专题03 二次函数的简单应用（期中真题汇编，上海专用）九年级数学上学期

专题03 二次函数的简单应用 7大高频考点概览 考点01图形问题(实际问题与二次函数) 考点02 拱桥问题(实际问题与二次函数) 考点03 销售问题(实际问题与二次函数) 考点04 投球问题(实际问题与二次函数) 考点05 增长率问题(实际问题与二次函数) 考点06 面积问题(二次函数综合) 考点07 角度问题(二次函数综合) 地 城 考点01 图形问题(实际问题与二次函数) 1．（24-25九年级·上海·期中）如图，在一块等腰直角三角形ABC的铁皮上截取一块矩形铁皮，要求截得的矩形的边EF在的边BC上，顶点D、G分别在边AB、AC上．已知厘米，设DG的长为x厘米，矩形DEFG的面积为y平方厘米，那么y关于x的函数解析式为__________．（不要求写出定义域） 2．（24-25九年级上·上海徐汇·期中）已知，在平面直角三角坐标系中，二次函数的图象经过点，，． (1)求这个二次函数的解析式； (2)在抛物线第四象限的图像上求一点D，的面积为10，求点D的坐标． 3．（24-25九年级上·上海静安·期中）已知：如图是400米跑道示意图，中间的足球场是矩形，两边是全等的半圆，设直道的长为x米，足球场的面积为S平方米． (1)求出S关于x的函数关系式（结果保留），并写出定义域； (2)当直道的长为多少米时，足球场的面积最大？ 4．（24-25九年级上·上海静安·期末）已知：如图，是400米跑道示意图，中间的足球场是矩形，两边是全等的半圆，如果问直道的长是多少？那你大概率是知道的．可你也许不知道，这不仅是为了田径比赛的需要，还有另一个原因，等你做完本题就明白了．设直道的长为米，足球场的面积为S平方米． (1)求出S关于的函数关系式（结果保留），并写出定义域： (2)当直道为________米时，足球场的面积最大． 地 城 考点02 拱桥问题(实际问题与二次函数) 5．（24-25九年级上·上海虹口·期中）如图所示，一座抛物线形的拱桥在正常水位时，水面AB宽为20米，拱桥的最高点O到水面AB的距离为4米．如果此时水位上升3米就达到警戒水位CD，那么CD宽为（　　） A．4米 B．10米 C．4米 D．12米 6．（25-26九年级上·上海·期末）如图是一座截面图为抛物线的拱形桥，当拱顶离水面2米高时，水面l为4米，则当水面下降2米时，水面的宽度增加__米． 7．（25-26九年级上·上海杨浦·期末）已知抛物线形拱桥的横截面示意图，当拱顶离水面4米时，水面宽8米．如图建立平面直角坐标系，如果水面上升3米，那么水面宽度减少______米． 8．（24-25九年级上·上海静安·期中）有一座抛物线形状的拱桥，已知正常水位时，水面的宽度为20米，拱顶距水面5米，如图是拱桥的截面图，其中桥拱截线是一段抛物线，平面直角坐标系的原点是桥拱截线与水位正常的水面截线相交处的一点，轴在水面截线上；是警戒线，拱顶到的距离为1.8米． (1)求桥拱截线所在抛物线的表达式； (2)求达到警戒线位置时水面的宽度． 地 城 考点03 销售问题(实际问题与二次函数) 9．（2024九年级上·上海·期中）下表所列为某商店薄利多销的情况，某商品原价为元，随着不同幅度的降价，日销量（单位为件）发生相应的变化．如果售价为元时，日销量为（    ）件． 降价（元） 日销量（件） A．1200 B．750 C．1110 D．1140 10．（25-26九年级·上海·期中）某商店销售一种商品，进价为每件20元，售价为每件30元时，每天可售出100件．若售价每上涨1元，每天销量减少5件． (1)求利润y与售价x的函数关系式； (2)售价定为多少元时，每天获得的利润最大？最大利润是多少？ 11．（2025九年级上·上海静安·期末）某商场以每件40元的价格购进一种商品，试销中发现，这种商品每天的销售量m（件）与每件的销售价x(元）满足一次函数m=-2x+160． （1）写出商场买出这种商品每天的销售利润y与每件的销售价x之间的函数解析式； （2）如果商场要想每天获得最大的销售利润，那么每件商品的售价定位多少元最合适？最大的销售利润为多少元？ 12．（24-25九年级·上海·期中）某超市从厂家购进A、B两种型号的水杯，两次购进水杯的情况如表： 进货批次 A型水杯（个） B型水杯（个） 总费用（元） 一 100 200 8000 二 200 300 13000 (1)求A、B两种型号的水杯进价各是多少元？ (2)在销售过程中，A型水杯因为物美价廉而更受消费者喜欢．为了增大B型水杯的销售量，超市决定对B型水杯进行降价销售，当销售价为44元时，每天可以售出20个，每降价1元，每天将多售出5个，请问超市应将B型水杯降价多少元时，每天售出B型水杯的利润达到最大？最大利润是多少？ 13．（2024九年级上·上海奉贤·期中）某工厂生产一种火爆的网红电子产品，每件产品成本 16 元，工厂将该产品进行网络批发，批发单价 y（元）与一次性批发量 x（件）（x为正整数）之间满 足如图所示的函数关系． （1）直接写出 y与 x之间所满足的函数关系式，并写出自变量 x的取值范围； （2）若一次性批发量不低于 20 且不超过 60 件时，求获得的利润 w 与 x 的函数 关系式，同时当批发量为多少件时，工厂获利最大？最大利润是多少？ 14．（24-25九年级上·上海·期中）暑假期间，全国各影院上映多部影片，某影院每天运营成本为3000元，该影院每天售出的电影票数量（单位：张）与售价（单位：元/张）之间满足一次函数关系（，且是整数），部分数据如下表所示： 电影票售价（元/张） 60 70 售出电影票数量（张） 154 134 (1)请求出与之间的函数关系式； (2)设该影院每天的利润（利润票房收入运营成本）为（单位：元），求与之间的函数关系式． (3)该影院计划十一期间每天的利润达到5700元，那么电影票价要定在每张多少元？ 地 城 考点04 投球问题(实际问题与二次函数) 15．（24-25九年级上·上海浦东新·期末）如图，一位运动员推铅球，铅球运行时离地面高度y（米）与水平距离x（米）之间的关系为，点A是铅球的出手位置，那么铅球运行水平距离______米时落到地面． 16．（24-25九年级上·上海杨浦·期末）小林在练习投掷实心球，其示意图如图，第一次练习时，球从点A处被抛出，其路线是抛物线．点A距离地面，当球到OA的水平距离为时，达到最大高度为．那么投掷距离为______． 17．（24-25九年级上·上海徐汇·期中）“阳光体育活动”促进了学校体育活动的开展，小杰在一次铅球比赛中，铅球出手以后的轨迹是抛物线的一部分（如图所示），已知铅球出手时离地面1.6米（如图，直角坐标平面中的长），铅球到达最高点时离地面2米（即图中的长），离投掷点3米（即图中的长），请求出小杰这次掷铅球的成绩（即图中的长，精确到0.01米，参考数据）． 18．（25-26九年级上·上海杨浦·期末）在一场篮球赛中，运动员小杨在距篮下4米处跳起投篮，球运行的路线呈抛物线形，当球运行的水平距离为米时，到达最高点，此时球离地面的距离是米，然后准确落入篮圈，已知篮圈中心到地面的距离为米． (1)如图1建立平面直角坐标系． ①求此抛物线的表达式； ②如果小杨的身高是米，在这次跳投中，球在头顶上方米，那么球出手时，他跳离地面的高度是多少米？ (2)如图2，在这场篮球赛中，另一位运动员小浦跳起投篮，已知球出手时离地面高米，与篮圈中心的水平距离为7米，当球出手后水平距离为4米时到达最高点，此时球离地面的距离是4米，设篮球运行的路线也呈抛物线形，问此球能否投中这个篮圈？ 19．（24-25九年级上·上海普陀·期末）如图，已知小普推铅球时，铅球运动过程中离地面的高度（米）关于水平距离（米）的函数解析式为． (1)直接写出当小普把球脱手时，球的高度； (2)如果铅球扔出10米的得分为100分，9米为90分以此类推，直接写出小普同学的得分； (3)小普努力训练，投出了超过100分的好成绩，你认为铅球运动过程中离地面的高度（米）关于水平距离（米）的函数解析中、、的值会发生什么变化，请你在图中画出抛物线大概图像，并设出你需要的数据，通过计算验证你的结论． 地 城 考点05 增长率问题(实际问题与二次函数) 20．（2024九年级上·上海青浦·期中）某商店一月份销售额为万元，月平均增长率（），一季度的销售额为万元，那么关于月平均增长率的函数解析式是_____． 21．（24-25九年级上·上海奉贤·期中）印刷厂10月份印刷一畅销小说书5万册，因购买此书人数激增，印刷厂需加印，若设印书量每月的增长率为x，12月印书量y万册，写出y关于x的函数解析式__________． 22．（24-25九年级上·上海浦东·期中）芯片行业是制约我国工业发展的主要技术之一．经过大量科研、技术人员艰苦攻关，我国芯片有了新突破．某芯片实现国产化后，芯片价格大幅下降．原来每片芯片的单价为元，准备进行两次降价，如果每次降价的百分率都为，经过两次降价后的价格为（元）． (1)求与之间的函数关系式； (2)如果该芯片经过两次降价后每片芯片单价为元，求每次降价的百分率． 23．（2025·上海·期中）某企业在2024年1-4月的净利润见下表．经调查后发现，企业的利润数是经过月数的二次函数．（注：净利润数单位为万元；初始宣发资金可单独计算入总利润） XX企业2024年1-4月净利润表 经过月数（x） 1 2 3 4 净利润数（y） -9 -16 -24 (1)求y关于x的函数解析式（无需写定义域）； (2)补全表中的空格处并填空：本公司1-4月平均每月亏损________万元；通过技术改革，到2024年________月起，公司当月不再亏损；理论上到2025年的________月份公司可以把之前的亏损全部赚回来； (3)新年伊始，为使创新产品销量增加，政府决定资助此企业宣发资金，从2025年初启动宣发程序．已知从2025年1月起初始宣发资金是上表亏损的金额的20％，每月使用k万元进行宣发，如初始宣发资金用完，用去金额将从净利润中扣除．若因宣发每月净利润数提升k％，请直接写出k取不同值时由2024年初至2025年第一季度末的总盈亏情况．（计算时保留一位小数） 地 城 考点06 面积问题(二次函数综合) 24．（25-26九年级上·上海奉贤·期中）已知二次函数的图像经过点， (1)求二次函数解析式； (2)将此抛物线向右平移个单位，顶点移到点位置，函数图像与轴交于点，连接，，求的面积． 25．（24-25九年级上·上海宝山·期末）在平面直角坐标系中，已知二次函数的图像经过点和． (1)求该二次函数的表达式； (2)如果点在该函数图像上，求的面积． 26．（25-26九年级上·上海·期中）如图，已知抛物线与轴交于原点与点，顶点为点． (1)求抛物线的表达式以及点、的坐标； (2)已知点在抛物线上，联结PB交轴于，求面积比的值 27．（25-26九年级上·上海普陀·期中）已知二次函数． (1)求这个函数图像的顶点坐标，并指出它的变化情况； (2)如图，在平面直角坐标系中，该函数图像与x轴正半轴交于点A，与y轴交于点C，顶点为D，O为坐标原点，求四边形的面积． 28．（24-25九年级上·上海·期中）如图，已知抛物线的对称轴为直线，且经过点． (1)求a、b的值； (2)如果点B是抛物线的顶点，求的面积． 29．（24-25九年级上·上海松江·期末）二次函数的图像上部分点的横坐标x、纵坐标y的对应值如下表． x … 0 1 2 3 4 … y … 3 0 ? 3 … (1)由表格信息，求出该二次函数解析式，并写出该二次函数图像的顶点D的坐标； (2)如果该二次函数图像与y轴交于点A，点是图像上一点，求的面积． 30．（25-26九年级上·上海浦东新·期中）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．已知点的坐标是，抛物线的对称轴是直线． (1)求抛物线的解析式 (2)第一象限内的抛物线上有一动点，使的面积最大，求点的坐标和面积的最大值． (3)对称轴与轴交于点，在对称轴上找一点，使为直角三角形，求点的坐标． 地 城 考点07 角度问题(二次函数综合) 31．（2024·上海松江·期中）抛物线过点，与y轴交于点C．对称轴与x轴交于点D． (1)求抛物线的解析式及点D的坐标； (2)如图，连接、，在直线上方的抛物线上找点P，使得，求出P点的坐标． 32．（2024九年级上·上海·期末）如图，抛物线经过点，，． (1)在y轴上取一点P，使得，写出点P的坐标； (2)在（1）的条件下，求直线与抛物线L的交点D的坐标． 33．（2024九年级上·上海·期中）如图，已知二次函数的图象与轴交于两点，点坐标为，与轴交于点，点为抛物线顶点，点为中点． (1)求二次函数的解析式； (2)若在直线上方的抛物线上存在点，使得，求点的坐标． 34．（25-26九年级上·上海青浦·期末）如图，平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于点、B，与y轴交于点C，抛物线的顶点为点D． (1)求b的值和点D的坐标； (2)已知以点G为顶点的抛物线与抛物线相交． ①设抛物线、的交点为点E，在抛物线上，如果点E与点G之间的部分是上升的，求m的取值范围； ②连接，过点G作的平行线，交抛物线于点N，如果平分，求m的值． 35．（2025·上海杨浦·期中）已知平面直角坐标系，抛物线与x轴交于点A和点B（点A在点B左侧），与y轴交于点C，顶点为D，过点C作轴交抛物线于点E． (1)直接写出抛物线的对称轴及点A、B的坐标； (2)联结，如果平分，求a的值； (3)点P是抛物线上一点，线段交于点F，如果，那么直线是否一定会经过一个定点？如果会，求出这个定点的坐标；如果不会，请说明理由． 36．（2024·上海·期末）如图，抛物线与轴交于，两点，与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点． (1)求抛物线解析式及点D坐标； (2)点N是y轴负半轴上的一点且，点Q在对称轴右侧的抛物线上运动，连接，与抛物线的对称轴交于点M，连接，当平分时，求点Q坐标； (3)如图，直线交抛物线的对称轴于E，P是坐标平面内一点，当与全等时，请直接写出点P坐标． 37．（2024九年级上·上海·期末）如图①抛物线y＝ax2+bx+4（a≠0）与x轴，y轴分别交于点A（﹣1，0），B（4，0），点C三点． （1）试求抛物线的解析式； （2）点D（3，m）在第一象限的抛物线上，连接BC，BD．试问，在对称轴左侧的抛物线上是否存在一点P，满足∠PBC＝∠DBC？如果存在，请求出点P点的坐标；如果不存在，请说明理由； （3）点N在抛物线的对称轴上，点M在抛物线上，当以M、N、B、C为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点M的坐标． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 二次函数的简单应用 7大高频考点概览 考点01图形问题(实际问题与二次函数) 考点02 拱桥问题(实际问题与二次函数) 考点03 销售问题(实际问题与二次函数) 考点04 投球问题(实际问题与二次函数) 考点05 增长率问题(实际问题与二次函数) 考点06 面积问题(二次函数综合) 考点07 角度问题(二次函数综合) 地 城 考点01 图形问题(实际问题与二次函数) 1．（24-25九年级·上海·期中）如图，在一块等腰直角三角形ABC的铁皮上截取一块矩形铁皮，要求截得的矩形的边EF在的边BC上，顶点D、G分别在边AB、AC上．已知厘米，设DG的长为x厘米，矩形DEFG的面积为y平方厘米，那么y关于x的函数解析式为__________．（不要求写出定义域） 【答案】 【知识点】图形问题(实际问题与二次函数) 【分析】根据题意，列出y关于x的函数解析式即可； 【详解】解：∵是等腰直角三角形， ∴∠B=45°， ∵四边形DEFG是矩形， ∴BE⊥DE， ∴BE=DE， ∴ 故答案为：． 【点睛】本题主要考查二次函数的应用，关键在于根据题意列出二次函数关系式． 2．（24-25九年级上·上海徐汇·期中）已知，在平面直角三角坐标系中，二次函数的图象经过点，，． (1)求这个二次函数的解析式； (2)在抛物线第四象限的图像上求一点D，的面积为10，求点D的坐标． 【答案】(1)； (2)． 【知识点】求一次函数解析式、待定系数法求二次函数解析式、图形问题(实际问题与二次函数) 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）连接、、，过点D作轴交直线于点E，求出直线的解析式，设，可得，然后根据列式整理求出a的值即可解决问题． 【详解】（1）解：将点，，代入， 得，解得：， ∴这个二次函数的解析式为； （2）解：如图，连接、、，过点D作轴交直线于点E， 设直线的解析式为， 代入，得，解得：， ∴直线的解析式为， 设，则点E的纵坐标为， 当时，解得：， ∴， ∴ ∴ ， ∵的面积为10， ∴， 解得：或（舍去）， 当时，， ∴． 【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，一次函数、二次函数图象上点的坐标特征，三角形面积计算，解一元二次方程等知识，根据点D的坐标能够表示出点E的坐标是解答本题的关键． 3．（24-25九年级上·上海静安·期中）已知：如图是400米跑道示意图，中间的足球场是矩形，两边是全等的半圆，设直道的长为x米，足球场的面积为S平方米． (1)求出S关于x的函数关系式（结果保留），并写出定义域； (2)当直道的长为多少米时，足球场的面积最大？ 【答案】(1) (2)100米 【知识点】图形问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查了二次函数的应用，正确理解题意是解题的关键． （1）根据矩形的面积公式求出矩形的宽，即半圆的直径，再根据“跑道的长度直道的长一个圆的周长”列出等式并将S用x表示出来即可； （2）根据二次函数的性质，用配方法求二次函数的最大值即可． 【详解】（1）解：根据题意，得， 解得， ，即，且， ， S关于x的函数关系式及定义域是； （2）解：， 当时，S的值最大， 当直道的长为100米时，足球场的面积最大． 4．（24-25九年级上·上海静安·期末）已知：如图，是400米跑道示意图，中间的足球场是矩形，两边是全等的半圆，如果问直道的长是多少？那你大概率是知道的．可你也许不知道，这不仅是为了田径比赛的需要，还有另一个原因，等你做完本题就明白了．设直道的长为米，足球场的面积为S平方米． (1)求出S关于的函数关系式（结果保留），并写出定义域： (2)当直道为________米时，足球场的面积最大． 【答案】(1)；定义域为 (2)当直道为100米时，足球场的面积最大 【知识点】图形问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是理解题意； （1）根据题意可得足球场的宽为，然后根据长方形的面积公式可进行求解； （2）根据（1）中的函数关系式可进行求解． 【详解】（1）解：由题意得： ； ∵， ∴； ∴S关于的函数关系式为；定义域为； （2）解：由（1）可知： ， ∵， ∴当直道为100米时，足球场的面积最大． 地 城 考点02 拱桥问题(实际问题与二次函数) 5．（24-25九年级上·上海虹口·期中）如图所示，一座抛物线形的拱桥在正常水位时，水面AB宽为20米，拱桥的最高点O到水面AB的距离为4米．如果此时水位上升3米就达到警戒水位CD，那么CD宽为（　　） A．4米 B．10米 C．4米 D．12米 【答案】B 【知识点】拱桥问题(实际问题与二次函数) 【分析】以O点为坐标原点，AB的垂直平分线为y轴，过O点作y轴的垂线，建立直角坐标系，设抛物线的解析式为y＝ax²，由此可得A（﹣10，﹣4），B（10，﹣4），即可求函数解析式为y＝﹣ x²，再将y＝﹣1代入解析式，求出C、D点的横坐标即可求CD的长． 【详解】解：以O点为坐标原点，AB的垂直平分线为y轴，过O点作y轴的垂线，建立直角坐标系， 设抛物线的解析式为y＝ax2， ∵O点到水面AB的距离为4米， ∴A、B点的纵坐标为﹣4， ∵水面AB宽为20米， ∴A（﹣10，﹣4），B（10，﹣4）， 将A代入y＝ax2， ﹣4＝100a， ∴a＝﹣， ∴y＝﹣x2， ∵水位上升3米就达到警戒水位CD， ∴C点的纵坐标为﹣1， ∴﹣1＝﹣x2， ∴x＝±5， ∴CD＝10， 故选：B． 【点睛】本题考查二次函数在实际问题中的应用，找对位置建立坐标系再求解二次函数是关键． 6．（25-26九年级上·上海·期末）如图是一座截面图为抛物线的拱形桥，当拱顶离水面2米高时，水面l为4米，则当水面下降2米时，水面的宽度增加__米． 【答案】 【知识点】拱桥问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，根据题意建立平面直角坐标系，求出抛物线的解析式，进而求出当时x的值，则可求出水面下降2米时，水面的宽度，进而可得答案． 【详解】解：如图所示，建立平面直角坐标系，则抛物线的顶点C的坐标为，点A的坐标为， 设抛物线解析式为，则，解得， ∴抛物线解析式为， 当时，， 解得， ∴水面下降2米时，水面的宽度为， ∴水面下降2米时，水面的宽度增加， 故答案为：． 7．（25-26九年级上·上海杨浦·期末）已知抛物线形拱桥的横截面示意图，当拱顶离水面4米时，水面宽8米．如图建立平面直角坐标系，如果水面上升3米，那么水面宽度减少______米． 【答案】4 【知识点】拱桥问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查了二次函数的应用，理解题意求得函数表达式是解题的关键． 依题意，设该抛物线表达式为，代入，从而得到抛物线的表达式，根据水面上升3米，则，求得此时对应的横坐标，从而得到此时的水面宽度，进而求得答案． 【详解】解：依题意得，抛物线的顶点坐标为， ∴设该抛物线表达式为， 代入得， 解得， ∴， 如果水面上升3米，则， 此时， 解得，， ∴此时水面宽度为（米）， ∴水面宽度减少（米）． 故答案为：4． 8．（24-25九年级上·上海静安·期中）有一座抛物线形状的拱桥，已知正常水位时，水面的宽度为20米，拱顶距水面5米，如图是拱桥的截面图，其中桥拱截线是一段抛物线，平面直角坐标系的原点是桥拱截线与水位正常的水面截线相交处的一点，轴在水面截线上；是警戒线，拱顶到的距离为1.8米． (1)求桥拱截线所在抛物线的表达式； (2)求达到警戒线位置时水面的宽度． 【答案】(1)； (2)达到警戒线位置时水面的宽度为12米． 【知识点】拱桥问题(实际问题与二次函数)、待定系数法求二次函数解析式 【分析】（1）由题意可得，抛物线与轴的交点为，，顶点坐标为，设抛物线解析式为，再将代入求解即可； （2）将代入抛物线，求解一元二次方程，即可求解． 【详解】（1）解：由题意可得，抛物线与轴的交点为，，顶点坐标为， 设抛物线解析式为 将代入可得，解得， 即 （2）解：由题意可得，、两点的纵坐标为， 将代入，可得， 化简可得， 解得：， 即， 则米， 答：达到警戒线位置时水面的宽度为12米． 【点睛】此题考查了二次函数的应用，解题的关键是理解题意，正确求得二次函数解析式． 地 城 考点03 销售问题(实际问题与二次函数) 9．（2024九年级上·上海·期中）下表所列为某商店薄利多销的情况，某商品原价为元，随着不同幅度的降价，日销量（单位为件）发生相应的变化．如果售价为元时，日销量为（    ）件． 降价（元） 日销量（件） A．1200 B．750 C．1110 D．1140 【答案】C 【知识点】最大利润问题(一次函数的实际应用)、销售问题(实际问题与二次函数) 【分析】由题意根据表中的数据分析得，每降元，销售量增加件，就可求出降元时的销售量，以此进行分析即可． 【详解】解：由表中数据得，每降元，销售量增加件， 即每降元，销售量增加件， 降元时，销售量为（件）． 故答案为：． 【点睛】本题考查一次函数的应用以及二次函数的应用：在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润，最大销量等问题．解答此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式． 10．（25-26九年级·上海·期中）某商店销售一种商品，进价为每件20元，售价为每件30元时，每天可售出100件．若售价每上涨1元，每天销量减少5件． (1)求利润y与售价x的函数关系式； (2)售价定为多少元时，每天获得的利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1) (2)售价定为35元时利润最大，最大利润1125元 【知识点】y=ax²+bx+c的最值、销售问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题主要考查了二次函数的应用——营销利润问题，熟练掌握利润与售价和数量的关系列函数解析式，是解题关键． （1）根据题意，可得，整理即可获得答案； （2）将二次函数解析式转化为顶点式，根据二次函数的图像与性质，并结合题意，即可获得答案． 【详解】（1）解：； （2）解：配方得， ∵， ∴当时，y取得最大值1125， ∴最大利润1125元． 答：售价定为35元时利润最大，最大利润1125元． 11．（2025九年级上·上海静安·期末）某商场以每件40元的价格购进一种商品，试销中发现，这种商品每天的销售量m（件）与每件的销售价x(元）满足一次函数m=-2x+160． （1）写出商场买出这种商品每天的销售利润y与每件的销售价x之间的函数解析式； （2）如果商场要想每天获得最大的销售利润，那么每件商品的售价定位多少元最合适？最大的销售利润为多少元？ 【答案】（1）y与每件的销售价x之间的函数解析式是；（2）每件商品的售价定位60元最合适，最大的销售利润为800元． 【知识点】销售问题(实际问题与二次函数) 【分析】（1）此题可以按等量关系“每天的销售利润＝（销售价−进价）×每天的销售量”列出函数关系式，并由售价大于进价，且销售量大于零求得自变量的取值范围； （2）根据（1）所得的函数关系式，利用配方法求二次函数的最值即可得出答案． 【详解】（1）由题意得，每件商品的销售利润为（x-40）元，那么m件的销售利润为y＝m（x-40），又∵m＝−2x+160， ∴， ∴y与每件的销售价x之间的函数解析式是； （2）由（1可得）， 可得每件商品的售价定位60元最合适，最大的销售利润为800元． 【点睛】本题考查了二次函数在实际生活中的应用，解答本题的关键是根据等量关系：“每天的销售利润＝（销售价−进价）×每天的销售量”列出函数关系式，另外要熟练掌握二次函数求最值的方法． 12．（24-25九年级·上海·期中）某超市从厂家购进A、B两种型号的水杯，两次购进水杯的情况如表： 进货批次 A型水杯（个） B型水杯（个） 总费用（元） 一 100 200 8000 二 200 300 13000 (1)求A、B两种型号的水杯进价各是多少元？ (2)在销售过程中，A型水杯因为物美价廉而更受消费者喜欢．为了增大B型水杯的销售量，超市决定对B型水杯进行降价销售，当销售价为44元时，每天可以售出20个，每降价1元，每天将多售出5个，请问超市应将B型水杯降价多少元时，每天售出B型水杯的利润达到最大？最大利润是多少？ 【答案】(1)A型号进价20元，B型号的进价30元 (2)降价5元时，最大利润为405元 【知识点】销售、利润问题(二元一次方程组的应用)、销售问题(实际问题与二次函数) 【分析】（1）设A、B两种型号的水杯进价各是x元、y元，根据题意列出方程组即可完成； （2）设B型水杯降价x元，每天销售的B型水杯的利润为w元，则可得w关于x的二次函数，即可求得结果． 【详解】（1）解：设A、B两种型号的水杯进价各是x元、y元 由题意得方程组： 化简得： 解方程组得： 即A、B两种型号的水杯进价各是20元、30元. （2）解：设B型水杯降价x元，每天销售的B型水杯的利润为w元，则每天多售出5x个，每天的销售量为(20+5x)个，每个水杯的售价为(44-x)元 由题意得： 整理得： 当x=5时，w最大，且最大值为405 即超市将B型水杯降价5元时，每天售出B型水杯的利润达到最大，最大利润是405元． 【点睛】本题考查了二元一次方程组及二次函数的实际应用，正确理解题意，找到等量关系列出方程及函数关系式是解题的关键． 13．（2024九年级上·上海奉贤·期中）某工厂生产一种火爆的网红电子产品，每件产品成本 16 元，工厂将该产品进行网络批发，批发单价 y（元）与一次性批发量 x（件）（x为正整数）之间满 足如图所示的函数关系． （1）直接写出 y与 x之间所满足的函数关系式，并写出自变量 x的取值范围； （2）若一次性批发量不低于 20 且不超过 60 件时，求获得的利润 w 与 x 的函数 关系式，同时当批发量为多少件时，工厂获利最大？最大利润是多少？ 【答案】（1）当且x为整数时，；当且x为整数时，；当且x为整数时，y=20；（2）一次批发34件时所获利润最大，最大利润是578元 【知识点】销售问题(实际问题与二次函数) 【分析】（1）认真观察图象，分别写出该定义域下的函数关系式，定义域取值全部是整数； （2）根据利润=（售价-成本）×件数，列出利润的表达式，求出最值． 【详解】（1）当且x为整数时，； 当且x为整数时，； 当且x为整数时，； （2）当且x为整数时，， ∴， ∴ ∴ ∵ ∴当x=34时，w最大，最大值为578 答：一次批发34件时所获利润最大，最大利润是578元． 【点睛】本题主要考查一次函数和二次函数的应用，根据题意列出函数表达式并熟练运用性质是解决问题的关键． 14．（24-25九年级上·上海·期中）暑假期间，全国各影院上映多部影片，某影院每天运营成本为3000元，该影院每天售出的电影票数量（单位：张）与售价（单位：元/张）之间满足一次函数关系（，且是整数），部分数据如下表所示： 电影票售价（元/张） 60 70 售出电影票数量（张） 154 134 (1)请求出与之间的函数关系式； (2)设该影院每天的利润（利润票房收入运营成本）为（单位：元），求与之间的函数关系式． (3)该影院计划十一期间每天的利润达到5700元，那么电影票价要定在每张多少元？ 【答案】(1)（，且是整数） (2) (3)电影票价要定在每张87元 【知识点】求一次函数解析式、销售问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查二次函数的应用、待定系数法求一次函数解析式，解答本题的关键是明确题意，求出相应的函数解析式， （1）根据题意和表格中的数据，可以计算出与之间的函数关系式； （2）根据利润票房收入运营成本和（1）中的结果，可以写出与之间的函数关系式； （3）当时，则，然后解一元二次方程即可求得出答案． 【详解】（1）解：设与之间的函数关系式是， 由表格可得，， 解得， 即与之间的函数关系式是（，且是整数） （2）解：由题意可得，， 即与之间的函数关系式是； （3）解：由（2）知：， 当时，则， 整理得：， 解得：或（舍去）， 故电影票价要定在每张87元． 地 城 考点04 投球问题(实际问题与二次函数) 15．（24-25九年级上·上海浦东新·期末）如图，一位运动员推铅球，铅球运行时离地面高度y（米）与水平距离x（米）之间的关系为，点A是铅球的出手位置，那么铅球运行水平距离______米时落到地面． 【答案】10 【知识点】投球问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，铅球落地时，，故由题意可得关于x的方程，解得x的值并根据问题的实际意义作出取舍即可． 【详解】解：令，则， 解得：，（舍去）， ∴铅球运行水平距离为10米时落到地面． 故答案为：10． 16．（24-25九年级上·上海杨浦·期末）小林在练习投掷实心球，其示意图如图，第一次练习时，球从点A处被抛出，其路线是抛物线．点A距离地面，当球到OA的水平距离为时，达到最大高度为．那么投掷距离为______． 【答案】4 【知识点】投球问题(实际问题与二次函数) 【分析】此题考查了二次函数的实际应用，建立直角坐标系，由题意得：抛物线的顶点坐标为，设抛物线的解析式为，过点，利用待定系数法求出解析式，当时求出x的值即可得到． 【详解】解：建立如图所示的直角坐标系，      由题意得：抛物线的顶点坐标为， 设抛物线的解析式为，过点， ∴， 解得， ∴， 当时，， 得（舍去）， ∴投掷距离为； 故答案为：4． 17．（24-25九年级上·上海徐汇·期中）“阳光体育活动”促进了学校体育活动的开展，小杰在一次铅球比赛中，铅球出手以后的轨迹是抛物线的一部分（如图所示），已知铅球出手时离地面1.6米（如图，直角坐标平面中的长），铅球到达最高点时离地面2米（即图中的长），离投掷点3米（即图中的长），请求出小杰这次掷铅球的成绩（即图中的长，精确到0.01米，参考数据）． 【答案】小杰这次掷铅球的成绩为米 【知识点】投球问题(实际问题与二次函数) 【分析】已知抛物线上的两点，其中为顶点坐标，可设顶点式，再代入点求得，从而得到解析式，然后将代入函数解析式即可得出结果． 【详解】解：由题意得：， 设抛物线的解析式为， 将代入得， 解得：， ∴抛物线解析式为， 令，得， 解得：或（舍去） ∴米， 答：小杰这次掷铅球的成绩为米． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，涉及到抛物线上的三点而求其解析式，难度一般． 18．（25-26九年级上·上海杨浦·期末）在一场篮球赛中，运动员小杨在距篮下4米处跳起投篮，球运行的路线呈抛物线形，当球运行的水平距离为米时，到达最高点，此时球离地面的距离是米，然后准确落入篮圈，已知篮圈中心到地面的距离为米． (1)如图1建立平面直角坐标系． ①求此抛物线的表达式； ②如果小杨的身高是米，在这次跳投中，球在头顶上方米，那么球出手时，他跳离地面的高度是多少米？ (2)如图2，在这场篮球赛中，另一位运动员小浦跳起投篮，已知球出手时离地面高米，与篮圈中心的水平距离为7米，当球出手后水平距离为4米时到达最高点，此时球离地面的距离是4米，设篮球运行的路线也呈抛物线形，问此球能否投中这个篮圈？ 【答案】(1)①；②米 (2)不能投进 【知识点】投球问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查了二次函数的应用，理解题意求得二次函数的表达式是解题的关键． （1）①根据题意，设抛物线为，将代入，即可求得抛物线表达式；②求得抛物线与y轴的交点坐标，即为球出手时离地面的高度，进而求得答案； （2）根据题意，设抛物线为，将代入，求得抛物线表达式，然后把代入表达式，求得y的值，即可判断． 【详解】（1）解：①由题意可知，抛物线的顶点坐标为， ∴设抛物线为， 将代入， 得， 解得 ∴． ②当时，， ∴抛物线与y轴交点为，即球出手时离地面的高度为米， ∴他跳离地面的高度为：（米）． （2）解：由题意可知，抛物线的顶点坐标为， ∴设抛物线为， 将代入， 得， 解得， ∴． 当时，， ∵， ∴不能投进． 19．（24-25九年级上·上海普陀·期末）如图，已知小普推铅球时，铅球运动过程中离地面的高度（米）关于水平距离（米）的函数解析式为． (1)直接写出当小普把球脱手时，球的高度； (2)如果铅球扔出10米的得分为100分，9米为90分以此类推，直接写出小普同学的得分； (3)小普努力训练，投出了超过100分的好成绩，你认为铅球运动过程中离地面的高度（米）关于水平距离（米）的函数解析中、、的值会发生什么变化，请你在图中画出抛物线大概图像，并设出你需要的数据，通过计算验证你的结论． 【答案】(1)球的高度是米 (2)得分100分 (3) 解：变小，可以不变（答案不唯一）， 假设落地距离为米，保持， 将代入， 则， 解得，此时 作图如图： 【知识点】投球问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）直接令求解即可； （2）令，解一元二次方程求出方程的根即可判断得分； （3）的绝对值变小，可以不变，假设落地距离为米，保持，再计算说理，即可作图． 【详解】（1）解：当时，， ∴小普把球脱手时，球的高度是米； （2）解：当时，， 整理得， 解得，（舍）， ∵铅球扔出10米的得分为100分， ∴小普得分100分； （3）略 地 城 考点05 增长率问题(实际问题与二次函数) 20．（2024九年级上·上海青浦·期中）某商店一月份销售额为万元，月平均增长率（），一季度的销售额为万元，那么关于月平均增长率的函数解析式是_____． 【答案】 【知识点】列二次函数关系式、增长率问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查了求函数解析式，根据题意分别把二月份、三月份的销售额表示出来，由一季度的销售额为万元即可求出函数解析式，理解题意，找到变量之间的关系是解题的关键． 【详解】解：根据题意可得，， 故答案为：． 21．（24-25九年级上·上海奉贤·期中）印刷厂10月份印刷一畅销小说书5万册，因购买此书人数激增，印刷厂需加印，若设印书量每月的增长率为x，12月印书量y万册，写出y关于x的函数解析式__________． 【答案】 【知识点】增长率问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查二次函数是应用，理解题意，根据10月份印刷小说书5万册，每月的增长率为x，则11月份印刷小说书万册，12月份印刷小说书万册，即可求解． 【详解】根据题意，得y关于x的函数解析式为：． 故答案为： 22．（24-25九年级上·上海浦东·期中）芯片行业是制约我国工业发展的主要技术之一．经过大量科研、技术人员艰苦攻关，我国芯片有了新突破．某芯片实现国产化后，芯片价格大幅下降．原来每片芯片的单价为元，准备进行两次降价，如果每次降价的百分率都为，经过两次降价后的价格为（元）． (1)求与之间的函数关系式； (2)如果该芯片经过两次降价后每片芯片单价为元，求每次降价的百分率． 【答案】(1) (2) 【知识点】增长率问题(一元二次方程的应用)、增长率问题(实际问题与二次函数) 【分析】（1）利用经过两次降价后的价格原价每次降价的百分率，即可找出与之间了函数关系式； （2）根据该芯片经过两次降价后每块芯片单价为元，即可得出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论． 【详解】（1）∵每次降价的百分率都为，经过两次降价后的价格为（元） ∴依题意得：， ∴与之间的函数关系式为； （2）依题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， ∴每次降价的百分率为20%． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及二次函数关系式，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，找出y关于x的函数关系式；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程． 23．（2025·上海·期中）某企业在2024年1-4月的净利润见下表．经调查后发现，企业的利润数是经过月数的二次函数．（注：净利润数单位为万元；初始宣发资金可单独计算入总利润） XX企业2024年1-4月净利润表 经过月数（x） 1 2 3 4 净利润数（y） -9 -16 -24 (1)求y关于x的函数解析式（无需写定义域）； (2)补全表中的空格处并填空：本公司1-4月平均每月亏损________万元；通过技术改革，到2024年________月起，公司当月不再亏损；理论上到2025年的________月份公司可以把之前的亏损全部赚回来； (3)新年伊始，为使创新产品销量增加，政府决定资助此企业宣发资金，从2025年初启动宣发程序．已知从2025年1月起初始宣发资金是上表亏损的金额的20％，每月使用k万元进行宣发，如初始宣发资金用完，用去金额将从净利润中扣除．若因宣发每月净利润数提升k％，请直接写出k取不同值时由2024年初至2025年第一季度末的总盈亏情况．（计算时保留一位小数） 【答案】(1) (2)空格处应填；17.5；10；3 (3)当时，，盈利， 当时，不亏损也不盈利， 当时，，亏损． 【知识点】其他问题(实际问题与二次函数)、待定系数法求二次函数解析式、增长率问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题主要考查二次函数在实际问题中的应用，应用待定系数法求解方程是解题的关键． （1）根据待定系数法求解方程即可； （2）由（1）的解析式进行代值计算即可求解； （3）根据题意得到总利润表达式，再解不等式得出结论即可． 【详解】（1）设二次函数解析式为， ， 所以函数解析式为； （2）由（1）知函数解析式为， 当时，， 故空格处应填； （万元）， 所以1-4月平均每月亏损17.5万元， 故答案为：17.5； 令，解得， 所以到2024年10月起，公司当月不再亏损， 故答案为：10； 因为，所以， 则1-9月共亏损165万元，10月份不亏损也没有盈利， 11月盈利11万元，12月盈利24万元，2025年1月盈利39万元， 2025年2月盈利56万元，2025年3月盈利75万元， 从2024年1月到2025年2月亏损35万元，到3月盈利40万元， 理论上到2025年的3月份公司可以把之前的亏损全部赚回来， 故答案为：3； （3）由（2）可知2024年总利润为万元， 初始宣发资金为（万元）， 则每月的净利润数为， 当代入求和可得2025年第一季度末的净利润为 ， 所以2024年初至2025年第一季度末的总利润为： ， 所以当时，，盈利， 当时，不亏损也不盈利，当时，，亏损． 地 城 考点06 面积问题(二次函数综合) 24．（25-26九年级上·上海奉贤·期中）已知二次函数的图像经过点， (1)求二次函数解析式； (2)将此抛物线向右平移个单位，顶点移到点位置，函数图像与轴交于点，连接，，求的面积． 【答案】(1)二次函数解析式为； (2)的面积为． 【知识点】求一次函数解析式、二次函数图象的平移、待定系数法求二次函数解析式、面积问题(二次函数综合) 【分析】本题考查了二次函数的性质，待定系数法求解析式，二次函数的平移等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． （）利用待定系数法即可求解； （）延长交轴于点，将此抛物线向右平移个单位，则平移后解析式为，求出，，再根据待定系数法求出直线解析式为，从而可得，所以，最后通过即可求解． 【详解】（1）解：∵二次函数的图像经过点， ∴， 解得：， ∴二次函数解析式为； （2）解：如图，延长交轴于点， 由（）得，二次函数解析式为， ∵将此抛物线向右平移个单位， ∴平移后解析式为， ∴， 当时，， ∴， 设直线解析式为， ∴， 解得， ∴直线解析式为， 当时，， 解得：， ∴， ∴， ∴ ， ∴的面积为． 25．（24-25九年级上·上海宝山·期末）在平面直角坐标系中，已知二次函数的图像经过点和． (1)求该二次函数的表达式； (2)如果点在该函数图像上，求的面积． 【答案】(1) (2)6 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、y=ax²+bx+c的图象与性质、面积问题(二次函数综合) 【分析】本题主要考查了利用待定系数法求二次函数的解析式，解题关键是熟练掌握利用待定系数法求二次函数的解析式； （1）把两点坐标代入二次函数得关于的二元一次方程组，解方程组求出即可； （2）先令，从而求出，再把代入二次函数得点坐标，可知轴，最后根据的面积，列出算式进行计算即可． 【详解】（1）解：由图像经过点，可知， 再由图像经过点，可得，解得， 所以，该二次函数的表达式为； （2）把代入，得， 由、可知轴， 于是，边上的高为3， ∴． 26．（25-26九年级上·上海·期中）如图，已知抛物线与轴交于原点与点，顶点为点． (1)求抛物线的表达式以及点、的坐标； (2)已知点在抛物线上，联结PB交轴于，求面积比的值 【答案】(1)，，； (2) 【知识点】求一次函数解析式、待定系数法求二次函数解析式、求抛物线与x轴的交点坐标、面积问题(二次函数综合) 【分析】（1）将原点代入解析式求出a即可求出表达式，并令求出点A坐标，根据解析式得到点B的坐标； （2）先求出点P的坐标，得到直线的解析式，求出点E的坐标，根据三角形面积公式列出等式，即可求出比值． 【详解】（1）解：∵抛物线经过坐标原点O，代入得， 解得， ∴抛物线解析式为， ∵抛物线与x轴正半轴交于点A， ∴， 解得（舍去），， ∴点； ∵抛物线顶点为点B， ∴； （2）当时，， ∴， 设直线的解析式为 ∴， 解得， ∴直线的解析式为， 当时， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，解题的关键是熟知二次函数的性质． 27．（25-26九年级上·上海普陀·期中）已知二次函数． (1)求这个函数图像的顶点坐标，并指出它的变化情况； (2)如图，在平面直角坐标系中，该函数图像与x轴正半轴交于点A，与y轴交于点C，顶点为D，O为坐标原点，求四边形的面积． 【答案】(1)顶点坐标是，在直线左侧的部分是上升的，在直线右侧的部分是下降的 (2)15 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、面积问题(二次函数综合) 【分析】本题主要考查了二次函数的图像和性质，顶点坐标，求围成图形的面积等，解题的关键是掌握二次函数的图像和性质． （1）利用顶点坐标公式进行求解即可，根据二次函数的性质确定其变化情况； （2）过点D作轴于点H，求出函数与坐标轴的交点，然后利用割补法求四边形的面积即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴． 把代入，得． ∴这个二次函数图像的顶点坐标是． ∵二次函数图像的开口向下， ∴在直线左侧的部分是上升的，在直线右侧的部分是下降的； （2）解：如图所示，过点D作轴于点H， ∵二次函数图像与x轴正半轴交于点A， ∴把代入得， 解得，（舍去）． ∴点A坐标是．      ∵二次函数图像的顶点坐标是 ，与y轴交点坐标是， 则． ∴         ． 28．（24-25九年级上·上海·期中）如图，已知抛物线的对称轴为直线，且经过点． (1)求a、b的值； (2)如果点B是抛物线的顶点，求的面积． 【答案】(1)，； (2) 【知识点】求一次函数解析式、待定系数法求二次函数解析式、面积问题(二次函数综合) 【分析】本题考查二次函数的性质，待定系数法求函数解析式，数形结合是解题的关键． （1）运用待定系数法即可求得答案； （2）求出，，运用待定系数法求得直线的解析式为，设直线与抛物线对称轴交于点，则，，利用三角形面积即可得出答案． 【详解】（1）解：二次函数的对称轴为直线， ， ， ， 过点， ； （2）解：∵点B是抛物线的顶点， ， 由（1）可知：，设直线的解析式为， 则， 解得：， 直线的解析式为， 设直线与抛物线对称轴交于点，则， ， ， 的面积为． 29．（24-25九年级上·上海松江·期末）二次函数的图像上部分点的横坐标x、纵坐标y的对应值如下表． x … 0 1 2 3 4 … y … 3 0 ? 3 … (1)由表格信息，求出该二次函数解析式，并写出该二次函数图像的顶点D的坐标； (2)如果该二次函数图像与y轴交于点A，点是图像上一点，求的面积． 【答案】(1)，顶点D的坐标为 (2) 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、面积问题(二次函数综合) 【分析】本题考查二次函数的解析式，二次函数的图像和性质，掌握待定系数法是解题的关键． （1）运用待定系数法求出函数解析式，并配方找到顶点坐标即可； （2）求出直线的解析式，过点D作轴交于点E，得到点E的坐标，根据计算即可． 【详解】（1）解：把、、代入得： ，解得， ∴函数关系式为：， ， ∴顶点D的坐标为； （2）解：当时，， ∴点P的坐标为， 设直线的解析式为，把点和代入得： ，解得：， ∴解析式为， 过点D作轴交于点E， 当时，， ∴点E的坐标为， ∴， ∴． 30．（25-26九年级上·上海浦东新·期中）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．已知点的坐标是，抛物线的对称轴是直线． (1)求抛物线的解析式 (2)第一象限内的抛物线上有一动点，使的面积最大，求点的坐标和面积的最大值． (3)对称轴与轴交于点，在对称轴上找一点，使为直角三角形，求点的坐标． 【答案】(1) (2)，面积的最大值为； (3)或 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、y=ax²+bx+c的图象与性质、面积问题(二次函数综合)、特殊三角形问题(二次函数综合) 【分析】（1）由抛物线的对称性质可求得点B的坐标为，则可得抛物线解析式为，展开后比较常数项即可求得a的值，从而求解； （2）过点P作轴于点E，交于点F，先求出直线的解析式，设，则可得点F的坐标，从而求得，由可得关于m的二次函数，利用二次函数的性质即可求解； （3）分两种情况：当时；当时，即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴是直线，，两点关于对称轴对称，且， ∴， 则得， 展开得：， ∴， ∴， 即抛物线的解析式为； （2）解：如图，过点P作轴于点E，交于点F， 在中，令，得， 即， 设直线的解析式为， 把B、C两点的坐标分别代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为， 设，其中，则可得点F的坐标为， ∴， ∵ ， ， 当时，取得最大值， 则， ∴此时点P的坐标为； （3）解：①当时； 此时点M与点C的纵坐标相同， ∴； ②当时，如图， 设，其中， ∴，， ∵， ∴由勾股定理得：， 即， 解得：， 故， 综上，点M的坐标为或． 【点睛】本题是二次函数的综合，考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的图象与性质，二次函数的最值，勾股定理等知识，掌握二次函数的图象与性质是关键． 地 城 考点07 角度问题(二次函数综合) 31．（2024·上海松江·期中）抛物线过点，与y轴交于点C．对称轴与x轴交于点D． (1)求抛物线的解析式及点D的坐标； (2)如图，连接、，在直线上方的抛物线上找点P，使得，求出P点的坐标． 【答案】(1)， (2)点P坐标为 【知识点】角度问题(二次函数综合)、待定系数法求二次函数解析式 【分析】（1）用待定系数法求解即可； （2）过点B作交延长线于点E，可证，则可求点E坐标，然后求直线的解析式，联立方程组，解方程组即可求点P的坐标． 【详解】（1）解：∵抛物线过点， ∴， 解得， ∴抛物线解析式为， 对称轴为直线， ∴对称轴与x 轴的交点D坐标为． （2）解：过点B作交延长线于点E， 当时，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴点E坐标为， 设直线解析式为， 把，代入得， ， 解得， ∴直线解析式为， 联立方程组， 解得， ∴点P坐标为． 32．（2024九年级上·上海·期末）如图，抛物线经过点，，． (1)在y轴上取一点P，使得，写出点P的坐标； (2)在（1）的条件下，求直线与抛物线L的交点D的坐标． 【答案】(1)或； (2)或 【知识点】求一次函数解析式、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、角度问题(二次函数综合) 【分析】此题考查了二次函数的图象和性质、一次函数和二次函数的交点问题、待定系数法求函数解析式、全等三角形的判定和性质等知识． （1）分两种情况，利用全等三角形的判定和性质即可求出答案； （2）分别求出直线的解析式和直线的解析式，分别与二次函数解析式联立，求出交点坐标即可． 【详解】（1）解：①在y轴正半轴上取一点P，使得，如解图， ∵，． ∴， ∵，， ∴， 点P的坐标为； ②在y轴负半轴上取一点，使得，如解图， 同理可证，， ， ∴.点的坐标为. 综上所述，点P的坐标为或； （2）如解图，设直线的解析式为， 由点B、P的坐标可得 则 解得 ∴直线的解析式为， 同理可得，直线的解析式为，， 当时， 解得（舍去）或， 当时，， 点D的坐标为， 当时， 解得（舍去）或， 则 点的坐标为. 综上所述，点D的坐标为或. 33．（2024九年级上·上海·期中）如图，已知二次函数的图象与轴交于两点，点坐标为，与轴交于点，点为抛物线顶点，点为中点． (1)求二次函数的解析式； (2)若在直线上方的抛物线上存在点，使得，求点的坐标． 【答案】(1) (2) 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、等腰三角形的性质和判定、角度问题(二次函数综合) 【分析】（）利用待定系数法即可求解； （）求出点坐标，可得是等腰直角三角形，即得，得到， 过点作交抛物线于点，过点作轴于点，可得，得到是等腰直角三角形，即得，设，则，可得，，进而得到，解方程即可求解； 本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的几何应用，等腰直角三角形的判定和性质，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】（1）解：把、代入得， ， 解得， ∴二次函数的解析式为； （2）解：当时，， 解得，， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， 如图，过点作交抛物线于点，过点作轴于点，则， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 设，则， ∴，， ∴， 解得(不合，舍去) 或， ∴． 34．（25-26九年级上·上海青浦·期末）如图，平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于点、B，与y轴交于点C，抛物线的顶点为点D． (1)求b的值和点D的坐标； (2)已知以点G为顶点的抛物线与抛物线相交． ①设抛物线、的交点为点E，在抛物线上，如果点E与点G之间的部分是上升的，求m的取值范围； ②连接，过点G作的平行线，交抛物线于点N，如果平分，求m的值． 【答案】(1)， (2)①；② 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象的平移、角度问题(二次函数综合)、其他问题(二次函数综合) 【分析】本题考查二次函数的综合应用，二次函数图象的平移，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解是解题的关键： （1）待定系数法求出的值，一般式化为顶点式，求出点坐标； （2）①根据抛物线的解析式得到，进而得到点在直线上移动，连接直线和抛物线的解析式，求出的值，再根据点E与点G之间的部分是上升的，得到点在点的下方时满足题意，即可得出结果； ②根据两条抛物线的值相同，得到可以看作是，平移得到，根据，得到，结合平分推出，进而推出四边形为菱形，得到，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：把代入，得， 解得：， ∴， ∴； （2）解：①∵， ∴， 令，则， ∴点在直线上运动， 令，解得， ∴直线与抛物线的交点为，即， 设点， ∵抛物线、的交点为点E，且在抛物线上，点E与点G之间的部分是上升的， ∴当点在点下方时，符合题意，即； ②∵，， ∴可以看作是平移得到， ∵为的顶点，为的顶点， ∴是由点平移得到， ∵， ∴点是由点平移得到，， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为菱形， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 解得． 35．（2025·上海杨浦·期中）已知平面直角坐标系，抛物线与x轴交于点A和点B（点A在点B左侧），与y轴交于点C，顶点为D，过点C作轴交抛物线于点E． (1)直接写出抛物线的对称轴及点A、B的坐标； (2)联结，如果平分，求a的值； (3)点P是抛物线上一点，线段交于点F，如果，那么直线是否一定会经过一个定点？如果会，求出这个定点的坐标；如果不会，请说明理由． 【答案】(1)直线， (2) (3)直线恒过定点． 【知识点】一次函数与几何综合、y=ax²+bx+c的图象与性质、面积问题(二次函数综合)、角度问题(二次函数综合) 【分析】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，两点距离计算公式等等，熟知二次函数的相关知识是解题的关键． （1）根据对称轴计算公式求出对称轴，再求出函数值为0时自变量的值即可求出A、B的坐标； （2）根据平行线的性质和角平分线的定义可推出，则，再根据题意可得点C和点E关于抛物线的对称轴对称，则；求出点C坐标，进而表示出，根据建立方程求解即可； （3）根据图形面积之间的关系可得，则，求出D、E坐标，进而得到直线解析式为，则直线解析式为，进一步求出，同理可得直线解析式为，据此可得答案． 【详解】（1）解：∵抛物线解析式为， ∴对称轴为直线， 当时，解得或， ∴； （2）解：∵平分， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∴， ∵轴，且C、E都在抛物线上， ∴点C和点E关于抛物线的对称轴对称， ∴； 在中，当时，， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴或（舍去）； （3）解：∵， ∴， ∴， ∴， 在中，当时，， ∴， 由对称性可知， 设直线解析式为， ∴， ∴， ∴直线解析式为， ∴可设直线解析式为， 把代入中得：，解得， ∴直线解析式为， 联立解得或， ∴， 同理可得直线解析式为， 在中，当时，， ∴直线恒过定点． 36．（2024·上海·期末）如图，抛物线与轴交于，两点，与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点． (1)求抛物线解析式及点D坐标； (2)点N是y轴负半轴上的一点且，点Q在对称轴右侧的抛物线上运动，连接，与抛物线的对称轴交于点M，连接，当平分时，求点Q坐标； (3)如图，直线交抛物线的对称轴于E，P是坐标平面内一点，当与全等时，请直接写出点P坐标． 【答案】(1)， (2)或 (3)或或或 【知识点】一次函数与几何综合、待定系数法求二次函数解析式、角度问题(二次函数综合)、特殊三角形问题(二次函数综合) 【分析】（1）用待定系数法，直接将代入解析式即可求解解析式，再把解析式化为顶点式求出点D的坐标即可； （2）由平分，平行即可求出，继而得出点坐标，由直线解析式即可求出与抛物线交点坐标即可． （3）由三点的坐标可得三边长，由坐标可得和中，则另两组边对应相等即可，设点坐标为；利用两点间距离公式即列方程求解． 【详解】（1）解：抛物线经过，两点， ， 解得：， 抛物线的解析式为， ∴顶点D的坐标为； （2）解：如图1，设对称轴与轴交于点， 平分， ， 又， ， ， ． 由（1）可知对称轴为直线，则 在中，，． ， ；． ①当时，直线解析式为：， 联立得． 解得：，， 点在对称轴右侧的抛物线上运动， ， ②当时，直线解析式为：， 同理可求：， 综上所述：点的坐标为：或； （3）解：由题意可知：，，， ， ， ， 直线经过，， 直线解析式为， 抛物线对称轴为，而直线交对称轴于点， 坐标为； ， 设点坐标为，则，， ， ∴与全等，有两种情况， 当，，即时， ， 解得：，， 即点坐标为或． 当，，即时， ， 解得：，， 即点坐标为或． 综上所述，点P的坐标为或或或． 【点睛】本题主要考查了二次函数与几何图形的综合，一次函数与几何综合，勾股定理等等．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系． 37．（2024九年级上·上海·期末）如图①抛物线y＝ax2+bx+4（a≠0）与x轴，y轴分别交于点A（﹣1，0），B（4，0），点C三点． （1）试求抛物线的解析式； （2）点D（3，m）在第一象限的抛物线上，连接BC，BD．试问，在对称轴左侧的抛物线上是否存在一点P，满足∠PBC＝∠DBC？如果存在，请求出点P点的坐标；如果不存在，请说明理由； （3）点N在抛物线的对称轴上，点M在抛物线上，当以M、N、B、C为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点M的坐标． 【答案】（1）y＝﹣x2+3x+4；（2）存在．P（﹣，）．（3）      【知识点】角度问题(二次函数综合) 【分析】（1）将A,B,C三点代入y＝ax2+bx+4求出a,b,c值，即可确定表达式； （2）在y轴上取点G，使CG＝CD＝3，构建△DCB≌△GCB，求直线BG的解析式，再求直线BG与抛物线交点坐标即为P点， （3）根据平行四边形的对边平行且相等，利用平移的性质列出方程求解，分情况讨论. 【详解】解：如图： （1）∵抛物线y＝ax2+bx+4（a≠0）与x轴，y轴分别交于点A（﹣1，0），B（4，0），点C三点． ∴ 解得 ∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+3x+4． （2）存在．理由如下： y＝﹣x2+3x+4＝﹣（x﹣）2+． ∵点D（3，m）在第一象限的抛物线上， ∴m＝4，∴D（3，4），∵C（0，4） ∵OC＝OB，∴∠OBC＝∠OCB＝45°． 连接CD，∴CD∥x轴， ∴∠DCB＝∠OBC＝45°， ∴∠DCB＝∠OCB， 在y轴上取点G，使CG＝CD＝3， 再延长BG交抛物线于点P，在△DCB和△GCB中，CB＝CB，∠DCB＝∠OCB，CG＝CD， ∴△DCB≌△GCB（SAS） ∴∠DBC＝∠GBC． 设直线BP解析式为yBP＝kx+b（k≠0），把G（0，1），B（4，0）代入，得 k＝﹣，b＝1， ∴BP解析式为yBP＝﹣x+1． yBP＝﹣x+1，y＝﹣x2+3x+4 当y＝yBP 时，﹣x+1＝﹣x2+3x+4，     解得x1＝﹣，x2＝4（舍去）， ∴y＝，∴P（﹣，）． （3）     理由如下，如图 B(4，0),C(0，4) ，抛物线对称轴为直线， 设N(，n)，M(m, ﹣m2+3m+4) 第一种情况：当MN与BC为对边关系时，MN∥BC,MN=BC, ∴4-=0-m，∴m= ∴﹣m2+3m+4=, ∴； 或∴0-=4-m， ∴m= ∴﹣m2+3m+4=, ∴； 第二种情况：当MN与BC为对角线关系，MN与BC交点为K,则K(2,2)， ∴ ∴m= ∴﹣m2+3m+4= ∴ 综上所述，当以M、N、B、C为顶点的四边形是平行四边形时，点M的坐标为     . 【点睛】本题考查二次函数与图形的综合应用，涉及待定系数法，函数图象交点坐标问题，平行四边形的性质，方程思想及分类讨论思想是解答此题的关键. 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $