2026-2027学年人教版九年级数学上册10月月考模拟卷

九年级数学月考模拟卷 考试范围：一元二次方程、二次函数 满分：120分 考试时间：100分钟 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 下列方程中，是一元二次方程的是( ) A．2x+3=0 B．x²−5x+6=0 C．x+1=2 D．x³−x=0 2. 方程 x²−4=0 的解是( ) A．x=2 B．x=−2 C．x₁=2，x₂=−2 D．x=4 3. 一元二次方程 x²−3x+2=0 的两根之和为( ) A．−3 B．3 C．−2 D．2 4. 用配方法解方程 x²+6x+5=0，配方后得到的方程是 ( ) A．(x+3)²=4 B．(x+3)²=14 C．(x−3)²=4 D．(x+3)²=5 5. 若关于 x 的一元二次方程 (k−1)x²+4x+1=0 有两个不相等的实数根，则 k 的取值范围 ( ) A．k<5 B．k<5 且 k≠1 C．k>5 D．k>5 且 k≠1 6. 已知二次函数 y=−(x+2)²−1，下列说法错误的是( ) A．抛物线开口向下 B．顶点坐标为 (−2,−1) C．当 x>−2 时，y 随 x 的增大而减小 D．抛物线与 x 轴有两个交点 7. 已知二次函数 y=x²−2x−3 的图象如图所示，则不等式 x²−2x−3>0 的解集为( ) A．x<−1 或 x>3 B．−1<x<3 C．x<−1 且 x>3 D．x>3 8. a、b 是关于 x 的一元二次方程 x²−2x−1=0 的两个实数根，则代数式 a²+b² 的值为( ) A．2 B．4 C．6 D．8 9. 已知二次函数 y=ax²+bx+c 的图象开口向下，对称轴为 x=1，且经过点 (3,0)。则下列结论：① abc>0 ② 2a+b=0 ③ a−b+c<0 ④ 4a+2b+c>0 其中正确的个数是( ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 10. 已知抛物线 y=x²−4x+m 与 x 轴的两个交点之间的距离为2，则 m 的值为( ) A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题（每空3分，共18分） 11. 一元二次方程 x²−5x+6=0 的两个根分别为 x₁ 和 x₂，则 x₁·x₂=________。 12. 抛物线 y=3x²−6x+5 的顶点坐标为________。 13. 关于 x 的一元二次方程 x²+mx+n=0 的一个根为2，另一个根为3，则 m=____ , n=___。 14. 二次函数 y=−x²+4x+5 当0≤x≤6 时的最大值为________。 15. 关于 x 的一元二次方程 mx²−(m+2)x+1=0 有两个不相等的实数根 x₁, x₂，且 + =3，则 m 的值为________。 三、解答题（共72分） 16.（8分）用适当的方法解下列方程： (1) x²−6x+8=0 (2) 2x²+3x−2=0 17.（8分）已知关于 x 的一元二次方程 2x²−(m+2)x+m=0。 (1) 求证：无论 m 取何值，该方程总有两个实数根； (2) 若该方程的两个实数根 x₁, x₂ 满足 x₁+x₂=3，求 m 的值及 x₁·x₂ 的值。 18.（10分）已知二次函数 y=−x²+4x+5。 (1) 求出该函数图象的顶点坐标和对称轴； (2) 当 −1≤x≤3 时，求 y 的取值范围。 19.（10分）某商场销售一种商品，进价为每件20元。经市场调查发现：该商品每天的销售量 y（件）与售价 x（元/件）满足一次函数关系：当售价为25元时，销售量为150件；当售价为30元时，销售量为100件。 (1) 求 y 与 x 之间的函数关系式； (2) 设该商品每天的利润为 W 元，求 W 与 x 之间的函数关系式； (3) 该商品售价定为多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少？ 20.（10分）用一段长为30米的篱笆围成一个一边靠墙的矩形花圃，墙长为20米。 (1) 设垂直于墙的边长为 x 米，花圃面积为 S 平方米，求 S 与 x 之间的函数关系式，并写出 x 的取值范围； (2) 花圃面积能否达到100平方米？若能，求出此时 x 的值；若不能，请说明理由； (3) 如何围法才能使花圃面积最大？最大面积是多少？ 21.（10分）已知抛物线 y=−x²+2x+3 经过 A、B 两点，与 y 轴交于点 C。 (1) 求 A、B、C 三点的坐标及该抛物线的顶点坐标； (2) 求 △ABC 的面积； (3) 点 P 是抛物线上位于 x 轴上方的一个动点（不与 A、B 重合），求 △PAB 面积的最大值。 22.（10分）已知二次函数 y=x²−2x−3 的图象与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于点 C，顶点为 D。 (1) 求 A、B、C、D 四点的坐标； (2) 求四边形 ABDC 的面积； (3) 点 P 是抛物线上一动点，且 △PBC 的面积等于 △ABC 的面积，求所有满足条件的点 P 的坐标。 参考答案 一、选择题 1.B 2.C 3.B 4.A 5.B 6.D 7.A 8.C 9.B 10.C 二、填空题 11. 6 12. (1, 2) 13. m=−5，n=6 14. 9 15. 1 三、解答题 16. (1) x₁=2，x₂=4 (2) x₁=，x₂=−2 17. (1) Δ=(m+2)²−4×2×m=m²+4m+4−8m=m²−4m+4=(m−2)²≥0 无论 m 取何值，Δ≥0，所以方程总有两个实数根。 (2) 由韦达定理：x₁+x₂= =3，解得 m=4 x₁·x₂= = =2 当 m=4 时，方程为 2x²−6x+4=0，即 x²−3x+2=0，Δ=9−8=1>0，有两个实数根，符合题意。 所以 m=4，x₁·x₂=2。 18. (1) y=−x²+4x+5=−(x²−4x)+5=−(x²−4x+4)+4+5=−(x−2)²+9 顶点坐标 (2,9)，对称轴 x=2。 (3) 当 −1≤x≤3 时： 顶点 x=2 在区间内，最大值y=9 x=−1 时，y=−1−4+5=0；x=3 时，y=−9+12+5=8 所以 y 的取值范围为 [0≤y≤ 9]。 19. (1) 设 y=kx+b 代入 (25,150) 和 (30,100)： 150=25k+b，100=30k+b 解得 k=−10，b=400 y=−10x+400 (2) W=(x−20)·y=(x−20)(−10x+400) =−10x²+400x+200x−8000 =−10x²+600x−8000 (3) W=−10(x²−60x+800)=−10(x²−60x+900−100) =−10((x−30)²−100)=−10(x−30)²+1000 当 x=30 时，W 取最大值 1000。 验证：x=30 时，y=−300+400=100>0，符合实际意义。 所以售价定为30元时，每天利润最大，最大利润为1000元。 20. (1) 垂直于墙的边长为 x 米，则平行于墙的边长为 (30−2x) 米。 S=x(30−2x)=−2x²+30x 由 30−2x>0 得 x<15；由 30−2x≤20（墙长限制）得 x≥5；又 x>0 所以 x 的取值范围为 5≤x<15。 (2) 令 S=100：−2x²+30x=100 2x²−30x+100=0，x²−15x+50=0 (x−5)(x−10)=0，x=5 或 x=10 当 x=5 时，平行于墙的边长=30−10=20≤20（符合） 当 x=10 时，平行于墙的边长=30−20=10≤20（符合） 所以花圃面积能达到100平方米，此时 x=5 或 x=10。 (3) S=−2x²+30x=−2(x²−15x) =−2(x²−15x+56.25−56.25)=−2((x−7.5)²−56.25) =−2(x−7.5)²+112.5 当 x=7.5 时，S 取最大值 112.5。 验证：x=7.5 在 5≤x<15范围内，平行于墙的边长=30−15=15≤20（符合）。 所以当垂直于墙的边长为7.5米，平行于墙的边长为15米时，花圃面积最大，最大面积为112.5平方米。 21. (1) 令 y=0：−x²+2x+3=0，x²−2x−3=0，(x−3)(x+1)=0 x₁=3，x₂=−1 A(−1,0)，B(3,0) 令 x=0，y=3，C(0,3) y=−x²+2x+3=−(x−1)²+4，顶点坐标 (1,4) (2) AB=3−(−1)=4，C 到 AB的距离为3 S△ABC=×4×3=6 (3) 设 P(x,y)，y>0 S△PAB=×AB×y=×4×y=2y 要使面积最大，需 y 最大。 抛物线 y=−(x−1)²+4 的最大值为4（当 x=1 时），此时 P(1,4) 在 x 轴上方且不与 A、B 重合。 所以 △PAB 面积的最大值为 2×4=8。 22. (1) 令 y=0：x²−2x−3=0，(x−3)(x+1)=0 x₁=3，x₂=−1 A(−1,0)，B(3,0) 令 x=0，y=−3，C(0,−3) y=x²−2x−3=(x−1)²−4，顶点 D(1,−4) (2) 四边形 ABDC 的顶点依次为 A(−1,0)、B(3,0)、D(1,−4)、C(0,−3) 用割补法：S△ABC=×4×3=6 B(3,0)、C(0,−3)、D(1,−4) 用鞋带公式：S△BCD=×|3×(−3)+(0×(−4)+1×0)−(0×0+(−3)×1+(−4)×3)| =|−9+0+0−(0−3−12)|=(1/2)|−9−(−15)|=×6=3 所以四边形 ABDC 的面积 = S△ABC + S△BCD = 6+3 = 9 (3) △ABC 的面积 = 6，所以需要 △PBC 的面积 = 6 B(3,0)、C(0,−3)，直线 BC 的解析式：y=x−3，即 x−y−3=0 BC==3 设 P(x, x²−2x−3) P 到直线 BC 的距离 d= S△PBC= ×3× = |−x²+3x|=6 |−x²+3x|=4 当 −x²+3x=4 时：x²−3x+4=0，Δ=9−16=−7<0，无实数解 当 −x²+3x=−4 时：x²−3x−4=0，(x−4)(x+1)=0 x=4 或 x=−1 当 x=4 时，y=16−8−3=5，P(4,5) 当 x=−1 时，y=1+2−3=0，P(−1,0) 即点 A 所以满足条件的点 P 的坐标为 (4,5) 或 (−1,0)。 学科网（北京）股份有限公司 $