精品解析：河南驻马店市西平县第一初级中学2026-2027学年上学期八年级学情自测 数学试题

2026年秋期西平一中八年级月考数学试题 一．选择题（共10小题） 1. 下列长度的三条线段，能组成三角形的是（　　） A. 3，4，8 B. 5，6，10 C. 5，5，11 D. 5，6，11 2. 若等腰三角形的底边长为6cm，一腰上的中线把它的周长分成差为2cm的两部分，则腰长为（ ）. A. 4cm B. 8cm C. 4cm或8cm D. 以上都不对 3. 如图，在中，，．若是的高，与角平分线相交于点，则的度数为（ ） A. 130° B. 70° C. 110° D. 100° 4. 在中，，沿图中虚线剪去，则等于( ) A. B. C. D. 5. 如图，已知AD是△ABC的中线，E，F分别是AD和AD延长线上的点，且DE＝DF，连接BF，CE．下列说法正确的是（ ） ①BD＝CD；②∠BAD＝∠CAD；③△BDF≌△CDE；④BF∥CE；⑤CE＝AE A. ①② B. ③⑤ C. ①③④ D. ①④⑤ 6. 如图，在中，，，分别为所在线段的中点，的面积为，则（ ） A. B. C. D. 7. 如图，一副具有30°和45°角的直角三角板，按如图所示叠放在一起，则图中∠α的度数是（ ） A. 40° B. 45° C. 65° D. 75° 8. 如图，已知方格纸中是4个相同的正方形，则+=（　　） A. 60° B. 90° C. 100° D. 120° 9. 如图，已知，，则图中全等的三角形有（ ） A. 2对 B. 3对 C. 4对 D. 5对 10. 如图，是的角平分线，，设，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 与的关系不能确定 二．填空题（共5小题） 11. 如图，，，，则______． 12. 如图，∠ABD，∠ACD的角平分线交于点P，若∠A＝50°，∠D＝10°，则∠P的度数为_____． 13. 如图，公园里有一座假山，要测量假山两端A、B的距离，先在平地上取一个可以直接到达A、B的点C，分别延长、到D、E，使，，连接，这样就可以利用三角形全等，通过测量的长得到假山两端A、B的距离，则这两个三角形全等的依据是______． 14. 如图，在中，，，，则x＝______． 15. 如图，，，，点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动．它们运动的时间为，当点到达点时，点也停止运动，设点的运动速度为，当点、运动到某处时，有与全等，则的值为________． 三．解答题（共8小题） 16. 如图，数轴上三个点A、B、C对应的数为a、b、c，分别以a、b、c为边长作． （1）若，，求c的取值范围． （2）化简：． 17. 计算：如图，点B、F、C、E在一条直线上，FB=CE，AB∥ED，AC∥FD．求证：AC=DF． 18. 已知：如图，，，，求证： 19. 如图，在等腰三角形中，，一腰上的中线将这个等腰三角形的周长分成12和6两部分，求这个等腰三角形的腰长及底边长． 20. 如图，已知AB＝AD，AC＝AE，BC＝DE，延长BC分别交边AD、DE于点F、G． （1）∠B与∠D相等吗？为什么？ （2）若∠CAE＝49°，求∠BGD的度数． 21. 如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，且CE交BA的延长线于点E． （1）若∠B=30°，∠BAC=120°，求∠E的度数； （2）证明：∠BAC=∠B+2∠E． 22. 【问题情景】如图①，有一块直角三角板放置在上（点在内），三角板的两条直角边、恰好分别经过点和点． 【特例探究】 （1）若，则，，； 【类比探究】 （2）请猜想与的关系，并进行证明； 【类比延伸】 （3）如图②，改变直角三角板的放置方式，使点P在外，其两条直角边，分别经过点C和点B，（2）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请直接写出新的结论． 23. 如图，AB CD，垂足为 O，点 P、Q 分别在射线 OC、OA 上运动（点 P、Q 都不与点 O 重合），QE 是∠AQP 的平分线． （1）如图 1，在点 P、Q 的运动过程中，若直线 QE 交∠DPQ 的平分线于点H． ①当∠PQB＝60°时，∠PHE＝ °； ②随着点 P、Q 分别在 OC、OA 的运动，∠PHE 的大小是否是定值？如果是定值，请求出∠PHE 的度数；如果不是定值，请说明理由； （2）如图 2，若 QE 所在直线交∠QPC 的平分线于点 E 时,将△EFG 沿 FG 折叠，使点 E 落在四边形PFGQ 内点E′ 的位置，猜测∠PFE′与∠QGE′ 之间的数量关系，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年秋期西平一中八年级月考数学试题 一．选择题（共10小题） 1. 下列长度的三条线段，能组成三角形的是（　　） A. 3，4，8 B. 5，6，10 C. 5，5，11 D. 5，6，11 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角形的三边关系即可求解. 【详解】A选项，，两边之和小于第三边，故不能组成三角形 B选项，，，两边之各大于第三边，两边之差小于第三边，故能组成三角形 C选项，，两边之和小于第三边，故不能组成三角形 D选项，，两边之和不大于第三边，故不能组成三角形 故选B． 【点睛】此题主要考查三角形的三边关系，解题的关键是熟知两边之和大于第三边. 2. 若等腰三角形的底边长为6cm，一腰上的中线把它的周长分成差为2cm的两部分，则腰长为（ ）. A. 4cm B. 8cm C. 4cm或8cm D. 以上都不对 【答案】C 【解析】 【详解】解：如图，由题意可得：（AB+AD）﹣（BC+CD）=2cm或（BC+CD）﹣（AB+AD）=2cm， ∴AB﹣BC=2cm或BC﹣AB=2cm， 又由等腰三角形的底边长为6cm， ∴AB=8cm或4cm． ∴腰长为：4cm或8cm． 故选C． 3. 如图，在中，，．若是的高，与角平分线相交于点，则的度数为（ ） A. 130° B. 70° C. 110° D. 100° 【答案】A 【解析】 【分析】根据∠BOE＝∠BAO＋∠ABO，求出∠BAO，∠ABO即可，根据补角的定义求得． 【详解】解：∵∠BAC＝80°，AE平分∠BAC， ∴∠BAE＝∠BAC＝40°， ∵BF⊥AC， ∴∠BFA＝90°， ∴∠ABF＝10°， ∴∠BOE＝∠BAO＋∠ABO＝40°＋10°＝50°， ∴＝130°， 故选：A 【点睛】本题考查三角形内角和定理，三角形的角平分线，高的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识属于中考常考题型． 4. 在中，，沿图中虚线剪去，则等于( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据直角三角形两锐角互余得到，再根据四边形内角和为求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 5. 如图，已知AD是△ABC的中线，E，F分别是AD和AD延长线上的点，且DE＝DF，连接BF，CE．下列说法正确的是（ ） ①BD＝CD；②∠BAD＝∠CAD；③△BDF≌△CDE；④BF∥CE；⑤CE＝AE A. ①② B. ③⑤ C. ①③④ D. ①④⑤ 【答案】C 【解析】 【分析】①根据三角形的中线直接进行判断即可； ②一般三角形一条边上的中线不一定是这条边所对的角的平分线； ③根据“SAS”直接进行判断即可； ④根据三角形全等的性质直接判定∠F＝∠DEC，根据平行线的判定方法得出结果； ⑤根据全等三角形的性质可以判定CE＝BF，不能判定CE＝AE． 【详解】解：①∵AD是△ABC的中线， ∴BD＝CD，故①正确； ②∵AD为△ABC的中线， ∴BD＝CD，∠BAD和∠CAD不一定相等，故②错误； ③在△BDF和△CDE中 ∴△BDF≌△CDE（SAS），故③正确； ④∵△BDF≌△CDE， ∴∠F＝∠DEC， ∴，故④正确； ⑤∵△BDF≌△CDE， ∴CE＝BF，故⑤错误； 综上分析可知，①③④正确，故C正确． 故选：C． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形中线的定义，熟练掌握三角形全等的判定方法并准确识图，是解题的关键． 6. 如图，在中，，，分别为所在线段的中点，的面积为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角形的中线把三角形的面积相等的两部分，进行解答便可得结果． 【详解】解：连接、、，如图所示： ，，分别为所在线段的中点， ，，， ， 故选D． 【点睛】本题主要考查了三角形的中线性质，三角形的面积计算，关键是熟记三角形的中线把三角形的面积分成相等的两部分． 7. 如图，一副具有30°和45°角的直角三角板，按如图所示叠放在一起，则图中∠α的度数是（ ） A. 40° B. 45° C. 65° D. 75° 【答案】D 【解析】 【分析】根据有30°和45°角的直角三角板各个内角的情况，结合三角形外角性质即可得到答案． 【详解】解：如图所示： 由含45°角的直角三角板内角情况可知， 根据三角形外角性质知，即， ， ， 故选：D． 【点睛】本题考查利用30°和45°角的直角三角板求角度，涉及到三角形外角性质和角的互余等知识，熟练掌握三角板各个内角的度数及三角形外角性质是解决问题的关键． 8. 如图，已知方格纸中是4个相同的正方形，则+=（　　） A. 60° B. 90° C. 100° D. 120° 【答案】B 【解析】 【分析】首先证明△ABC≌△AED，根据全等三角形的性质可得∠1=∠AED，再根据余角的定义可得∠AED+∠2=90°，再根据等量代换可得∠1与∠2的和为90°． 【详解】解：∵在△BCF和△AED中， ∵， ∴△BCF≌△AED（SAS）， ∴∠1=∠AED， ∵∠AED+∠2=90°， ∴∠1+∠2=90°， 故选：B． 【点睛】此题主要考查了全等图形，关键是掌握全等三角形的判定和性质． 9. 如图，已知，，则图中全等的三角形有（ ） A. 2对 B. 3对 C. 4对 D. 5对 【答案】C 【解析】 【分析】根据ASA推出，求出，，根据全等三角形的判定推出，，即可． 【详解】解：在和中， ， （ASA）， ，， ，， ， 即， 在和中， ， （AAS）， ， 在和中， ， （SAS）， ， 在和中， ， （SAS）， 即全等三角形有4对， 故选：． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，全等三角形的对应角相等，对应边相等． 10. 如图，是的角平分线，，设，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 与的关系不能确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，三角形的三边关系，角平分线的定义， 先延长至E，使，再根据角平分线的定义可证明，可得，然后根据三角形的三边关系得出答案． 【详解】解：先延长至E，使， ∵平分， ∴． ∵， ∴， ∴， 在中，， 即， ∴， ∴． 故选：A． 二．填空题（共5小题） 11. 如图，，，，则______． 【答案】5 【解析】 【分析】根据全等三角形对应边相等可得，然后求出，从而求得的长． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 即， ∴． 故答案为：5． 【点睛】本题考查了全等三角形对应边相等的性质，熟记性质是解题的关键． 12. 如图，∠ABD，∠ACD的角平分线交于点P，若∠A＝50°，∠D＝10°，则∠P的度数为_____． 【答案】20°． 【解析】 【分析】延长PC交BD于E，设AC、PB交于F，在△ABF和△PCF中根据三角形的内角和定理可得∠P+∠PCF=∠A+∠ABF，再根据三角形的外角性质得到∠P+∠PBE=∠PCD－∠D，再根据PB、PC是角平分线即可推出2∠P=∠A－∠D，问题即得解决． 【详解】解：延长PC交BD于E，设AC、PB交于F，如图， ∵∠A+∠ABF+∠AFB=∠P+∠PCF+∠PFC=180°，∠AFB=∠PFC， ∴∠P+∠PCF=∠A+∠ABF， ∵∠P+∠PBE=∠PED，∠PED=∠PCD－∠D， ∴∠P+∠PBE=∠PCD－∠D， ∴2∠P+∠PCF+∠PBE=∠A－∠D+∠ABF+∠PCD， ∵PB、PC是角平分线， ∴∠PCF=∠PCD，∠ABF=∠PBE， ∴2∠P=∠A－∠D， ∵∠A=50°，∠D=10°， ∴∠P=20°． 故答案为：20°． 【点睛】本题主要考查了三角形的内角和定理、三角形的外角性质和角平分线的定义等知识，能熟练地运用这些性质进行计算是解此题的关键． 13. 如图，公园里有一座假山，要测量假山两端A、B的距离，先在平地上取一个可以直接到达A、B的点C，分别延长、到D、E，使，，连接，这样就可以利用三角形全等，通过测量的长得到假山两端A、B的距离，则这两个三角形全等的依据是______． 【答案】 【解析】 【分析】图形中隐含对顶角的条件，利用两边且夹角相等可得两个三角形全等． 【详解】解：根据题意可得： 在和中， ， ， ， 依据是． 故答案为：． 【点睛】本题考查了全等三角形的应用，解答本题的关键是设计三角形全等解决实际问题． 14. 如图，在中，，，，则x＝______． 【答案】130 【解析】 【分析】由可得，再由，即可求解； 【详解】解：∵，， ∴ ∵， ∴， ∴ ∴ 故答案为：130． 【点睛】本题主要考查三角形的内角和定理，掌握三角形的内角和定理并灵活应用是解本题的关键． 15. 如图，，，，点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动．它们运动的时间为，当点到达点时，点也停止运动，设点的运动速度为，当点、运动到某处时，有与全等，则的值为________． 【答案】2或 【解析】 【分析】根据点的运动速度为，，若使与全等，有两种情况：①，；②，，列出方程，然后求出方程的解即可． 【详解】解：∵点的运动速度为，点的运动速度为，它们运动的时间为， 又∵，， ∴，，， ∵， ∴当与全等时，有两种情况： ①，， 则：，， 解得：，； ②，， 则：，， 解得：，； ∴的值为2或． 故答案为：2或． 【点睛】本题考查全等三角形的判定的应用，路程、速度、时间之间的关系，方程等知识．能求出符合题意的所有情况是解题的关键． 三．解答题（共8小题） 16. 如图，数轴上三个点A、B、C对应的数为a、b、c，分别以a、b、c为边长作． （1）若，，求c的取值范围． （2）化简：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了三角形的三边关系和绝对值的化简，熟练掌握三角形三边关系是解题的关键． （1）根据三角形的三边关系即可判断； （2）根据三角形三边关系判断出，，再去绝对值进行化简合并即可． 【小问1详解】 解：根据三角形三边关系得，， 即． 【小问2详解】 解：∵，a、b、c为的三边， ∴，， ∴ ． 17. 计算：如图，点B、F、C、E在一条直线上，FB=CE，AB∥ED，AC∥FD．求证：AC=DF． 【答案】 ∵FB=CE ∴BC=EF ∵ AB∥ED ∴∠B=∠E ∵ AC∥EF ∴∠ACB=∠DFE ∴△ABC≌△DEF ∴AC=DF 【解析】 【分析】根据FB=CE得出BC=EF，根据平行得出∠B=∠E，∠ACB=∠DFE，从而得出三角形全等. 【详解】略 【点睛】三角形全等的判定及性质 18. 已知：如图，，，，求证： 【答案】 解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， ∵， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和定理，平行线的判定，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先根据三角形内角和定理得，又因为，得出，故，即可证明． 【详解】略 19. 如图，在等腰三角形中，，一腰上的中线将这个等腰三角形的周长分成12和6两部分，求这个等腰三角形的腰长及底边长． 【答案】腰长为8，底边长为2 【解析】 【分析】这道题主要考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系．解题关键是要注意三角形的三边关系，即三角形任意两边之和大于第三边．通过题目中的条件，分两种情况讨论，可以列出方程并解出腰长和底边长． 【详解】解：设，则． ①当，时，有， 所以，， 所以，； ②当，时，有， 所以，， 所以，． 因为， 所以此时不能构成三角形． 故这个等腰三角形的腰长为8，底边长为2． 20. 如图，已知AB＝AD，AC＝AE，BC＝DE，延长BC分别交边AD、DE于点F、G． （1）∠B与∠D相等吗？为什么？ （2）若∠CAE＝49°，求∠BGD的度数． 【答案】 （1）相等，理由如下： 在和中， ∴， ∴； （2）． 【解析】 【分析】（1）根据SSS证明，然后由全等三角形对应边相等即可证明； （2）由可得，进而可求出，然后根据三角形外角的性质即可求出∠BGD的度数． 【详解】解：（1）略 （2）∵， ∴， ∴， ∵，， ∴． 【点睛】此题考查了全等三角形的性质和判定，三角形外角的性质，解题的关键是熟练掌握根据题意证明． 21. 如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，且CE交BA的延长线于点E． （1）若∠B=30°，∠BAC=120°，求∠E的度数； （2）证明：∠BAC=∠B+2∠E． 【答案】（1）∠E=45°； （2） 证明：∵CE平分∠ACD， ∴∠ECD=∠ECA， ∵∠ECD=∠B+∠E， ∴∠ECA=∠B+∠E， ∴∠BAC=∠E+∠ECA=∠E+∠B+∠E=∠B+2∠E． 【解析】 【分析】（1）根据三角形外角的性质求出∠ACD，即可求出∠ECD，再根据三角形外角的性质求出∠E即可； （2）利用角平分线定义和三角形外角的性质求出∠ECA=∠B+∠E，再次利用三角形外角的性质即可得出结论． 【小问1详解】 解：∵∠B=30°，∠BAC=120°， ∴∠ACD=∠B+∠BAC=150°， ∵CE平分∠ACD， ∴∠ECD=∠ACD=75°， ∴∠E=∠ECD－∠B=45°； 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了三角形外角性质，角平分线定义的应用，注意：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和． 22. 【问题情景】如图①，有一块直角三角板放置在上（点在内），三角板的两条直角边、恰好分别经过点和点． 【特例探究】 （1）若，则，，； 【类比探究】 （2）请猜想与的关系，并进行证明； 【类比延伸】 （3）如图②，改变直角三角板的放置方式，使点P在外，其两条直角边，分别经过点C和点B，（2）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请直接写出新的结论． 【答案】（1），，； （2）与的关系为：， 理由如下： 由（1）得：， ∵， ∴， ∴ ． ∴． （3）不成立， 【解析】 【分析】本题考查三角形内角和，直角三角形两锐角互余．三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于．注意运用整体法计算，解决问题的关键是求出，的度数． （1）已知，根据三角形内角和定理易求的度数，已知，根据三角形内角和定理易求的度数，进而得到的度数； （2）由（1）中的度数，的度数，相减即可得到与的关系； （3）由于在中，，在中，，相减即可得到结论． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ． 故答案为：；；． （2）略 （3）不成立，存在， 理由如下： 在中，， 在中， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． ∴（2）中的结论不成立． 23. 如图，AB CD，垂足为 O，点 P、Q 分别在射线 OC、OA 上运动（点 P、Q 都不与点 O 重合），QE 是∠AQP 的平分线． （1）如图 1，在点 P、Q 的运动过程中，若直线 QE 交∠DPQ 的平分线于点H． ①当∠PQB＝60°时，∠PHE＝ °； ②随着点 P、Q 分别在 OC、OA 的运动，∠PHE 的大小是否是定值？如果是定值，请求出∠PHE 的度数；如果不是定值，请说明理由； （2）如图 2，若 QE 所在直线交∠QPC 的平分线于点 E 时,将△EFG 沿 FG 折叠，使点 E 落在四边形PFGQ 内点E′ 的位置，猜测∠PFE′与∠QGE′ 之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）①45°；②∠PHE 是一个定值，∠PHE =45° （2） ， 理由如下：如图所示，连接， ∵AB⊥CD， ∴∠POQ=90°， ∴∠PQO+∠QPO=90°， ∵∠CPQ+∠QPO=180°，∠PQA+∠PQO=180°， ∴180°-∠CPQ+180°-∠PQA=90°， ∴∠CPQ+∠PQA=270°， ∵QE，PE分别平分∠PQA，∠CPQ， ∴， ∴， ∴∠PEQ=180°-∠EPQ-∠EQP=45°， 由折叠的性质可知， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 【解析】 【分析】（1）①先根据垂直的定义求出∠POQ=90°，即可利用三角形内角和定理和邻补角的定义求出∠QPO=30°，∠AQP=120°，再由角平分线的定义分别求出，，最后根据三角形外角的性质求解即可；②同①方法求解即可； （2）如图所示，连接， 先求出∠CPQ+∠PQA=270°，再由角平分线的定义求出，则∠PEQ=45°，由折叠的性质可知，进而推出即可得到答案． 【小问1详解】 解：①∵AB⊥CD， ∴∠POQ=90°， ∴∠PQO+∠QPO=90°， ∵∠PQB=60°， ∴∠QPO=30°，∠AQP=120°， ∵EQ平分∠AQP，PH平分∠QPO， ∴，， ∴， 故答案为：45； ②∠PHE 是一个定值，∠PHE =45°，理由如下： ∵AB⊥CD， ∴∠POQ=90°， ∴∠PQO+∠QPO=90°， ∴∠QPO=90°-∠PQO，∠AQP=180°-∠PQO， ∵EQ平分∠AQP，PH平分∠QPO， ∴，， ∴； 【小问2详解】 略 【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，角平分线的定义，邻补角，熟知三角形内角和定理和角平分线的定义是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $