21.4 三角形的中位线 题型专练 2025--2026学年冀教版九年级数学下册

冀教版（2024）八年级下册 21.4 三角形的中位线 题型专练 【题型1】根据三角形中位线的性质求线段长 【典例】如图，在等边三角形ABC中，AB＝6，AD⊥BC，BE⊥AC，垂足分别为点D、E．G为AD中点，H为BE中点．连接GH，则GH的值为（　　） A.1 B.1.5 C.2 D.3 【强化训练1】如图，在△ABC中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，E，F分别为边AC，BC上的点，M，N分别为EF，AB的中点．若AE＝BF＝2，则MN的长为（　　） A.1.5 B.3 C. D. 【强化训练2】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，D是AB上的一点，G是CD的中点，过点G的直线EF分别交AC和BC于点E，F，EG＝FG． （1）若D是AB的中点，则EF＝     ； （2）连接AG，若△ADG是直角三角形，则AD的长为        ． 【强化训练3】如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，在边AC上截取AD＝AB，连接BD，过点A作AE⊥BD于点E．已知AB＝6，BC＝8，如果F是边BC的中点，连接EF． （1）求CD的长； （2）求EF的长． 【强化训练4】如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，BD⊥AD，垂足为D，过点D作DE∥AC交AB于点E． （1）求证：AE＝DE； （2）若AB＝5，求DE的长． 【题型2】根据三角形中位线的性质求角度 【典例】△ABC中，点E、F分别为AB、AC的中点．已知∠B＝50°，∠FEC＝30°，则∠BEC＝（　　） A.30° B.50° C.80° D.100° 【强化训练1】如图，点F，G，H分别是AD，BD，BC边的中点，且AB＝CD，∠ABD＝30°，∠BDC＝80°，则∠GHF＝（　　） A.25° B.30° C.35° D.40° 【强化训练2】如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，E、F、G分别是AB，CD，AC的中点，若∠DAC＝17°，∠ACB＝91°，则∠FEG等于（　　） A.36° B.72° C.74° D.37° 【强化训练3】如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，∠B+∠BCD＝120°；点E，F，G分别是AD，BC，AC的中点，则∠FEG＝     ． 【强化训练4】定义：至少有一组对边相等的凸四边形为等对边四边形．如图，已知四边形ABCD，点E，F是对角线AC，BD的中点，G为BC的中点，连接EF，FG，EG，△EFG为等边三角形． （1）求证：四边形ABCD是“等对边四边形”； （2）若∠BAC+∠BDC＝180°，求∠DBC的度数． 【题型3】根据三角形中位线的性质求周长 【典例】如图，在边长为2的等边三角形ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，则△DEF的周长是（　　） A.1 B.2 C.3 D.4 【强化训练1】如图，在Rt△ABC中，AB＝8，AC＝6，D、E分别是AB，AC的中点，则四边形BCED的周长为（　　） A.12 B.22 C.24 D.26 【强化训练2】如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8．若点D，F分别是AB，AC的中点，连接DF，则△ADF的周长是（　　） A.10 B.12 C.14 D.24 【强化训练3】如图，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，AC＝BD＝6，则四边形EFGH的周长为     ． 【强化训练4】如图，在△ABC中，AB＝13，BC＝12．D、E分别是AB、BC的中点，连接DE、CD．如果DE＝2.5，那么△ACD的周长是多少？ 【强化训练5】如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，E，F分别为边AC，BC的中点，连接DE，EF． （1）若∠B＝40°，∠C＝55°，求∠DEF的度数； （2）若AD＝6，BD＝8，CD＝4，求△DEF的周长． 【题型4】根据三角形中位线的性质证明 【典例】若一个三角形一条边上的中线等于这条边所对应的中位线，则这个三角形一定是（　　） A.等腰三角形 B.等边三角形 C.等腰直角三角形 D.直角三角形 【强化训练1】数学课上，大家一起研究三角形中位线定理的证明．嘉嘉和淇淇在学习思考后各自尝试作了一种辅助线，如图①②，其中辅助线作法能够用来证明三角形中位线定理的是（　　） 嘉嘉的辅助线作法：如图①，延长DE到点F，使EF＝DE，连接DC，AF，FC． 淇淇的辅助线作法：如图②，过点E作GE∥AB交BC于点G，过点A作AF∥BC交GE的延长线于点F． A.嘉嘉和淇淇的辅助线作法都可以 B.嘉嘉和淇淇的辅助线作法都不可以 C.嘉嘉的辅助线作法可以，淇淇的不可以 D.淇淇的辅助线作法可以，嘉嘉的不可以 【强化训练2】阅读下面的材料： 甲、乙两人后续证明的部分思路如下： 甲：如图1，先证明△ADE≌△CFE，再推理得出四边形DBCF是平行四边形． 乙：如图2，连接DC，AF．先后证明四边形ADCF，DBCF分别是平行四边形． 你认为以上甲、乙两人的思路正确的是      ． 【强化训练3】在△ABC中，D为边AB的中点，E为边AC上一点，连接DE．给出下面三个命题： ①若AE＝EC，则； ②若，则DE∥BC； ③若DE∥BC，则AE＝EC． 上述命题中，所有真命题的序号是     ． 【强化训练4】已知：如图，在△ABC中，中线BE，CD交于点O，F，G分别是OB，OC的中点．连接DF、FG、EG、DE，求证：DF＝EG． 【强化训练5】如图，△ABC中，∠ACB＝90°，点E、F分别是AD、AB的中点，AD＝BD．证明：CF是∠ECB的平分线． 【题型5】三角形的中位线定理的实际应用 【典例】为了更好地开展劳动教育，实现五育并举，某校开设了劳动实践课程，在—个三角形地块中分出一块（阴影部分）作为劳动实践用地，尺寸如图所示，则PQ的长是（　　） A.2m B.3m C.4m D.5m 【强化训练1】某居民小区为美化居住环境，要在如图所示的三角形空地ABC上围一个四边形花坛BCFE．已知点E，F分别是边AB，AC的中点，测量得BC＝16米，则EF的长是（　　） A.8米 B.10米 C.16米 D.32米 【强化训练2】如图，A，B两地被古城墙阻隔，为测量A，B两地间的距离，先在城墙外地上取一个可以直接到达A，B两地的点C，连接CA，CB，分别取CA，CB的中点D，E，连接DE．若DE的长为27m，则A，B两地间的距离为     m． 【强化训练3】如图，把两根钢条OA，OB的一个端点连在一起，点C，D分别是OA，OB的中点，若CD＝3cm，则该工件内槽宽AB的长为    cm． 【强化训练4】数学课上大家一起研究三角形中位线性质定理：三角形两边中点的连线平行于第三边且等于第三边的一半． 已知，如图1，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点． 求证：DE∥BC且． [定理探究]某数学小组有甲、乙、丙、丁四位同学．甲同学思考后说出了添加的辅助线： [定理证明]请把甲同学说的辅助线补充到图1上，并根据他的思路证明三角形中位线性质定理； [合作交流]通过交流乙、丙、丁三位同学又给出了三种不同的辅助线方法： 乙：延长DE到点F使EF＝DE，连接FC、DC、AF． 丙：作AH⊥DE，延长HD使DG＝HD，延长HE，使EF＝HE． 丁：过点E作EG∥AB，交BC于点G，过点A作BC的平行线交GE于点F． 则三位同学所作的辅助线能证明三角形中位线性质定理的是    ； A．乙、丁 B．丙、丁 C．乙、丙 D．全正确 [定理应用]如图2，C，B两地被池塘隔开，不能直接测量它们之间的距离．测量员在地面上选了点A和点D，使AD∥BC，连接AB、DC．并分别找到AB和DC的中点M，N．若测得AD＝am，MN＝bm，则C，B两地间的距离         m． 【强化训练5】下面是小颖同学的数学日记，请你仔细阅读，并完成相应的任务 任务： （1）填空：依据1指的是            ；依据2指的是           ； （2）若按照小亮的方法测出 AC＝10m，AE＝40m，CD＝60m，请你求出池塘AB的宽度； （3）小颖同学的方法如图，若测得∠BCA＝30°，CA的长度为34米，求池塘AB的宽度．（结果精确到1米，参考数据：） 学科网（北京）股份有限公司 $ 冀教版（2024）八年级下册 21.4 三角形的中位线 题型专练（参考答案） 【题型1】根据三角形中位线的性质求线段长 【典例】如图，在等边三角形ABC中，AB＝6，AD⊥BC，BE⊥AC，垂足分别为点D、E．G为AD中点，H为BE中点．连接GH，则GH的值为（　　） A.1 B.1.5 C.2 D.3 【答案】B 【解析】取AB的中点F，连接GF、HF， ∵△ABC为等边三角形， ∴∠BAC＝∠ABC＝60°，AB＝AC＝BC， ∵AB＝AC，AD⊥BC，BC＝6， ∴BD＝BC＝3， 同理：AE＝3， ∵G、F分别为AD、AB的中点， ∴GF是△ABD的中位线， ∴GF＝BD＝1.5，GF∥BD， ∴∠AFG＝∠ABC＝60°， 同理可得：FH＝1.5，∠BFH＝∠BAC＝60°， ∴GF＝FH，∠GFH＝60°， ∴△GFH为等边三角形， ∴GH＝GF＝1.5， 故选：B． 【强化训练1】如图，在△ABC中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，E，F分别为边AC，BC上的点，M，N分别为EF，AB的中点．若AE＝BF＝2，则MN的长为（　　） A.1.5 B.3 C. D. 【答案】D 【解析】如图，连接AF，取AF的中点G，连接MG、NG， 在△ABC中，AC＝3，BC＝4，AB＝5， ∵AC2+BC2＝9+16＝25，AB2＝52＝25， ∴AC2+BC2＝AB2， ∴∠C＝90°， ∴∠CAB+∠B＝90°， ∵M、G分别为EF、AF的中点， ∴MG是△AEF的中位线， ∴MG＝AE＝1，MG∥AE， ∴∠MGF＝∠CAF， 同理可得：NG＝BF＝1，NG∥BF， ∴∠ANG＝∠B， ∴∠MGN＝∠MGF+∠NGF＝∠CAF+∠FAB+∠B＝90°， ∴MN＝＝＝， 故选：D． 【强化训练2】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，D是AB上的一点，G是CD的中点，过点G的直线EF分别交AC和BC于点E，F，EG＝FG． （1）若D是AB的中点，则EF＝     ； （2）连接AG，若△ADG是直角三角形，则AD的长为        ． 【答案】（1）2.5； （2）3.2或4． 【解析】（1）在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6， ∴AB＝＝＝5， ∵D是AB的中点， ∴AD＝DB＝CD＝2.5， ∵EG＝FG， ∴G是EF的中点， ∵G是CD的中点， ∴四边形CEDF是平行四边形， ∵∠ACB＝90°， ∴▱CEDF是矩形， ∴EF＝CD＝2.5； 故答案为：2.5； （2）当D在D'位置时，则∠AD'G'＝90°， 由（1）可知，AB＝5， 设AD'＝x，则D'B＝5﹣x，设CD'＝y， 在Rt△AD'C与Rt△CD'B中，则有x2+y2＝42，y2+（5﹣x）2＝32， 解得：x＝3.2， ∴AD'长为3.2， 当D位于D“位置时，则∠AG″D″＝90°， ∵G″是D″C的中点，且∠AG″D“＝90°， ∴AG“是线段CD“的垂直平分线， ∴△AD″C是等腰三角形， ∴AD″＝AC＝4， ∴AD″的长为4， 综上所述，AD的长为3.2或4； 故答案为：3.2或4． 【强化训练3】如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，在边AC上截取AD＝AB，连接BD，过点A作AE⊥BD于点E．已知AB＝6，BC＝8，如果F是边BC的中点，连接EF． （1）求CD的长； （2）求EF的长． 【答案】解：（1）在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8， 由勾股定理得：AC＝＝＝10， ∵AD＝AB＝6， ∴CD＝AC﹣AD＝10﹣6＝4； （2）∵AB＝AD，AE⊥BD， ∴BE＝ED， ∵BF＝FC， ∴EF是△BDC的中位线， ∴EF＝CD＝2． 【强化训练4】如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，BD⊥AD，垂足为D，过点D作DE∥AC交AB于点E． （1）求证：AE＝DE； （2）若AB＝5，求DE的长． 【答案】（1）证明：如图， ∵AD平分∠BAC， ∴∠1＝∠2， ∵DE∥AC， ∴∠3＝∠2， ∴∠1＝∠3， ∴AE＝DE； （2）解：∵BD⊥AD， ∴∠BDA＝90， ∴∠BDE+∠3＝90，∠DBE+∠1＝90， ∵∠1＝∠3， ∴∠BDE＝∠DBE， ∴BE＝DE， ∵AE＝DE， ∴， ∵AB＝5， ∴． 【题型2】根据三角形中位线的性质求角度 【典例】△ABC中，点E、F分别为AB、AC的中点．已知∠B＝50°，∠FEC＝30°，则∠BEC＝（　　） A.30° B.50° C.80° D.100° 【答案】D 【解析】∵点E、F分别为AB、AC的中点， ∴EF是△ABC的中位线， ∴EF∥BC， ∴∠FEB＝180°﹣∠B＝180°﹣50°＝130°， ∵∠FEC＝30°， ∴∠BEC＝130°﹣30°＝100°， 故选：D． 【强化训练1】如图，点F，G，H分别是AD，BD，BC边的中点，且AB＝CD，∠ABD＝30°，∠BDC＝80°，则∠GHF＝（　　） A.25° B.30° C.35° D.40° 【答案】A 【解析】∵点F，G，H分别是AD，BD，BC边的中点， ∴FG、GH分别是三角形ABD、三角形BDC的中位线， ∴GF＝且GF∥AB，GH＝且GH∥CD， ∴∠FGD＝∠ABD＝30°，∠BGH＝∠BDC＝80°， ∴∠HGE＝180°﹣80°＝100°， ∴∠FGH＝130°， 又∵AB＝CD， ∴GF＝GH， ∴∠GHF＝∠GFH＝＝25°， 故选：A． 【强化训练2】如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，E、F、G分别是AB，CD，AC的中点，若∠DAC＝17°，∠ACB＝91°，则∠FEG等于（　　） A.36° B.72° C.74° D.37° 【答案】D 【解析】如图，延长FG交AB于点M， ∵AD＝BC，E、F、G分别是AB，CD，AC的中点，∠DAC＝17°，∠ACB＝91°， ∴， ∴∠FEG＝∠EFG，∠DAC＝∠FGC＝∠AGM＝17°，∠AGE＝∠ACB＝91°， ∴∠MGE＝∠AGE﹣∠AGM＝∠FEG+∠EFG＝2∠FEG＝91°﹣17°＝74°， 解得∠FEG＝37°． 故选：D． 【强化训练3】如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，∠B+∠BCD＝120°；点E，F，G分别是AD，BC，AC的中点，则∠FEG＝     ． 【答案】30°． 【解析】∵点E，F，G分别是AD，BC，AC的中点， ∴EG是△ACD的中位线，FG是△ACB的中位线， ∴EG＝CD，EG∥CD，FG＝AB，FG∥AB， ∵AB＝CD， ∴EG＝FG， ∵EG∥CD， ∴∠EGA＝∠ACD， ∵FG∥AB， ∴∠CFG＝∠B， ∵∠AGF＝∠CFG+∠ACB＝∠B+∠ACB， ∴∠EGF＝∠EGA+∠AGF＝∠B+∠ACB+∠ACD＝120°， ∴∠GEF＝∠EFG＝×（180°﹣120°）＝30°， 故答案为：30°． 【强化训练4】定义：至少有一组对边相等的凸四边形为等对边四边形．如图，已知四边形ABCD，点E，F是对角线AC，BD的中点，G为BC的中点，连接EF，FG，EG，△EFG为等边三角形． （1）求证：四边形ABCD是“等对边四边形”； （2）若∠BAC+∠BDC＝180°，求∠DBC的度数． 【答案】（1）证明：∵△EFG为等边三角形， ∴EG＝FG， ∵点E，F是对角线AC，BD的中点，G为BC的中点， ∴EG是△CBA的中位线，FG是△BCD的中位线， ∴CD＝2FG，AB＝2EG， ∴CD＝AB， ∴四边形ABCD是“等对边四边形”； （2）解：过B作BM⊥CA交CA延长线于M，过C作CN⊥BD于N， ∵∠BAC+∠BDC＝180°，∠BAC+∠BAM＝180°， ∴∠BAM＝∠CDN， ∵∠AMB＝∠DNC＝90°，AB＝DC， ∴△BAM≌△CDN（AAS）， ∴BM＝CN， ∵BC＝CB， ∴Rt△BCM≌Rt△CBN（HL）， ∴∠DBC＝∠ACB， ∵EG是△CBA的中位线，FG是△BCD的中位线， ∴EG∥AB，FG∥CD， ∴∠CEG＝∠BAC，∠BFG＝∠BDC， ∵∠BAC+∠BDC＝180°， ∴∠CEG+∠BFG＝180°， ∵△EFG是等边三角形， ∴∠EFG＝∠FEG＝60°， ∵∠BFG+∠EFG+∠EFD+∠CEG+∠FEG+∠FEA＝180°+180°， ∴∠EFD+∠FEA＝60°， ∴∠DBC+∠ACB＝60°， ∴∠DBC＝×60°＝30°． 【题型3】根据三角形中位线的性质求周长 【典例】如图，在边长为2的等边三角形ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，则△DEF的周长是（　　） A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】C 【解析】∵等边三角形ABC的边长为2， ∴△ABC的周长为2×3＝6． ∵点D，E，F分别是△ABC的AB，BC，CA边的中点， ∴EF、DE、DF为△ABC的中位线， ∴EF＝AB，DF＝BC，DE＝AC， ∴△DEF的周长为EF+DF+DE＝（AB+BC+AC）＝＝3． 故选：C． 【强化训练1】如图，在Rt△ABC中，AB＝8，AC＝6，D、E分别是AB，AC的中点，则四边形BCED的周长为（　　） A.12 B.22 C.24 D.26 【答案】B 【解析】由勾股定理得，， ∵AB＝8，AC＝6，D、E分别是AB，AC的中点， ∴， ∴四边形BCED的周长为BC+CE+DE+BD＝22， 故选：B． 【强化训练2】如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8．若点D，F分别是AB，AC的中点，连接DF，则△ADF的周长是（　　） A.10 B.12 C.14 D.24 【答案】B 【解析】在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8， 由勾股定理得：AC＝＝＝10， ∵点D，F分别是AB，AC的中点， ∴DF是△ABC的中位线，AD＝AB＝3，AF＝AC＝5， ∴DF＝BC＝4， ∴△ADF的周长＝AD+AF+DF＝3+5+4＝12， 故选：B． 【强化训练3】如图，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，AC＝BD＝6，则四边形EFGH的周长为     ． 【答案】12． 【解析】∵E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点， ∴EF、FG、GH、HE分别是△ABC、△BCD、△CDA、△DAB的中位线， ∴EF＝AC＝3，FG＝BD＝3，GH＝AC＝3，HE＝BD＝3， ∴四边形EFGH的周长＝EF+FG+GH+HE＝12； 故答案为：12． 【强化训练4】如图，在△ABC中，AB＝13，BC＝12．D、E分别是AB、BC的中点，连接DE、CD．如果DE＝2.5，那么△ACD的周长是多少？ 【答案】解：∵D、E分别是AB、BC的中点，DE＝2.5， ∴AC＝2DE＝5，DE∥AC， ∴∠BED＝∠BCA， ∵AC2+BC2＝52+122＝169，AB2＝132＝169， ∴AC2+BC2＝AB2， ∴∠BCA＝90°， ∴∠BED＝90°， ∵E是BC的中点， ∴DC＝DB， ∴△ACD的周长＝AC+CD+DC＝AC+AD+BD＝AC+AB＝18． 【强化训练5】如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，E，F分别为边AC，BC的中点，连接DE，EF． （1）若∠B＝40°，∠C＝55°，求∠DEF的度数； （2）若AD＝6，BD＝8，CD＝4，求△DEF的周长． 【答案】解：（1）∵∠B＝40°，∠C＝55°， ∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝85°， ∵E，F分别为边AC，BC的中点， ∴EF∥AB， ∴∠CEF＝∠BAC＝85°， 在Rt△ADC中，E为边AC的中点， ∴DE＝AC＝EC， ∴∠EDC＝∠C＝55°， ∴∠DEC＝180°﹣∠EDC﹣∠C＝70°， ∴∠DEF＝85°﹣70°＝15°； （2）在Rt△ADB中，AD＝6，BD＝8， 由勾股定理得：AB＝＝＝10， ∵E，F分别为边AC，BC的中点， ∴EF＝AB＝5， 在Rt△ADC中，AD＝6，CD＝4， 由勾股定理得：AC＝＝＝2， ∴DE＝AC＝， ∵BD＝8，CD＝4， ∴BC＝12， ∵F为边BC的中点， ∴CF＝6， ∴DF＝6﹣4＝2， ∴△DEF的周长＝5+2+＝7+． 【题型4】根据三角形中位线的性质证明 【典例】若一个三角形一条边上的中线等于这条边所对应的中位线，则这个三角形一定是（　　） A.等腰三角形 B.等边三角形 C.等腰直角三角形 D.直角三角形 【答案】D 【解析】如图，CD、EF分别是△ABC的中线、中位线，且CD＝EF，连接DE、DF， ∵D、E、F分别是AB、BC、AC的中点， ∴DE∥AC，DF∥BC，即DE∥FC，DF∥EC， ∴四边形CEDF是平行四边形， ∵CD＝EF， ∴四边形CEDF是矩形， ∴∠ACB＝90°， ∴△ABC是直角三角形， 故选：D． 【强化训练1】数学课上，大家一起研究三角形中位线定理的证明．嘉嘉和淇淇在学习思考后各自尝试作了一种辅助线，如图①②，其中辅助线作法能够用来证明三角形中位线定理的是（　　） 嘉嘉的辅助线作法：如图①，延长DE到点F，使EF＝DE，连接DC，AF，FC． 淇淇的辅助线作法：如图②，过点E作GE∥AB交BC于点G，过点A作AF∥BC交GE的延长线于点F． A.嘉嘉和淇淇的辅助线作法都可以 B.嘉嘉和淇淇的辅助线作法都不可以 C.嘉嘉的辅助线作法可以，淇淇的不可以 D.淇淇的辅助线作法可以，嘉嘉的不可以 【答案】A 【解析】嘉嘉的辅助线作法：如图①，延长DE到点F，使EF＝DE，连接DC，AF，FC， ∵AE＝EC，DE＝EF， ∴四边形ADCF为平行四边形， ∴AD＝CF，AB∥CF， ∴BD＝CF，BD∥CF， ∴四边形BCFD为平行四边形， ∴DF＝BC，DF∥BC， ∴DE＝BC，DE∥BC，故嘉嘉的辅助线作法可以， 淇淇的辅助线作法：如图②，过点E作GE∥AB交BC于点G，过点A作AF∥BC交GE的延长线于点F， 则四边形ABGF为平行四边形， ∴AB＝FG， 证明△AEF≌△CEG（AAS）， ∴FE＝EG，AF＝GC， ∴BD＝EG， ∵BD∥EG， ∴四边形DBGE为平行四边形， ∴DE＝BC，DE∥BC，故淇淇的辅助线作法可以， 故选：A． 【强化训练2】阅读下面的材料： 甲、乙两人后续证明的部分思路如下： 甲：如图1，先证明△ADE≌△CFE，再推理得出四边形DBCF是平行四边形． 乙：如图2，连接DC，AF．先后证明四边形ADCF，DBCF分别是平行四边形． 你认为以上甲、乙两人的思路正确的是      ． 【答案】甲、乙． 【解析】甲：如图1，在△△ADE和△CFE中， ， ∴△ADE≌△CFE（SAS）， ∴AD＝CF，∠A＝∠ACF， ∴BD＝CF，AB∥CF， ∴四边形DBCF是平行四边形， ∴DF＝BC，DF∥BC， ∴DE＝BC，DE∥BC，故甲的思路正确， 乙：如图2，连接DC，AF， 证明四边形ADCF， 则DBCF分别是平行四边形， ∴DF＝BC，DF∥BC， ∴DE＝BC，DE∥BC，故乙的思路正确， ∴思路正确的是甲、乙， 故答案为：甲、乙． 【强化训练3】在△ABC中，D为边AB的中点，E为边AC上一点，连接DE．给出下面三个命题： ①若AE＝EC，则； ②若，则DE∥BC； ③若DE∥BC，则AE＝EC． 上述命题中，所有真命题的序号是     ． 【答案】①③． 【解析】∵D为边AB的中点， ∴AD＝DB， ①若AE＝EC， ∴DE是△ABC的中位线， ∴DE＝BC，是真命题； ②若DE＝BC，不能得出DE∥BC，是假命题； ③若DE∥BC，则AE＝EC，是真命题； 故答案为：①③． 【强化训练4】已知：如图，在△ABC中，中线BE，CD交于点O，F，G分别是OB，OC的中点．连接DF、FG、EG、DE，求证：DF＝EG． 【答案】证明：∵BE，CD都是△ABC的中线， ∴DE是△ABC的中位线， ∴DE∥BC，DE＝BC， ∵F，G分别是OB，OC的中点， ∴FG∥BC，FG＝BC， ∴DE∥FG且DE＝FG， ∴四边形DEGF是平行四边形， ∴DF＝EG． 【强化训练5】如图，△ABC中，∠ACB＝90°，点E、F分别是AD、AB的中点，AD＝BD．证明：CF是∠ECB的平分线． 【答案】证明：∵点E、F分别是AD、AB的中点， ∴EF∥BD，EF＝BD， ∴∠FCD＝∠CFE， 在△ABC中，∠ACB＝90°中， ∵E是AD的中点， ∴CE＝AD， ∵AD＝BD， ∴EF＝CE， ∴∠ECF＝∠CFE， ∴∠FCD＝∠ECF， 即：CF是∠ECB的平分线． 【题型5】三角形的中位线定理的实际应用 【典例】为了更好地开展劳动教育，实现五育并举，某校开设了劳动实践课程，在—个三角形地块中分出一块（阴影部分）作为劳动实践用地，尺寸如图所示，则PQ的长是（　　） A.2m B.3m C.4m D.5m 【答案】D 【解析】如图， ∵PA＝PB＝8m，QC＝QA＝10m， ∴P，Q是AB，AC的中点， ∴PQ是△ABC的中位线， ∴BC＝2PQ， ∵BC＝10m， ∴PQ＝5m， 故选：D． 【强化训练1】某居民小区为美化居住环境，要在如图所示的三角形空地ABC上围一个四边形花坛BCFE．已知点E，F分别是边AB，AC的中点，测量得BC＝16米，则EF的长是（　　） A.8米 B.10米 C.16米 D.32米 【答案】A 【解析】由题意知，EF是△ABC的中位线， ∴米， 故选：A． 【强化训练2】如图，A，B两地被古城墙阻隔，为测量A，B两地间的距离，先在城墙外地上取一个可以直接到达A，B两地的点C，连接CA，CB，分别取CA，CB的中点D，E，连接DE．若DE的长为27m，则A，B两地间的距离为     m． 【答案】54． 【解析】∵AD＝DC，BE＝EC， ∴DE∥AB，DE＝AB， ∵DE＝27m， ∴AB＝54m． 故答案为：54． 【强化训练3】如图，把两根钢条OA，OB的一个端点连在一起，点C，D分别是OA，OB的中点，若CD＝3cm，则该工件内槽宽AB的长为    cm． 【答案】6． 【解析】∵点C，D分别是OA，OB的中点， ∴CD是△AOB的中位线， ∴AB＝2CD， ∵CD＝3cm， ∴AB＝2CD＝6（cm）， 故答案为：6． 【强化训练4】数学课上大家一起研究三角形中位线性质定理：三角形两边中点的连线平行于第三边且等于第三边的一半． 已知，如图1，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点． 求证：DE∥BC且． [定理探究]某数学小组有甲、乙、丙、丁四位同学．甲同学思考后说出了添加的辅助线： [定理证明]请把甲同学说的辅助线补充到图1上，并根据他的思路证明三角形中位线性质定理； [合作交流]通过交流乙、丙、丁三位同学又给出了三种不同的辅助线方法： 乙：延长DE到点F使EF＝DE，连接FC、DC、AF． 丙：作AH⊥DE，延长HD使DG＝HD，延长HE，使EF＝HE． 丁：过点E作EG∥AB，交BC于点G，过点A作BC的平行线交GE于点F． 则三位同学所作的辅助线能证明三角形中位线性质定理的是    ； A．乙、丁 B．丙、丁 C．乙、丙 D．全正确 [定理应用]如图2，C，B两地被池塘隔开，不能直接测量它们之间的距离．测量员在地面上选了点A和点D，使AD∥BC，连接AB、DC．并分别找到AB和DC的中点M，N．若测得AD＝am，MN＝bm，则C，B两地间的距离         m． 【答案】[定理证明]解：∵E是AC的中点， ∴AE＝EC， ∵DE＝EF，∠AED＝∠CEF， ∴△AED≌△CEF（SAS）， ∴AD＝CF，∠DAE＝∠ECF， ∴BD∥CF， ∵D是AB的中点， ∴AD＝DB， ∴BD＝CF， ∴四边形DBCF是平行四边形， ∴BC＝DF＝2DE，BC∥DE； [合作交流]乙：延长DE到点F使EF＝DE，连接FC、DC、AF，推出四边形ADCF是平行四边形，得到BD＝CF，BD∥CF，因此四边形DBCF是平行四边形，即可证明． 丙：作AH⊥DE，延长HD使DG＝HD，延长HE，使EF＝HE，根据全等三角形的判定和性质得出BG＝AH，AH＝CF，推出四边形BGCF是矩形，即可证明． 丁：过点E作EG∥AB，交BC于点G，过点A作BC的平行线交GE于点F，根据全等三角形的判定和性质得出AF＝CG，AF＝BG，即可证明． 故答案为：D． [定理应用] 连接AN并延长交BC延长线于G， ∵AD∥BC， ∴∠D＝∠NCG，∠DAN＝∠G， ∵N是DC中点， ∴ND＝NC， ∴△ADN≌△GCN（AAS）， ∴AN＝NG，AD＝CG， ∵M是AB中点， ∴MN是△ABG的中位线， ∴MN＝BG， ∵BG＝BC+CG＝BC+AD， ∴MN＝（AD+BC）． ∵AD＝a m，MN＝b m， ∴BC＝（2b﹣a）m， 故答案为：（2b﹣a）． 【强化训练5】下面是小颖同学的数学日记，请你仔细阅读，并完成相应的任务 任务： （1）填空：依据1指的是            ；依据2指的是           ； （2）若按照小亮的方法测出 AC＝10m，AE＝40m，CD＝60m，请你求出池塘AB的宽度； （3）小颖同学的方法如图，若测得∠BCA＝30°，CA的长度为34米，求池塘AB的宽度．（结果精确到1米，参考数据：） 【答案】解：（1）依据1指的是等腰三角形的三线合一的性质，依据2指的是三角形中位线定理； 故答案为：等腰三角形三线合一；三角形中位线定理； （2）∵AB⊥直线a，AB⊥直线b， ∴AE∥CD， ∴， ∵AC＝10m，AE＝40m，CD＝60m，CB＝AB+AC， ∴， 解得AB＝20（m）， 答：池塘AB的宽度为20m； （3）∵BA⊥AC，∠BCA＝30°， ∴BC＝2AB， 在Rt△ABC中， 由勾股定理，得BC2＝AB2+AC2， ∵AC＝34米， ∴（2AB）2＝AB2+342， 解得AB≈20米，（负的已舍）， 答：池塘AB的宽度约为20m． 学科网（北京）股份有限公司 $