2026-2027学年青岛版数学九年级上册第一次月考模拟（一元二次方程+相似三角形）

青岛版九年级上册第一次月考模拟（一元二次方程+相似三角形） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．下列图形一定相似的是（    ） A．两个矩形 B．两个等腰直角三角形 C．有一个角是的两个等腰三角形 D．两个菱形 2．下列方程是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 3．若一元二次方程配方得到，则，的值分别为（     ） A．， B．， C．， D．， 4．已知关于的一元二次方程有一根为，则的值是（　　） A． B． C．或 D．或 5．关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（     ） A．且 B．且 C． D．且 6．若关于x的一元二次方程的两根互为倒数，则k的值为（     ） A． B．2 C．2或 D．1 7．某店销售一批户外帐篷，经调查，每顶帐篷利润为200元时，平均每天可售出60顶；单价每降价10元，每天可多售出4顶．该店要想平均每天盈利12160元，则每顶帐篷应降价多少元？设降价x元，下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 8．如图，已知，，，．将沿图中的剪开，则剪下的阴影三角形与不相似的是（     ） A． B．C． D． 9．如图，在中，D，C，E三点在一条直线上，，，，则的长为（    ） A．1.5 B．1.6 C．1.7 D．1.8 10．如图，在中，，相交于点，点在上，且，连接交于点，则下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数是（     ）． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 二、填空题 11．在和中，，且的周长为．的周长为____________． 12．若一元二次方程有两个实数根，且一个根是另一个根的2倍，称该方程为“倍根方程”．若关于的方程是倍根方程，则的值为________． 13．如图，一块长12米、宽8米的长方形户外草坪，规划了两横两纵等宽的石板小径（阴影部分），石板小径的总面积占草坪总面积的，则石板小径的宽度为_______米． 14．如果，是方程的两个实数根，则的值为________． 15．如图所示，在三角形中，，，点D从点A出发以的速度运动到点B停止，点E从点C出发以的速度运动到点A停止，如果两点同时开始运动，那么以点A，D，E为顶点的三角形与相似时，运动时间为______s． 三、解答题 16．计算： (1)； (2)； (3)； (4)求方程与所有实数根之和． 17．已知关于的一元二次方程有两个实数根． (1)求实数的取值范围； (2)若，是该方程的两个根，且满足，求的值． 18．在单位长度为1的网格坐标系中，四边形ABCD的顶点落在格点上． 解答下列问题： （1）请写出A，B，C，D的坐标； A：__________ ，B：__________ ，C：__________ ，D：__________ ； （2）将四边形ABCD各顶点的横、纵坐标都乘以2，得到新四边形A1B1C1D1，请在网格坐标系中画出四边形A1B1C1D1； （3）若四边形ABCD和四边形A1B1C1D1的面积分别为S1，S2，请直接写出S1，S2之间的数量关系___________ ． 19．如图，点E为边上一点，过点C作，交的延长线于点D，交的延长线于点F，且． (1)求证：； (2)如果，求证：． 20．为了增强学生的劳动意识，养成劳动的习惯和品质，老师在研学基地组织学生用一段长为的篱笆来围成一个一边靠墙（墙的长度为）的矩形菜园（如图）． (1)若围成的矩形菜园的面积为，则矩形菜园的长和宽分别是多少？ (2)围成的矩形菜园的面积能否为？请说明理由． 21．图1是广场上的矩形公益广告牌的示意图，数学小组借助平面镜测量公益广告牌的高度． 如图2，所在直线垂直地面于点，甲把光源放置于点处，垂直地面于点，点，在同一水平线上，乙沿方向移动平面镜，移到点时，从点发出的光线反射到点处；移到点时，从点发出的光线反射到点处．经测量：米，米，米，米，记点，处的法线分别为，，即，，根据光的反射定律，，． (1)求证：； (2)求此公益广告牌的高度． 22．某水果超市经销一种高档水果，售价每千克50元． (1)若连续两次降价后每千克32元，且每次下降的百分率相同，求每次下降的百分率； (2)若按现价销售，每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，超市决定采取适当的涨价措施，但超市规定每千克涨价不能超过8元，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克．现该超市希望每天盈利6000元，那么每千克应涨价多少元？ 23．【主题】如何裁剪木板使面积最大． 素材1：利用配方法求解一元二次方程的解是常用的解题方法，这种方法还可以用来求解代数式的最值． 素材2：求解代数式的最大值． 解：原式． ∵， ∴， ∴ ∴的最大值为4． 【问题解决】 如图，有一块直角三角形木板的面积为，一条直角边长为，现王师傅要沿着边截一个矩形台面，D，G分别在边，上，，分别与，交于点M，H，求该矩形台面面积的最大值． 试卷第6页（共6页） 试卷第1页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 《九年级上册第一次月考模拟》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B B A A A A B B B C 1．B【解析】选项A：∵两个矩形对应角相等，但对应边不一定成比例，∴两个矩形不一定相似，A不符合题意． 选项B：∵等腰直角三角形的三个内角固定为，，，对应角一定相等，且对应边一定成比例，∴两个等腰直角三角形一定相似，B符合题意． 选项C：∵的角可能是等腰三角形的顶角，也可能是底角，会导致两个三角形对应角不一定相等，∴两个三角形不一定相似，C不符合题意． 选项D：∵两个菱形的对应角不一定相等，∴两个菱形不一定相似，D不符合题意． 2．B【解析】解：A、该方程中含有2个未知数，不是一元二次方程，故本选项不合题意； B、该方程符合一元二次方程的定义，故本选项符合题意； C、该方程不是整式方程，不是一元二次方程，故本选项不合题意； D、当时，不是一元二次方程，故本选项不合题意； 3．A【解析】对原方程移项得： ， 方程两边同时加上一次项系数一半的平方得： ， 整理得：， ∵配方得到， ∴对比等式两边可得，， 解得， 即，． 4．A【解析】由题意，得且， 或，且， ， 故选：A． 5．A【解析】∵方程是一元二次方程， ∴， ∵方程有实数根， ∴，即， 解得， 综上，的取值范围是且． 6．A【解析】设方程的两根为． ∵ 方程两根互为倒数， ∴ ． 又∵由根与系数的关系得． ∴ ，解得或． ∵ 一元二次方程有两个实数根， ∴． ∴． ∵ ，不符合要求舍去， ∴ ． 7．B【解析】根据题意中的等量关系可得：， 8．B【解析】A、，，由两角对应相等，可得出剪下的阴影三角形与相似，不符合题意； B、，但对应成比例的两边的夹角不一定相等，无法得出剪下的阴影三角形与相似，符合题意； C、，，且，由两边对应成比例及夹角相等，可得出剪下的阴影三角形与相似，不符合题意； D、由，，可得出，不符合题意． 9．B【解析】设对角线AC与BD交于点O， 在中， ，， 过点O作于M（如图）， ， ， ， ， ． 故选B． 10．C【解析】∵四边形是平行四边形， ∴，，， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，故①错误； 在和中，， ∵，， ∴， ∴与不相似，故②错误； ∵，且相似比为， ∴，故③正确； ∵，， ∴，即为中点， 设，则， ∴， ∴， ∵，且相似比为， ∴， ∴ ， ∴， ∴，故④正确； 综上所述，正确的结论有③④，共2个． 11．【解析】解：∵， ∴，相似比为， ∵相似三角形的周长比等于相似比， ∴， . 12．【解析】设方程的两个根分别为和， ∵对于一元二次方程，两根之和为，两根之积为， ∴；， ∴；， ∴． 13．1【解析】设石板小径的宽度为米， 根据题意，利用平移法，剩余草坪可视为长为米，宽为米的长方形， 草坪总面积为平方米， 石板小径的总面积占草坪总面积的，则剩余草坪面积占总面积的， 列方程得： ， 解得： ， 当时，，不合题意，舍去， 所以． 即石板小径的宽度为1米． 14．【解析】是方程的实数根， ，整理得， ． ，是方程的两个实数根， ∴由根与系数的关系可得：，， 将结果代入所求式子得：． 15．3或【解析】设运动时间为x秒， 根据题意：，，则， 当时，， ，解得； 当时，， ，解得， 综上，以点A，D，E为顶点的三角形与相似时，运动时间为3或． 16．（1）解：， ， ， ， ，； （2）解：， ， 则， ，； （3）解：， ， 则， 或， ，； （4）解：对于，，则方程的两个实数根满足； 对于，，则方程的两个实数根满足； 方程与所有实数根之和为． 17．（1）解：关于的一元二次方程有两个实数根， ， ； （2）解： ，是方程的两个根， ， ， ， 整理得， 解得或， 由（1）得， ． 18．解：（1）根据图形可得A（1，4），B（1，1），C（3，1），D（3，4）； 故答案为：（1，4），（1，1），（3，1），（3，4）； （2）将四边形ABCD各顶点的横、纵坐标都乘以2， 可得A1（2，8），B1（2，2），C1（6，2），D1（6，8）， 作图： （3）S1＝2×3＝6， S2＝4×6＝24， ∴S2＝4S1． 故答案为：S2＝4S1． 19．(1)证明：， ， ， ， ， ， ， ， ， ； (2)证明：， ， ， 又， ， ， ， ， ， ， ∴． 20．（1）解：设垂直于墙的一边长为，则平行于墙的一边长为， 依题意得：， 整理得：， 解得：，． 当时，，不合题意，舍去； 当时，，符合题意． 答：矩形菜园的长是，宽是． (2)不能；理由如下： 解：设垂直于墙的一边长为，则矩形的另一边长为 则， 整理，得， ，， ∴， ∴所列一元二次方程没有实数根， 故围成的矩形菜园的面积不能为． 21．(1)证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：由题意得，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵米，米，米， ∴， ∴（米）， 同理可得，， ∴， ∵米， ∴， ∴（米）， ∴（米）． 答：公益广告牌的高度为4.5米． 22．（1）解：设每次下降的百分率为， 由题意可得， 解得，（不符合题意，舍去）， ∴每次下降的百分率为； （2）解：设每千克应涨价元， 由题意可得， 整理得， 解得，， ∵在进货价不变的情况下，超市决定采取适当的涨价措施，但超市规定每千克涨价不能超过8元， ∴， ∴每千克应涨价元． 23．解：如图， ∵直角三角形木板的面积为，一条直角边长为， ∴,即：，解得：， ∴， ∵， ∴，即：，解得：， 在矩形中有：，，， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴ ， ， 设，则， ∴，， ∴，， ∴， 设矩形的面积为，则： ，   ∵， ∴， ∴当时，， ∴矩形台面面积的最大值为． 答案第4页（共8页） 答案第3页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $