精品解析：河北省邯郸市大名县第一中学2026-2027学年高二上学期第一次月考数学试题

高二第一次月考 数学 考试时间：120分钟 共150分 出题人：郭冰 审题人：王晓娜 一、单选题（每题5分，共40分） 1. 已知点，，则线段的中点关于平面对称的点的坐标为（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】因为点，，所以线段的中点， 点关于平面对称的点的坐标为. 2. 已知点，，且线段是圆M的直径，则圆M的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】因为，，且线段是圆M的直径， 所以圆心为，半径，则圆M的方程为. 3. 已知平面直角坐标系中的三个点，过点与线段有公共点的直线为，则直线的斜率可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】画出图形，利用直线斜率的计算公式，结合直线与线段的位置关系分析求解即可. 【详解】如图所示， 要使过点的直线与线段有公共点，则直线的斜率满足：或， 又， 所以的取值范围为：， 由，所以直线的斜率可以是. 4. 如图所示，已知正四棱锥，，若，，，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由，得， 所以 5. 下列说法正确的是（ ） A. 若直线与直线互相垂直，则 B. 已知，，点，到直线的距离分别为和，则满足条件的直线的条数是2 C. 过，两点的所有直线的方程为 D. 经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为 【答案】B 【解析】 【分析】对于A，利用直线与直线垂直的条件判断；对于B，利用点到直线的距离、直线与圆的位置关系判断；对于C，利用两点式方程判断；对于D，利用直线的截距式方程判断 【详解】解：对于A，若直线与直线互相垂直，则，解得或，所以A错误； 对于B，因为，，所以，分别以点，为圆心，2，4为半径作圆，因为，所以两圆相交，所以两圆的公切线有2条，所以满足条件的直线的条数是2，所以B正确； 对于C，当且时，过，两点的直线方程为，所以C错误； 对于D，当截距为零时，设直线方程为，则，所以直线为，当截距不为零时，设直线方程为，则，得，所以直线方程为，综上，经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为或，所以D错误 故选：B 6. “不以规矩，不能成方圆”出自《孟子·离娄章句上》，“规”指圆规，“矩”是指相互垂直的长短两条直尺构成的方尺，是古人用来测量、画图的工具．如图，现有一椭圆经某同学以“矩”量之得，，其中为椭圆的左焦点，PQ经过坐标原点O，则该椭圆的短轴长为（ ） A. 2cm B. 4cm C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】根据椭圆的对称性可知，故，得， 又，所以，得， 由得，即，所以椭圆的短轴长为． 7. 已知圆与相交于、两点，则公共弦的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】两圆方程相减，求出公共弦所在的直线方程，再利用点到直线的距离公式求出到直线AB的距离，根据几何法求弦长即可. 【详解】由两圆方程相减即得， 此为公共弦AB所在的直线方程. 圆的圆心，半径. 到直线AB的距离为， 故公共弦长. 8. 椭圆上一点与椭圆的两个焦点，的连线互相垂直，则的面积为（ ） A. 24 B. 48 C. 12 D. 96 【答案】A 【解析】 【分析】结合椭圆的定义与直角三角形的勾股定理，求出两条焦半径的乘积，进而计算焦点三角形的面积. 【详解】对于椭圆，得，， 因此，，故, 设，,根据椭圆的定义，得，所以, 由，为直角三角形，根据勾股定理得, 即 ，解得, 因此的面积. 二、多选题（每题6分，共18分） 9. 已知直线：，圆：，则下列说法正确的是（ ） A. 直线必过点 B. 直线与圆必相交 C. 圆：与圆有3条公切线 D. 当时，直线被圆截得的弦长为 【答案】ABC 【解析】 【分析】由直线方程确定过定点，判断定点与圆位置关系判断A、B；根据两圆圆心距离与半径间的关系判断C；应用点线距离及弦长的几何求法求弦长. 【详解】A：由：，则必过定点，正确； B：将定点代入圆，有， 故点在圆内，即直线与圆必相交，正确； C：由题设且半径为，而且半径为， 所以，即两圆外切，故两圆有3条公切线，正确； D：当时，，则到直线的距离， 故直线被圆截得的弦长为，错误. 10. 下列命题正确的有（ ） A. 若向量，满足，，则向量，的夹角是钝角 B. 若向量组是空间的一个基底，则向量，，中不能有向量为零向量 C. 若直线的方向向量为，平面的法向量为，则与平面所成角的余弦值为 D. 已知向量，，则向量在向量上的投影向量是 【答案】BD 【解析】 【分析】利用向量数量积的定义举反例排除A项；根据空间的基底定义即可判断B项；利用空间向量的夹角公式计算判断C项；根据投影向量的定义计算判断D项. 【详解】对于A，若，反向，满足，但向量，的夹角不是钝角，故A错误； 对于B，假设，，中有向量为零向量，则3个向量共面，则不能作为空间的基底，故B正确； 对于C，设与所成角为，则，即与所成角的正弦值为，故C错误； 对于D，向量在向量上的投影向量为，故D正确. 故选：BD. 11. 已知椭圆：的两个焦点分别为，，点为上的动点，以下正确的是（ ） A. 椭圆离心率为 B. 的周长为6 C. 的最小值为 D. 面积的最大值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】由椭圆方程求出，即得离心率，判断A；根据椭圆的定义即可求出的周长，判断B；由椭圆上一点到焦点的距离最小值为，判断C；结合图形可知，当的边上的高最大时其面积最大，计算即可判断D. 【详解】由题可知，，则，则离心率，故A正确； 由椭圆的定义可知，， 所以的周长为，故B正确； 由图知，椭圆上一点到焦点的距离最小值为，即，故C错误； 由，则当点在上顶点或下顶点时， 即取得最大值时，面积的最大值为，故D正确. 三、填空题（每题5分，共15分） 12. 已知椭圆的中心为坐标原点，一个焦点为，长轴长是短轴长的2倍，则这个椭圆的标准方程为________． 【答案】 【解析】 【详解】由题知，椭圆的焦点在轴上，且， 又长轴长是短轴长的2倍，故，即， 则有，解得，， 则椭圆的标准方程为． 13. 若圆关于直线对称，则_________． 【答案】##0.25 【解析】 【分析】求出圆的圆心坐标，代入直线方程求出并验证即得. 【详解】圆的圆心为， 依题意，点在直线上，即，解得， 此时圆，即，符合题意， 所以. 故答案为： 14. 如图所示，二面角为，，是棱上的两点，，分别在半平面，内，且，，，，，则的长______. 【答案】 【解析】 【分析】利用空间向量加法法则将表示为，通过两边平方结合向量数量积的定义及运算律求解. 【详解】因为，，所以，， 又因为二面角为，，，且，， 所以向量与的夹角为，则向量与的夹角为. 由向量加法法则可得， 所以， 即. 四、解答题（共77分） 15. 已知空间中三点． （1）求； （2）求向量在向量上的投影向量的坐标； （3）若点在平面内，求的值． 【答案】（1）3 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用向量的模的公式计算即得； （2）利用投影向量的计算公式结合向量数量积的坐标运算即得； （3）利用共面向量基本定理和向量坐标运算，结合题意列出方程组，求解即得. 【小问1详解】 由可得， 故； 【小问2详解】 易得，又， 且， 则向量在向量上的投影向量为； 【小问3详解】 因为点在平面上，故存在，使得， 即， 又因，对照可得， 解得．故． 16. 已知圆的圆心在直线上，且圆过点，. （1）求圆的一般方程； （2）若圆与圆关于直线对称，求圆的标准方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设圆的一般方程，结合已知列方程求解的值，即可求得圆的一般方程； （2）由于圆与圆关于直线对称，根据点关于直线对称坐标特点求得的坐标，则得圆心，由对称可知半径不变，故可得圆的标准方程. 【小问1详解】 设圆C的方程为，其圆心为， 已知圆的圆心在直线上，且圆过点，， 则，解得，即圆C的方程为； 【小问2详解】 由（1）得圆C的圆心，半径， 设圆的圆心坐标为，∵圆与圆C关于直线对称， 则有，解得，即. ∴圆的标准方程为. 17. 已知椭圆的左、右焦点分别为，离心率为，点椭圆上． （1）求椭圆的方程； （2）设过点的直线与椭圆相交于两点，若的中点恰好为点，求直线的方程． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）结合题意求出椭圆的基本量，最后得到椭圆方程即可. （2）设直线的斜率为，，可得，再将两式相减，利用中点坐标公式和斜率计算公式建立方程，求解出斜率，得出直线方程即可． 【小问1详解】 由题得，又， 解得，故椭圆方程为. 【小问2详解】 当直线斜率不存在时，由对称性可知，中点一定在轴上，与题意不符， 如图，设直线的斜率为，， 则，两式相减得， 因为是中点，所以， 代入上式得，解得，故直线方程为. 18. 已知圆． （1）若直线经过点且与圆相切，求直线的方程； （2）若圆与圆有且只有一条公切线，求实数的值． 【答案】（1）或 （2）或 【解析】 【分析】（1）根据直线与圆相切时的性质，对斜率的存在进行分类讨论，根据点到直线距离公式，求出参数值，求出方程； （2）根据圆的内切和外切时的性质，判定半径之间的关系，进而列出方程，求出参数值. 【小问1详解】 若直线斜率不存在，此时方程为，满足与圆相切； 若直线斜率存在，则直线的方程可表示为：，即， 由直线与圆相切，设圆心到直线的距离为，则有，解得， 此时的方程为：， 综上可知方程为：或． 【小问2详解】 因为圆，可得圆心，半径． 又因为圆，可得圆心，半径． 所以圆心距，且， 因为圆与圆有且只有一条公切线， 所以圆与圆内切， 所以，得，解得或． 故实数的值为或． 19. 如图，在三棱柱中，平面，为的中点. （1）求证：平面； （2）若，，，求： （ⅰ）直线与平面所成角的正弦值； （ⅱ）点到平面的距离. 【答案】（1）证明：在三棱柱中，连接，设与相交于点，连接， 由四边形是平行四边形，得点为的中点， 又为的中点，则，而平面，平面， 所以平面. （2）（ⅰ）；（ⅱ）. 【解析】 【分析】（1）连接，利用线面平行的判定推理得证. （2）（ⅰ）以点为原点建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用线面角的向量法求解；（ⅱ）利用点到平面的距离公式求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 （ⅰ）由，为的中点，得，由平面， 平面，得，取的中点，连接， 则，，直线两两垂直， 以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， ，则， ，设平面的法向量为， 则，取，得， 设直线与平面所成角为，则， 所以直线与平面所成角的正弦值为. （ⅱ）由（ⅰ）知， 所以点到平面的距离. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二第一次月考 数学 考试时间：120分钟 共150分 出题人：郭冰 审题人：王晓娜 一、单选题（每题5分，共40分） 1. 已知点，，则线段的中点关于平面对称的点的坐标为（ ）． A. B. C. D. 2. 已知点，，且线段是圆M的直径，则圆M的方程为（ ） A. B. C. D. 3. 已知平面直角坐标系中的三个点，过点与线段有公共点的直线为，则直线的斜率可以是（ ） A. B. C. D. 4. 如图所示，已知正四棱锥，，若，，，则等于（ ） A. B. C. D. 5. 下列说法正确的是（ ） A. 若直线与直线互相垂直，则 B. 已知，，点，到直线的距离分别为和，则满足条件的直线的条数是2 C. 过，两点的所有直线的方程为 D. 经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为 6. “不以规矩，不能成方圆”出自《孟子·离娄章句上》，“规”指圆规，“矩”是指相互垂直的长短两条直尺构成的方尺，是古人用来测量、画图的工具．如图，现有一椭圆经某同学以“矩”量之得，，其中为椭圆的左焦点，PQ经过坐标原点O，则该椭圆的短轴长为（ ） A. 2cm B. 4cm C. D. 7. 已知圆与相交于、两点，则公共弦的长为（ ） A. B. C. D. 8. 椭圆上一点与椭圆的两个焦点，的连线互相垂直，则的面积为（ ） A. 24 B. 48 C. 12 D. 96 二、多选题（每题6分，共18分） 9. 已知直线：，圆：，则下列说法正确的是（ ） A. 直线必过点 B. 直线与圆必相交 C. 圆：与圆有3条公切线 D. 当时，直线被圆截得的弦长为 10. 下列命题正确的有（ ） A. 若向量，满足，，则向量，的夹角是钝角 B. 若向量组是空间的一个基底，则向量，，中不能有向量为零向量 C. 若直线的方向向量为，平面的法向量为，则与平面所成角的余弦值为 D. 已知向量，，则向量在向量上的投影向量是 11. 已知椭圆：的两个焦点分别为，，点为上的动点，以下正确的是（ ） A. 椭圆离心率为 B. 的周长为6 C. 的最小值为 D. 面积的最大值为 三、填空题（每题5分，共15分） 12. 已知椭圆的中心为坐标原点，一个焦点为，长轴长是短轴长的2倍，则这个椭圆的标准方程为________． 13. 若圆关于直线对称，则_________． 14. 如图所示，二面角为，，是棱上的两点，，分别在半平面，内，且，，，，，则的长______. 四、解答题（共77分） 15. 已知空间中三点． （1）求； （2）求向量在向量上的投影向量的坐标； （3）若点在平面内，求的值． 16. 已知圆的圆心在直线上，且圆过点，. （1）求圆的一般方程； （2）若圆与圆关于直线对称，求圆的标准方程. 17. 已知椭圆的左、右焦点分别为，离心率为，点椭圆上． （1）求椭圆的方程； （2）设过点的直线与椭圆相交于两点，若的中点恰好为点，求直线的方程． 18. 已知圆． （1）若直线经过点且与圆相切，求直线的方程； （2）若圆与圆有且只有一条公切线，求实数的值． 19. 如图，在三棱柱中，平面，为的中点. （1）求证：平面； （2）若，，，求： （ⅰ）直线与平面所成角的正弦值； （ⅱ）点到平面的距离. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $