专题04 成比例的线段与相似三角形（期中真题汇编，上海专用）九年级数学上学期

专题04 成比例的线段与相似三角形 8大高频考点概览 考点01 比例线段计算（选择填空必考） 考点02平行线分线段成比例（选择、填空、简单证明） 考点03 相似三角形判定（简答题证明题，期中核心大题） 考点04 相似三角形性质计算（高频大题，求边长、周长、面积） 考点05 基础相似模型（A 字、反 A、8 字、母子相似） 考点06 网格中的相似三角形（选择填空） 考点07 几何证明 + 计算综合大题（期中压轴） 考点08 简单动点相似（期中压轴小问，难度中等） 地 城 考点01 比例线段计算（选择填空必考） 1．（25-26九年级上·上海徐汇·期中）已知线段是线段和线段的比例中项，若，，则为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·上海奉贤·期中）如果一幅地图的比例尺为，那么实际距离是千米的两地在地图上的图距是（  ） A．6厘米 B．厘米 C．厘米 D．厘米 3．（24-25九年级上·上海静安·期中）某两地的实际距离为千米，画在地图上的距离是厘米，则在地图上的距离与实际的距离之比是（    ）． A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·上海奉贤·期中）已知线段厘米，厘米，则它们的比例中项b为__________. 5．（25-26九年级上·上海崇明·期中）在比例尺为的地图上，相距的两地实际距离是_______． 6．（24-25九年级上·上海青浦·期中）已知地图比例尺为，地图上长度为10厘米，则实际距离为______千米． 7．（24-25九年级上·上海·期中）在比例尺为的地图上量得两个城市间的距离是，那么这两个城市的实际距离是______． 8．（24-25九年级上·上海浦东新·期中）、两地的实际距离米，画在地图上的距离为5厘米，则地图上的距离与实际距离的比是________． 9．（24-25九年级上·上海徐汇·期中）如果地图上、两处的图距是，表示这两地实际的距离是，那么实际距离是的两地在地图上的图距是______． 10．（24-25九年级上·上海闵行·期中）在中，若AD交BC于D，BE交AC于E，CF交BA于F，AD，BE，CF相交于一点，，，则______． 地 城 考点02 平行线分线段成比例（选择、填空、简单证明） 11．（25-26九年级上·上海黄浦·期中）已知点、分别在的边和的反向延长线上，．当时，，那么的值是（    ） A． B． C． D． 12．（25-26九年级上·上海宝山·期末）如图，，直线与这三条平行线分别交于点A、B、C和点D、E、F，则下列结论不正确的是（   ） A． B． C． D． 13．（25-26九年级上·上海奉贤·期中）如图，直线，直线，分别与，，相交于点，，和点，，．若，，则等于（   ） A． B． C． D． 14．（25-26九年级上·上海·期中）已知，线段，求作线段，使得，那么下列作法中正确的是（    ） A． B． C． D． 15．（25-26九年级上·上海青浦·期中）如图，在中，D为边上的中点，点E为边上一点，交于点G，当时，则_____． 16．（25-26九年级上·上海崇明·期末）如图，已知直线、、分别与直线交于点、、，与直线交于点、、，如果，，则的长是__________． 17．（25-26九年级上·上海·期中）如图，，，，，那么的长为_________． 18．（25-26九年级上·上海浦东新·期中）如图，已知直线、、分别交直线于点A、B、C，交直线于点D、E、F，且，，，，那么线段的长等于______． 19．（24-25九年级上·上海·期中）如图，中，点D在边上，，．求证：． 20．（24-25九年级上·上海浦东新·期中）如图，在梯形ABCD中，，求证：． 21．（25-26九年级上·上海虹口·期中）如图，直线、、分别交直线于点A、B、C，交直线于点D、E、F，且．已知． (1)求的长； (2)点O是直线与的交点，如果，求的长． 22．（25-26九年级上·上海虹口·期末）如图，、，、分别是和的中点，过的直线依次交、、、于点、、、，求证：． 23．（24-25九年级上·上海·期中）如图，花丛中有一盏路灯，为了测量路灯离地面的高度，小明在点处竖立标杆，小明站立在点处，从点处看到标杆顶、路灯顶在一直线上（点、、也在一直线上）．已知米，米，标杆米，人的眼睛离地面的距离米．求路灯离地面的高度．    地 城 考点03 相似三角形判定（简答题证明题，期中核心大题） 24．（24-25九年级上·上海嘉定·期中）如图，点D、E分别在线段和上，与相交于点O，，．求证：． 25．（25-26九年级上·上海普陀·期末）已知：如图，四边形中，点E在边上，交于点F，，． (1)求证：； (2)如果，求证：． 26．（25-26九年级上·上海奉贤·期末）如图，在中，点D、E分别在边上，相交于点，且，． (1)求证：； (2)连接．如果，求证：． 27．（25-26九年级上·上海·期中）如图，已知是中的角平分线，是上的一点，且，，． (1)求证：； (2)求的长． 28．（25-26九年级上·上海闵行·期中）如图，在梯形中，，点在上，且，连接并延长交 的延长线于点．过点作垂直于点，连接，分别交于点、． (1)求证：； (2)求证：． 29．（25-26九年级上·上海杨浦·期中）已知：如图，在中，点是边上的一点（不与点重合），，点是边上一点，． (1)求证：； (2)连接，如果平分，求证：． 30．（24-25九年级上·上海·期中）如图，中，E、F分别是AC、BC边上的点，交AF的延长线于，交BC于． (1)求证： (2)求证： 31．（24-25九年级上·上海浦东新·期中）已知：如图，在中，点、分别在边、上，，． (1)求证：； (2)延长、交于点，求证：． 32．（24-25九年级上·上海崇明·期中）已知：如图，在中，点D在边上，，与分别相交于点F、G，． (1)求证：； (2)求证：． 33．（24-25九年级上·上海·期中）如图，已知，等边三角形的边长为4，D在边上，且． (1)填空：的长为_____； (2)求证：； (3)求的面积． 地 城 考点04 相似三角形性质计算（高频大题，求边长、周长、面积） 34．（25-26九年级上·上海宝山·期中）如图：在平行四边形中，E是边上一点，与相交于点O，与的延长线相交于点G，已知，．求的长． 35．（25-26九年级上·上海·期中）如图，已知：，与相交于点E，点F在线段上，，，的面积等于2．求的面积． 36．（25-26九年级上·上海青浦·期中）如图，已知相交于点 E，， 且，连接． (1)求线段的长； (2)如果，求线段的长． 37．（2025·上海静安·期末）如图，在菱形中，对角线与相交于点，点是的中点，连接并延长到点，使得，连接．    (1)求证：四边形是矩形； (2)点在边上，连接，，，．求的长． 38．（2025·上海杨浦·期末）如图，已知在中，点、、分别在边、、上，，，． (1)求的长； (2)如果，，求四边形的周长． 39．（24-25九年级上·上海松江·期中）如图，已知在中，是上的高，且，，矩形的顶点、在边上，顶点、分别在边、上． (1)设，矩形的周长为，求关于的函数解析式； (2)当为正方形时，求的长度． 40．（2026·上海虹口·期中）如图，、分别是边、上的点，且，． (1)求的长； (2)如果，求的长． 41．（2026·上海徐汇·期中）如图，在梯形中，，分别交对角线、底边于点、，且． (1)求证：； (2)点在底边上，，，连接，如果与的面积相等，求的长． 42．（25-26九年级上·上海浦东新·期中）如图，直线、、分别交两条直线于点A，B，C，D，E，F，且， ，，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 43．（25-26九年级上·上海·期中）如图，，直线m、n与a、b、c分别相交于点A、B、C和点D、E、F． (1)若，，，求EF的长； (2)若，，，求BE的长． 44．（25-26九年级上·上海·期中）已知：如图，在梯形ABCD中，，，，，点E在AD边上，且，连接CE．点P是边BC上的一个动点（点P与点B、C不重合），过点P作，交边AB于点Q．设，． (1)求梯形的面积； (2)求y与x的函数解析式，并写出函数的定义域； (3)如果，求x的值． 地 城 考点05 基础相似模型（A 字、反 A、8 字、母子相似） 45．（2025九年级上·上海金山·期中）如图，在△ABC中，点D在边AB上，点E、点F在边AC上，且DEBC，． （1）求证：DFBE； （2）如且AF＝2，EF＝4，AB＝6．求证△ADE∽△AEB． 46．（2025·上海奉贤·期中）已知：如图，在梯形中，，，对角线、相交于点，，垂足为点，且． （1）求证：； （2）过点作的垂线，交于点，求证：． 47．（24-25九年级上·上海浦东·期末）在中，分别为边上的点，与相交于点． (1)若； ①_____； ②，则_____； (2)若，，_____． 48．（24-25九年级上·上海奉贤·期中）已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，在边AB的延长线上截取BE＝AB，点F在AE的延长线上，CE和DF交于点M，BC和DF交于点N，联结BD． （1）求证：△BND∽△CNM； （2）如果AD2＝AB•AF，求证：CM•AB＝DM•CN． 49．（2025九年级上·上海·期末）如果两个相似三角形的对应边存在2倍关系，则称这两个相似三角形互为母子三角形． （1）如果与互为母子三角形，则的值可能为（    ） A．2    B．    C．2或 （2）已知：如图1，中，是的角平分线，． 求证：与互为母子三角形． （3）如图2，中，是中线，过射线上点作，交射线于点，连结，射线与射线交于点，若与互为母子三角形．求的值． 50．（24-25九年级上·上海宝山·期中）如图，在平行四边形中，，，点E为射线上一动点，且，连接，将线段所在直线绕点D顺时针旋转交延长线于点H，所在直线与射线交于点G． （1）如图1，当时，求证：≌； （2）当时， ①如图2，连接，求证：∽； ②若，，，请直接写出的长． 地 城 考点06 网格中的相似三角形（选择填空） 51．（24-25九年级上·上海金山·期末）如图在的方格中，每一个小正方形的顶点叫做格点，以其中三个格点为顶点的三角形称为格点三角形，就是一个格点三角形，现从的三个顶点中选取两个格点，再从余下的格点中选取一个格点连接成格点三角形，其中与相似的有(   ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 52．（24-25九年级上·上海普陀·期中）如图，是正方形网格中的格点三角形（顶点在格点上），点都是格点，下列三角形中与相似的是（    ）    A．以点为顶点的三角形 B．以点为顶点的三角形 C．以点为顶点的三角形 D．以点为顶点的三角形 53．（2025九年级上·上海黄浦·期中）如图，点都是方格纸中的格点，为使（点和对应，点和对应），则点应是四点中的（    ） A． B． C． D． 54．（25-26九年级上·上海浦东新·期中）数学上把在平面直角坐标系中横纵坐标均为整数的点称为格点（）或整点．坐标平面内顶点为格点的三角形称为格点三角形．如图，点、、、都是格点，是一个格点三角形，且点的坐标是，若点、、、分别都和点、连接，且连接后构成的格点三角形和相似，则这个点的坐标是______． 55．（24-25九年级上·上海虹口·期末）在网格中，每个小正方形的顶点称为格点，以格点为顶点的三角形称为“格点三角形”．如图，在的网格中，是一个格点三角形，如果也是该网格中的一个格点三角形，它与相似且面积最大，那么与相似比的值是______． 56．（24-25九年级上·上海虹口·期中）在正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形．如图，是格点三角形，在图中的正方形网格中作出格点三角形（不含），使得（同一位置的格点三角形只算一个），这样的格点三角形一共有________个． 地 城 考点07 几何证明 + 计算综合大题（期中压轴） 57．（24-25九年级上·上海·期中）如图，在中，点D在边上，点F、E在边上，且 ，． (1)求证：； (2)如果，，求的值． 58．（25-26九年级上·上海静安·期末）如图，边长为的正方形中，对角线、相交于点，点、分别在边、上，交线段于点，，交于点． (1)求证：； (2)当等于时，求的值． 59．（25-26九年级上·上海静安·期末）在中，，已知射线在内部，射线与射线在边的两侧，，点、分别在射线、上，． (1)如图，连接、，求证：． (2)如果平分，线段与边的公共点为，，，，求关于的函数解析式，并写出定义域； (3)如果，垂足为点，且，，，求的长． 地 城 考点08 简单动点相似（期中压轴小问，难度中等） 60．（24-25九年级上·上海·期中）边长为8的正方形ABCD中，点P在BC边上，CP=2，点Q为线段AP上一动点，射线BQ与正方形ABCD的一边交于点R，且AP=BR，那么____________ 61．（24-25九年级上·上海浦东新·期中）如图，，，且，，，点P是线段DB上一动点，当______时，以C、D、P为顶点的三角形与以P、A、B三点为顶点的三角形相似． 62．（25-26九年级上·上海普陀·期中）已知：在中，，点P是斜边上的一个动点，，交边于点D（点D与点A、C都不重合），点E在射线上，且，设A、P两点的距离为x，的面积为y． (1)如图1，当点E和点C重合时，求的长； (2)如图2，当点E在线段上时，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域； (3)当与相似时，直接写出的面积． 63．（24-25九年级上·上海静安·期中）在矩形中，，，点是线段上的一动点（不与点、重合），过点作，交射线于点，连接． (1)如图1，当点与点重合时，求的长； (2)当直线与直线交于点时，设，； 如图2，点在线段的延长线上，求关于的函数关系式，并写出定义域； 如果与相似，求的长． 64．（24-25九年级上·上海浦东新·期中）如图，在中，，，点、、分别在、、边上，沿直线翻折后与重合． (1)求的面积； (2)试问是否有可能与相似，如有可能，请求出的长；如不可能，请说明理由； (3)设，，求与的函数解析式，并写出函数的定义域． 65．（24-25九年级上·上海·期中）如图，RtABC中，，，，P是AB边上的一个动点． (1)当时，求AP的长； (2)当CP平分∠ACB时，求点P到BC的距离； (3)过点P作，PQ交边CB于Q，设，，求y关于x的函数关系式并写出定义域． 66．（24-25九年级上·上海奉贤·期中）有一张矩形纸片ABCD，已知AB＝2，AD＝5．把这张纸片折叠，使点A落在边BC上的点E处，折痕为MN，MN交边AB于M，交边AD于N． （1）若BE＝，求这时AM的长； （2）点E在边BC上运动时，设BE＝x，AN＝y，试求y关于x的函数解析式，并写出定义域； （3）连结DE，是否存在这样的点E，使得△AME与△DNE相似？若存在，请求出这时BE的长；若不存在，请说明理由． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 成比例的线段与相似三角形 8大高频考点概览 考点01 比例线段计算（选择填空必考） 考点02平行线分线段成比例（选择、填空、简单证明） 考点03 相似三角形判定（简答题证明题，期中核心大题） 考点04 相似三角形性质计算（高频大题，求边长、周长、面积） 考点05 基础相似模型（A 字、反 A、8 字、母子相似） 考点06 网格中的相似三角形（选择填空） 考点07 几何证明 + 计算综合大题（期中压轴） 考点08 简单动点相似（期中压轴小问，难度中等） 地 城 考点01 比例线段计算（选择填空必考） 1．（25-26九年级上·上海徐汇·期中）已知线段是线段和线段的比例中项，若，，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】比例线段、黄金分割 【分析】本题主要考查比例中项的定义，掌握比例中项的定义是解题的关键．根据比例中项的定义，列出比例式即可得出的值，注意线段不能为负． 【详解】解：是 和的比例中项， ， ，， ，解得：， ， 故选：D． 2．（24-25九年级上·上海奉贤·期中）如果一幅地图的比例尺为，那么实际距离是千米的两地在地图上的图距是（  ） A．6厘米 B．厘米 C．厘米 D．厘米 【答案】A 【知识点】比例线段 【分析】根据比例尺的定义：图上距离与实际距离的比直接计算即可得到答案； 【详解】解：∵比例尺为，实际距离是千米， ∴图上距离， 故选：A． 3．（24-25九年级上·上海静安·期中）某两地的实际距离为千米，画在地图上的距离是厘米，则在地图上的距离与实际的距离之比是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】比例线段 【详解】千米米厘米， ∴地图上的距离与实际的距离之比是， 故选：． 【点睛】此题考查了比例尺，解题的关键是正确理解比例尺的定义． 4．（24-25九年级上·上海奉贤·期中）已知线段厘米，厘米，则它们的比例中项b为__________. 【答案】厘米/12cm 【知识点】比例线段 【分析】根据比例中项的性质：比例中项平方等于两外项的积直接求解即可得到答案； 【详解】解：∵线段厘米，厘米，它们的比例中项为b， ∴， 解得：（厘米），（厘米）（不符合题意舍去）， 故答案为：厘米； 5．（25-26九年级上·上海崇明·期中）在比例尺为的地图上，相距的两地实际距离是_______． 【答案】 【知识点】比例线段 【分析】本题考查比例尺的相关计算，较为简单．根据比例尺的定义，地图上的距离与实际距离的比是，由此计算实际距离，并换算单位． 【详解】解：地图上距离为，比例尺为， 故实际距离为， 由于， 因此实际距离为， 故答案为：． 6．（24-25九年级上·上海青浦·期中）已知地图比例尺为，地图上长度为10厘米，则实际距离为______千米． 【答案】10 【知识点】比例线段 【分析】本题考查了比例线段．根据比例尺图上距离实际距离，列出关系式即可得出实际的距离． 【详解】解：设两地实际距离为x厘米，得：， 所以相距10厘米的两地的实际距离是厘米千米， 故答案为：10． 7．（24-25九年级上·上海·期中）在比例尺为的地图上量得两个城市间的距离是，那么这两个城市的实际距离是______． 【答案】 【知识点】比例线段 【分析】此题考查比例尺，根据“实际距离纸上距离比例尺”即可求解，熟知比例尺的应用是解题的关键． 【详解】解：两个城市的实际距离是， 故答案为：． 8．（24-25九年级上·上海浦东新·期中）、两地的实际距离米，画在地图上的距离为5厘米，则地图上的距离与实际距离的比是________． 【答案】 【知识点】比例线段 【分析】根据比例尺=图上距离:实际距离，直接求出即可． 【详解】解：250米厘米， ∴比例尺； 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了比例尺，掌握比例尺的计算方法，注意在求比的过程中，单位要统一． 9．（24-25九年级上·上海徐汇·期中）如果地图上、两处的图距是，表示这两地实际的距离是，那么实际距离是的两地在地图上的图距是______． 【答案】 【知识点】比例线段 【分析】本题考查了比例线段，先设这个图距是，根据图上距离比上实际距离等于比例尺，可得关于的方程，即可求解，解题的关键是根据比例尺不变列出方程． 【详解】解：设这个图距是， 则， 解得， 故答案为：． 10．（24-25九年级上·上海闵行·期中）在中，若AD交BC于D，BE交AC于E，CF交BA于F，AD，BE，CF相交于一点，，，则______． 【答案】 【知识点】比例线段 【分析】如图，先利用三角形的面积关系可得 ，，再结合比例的基本性质证明，可得，同理可得：， 可得， 从而可得结论． 【详解】解：如图，设AD，BE，CF相交于点， ， ， ， ， 同理可得： ， ， ，， ， ． 故答案为： 【点睛】本题考查的是三角形的面积关系，比例的基本性质，掌握比例的基本性质进行比例的变形是解题的关键． 地 城 考点02 平行线分线段成比例（选择、填空、简单证明） 11．（25-26九年级上·上海黄浦·期中）已知点、分别在的边和的反向延长线上，．当时，，那么的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】由平行截线求相关线段的长或比值 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，根据得到，即可求解． 【详解】解：如图， 当时， 则， ∴， ∴， 故选：A． 12．（25-26九年级上·上海宝山·期末）如图，，直线与这三条平行线分别交于点A、B、C和点D、E、F，则下列结论不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】由平行截线求相关线段的长或比值 【分析】本题主要考查平行线分线段成比例，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键． 直接利用平行线分线段成比例定理得出结论． 【详解】解：∵， ∴，，， ∴， 故A、C、D正确，不符合题意； 而B选项结论不能证明，故错误，符合题意， 故选：B． 13．（25-26九年级上·上海奉贤·期中）如图，直线，直线，分别与，，相交于点，，和点，，．若，，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】由平行截线求相关线段的长或比值 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理得，然后代入求出，再通过线段和差即可求解，掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：． 14．（25-26九年级上·上海·期中）已知，线段，求作线段，使得，那么下列作法中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】由平行判断成比例的线段 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，准确分析判断是解题的关键． 根据平行线分线段成比例的性质对作图判断即可； 【详解】根据平行线分线段成比例作图： 第一步：任意做； 第二步：在边上依次取，，在上取； 第三步：连接，过点作，交于点； 则线段即为所求作线段． 故选． 15．（25-26九年级上·上海青浦·期中）如图，在中，D为边上的中点，点E为边上一点，交于点G，当时，则_____． 【答案】 【知识点】由平行截线求相关线段的长或比值、与三角形中位线有关的求解问题 【分析】取的中点F，连接，根据三角形中位线定理可得，从而得到，再结合，即可求解． 【详解】解：如图，取的中点F，连接， ∵D为边上的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 16．（25-26九年级上·上海崇明·期末）如图，已知直线、、分别与直线交于点、、，与直线交于点、、，如果，，则的长是__________． 【答案】 【知识点】由平行截线求相关线段的长或比值 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理可得，据此代入数据计算即可． 【详解】解：∵， ∴，即， ∴， 故答案为：． 17．（25-26九年级上·上海·期中）如图，，，，，那么的长为_________． 【答案】 【知识点】由平行截线求相关线段的长或比值 【分析】本题考查了平行线分线段成比例． 根据平行线分线段成比例得到，进而将，，，代入计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 即， ∴． 故答案为：． 18．（25-26九年级上·上海浦东新·期中）如图，已知直线、、分别交直线于点A、B、C，交直线于点D、E、F，且，，，，那么线段的长等于______． 【答案】 【知识点】由平行截线求相关线段的长或比值 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理可得，据此代值计算即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴，即， ∴， 故答案为：． 19．（24-25九年级上·上海·期中）如图，中，点D在边上，，．求证：． 【答案】证明：， ， ， ， ． 【知识点】由平行截线求相关线段的长或比值 【分析】由平行线分线段成比例即可证明． 【详解】略 20．（24-25九年级上·上海浦东新·期中）如图，在梯形ABCD中，，求证：． 【答案】 证明：∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 【知识点】由平行判断成比例的线段 【分析】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例；平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例；如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边．根据平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例得到，，再根据平行线分线段成比例定理得到，然后根据等量代换得到，于是有． 【详解】略 21．（25-26九年级上·上海虹口·期中）如图，直线、、分别交直线于点A、B、C，交直线于点D、E、F，且．已知． (1)求的长； (2)点O是直线与的交点，如果，求的长． 【答案】(1)的长为 (2)的长为5． 【知识点】由平行截线求相关线段的长或比值 【分析】本题考查平行线间的线段成比例，掌握知识点是解题的关键． （1）先求出，由，得到，即，求出，即可解答． （2）先推导出，，求出，，则，求出，即可解答． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得． 答：的长为． （2）∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 解得． 答：的长为5． 22．（25-26九年级上·上海虹口·期末）如图，、，、分别是和的中点，过的直线依次交、、、于点、、、，求证：． 【答案】 证明：延长、，设交点为，则四边形为平行四边形． 是的中点， 的延长线必过点，且． ， ． ， ． ，即． 又， ， ． ∵． ，即， ， 即． 【知识点】由平行判断成比例的线段、利用平行四边形性质和判定证明 【分析】本题考查平行四边形的判定和性质，平行线分线段成比例．正确作出辅助线，构造平行四边形是解题关键．延长、，设交点为，则四边形为平行四边形．结合题意得出．根据平行线分线段成比例，得出，，即得出．再证明即可． 【详解】略 23．（24-25九年级上·上海·期中）如图，花丛中有一盏路灯，为了测量路灯离地面的高度，小明在点处竖立标杆，小明站立在点处，从点处看到标杆顶、路灯顶在一直线上（点、、也在一直线上）．已知米，米，标杆米，人的眼睛离地面的距离米．求路灯离地面的高度．    【答案】4米 【知识点】由平行截线求相关线段的长或比值 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，解题的关键是过A点作，交、于点G、H，根据题意得出米，根据，得出，即，求出米，即可得出答案． 【详解】解：过A点作，交、于点G、H，如图所示：    由题意，米，米，米， ∴米， ∵， ∴， 即， 解得：米， ∴（米）， 答：路灯离地面的高度为4米． 地 城 考点03 相似三角形判定（简答题证明题，期中核心大题） 24．（24-25九年级上·上海嘉定·期中）如图，点D、E分别在线段和上，与相交于点O，，．求证：． 【答案】 证明： ， ， ， ， ， ， ． 【知识点】利用两边对应成比例及其夹角相等判定相似、相似三角形的判定综合 【分析】本题考查了相似三角形的判定，根据可证，通过可证，然后根据相似的传递性即可得证． 【详解】略 25．（25-26九年级上·上海普陀·期末）已知：如图，四边形中，点E在边上，交于点F，，． (1)求证：； (2)如果，求证：． 【答案】(1)证明：∵AE2=AF⋅AC， ∴， ∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． (2)证明：由（1）得，， ∴，； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 【知识点】利用两角对应相等判定相似 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，三角形外角的性质，等角对等边； （1）由得，由三角形外角得即可解答； （2）由得，题意证即可解答． 【详解】（1）略 （2）略 26．（25-26九年级上·上海奉贤·期末）如图，在中，点D、E分别在边上，相交于点，且，． (1)求证：； (2)连接．如果，求证：． 【答案】(1) 证明：∵，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴； (2) 证明：∵， ∴， ∴， ∴，即， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、相似三角形的判定与性质综合、等边对等角 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，等边对等角，全等三角形的性质与判定，熟知相似三角形的性质与判定定理是解题的关键． （1）由等边对等角可得，可证明，据此可证明结论； （2）可证明，则可证明，推出，得到，证明，得到；由相似三角形的性质可得，据此可证明结论． 27．（25-26九年级上·上海·期中）如图，已知是中的角平分线，是上的一点，且，，． (1)求证：； (2)求的长． 【答案】(1) 证明：是中的角平分线， ． ， ， ； (2) 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、公式法解一元二次方程 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，角平分线的定义，解一元二次方程： （1）先由角平分线的定义得到，再证明，据此可根据两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似证明； （2）根据相似三角形的性质得到，再证明，据此可根据两个角对应相等的两个三角形相似证明；由相似三角形的性质得到，即，据此求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：， ． ，， ， 又∵， ， ∴，即， ∴， 解得或（舍去）， 经检验，是原方程的解． 28．（25-26九年级上·上海闵行·期中）如图，在梯形中，，点在上，且，连接并延长交 的延长线于点．过点作垂直于点，连接，分别交于点、． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1) 证明：∵，， ∴； ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴； ∵， ∴． 又∵， ∴； (2) 证明：∵， ∴，， ∵， ∴， ∴； 又∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； ∵， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴． 【知识点】线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质和判定、相似三角形的判定与性质综合、线段垂直平分线的判定 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定，线段垂直平分线的性质与判定等知识，熟知相关知识是解题的关键． （1）根据平行线的性质得到，，则由三线合一定理可得，则，再结合，即可证明结论； （2）可证明；再证明是等腰直角三角形，得到则可证明；证明，得到；证明垂直平分，得到，则，即． 29．（25-26九年级上·上海杨浦·期中）已知：如图，在中，点是边上的一点（不与点重合），，点是边上一点，． (1)求证：； (2)连接，如果平分，求证：． 【答案】(1) 证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． (2) 证明：如图：过点A作交延长线于点G，与相交于H， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即． 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、相似三角形的判定与性质综合、等边对等角 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、等边对等角、全等三角形的判定与性质、三角形外角的性质等知识点，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． （1）根据等边对等角可得，再根据三角形外角的性质、角的和差以及等量代换可得，然后根据两组角对应相等的三角形相似即可证明结论； （2）如图：过点A作交延长线于点G，与相交于H，先证明可得，再通过证明并结合可得，进而证明结论． 30．（24-25九年级上·上海·期中）如图，中，E、F分别是AC、BC边上的点，交AF的延长线于，交BC于． (1)求证： (2)求证： 【答案】(1) 证明：∵， ∴， 又∵， ∴； (2) 证明：∵，， ∴， ∴， 由得， ∴， 由（1）得， ∴， ∴， ∴． 【知识点】相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质． （1）由得，又已知，即可得； （2）先由已知证得，得，进而得，再由（1）得，即可得出结论． 31．（24-25九年级上·上海浦东新·期中）已知：如图，在中，点、分别在边、上，，． (1)求证：； (2)延长、交于点，求证：． 【答案】(1) 证明：， ， ， ， ， ， 即； (2) 证明：如图所示，延长和相交于点F， 由（1）得， ， ， ， ∴， ， 又， ， 又， ． 【知识点】利用相似三角形的性质求解、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，关键是找到相似的三角形． （1）由，得出，根据，得出，进一步证明，从而得出结论； （2）根据（1）的结论和已知证明即可． 32．（24-25九年级上·上海崇明·期中）已知：如图，在中，点D在边上，，与分别相交于点F、G，． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1) 证明：∵， ∴， 又∵， ∴； (2) 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【知识点】两直线平行内错角相等、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，平行线的性质： （1）根据得到，，即可证明； （2）先由相似三角形的性质得到，再证明，得到，则，进而证明，即． 33．（24-25九年级上·上海·期中）如图，已知，等边三角形的边长为4，D在边上，且． (1)填空：的长为_____； (2)求证：； (3)求的面积． 【答案】(1) (2) 证明：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； (3) 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、等边三角形的性质 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，相似三角形的判定和性质． （1）先证明，再根据相似三角形对应边成比例即可求解； （2）根据三角形外角的性质得到，即可得到结论； （3）根据是等边三角形，推导出和的面积，通过，求得的面积，即可求解． 【详解】（1）解：∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）略 （3）解：作于F， ∵是等边三角形，，, ∴的高， ∴， 由（1）知， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 地 城 考点04 相似三角形性质计算（高频大题，求边长、周长、面积） 34．（25-26九年级上·上海宝山·期中）如图：在平行四边形中，E是边上一点，与相交于点O，与的延长线相交于点G，已知，．求的长． 【答案】， 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、利用平行四边形的性质证明 【分析】本题考查了三角形相似的判定与性质，平行四边形的性质，根据可得，，证明，从而，代入即可求解，再证明，得到，即可得求出． 【详解】∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． ， ， ， ， ． 35．（25-26九年级上·上海·期中）如图，已知：，与相交于点E，点F在线段上，，，的面积等于2．求的面积． 【答案】9 【知识点】根据平行线判定与性质证明、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质、三角形面积的计算，解题的关键是利用平行线构造相似三角形，通过相似比确定线段比例及面积关系． 由证得，得出与的比例关系；再由证得，结合相似三角形面积比等于相似比的平方求出的面积；最后根据平行线间距离相等，利用底的比例关系求出的面积． 【详解】解：∵， ∴，， ∴． ∵， ∴，即． ∵， ∴，， ∴（两角分别相等的两个三角形相似）． ∴， ∵， ∴． ∵，与的高相等， ∴， ∴． 答：的面积为9． 36．（25-26九年级上·上海青浦·期中）如图，已知相交于点 E，， 且，连接． (1)求线段的长； (2)如果，求线段的长． 【答案】(1) (2) 【知识点】相似三角形的判定与性质综合 【分析】解题的关键在于熟练掌握相似三角形的性质和判定． （1）结合题意推出，进而证明，再利用相似三角形性质建立等式求解，即可解题； （2）根据题意求出，结合相似三角形性质证明，再利用相似三角形性质建立等式求解，即可解题． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ， ， ， ， 解得； （2）解：， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 解得． 37．（2025·上海静安·期末）如图，在菱形中，对角线与相交于点，点是的中点，连接并延长到点，使得，连接．    (1)求证：四边形是矩形； (2)点在边上，连接，，，．求的长． 【答案】(1) 证明：∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵点F是的中点， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴平行四边形是矩形； (2) 【知识点】利用菱形的性质求线段长、证明四边形是矩形、相似三角形的判定与性质综合、根据矩形的性质求线段长 【分析】本题主要考查了矩形的判定与性质、菱形的性质、相似三角形的判定和性质等知识点，灵活运用相关判定和性质定理是解题的关键． （1）根据菱形性质得，则，再根据点F是的中点，得四边形是平行四边形，再结合即可证明结论； （2）根据菱形性质得，则，再根据矩形性质得，，证明，进而得和相似，再利用相似三角形的性质即可求出的长即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵四边形是菱形，，， ∴，， 在中，由勾股定理得：， ∵四边形是矩形； ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的外角， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，即，解得：． 38．（2025·上海杨浦·期末）如图，已知在中，点、、分别在边、、上，，，． (1)求的长； (2)如果，，求四边形的周长． 【答案】(1)6 (2) 【知识点】由平行截线求相关线段的长或比值、相似三角形的判定与性质综合、利用平行四边形的判定与性质求解 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，平行四边形的判定和性质，熟练掌握定理是解题的关键． (1)利用平行线分线段成比例定理，列式计算即可． (2)先证明，再利用平行线分线段成比例定理，平行四边形的判定和性质，列式计算即可． 【详解】（1）∵， ∴． ∵，． ∴． 解得． （2）∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵． 解得． ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴四边形的周长为． 39．（24-25九年级上·上海松江·期中）如图，已知在中，是上的高，且，，矩形的顶点、在边上，顶点、分别在边、上． (1)设，矩形的周长为，求关于的函数解析式； (2)当为正方形时，求的长度． 【答案】(1)； (2)． 【知识点】求一次函数解析式、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了相似三角形的性质和判定和函数解析式，熟练掌握相似三角形的性质和判定是解题的关键． （）根据矩形性质得，从而得，利用相似三角形对应边的比和对应高的比相等表示的长，利用矩形面积公式得与的函数解析式； （）令，求得进而得到的长度； 【详解】（1）如图，设与交于点， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）当为正方形时，， 由（）得：， 解得：， ∴当为正方形时，的长度为． 40．（2026·上海虹口·期中）如图，、分别是边、上的点，且，． (1)求的长； (2)如果，求的长． 【答案】(1) (2) 【知识点】相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据，得，把数值代入进行计算，即可作答． （2）结合，证明，又因为，故，把数值代入，得（负值已舍去），即，解得，即可作答． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， 则， ∵， ∴， ∴， ∴． （2）解：∵，， ∴， 由（1）得，， ∴， 则， ∴， ∴ ∴（负值舍去）， ∴ 解得． 41．（2026·上海徐汇·期中）如图，在梯形中，，分别交对角线、底边于点、，且． (1)求证：； (2)点在底边上，，，连接，如果与的面积相等，求的长． 【答案】(1) 证明：， ， ， ， ， ， ； (2) 【知识点】根据平行线判定与性质证明、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题主要考查了梯形的性质、相似三角形的判定与性质、平行线的判定与性质． (1)根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似可证，根据相似三角形的性质可证，根据同位角相等两直线平行可证结论成立； (2)根据，，可知，根据相似三角形的性质可知，从而可得：，即可求出的长度． 【详解】（1）略 （2）解：根据题意得，， ， ， ， 和面积相等， ， 解得：． 42．（25-26九年级上·上海浦东新·期中）如图，直线、、分别交两条直线于点A，B，C，D，E，F，且， ，，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1) 证明：过点D作，交于点N，交的延长线于点M， ，即， 四边形是平行四边形， ， ，， ， ， ， 设， ：：3， ， ， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， ； (2)10 【知识点】根据平行线判定与性质证明、由平行截线求相关线段的长或比值、相似三角形的判定与性质综合 【分析】此题重点考查平行线分线段成比例定理、平行四边形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识，正确地添加辅助线是解题的关键． （1）过点D作，交于点N，交的延长线于点M，则四边形是平行四边形，所以，由，，得，由，得，由，推导出，则，所以，则，可证明四边形是平行四边形，进而证明 （2）可证明，则，由，，，，得，求得，则，所以，则 【详解】（1）略 （2）解：，，， ， ， ，，，， ， ， ， ， ， 的长为 43．（25-26九年级上·上海·期中）如图，，直线m、n与a、b、c分别相交于点A、B、C和点D、E、F． (1)若，，，求EF的长； (2)若，，，求BE的长． 【答案】(1) (2)11 【知识点】由平行截线求相关线段的长或比值、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，相似三角形的判定和性质，熟练掌握平行线分线段成比例，相似三角形的判定和性质是解题的关键． （1）根据平行线分线段成比例定理列出比例式，代入计算得到答案； （2）过点A作交于点G，交于点H，可得四边形均为平行四边形，从而得到，再由，可得到，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴； （2）解：过点A作交于点G，交于点H， ∵， ∴四边形均为平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ∵， ∴， 解得， ∴． 44．（25-26九年级上·上海·期中）已知：如图，在梯形ABCD中，，，，，点E在AD边上，且，连接CE．点P是边BC上的一个动点（点P与点B、C不重合），过点P作，交边AB于点Q．设，． (1)求梯形的面积； (2)求y与x的函数解析式，并写出函数的定义域； (3)如果，求x的值． 【答案】(1)梯形的面积为 (2)（） (3)的值为或 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、由平行判断成比例的线段、相似三角形的判定与性质综合、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了等腰梯形的性质、平行线分线段成比例定理、相似三角形的判定与性质及勾股定理，解题的关键是通过作辅助线利用平行线分线段成比例建立函数关系，结合“点Q在边上”的端点允许性准确确定取值范围，再根据相似三角形的对应边成比例分情况求解参数． （1）作等腰梯形的高，用勾股定理求高后代入梯形面积公式计算； （2）作辅助线构造平行四边形，利用平行线分线段成比例定理列比例式推导函数关系，结合Q点在上的端点允许性确定取值范围； （3）根据“两边对应成比例且夹角相等”判定相似，分两种对应比例情况列方程求解x，验证后确定符合条件的解． 【详解】（1）解：过点作于，过点作于． 则, ∵，， ∴梯形是等腰梯形， ∴， ∴, ∴. 在中，，， 由勾股定理得. ∴梯形的面积. 答：梯形的面积为． （2）解：∵，， ∴，． 过点作，交于点， ∵，， ∴四边形是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）， ∴（平行四边形对边相等）． ∵， ∴， ∵，， ∴（平行于同一直线的两条直线平行）． 在中，， 由平行线分线段成比例定理得 ∵，，，， ∴， 化简得，即． ∵点与不重合（），点在边上： 当时，，此时与重合； 当时，，不在上，不符合； 综上，函数取值范围为． 答：与的函数解析式为（）． （3）解：在等腰梯形中，，， ∴，即（在上）． ∵，且， 根据“两边对应成比例且夹角相等”，分两种对应比例情况： 情况1： ∵，，，， ∴，解得 代入，得， 化简得，解得（，符合取值范围）． 情况2： ∴，解得． 代入，得， 化简得，解得（，符合取值范围）． 综上，的值为或． 答：的值为或． 地 城 考点05 基础相似模型（A 字、反 A、8 字、母子相似） 45．（2025九年级上·上海金山·期中）如图，在△ABC中，点D在边AB上，点E、点F在边AC上，且DEBC，． （1）求证：DFBE； （2）如且AF＝2，EF＝4，AB＝6．求证△ADE∽△AEB． 【答案】 解：（1）∵DEBC， ∴， ∵， ∴， ∴DFBE； （2）∵AF＝2，EF＝4， ∴由（1）可知，，AE=6， ∵AB＝6， ∴， ∴， ∴， ∵∠A=∠A， ∴△ADE∽△AEB． 【知识点】相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）由题意易得，则有，进而问题可求证； （2）由（1）及题意可知，然后可得，进而可证，最后问题可求证． 【详解】（1）略 （2）略 【点睛】本题主要考查相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键． 46．（2025·上海奉贤·期中）已知：如图，在梯形中，，，对角线、相交于点，，垂足为点，且． （1）求证：； （2）过点作的垂线，交于点，求证：． 【答案】 证明：（1）∵， ∴． ∵， ∴． ∴． ∵，， ∴，． ∴． ∵， ∴． ∴． （2）∵，， ∴． ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∵，， ∴． ∴． 【知识点】相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）利用条件证明，后证明即可； （2）利用平行线分线段成比例定理，巧用等量代换即可． 【详解】 略 【点睛】本题考查了三角形的相似，平行线分线段成比例定理，等腰三角形的证明，熟练掌握三角形相似的条件，根据平行线分线段成比例定理，选择合适的比例式是解题的关键． 47．（24-25九年级上·上海浦东·期末）在中，分别为边上的点，与相交于点． (1)若； ①_____； ②，则_____； (2)若，，_____． 【答案】(1)①，② (2) 【知识点】相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键． （1）①连接，先证，相似比为，得到，即，再证，相似比为，即可求解；②根据，，求得，则，再根据，即可求解． （2）先证，相似比为，得到，即，再证，得到，即可求解． 【详解】（1）解：①如图，连接， ， ， ， ， ，， ， ， ， ； ②， ， ， ， ， ， ， ． （2）解：，， ， ， ，， ，， ， ， ， ， ， ． 48．（24-25九年级上·上海奉贤·期中）已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，在边AB的延长线上截取BE＝AB，点F在AE的延长线上，CE和DF交于点M，BC和DF交于点N，联结BD． （1）求证：△BND∽△CNM； （2）如果AD2＝AB•AF，求证：CM•AB＝DM•CN． 【答案】 证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB=CD，AB∥CD， 而BE=AB， ∴BE=CD， 而BE∥CD， ∴四边形BECD为平行四边形， ∴BD∥CE， ∵CM∥DB， ∴△BND∽△CNM； （2）∵AD2=AB•AF， ∴AD：AB=AF：AD， 而∠DAB=∠FAD， ∴△ADB∽△AFD， ∴∠1=∠F， ∵CD∥AF，BD∥CE， ∴∠F=∠4，∠2=∠3， ∴∠3=∠4， 而∠NMC=∠CMD， ∴△MNC∽△MCD， ∴MC：MD=CN：CD， ∴MC•CD=MD•CN， 而CD=AB， ∴CM•AB=DM•CN． 【知识点】相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）利用平行四边形的性质得AB=CD，AB∥CD，再证明四边形BECD为平行四边形得到BD∥CE，根据相似三角形的判定方法，由CM∥DB可判断△BND∽△CNM； （2）先利用AD2=AB•AF可证明△ADB∽△AFD，则∠1=∠F，再根据平行线的性质得∠F=∠4，∠2=∠3，所以∠3=∠4，加上∠NMC=∠CMD，于是可判断△MNC∽△MCD，所以MC：MD=CN：CD，然后利用CD=AB和比例的性质即可得到结论． 【详解】略 【点睛】本题考查了三角形相似的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形．在运用相似三角形的性质时主要利用相似比计算线段的长．也考查了平行四边形的判定与性质． 49．（2025九年级上·上海·期末）如果两个相似三角形的对应边存在2倍关系，则称这两个相似三角形互为母子三角形． （1）如果与互为母子三角形，则的值可能为（    ） A．2    B．    C．2或 （2）已知：如图1，中，是的角平分线，． 求证：与互为母子三角形． （3）如图2，中，是中线，过射线上点作，交射线于点，连结，射线与射线交于点，若与互为母子三角形．求的值． 【答案】（1）C；（2）见解析；（3）或3． 【知识点】相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）根据互为母子三角形的定义即可得出结论； （2）根据两角对应相等两三角形相似得出，再根据从而得出结论； （3）根据题意画出图形，分当分别在线段上时和当分别在射线上时两种情况加以讨论； 【详解】（1）∵与互为母子三角形， ∴或2 故选：C （2）是的角平分线， ， ， ． 又， 与互为母子三角形．        （3）如图，当分别在线段上时， 与互为母子三角形， ， ， 是中线， ， 又， ． ， ， ． 如图，当分别在射线上时， 与互为母子三角形， ， ， 是中线， ， 又， ． ， ， ． 综上所述，或3 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、分类讨论的数学思想以及接受与理解新生事物的能力．准确理解题设条件中互为母子三角形的定义是正确解题的先决条件，在分析与解决问题的过程中，要考虑全面，进行分类讨论，避免漏解． 50．（24-25九年级上·上海宝山·期中）如图，在平行四边形中，，，点E为射线上一动点，且，连接，将线段所在直线绕点D顺时针旋转交延长线于点H，所在直线与射线交于点G． （1）如图1，当时，求证：≌； （2）当时， ①如图2，连接，求证：∽； ②若，，，请直接写出的长． 【答案】 （1）证明：∵，， ∴为等边三角形， ∵四边形为平行四边形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ∴≌； （2）①证明：∵，， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴∽， ∴， ∴， 又∵， ∴∽； ②的长为或． 【知识点】根据旋转的性质求解、相似三角形的判定与性质综合、用勾股定理解三角形、利用平行四边形的性质证明 【分析】本题考查了旋转的性质、平行四边形的性质、等边三角形判定与性质、三角形全等的判定、三角形相似判定与性质、勾股定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）证明为等边三角形，根据四边形为平行四边形，可得，，，可证，进而求解； （2）①根据，，可得，根据四边形为平行四边形，可得，可得，进而解题即可； ②根据点E的位置分两种情况，当点E在上时，过C作于N，过G作于M，证明∽，根据等腰三角形三线合一性质可得，根据勾股定理得，再证∽，根据勾股定理进行解题；当点E在延长线上时，过C作于N，过G作于M，证明∽，根据勾股定理进行解题即可． 【详解】（1）略 （2）①略 ②解：当点E在上时，如图，过C作于N，过G作于M， ∵四边形为平行四边形，，，， ∴，， ∴∽， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 在中，， ∴， ∴∽， ∴， ∴,， ∴， 在中，； 当点E在延长线上时，如图，过C作于N，过G作于M， ∵， ∴，， ∴∽， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 在中，， ∵， ， ∴， ∴∽， ∴， ∴，， ∴， 在中，， 综上所述，的长为或． 地 城 考点06 网格中的相似三角形（选择填空） 51．（24-25九年级上·上海金山·期末）如图在的方格中，每一个小正方形的顶点叫做格点，以其中三个格点为顶点的三角形称为格点三角形，就是一个格点三角形，现从的三个顶点中选取两个格点，再从余下的格点中选取一个格点连接成格点三角形，其中与相似的有(   ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【知识点】在网格中画与已知三角形相似的三角形、勾股定理与网格问题 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，勾股定理，根据三边对应成比例的三角形相似进行求解即可． 【详解】解：如图所示， 由网格的特点可知，， ∴， ∴， 同理可证明， ∴从的三个顶点中选取两个格点，再从余下的格点中选取一个格点连接成格点三角形，其中与相似的有3个， 故选C． 52．（24-25九年级上·上海普陀·期中）如图，是正方形网格中的格点三角形（顶点在格点上），点都是格点，下列三角形中与相似的是（    ）    A．以点为顶点的三角形 B．以点为顶点的三角形 C．以点为顶点的三角形 D．以点为顶点的三角形 【答案】B 【知识点】在网格中画与已知三角形相似的三角形 【分析】先计算出每条边的长度，再进行比较即可，选出适合的选项． 【详解】解：设每个正方格边长为1， 则， ， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查相似三角形的判定，能够掌握数形结合思想是解决本题的关键． 53．（2025九年级上·上海黄浦·期中）如图，点都是方格纸中的格点，为使（点和对应，点和对应），则点应是四点中的（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】在网格中画与已知三角形相似的三角形 【分析】由图形可知△ABC的边AB=4，AC=6 DE=2，当△DEM∽△ABC时，AB和DE是对应边，相似比是1：2，则AC的对应边是3，则点M的对应点是H． 【详解】解：根据题意， ∵△DEM∽△ABC，AB=4，AC=6 DE=2 ∴DE：AB=DM：AC ∴DM=3 ∴M点的对应点应是H 故选C． 【点睛】本题主要考查相似三角形的性质，相似三角形的对应边的比相等. 54．（25-26九年级上·上海浦东新·期中）数学上把在平面直角坐标系中横纵坐标均为整数的点称为格点（）或整点．坐标平面内顶点为格点的三角形称为格点三角形．如图，点、、、都是格点，是一个格点三角形，且点的坐标是，若点、、、分别都和点、连接，且连接后构成的格点三角形和相似，则这个点的坐标是______． 【答案】 【知识点】在网格中画与已知三角形相似的三角形、写出直角坐标系中点的坐标 【分析】本题考查了相似三角形的判定，勾股定理，直角坐标系，解题的关键是掌握相关知识．根据图形和勾股定理求出，，，，，得到，即可求解． 【详解】解：如图，点、、、分别都和点、连接， ，，，，， ，，， ， 和相似，即点和点、连接后构成的格点三角形和相似，， 故答案为：． 55．（24-25九年级上·上海虹口·期末）在网格中，每个小正方形的顶点称为格点，以格点为顶点的三角形称为“格点三角形”．如图，在的网格中，是一个格点三角形，如果也是该网格中的一个格点三角形，它与相似且面积最大，那么与相似比的值是______． 【答案】 【知识点】在网格中画与已知三角形相似的三角形、勾股定理与网格问题 【分析】本题考查勾股定理，三角形相似的判定和性质，理解题意，在表格中作出相似三角形是解题关键．根据与相似且面积最大，即得出中边对应的边最长，且保证的每个顶点都在格点即可，据此画出图形，即可求解． 【详解】解：∵与相似且面积最大， ∴中边对应的边最长，且保证的每个顶点都在格点即可． 如图，在格点上取，，， ∴此时面积最大，且，即与相似比的值是． 故答案为：． 56．（24-25九年级上·上海虹口·期中）在正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形．如图，是格点三角形，在图中的正方形网格中作出格点三角形（不含），使得（同一位置的格点三角形只算一个），这样的格点三角形一共有________个． 【答案】6 【知识点】在网格中画与已知三角形相似的三角形 【分析】本题考查了在直角坐标系中画出与已知三角形相似的图形，解题的关键在于找出与已知三角形各边长成比例的三角形，并在直角坐标系中无一遗漏地表示出来． 根据题意，得出的三边之比，并在直角坐标系中找出与各边长成比例的相似三角形，并在直角坐标系中无一遗漏地表示出来． 【详解】解：有图可知：的三边为： ，， ， 如图所示： 可能出现的相似三角形共有以下六种情况： ， 故答案为：6． 地 城 考点07 几何证明 + 计算综合大题（期中压轴） 57．（24-25九年级上·上海·期中）如图，在中，点D在边上，点F、E在边上，且 ，． (1)求证：； (2)如果，，求的值． 【答案】(1)证明：， ， ， ， ， 又， ∴， ∴， ． (2) 【知识点】由平行截线求相关线段的长或比值、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）由 可得，再结合已知比例，可得，证明，即可解答； （2）由图可知与等高，根据等高的两个三角形面积比等于底边的比，再由，得出，利用相似三角形的面积比等于相似比的平方求解． 【详解】（1）略 （2）解：， ； 与同高， ， ， ， ， ， ， ∵， ， ． 58．（25-26九年级上·上海静安·期末）如图，边长为的正方形中，对角线、相交于点，点、分别在边、上，交线段于点，，交于点． (1)求证：； (2)当等于时，求的值． 【答案】(1) 证明：四边形是正方形， ，，，，， ，， ， ， ， ， ， ； (2) 【知识点】含30度角的直角三角形、根据正方形的性质证明、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图形分析是解题的关键． 利用正方形的性质可得，，根据已知，利用同角的余角相等可得，即可解答； 由可得，从而可得，根据已知可得，设为，然后在中，表示出，，从而在中求出，进而求出，然后进行计算即可解答． 【详解】（1）略 （2）解：由可得， ，, ， ， ， ，， 设为， 则，， 在中，， ， ， ，， ， ， ． 59．（25-26九年级上·上海静安·期末）在中，，已知射线在内部，射线与射线在边的两侧，，点、分别在射线、上，． (1)如图，连接、，求证：． (2)如果平分，线段与边的公共点为，，，，求关于的函数解析式，并写出定义域； (3)如果，垂足为点，且，，，求的长． 【答案】(1)证明：如图，∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； (2) (3)或 【知识点】含30度角的直角三角形、求一次函数解析式、等腰三角形的性质和判定、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（）分别证明和，得到和，进而即可求证； （）过点作于，由已知可得，，即得，，进而得到，，再利用即可求解； （）分点在点下方和上方两种情况，分别画出图形，利用相似三角形的性质解答即可求解； 【详解】（1）略 （2）解：如图，过点作于，则， ∵，平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴ ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， 即， ∴； （3）解：当点在点下方时，如图，过点作于，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， 解得； 当点在点上方时，如图， 则， 同理可得； 综上，的长为或． 地 城 考点08 简单动点相似（期中压轴小问，难度中等） 60．（24-25九年级上·上海·期中）边长为8的正方形ABCD中，点P在BC边上，CP=2，点Q为线段AP上一动点，射线BQ与正方形ABCD的一边交于点R，且AP=BR，那么____________ 【答案】或1 【知识点】全等的性质和HL综合（HL）、用勾股定理解三角形、（特殊）平行四边形的动点问题、相似三角形——动点问题 【分析】分两种情形：①当R在AD边上时，易得△AQR∽△PQB且相似比为1:1，从而得解；②当R在CD上时，先证明BR⊥AP，再根据等面积法计算BQ，根据线段的和差计算QR,计算比值即可得解. 【详解】①当R在AD边上时, ∵四边形ABCD为正方形 ∴∠BAR=∠ABP=90°，AR∥BP 又∵AP=BR,AB=AB, ∴△ABP≌△BAR， ∴AR=BP， ∵AR∥BP, ∴△AQR∽△PQB ∴. ②当R在CD上时， ∵四边形ABCD为正方形 ∴∠ABC=∠BCR=90°，AB=BC 又∵AP=BR ∴△ABP≌△BCR， ∴∠BAP=∠CBR， ∵∠CBR+∠ABR=90°， ∴∠BAP+∠ABR=90°， ∴∠AQB=90°， ∴BR⊥AP， ∵AB=8.BP=6， ∴AP=BR=， ∵⋅AB⋅BP=⋅AP⋅BQ， ∴， ∴ 故答案为1或. 【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，正方形的性质.能根据题意作图，并得出需分两种情况讨论是解决此题的关键，在第②种情况中，能采用等面积法求BQ能使过程更加简单. 61．（24-25九年级上·上海浦东新·期中）如图，，，且，，，点P是线段DB上一动点，当______时，以C、D、P为顶点的三角形与以P、A、B三点为顶点的三角形相似． 【答案】2或12或5.6 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、利用相似三角形的性质求解、相似三角形——动点问题 【分析】根据已知可以分△PDC△ABP或△PCD△PAB两种情况进行分析． 【详解】解：∵AB⊥DB，CD⊥DB， ∴∠D=∠B= 90°， 设DP= x, 当PD：AB= CD ：PB时，△PDC△ABP， ∴， 解得DP = 2或12， 当PD：PB= CD：AB时，△PCD△PAB， ∴， 解得DP= 5.6， ∴DP = 5.6或2或12． 故答案为：2或12或5.6． 【点睛】此题考查了相似三角形的判定，①如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；②如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似；③如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似．平行于三角形一边的直线截另两边或另两边的延长线所组成的三角形与原三角形相似． 62．（25-26九年级上·上海普陀·期中）已知：在中，，点P是斜边上的一个动点，，交边于点D（点D与点A、C都不重合），点E在射线上，且，设A、P两点的距离为x，的面积为y． (1)如图1，当点E和点C重合时，求的长； (2)如图2，当点E在线段上时，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域； (3)当与相似时，直接写出的面积． 【答案】(1) (2) (3)或 【知识点】相似三角形——动点问题、由平行判断成比例的线段、用勾股定理解三角形 【分析】（1）根据题意可证明可得，根据可得，则，表达出，再在中运用勾股定理即可求解； （2）过点E作于点E，根据题意可证明，则，根据，设，则，进而求出，再在中运用勾股定理求出并表达出，最后运用三角形面积公式即可求解； （3）根据题意当与相似时，只有两种情形：或，进行分类讨论即可． 【详解】（1）解：∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴，． ∴． ∵，， ∴． ∵， ∴． 解得， ∴． （2）解：过点E作于点E，如图， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∵， 设，则， ∴， ∴． ∴． 又∵， ∴． ∵， ∴． ∴． ∵， ∴ ； （3）解：当与相似时，只有两种情形：或． 当时，点E在线段上，，如图， ∵， ∴， ∵， ∵， ∴， ． ∴， ． 解得． ； 当时，点E在射线上，即点E在C点下方，， ∵． ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ． 在中，， ∵， ∴， ． ∴． ， 综上所述，的面积为或． 【点睛】本题考查勾股定理的应用、平行线的性质和相似三角形的判定与性质，找出图形中的相似三角形，掌握相似三角形的判定和性质是关键． 63．（24-25九年级上·上海静安·期中）在矩形中，，，点是线段上的一动点（不与点、重合），过点作，交射线于点，连接． (1)如图1，当点与点重合时，求的长； (2)当直线与直线交于点时，设，； 如图2，点在线段的延长线上，求关于的函数关系式，并写出定义域； 如果与相似，求的长． 【答案】(1)； (2)；的值为或. 【知识点】相似三角形——动点问题、根据矩形的性质求线段长 【分析】()证明，利用相似三角形的性质求解； ()证明，可得，推出，由，推出，由此构建关系式，可得结论； 分两种情形：当点在线段的延长线上；当点在线段的延长线上，分别求解即可． 【详解】（1）∵四边形是矩形，，， ∴，，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴； （2）∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，，， ∴，解得：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ∵，且点不可能在线段上， ∴与相似有两种可能: 当点在线段的延长线上 (如图中) ∵， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ 当点在线段的延长线上 (如图中)， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 综上所述，的值为或. 【点睛】此题考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题． 64．（24-25九年级上·上海浦东新·期中）如图，在中，，，点、、分别在、、边上，沿直线翻折后与重合． (1)求的面积； (2)试问是否有可能与相似，如有可能，请求出的长；如不可能，请说明理由； (3)设，，求与的函数解析式，并写出函数的定义域． 【答案】(1) (2)有可能与相似，的长为或 (3) 【知识点】相似三角形——动点问题、图形问题(实际问题与二次函数)、等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形 【分析】（1）根据等腰三角形的性质，分别求出三角形高，底边长即可求解； （2）假设三角形相似，根据相似三角形的性质，分别求出对应的的长； （3）构造直角三角形，根据勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：∵在中，，， ∴是等腰三角形，如图所示，过点作于， ∴，在中，， ∴， ∴的面积为． （2）解：如图所示， 过点作于， ∵， ∴，且， 假设与相似，设， ①当时，， ∴，则， ∴，即，解得； ②当时，， ∴， ∴，即，解得． 综上所述，的长为或． （3）解：如图所示，过点作于， 由（2）可知，，，且， ∴， ∴，且， ∴，即， ∴， ∴，即， ∴，则， ∴中，， ∴， ∴， 故与的函数解析式，函数的定义域． 【点睛】本题主要考查相似三角形的性质，构造直角三角形，运用勾股定理是解题的关键． 65．（24-25九年级上·上海·期中）如图，RtABC中，，，，P是AB边上的一个动点． (1)当时，求AP的长； (2)当CP平分∠ACB时，求点P到BC的距离； (3)过点P作，PQ交边CB于Q，设，，求y关于x的函数关系式并写出定义域． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【知识点】相似三角形——动点问题、等腰三角形的性质和判定、角平分线的性质定理、用勾股定理解三角形 【分析】（1）由勾股定理求，作，等积法求，由勾股定理求，三线合一求即可． （2）作，，由角平分线性质得，由求，再求即可； （3）由得，即可求y关于x的函数关系式，由的长度确定定义域即可． 【详解】（1）解： 如图： 中，，，， ． 作， 即， 在中 ； 故答案为：； （2）解：如图 过点作，，垂足分别为、， 平分， ， ， ， ，即，解得． 故答案为：； （3）解： 如图，过点作， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了等采三角形三线各一，勾股定理及相似三角形的判定与性质，根据题意作出辅助线，构造出相似三角形是解答此题的关键． 66．（24-25九年级上·上海奉贤·期中）有一张矩形纸片ABCD，已知AB＝2，AD＝5．把这张纸片折叠，使点A落在边BC上的点E处，折痕为MN，MN交边AB于M，交边AD于N． （1）若BE＝，求这时AM的长； （2）点E在边BC上运动时，设BE＝x，AN＝y，试求y关于x的函数解析式，并写出定义域； （3）连结DE，是否存在这样的点E，使得△AME与△DNE相似？若存在，请求出这时BE的长；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2），且；（3） 【知识点】相似三角形——动点问题、等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、矩形与折叠问题 【分析】（1）根据折叠的性质可得，，再由勾股定理求解即可； （2）根据折叠的性质和勾股定理可得，根据折叠的性质可证，得到，推出，根据，的取值范围，求出定义域即可； （3）根据等腰三角形和相似三角形的性质，得到，然后求解即可． 【详解】解：（1）根据题意，画出图形，如下： 由折叠的性质可得 设，则， 由勾股定理得，，即 解得，即 （2）设，则， 由勾股定理得，，即 解得，即 在矩形中， ∴ 由折叠的性质可得，∴ ∴ ∴ ∴，即 解得 ∵， ∴， 化简得，解得 ∴ ∴，且 （3）由题意可得，，∴ 若△AME与△DNE相似，则 由（2）得，∴ ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴， ∴ ∴ 由（2）得，化简得 解得或 又∵ ∴，即 【点睛】此题考查了矩形的折叠问题，涉及了勾股定理、等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质、折叠的性质以及一元二次方程的求解，一元二次不等式的求解，解题的关键是灵活运用相关知识和性质进行求解. 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $