第二章 实数 单元练习 2026-2027学年北师大版数学八年级上册

第二章 实数 习题卷 一、单选题 1．下列二次根式中，是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 2．使二次根式有意义的的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．在实数中，最大的实数是（   ） A． B． C． D． 4．下列叙述正确的是（   ） A． B．的算术平方根是 C．64的立方根是 D．没有平方根 5．如果，，那么、的关系是（    ） A． B． C． D． 6．若为正整数，并且使得是一个最简二次根式，则的值不可能是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 7．若，则化简的结果为（     ） A． B． C． D． 8．如图是小明用计算机设计的计算小程序，当输入为时，输出的值是（    ） 　 A． B． C． D． 9．如图，数轴上表示1，的对应点分别为A，B，，则点C所表示的数是（     ） A． B． C． D． 10．如图，在中，，点是上一点，且，连接．若，则的面积为（     ） A． B． C． D． 二、填空题 11．计算：_____． 12．对于任意的正数、，定义一种新的运算“”，；如：，计算的结果为_____． 13．已知，，则 _______（保留两位小数）． 14．在《数书九章》中，南宋数学家秦九韶提出了解决“已知三角形的三边，求三角形面积”这个问题的办法，即著名的“三斜求积术”．用字母表示这个方法就是：若三角形的三边为，，，那么三角形的面积的计算公式为（）．若，，，则的值为_______． 15．若、为正有理数，则有得到有理数结果，例如：．我们把称为“的有理化因式”，与互称为“有理化因式”．某同学利用有理化因式，得到如下结论：①；②；③若（其中为有理数）则；④若，则．以上结论正确的有______（写出所有正确结论的序号）． 三、解答题 16．计算： (1)； (2)； (3)． 17．一个正数x的两个不同的平方根分别是和． (1)求a和x的值． (2)求的算术平方根． 18．已知数轴上点A表示，点B表示，如果存在点P，满足，求点P表示的数是多少？ 19．如图，图（1）、图（2）是两张形状大小完全相同的网格纸，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫做格点，请在两图中按要求作图． (1)在图（1）中，画出一个C点，连接，，使点必须在格点上； (2)在图（2）中，画出一个以为斜边的，D点必须在格点上，且； (3)写出图（2）中的周长； 20．用电器的电阻R（单位欧姆），功率P（单位瓦）与它两端的电压U（单位伏）之间有关系．有两个外观完全相同的用电器，甲的电阻为欧，乙的电阻为欧．现测得某电器功率为1500瓦，两端电压在150伏至170伏之间，该用电器到底是甲还是乙？ 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 《第二章 实数 习题卷》参考答案 1．B 【分析】本题考查最简二次根式的定义．根据最简二次根式的定义，逐一分析选项即可． 【详解】解：A项：，被开方数是分数，不满足最简二次根式的被开方数是整数这一条件，所以不是最简二次根式，故不符合题意； B项：被开方数6是整数，且6不含能开得尽方的因数，满足最简二次根式的定义，所以是最简二次根式，符合题意； C项：，被开方数32含有能开得尽方的因数16，不满足最简二次根式被开方数中不含能开得尽方的因数或因式这一条件，所以不是最简二次根式，故不符合题意； D项：被开方数是分数，不满足最简二次根式被开方数的因数是整数这一条件，所以不是最简二次根式，故不符合题意． 故选：B． 2．A 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件“二次根式的被开方数是非负的”，熟练掌握二次根式的被开方数是非负的是解题关键．根据二次根式的被开方数是非负的求解即可得． 【详解】解：使二次根式有意义，则， 解得， 故选：A． 3．B 【分析】本题主要考查了实数大小比较的方法，熟练掌握负数的大小比较是解题的关键． 根据负实数绝对值大的反而小即可得到答案． 【详解】因为， 所以最大的实数是， 故选：B． 4．B 【分析】本题考查了平方根，算术平方根，立方根的定义，注意平方根与算术平方根的不同． 根据平方根的定义判断A，D选项；根据算术平方根的定义判断B选项；根据立方根的定义判断C选项． 【详解】解：A、选项，，故A选项错误； B、选项，的算术平方根是，故B选项正确； C、选项，64的立方根是4，故C选项错误； D、选项，，9的平方根是，故D选项错误； 故选：B． 5．B 【分析】本题主要考查了分母有理数化，先把分母有理数化即可得出答案. 【详解】解：。 ∵， ∴， 故选：B. 6．D 【分析】根据最简二次根式的被开方数不含能开得尽方的因数，据此逐项判断即可． 【详解】解：A．当时，，不含能开得尽方的因数，是最简二次根式； B．当时，，不含能开得尽方的因数，是最简二次根式； C．当时，，不含能开得尽方的因数，是最简二次根式； D．当时，，含有能开得尽方的因数，，不是最简二次根式，即的值不可能是． 7．B 【详解】解：，且， ， ． 8．B 【分析】本题考查了求一个数立方根和算术平方根，无理数的定义，正确理解流程图是解题的关键． 将输入，按照流程图计算，直至求出是无理数，输出即可． 【详解】解：当，则，是有理数； 则当，则，是有理数； 则当，则，是无理数，直接输出， ∴当输入为时，输出的值是， 故选：B． 9．C 【分析】用点A表示的数减去的长即可得到答案． 【详解】解：∵数轴上表示1，的对应点分别为A，B，， ∴， ∴点C表示的数为． 10．B 【分析】先根据及的长求出的长，再利用勾股定理的逆定理判断为直角三角形，从而得出，最后利用三角形面积公式求解即可． 【详解】解：，， ， 在中，，， ， 是直角三角形，且， ， ． 11． 【分析】本题主要考查了实数混合运算，解题的关键是熟练掌握二次根式混合运算法则，立方根定义，准确计算．根据立方根定义和二次根式混合运算法则进行计算即可． 【详解】解： 故答案为：． 12． 【详解】解：由题意可知：． 13． 【分析】本题考查立方根，根据“一个数的小数点向右（或左）移动3位，其立方根的小数点向右（或左）移动1位”进行判断即可． 【详解】解：， 故答案为：． 14． 【分析】本题直接将已知的三边长代入给出的面积公式，按照实数运算顺序计算即可得到结果． 【详解】解：已知，，， 将各值代入公式 先计算各边的平方，得，， 计算 计算，可得 将结果代入公式，得 15．②④ 【分析】本题考查了有理化因式，二次根式的混合运算，二次根式的化简，熟练掌握二次根式的性质和运算法则是解题的关键． 利用有理化因式进行变形计算后，逐一分析判断，即可解答． 【详解】解：①， 故①错误，不合题意； ②， 故②正确，符合题意； ③ ， 若， 则， 解得， ∴，故③错误， ④∵， 又∵，∴， 故④正确，符合题意； 综上，结论正确的有个． 故答案为：②④． 16．(1)； (2)； (3)． 【分析】本题考查了实数的运算，平方差公式，二次根式的性质，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． （）利用零指数幂，绝对值的性质及算术平方根的定义计算即可； （）先计算有理数乘方，立方根，然后算乘法，最后算加减即可； （）先通过平方差公式，二次根式性质化简，然后合并即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 17．(1) (2)5 【分析】本题主要考查平方根及算术平方根，熟练掌握平方根及算术平方根的意义是解题的关键； （1）根据平方根的意义可得，则可求出a的值，进而得出x的值即可； （2）把（1）中a、x的值代入进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意得：， ， ， ； 即a的值为，x的值为49； （2）解：由（1）可知：，， ， 的算术平方根为5． 18．或． 【分析】本题主要考查了数轴上两点间的距离公式以及绝对值方程的求解，熟练掌握数轴上两点间距离公式，并能根据点的位置分情况讨论求解方程是解题的关键．设点表示的数为，分点在点左侧、在点和点之间、在点右侧三种情况，根据列方程求解． 【详解】解：设点表示的数为． 点表示，点表示， ． 点表示，点表示， ． ， ，即． 情况一：点在点左侧，即 此时，， ， ， ， ． ，符合点在点左侧． 情况二：点在点和点之间，即 此时，， ， ， ， ．，符合点在点和点之间． 情况三：点在点右侧，即 此时，， ， ， ． ，此时不符合点在点右侧，舍去． 综上，点P表示的数为或． 19．(1) 如图，共有两个点C符合，画出一个即可； (2) 如图，即为所求． (3)周长为 【分析】本题考查了格点中的作图，勾股定理，二次根式的加减运算，熟练掌握格点中的作图方法是解题的关键． （1）以为直角边，点B为直角顶点作等腰直角三角形，则点C即为所求； （2）作直角三角形，根据勾股定理，计算，，再求面积，符合条件； （3）根据勾股定理计算，在计算周长即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：周长：． 20．甲 【分析】此题主要考查了实数的运算在实际问题中的应用，锻炼了学生估计无理数大小的能力，本题还用到物理中的电功率的知识． 根据，分别求出甲乙的电压，故可求解． 【详解】解：当时，． 当时，． 因为， 所以该用电器是甲． 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $