精品解析：山东济宁市嘉祥县第一中学2026-2027学年高三上学期9月月考数学试题

嘉祥一中2026-2027学年度高中数学9月月考卷 注意事项： 1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷选择题（共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数z满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求得，再求模即可. 【详解】复数z满足，则， 所以. 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】，解得，， 又， 所以. 3. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据对数函数的性质化简不等式，即可根据真子集的关系判断. 【详解】由可得，解得或， 由于是或的真子集，故“”是“”的充分不必要条件. 4. 如图，在等腰三角形中，，点是边上的动点，则的值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 【答案】A 【解析】 【分析】先利用垂直关系求出，再利用向量运算将所求式转化为，进而可得答案. 【详解】记的中点为，由题可知，， 所以. 故选：A. 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用诱导公式结合二倍角的余弦公式化简可得结果. 【详解】因为，所以， ， 故. 6. 若函数（且）的值域为，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】当时：当时，指数函数单调递增，故，值域为 ， 当时，一次函数的斜率， 函数单调递减，最大值为， 当时 ，故值域为 ，，， 所以两部分值域的并集为 ，无法覆盖大于的实数， 值域不为，不符合题意. 当时：当时，指数函数单调递减，故，值域为 ， 时，一次函数斜率，函数单调递减， 最大值为 ，当时 ，故值域为 ， 若函数值域为，需两段值域覆盖全体实数，即满足， 由于，两边同乘得， 解得或（舍去），结合，得. 综上所述，的取值范围是. 7. 设奇函数的定义域为，对任意的，且，都有不等式，且，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意确定函数的单调性，分情况将不等式变形利用函数的单调性求解. 【详解】因为对任意的且，都有不等式， 所以函数在单调递增， 因为是奇函数，所以对，，且， 即函数是偶函数. 因为函数在单调递增，所以函数在单调递减， 当可化为或 又为偶函数，，所以①或②， 由①得，解得; 由②得，可得，解得； 综上不等式的解集是. 8. 设函数在区间内的两个零点分别为，（），则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据零点的定义及余弦函数图象的对称性可得，再根据二倍角公式及同角三角函数平方和为1的关系，即可求出的值. 【详解】令，则，又，为的两个零点，则，， 所以，根据余弦函数图象的对称性可得，与关于对称， 又，则，所以，即， 所以， 又，，则， 所以. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 若是等差数列，则下列数列为等差数列的有（   ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据等差数列的定义逐项判断即可. 【详解】设等差数列的公差为. 对于A，， 所以是以为公差的等差数列，A正确； 对于B，， 因为不一定为常数，所以不一定是等差数列，B错误； 对于C，因为，所以为常数列，故为等差数列，C正确； 对于D，因为，所以为等差数列，D正确. 10. 若正实数，满足，则（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值为 C. 的最小值为1 D. 的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用基本不等式可判断A、B、D，利用二次函数的性质可判断C． 【详解】对于A，由于，当时等号成立， 因此的最大值为，故A正确； 对于B，由于， 当，时等号成立，因此的最小值为9，故B错误； 对于C，由于， 当时等号成立，因此的最小值为1，故C正确； 对于D，由于， 当时等号成立，因此的最小值为，故D正确． 11. 已知，则下列说法正确的是（ ） A. 在定义域内单调递增 B. 的对称中心为 C. 已知，为方程的两个根，且，则的取值范围为 D. 若，则的最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】A利用导函数判断单调性；B根据二阶导函数的零点求对称中心；C根据对称性和单调性以及韦达定理求出；D根据对称性和单调性以及基本不等式求解. 【详解】因为，所以， 则在定义域内单调递增，故A正确； ，得，故的对称中心为即，故B正确； 因为，为方程的两个不同根， 所以， 因为，所以，则， 故，得，故C错误； 因为， 所以， 则，即， 因为，所以， 等号成立时，故D正确. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 已知向量，，与垂直，则实数______． 【答案】 【解析】 【分析】利用向量的数乘的坐标表示及数量积的坐标运算即可解决. 【详解】，， 因为与垂直，所以，解得． 13. 已知函数，写出满足“曲线关于点对称”的的一个值___________． 【答案】（答案不唯一，形如皆可） 【解析】 【分析】由题意可得，可得或，计算即可得解. 【详解】若曲线关于点对称， 则， 则恒成立， 即或， 当时，，不符； 当时，； 故，则可为等，只需满足即可. 14. 若不等式对恒成立，则的最大值为___________． 【答案】## 【解析】 【分析】设，将问题转化为，利用导数求出，再转化为，设，利用导数求出即可. 【详解】设，因为对任意的恒成立，则， 求导得 令得，， 当时，，函数在区间单调递减； 当时，，函数在区间单调递增； 所以，所以， 则， 设，， 当时，，函数在区间单调递增； 当时，，函数在区间单调递减； 所以，即的最大值为，的最大值为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 数列满足，． （1）求证：数列是等差数列； （2）求． 【答案】（1）证明：因为，所以数列是等差数列 （2） 【解析】 【分析】（1）根据等差数列定义结合题意计算即可证明； （2）根据等差数列通项公式求法计算即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知，数列是以为首项，2为公差的等差数列，故，解得． 16. 已知函数（，）的部分图象如图所示． （1）求函数的解析式及的单调递增区间； （2）若，且，求的值． 【答案】（1），， （2） 【解析】 【分析】（1）根据图像求出即可，再令，，解出即可； （2）由得，进而得，再利用三角恒等变换即可求解. 【小问1详解】 由题图得，即，则，， 将点的坐标代入，得． ，，，， ，， ， 令，，解得，， 的单调递增区间为，； 【小问2详解】 由题意，得，则， ，， ， 则 ． 17. 已知定义在上的函数满足：①；②当时，． （1）求的值，并证明在上是增函数； （2）若， （ⅰ）求的值； （ⅱ）解关于的不等式． 【答案】（1）令， 任取， 则， ， ，则可得是上的单调增函数. （2）（ⅰ）；（ⅱ）或 【解析】 【分析】（1）令，代入即可解出的值．利用函数单调性的定义证明利用等式化简判断正负即可． （2）（ⅰ）依题意得，，由累加法，即可求解； （ⅱ）由题意转化条件为，利用单调性等价变形为，解出即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 （ⅰ）令，得， 由得，， 则 ． （ⅱ）由得， 所以， 又函数f (x)在R上是增函数，故，解得或， 故原不等式的解集为或． 18. 在锐角中，角所对的边分别为．向量，，且． （1）求角的大小； （2）若，为边的中点，求线段的长的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由向量平行得，用正弦定理边化角，化简得，结合锐角三角形，即可求出角； （2）由中线向量公式得，结合余弦定理，得，再用正弦定理表示，由锐角条件求其范围，即得范围. 【小问1详解】 因为，所以． 在中，由正弦定理得：， 展开得：，即． 因为，得．又，故． 【小问2详解】 因为点是边的中点，由向量中线公式：， 两边平方得：，即． 因为，，由余弦定理得：， 则，故． 所以． 因为，所以，即． 因为是锐角三角形，所以有，则． 又， 则 ． 由，得，故， 所以，， 故的长的取值范围为． 19. 已知函数，曲线在点处的切线方程为． （1）求，； （2）当时，，求的取值范围； （3）当时，，求的最小值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）结合导数几何意义建立方程求解； （2）法一：构造差函数，结合导函数符号的变化分类讨论函数的单调性，进而由恒成立求解参数范围即可；法二：先由必要性探路分析界点，当，确定界点；再结合界点分类讨论即可； （3）法一：构造差函数，结合端点效应分析界点，再分类讨论可得；法二：分离参数，结合洛必达法则求解. 【小问1详解】 ， 由切点在直线上，也在函数图象上， 可知且，可得； 由，则切线的斜率为， 解得； 故. 【小问2详解】 由（1）知，， 则 ， 故题意可转化为对任意恒成立， 法一：令，， 则， 当时，由且， 则，即， 则在上单调递增，又， 要使对任意恒成立， 则，解得； 当时，不成立； 当时，，，且， 则， 即，则在上单调递减， 又当时，，不满足题意； 综上所述，的取值范围为. 法二： 不等式可转化为， 即对任意恒成立， 当时，不成立； 当时，设，， 当时，由，可知， ， 这与对任意恒成立矛盾； 当时，， ， 由，故在上单调递增， 故在上存在唯一零点，设为， 且当时，，即， 此时不等式不成立； 当时，， 则在上单调递增， 由，故， 故不等式，即恒成立， 综上所述，的取值范围为； 【小问3详解】 法一：设， 则 ， 令， 则， 其中，，. 当时，， 则在上单调递增，故， 故在上单调递增，故， 即当时，恒成立，满足题意； 当时，设 ， 由，可知且， 则，可知在上单调递增， 故，即， 故在上单调递增，故， 故在上单调递增，故， 即当时，恒成立，满足题意； 当时，此时，又， 则存在正实数，使得，， 则在上单调递减，则， 即当，，不满足题意； 综上所述，，即的最小值为. 法二：由可得 ， 则，即， 则， 由，可知，则， 故原不等式可转化为， 由， 设，， 则， 设，，令， 则，， 由， 再令， ，故在上单调递增， 故，则，故在上单调递增， 所以，即， 故在上单调递减， 又由洛必达法则可知， 故要使当时，恒成立，则， 即的最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 嘉祥一中2026-2027学年度高中数学9月月考卷 注意事项： 1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷选择题（共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数z满足，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 如图，在等腰三角形中，，点是边上的动点，则的值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 6. 若函数（且）的值域为，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 设奇函数的定义域为，对任意的，且，都有不等式，且，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 8. 设函数在区间内的两个零点分别为，（），则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 若是等差数列，则下列数列为等差数列的有（   ） A. B. C. D. 10. 若正实数，满足，则（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值为 C. 的最小值为1 D. 的最小值为 11. 已知，则下列说法正确的是（ ） A. 在定义域内单调递增 B. 的对称中心为 C. 已知，为方程的两个根，且，则的取值范围为 D. 若，则的最小值为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 已知向量，，与垂直，则实数______． 13. 已知函数，写出满足“曲线关于点对称”的的一个值___________． 14. 若不等式对恒成立，则的最大值为___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 数列满足，． （1）求证：数列是等差数列； （2）求． 16. 已知函数（，）的部分图象如图所示． （1）求函数的解析式及的单调递增区间； （2）若，且，求的值． 17. 已知定义在上的函数满足：①；②当时，． （1）求的值，并证明在上是增函数； （2）若， （ⅰ）求的值； （ⅱ）解关于的不等式． 18. 在锐角中，角所对的边分别为．向量，，且． （1）求角的大小； （2）若，为边的中点，求线段的长的取值范围． 19. 已知函数，曲线在点处的切线方程为． （1）求，； （2）当时，，求的取值范围； （3）当时，，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $