精品解析：安徽省临泉田家炳实验中学（临泉县教师进修学校）2025-2026学年高三上学期10月月考数学试题

高三数学 （120分钟　150分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据交集的运算法则，结合正整数集的含义求解即可. 【详解】由，，得． 故选:B． 2. 复数满足，则的共轭复数=（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数的运算求出复数，再根据共轭复数的概念求. 【详解】由， 所以. 故选：A 3. 下列函数中，既是偶函数又是上的增函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据指数函数的单调性判断A；根据奇偶性的定义判断BD；根据奇偶性的定义及幂函数的单调性判断C. 【详解】对于A，当时，为减函数，故A错误； 对于B，函数的定义域为，定义域不关于原点对称， 则函数不是偶函数，故B错误； 对于C，函数的定义域为， 且， 所以函数是偶函数， 当时，为增函数，故C正确； 对于D，的定义域为， 且，所以函数不是偶函数，故D错误. 故选：C 4. 角α以Ox为始边，它的终边在第一象限与单位圆O相交于点P，且点P的横坐标为，则的值为（ ） A. - B. C. - D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角函数的定义得到，再利用诱导公式求解即可. 【详解】因为角以Ox为始边，它的终边与单位圆O相交于点P，且点P的横坐标为， 所以，又 故选：C 5. “”是“”成立的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】解出一元二次不等式，再利用必要不充分条件的判定即可得到答案. 【详解】由，得，而可以推出， 反之，由推不出， 所以“”是“”成立的必要不充分条件． 故选：B． 6. 已知向量，，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据投影向量的坐标公式直接计算即可. 【详解】因为，，所以， 则向量在向量上的投影向量为. 故选：D． 7. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】应用两角差的正弦结合辅助角公式得出，再应用诱导公式求解. 【详解】因为，所以， 所以，即， 所以； 故选：B． 8. 在中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，且，D为的中点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，由余弦定理得，，再利用，得到，继而得到，接着利用基本不等式求解即可． 【详解】设，因为D为的中点，，所以， 由三角形的三边关系，可知且，解得． 在中，由余弦定理得；　① 在中，由余弦定理得．　② 因为，所以， 所以，解得， 则， 当且仅当，即时，等号成立，此时，满足条件， 所以的最小值为． 故选：A． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知复数，则（ ） A. 不可能为实数 B. 不可能为纯虚数 C. 在复平面内表示的点不可能在第一象限 D. 恒成立 【答案】BCD 【解析】 【分析】A：考虑且时的情况；B：计算出的范围并判断；C：根据的范围作出判断；D：计算出的范围，则的范围可知. 【详解】选项A：当且时，为实数，故A错误； 选项B：因为，所以，所以的实部不为，所以不可能为纯虚数，故B正确； 选项C：因为，所以在复平面内表示的点在虚轴的左侧，故C正确； 选项D：因为，所以， 又因为，所以， 所以，故D正确； 故选：BCD. 10. 已知函数，则（ ） A. 在区间上单调递减 B. 在区间上单调递增 C. 图象在处的切线方程为 D. 的极小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】通过求导分析函数单调性、极值、切线方程，从而确定正确答案. 【详解】， 当时，，单调递减；当时，，单调递减，A选项正确. 当时，，单调递增，B选项错误. 当时，，， 所以图象在处的切线方程为， 整理得，C选项正确. 由单调性可知，当时，取得极小值，，D选项正确. 故选：ACD 11. 已知函数的部分图象如图所示,将函数的图象所有点的横坐标缩短到原来的,再将所得函数图象向右平移个单位长度,得到函数的图象,则（ ） A. B. 直线是函数图象的一条对称轴 C. 函数为奇函数 D. 若，则的最小值为 【答案】AD 【解析】 【分析】根据函数图象求得的解析式，根据三角函数图象变换求得的解析式，根据三角函数的对称性、奇偶性、周期性、最值等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】由图象得解得， 的周期为，所以， 又由对称轴可得，可得， 可知函数. 将函数的图象所有点的横坐标缩短到原来的，可得的图象， 再将所得函数图象向右平移个单位长度， 可得的图象， 所以． 对于A，当时，，所以是的一个对称中心， 所以有，故A正确； 对于B，将代入，得，故B错误； 对于C，不是奇函数，故C错误； 对于D，若，则的最小值为，故D正确． 故选：AD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量，若，则____． 【答案】0 【解析】 【分析】求出的坐标，再利用向量平行公式求解即可. 【详解】因为， 所以， 因为，所以，即． 故答案为：0. 13. 交通建设能够打破地理障碍，改善各地区之间的交通状况，促进地区经济一体化．通过修建高速公路、铁路、航空港等交通设施，可以加快物资流通速度，提高区域内各地的联系和合作．如图，某施工队将从A到B修建一条隧道，为了测量AB间的距离．为此测得一些数据：(A，B，C，D在同一水平面内)．则A，B间的距离为____km． 【答案】 【解析】 【分析】连接AD，可得，进而得，由余弦定理即可求得A，B间距离 【详解】连接AD，因为， 由勾股定理得， 则，则， 又，所以， 在中，又 由余弦定理得． 故答案： 14. 已知G是△ABC的重心，点M满足，则，则____． 【答案】 【解析】 【分析】设的中点为，利用向量的线性运算求得，结合已知条件以及平面向量的基本定理求得. 【详解】设的中点为，则三点共线， 则 所以，，所以． 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知关于的实系数一元二次方程有两个虚数根和． （1）若，求，的值； （2）若，，求和． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】（1）方法一：根据方程的根的概念，结合复数相等列式求值. 方法二：根据实系数一元二次方程虚数根的关系，结合韦达定理求值. （2）利用求根公式求解. 【小问1详解】 (方法一)因为是方程的根， 所以，整理得， 因为，所以 (方法二)依题意，，则， 由根与系数的关系，得. 【小问2详解】 ，， 所以方程化为，. 由求根公式得， 所以，. 16. 已知平面向量． （1）当λ为何值时，与垂直？ （2）与的夹角为锐角，求实数k的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由与的数量积为0可得； （2）由与的数量积大于0，再去除两向量共线的情形． 【详解】（1）因为平面向量． 则与， 因为与垂直， 所以，解得. （2）因为平面向量． 则与， 因为与的夹角为锐角， 所以，即， 解得且， 即 17. 已知函数（为正整数）在区间上恰有3个零点． （1）求函数的解析式； （2）求函数在区间上的零点． 【答案】（1） （2）0，，，， 【解析】 【分析】（1）根据余弦函数的图象及性质结合题意可得，进而求得，进而求解即可； （2）先得到，再令，根据余弦函数的性质求解即可. 【小问1详解】 因为为正整数，所以当时，， 因为在区间上恰有3个零点， 所以，得， 而为正整数，所以，则. 【小问2详解】 由， 由，得，即， 所以或， 则或， 因为，所以或或或或， 则函数在区间上的零点为0，，，，. 18. 在锐角中，内角所对的边分别为．在下面所给的三个条件中任选一个完成题目的解答： ①；②；③． （1）求的值； （2）若为延长线上一点，且，求的取值范围． 注：若多选，则按所选第一个计分． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）选①，由正弦定理及二倍角公式，可得，即可得答案；选②，由正弦定理及两角和差公式可得，即可得答案；选③，由正弦定理、两角和差公式及诱导公式可得，即可得答案； （2）由题意可得，在和中，由正弦定理及，从而可得，求出的范围，即可得答案. 【小问1详解】 若选①，因为； 由正弦定理得， 又， 所以， 因为， 所以； 若选②，因为， 由正弦定理得， 又， 所以， 又， 所以， 因为， 所以； 若选③，， 由正弦定理可得， 因为， 所以， 又因为， 所以， 所以， 即 因为，所以， 因为， 故， 所以. 【小问2详解】 在中，， 由正弦定理可得， 所以， 中，， 所以， 所以， 则， 因为为锐角三角形，， 所以， 即，解得， 所以， 从而， 所以， 所以的取值范围是. 19. 已知函数． （1）当时，求的单调区间； （2）设，当时，证明． 【答案】（1）单调递增区间为，单调递减区间为 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用导数研究函数的单调性即可； （2）构造新函数，利用导数分析新函数的单调性及最值，通过证明的最小值大于等于零，证明． 【小问1详解】 当时，，则. 当时，，所以在单调递增； 当时，，所以在单调递减． 所以的单调递增区间为，单调递减区间为. 【小问2详解】 设，则. 因为，所以当时，，所以)在单调递减； 当时，，所以)在单调递增． 所以当时，取得极小值，即最小值，最小值为. 设，则. 当时，，所以在上单调递增； 当时，，所以在上单调递减． 所以当时，取得极小值，即最小值，最小值为. 即的最小值为0，即. 综上所述，，即. 故得证. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三数学 （120分钟　150分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 复数满足，则的共轭复数=（ ） A. B. C. D. 3. 下列函数中，既是偶函数又是上的增函数的是（ ） A. B. C. D. 4. 角α以Ox为始边，它的终边在第一象限与单位圆O相交于点P，且点P的横坐标为，则的值为（ ） A - B. C. - D. 5. “”是“”成立的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 已知向量，，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 7. 已知，则（ ） A. B. C. D. 8. 在中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，且，D为的中点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知复数，则（ ） A. 不可能为实数 B. 不可能为纯虚数 C. 在复平面内表示的点不可能在第一象限 D. 恒成立 10 已知函数，则（ ） A. 区间上单调递减 B. 在区间上单调递增 C. 图象在处的切线方程为 D. 的极小值为 11. 已知函数的部分图象如图所示,将函数的图象所有点的横坐标缩短到原来的,再将所得函数图象向右平移个单位长度,得到函数的图象,则（ ） A. B. 直线是函数图象的一条对称轴 C. 函数为奇函数 D. 若，则的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量，若，则____． 13. 交通建设能够打破地理障碍，改善各地区之间交通状况，促进地区经济一体化．通过修建高速公路、铁路、航空港等交通设施，可以加快物资流通速度，提高区域内各地的联系和合作．如图，某施工队将从A到B修建一条隧道，为了测量AB间的距离．为此测得一些数据：(A，B，C，D在同一水平面内)．则A，B间的距离为____km． 14. 已知G是△ABC的重心，点M满足，则，则____． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知关于的实系数一元二次方程有两个虚数根和． （1）若，求，的值； （2）若，，求和． 16. 已知平面向量． （1）当λ为何值时，与垂直？ （2）与的夹角为锐角，求实数k的取值范围． 17. 已知函数（正整数）在区间上恰有3个零点． （1）求函数的解析式； （2）求函数在区间上的零点． 18. 在锐角中，内角所对的边分别为．在下面所给的三个条件中任选一个完成题目的解答： ①；②；③． （1）求的值； （2）若为延长线上一点，且，求的取值范围． 注：若多选，则按所选第一个计分． 19. 已知函数． （1）当时，求的单调区间； （2）设，当时，证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $