精品解析：河北省唐山市迁安市2026-2027学年高二上学期第1次诊断性月考数学试题

高二年级第1次诊断性月考 数学试题 一、单选题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分） 1. 若向量是直线的一个方向向量，则的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 设圆M的方程为，直线L的方程为，点P的坐标为，那么（ ） A. 点P在直线L上，但不在圆M上 B. 点P在圆M上，但不在直线L上 C. 点P既在圆M上，又在直线L上 D. 点P既不在直线L上，也不在圆M上 3. 已知向量，，若，则（ ） A. 1 B. -1 C. 2 D. -2 4. 若直线l沿轴向左平移个单位，再沿轴向上平移个单位后，回到原来位置，则直线l的斜率为 A. B. 一 C. D. 5. 与直线关于点对称的直线方程是（ ） A. B. C. D. 6. 若两平行直线与之间的距离是，则（ ） A. B. C. 12 D. 14 7. 在平面直角坐标系中，圆经过点，，且与轴相切，则圆心的横坐标是（ ） A. B. 2或 C. 或10 D. 8. 已知直线和曲线交于A，B两点，则的最小值为（ ） A. B. C. 4 D. 9. 如图，在平行六面体中，，，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 10. 已知直线过圆的圆心，则的最小值为（ ） A. B. 1 C. D. 2 11. 在直三棱柱中，，，，分别是，的中点，则直线与直线所成角的余弦值（ ） A. B. C. D. 12. 过作圆的两条切线，切点分别为A、B，当为正三角形时，的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本大题共5小题，每小题6分，共30分．在每小题给出的选项中，至少有两项符合题目要求，若全部选对得6分，部分选对得部分分，选错或不选得0分） 13. 给出下列命题，其中是真命题的是（ ） A. 已知向量组是空间的一个基底，则也是空间的一个基底． B. 若3个空间向量满足且，则 C. 若空间向量满足，则是钝角． D. 若空间中任意一点O，有，则P，A，B，C四点共面． 14. 设直线与，则（ ） A. 当时， B. 当时， C. 当时，l、n间的距离为 D. 坐标原点到直线n的距离的最大值为 15. 已知圆O：，则下列说法正确的有（ ） A. 圆在点处的切线方程为 B. 直线与圆相切 C. 直线截圆所得的弦长为 D. 圆C：与圆外离 16. 已知圆，直线，则（ ） A. 直线恒过定点 B. 当时，直线与圆相切 C. 存在实数，使得直线与圆相交于两点，且 D. 若直线与圆交于两点，则面积的最大值为 17. 古希腊数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名.他发现：“平面内到两个定点，的距离之比为定值（）的点的轨迹是圆”.后来，人们将这个圆以他的名字命名为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.在平面直角坐标系中，，，点满足.设点的轨迹为圆，则下列结论正确的是（ ） A. 圆的方程为 B. 已知点，，圆上存在点，使得 C. 圆上恰有一个点到直线的距离为2 D. 在轴上存在异于，的两个定点，，使得 三、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分） 18. 已知点，直线，光线通过点，经直线反射，其反射光线通过点，则反射光线所在直线的方程为________． 19. 已知两圆的方程：，：，则它们的公切线的条数为________． 20. 已知点，，直线经过点，若，位于直线的两侧，则直线斜率的取值范围为________． 21. 过点作圆的切线，则的方程为_____ 22. 已知圆：，又点在圆上运动，点，则线段中点的轨迹方程为______. 23. 如图，在棱长为2的正方体中，已知点，分别为直线，上的动点， 给出下面四个结论： ①异面直线，所成的角为； ②点到平面的距离为定值； ③若为中点，则点到距离为； ④的最小值为 则其中所有正确结论的序号是________． 四、解答题 24. 已知圆C的圆心在直线x+y﹣2＝0上，且经过点A（4，0），B（2，2）． （1）求圆C的方程； （2）若直线l过点P（3，4）与圆交于M，N两点，且弦长，求直线l的方程． 25. 如图，在梯形中，，，，四边形为矩形，平面平面，平面，，，. （1）求证：平面； （2）求二面角的平面角的余弦值； （3）若点在线段，（与，都不重合）上运动，设平面与平面所成二面角的平面角为，试求的范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二年级第1次诊断性月考 数学试题 一、单选题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分） 1. 若向量是直线的一个方向向量，则的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据直线的方向向量计算直线的斜率，再结合倾斜角的取值范围求解倾斜角. 【详解】设直线的倾斜角为， 由向量是直线的一个方向向量，故直线斜率， 则，故. 2. 设圆M的方程为，直线L的方程为，点P的坐标为，那么（ ） A. 点P在直线L上，但不在圆M上 B. 点P在圆M上，但不在直线L上 C. 点P既在圆M上，又在直线L上 D. 点P既不在直线L上，也不在圆M上 【答案】C 【解析】 【分析】将点P的坐标分别代入圆的方程和直线方程验算即可. 【详解】由条件知：，代入圆 得： ， ∴点P在圆上； 再将点P的坐标代入直线 ，得： ，∴点P也在直线上； 故选：C. 3. 已知向量，，若，则（ ） A. 1 B. -1 C. 2 D. -2 【答案】C 【解析】 【分析】利用向量垂直的性质得到其数量积为0，从而得解. 【详解】由 可得：， 展开得： ①， 已知 ， 则，，， 代入①可得： ，解得：. 4. 若直线l沿轴向左平移个单位，再沿轴向上平移个单位后，回到原来位置，则直线l的斜率为 A. B. 一 C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】试题分析：根据题意有其倾斜角的正切值为，故选B． 考点：直线的平移和直线的斜率． 5. 与直线关于点对称的直线方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设对称的直线方程上的一点的坐标为,则其关于点对称的点的坐标为,代入已知直线即可求得结果. 【详解】解析： 设对称的直线方程上的一点的坐标为,则其关于点对称的点的坐标为，以代换原直线方程中的得，即. 故选:D. 【点睛】本题考查了直线关于点的对称直线问题,一般转化为点关于点的对称点问题解决,属于基础题. 6. 若两平行直线与之间的距离是，则（ ） A. B. C. 12 D. 14 【答案】C 【解析】 【分析】根据直线平行求出，再利用平行线距离公式即可求出，即可求解. 【详解】因为直线与平行， 所以，即， 因为直线与直线的距离为， 所以，即，解得或（舍去）， 故． 故选：C. 7. 在平面直角坐标系中，圆经过点，，且与轴相切，则圆心的横坐标是（ ） A. B. 2或 C. 或10 D. 【答案】C 【解析】 【分析】设出圆的方程，代入，得到方程，求出答案. 【详解】圆与轴相切，设圆方程为， 将，代入得， 化简得， 得，解得或10. 故选：C 8. 已知直线和曲线交于A，B两点，则的最小值为（ ） A. B. C. 4 D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出直线所过定点，确定曲线的形状，再利用圆的性质求出最小值. 【详解】直线过定点， 曲线，即表示以原点为圆心，2为半径的上半圆， 点在半圆内，当且仅当时，线段的长最短， 所以. 9. 如图，在平行六面体中，，，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】以向量为基底向量，表示出，由向量模的公式求解即可. 【详解】 ， ，， . 故选：A. 10. 已知直线过圆的圆心，则的最小值为（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】先求得圆心，根据直线过圆心，可得，代入所求，根据二次函数的性质，即可得答案. 【详解】由题意得圆心为（1,1），因为直线过圆心， 所以，即， 所以， 所以当时，的最小值为. 故选：A 11. 在直三棱柱中，，，，分别是，的中点，则直线与直线所成角的余弦值（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，设，利用异面直线所成角的向量法求解即可. 【详解】因为直三棱柱，所以底面， 又底面，所以，， 又因为，所以两两垂直， 以为轴建立如图所示坐标系， 设，则，，，， 所以，， 设直线与直线所成角为， 则， 所以直线与直线所成角的余弦值为. 故选：B 12. 过作圆的两条切线，切点分别为A、B，当为正三角形时，的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据圆的切线的性质，求得，得到点的轨迹方程为，令，转化为圆上的动点到定点的连线的斜率，结合直线与圆的位置关系，列出不等式，即可求解. 【详解】如图所示，根据圆的切线的性质，可得， 因为为正三角形，可得，所以， 即点的轨迹方程为， 令，其几何意义为圆上的动点和定点的连线的斜率， 由，可得， 则圆心到直线的距离为， 令，即，整理得，即， 解得，即的取值范围为. 二、多选题（本大题共5小题，每小题6分，共30分．在每小题给出的选项中，至少有两项符合题目要求，若全部选对得6分，部分选对得部分分，选错或不选得0分） 13. 给出下列命题，其中是真命题的是（ ） A. 已知向量组是空间的一个基底，则也是空间的一个基底． B. 若3个空间向量满足且，则 C. 若空间向量满足，则是钝角． D. 若空间中任意一点O，有，则P，A，B，C四点共面． 【答案】AD 【解析】 【分析】根据空间中基底的性质，分析可判断A的正误；根据空间中向量的位置关系，分析可判断B的正误；根据数量积公式，分析可判断C的正误；根据四点共面的性质，分析可判断D的正误. 【详解】选项A：假设共面，则存在实数，使得， 整理得， 因为是空间的一个基底，所以不共面， 则，不成立，故假设错误，即不共面， 所以也是空间的一个基底，故A正确； 选项B：因为为空间向量，且满足，， 所以与可能平行，也可能相交，无法确定，故B错误； 选项C：若夹角为，，满足，但不是钝角，故C错误； 选项D：因为，且， 所以P，A，B，C四点共面，故D正确. 14. 设直线与，则（ ） A. 当时， B. 当时， C. 当时，l、n间的距离为 D. 坐标原点到直线n的距离的最大值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用直线平行、垂直的判定判断A、B；由直线平行求参数a，再代入验证，进而应用平行线距离公式求距离，由点线距离公式和二次函数性质求原点到直线n的距离最值，即可判断C、D. 【详解】A：时，，，易知，正确； B：时，，，则，故不成立，错误； C：时，，则，可得或， 当时，，，两线重合，排除； 所以，由A知：它们的距离，正确； D：坐标原点到直线n的距离，故时，正确. 故选：ACD 15. 已知圆O：，则下列说法正确的有（ ） A. 圆在点处的切线方程为 B. 直线与圆相切 C. 直线截圆所得的弦长为 D. 圆C：与圆外离 【答案】AD 【解析】 【分析】对于A，利用切线过且和垂直可得切线方程；对于B，比较直线到圆心距离与圆半径大小可判断选项正误；对于C，算出直线到圆心距离，再由弦长公式可判断选项正误；比较两圆圆心距与两圆半径和大小关系可判断选项正误. 【详解】对于A，易得在圆O上，且在A点处切线与垂直.，则切线斜率为，切线方程为：，故A正确； 对于B，圆心到直线的距离为，该距离小于圆O半径1，故直线与圆O相交，故B错误； 对于C，直线到圆心距离为，则直线截圆O所得的弦长为：，故C错误； 对于D，两圆圆心距为，两圆半径和为，从而两圆外离，故D正确. 16. 已知圆，直线，则（ ） A. 直线恒过定点 B. 当时，直线与圆相切 C. 存在实数，使得直线与圆相交于两点，且 D. 若直线与圆交于两点，则面积的最大值为 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A选项，将直线方程变形；对于B选项代入m的值，联立圆的方程判断有几个解即可；对于C选项，运用点到直线的距离公式，判断圆心到直线的距离是否小于半径；对于D选项，运用半径与圆心到直线的距离关系求出三角形的面积公式，再根据m的取值，再根据三角形的面积公式求出最大值. 【详解】对于A选项，由得， 则当时，直线方程不含且，故过定点，A选项正确； 对于B选项，当，则直线方程为，联立圆的方程得， 解得，有两个解，故与圆相交，B选项错误； 对于C选项，圆心坐标为，圆心到直线的距离为， 因为，故，解得， 因此存在实数，使得直线与圆相交于两点，且，故C选项正确； 对于D选项，由C选项可得， 则，，则， 令，则，令，为开口向下的二次函数， 对称轴为，因此在上，单调递增， 所以，因此没有最大值，故D选项错误. 17. 古希腊数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名.他发现：“平面内到两个定点，的距离之比为定值（）的点的轨迹是圆”.后来，人们将这个圆以他的名字命名为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.在平面直角坐标系中，，，点满足.设点的轨迹为圆，则下列结论正确的是（ ） A. 圆的方程为 B. 已知点，，圆上存在点，使得 C. 圆上恰有一个点到直线的距离为2 D. 在轴上存在异于，的两个定点，，使得 【答案】ACD 【解析】 【分析】设，根据题意运用两点间距离公式列出方程，化简得轨迹C的方程，可判断选项A；满足的点的轨迹是以为直径的圆，根据圆与圆的位置关系判断出圆和圆外离，可判断选项B；由距离公式判断直线与圆的位置关系，从而判断C；设，并由距离公式结合点P的轨迹方程，利用待定系数法解方程，从而判断D. 【详解】如图： 对于选项A，因为在平面直角坐标系中，，，点满足. 设，则，化简可得，故选项A正确； 对于选项B，若，则在以为直径的圆上. 因为中点，直径， 所以圆的半径，则圆的方程为， 设圆的半径为，则，圆心距， 则圆和圆外离，即圆上不存在点，使得，故B错误； 对于选项C，圆心到直线的距离为， 则该直线与圆相离，因为，也就是圆上恰有一个点到直线距离等于（离直线最近那一点），故C正确； 对于选项D，假设存在这样的点，可设，可得， 两边平方并整理：， 由P的轨迹方程为，可得， 解得或（舍去），即存在，故D正确. 三、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分） 18. 已知点，直线，光线通过点，经直线反射，其反射光线通过点，则反射光线所在直线的方程为________． 【答案】 【解析】 【详解】设点关于直线对称点为 则点在反射光线的延长线上，所在直线与垂直， 反射光线所在直线方程为即 19. 已知两圆的方程：，：，则它们的公切线的条数为________． 【答案】 【解析】 【分析】先把两圆一般方程配方求出圆心、半径，计算圆心距，对比圆心距与两半径和、差的大小，判断两圆位置为相交，再利用位置关系对应公切线数量的结论，得到公切线有条. 【详解】圆的圆心坐标为，半径， 圆的圆心坐标为，半径， 圆心距， ，， 因为，所以圆和圆相交， 根据两圆位置关系与公切线条数的对应规则，相交的两圆共有条公切线． 20. 已知点，，直线经过点，若，位于直线的两侧，则直线斜率的取值范围为________． 【答案】 【解析】 【分析】当直线斜率存在时，写出直线的点斜式方程，利用两点在直线两侧时代入直线一般式左端的乘积小于0列不等式求解斜率范围；再单独检验斜率不存在的情况，求解得到斜率范围. 【详解】当直线斜率存在时，设直线的斜率为，由直线过点，可得直线的点斜式方程为，即， 根据二元一次不等式表示平面区域的性质，若两点在直线两侧，则两点代入直线一般式左端的取值符号相反，即乘积小于0， 因此有，化简得，即，解得， 当直线斜率不存在时，直线方程为，此时、均在直线左侧，属于同侧，不符合题意，舍去， 故直线斜率的取值范围为. 21. 过点作圆的切线，则的方程为_____ 【答案】或 【解析】 【分析】求出圆心及半径，再按直线是否垂直于轴分类求出切线方程. 【详解】圆的圆心，半径， 当切线的斜率不存在时，圆心到直线的距离为1，则的方程可以为， 当切线斜率存在时，设其方程为，即， 则，解得，的方程为， 所以所求方程为或. 故答案为：或 22. 已知圆：，又点在圆上运动，点，则线段中点的轨迹方程为______. 【答案】 【解析】 【分析】设中点坐标，利用中点公式将圆上动点的坐标用中点坐标表示出来，再代入圆的方程，化简即得轨迹方程． 【详解】设在圆上运动，则：①, 设的中点，由中点坐标公式：， 解得， 将代入①：得 化简得： 即： 因此线段中点的轨迹方程为：． 23. 如图，在棱长为2的正方体中，已知点，分别为直线，上的动点， 给出下面四个结论： ①异面直线，所成的角为； ②点到平面的距离为定值； ③若为中点，则点到距离为； ④的最小值为 则其中所有正确结论的序号是________． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】连接，，先确定即为异面直线，所成的角，求解可判断选项①；利用线面平行的判定定理证明平面，即可判断选项②；利用等面积法求解点到的距离，即可判断选项③；利用异面直线间的公垂线距离最短，建立合适的空间直角坐标系，利用异面直线间的距离公式求解，即可判断选项④． 【详解】解：①连接，，由正方体的几何性质可得，，所以异面直线，所成的角即为与所成的角即，因为为等边三角形，所以，故选项①正确； 因为，且平面，平面，所以平面，则直线上的点到平面的距离相等，所以点到平面的距离为定值，故选项②正确； 连接，，因为，，，所以，故为直角三角形，设点到距离为，由等面积法可得，，即，解得，所以若为中点，则点到距离为，故选项③错误； 以点为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，则，0，，，2，，，0，，，0，，由三垂线定理可得，，，故向量是异面直线与的法向量，又，所以直线，公垂线的长度为，因为异面直线间的公垂线距离最短，所以的最小值为，故选项④正确． 故答案为：①②④． 四、解答题 24. 已知圆C的圆心在直线x+y﹣2＝0上，且经过点A（4，0），B（2，2）． （1）求圆C的方程； （2）若直线l过点P（3，4）与圆交于M，N两点，且弦长，求直线l的方程． 【答案】（1） （2）x﹣3＝0或15x﹣8y﹣13＝0 【解析】 【分析】（1）求得圆心和半径，由此求得圆的方程. （2）根据直线的斜率存在和不存在进行分类讨论，结合弦长来求得直线的方程. 【小问1详解】 由题意可得：，AB中点坐标为M（3，1），则直线AB的垂直平分线方程为y﹣1＝x﹣3， 与直线x+y﹣2＝0联立可得两直线的交点坐标为（2，0），即所求圆的圆心坐标为（2，0），圆的半径r＝4﹣2＝2， 圆的方程为：． 【小问2详解】 设圆心到直线的距离为d，则，解得d＝1，很明显直线斜率不存在时，直线x﹣3＝0满足题意， 当直线斜率存在时，设直线方程为：y﹣4＝k（x﹣3），即kx﹣y﹣3k+4＝0， 从而有：，解得，则直线方程为，即15x﹣8y﹣13＝0， 综上可得，直线方程为x﹣3＝0或15x﹣8y﹣13＝0． 25. 如图，在梯形中，，，，四边形为矩形，平面平面，平面，，，. （1）求证：平面； （2）求二面角的平面角的余弦值； （3）若点在线段，（与，都不重合）上运动，设平面与平面所成二面角的平面角为，试求的范围． 【答案】（1）因为，，，易得，所以，即， 又因为平面，平面，所以， ，平面，平面，所以平面. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）通过勾股定理证明，再通过线线垂直证明线面垂直. （2）通过二面角的定义找出二面角所对应的夹角，并通过勾股定理求解线段长度，进而求解余弦值. （3）通过建立空间直角坐标系求解平面法向量，利用法向量表示出二面角余弦值并求解范围. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 取中点，连接如图所示， 因为，，，平面，所以平面， 又因为，所以，为二面角的平面角. ，得，， 因为平面，所以，，. 【小问3详解】 以为原点，建立空间直角坐标系如图所示， ，，，，， 设，，，， 设平面法向量，满足，解得. 因为平面，所以平面法向量， ， 所以时，，时，， 综上所述，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $