精品解析：安徽省临泉田家炳实验中学（临泉县教师进修学校）2026-2027学年高三上学期9月阶段检测数学试题

高三数学 (120分钟 150分) 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数，则=（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】，则=. 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为， ， 所以. 3. 已知向量，则（ ） A. 1 B. C. D. 3 【答案】B 【解析】 【详解】，得，所以，故. 4. 已知“”是“函数在上单调递增”的充分不必要条件，则正实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据幂函数的性质求得，由题意知是的真子集，列不等式即可求解. 【详解】因为函数在上单调递增，所以，解得. 因为“”是“函数在上单调递增”的充分不必要条件，且， 所以是的真子集，所以， 即正实数的取值范围是. 5. 已知函数的零点为，过原点作曲线的切线，切点为，则（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意得切点，利用导数求切线方程，再由切线过原点解出,由零点定义得，即 ，代入所求式子计算即可. 【详解】由题意得，切点Q的坐标为， 则切线方程为，因为切线过原点，所以，解得. 依题意得，即，所以. 6. 已知 ，，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】因为，所以，因为，所以. 则，所以，结合，所以， 即，所以. 另解：由，得， 得， 所以. 7. 已知函数在上仅有一个极值点和一个零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】， 因为，所以， 由在上仅有一个极值点和一个零点，得，解得. 8. 窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术.图1是一张由卷曲纹和回纹构成的正六边形剪纸窗花.图2中正六边形的边长为2，令，，圆O的圆心为该正六边形的中心，圆O的半径为1，G是圆O内含边界的动点，，则的最大值是（ ） A. 2 B. 5 C. 4 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】先对向量表达式变形，判断出P，B，F三点共线，将目标式子转化为相关向量运算；利用向量投影的几何意义，动点G在半径为1的圆O上运动，分析投影取最值的位置，结合正六边形的几何特征，找到取得最大值的临界位置，进而求出目标表达式的最大值. 【详解】由题意知，，所以， 令， 则，. 因为，所以P，B，F三点共线. 当取到最大值时，,，H，Q分别为垂足，如图所示， 所以点A到线段BF的最短距离为AH， 即恰好取到最小值， 所以. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列命题为真命题的是（ ） A. ， B. ， C. 若，则向量与的夹角为锐角 D. 若，，则 【答案】BD 【解析】 【分析】根据二次根号的性质即可判断A；根据幂函数单调性可判断B；根据向量的数量积即可判断C；利用作差法即可判断D. 【详解】对于A项，当时，，所以A项是假命题，故A错误； 对于B项，，，所以B项是真命题，故B正确； 对于C项，当时，向量与的夹角可以为，所以C项是假命题，故C错误； 对于D项，，即，所以D项是真命题，故D正确. 10. 已知函数，则（ ） A. 将的图象向右平移个单位长度后可以得到一个奇函数的图象 B. 将的图象向左平移个单位长度后可以得到一个偶函数的图象 C. 为了得到的图象，可以先将图象上所有点的横坐标伸长到原来的4倍(纵坐标不变)，再将所得图象向左平移个单位长度，最后将所得图象向下平移个单位长度 D. 在上的值域为 【答案】BCD 【解析】 【详解】易知, 对于A项，将的图象向右平移个单位长度后得到的图象，该图象对应的函数不是奇函数，所以A项错误； 对于B项，将的图象向左平移个单位长度后得到的图象，该图象对应的函数是偶函数，所以B项正确； 对于C项，将函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的4倍(纵坐标不变)，所得图象对应的函数为， 再将其图象向左平移个单位长度，所得图象对应的函数为， 最后将其图象向下平移个单位长度，所得图象对应的函数为，所以C项正确； 对于D项，当时，，所以，所以， 所以在上的值域为，所以D项正确. 11. 已知函数，则（ ） A. 当时，函数在上不单调 B. 当时，若函数至少有个零点，则的取值范围是 C. 当时，若直线与曲线有个不同的交点，，，且，则 D. 当时，恒成立 【答案】ACD 【解析】 【分析】求导后由判别式大于零得导函数存在变号零点可判断A选项，通过极大值不小于零、极小值不大于零建立不等式组求参数范围可判断B选项，利用三次函数图象关于对称中心对称的性质，将线段相等转化为对称关系求出根之和即可判断C选项，由判别式非正得函数单调递增，再比较指数与对数的结构，通过构造辅助函数证明指数式不大于幂式，从而得到函数值的大小关系，从而判断D选项. 【详解】对于A项，，当时，恒成立， 即导函数存在变号零点，所以函数在上不单调，故A项正确； 对于B项，当时，， 令，解得或，所以函数在和上单调递增， 令，解得，所以函数在上单调递减， 所以时取得极大值，时取得极小值， 若至少有个零点，则极大值，且极小值，所以的取值范围是，故B项错误； 对于C项，由得A点一定是对称中心，根据A项的分析知在R上有一个极大值点和一个极小值点，分别记为， 令，则，易知，所以，故C项正确； 对于D项，当时，结合A项的分析知，所以，即函数在R上单调递增，令，则， 令，解得，则在上单调递增， 令，解得，则在上单调递减， 所以，即，所以，故D项正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知为纯虚数，则实数a的值为____. 【答案】 【解析】 【详解】， 因为为纯虚数，所以=0，且，解得. 13. 已知在平行四边形ABCD中，，，且，则·的值为____. 【答案】 【解析】 【分析】以、为基底表示出、，把、写成模的平方并展开相减，消去交叉项后求出，再对展开化为同一量即得结果. 【详解】以、为基底，由知， 故，. 由同理得，. 由得. 由得. 两式相减得，即. 所以. 14. 已知函数，若关于的不等式至少有两个整数解，则实数的取值范围为____. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，构造函数，利用导数得到的单调性，分类讨论实数的取值范围即可求解. 【详解】由，得，令，则， 不等式至少有两个整数解转化为至少有两个整数解 令，易知单调递增，且， 所以存在，使得， 当时，，即，所以单调递减； 当时，，即，所以单调递增； 所以，因为，当且仅当时，等号成立， 所以， 当时，单调递减，，当时，单调递增，， ①当时，此时有无穷多个整数解，符合题意； ②当，即时，因为函数在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，，此时不等式无整数解，不符合题意； ③当时，因为，显然是不等式的两个整数解，符合题意； 综上所述，实数的取值范围为. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，在平面四边形中，. （1）若，求； （2）若，，求. 【答案】（1）. （2） 【解析】 【分析】（1）在中，利用余弦定求出，结合勾股定理的逆定理得解.. （2）在中，利用余弦定理求出，　在中，利用余弦定理求出，通过联立方程组结合得到的值，从而得到. 【小问1详解】 ， 在中，由余弦定理得， 即，解得， 则，则，故. 【小问2详解】 ， 在中，由余弦定理得， 则， 则，　① 在中，由余弦定理得， 则，　② 联立①②可得. 因为，所以， 所以. 16. 函数的部分图象如图所示，，是图象与轴的交点，，分别为图象的最高点与最低点.若，函数的图象关于点中心对称. （1）求函数的最小正周期； （2）求函数的解析式，并写出其函数图象的对称轴方程； （3）求的值. 【答案】（1）4 （2），对称轴方程为， （3） 【解析】 【分析】(1)由图可知，，化简条件可以得到，即可得出周期； (2) ，由对称中心可以得到，利用整体代换思想可以得到，，即可求出对称轴； (3)由图象的对称性可得到为正三角形，从而可以得到，即可求值. 【小问1详解】 由题图知A=，由图象的对称性知为线段的中点， 因为，所以，所以， 即，函数的最小正周期为. 【小问2详解】 由(1)知，， 因为函数的图象关于点中心对称，所以，， 即，，因为，所以， 故，令， 函数的图象的对称轴方程为，. 【小问3详解】 由图象的对称性知，所以，所以， 所以，所以为正三角形. 在中，，，所以， 所以，所以. 17. 已知函数． （1）求的定义域； （2）证明曲线是中心对称图形，并求其对称中心； （3）当时，恒成立，求实数a的最大值. 【答案】（1） （2）由（1）知，若曲线是中心对称图形，则其对称中心的横坐标必为． 因为， 所以曲线是中心对称图形，其对称中心为． （3）2 【解析】 【分析】（1）根据解不等式即可得到定义域； （2）利用函数的对称性即可证明； （3）换元令，则原不等式等价于当时，，求导后分和两种情况讨论即可． 【小问1详解】 由，解得，故的定义域为． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 令，因为，所以， 则， 则． 当时，，故恒成立，故在上单调递减， 故，符合题意； 当时，则当时，， 故在上单调递增，故，不合题意，舍去． 综上所述，，即的最大值为2． 18. 某海域有港口A，在港口A的周边有B，C，D三个观察站，如图所示，已知观察站B与观察站D到港口A的距离相等，观察站B，C间的距离为200海里，. （1）求从港口A望观察站B和C所成的视角； （2）求观察站C，D间的距离的取值范围； （3）当观察站B，C离港口A的距离之和最大时，求观察站C，D间的距离. 【答案】（1） （2） （3）海里 【解析】 【分析】（1）先利用两角和正弦公式处理已知角的三角函数关系，再结合正弦定理建立三角形边角关系，根据三角形内角范围舍去不合理解，最终求出港口A看B、C的视角大小. （2）设出、边长，分别对、使用余弦定理，通过两式相加、作差进行代数变形，结合余弦函数的值域，推导出的取值范围. （3）先利用余弦定理结合基本不等式，求出取最大值的条件,取等，再把此时的边长代入，用余弦定理直接计算出的长度. 【小问1详解】 由两角和的正弦公式得， 由正弦定理得， 又， 所以. 因为，所以， 即， 因为， 所以， 所以， 即， 故从港口A望观察站B和C成. 【小问2详解】 由(1)知，在中，，设， 由余弦定理得， 因为，所以，① 同理，在中，可得，② 由①+②得， 由①-②得， 因为， 所以， 即， 因为， 所以， 所以， 所以， 即. 【小问3详解】 由（2），在中，由余弦定理可得， 即， 因为， 所以， 所以，当且仅当时，等号成立， 此时，在中，，， 可得， 即观察站C，D间的距离为海里. 19. 在平面直角坐标系中，定义函数的“和谐向量”为非零向量，非零向量的“和谐函数”为．记平面内所有非零向量的“和谐函数”构成的集合为． （1）已知，，若函数为集合中的元素，求其“和谐向量”的模的取值范围； （2）已知，，设，且的“和谐函数”为，其最大值为，求的值； （3）已知，，设（1）中的“和谐向量”的模取得最大值时的“和谐函数”为，设，试问在的图象上是否存在一点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）1 （3）存在，点 【解析】 【分析】（1）求出函数的“和谐向量”，利用向量的模长公式，结合三角函数的有界性即可求解； （2）利用平面向量的线性运算求得，进而得出“和谐函数”，结合辅助角公式和三角函数的有界性即可求解； （3）结合（1）求出，的解析式，设出点的坐标，再根据数量积的坐标公式，计算分析即可得解． 【小问1详解】 ， 即， 由题意可知函数的“和谐向量”为， 则． 因为，所以，可得， 所以的取值范围为． 【小问2详解】 因为，所以， 所以，其中． 因为的最大值为，所以， 化简得，解得或（舍去），所以． 【小问3详解】 由（1）知，当时，取得最大值，此时，所以． 设，则． 若存在，则，即， 化简得，所以，(*) 所以，即，而， 所以当且仅当时，等式(*)成立， 所以在的图象上存在点，使得． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三数学 (120分钟 150分) 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数，则=（ ） A. B. C. D. 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量，则（ ） A. 1 B. C. D. 3 4. 已知“”是“函数在上单调递增”的充分不必要条件，则正实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数的零点为，过原点作曲线的切线，切点为，则（ ） A. B. C. 1 D. 6. 已知 ，，且，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数在上仅有一个极值点和一个零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术.图1是一张由卷曲纹和回纹构成的正六边形剪纸窗花.图2中正六边形的边长为2，令，，圆O的圆心为该正六边形的中心，圆O的半径为1，G是圆O内含边界的动点，，则的最大值是（ ） A. 2 B. 5 C. 4 D. 3 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列命题为真命题的是（ ） A. ， B. ， C. 若，则向量与的夹角为锐角 D. 若，，则 10. 已知函数，则（ ） A. 将的图象向右平移个单位长度后可以得到一个奇函数的图象 B. 将的图象向左平移个单位长度后可以得到一个偶函数的图象 C. 为了得到的图象，可以先将图象上所有点的横坐标伸长到原来的4倍(纵坐标不变)，再将所得图象向左平移个单位长度，最后将所得图象向下平移个单位长度 D. 在上的值域为 11. 已知函数，则（ ） A. 当时，函数在上不单调 B. 当时，若函数至少有个零点，则的取值范围是 C. 当时，若直线与曲线有个不同的交点，，，且，则 D. 当时，恒成立 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知为纯虚数，则实数a的值为____. 13. 已知在平行四边形ABCD中，，，且，则·的值为____. 14. 已知函数，若关于的不等式至少有两个整数解，则实数的取值范围为____. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，在平面四边形中，. （1）若，求； （2）若，，求. 16. 函数的部分图象如图所示，，是图象与轴的交点，，分别为图象的最高点与最低点.若，函数的图象关于点中心对称. （1）求函数的最小正周期； （2）求函数的解析式，并写出其函数图象的对称轴方程； （3）求的值. 17. 已知函数． （1）求的定义域； （2）证明曲线是中心对称图形，并求其对称中心； （3）当时，恒成立，求实数a的最大值. 18. 某海域有港口A，在港口A的周边有B，C，D三个观察站，如图所示，已知观察站B与观察站D到港口A的距离相等，观察站B，C间的距离为200海里，. （1）求从港口A望观察站B和C所成的视角； （2）求观察站C，D间的距离的取值范围； （3）当观察站B，C离港口A的距离之和最大时，求观察站C，D间的距离. 19. 在平面直角坐标系中，定义函数的“和谐向量”为非零向量，非零向量的“和谐函数”为．记平面内所有非零向量的“和谐函数”构成的集合为． （1）已知，，若函数为集合中的元素，求其“和谐向量”的模的取值范围； （2）已知，，设，且的“和谐函数”为，其最大值为，求的值； （3）已知，，设（1）中的“和谐向量”的模取得最大值时的“和谐函数”为，设，试问在的图象上是否存在一点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $