（个） 50 30 54 46 38 (1)建立 建立平面直角坐标系，横轴表示售价x（单位：元/个），纵轴表示日销售量y（单位：个），将整理好的数据在平面直角坐标系中描出． (2)观察各点的分布规律，请你建立适当的函数模型刻画它们之间的函数关系式（不需要写出自变量的取值范围）． 任务三：问题解决 (3)若老板希望每天获得的利润为288元，且尽可能让利于顾客，求每个钥匙扣的售价应定为多少元？ 【答案】(1) (2) (3)21 【分析】（1）将售价x看作点的横坐标，日销售量y看作点的纵坐标，把所有的点的位置确定出来； （2）观察各点的分布规律，所有的点呈一条直线，确定售价x与日销售量y满足一次函数关系，利用待定系数法求出解析式； （3）根据利润公式确定一元二次方程，为尽可能让利于顾客，确定最终答案． 【详解】（1）略 （2）解：观察函数图象发现，售价x与日销售量y满足一次函数关系， ∴设， 将、代入得， 解得， ∴； （3）解：设每个钥匙扣的售价应定为x元， 根据题意可得， 整理得， ∴， 解得：，， ∵尽可能让利于顾客， ∴， 答：每个钥匙扣的售价应定为21元． 23．（12分）综合与探究 用配方法解一元二次方程，配方的过程可以用拼图直观表示．把方程变形为，即．配方的过程可以看成将一个长为，宽为，面积为24的矩形割补成一个正方形，具体如下： 配方的过程： ，（如图（1）） ，（如图（2）、（3）） ，（如图（4）） ．（如图（5）） 【初步应用】 (1)如图（6）是利用矩形割补对方程配方的结果，则______________；由图（6）可知方程配方的结果是______________． 【综合应用】 (2)如图（7），将面积为8的正方形剪去一个边长为的小正方形，类比以上用矩形割补成正方形完成配方的过程，你能猜想这是对哪个一元二次方程进行配方吗？若该方程有正整数解，请求出的值． 【迁移应用】 (3)现有长为，宽为，面积为的矩形（，，），，为常数，如图（8），请你尝试用四个相同的这样的矩形拼成一个新图形，并利用该图形直观展示如何通过几何方法求一元二次方程的正数解，画出图形并根据图形推导出求解过程（画图时，将，标在对应线段旁）． 【答案】(1)， (2)；或 (3)解：根据题意，画图如下： ， ， ， ， ， ． 【分析】（1）根据题意，得，再把3平均分成2份，一份图形的面积为，根据，解得即可；根据题意，得配方结果为，结合已知确定答案即可． （2）类比上述方法，结合正整数解的意义，估算求解即可． （3）先根据一个矩形的面积为，得到四个矩形的面积为，再应用给出的方法拼成一个边长为的大正方形，解答即可． 【详解】（1）解：根据题意，得，， 故， 解得； ， ， ． （2）解：根据题意，得， ， ， ， 故方程的正数解为， 由方程有正整数解，且， ， 故x的正整数值为1或2； 或． （3）解：略． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $