第21章 一元二次方程（高效培优单元自测·提升卷）数学新教材华东师大版九年级上册

**基本信息** 本卷为初中数学一元二次方程单元提升卷，以文化传承、生活应用为情境，通过基础巩固、能力提升、创新探究的梯度设计，全面考查方程定义、解法、根的关系及应用，适配单元复习培优需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|12/36|定义、根的判别式、应用|第3题结合《增删算法统宗》“圆中方”问题，体现文化传承| |填空题|6/12|根与系数关系、创新应用|第17题通过新定义考查根与系数关系的灵活运用| |解答题|8/72|综合应用与探究|第22题以梨膏糖生产销售为背景构建方程模型（模型观念），第25题“差根方程”新定义培养推理意识|

第21章 一元二次方程（高效培优单元自测·提升卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 一、选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．若关于的方程是一元二次方程，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，方程的两边都是整式，只含有一个未知数，并且整理后未知数的最高次数是2，像这样的方程叫做一元二次方程． 根据二次项系数不能为零，列式求解即可． 【详解】解：∵方程是一元二次方程， ∴二次项系数， ∴． 故选D． 2．下表是某同学求代数式（为常数，且）的值的情况．根据表格中的数据，可知关于的一元二次方程的一个根为（   ） ．．． 0 1 2 3 ．．． ．．． 0 3 8 15 ．．． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题主要考查代数式的值与方程的解，理解表格信息，掌握方程与解的关系是解题的关键． 通过表格数据，分析当x取不同值时，的值，代入方程观察方程是否成立，即可求解． 【详解】解：根据表格可知， A、当时，，可得，故不是方程的根，选项A不符合题意， B、当时，，可得，故是方程的根，选项B符合题意， C、当时，，可得，故不是方程的根，选项C不符合题意， D、当时，，可得，故不是方程的根，选项D不符合题意． 故选：B． 3．为传承中华优秀传统文化，某校开展“古法数学趣题探究”活动．同学们以《增删算法统宗》中的“圆中方”问题为素材，设计了如下校园景观方案：在一块圆形空地的正中间修建一个正方形水池，水池的每条边到圆周的距离都相等（如图）均为3米．水池以外的区域全部种植绿植．已知绿植部分的面积为72平方米，设正方形水池的边长为米．下列方程中，能正确表示圆面积、正方形面积与绿植面积之间数量关系的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据图形确定圆的半径与正方形边长的关系，利用“绿植面积圆面积正方形面积”列出方程即可． 【详解】解：设正方形水池的边长为米， 水池的每条边到圆周的距离均为米，且正方形中心到边的距离为边长的一半， 圆的半径． 绿植部分的面积为平方米， 圆面积正方形面积， 即． 4．若实数m、n分别满足方程，，且，则的值为（    ） A．12 B．13 C．14 D．15 【答案】B 【分析】由题意可知、是一元二次方程的两个不相等实根，先求解方程得到两个根，再计算即可得到结果． 【详解】解：∵实数m、n分别满足方程，，且， ∴、是一元二次方程的两个不相等实根， 解得，， ∴． 5．已知三角形两边长分别为6和8，第三边长是方程的解，则这个三角形的周长是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先解一元二次方程得到第三边的可能值，结合三角形三边关系排除不符合的边长，再计算周长得到结果． 【详解】解：解方程， 因式分解得， 解得，， ∵三角形边长为正数， ∴舍去负根，得第三边长为， ∵，符合三角形三边关系， ∴三角形周长为． 6．关于的方程的两个根满足，则的值为（    ） A．5 B． C． D．1 【答案】C 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系得到，，结合求解出两个根，再代入求解． 【详解】解：∵方程的两根为，， ∴，， ∵， ∴， 解得， ∴， 代入得，， 解得． 7．已知关于x的一元二次方程的两根之差为2，则代数式的最大值为（     ） A． B． C．4 D．10 【答案】C 【分析】结合两根差的条件与根与系数的关系，建立的等量关系，代入所求式后配方求最值即可． 【详解】解：设方程的两根分别为，． 由根与系数的关系得，． ∵ 两根之差为2， ∴ ． 又∵ ， ∴ ． 整理，得，即． 将代入，得 ， 配方得． ∵ ， ∴ ， ∴ ． ∴代数式的最大值为4． 8．如图，根据小丽与“豆包”的对话，“豆包”在深度思考后，给出的正确答案是（     ） 豆包 内容由AI生成 有没有这样一个数，先计算它的平方， 然后加上它的3倍，运算结果与这个 数的相反数减4相同． A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】设这个数为，根据题意列方程求解即可． 【详解】解：设这个数为， ∴， 整理得，， ∴， 解得，， ∴这个数是 ． 9．关于的方程有一个小于的非负数解，那么的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先对一元二次方程因式分解得到两个根，再根据“有一个小于1的非负数解”的条件列出不等式组，求解即可得到的取值范围． 【详解】解：∵， ∴， ∴或， 解得， ∵关于的方程有一个小于的非负数解，且，即不是非负数， ∴ 解得． 10．若一个一元二次方程有两个不相等的实数根，且其中一个根是另一个的2倍，则称这个方程为“倍根方程”，关于x的一元二次方程（其中，）是“倍根方程”，则m与n应满足的关系式为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设方程的两个根分别为和，通过韦达定理得到的两个等式，即可推导得出结论． 【详解】解：根据“倍根方程”的定义，设一元二次方程的两个根分别为和． ∴， 化简得； 又． ∴ ， ∴． 11．关于的一元二次方程，下列说法：①若，则方程一定有两个不相等的实数根；②若，则方程没有实数根；③若且是方程的一个根，则；④若是方程的一个根，则是方程的一个根．其中正确的个数是（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】利用根的判别式判断根的情况，结合根的定义变形验证每个说法即可． 【详解】解：对于一元二次方程，根的判别式， ① 若，则，代入得，因此方程一定有两个不相等的实数根，①正确； ② 若，则，因为，可得即，因此，所以，方程没有实数根，②正确； ③ 若且是方程的根，代入方程得，提取公因式得，因为，所以，即，③正确； ④ 若是原方程的根，代入得，两边同除以（，）得，整理得，因此是方程的一个根，④正确． 综上，①②③④都正确，共4个正确说法． 12．小若在学完2.3《一元二次方程根与系数的关系》后对一元二次方程进行了新的探究，如图所示．如果，，是一元三次方程的三个根，请你类比小若的方法探究一元三次方程根与系数的关系． 一元二次方程根与系数的探究 因为，是方程的根，根据方程根的定义 得到 展开右边得到 因为原式为恒等式，所以等式左右两边完全相同 对比后得 整理后得到+， 则用系数可以表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】类比一元二次方程根与系数的探究方法，将三次方程因式分解为含根的乘积形式，对比常数项系数求解． 【详解】解：∵，，是一元三次方程的三个根， ∴， 展开右边得． ∵等式为恒等式，两边常数项对应相等， ∴， 整理得． 二、填空题（本题共6小题，每小题2分，共12分．） 13．已知，是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值为_______． 【答案】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，求出和的值，再代入所求代数式计算即可得到结果． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个实数根， ∴， ∴ ． 14．已知a是关于x的一元二次方程的一个根，则的值为__________． 【答案】2011 【分析】根据一元二次方程根的定义得到，变形为，，，代入式子求解即可． 【详解】解：∵a是关于x的一元二次方程的一个根， ∴， ∴，，， ∴． 15．已知关于的一元二次方程的两根都小于1，则的取值范围是__________． 【答案】 【分析】根据两根都小于1的条件，推导得到两根减1后同为负数，因此和小于0且乘积大于0，据此列不等式求解即可． 【详解】解：设方程的两根为， 由根与系数的关系得：， ∵，对任意实数恒成立， ∴方程总有两个不相等的实根 ∵两根都小于1，即，， ∴，， ∴ 整理第一个不等式得： 代入得：， 解得 整理第二个不等式得： 代入和得： 解得 ∴的取值范围是． 16．若方程的较大根为，方程的较小根为，则______________． 【答案】 【分析】分别用因式分解法解两个一元二次方程，根据题意求得，，再代入代数式，即可求解． 【详解】解： ∴ 即 ∴ 解得： ∴ ∵ ∴ 解得： ∴ ∴. 17．阅读材料：如果，是一元二次方程的两个实数根，则有，．创新应用：如果，是两个不相等的实数，且满足，，那么代数式________． 【答案】2026 【分析】根据题意，，是两个不相等的实数，且满足，，则可将，看作是一元二次方程的两个实数根，利用根与系数的关系求得，，再由得，进而把代数式转化为，整理后代入、的值计算即可求解． 【详解】解：，是两个不相等的实数，且满足，， 可将，看作是一元二次方程即的两个实数根， ，， ， ， 原式 ． 18．把关于的一元二次方程与称为“同构二次方程”．比如与就是“同构二次方程”．已知两个关于的一元二次方程与是“同构二次方程”，则___________． 【答案】 【分析】根据“同构二次方程”的定义，两个方程除完全平方式前的系数不同外其他对应部分相同，由第一个方程可得，因此第二个方程可整理为，通过比较两个方程展开式的对应系数相等建立方程组求解，再计算的值. 【详解】解：∵与是“同构二次方程”， 故方程可化为方程， ， ， ， 解得：， ． 三、解答题（本题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 19．（本题6分）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)，； (2)，． 【分析】根据公式法解一元二次方程求解即可； 根据因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：， ， ， ∴，； （2）解：； ， ， 即， 或， ∴，． 20．（本题6分）已知关于的方程． (1)求证：无论取何值时，方程总有实数根； (2)若该方程两个根的平方和为25，求的值． 【答案】(1)证明：对于方程， 其中， ， ， 恒成立， 无论取何值时，方程总有两个不相等的实数根 (2) 【分析】（1）证明恒大于0； （2）若该方程两个根的平方和为25，求的值． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）知，利用求根公式： 解得：； 21．（本题8分）【阅读理解】 在欧几里得的《几何原本》中，形如关于的一元二次方程（，）的图解法是：如图，作，其中，，，在斜边上截取，则的长就是所求方程的正根． 【推导验证】 对方程进行配方， 得， 因为，所以， …… (1)请你继续完成上述推导． 【尝试应用】 (2)若利用此图解法解方程，那么_____，_____，方程的正根_____． (3)已知关于的一元二次方程（），利用上述图解法求解时，有，求a的值． 【答案】(1)因为，，， 所以， 因为， 所以， 所以， 取， 所以． (2)1，， (3) 【分析】（1）根据推导思路，将，，代入，得到，结合得出，即可求出； （2）仿照所给方法求解即可； （3）由，得到，根据得到，代入，求出a的值即可． 【详解】（1）略 （2）解：利用此图解法解方程，那么，，， ∴根据勾股定理，， 方程的正根． （3）解：如图， ∵，， ∴， ∵，且， ∴， 由，得， ∵， ∴． 22．（本题8分）问题情境： 八年级（1）班的同学，对石家庄梨膏糖食品厂出产的“梨膏糖”每日生产和销售的情况进行了信息整理，结果如下： 信息1：这款“梨膏糖”日产量x（千克）的范围是． 信息2：这款“梨膏糖”每千克的生产成本（元）与日产量x（千克）之间关系如下表所示． 信息3：这款“梨膏糖”每千克的售价（元）与日产量x（千克）之间的关系式为：． 日产量x（千克） 30 60 90 120 每千克的生产成本（元） 55 50 45 40 问题解决： (1)根据表格信息，这款“梨膏糖”每千克生产成本是x的一次函数，求此函数关系式； (2)求这款“梨膏糖”每千克的售价的最大值是多少元； (3)若该厂每日生产的“梨膏糖”当天会全部售完． ①该厂计划将某日这款“梨膏糖”的销售利润定为1200元，如果你是生产部经理，当日该产品的日产量应该定为多少比较合理？为什么？ ②该厂计划将某日这款“梨膏糖”的销售利润定为1500元，能否实现？请通过计算说明理由． 【答案】(1) (2) 80元 (3) ①日产量定为60千克；②不能实现 【分析】（1）利用待定系数法，代入表格数据求解一次函数解析式； （2）根据一次函数的增减性，结合自变量取值范围求的最大值； （3）①先根据总利润每千克利润日产量，得到总利润关于的二次函数，再令求解即可； ②令，通过方程解的情况判断目标利润能否实现． 【详解】（1）解：设与的函数关系式为， 从表格中选取两组数据，即；， 代入得，解得， 则有， 经检验，其余点均满足该解析式，结合的取值范围，得函数关系式为； （2）解：已知 ， 随的增大而减小， 当时，取得最大值，最大值为， 即这款“梨膏糖”每千克的售价的最大值是80元； （3）解：由题意，每日生产的梨膏糖全部售完，设总利润为W， 则， ①当时，得方程， 整理得，解得，均满足， 在获得相同利润时，日产量为60千克比120千克投入的人力和原材料更少，成本更低， 因此选择60千克更合理， 答：当日该产品的日产量应该定为60千克． ②当时，得方程， 整理得，配方得， 任何实数的平方都大于等于0，因此方程没有实数解，即不存在满足条件的日产量，因此不能实现目标利润， 答：不能实现利润为1500元的计划． 23．（本题10分）爱思考的小强同学在探索一元二次方程的解法时，发现一种新的解法．如：解方程． 解：原方程可变形，得，， 整理得，， 所以，， 所以，直接开平方得，，或． 所以，原方程的解为：，． (1)下面是小强同学用发现的新解法解方程时，写的解题过程． 解：原方程可变形，得，， 整理得，， 所以，， 所以，直接开平方得，，或， 所以，原方程的解为：，． 请直接写出上述过程中的，的值及方程的根； (2)请用小强同学发现的新解法解方程：． 【答案】(1)，，， (2)， 【详解】（1）解：原方程可变形，得，， 整理得，， 所以，， 所以，直接开平方得，，或， 所以，原方程的解为：，． 即，，，； （2）解：原方程可变形，得，， 整理得，， 所以，， 所以，直接开平方得，，或， 所以，原方程的解为：，． 24．（本题10分）如图1，在中，，，．在矩形中，，．在矩形的左侧，与在一条直线上，点与点重合．现以的速度从左向右匀速运动（矩形保持不动），直到点运动到与点重合时运动停止．如图2，设运动时间为（），当时，若满足与矩形重叠部分的面积为时，求运动时间的值． 【答案】 【分析】过点作于点，标记与交于点，由题意求得，，进而可得到，分析可得，，从而求得，根据与矩形重叠部分的面积为，得到，求解即可． 【详解】解：如图，过点作于点，标记与交于点， 在中， ∵，，， ∴点到的距离，即的高为， ∵， ∴点刚好在矩形的上边所在直线上， ∴， 当时，点进入矩形左侧， ∴，， ∵为等腰直角三角形， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵与矩形重叠部分的面积为， ∴， 解得，， ∵， ∴． 25．（本题12分）已知关于x的一元二次方程有两个实数根，，若满足，则此类方程叫做“差根方程”．根据“差根方程”的定义，解决下列问题： (1)下列是“差根方程”的是________；（填写序号） ①；② (2)已知关于x的方程是“差根方程”，求a的值． (3)已知是直角三角形，斜边的长为，若的两边、的长是一个二次项系数为1的“差根方程”的两个实数根，求出这个“差根方程”． 【答案】(1)① (2) (3) 【分析】本题考查新定义“差根方程”，一元二次方程的求解、完全平方公式和勾股定理的应用，熟练掌握相关知识，正确理解新的定义是解题的关键． （1）先求解两个方程，再根据“差根方程”定义判断即可； （2）先求解方程得到两个根，根据“差根方程”定义列方程求解即可； （3）利用勾股定理和“差根方程”的定义，结合完全平方公式求出两根之和与两根之积，再写出二次项系数为1的方程即可． 【详解】（1）解：① 解得：或， ， 是“差根方程”； ② 解得：，， ， ②不是“差根方程”； （2）解：方程 因式分解得：， 解得：，， 方程是“差根方程”， ， ， 或， 解得：或； （3）解： 设、， 是直角三角形，斜边的长为， ， ， 、是“差根方程”的两个实数根， ， ， ， ， ， ， 、是三角形的边长，均为正数， ， 方程二次项系数为1， 所求差根方程为． 26．（本题12分）【阅读理解】把代数式通过配凑等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性增加问题的条件，这种解题方法叫作配方法．配方法不仅在代数式求值、解方程、求最值问题等有着广泛的应用，也在几何、经济等领域常用来分析最值，求解未知量． 应用一 应用二 用配方法分解因式：． 解： ． 用配方法求代数式的最小值． 解： 的最小值为 请根据上述阅读材料，解决下列问题： (1)因式分解：________； (2)若，运用配方法可求出的最小值为________； (3)如图，在中，，，，点为边上一点（不与点、点重合），连接，以为边在上方构造正方形，连接．则面积的最大值为________． 【答案】(1) (2) (3)8 【分析】（1）把原式变形为，再利用完全平方公式和平方差公式分解因式即可； （2）仿照例题利用配方法求解即可； （3）过点F作于点H，证明，得到；设，则，则，据此可得答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ， ∵， ∴， ∴， ∴的最小值为； （3）解：如图所示，过点F作于点H， ∴， ∴； ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 设，则， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴的最大值为8． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $ 第21章 一元二次方程（高效培优单元自测·提升卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 一、选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．若关于的方程是一元二次方程，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．下表是某同学求代数式（为常数，且）的值的情况．根据表格中的数据，可知关于的一元二次方程的一个根为（   ） ．．． 0 1 2 3 ．．． ．．． 0 3 8 15 ．．． A．0 B．1 C．2 D．3 3．为传承中华优秀传统文化，某校开展“古法数学趣题探究”活动．同学们以《增删算法统宗》中的“圆中方”问题为素材，设计了如下校园景观方案：在一块圆形空地的正中间修建一个正方形水池，水池的每条边到圆周的距离都相等（如图）均为3米．水池以外的区域全部种植绿植．已知绿植部分的面积为72平方米，设正方形水池的边长为米．下列方程中，能正确表示圆面积、正方形面积与绿植面积之间数量关系的是（   ） A． B． C． D． 4．若实数m、n分别满足方程，，且，则的值为（    ） A．12 B．13 C．14 D．15 5．已知三角形两边长分别为6和8，第三边长是方程的解，则这个三角形的周长是（     ） A． B． C． D． 6．关于的方程的两个根满足，则的值为（    ） A．5 B． C． D．1 7．已知关于x的一元二次方程的两根之差为2，则代数式的最大值为（     ） A． B． C．4 D．10 8．如图，根据小丽与“豆包”的对话，“豆包”在深度思考后，给出的正确答案是（     ） 豆包 内容由AI生成 有没有这样一个数，先计算它的平方， 然后加上它的3倍，运算结果与这个 数的相反数减4相同． A． B． C． D．1 9．关于的方程有一个小于的非负数解，那么的取值范围是（     ） A． B． C． D． 10．若一个一元二次方程有两个不相等的实数根，且其中一个根是另一个的2倍，则称这个方程为“倍根方程”，关于x的一元二次方程（其中，）是“倍根方程”，则m与n应满足的关系式为（   ） A． B． C． D． 11．关于的一元二次方程，下列说法：①若，则方程一定有两个不相等的实数根；②若，则方程没有实数根；③若且是方程的一个根，则；④若是方程的一个根，则是方程的一个根．其中正确的个数是（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 12．小若在学完2.3《一元二次方程根与系数的关系》后对一元二次方程进行了新的探究，如图所示．如果，，是一元三次方程的三个根，请你类比小若的方法探究一元三次方程根与系数的关系． 一元二次方程根与系数的探究 因为，是方程的根，根据方程根的定义 得到 展开右边得到 因为原式为恒等式，所以等式左右两边完全相同 对比后得 整理后得到+， 则用系数可以表示为（     ） A． B． C． D． 二、填空题（本题共6小题，每小题2分，共12分．） 13．已知，是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值为_______． 14．已知a是关于x的一元二次方程的一个根，则的值为__________． 15．已知关于的一元二次方程的两根都小于1，则的取值范围是__________． 16．若方程的较大根为，方程的较小根为，则______________． 17．阅读材料：如果，是一元二次方程的两个实数根，则有，．创新应用：如果，是两个不相等的实数，且满足，，那么代数式________． 18．把关于的一元二次方程与称为“同构二次方程”．比如与就是“同构二次方程”．已知两个关于的一元二次方程与是“同构二次方程”，则___________． 三、解答题（本题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 19．（本题6分）解方程： (1)； (2)． 20．（本题6分）已知关于的方程． (1)求证：无论取何值时，方程总有实数根； (2)若该方程两个根的平方和为25，求的值． 21．（本题8分）【阅读理解】 在欧几里得的《几何原本》中，形如关于的一元二次方程（，）的图解法是：如图，作，其中，，，在斜边上截取，则的长就是所求方程的正根． 【推导验证】 对方程进行配方， 得， 因为，所以， …… (1)请你继续完成上述推导． 【尝试应用】 (2)若利用此图解法解方程，那么_____，_____，方程的正根_____． (3)已知关于的一元二次方程（），利用上述图解法求解时，有，求a的值． 22．（本题8分）问题情境： 八年级（1）班的同学，对石家庄梨膏糖食品厂出产的“梨膏糖”每日生产和销售的情况进行了信息整理，结果如下： 信息1：这款“梨膏糖”日产量x（千克）的范围是． 信息2：这款“梨膏糖”每千克的生产成本（元）与日产量x（千克）之间关系如下表所示． 信息3：这款“梨膏糖”每千克的售价（元）与日产量x（千克）之间的关系式为：． 日产量x（千克） 30 60 90 120 每千克的生产成本（元） 55 50 45 40 问题解决： (1)根据表格信息，这款“梨膏糖”每千克生产成本是x的一次函数，求此函数关系式； (2)求这款“梨膏糖”每千克的售价的最大值是多少元； (3)若该厂每日生产的“梨膏糖”当天会全部售完． ①该厂计划将某日这款“梨膏糖”的销售利润定为1200元，如果你是生产部经理，当日该产品的日产量应该定为多少比较合理？为什么？ ②该厂计划将某日这款“梨膏糖”的销售利润定为1500元，能否实现？请通过计算说明理由． 23．（本题10分）爱思考的小强同学在探索一元二次方程的解法时，发现一种新的解法．如：解方程． 解：原方程可变形，得，， 整理得，， 所以，， 所以，直接开平方得，，或． 所以，原方程的解为：，． (1)下面是小强同学用发现的新解法解方程时，写的解题过程． 解：原方程可变形，得，， 整理得，， 所以，， 所以，直接开平方得，，或， 所以，原方程的解为：，． 请直接写出上述过程中的，的值及方程的根； (2)请用小强同学发现的新解法解方程：． 24．（本题10分）如图1，在中，，，．在矩形中，，．在矩形的左侧，与在一条直线上，点与点重合．现以的速度从左向右匀速运动（矩形保持不动），直到点运动到与点重合时运动停止．如图2，设运动时间为（），当时，若满足与矩形重叠部分的面积为时，求运动时间的值． 25．（本题12分）已知关于x的一元二次方程有两个实数根，，若满足，则此类方程叫做“差根方程”．根据“差根方程”的定义，解决下列问题： (1)下列是“差根方程”的是________；（填写序号） ①；② (2)已知关于x的方程是“差根方程”，求a的值． (3)已知是直角三角形，斜边的长为，若的两边、的长是一个二次项系数为1的“差根方程”的两个实数根，求出这个“差根方程”． 26．（本题12分）【阅读理解】把代数式通过配凑等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性增加问题的条件，这种解题方法叫作配方法．配方法不仅在代数式求值、解方程、求最值问题等有着广泛的应用，也在几何、经济等领域常用来分析最值，求解未知量． 应用一 应用二 用配方法分解因式：． 解： ． 用配方法求代数式的最小值． 解： 的最小值为 请根据上述阅读材料，解决下列问题： (1)因式分解：________； (2)若，运用配方法可求出的最小值为________； (3)如图，在中，，，，点为边上一点（不与点、点重合），连接，以为边在上方构造正方形，连接．则面积的最大值为________． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第21章一元二次方程（高效培优单元自测·提升卷) (考试时间：120分钟试卷满分：120分) 一、选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。) 1 3 4 5 6 个 8 10 11 12 D B B B A C A D D D D 二、填空题（本题共6小题，每小题2分，共12分.） 13.-2024 14.2011 16.0 17.2026 18.-6 三、解答题（本题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 19.【答案1=V5+5为=V2-5 2)5s-】52=5 【解析】(1)解：-22x-1=0 △=(-22-4x1×(-1)=12>0 x-25±2-2±5 :=5+5=2-5 (2)解：-1=4(x+) (x+1)(x-1)-4(x+1)=0 1/11 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (x+1)[(x-1)-4]=0 即+x-5)=0 x+1=0或x-5=0, :-15=5 20.【答案】(1)见解析 2)%=2,m,=-5 2-(2m+3)x+m2+3m+2=0 【解析】(1)(1)证明：对于方程 其中a=l,b=-（2m+3),c=m2+3m+2 △=b2-4ac=[-(2m+3)]-4×1×(m2+3m+2）) =(2m+3)2-4(m2+3m+2) =4m2+12m+9-4m2-12m-8 =1, .△=1>0恒成立， ∴无论m取何值时，方程总有两个不相等的实数根 2)解：由(1)知A=,利用求根公式：=2+3生1=2m+3土 2 2 5x-2m+3+1_2m+4=m+2 2 2 2m+3-1_2m+2 =m+1 2 2 ∴.(m+1)2+(m+22=52=25 m1=2,m2=-5 解得： 2/11 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 21.【答案】（因为BD=BC=g 2 AC=b'AB=AD+BD' 所n= 因为2+r+（+=+9 所-(40， 取x+号=AD+ 2 2 所以x=AD 1,6V6-1 (3)a=12 【解析】(1)略 2解：利用此图解法解方程+2x=5,郑么BC=号，D=C=1,HC-V后 ·根据勾股定理，AB=VBC2+AC=V6 方程的正根X=AB-BD=V6-1 (3)解：如图， b D B BD=BC=4 BD 3 2’AD2, 2 AD=专BD 30, 3/11 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .x2+ax=64,且b>0, .b=V64=8 +=+8,目9-8+9 .a>0, ∴.a=12」 22.【答案】(1) y=-人x+60(30≤x≤120) 6 (2) 80元 (3) ①日产量定为60千克：②不能实现 【解析】(1)解：设片与的函数关系式为=+b(k≠0) =30月=55x=60,y=50 从表格中选取两组数据，即 30k+b=55 f、1 6 代入得60k+b=50:解得b=60, 1 则有y=-三x+60 6 经检验，其余点均满足该解折式，结合x的取值范国，得西数关系式为1=名+60(30≤x≤120)， (2)解：已知4=-3x+90(30≤x≤120) <0 3 …y2 随的增大而减小， 4/11 可学科网·上好课 Www,zX×k.com 上好每一堂课 1 :当x=30时，为取得最大值，最大值为少=一 ×30+90=80 3 即这款“梨膏糖”每千克的售价的最大值是80元； (3)解：由题意，每日生产的梨膏糖全部售完，设总利润为W, 则=0-W=含+0名*o】-名+0名+0 ①当m=1200时，得方程6 2+30x=1200 整理得r-180x+7200=0 x=60,x3=120 解得 均满足30≤x≤120 在获得相同利润时，日产量为60千克比120千克投入的人力和原材料更少，成本更低， 因此选择60千克更合理， 答：当日该产品的日产量应该定为60千克. ②当W=1500时，得方程6 2+30x=1500, 整理得t-180r+9000=0 x-90)2=-900 配方得 :任何实数的平方都大于等于0，因此方程没有实数解，即不存在满足条件的日产量，因此不能实现目标 利润， 答：不能实现利润为1500元的计划， 23.【答案】(1)m=-6,n=3.x=6+2W5为=6-2√5 2)5=135=-7 【解析】(1)解：原方程可变形，得，[(x-6)+3][x-6)-3]=3 整理得， (x-6)2-32=3 所以， (x-6)=3+32 所以，直接开平方得，x-6=V5+3,或-6=-3+3 5/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 所以，原方程的解为：=6+V3+3,:=6-3+3 即m=-6,n=3,=6+3+32=6+2W5.5=6-V3+3=6-25 (2)解：原方程可变形，得，[x-3)-8][(x-3)+8]=36 整理得，(-3-82=36 所以， (x-3)2-36+82 所以，直接开平方得，x-3=V36+8=10,或x-3=-V36+8=-10, 所以，原方程的解为：=13，二-7 24.【答案】t=12 【解析】解：如图，过点C作CM⊥AB于点M,标记AC与DE交于点H, A EM B 在△ABC中， ,∠C=90°，CA=CB,AB=16cm, 点C到/B的距夹CW-号4B=X16=8cm,即ABC的商为8em .DE =8cm. .点C刚好在矩形DEFG的上边DG所在直线上， -x4BxCM-x16x8-64cm .S.46c= 2 当8<t≤16时，点A进入矩形左侧， .BE=tcm AE=(16-t)cm ,△ABC为等腰直角三角形， .△AEH为等腰直角三角形， :E=EH=(16-)cm 6/11 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 &Se分4xBH=06-。 ,△ABC与矩形DEFG重叠部分的面积为56cm', :64-06-40=56, 4=12t2=20 解得 …8<t≤16. .t=12 25.【答案】(1)① aa=号 B)r-i3x+3=0 【解析】(1)解：①x2-x=0 解得：=1成为=0 或 x-x=1-0=1 ∴.① 是“差根方程”； ②-4r-5=0 x1=5x2=-1 解得： -=5-(-1=6≠1 ②不是“差根方程”： (2)解：方程x2+2ax=0 因式分解得：(x+2a)=0 x=0x2=-2a 解得： 7/11 可学科网·上好课 Www,zX×k.com 上好每一堂课 方程x2+2ax=0是“差根方程”， ∴.0-(-2a)=1 ∴.l2dl=1 2a=1或2a=-1, 1 1 解得：a=2或a=-2 (3)解：设 AB=x AC=x △AB 是直角三角形，斜边9C的长为7， .AB2+AC2=BC2 x2+x3=7 :、是“差根方程”的两个实数根， x-=1 (:-x2=1 x2+x号-2xx2=1 ∴.7-2xx2=1 .x2=3 .(x+x2)2=x2+x号+2xx2=7+2×3=13 :、是三角形的边长，均为正数， x+x2=③ 方程二次项系数为1， 8/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ·所求差根方程为 2-V13x+3=0 26.【答案】a+2(a-6) (2)-8 (3)8 【解析】(1)解：a2-4a-12 =(a2-4a+4）-4-12 =(a-2)2-16 =(a-2+4)(a-2-4) =(a+2)(a-6) (2)解：M=2x2-8x =2(x2-4x) =2(x2-4x+4-4） =2(x2-4x+4)-8 =2(x-22-8 .(x-2}≥0 :2(x-2y≥0 :2(6-2y-8≥-8 ,M的最小值为-8： (3)解：如图所示，过点F作FH⊥AD于点H, 9/11 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D B .∠FHD=90°=∠DAC, ∴.∠HDF+∠HFD=90°； ,四边形CDFE是正方形， .DF=CD,∠FDC=90 ∴.∠HDF+∠ADC=90°， ∴.∠HFD=∠ADC, △HFD≌△ADC(AAS) :'FH=AD: 设BD=x,则FH=AD=8-x, So-D.FH-8-x) 1 -r-8) =x-8x+16-16 =-8x+16)+8 =x-4矿+8 .(x-4)}≥0 26x-4}≤0， ·2x-4)}+8≤8 S.0F的最大值为8. 10/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 11/11