第2章实数分层特训- 2026-2027学年北师大版数学八年级上册

**基本信息** 双层次精准分层设计，知识从实数概念、基本运算到综合应用、探究推理递进，适配单元复习巩固与素养提升。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础达标|实数概念（最简二次根式、无理数）、基本运算（二次根式运算、平方根）、简单应用（数轴表示、三角形形状判断）|以选择、填空、基础计算为主，直接考查概念辨析与技能，如第1题最简二次根式判断、第9题平方根计算，夯实基础| |思维达标|综合应用（勾股定理解决梯子安全问题）、探究推理（开平方近似计算）、数学表达（分母有理化综合运算）|情境化与探究性设计，如第18题结合梯子安全法则培养数学眼光，第19题通过古代开平方方法发展推理能力，体现数学思维与语言|

第2章实数分层特训01 基础达标 1．下列二次根式中，最简二次根式是（　　） A． B． C． D． 2．下列二次根式中，与是同类二次根式的是（      ） A． B． C． D． 3．在实数范围内有意义，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 4．下列实数是无理数的是（    ） A． B． C． D． 5．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 6．如图，在数轴上表示实数的点可能是（   ） A．点A B．点B C．点C D．点D 7．若三边满足，那么的形状是（   ） A．等腰三角形 B．等腰直角三角形 C．等边三角形 D．直角三角形 8．已知，，则a与b的关系是（   ） A． B． C． D． 9．9的平方根是______． 10．的小数部分是，则等于__． 11．我们知道实数与数轴上的点一一对应，如图，正方形的边长为1，以数轴上表示数1的点为圆心，正方形的对角线长为半径画弧，与数轴负半轴交于点P，则点P表示的实数为____________． 12．如图，a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简的结果为________． 13．小明编写了一个程序，如图．若输入，则输出的数为___________． 14．如图所示为一个按某种规律排列的数阵： 根据数阵的规律，第8行第6个数是_________． 15．计算： (1)； (2)． 16．求下列的值： (1)； (2)． 17．已知的算术平方根是 (1)求的值． (2)判断以为边长的三角形的形状，并说明理由． 01 思维达标 18．阅读相关材料，完成问题解决． 用勾股定理解析梯子作业“”安全法则 背景材料 国际职业安全与健康标准规定：梯子作业需遵循“安全倾斜法则”，即梯子底端的离墙距离等于顶端离地高度的，该法则的作用在于通过精准控制梯子的倾斜度，防范各类作业安全隐患． 问题情境 工人师傅要安装高的室内灯带，现有两架长度分别为，的梯子． 问题解决 （1）当采用长度为的梯子时，若梯子顶端刚好达到高度，请通过计算说明梯子作业是否符合“安全倾斜法则”； （2）在满足“安全倾斜法则”的前提下，请通过计算说明长度为的梯子顶端能否抵达高的灯带位置． 19．【阅读理解】在没有计算器的古代，数学家们如何计算开平方呢？我们来学习利用完全平方公式：近似计算算术平方根的方法． 例如：求的近似值（结果精确到）． 解：因为，所以， 则可以设成以下两种形式： ①，其中， ②，其中； 小明以①的形式求的近似值的过程如下： 因为，所以，即 因为比较小，所以将忽略不计，所以，即 得，故，即 (1)【尝试探究】请用②的形式求的近似值． (2)【比较分析】你认为用哪一种形式得出的的近似值的精确度更高？请说明理由． (3)利用材料中的方法，求的近似值时，可设_________．（用含有a的代数式表示，其中） 20．阅读材料： 双剑合璧，天下无敌．这是武侠小说中的常见描述，其意是指两个人合在一起，威力无比．在二次根式中也有这种相辅相成的“对子”，如：它们的积不含根号，我们说这两个二次根式互为有理化因式，其中一个是另一个的有理化因式．当然也可以利用得，故 像这样，通过分子、分母同乘以（或除以）一个式子把分母中的根号化去，叫做分母有理化． 解决问题： (1)化简： (2)计算： (3)若求的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《第2章实数分层特训-2026-2027学年数学八年级上册北师大版（新教材）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D D B B D B D A 1．D 【分析】根据最简二次根式的定义（被开方数不含分母，且被开方数中不含能开得尽方的因数或因式），对各选项逐一判断即可． 【详解】解：A、，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式； B、，被开方数含分母，不是最简二次根式； C、，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式； D、的被开方数不含分母，且不含能开得尽方的因数或因式，是最简二次根式． 故选：D． 2．D 【分析】本题考查同类二次根式的判定．需先明确同类二次根式的定义，再将各选项中的二次根式化为最简二次根式，对比被开方数是否与的被开方数相同即可求解． 【详解】解：∵同类二次根式是指化成最简二次根式后被开方数相同的二次根式， A、，最简形式的被开方数为，与被开方数不同，不是同类二次根式； B、，最简形式的被开方数为，与被开方数不同，不是同类二次根式； C、，最简形式的被开方数为，与被开方数不同，不是同类二次根式； D、，最简形式的被开方数为，与被开方数相同，是同类二次根式． 故选：D． 3．B 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，根据被开方数为非负数列出不等式求解即可，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：∵在实数范围内有意义， ∴， ∴， 故选：． 4．B 【分析】本题考查了无理数的判断，根据无理数是无限不循环小数，依据定义判断各选项即可，掌握无理数是无限不循环小数是解题的关键。 【详解】解：∵有理数包含整数、有限小数、无限循环小数（分数）， ∴、是整数，属于有理数，不符合题意； 、是无限不循环小数，属于无理数，符合题意； 、是有限小数，属于有理数，不符合题意； 、是分数，属于有理数，不符合题意； 故选：． 5．D 【分析】本题考查二次根式的基本运算，根据及二次根式的运算法则逐项判断即可． 【详解】解：，故A选项运算错误，不合题意； ，故B选项运算错误，不合题意； ，故C选项运算错误，不合题意； ，故D选项运算正确，符合题意； 故选：D． 6．B 【分析】根据无理数的取值范围判断即可． 【详解】解：∵， ∴， 在数轴上表示实数的点可能是点B． 7．D 【分析】本题考查的是非负数的性质，勾股定理的逆定理的应用，先根据非负数的性质求出三边的长度，再利用勾股定理的逆定理判断三角形的形状． 【详解】解：∵，，，且， ∴，，， ∴，，， ∵，即， ∴是直角三角形， 故选：D 8．A 【分析】本题主要考查了分母有理化，先对a进行分母有理化化简，再结合b的表达式分析a与b的数量关系，进而选择正确选项即可． 【详解】解：∵， 又∵， ∴，即． 故选：A． 9． 【分析】根据平方根的定义，寻找平方后等于9的数，即可得到结果． 【详解】解：∵ ， ∴ 9的平方根是． 10． 【详解】， ， ， ， 的小数部分． 11．/ 【分析】先根据勾股定理求出的长，再根据数轴上两点间的距离公式求出点表示的数即可． 【详解】解：如图， 正方形的边长为1， ， ， 点表示1， 点到点原点的距离为：， ∵点在数轴的负半轴上， 点表示． 12． 【分析】首先由数轴得到，，然后化简求解即可． 【详解】解：由数轴得，， ∴，， ∴ ． 13． 【分析】根据流程图和实数运算法则即可求解． 【详解】解：输入， 则， 然后， 4的倒数为， 然后得到， ∴输出的数为． 14． 【分析】根据数阵中数字的特点总结规律求解即可． 【详解】解：由数阵可得，整个数阵从每一行左起第一个数开始，从左到右，从上到下，是连续的正整数的算术平方根， 且第1行的第1个数是1的算术平方根，而， 第2行的第1个数是3的算术平方根，而， 第3行的第1个数是7的算术平方根，而， 第4行的第1个数是13的算术平方根，而， …… 第8行的第1个数是的算术平方根，即， 第6个数是的算术平方根，即． 15．(1) 4 (2) 0 【分析】本题考查了二次根式的混合运算： （1）先将二次根式化简，除法化为乘法，再根据二次根式的乘法运算法则，从左往右依次计算； （2）先用平方差公式和零指数幂的运算法则分别计算，再进行加法运算． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 16．(1) 或 (2) 【分析】本题考查利用平方根的定义和立方根的定义解方程，熟练掌握其定义是解题的关键． （1）先整理，再利用平方根的定义解方程即可； （2）利用立方根的定义解方程即可． 【详解】（1）解：， ∴， ； ∴ 或 （2）解：∵， ∴， ∴ 17．(1), , (2)直角三角形 【分析】本题考查了偶次方、绝对值、算术平方根的非负性，勾股定理逆定理，根据题意得出a、b、c的值是解本题的关键． （1）根据偶次方的非负性，绝对值的非负性，算术平方根的非负性得出a、b、c的值即可； （2）根据勾股定理逆定理即可得出答案． 【详解】（1）解：∵的算术平方根是， ∴， 解得：． （2）解：以为边长的三角形是直角三角形．理由如下： ∵， ∴， ∴以为边长的三角形是直角三角形． 18．（1）不符合法则；（2）梯子顶端能抵达高的灯带位置 【分析】此题考查了勾股定理的应用和算术平方根的应用，熟练掌握勾股定理是关键． （1）利用勾股定理求出梯子底端的离墙距离，再按“安全倾斜法则”求出梯子底端的离墙距离，比较后即可得到结论； （2）设梯子顶端离地高度为，按“安全倾斜法则”，则底端离墙距离为． 由勾股定理，得．比较后即可得到答案． 【详解】解：（1）由题意，得梯子底端的离墙距离． 按“安全倾斜法则”，梯子底端的离墙距离应为． 因为，所以，不符合法则． （2）设梯子顶端离地高度为，按“安全倾斜法则”，则底端离墙距离为． 由勾股定理，得． 解得， 则． 因为，所以． 所以，梯子顶端能抵达2.4m高的灯带位置． 19．(1)9.22 (2) 解：②的形式精确度更高 理由： ∵更接近 ∴②的形式精确度更高 （答案不唯一）比如： ∵85更接近81 ∴②的形式精确度更高 (3)或． 【分析】本题考查完全平方公式的应用及无理数近似值的估算． （1）先通过夹逼法确定的整数范围：，因此设（），和题干的对应；利用完全平方公式展开，忽略极小的二次项（因为，远小于一次项，对结果影响可忽略），把二次方程降为一次方程求解；最后计算近似值，结果精确到0.01． （2）这一问是误差分析，本质是比较两种近似方法的误差大小：两种方法的误差都来自“忽略的二次项”：形式①忽略，形式②忽略；误差的大小由和的大小决定：、越小，、就越小，忽略带来的误差就越小，精确度越高；计算两种形式的、，对比大小即可得出结论。 （3）先找相邻的两个完全平方数，确定的整数范围；结合的要求，选择“整数”或“整数”的形式；注意：更接近，因此优先设（也可设）． 【详解】（1）解：因为，所以 即 因为比较小，所以将忽略不计， 所以，即 得， 故 （2）略 （3）解：因为，，且， 所以， 又，因此可设或（二者均可以） 【点睛】这道题完整呈现了古代开平方近似算法的核心逻辑： 夹逼定界：先确定无理数的整数范围，把开平方转化为“整数±小量”的形式； 平方降次：利用完全平方公式展开，忽略极小的二次项，把二次方程转化为一次方程求解； 误差分析：通过比较忽略的小量大小，判断近似值的精确度； 方法迁移：将方法推广到任意无理数的近似计算． 易错点： （1）中展开完全平方公式时符号错误，或忽略的合理性； （2）中混淆误差来源，错误认为、越大精确度越高； （3）中设式错误，未满足的要求，或选错整数基准． 20．(1) (2) (3) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算． （1）给分子分母同乘分母的有理化因式，结合平方差公式进行分母有理化化简； （2）对每个分式分别分母有理化后，利用中间项抵消的规律简便计算； （3）先将分母有理化，再利用完全平方公式变形所求式子后代入计算． 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： ∴ 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $