精品解析：山东聊城第二中学（艺术班）2025-2026学年高三上学期第四次月考数学试题

聊城二中2023级高三上学期第四次月考数学试题 （艺术班） 一、单选题（每小题5分，共40分） 1. 若复数满足，则（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用复数的运算化简复数，利用复数的模长公式可求得的值. 【详解】因为，所以， 故. 故选：C. 2. 已知集合，，则（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据一元二次不等式及绝对值不等式的解法，结合交集的运算求解即可. 【详解】因为，， 所以. 3. 在三角形中，“”是“”的（ ）条件 A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角函数的性质和充分必要条件的定义进行判断即可. 【详解】因为在三角形中，，， 所以，则，所以“”是“”的充分条件； 由于，所以或，又因为三角形中，， 所以，所以. 所以“”是“”的必要条件； 综上，“”是“”的充要条件. 故选：C. 4. 在中，是线段的中点，点E满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据是线段的中点，得到，再根据，利用求解. 【详解】因为是线段的中点， 所以. 因为，所以， 则. 故选：A 5. 若，则（   ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用诱导公式和二倍角的余弦公式求解. 【详解】因为， 所以， ， 故选：C 6. 关于的不等式的解集为，则下列选项正确的是（ ） A. B. 不等式的解集为 C. D. 不等式的解集为 【答案】D 【解析】 【分析】利用二次不等式与解集的关系可判断A选项；利用二次不等式的解法可判断B选项；利用韦达定理可得出、与的等量的关系，可判断C选项；利用一次不等式的解法可判断D选项. 【详解】对于A选项，由题意得关于的不等式的解集为，则，故A错误； 对于B选项，由题意可知，关于的方程的两根分别为、， 由韦达定理可得，可得， 所以，不等式即为， 即，解得或， 因此不等式的解集为或，故B错误； 对于C选项，由题意得，故C错误； 对于D选项，不等式即为，即，解得， 因此不等式的解集为，故D正确. 故选：D. 7. 已知向量 满足： ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量垂直的数量积表示求出，再由平面向量的夹角公式求解即可. 【详解】， 则， 即，解得， 所以， 又，所以. 故选：B 8. 已知函数（其中，，.）的部分图象如图所示，将函数图象上所有点向左平移个单位长度，得到函数的图象，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用周期公式结合函数图象求出和的值，即，再找一点坐标代入函数解析式即可求值，再根据平移变换求出即可. 【详解】由函数图象可知，即，解得， 函数的最大值为，则， 所以函数解析式为， 将点代入解析式得，则, 解得， 又因为，所以时，， 所以函数解析式为， 将函数图象上所有点向左平移个单位长度， 得到函数. 故选：A 二、多选题（每小题6分，共18分） 9. 在中，角，，所对的边分别为，，，已知，，，则（ ） A. B. C. 的周长为 D. 的面积为 【答案】BD 【解析】 【分析】由正弦定理得到，再结合三角形面积公式逐项判断即可. 【详解】因为，，，所以 由正弦定理可得：，即， 则，得，则， 所以， 所以的周长， 所以 的面积为, 由上可知AC错误，BD正确， 故选：BD 10. 已知向量，，则（ ） A. B. C. 向量与的夹角为 D. 向量在方向上的投影向量为 【答案】AC 【解析】 【分析】对于ABC，根据平面向量的基本知识即可求解；对于D，求出在方向上的投影向量表达式，再根据表达式求解即可． 【详解】对于A，， ，故A正确； 对于B，， ， 因为， 所以与不平行，故B错误； 对于C，设向量与的夹角为， ， ， ， 又，所以，故C正确； 对于D，设和的夹角为， 则向量在方向上的投影向量为， ，， 则，故D错误． 故选：AC． 11. 以下结论正确的是（ ） A. 在中，若，则 B. 的最小值是4 C. 已知向量，且与的夹角为锐角，则λ的取值范围是 D. 若，则 【答案】AD 【解析】 【分析】利用正弦定理边角互化推理判断A；利用对勾函数求出最小值判断B；利用向量同向求出判断C；利用诱导公式计算判断D. 【详解】对于A，在中，，A正确； 对于B，令，函数在上单调递减，则当时，取得最小值为5，B错误； 对于C，，当与共线且同向时，，解得， 此时与的夹角为零，不为锐角，而，C错误； 对于D，由，得，D正确. 故选：AD 三、填空题（每小题5分，共15分） 12. 已知向量，满足，，且，的夹角为，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据向量模的公式直接求解即可. 【详解】因为，，且，的夹角为60°， 所以， 所以． 故答案为： 13. 若，则=____. 【答案】 【解析】 【分析】根据齐次式即可由弦切互化求解. 【详解】， 故答案为： 14. 等差数列中，为其前项的和．若，，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】利用等差数列的性质也成等差数列即可求得. 【详解】由等差数列的性质可知，数列成等差数列， 且公差， ∴，即， 则，则. 故答案为：72. 四、解答题（共77分） 15. （1）已知，求的最小值． （2）已知正数满足，求的最小值． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）运用基本不等式进行求解即可； （2）用整体代换，结合基本不等式进行求解即可. 【详解】（1）因为，则， 所以， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以的最小值为. （2）因为正数满足， 则， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以的最小值为. 16. 已知向量与的夹角为，且，. （1）求； （2）当为何值时，？ （3）当为何值时，？ 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由数量积的定义求得，再根据，求得； （2）由，得，再根据数量积的运算性质求得的值； （3）由向量共线定理及平面向量基本定理可得. 【小问1详解】 由已知得， 因为. 所以 【小问2详解】 若，即， 所以，即，解得， 即当时，. 【小问3详解】 若，即存在唯一实数，使得， 根据平面向量基本定理可得，解得. 17. 已知的内角，，的对边分别是，，，. （1）求角的大小； （2）若，，求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）边角互换化简可得，则得到角大小. （2）直接代入余弦定理计算可得答案. 【小问1详解】 已知边角互换得 ， 因为， 则，即. 又因为是的内角，所以 可得. 【小问2详解】 余弦定理：，将，，代入得 ( 整理得 解得。 18. 已知函数的最小正周期为且， （1）求的解析式． （2）求函数的单调增区间. （3）求函数在区间上的值域. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据函数的最小正周期求得，再由，求得的值，从而得到的解析式． （2）根据复合函数的单调性，由，可求得函数的单调增区间. （3）先求得的取值范围，再根据的性质求得函数在区间上的值域. 【小问1详解】 因为函数的最小正周期为，且， 所以，解得. 所以. 又因为，即， 且，可得， 所以． 【小问2详解】 因为是增函数，且在上单调递增， 所以当，即时， 函数单调递增. 所以函数的单调增区间为. 【小问3详解】 因为，且，所以， 因为在上单调递增，在上单调递减， 且， 所以，即， 所以函数在区间上的值域为． 19. 已知数列是公差不为0的等差数列，其前项和为，且成等比数列． （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据等差数列的前项和公式、等比中项性质列方程组求解即可. （2）通过分组求和法，结合等差数列的前项和公式、等比数列的前项和公式求解即可. 【小问1详解】 设等差数列的首项为，公差为（）. 由题意知，即，解得， 所以， 故数列的通项公式为：. 【小问2详解】 由题意得. 所以 . 故数列的前项和为：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 聊城二中2023级高三上学期第四次月考数学试题 （艺术班） 一、单选题（每小题5分，共40分） 1. 若复数满足，则（　　） A. B. C. D. 2. 已知集合，，则（    ） A. B. C. D. 3. 在三角形中，“”是“”的（ ）条件 A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要 4. 在中，是线段的中点，点E满足，则（ ） A. B. C. D. 5. 若，则（   ） A. B. C. D. 6. 关于的不等式的解集为，则下列选项正确的是（ ） A. B. 不等式的解集为 C. D. 不等式的解集为 7. 已知向量 满足： ，则 （ ） A. B. C. D. 8. 已知函数（其中，，.）的部分图象如图所示，将函数图象上所有点向左平移个单位长度，得到函数的图象，则（ ） A. B. C. D. 二、多选题（每小题6分，共18分） 9. 在中，角，，所对的边分别为，，，已知，，，则（ ） A. B. C. 的周长为 D. 的面积为 10. 已知向量，，则（ ） A. B. C. 向量与的夹角为 D. 向量在方向上的投影向量为 11. 以下结论正确的是（ ） A. 在中，若，则 B. 的最小值是4 C. 已知向量，且与的夹角为锐角，则λ的取值范围是 D. 若，则 三、填空题（每小题5分，共15分） 12. 已知向量，满足，，且，的夹角为，则______． 13. 若，则=____. 14. 等差数列中，为其前项的和．若，，则_______． 四、解答题（共77分） 15. （1）已知，求的最小值． （2）已知正数满足，求的最小值． 16. 已知向量与的夹角为，且，. （1）求； （2）当为何值时，？ （3）当为何值时，？ 17. 已知的内角，，的对边分别是，，，. （1）求角的大小； （2）若，，求. 18. 已知函数的最小正周期为且， （1）求的解析式． （2）求函数的单调增区间. （3）求函数在区间上的值域. 19. 已知数列是公差不为0的等差数列，其前项和为，且成等比数列． （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前项和． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $