11.3 乘法公式（第1课时）（题型专练）数学新教材华东师大版八年级上册

11.3 乘法公式（第一课时） 题型一：判断是否能用平方差进行计算 1．（24-25八年级上·陕西安康·阶段练习）下列各式中，不能应用平方差公式进行计算的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·山东菏泽·期末）下列多项式乘法中可以用平方差公式计算的是（　　） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·广西崇左·期末）在下列多项式乘法中，不能用平方差公式计算的是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级下·浙江绍兴·期中）下列各式中能用平方差公式计算的是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25七年级下·浙江绍兴·期中）下列多项式相乘，不能用平方差公式计算的是（　　） A． B． C． D． 6．（24-25七年级下·江苏扬州·期中）运用平方差公式计算，下列变形正确的是（    ） A． B． C． D． 题型二：利用平方差公式进行简单计算（选填） 1．（24-25八年级上·山东日照·阶段练习）计算的结果是（   ） A． B． C．0 D． 2．（24-25八年级上·山东日照·阶段练习）中括号内应填（   ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·浙江温州·期中）代数式化简的结果是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级下·江苏南京·期中）若可以用平方差公式进行计算，则横线上的代数式可能是（    ） A． B． C． D． 5．（23-24七年级下·福建漳州·期中）计算： ． 6．（2025·四川南充·一模）化简：的结果为 ． 7．（24-25七年级下·广东深圳·期中）化简 ． 题型三：利用平方差公式简便运算 1．（24-25七年级下·山东聊城·期末）计算的个位数字为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 2．（24-25七年级下·全国·期中）计算的结果是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·广西贵港·期中）计算的结果是（　　） A．1 B．0 C． D． 4．（24-25九年级上·广东广州·阶段练习）计算： ． 5．（24-25六年级下·山东淄博·期末）若，，则 ． 6．（23-24八年级下·陕西西安·阶段练习）利用因式分解进行简便计算：． 7．（24-25七年级下·湖南岳阳·期中）利用平方差公式进行计算：． 解：原式 (1)计算： ． (2)计算： 8．（24-25七年级下·江苏徐州·期中）用简便方法计算： (1)； (2)． 题型四：利用平方差公式求代数式的值 1．（24-25七年级下·陕西西安·期末）已知，，则的值为 ． 2．（24-25七年级下·江苏苏州·期中）若，，则 ． 3．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）已知，则的值为 ． 4．（24-25七年级下·山东潍坊·期末）若x，y满足，，则的值为 ． 5．（24-25七年级下·江苏宿迁·期中）已知，则的值为 ． 6．（2025七年级下·湖南·专题练习）已知，且，，则 ． 7．（24-25七年级下·辽宁铁岭·期中）已知，那么代数式的值为 ． 8．（24-25七年级下·黑龙江大庆·阶段练习）已知，则 ． 题型五：利用平方差公式化简求值 1．（2025·湖南邵阳·三模）先化简，再求值：，其中． 2．（2025九年级下·新疆·专题练习）先化简，再求值：，其中． 3．（24-25七年级下·江苏盐城·期末）先化简，再求值：，其中，． 4．（24-25七年级下·江苏扬州·阶段练习）先化简再求值：，且单项式与是同类项． 5．（24-25七年级下·湖南郴州·期末）先化简，再求值：，其中． 6．（24-25七年级下·广东梅州·期中）先化简，再求值：，其中，． 7．（24-25九年级下·湖南永州·期中）先化简，再求值：，其中． 8．（24-25七年级下·贵州贵阳·期中）先化简，再代入求值：，其中． 题型六：平方差公式与几何图形 1．（24-25八年级上·广东东莞·阶段练习）如图所示，在边长为的正方形中挖去一个边长为的小正方形，将余下的部分拼成一个长方形，此过程可以验证（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·江苏无锡·阶段练习）我们知道可以用一些硬纸片拼成的图形面积来解释一些代数恒等式，通过计算如图所示图形的面积，验证的一个恒等式为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·浙江湖州·期末）准备一把剪刀和一张正方形纸片，记正方形纸片的边长为a，现在进行以下操作： （1）从正方形纸片中剪去一个边长为b的小正方形，如图1，再沿线段把纸片剪开． （2）把剪成的两张纸片拼成如图2的长方形．从上述活动中，你可以得到的代数结论是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级下·河北承德·期末）如图，在边长为的正方形中挖掉一个边长为的小正方形，把余下的部分剪拼成一个长方形，通过计算图形（阴影部分）的面积，验证了一个等式，这个等式是（  ） A． B． C． D． 5．（24-25七年级下·江西九江·期末）如图，在图（1）所示的边长为a的大正方形纸板中挖去一个边长为b的小正方形，在将其裁剪后拼成图（2）所示的平行四边形，通过计算两个图形阴影部分的闻积，可以得到（   ） A． B． C． D． 6．（24-25七年级下·浙江衢州·期末）如图的剪拼过程（由左向右）可以验证的公式是（   ） A． B． C． D． 7．（24-25七年级下·河南郑州·期中）如图，某小区有一块长为米，宽为米的长方形地块，物业公司计划在小区内修一条平行四边形小路，小路的底边宽为米，将阴影部分进行绿化，则阴影部分的面积 （用含有，的式子表示）． 8．（24-25七年级下·北京顺义·期中）综合探究某数学兴趣小组用“等面积法”分别构造了以下四种图形验证“平方差公式”： 以上四种方法中能够验证“平方差公式”的有 （填序号） 9．（24-25七年级下·江苏南京·期末）将边长分别为，的小正方形和大正方形按如图所示摆放.若，则图中阴影部分的总面积为 . 题型一：平方差公式求阴影部分面积 1．（24-25七年级下·山东菏泽·期末）如图①所示，在边长为a的大正方形中剪去一个边长为b的小正方形，再将图中的阴影部分剪拼成一个长方形，如图②所示，这个拼成的长方形的长为25，宽为15．则图②中Ⅱ部分的面积是（   ） A．75 B．100 C．125 D．150 2．（24-25七年级下·四川雅安·期末）如图，大正方形与小正方形面积之差是8，则阴影部分的面积是（　　） A．8 B．4 C．3 D．2 3．（24-25六年级下·山东青岛·期末）如图，四边形是长方形，四边形是面积为27的正方形，点M、N分别在上，点E、F在上，点G、H在上，且四边形是正方形，连接，若图中阴影部分的总面积为8，则正方形的面积为（   ） A．7 B．10 C．11 D．14 4．（24-25七年级下·福建宁德·期中）如图，边长的正方形纸片，剪去一个边长为m的正方形之后，将剩余部分剪拼成一个长方形（不重叠无缝隙），若拼成的长方形宽为2，则长是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级上·陕西渭南·期中）如图，点、、在同一直线上，大正方形与小正方形的面积之差是24，点、、在同一直线上，阴影部分的面积为，则（   ） A．24 B．18 C．12 D．32 题型二：平方差中的选填压轴 1．（24-25八年级上·重庆万州·期末）有依次排列的2个整式：，，用这两个整式的和除以2，得到的结果放在这两个整式之间，可以产生第1个整式串：，，，称为第1次操作；将第1个整式串中任意相邻的两个整式按上述方式进行第2次操作，可以得到第2个整式串．以此类推，下列说法： ①第2个整式串为：，，，，； ②第4个整式串中，从左往右第2个整式乘以从右往左第2个整式的积为； ③第2024个整式串中，所有整式的和为． 其中正确的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 2．（24-25九年级上·浙江·期中）已知，且，，都是大于1的数，若满足，，，则（   ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级上·湖南衡阳·期中）某同学在计算时，把3写成后，发现可以连续运用两数和乘以这两数差公式计算：．请借鉴该同学的经验，计算：（    ） A． B． C．1 D．2 4．（24-25八年级上·山东日照·期中）发现：，，，，，，，，依据上述规律，通过计算判断的结果的个位数字是（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 5．（24-25七年级下·陕西西安·阶段练习）如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的平方差，那么称该正整数为“和谐数”， （如，，即8、16均为“和谐数”）在不超过2022的正整数中，所有的“和谐数”之和为（    ） A．255054 B．255064 C．250554 D．255024 6．（24-25七年级下·四川成都·期末）小明在数学综合实践课后，设计了以下运算．若，，且的取值与a无关，则 ． 7．（24-25七年级下·安徽合肥·期末）【阅读理解】学习乘法公式后，王老师为了加强同学们对公式的理解，编了一个乘法公式的问题，规则如下： 第1次操作：把多项式与的平方差记为； 第2次操作：把多项式与的平方差的结果记为； 第3次操作：； 第4次操作：把多项式与的平方差的结果记为； …… 以此类推，每到了3的倍数时就将前两次的结果求和． （1）当，时， ； （2） ． 8．（24-25七年级下·江苏连云港·期中）小红在计算时，找不到计算器，去向小华借，小华看了看题说根本不用计算器，而且很快说出了答案．你知道答案是多少吗？请将答案填在横线上 ． 题型三：平方差与几何图形的压轴题 1．（24-25七年级下·四川成都·期末）如图1，边长为的大正方形内有一个边长为的小正方形． （1）用含字母的代数式表示图1中阴影部分的面积为_____； （2）将图1的阴影部分沿斜线剪开后，拼成了一个如图2所示的长方形，用含字母的代数式表示此长方形的面积为_____； （3）比较（2）、（1）的结果，请你写出一个非常熟悉的乘法公式_____； 【问题解决】 （4）利用（3）的公式解决问题： ①已知，，则的值为_____； ②计算：． 2．（24-25七年级下·安徽六安·期末）数形结合是一种重要的数学思想，我们可以利用几何图形验证乘法公式．某数学兴趣小组用“等面积法”分别构造了以下四种图形验证“平方差公式”： (1)以上四种方法中能够验证“平方差公式”的有___________（填序号）； (2)利用“平方差公式”计算： (3)兴趣小组中有一位同学想利用“等面积法”来探究的展开式，请你设计并画出一个几何图形来帮助这位同学，根据你设计的图形直接写出的展开式； (4)利用（3）的结论，计算：． 3．（24-25七年级下·广东梅州·阶段练习）如图1，边长为a的大正方形内有一个边长为b的小正方形． (1)用含字母的代数式表示图1中阴影部分的面积为____________； (2)将图1的阴影部分沿斜线剪开后，拼成了一个如图2所示的长方形，用含字母的代数式表示此长方形的面积为____________；（多项式乘积的形式） (3)比较图1和图2的阴影部分面积，请你写出一个整式乘法的公式______________________________； (4)结合（3）的公式， 计算：①； ②． 4．（24-25七年级下·广东佛山·期中）根据以下素材，探索完成任务． “以形释数”是利用数形结合思想证明代数问题的一种体现，对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个等式． 素材 如图，大正方形的边长是，它是由两个小正方形和两个长方形组成，所以大正方形的面积等于这四个图形的面积之和． 根据等面积法，我们可以得到一个等式： 问题解决 任务1 （1）①观察图1，写出所表示的数学等式：____________________． ②比较图2与图3的阴影部分面积，可以得到的等式是______________________________． 任务2 （2）如图，若将4个直角边长分别为a，b，斜边长为c的直角三角形拼成如图所示的五边形，请你用两种不同的方法表示五边形的面积． 方法1：_________________________； 方法2：_________________________； 根据方法1、方法2，你可以得到一个化简后的等式： _________________________． 任务3 （3）如图，在中，，点D，P分别在边，上，且，，，垂足分别为E，F．若，求的值． 5．（24-25七年级下·重庆渝北·期末）规定：关于x，y的方程与互为共轭二元一次方程，其中，由这两个方程组成的方程组叫做共轭方程组． (1)方程的共轭二元一次方程是__________； (2)若关于x，y的方程组为共轭方程组，则__________，__________； (3)解共轭方程组：． 6．（24-25七年级下·湖南永州·期中）仔细观察，探索规律： ； ； ． (1)猜想______（其中n为正整数，且） (2)根据上述规律求______． (3)根据上述规律：求的值． 7．（24-25七年级下·湖南株洲·期中）如图1，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个长方形（如图2）． (1)上述操作能验证的乘法公式是________；（用含a，b的式子来表示） (2)根据（1）中的乘法公式解决问题：已知，求的值； (3)把上述两个正方形按照如图3所示的方式拼接，其中三点在同一条直线上，若，求阴影部分的面积． 8．（24-25七年级下·浙江台州·期中）一个两位数，它的十位数字是a，个位数字是b，可将这个数记作，类似的，一个三位数可记作，其中a是百位数字，b是十位数字，c是个位数字． (1)【基础应用】 ①______（用含a的式子表示）； ②若，则a=_____，b=_______． (2)【能力提升】 ①若三位数是7的倍数，求a与b的数量关系； ②若，则k=______． (3)【思维拓展】 是否存在两位数，若存在，求出符合要求的两位数 ，若不存在，请说明理由． 1．（24-25七年级下·山东青岛·期末）某校组织了《“徽”聚梦想引领班风》的班徽创意设计大赛，小颖同学积极参赛，先设计了一个正方形的班徽图形（如图），准备进一步优化改造，加一些文字，需要将原正方形的一组对边各增加，另一组对边各减少，改造以后的图形面积与原来的面积相比（   ） A．不变 B．减少 C．增加 D．增加 2．（23-24七年级下·甘肃兰州·期中）如图，四边形和都是正方形，这两个正方形的面积差是36，则图中阴影部分的面积是（   ） A．18 B．20 C．22 D．24 3．（24-25七年级下·湖南娄底·期末）若，则的值为（    ） A．17 B． C．5 D．11 4．（24-25七年级下·陕西汉中·期中）已知，，则M与N的大小关系是（   ） A． B． C． D．无法确定 5．（24-25七年级下·湖南怀化·阶段练习）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 6．（24-25七年级下·山东济南·期中）对于a，b，c，d，规定一种运算，如，那么当时，则x的值是（    ） A．21 B．22 C．33 D．34 7．（24-25七年级下·四川成都·期中）已知、均为实数，且满足，则（   ） A．2 B．4 C． D． 8．（24-25八年级下·广东佛山·期中）若一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，则称这个正整数为“神秘数”（如，）．在这个数中，所有“神秘数”的个数是 ． 9．（24-25七年级下·四川成都·期中）若，则的末位数字是 ． 10．（24-25六年级下·山东东营·期末）从边长为的正方形中剪掉一个边长为的正方形（如图），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图）． (1)上述操作能验证的等式是___________； (2)已知，，则___________； (3)应用所得的公式计算：． 11．（24-25七年级下·江苏·期中）【观察】：；． 嘉嘉发现规律：比任意一个偶数大3的数与此偶数的平方差能被3整除． 【验证】：（1）的结果是3的 倍； （2）设偶数为2n（n为整数），试说明比2n大3的数与2n的平方差能被3整除； 【延伸】：（3）比任意一个整数大3的数与此整数的平方差被6除的余数是几？请说明理由． 12．（23-24七年级下·浙江宁波·期中）先化简，再求值：，其中． 13．（24-25七年级下·浙江台州·期中）在月历上，我们可以发现其中某些日期满足一定的规律，某兴趣小组对此进行了活动探究． (1)图1是2025年4月份的月历，用图2所示的“Z”字型框架任意框住月历中的5个数（如图1中的阴影部分），将位置B，D上的数相乘，位置A，E上的数相乘，再相减，尝试计算：______． (2)多次尝试可以发现，上述运算结果都是定值．设“Z”字型框架中位置C上的数为x，请利用整式运算的有关知识对上述规律进行说明． 14．（24-25七年级下·江西九江·期中）定义，如．已知（为常数），． (1)若，则的值为________________； (2)若的代数式中不含的一次项，当时，求的值； 15．（24-25七年级下·北京顺义·期中）如果一个正整数能表示成两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“聪明数”，比如，，，则说明4，12，20都是“聪明数” (1)24是“聪明数”吗？36是“聪明数”吗？为什么？ (2)试说明所有的“聪明数”都不可能是8的倍数． (3)是否存在两个连续的奇数，它们的平方差是“聪明数”？为什么？ 1 / 57 学科网（北京）股份有限公司 $$ 11.3 乘法公式（第一课时） 题型一：判断是否能用平方差进行计算 1．（24-25八年级上·陕西安康·阶段练习）下列各式中，不能应用平方差公式进行计算的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平方差公式的应用．平方差公式为，需满足两括号中有一组相同项和一组相反项． 【详解】解：A、，能用平方差公式，故本选项不符合题意； B、，可整理为，相同项为，相反项为和，结果为，能用平方差公式，故本选项不符合题意； C、，可变形为，属于完全平方的相反数，不能用平方差公式，故本选项符合题意； D、，相同项为，相反项为和，结果为，能用平方差公式，故本选项不符合题意； 故选：C． 2．（24-25七年级下·山东菏泽·期末）下列多项式乘法中可以用平方差公式计算的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平方差公式． 根据平方差公式的结构特征，即两数和与两数差的乘积，需满足一项完全相同，另一项互为相反数．对各选项逐一分析即可． 【详解】解：选项A：可变形为，即，不符合平方差公式； 选项B：既无相同项也无相反项，不符合平方差公式； 选项C：既无相同项也无相反项，不符合平方差公式； 选项D：，符合平方差公式； 故选：D 3．（24-25七年级下·广西崇左·期末）在下列多项式乘法中，不能用平方差公式计算的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式的结构特征（两个二项式中有一项相同，另一项互为相反数）是解题的关键．根据平方差公式的结构特征，逐项分析判断即可得出答案． 【详解】解：A、可变形为，属于完全平方公式，不能用平方差公式计算，符合题意； B、符合平方差公式，能用平方差公式计算，不符合题意； C、可变形为，符合平方差公式，能用平方差公式计算，不符合题意； D、符合平方差公式，能用平方差公式计算，不符合题意； 故选：A． 4．（24-25七年级下·浙江绍兴·期中）下列各式中能用平方差公式计算的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平方差公式的应用，根据平方差公式的特点：两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数，对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】解：A．，不符合平方差公式的结构特征，故本选项不符合题意； B．，不符合平方差公式的结构特征，故本选项不符合题意； C．，括号内满足形式，可用平方差公式计算，结果为，故本选项正确； D．，不符合平方差公式的结构特征，故本选项不符合题意． 故选：C． 5．（24-25七年级下·浙江绍兴·期中）下列多项式相乘，不能用平方差公式计算的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平方差公式，掌握是解题关键．根据平方差公式的特点逐一判断即可． 【详解】解：A、，二项式中的两项均互为相反数，不符合平方差公式，符合题意； B、，能用平方差公式，不符合题意； C、，能用平方差公式，不符合题意； D、，能用平方差公式，不符合题意； 故选：A 6．（24-25七年级下·江苏扬州·期中）运用平方差公式计算，下列变形正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平方差公式，解题的关键是熟练掌握平方差公式． 根据平方差公式即可进行解答． 【详解】解：运用平方差公式计算， 应变形为， 故选：C． 题型二：利用平方差公式进行简单计算（选填） 1．（24-25八年级上·山东日照·阶段练习）计算的结果是（   ） A． B． C．0 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查整式的运算，熟练掌握乘法公式是解题的关键．通过平方差公式进行化简，再合并即可求解． 【详解】解：， ， ， 故选：C． 2．（24-25八年级上·山东日照·阶段练习）中括号内应填（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平方差公式的基本特点解答即可． 本题考查了平方差公式的应用，熟练掌握公式是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得， 故选：D． 3．（24-25七年级下·浙江温州·期中）代数式化简的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平方差公式，根据平方差公式计算即可． 【详解】解：． 故选：B． 4．（24-25七年级下·江苏南京·期中）若可以用平方差公式进行计算，则横线上的代数式可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平方差公式，解题的关键是理解平方差公式的结构特征，即两个因式中一项完全相同，另一项互为相反数． 逐一分析选项，看哪个选项与相乘时符合平方差公式的结构形式． 【详解】平方差公式为． A、，这是完全平方的形式，不符合平方差公式结构，所以A选项错误； B、，是完全平方的形式，不符合平方差公式结构，所以B选项错误； C、，符合平方差公式（这里）的结构，所以C选项正确； D、，两项中没有一项完全相同，另一项互为相反数的情况，不符合平方差公式结构，所以D选项错误． 故选：C． 5．（23-24七年级下·福建漳州·期中）计算： ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查平方差公式，直接运用平方差公式进行计算即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 6．（2025·四川南充·一模）化简：的结果为 ． 【答案】 【分析】本题考查整式的运算，利用平方差公式进行计算，再合并同类项即可． 【详解】解：原式， 故答案为：． 7．（24-25七年级下·广东深圳·期中）化简 ． 【答案】/ 【分析】本题考查平方差公式，合并同类项，解决本题的关键是熟练各公式和计算法则． 先根据平方差公式化简，再进行合并同类项计算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 题型三：利用平方差公式简便运算 1．（24-25七年级下·山东聊城·期末）计算的个位数字为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【分析】本题考查了平方差公式的运用，幂的个位数的求法．先把原式变形成，再利用平方差公式进行计算即可解答． 【详解】解： ． ∵，，，，，，个位数按照2，4，8，6依次循环，而，故原式的个位数字为6． 故选：C． 2．（24-25七年级下·全国·期中）计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平方差公式的应用，熟练掌握平方差公式是解题的关键，利用平方差公式逐步化简原式，观察规律得出结果． 【详解】解：前两项相乘： 再乘以第三项： 继续乘以第四项： ∴每乘一项，结果变为． 重复此过程，直到最后一项： 原式化简后为： 故选：C． 3．（24-25七年级下·广西贵港·期中）计算的结果是（　　） A．1 B．0 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了利用平方差公式进行简便计算，掌握平方差公式的结构特征是解题的关键． 先将原式化为，再由平方差公式计算即可． 【详解】解： 故选：A． 4．（24-25九年级上·广东广州·阶段练习）计算： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了利用平方差公式简化计算，利用平方差公式对每一个括号分解因式，然后约分即可得出结果． 【详解】解： ． 故答案为： 5．（24-25六年级下·山东淄博·期末）若，，则 ． 【答案】1 【详解】本题考查了平方差公式的应用，熟练掌握平方差公式是关键． 把原式变形为，再利用平方差公式计算即可得到答案． 【点睛】解： ， 故答案为：1． 6．（23-24八年级下·陕西西安·阶段练习）利用因式分解进行简便计算：． 【答案】 【分析】本题考查了平方差公式的运算，整理得，再结合相关的运算法则进行计算，即可作答． 【详解】解： ． 7．（24-25七年级下·湖南岳阳·期中）利用平方差公式进行计算：． 解：原式 (1)计算： ． (2)计算： 【答案】(1) (2)2 【分析】本题主要考查了平方差公式，熟知平方差公式是解题的关键． （1）仿照题意利用平方差公式求解即可； （2）先把原式变形为，再利用平方差公式计算求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 8．（24-25七年级下·江苏徐州·期中）用简便方法计算： (1)； (2)． 【答案】(1)1 (2) 【分析】本题考查了平方差公式，积的乘方逆用，掌握平方差公式，积的乘方运算法则是解题的关键． （1）根据式子特点，把原式变形为，然后再根据平方差公式进行计算即可； （2）根据积的乘方逆运算，得出，即可得出答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型四：利用平方差公式求代数式的值 1．（24-25七年级下·陕西西安·期末）已知，，则的值为 ． 【答案】4 【分析】本题考查平方差公式，熟练掌握平方差公式的逆用是解题的关键． 将利用平方差公式变形后代入已知数值计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：4． 2．（24-25七年级下·江苏苏州·期中）若，，则 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了代数式求值以及多项式乘以多项式的知识，掌握以上知识是解答本题的关键； 本题先通过，，求得，然后把，代入，即可求解； 【详解】解：∵，， ∴， 解得：， 把，代入， 即， 故答案为：； 3．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）已知，则的值为 ． 【答案】1 【分析】本题主要考查了已知式子的值，求代数式的值，以及平方差公式，根据可变形为，然后代入求解即可． 【详解】解：∵， ∴ 故答案为：1 4．（24-25七年级下·山东潍坊·期末）若x，y满足，，则的值为 ． 【答案】 【分析】根据题意，计算，后整体代入解答即可． 本题考查了已知式子的值，求代数式的值，熟练掌握整体思想应用是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：2026． 5．（24-25七年级下·江苏宿迁·期中）已知，则的值为 ． 【答案】20 【分析】本题主要考查了多项式与多项式的乘法，根据平方差公式计算即可得出答案． 【详解】解：， ∵， ∴， 故答案为：20 6．（2025七年级下·湖南·专题练习）已知，且，，则 ． 【答案】24 【分析】本题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解题的关键．利用平方差公式即可求解． 【详解】解：因为，， 所以， 所以． 故答案为：24． 7．（24-25七年级下·辽宁铁岭·期中）已知，那么代数式的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了求代数式的值、平方差公式的应用，由题意可得，再利用平方差公式将所求式子变形为，整体代入计算即可得解，熟练掌握平方差公式是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 8．（24-25七年级下·黑龙江大庆·阶段练习）已知，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了非负数的性质、平方差公式、代数式求值等知识点，掌握整体思想成为解题的关键． 先根据非负数的性质得到，然后结合平方差公式将整体代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 题型五：利用平方差公式化简求值 1．（2025·湖南邵阳·三模）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查了多项式乘多项式的化简求值，平方差公式，准确熟练地进行计算是解题的关键．先利用平方差公式进行计算，然后把a的值代入化简后的式子进行计算，即可解答． 【详解】解： ， 当时，原式． 2．（2025九年级下·新疆·专题练习）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查了整式的化简求值，先根据平方差公式和单项式乘多项式法则计算，再合并同类项得到最简结果，最后将x的值代入计算即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 3．（24-25七年级下·江苏盐城·期末）先化简，再求值：，其中，． 【答案】 【分析】本题考查整式的化简求值．掌握整式的混合运算法则是解答本题的关键．根据单项式乘以多项式以及平方差公式进行计算，再将，代入，即可求解． 【详解】解：原式. 当，时，原式=0. 4．（24-25七年级下·江苏扬州·阶段练习）先化简再求值：，且单项式与是同类项． 【答案】，1 【分析】本题考查了整式的混合运算—化简求值，同类项的定义，先去括号，再合并同类项即可化简，再根据同类项的定义求出，，代入化简后的式子计算即可得解，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解： 与是同类项， ，， ， 原式． 5．（24-25七年级下·湖南郴州·期末）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查了整式运算、代数式的知识．根据整式混合运算法则、平方差公式的性质化简，再结合代数式的性质计算，即可得到答案． 【详解】解： ． 当时，原式． 6．（24-25七年级下·广东梅州·期中）先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】本题考查了整式的乘法运算−化简求值．原式利用单项式乘多项式以及平方差公式化简，合并得到最简结果，把x与y的值代入计算即可求出值． 【详解】解： ， 当，时，原式． 7．（24-25九年级下·湖南永州·期中）先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【分析】本题考查整式的化简求值．先根据单项式乘多项式，平方差公式进行计算，再合并同类项进行化简，最后把m的值代入求值即可． 【详解】解： ． 当时， 原式． 8．（24-25七年级下·贵州贵阳·期中）先化简，再代入求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，先根据平方差公式和多项式乘以多项式的计算法则去括号，然后合并同类项化简，最后代值计算即可得到答案． 【详解】解： ， 当时，原式． 题型六：平方差公式与几何图形 1．（24-25八年级上·广东东莞·阶段练习）如图所示，在边长为的正方形中挖去一个边长为的小正方形，将余下的部分拼成一个长方形，此过程可以验证（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平方差公式的几何背景，运用不同的方法表示阴影部分的面积是解题的关键． 将左右两边图形阴影部分面积表示出来，根据阴影面积相等即可作答． 【详解】解：左图可得阴影部分面积为：， 右图可得阴影部分面积为：， 所以， 故选D． 2．（24-25七年级下·江苏无锡·阶段练习）我们知道可以用一些硬纸片拼成的图形面积来解释一些代数恒等式，通过计算如图所示图形的面积，验证的一个恒等式为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平方差公式的几何背景，理解图形各个部分面积之间的和差关系是解决问题的前提，用含有a、b的代数式表示各个部分的面积是得出正确答案的关键． 分别用含有a、b的代数式表示图形中各个正方形、长方形的面积，再根据面积之间的和差关系得出答案． 【详解】解：如图，正方形①的边长为，正方形②的边长为b， 长方形③、④的长都是，宽都是b，由①②③④拼成的大正方形的边长为a， ， 由得， ． 故选：B． 3．（24-25七年级下·浙江湖州·期末）准备一把剪刀和一张正方形纸片，记正方形纸片的边长为a，现在进行以下操作： （1）从正方形纸片中剪去一个边长为b的小正方形，如图1，再沿线段把纸片剪开． （2）把剪成的两张纸片拼成如图2的长方形．从上述活动中，你可以得到的代数结论是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了平方差公式与几何图形，根据两个图形面积相等，即可得出结果． 【详解】解：图1的面积为：， 图2的面积为：， ∵两个图形面积相等， ∴，故A正确． 故选：A． 4．（24-25七年级下·河北承德·期末）如图，在边长为的正方形中挖掉一个边长为的小正方形，把余下的部分剪拼成一个长方形，通过计算图形（阴影部分）的面积，验证了一个等式，这个等式是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查的是平方差公式的几何背景，运用不同方法表示阴影部分面积是解题的关键，先根据左图和右图分别表示出阴影部分的面积，然后根据面积相等即可解答． 【详解】解：由左图可得：阴影部分的面积为； 由右图可得：阴影部分的面积为：； 所以． 故选：B． 5．（24-25七年级下·江西九江·期末）如图，在图（1）所示的边长为a的大正方形纸板中挖去一个边长为b的小正方形，在将其裁剪后拼成图（2）所示的平行四边形，通过计算两个图形阴影部分的闻积，可以得到（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平方差公式的几何背景，运用不同方法表示阴影部分面积是解题的关键． 图甲中阴影的面积等于边长为a的正方形面积减去边长为b的正方形面积，即，图乙中平行四边形底边为，高为，即面积，两面积相等所以等式成立． 【详解】解：∵两个图中的阴影部分的面积相等，甲的面积，乙的面积， ∴． 故选D． 6．（24-25七年级下·浙江衢州·期末）如图的剪拼过程（由左向右）可以验证的公式是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了平方差公式在几何图形中的应用．解题的关键在于根据题意正确的表示面积．根据图形面积得出答案即可． 【详解】解：由题意知，， 故选：A． 7．（24-25七年级下·河南郑州·期中）如图，某小区有一块长为米，宽为米的长方形地块，物业公司计划在小区内修一条平行四边形小路，小路的底边宽为米，将阴影部分进行绿化，则阴影部分的面积 （用含有，的式子表示）． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了整式混合运算的应用．将阴影部分看作长为，宽为的长方形． 【详解】解：阴影部分的面积为： ， 故答案为：． 8．（24-25七年级下·北京顺义·期中）综合探究某数学兴趣小组用“等面积法”分别构造了以下四种图形验证“平方差公式”： 以上四种方法中能够验证“平方差公式”的有 （填序号） 【答案】①②③ 【分析】本题考查平方差公式的几何背景，掌握平方差公式以及等面积法是解题的关键． 用不同的方法分别用代数式表示各个图形中左图、右图阴影部分面积即可得出等式，再进行判断即可． 【详解】解：图①中，左图阴影部分可以看作两个正方形的面积差，即，拼成的右图是底为，高为的平行四边形，面积为， ∴，故图①可以验证平方差公式； 图②中，左图阴影部分可以看作两个正方形的面积差，即，拼成的右图是长为，宽为的长方形，面积为， ∴，故图②可以验证平方差公式； 图③中，左图阴影部分可以看作两个正方形的面积差，即，拼成的右图是底为，高为的平行四边形，面积为， ∴，故图③可以验证平方差公式； 图④中，左图阴影部分的可以看作两个正方形的面积差，即，拼成的右图是长为，宽为的长方形，面积为， ∴，故图④不能验证平方差公式； 综上所述，能验证平方差公式的有①②③， 故答案为：①②③． 9．（24-25七年级下·江苏南京·期末）将边长分别为，的小正方形和大正方形按如图所示摆放.若，则图中阴影部分的总面积为 . 【答案】 【分析】本题考查的是平方差公式的几何背景，解题的关键是线段的和差问题，再利用面积公式计算． 利用图形可得到两个阴影部分面积的高，求出面积的表达式，用面积公式计算即可. 【详解】解：∵边长分别为，的小正方形和大正方形如图放置， ∴大三角形的高为： ，小三角形的高为： ∴图中阴影部分的总面积为： ∵ ∴ 图中阴影部分的总面积 故答案为：10 . 题型一：平方差公式求阴影部分面积 1．（24-25七年级下·山东菏泽·期末）如图①所示，在边长为a的大正方形中剪去一个边长为b的小正方形，再将图中的阴影部分剪拼成一个长方形，如图②所示，这个拼成的长方形的长为25，宽为15．则图②中Ⅱ部分的面积是（   ） A．75 B．100 C．125 D．150 【答案】A 【分析】本题考查平方差公式的几何背景，解二元一次方程组，会解二元一次方程组是解题的关键． 根据拼图知拼成的长方形的长为，宽为，求出a、b的值，再根据图②中Ⅱ部分的面积是代入计算即可． 【详解】解：由题意，得， 解得：， ∴图②中Ⅱ部分的面积是 故选：A． 2．（24-25七年级下·四川雅安·期末）如图，大正方形与小正方形面积之差是8，则阴影部分的面积是（　　） A．8 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【分析】本题考查了利用平方差公式求面积，由题意得出，表示出，即可得出答案，采用数形结合的思想，正确表示出阴影部分的面积是解此题的关键． 【详解】解：如图， 大正方形与小正方形的面积之差是8， ， 由图可知： ， 故选B． 3．（24-25六年级下·山东青岛·期末）如图，四边形是长方形，四边形是面积为27的正方形，点M、N分别在上，点E、F在上，点G、H在上，且四边形是正方形，连接，若图中阴影部分的总面积为8，则正方形的面积为（   ） A．7 B．10 C．11 D．14 【答案】C 【分析】本题考查正方形的性质、平方差公式． 设大正方形的边长为a，小正方形的边长为b，进而利用平方差公式和三角形的面积公式得到，再根据正方形的面积公式求解即可． 【详解】解：设大正方形的边长为a，小正方形的边长为b， 则阴影面积的底为，高之和为， ∴阴影面积为，即， ∵大正方形的面积为， ∴，即小正方形的面积为11， 故选：C． 4．（24-25七年级下·福建宁德·期中）如图，边长的正方形纸片，剪去一个边长为m的正方形之后，将剩余部分剪拼成一个长方形（不重叠无缝隙），若拼成的长方形宽为2，则长是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了几何图形与平方差公式的应用，先求出剩余部分的面积，而拼成的长方形宽为2，利用长方形的面积公式即可求出长，即可作答． 【详解】解：依题意得，剩余部分面积为：， 而拼成的长方形宽为2， 则长是， 故选：C． 5．（24-25八年级上·陕西渭南·期中）如图，点、、在同一直线上，大正方形与小正方形的面积之差是24，点、、在同一直线上，阴影部分的面积为，则（   ） A．24 B．18 C．12 D．32 【答案】A 【分析】本题主要考查了平方差公式的应用．设正方形的边长为a，正方形的边长为b，可得，，再由阴影部分的面积等于，即可求解． 【详解】解：设正方形的边长为a，正方形的边长为b，则，， ∴， ∵大正方形与小正方形的面积之差是24， ∴， ∴阴影部分的面积是 ． ∴ A故选：a故选：A． 题型二：平方差中的选填压轴 1．（24-25八年级上·重庆万州·期末）有依次排列的2个整式：，，用这两个整式的和除以2，得到的结果放在这两个整式之间，可以产生第1个整式串：，，，称为第1次操作；将第1个整式串中任意相邻的两个整式按上述方式进行第2次操作，可以得到第2个整式串．以此类推，下列说法： ①第2个整式串为：，，，，； ②第4个整式串中，从左往右第2个整式乘以从右往左第2个整式的积为； ③第2024个整式串中，所有整式的和为． 其中正确的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】本题考查了整式的加减运算法则，平方差公式．根据整式的加减运算法则，平方差公式进行计算即可解答． 【详解】解：第1个整式串：，，，所有整式的和为； 第2个整式串：，，，，，所有整式的和为； 第3个整式串：，，，，，，，，，所有整式的和为； 第4个整式串：，，，，，所有整式的和为； ∴①的说法正确； ②由题意得，②的说法正确； ③由题意得，第2024个整式串中，所有整式的和为，③的说法正确； 综上，①②③的说法都正确； 故选：D． 2．（24-25九年级上·浙江·期中）已知，且，，都是大于1的数，若满足，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查不等式的性质，平方差公式的应用，熟练掌握不等式的性质是解题的关键．根据，可得，又由于，，都是大于1的数，可得，，，进而得出，，，可得：，再根据完全平方公式可得，进而得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵，，都是大于1的数， ∴，，， ∵，，， ∴，，， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∵，，都是大于1的数， ∴． 故选：D． 3．（23-24八年级上·湖南衡阳·期中）某同学在计算时，把3写成后，发现可以连续运用两数和乘以这两数差公式计算：．请借鉴该同学的经验，计算：（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【分析】本题考查平方差公式，将原式乘以之后，连续使用平方差公式进而得出答案． 【详解】解： ， 故选：D． 4．（24-25八年级上·山东日照·期中）发现：，，，，，，，，依据上述规律，通过计算判断的结果的个位数字是（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】本题考查了平方差公式和尾数特征．观察时注意4的指数的奇偶性与个位数字的关系，利用平方差公式进行计算，然后利用观察的规律解答． 【详解】解：，，，，，，，， 观察上面运算结果发现：当4的指数是奇数时，运算结果的个位数字是4；当4的指数是偶数时，运算结果的个位数字是6； ． 由规律可得的个位数字是6， ∴的结果的个位数字是6． 故选：C． 5．（24-25七年级下·陕西西安·阶段练习）如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的平方差，那么称该正整数为“和谐数”， （如，，即8、16均为“和谐数”）在不超过2022的正整数中，所有的“和谐数”之和为（    ） A．255054 B．255064 C．250554 D．255024 【答案】D 【分析】本题考查了平方差公式，正确理解“和谐数”的概念是解题关键．设为正整数，利用平方差公式求出，从而可得在不超过2022的正整数中，当时，的值最大，据此计算即可得． 【详解】解：设为正整数， 则， 在不超过2022的正整数中，当时，的值最大，此时，， 则所求的所有的“和谐数”之和为 ， 故选：D． 6．（24-25七年级下·四川成都·期末）小明在数学综合实践课后，设计了以下运算．若，，且的取值与a无关，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了整式的乘法，整式的加减，根据新定义分别求得，进而根据的取值与a无关，得出，再代入求值，即可求解． 【详解】解： ∴ ∵的取值与a无关， ∴ ∴ ∴ 故答案为：． 7．（24-25七年级下·安徽合肥·期末）【阅读理解】学习乘法公式后，王老师为了加强同学们对公式的理解，编了一个乘法公式的问题，规则如下： 第1次操作：把多项式与的平方差记为； 第2次操作：把多项式与的平方差的结果记为； 第3次操作：； 第4次操作：把多项式与的平方差的结果记为； …… 以此类推，每到了3的倍数时就将前两次的结果求和． （1）当，时， ； （2） ． 【答案】 120 【分析】此题考查了平方差公式的应用， （1）根据题意表示出每个代数式，然后计算代数求解即可； （2）分别表示出前几个数，然后找到规律，进而求解即可． 【详解】（1）∵，， ∴ ∵， ∴ ∵， ∴ ∴ ∴当，时，原式； 故答案为：120； （2）∵， 同理可得，， ， ， ， ， ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ 故答案为：． 8．（24-25七年级下·江苏连云港·期中）小红在计算时，找不到计算器，去向小华借，小华看了看题说根本不用计算器，而且很快说出了答案．你知道答案是多少吗？请将答案填在横线上 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了平方差公式的应用，正确将已知式的局部进行因式分解成为解题的关键． 先运用平方差公式对局部进行因式分解，然后再计算即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 题型三：平方差与几何图形的压轴题 1．（24-25七年级下·四川成都·期末）如图1，边长为的大正方形内有一个边长为的小正方形． （1）用含字母的代数式表示图1中阴影部分的面积为_____； （2）将图1的阴影部分沿斜线剪开后，拼成了一个如图2所示的长方形，用含字母的代数式表示此长方形的面积为_____； （3）比较（2）、（1）的结果，请你写出一个非常熟悉的乘法公式_____； 【问题解决】 （4）利用（3）的公式解决问题： ①已知，，则的值为_____； ②计算：． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）①；② 【分析】本题考查了平方差公式的应用，熟练掌握平方差公式是解此题的关键． （1）根据图1中阴影部分可以看作两个正方形的面积差即可得解； （2）由拼图可得，图2是长为，宽为的长方形，表示出面积即可； （3）由（1）（2）即可得解； （4）①根据（3）中的公式计算即可得解；②根据（3）中的公式计算即可得解． 【详解】解：（1）图1中阴影部分可以看作两个正方形的面积差，即； （2）由拼图可得，图2是长为，宽为的长方形，因此面积为； （3）由（1）（2）可得：； （4）①∵， ∴， ∵， ∴； ② ． 2．（24-25七年级下·安徽六安·期末）数形结合是一种重要的数学思想，我们可以利用几何图形验证乘法公式．某数学兴趣小组用“等面积法”分别构造了以下四种图形验证“平方差公式”： (1)以上四种方法中能够验证“平方差公式”的有___________（填序号）； (2)利用“平方差公式”计算： (3)兴趣小组中有一位同学想利用“等面积法”来探究的展开式，请你设计并画出一个几何图形来帮助这位同学，根据你设计的图形直接写出的展开式； (4)利用（3）的结论，计算：． 【答案】(1)①②③ (2)1 (3)见解析， (4) 【分析】本题考查了平方差公式与图形面积、完全平方公式与图形面积，熟练掌握乘法公式是解题关键． （1）根据四个图形中，阴影部分的面积的计算方法即可得； （2）将原式变形为，利用平方差公式计算即可得； （3）画出一个边长为大正方形，根据大正方形的面积的两种计算方法即可得； （4）利用（3）的结果进行计算即可得． 【详解】（1）解：图①中，阴影部分的面积等于大正方形的面积减去小正方形的面积，也等于边长为，且这条边上的高等于的平行四边形的面积， 则，可以验证平方差公式； 图②中，阴影部分的面积等于大正方形的面积减去小正方形的面积，也等于长为、宽为的长方形的面积， 则，可以验证平方差公式； 图③中，阴影部分的面积等于大正方形的面积减去小正方形的面积，也等于2个上底等于，下底等于，高等于的直角梯形的面积， 则，可以验证平方差公式； 图④中，阴影部分的面积等于大正方形的面积减去小正方形的面积，也等于长为、宽为的长方形的面积， 则，不可以验证平方差公式； 故答案为：①②③． （2）解： ． （3）解：由题意画出图形如下： 由图可知，大正方形的面积等于3个小正方形的面积与6个小长方形的面积之和， 则． （4）解： ． 3．（24-25七年级下·广东梅州·阶段练习）如图1，边长为a的大正方形内有一个边长为b的小正方形． (1)用含字母的代数式表示图1中阴影部分的面积为____________； (2)将图1的阴影部分沿斜线剪开后，拼成了一个如图2所示的长方形，用含字母的代数式表示此长方形的面积为____________；（多项式乘积的形式） (3)比较图1和图2的阴影部分面积，请你写出一个整式乘法的公式______________________________； (4)结合（3）的公式， 计算：①； ②． 【答案】(1) (2) (3) (4)①；②2 【分析】本题主要考查了列代数式、平方差公式与图形面积，熟练掌握平方差公式是解题关键． （1）图1中阴影部分的面积等于边长为的大正方形的面积减去边长为的小正方形的面积，由此即可得； （2）先求出图2所示的长方形的长为，宽为，再利用长方形的面积公式求解即可得； （3）根据比较图1和图2的阴影部分面积相等即可得； （4）①先利用平方差公式可得，再利用平方差公式计算即可得； ②先将原式改写成，再利用四次平方差公式计算即可得． 【详解】（1）解：图1中阴影部分的面积等于边长为的大正方形的面积减去边长为的小正方形的面积，即， 故答案为：． （2）解：由题图可知，图2所示的长方形的长为，宽为， 则此长方形的面积为， 故答案为：． （3）解：∵比较图1和图2的阴影部分面积相等， ∴写出一个整式乘法的公式为：， 故答案为：． （4）解：① ． ②原式 ． 4．（24-25七年级下·广东佛山·期中）根据以下素材，探索完成任务． “以形释数”是利用数形结合思想证明代数问题的一种体现，对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个等式． 素材 如图，大正方形的边长是，它是由两个小正方形和两个长方形组成，所以大正方形的面积等于这四个图形的面积之和． 根据等面积法，我们可以得到一个等式： 问题解决 任务1 （1）①观察图1，写出所表示的数学等式：____________________． ②比较图2与图3的阴影部分面积，可以得到的等式是______________________________． 任务2 （2）如图，若将4个直角边长分别为a，b，斜边长为c的直角三角形拼成如图所示的五边形，请你用两种不同的方法表示五边形的面积． 方法1：_________________________； 方法2：_________________________； 根据方法1、方法2，你可以得到一个化简后的等式： _________________________． 任务3 （3）如图，在中，，点D，P分别在边，上，且，，，垂足分别为E，F．若，求的值． 【答案】（1）①；；②；（2）；；；（3）7 【分析】本题主要考查了多项式乘法在几何图形中的应用，平方差公式在几何图形中的应用，三角形面积计算，正确理解题意是解题的关键． （1）①大长方形面积等于其长乘以其宽，大长方形的面积等于边长为a的正方形面积加上2个边长为b的正方形面积，加上3个长为a，宽为b的长方形面积，据此用两种方法分别表示出大长方形的面积即可得到答案；②分别表示出两幅图中阴影部分的面积，根据两幅图中阴影部分面积相等即可得到答案； （2）如图，延长交于点，由题意可得四边形，四边形，四边形都是正方形，根据正方形的面积公式及三角形的面积公式即可得解； （3）如图，连接，由得，进而得 【详解】解：（1）①大长方形面积等于其长乘以其宽，即大长方形面积为， 大长方形的面积等于边长为a的正方形面积加上2个边长为b的正方形面积，加上3个长为a，宽为b的长方形面积，即大长方形面积为， ∴； ②图2中阴影部分面积为， 图3中阴影部分面积为， ∵图2中的阴影部分面积和图3中的阴影部分面积相等， ∴； （2）如图，延长交于点，由题意可得四边形，四边形，四边形都是正方形， 方法： ， 方法： ， ∴， ∴， ∴可以得到一个关于，，的等式是； （3）如图，连接， ∵ ∴， ∵，， ∴即， ∵， ∴ 5．（24-25七年级下·重庆渝北·期末）规定：关于x，y的方程与互为共轭二元一次方程，其中，由这两个方程组成的方程组叫做共轭方程组． (1)方程的共轭二元一次方程是__________； (2)若关于x，y的方程组为共轭方程组，则__________，__________； (3)解共轭方程组：． 【答案】(1) (2)1，3 (3) 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，新定义方程及二元一次方程： （1）根据共轭二元一次方程的定义解答； （2）由题意得，解方程即可得到答案； （3）用加减消元法解方程组得到，据此可得答案． 【详解】（1）解：由题意得，方程的共轭二元一次方程是， 故答案为：； （2）解：关于x，y的方程组为共轭方程组， ∴， 解得：， 故答案为：1，3； （3）解： 得：，解得， 把代入①得：，解得， ∴方程组的解为， ∴共轭方程组的解是． ∴共轭方程组解是． 6．（24-25七年级下·湖南永州·期中）仔细观察，探索规律： ； ； ． (1)猜想______（其中n为正整数，且） (2)根据上述规律求______． (3)根据上述规律：求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了平方差公式以及拓展应用，多项式乘以多项式规律等知识，熟练掌握平方差公式并根据题目中呈现的式子发现其中规律并灵活应用是解题关键． （1）根据结果的规律得出答案； （2）通过（1）总结的规律即可求解； （3）将原式变形为，然后利用（1）总结的规律即可求解． 【详解】（1）解：由题干中提供的等式的规律可得， ， 故答案为：； （2）解： ； （3）解： ． 7．（24-25七年级下·湖南株洲·期中）如图1，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个长方形（如图2）． (1)上述操作能验证的乘法公式是________；（用含a，b的式子来表示） (2)根据（1）中的乘法公式解决问题：已知，求的值； (3)把上述两个正方形按照如图3所示的方式拼接，其中三点在同一条直线上，若，求阴影部分的面积． 【答案】(1)或 (2)5 (3)120 【分析】（1）用代数式表示图1、图2中阴影部分的面积即可； （2）根据（1）的结论，代入数值进行计算，即可作答． （3）延长，交于一点E，则，再代入，，进行计算即可． 本题考查平方差公式的几何背景，多项式乘多项式，掌握平方差公式的结构特征，多项式乘多项式的计算方法是正确解答的关键． 【详解】（1）解：图1中阴影部分的面积可以看作两个正方形的面积差，即，所拼成的图2是长为，宽为的长方形，因此面积为， ∴， 故答案为：． （2）解：∵， 且， ∴ ． （3）解：如图3，延长，交于一点E， ∵四边形是正方形， ∴ ，， . 8．（24-25七年级下·浙江台州·期中）一个两位数，它的十位数字是a，个位数字是b，可将这个数记作，类似的，一个三位数可记作，其中a是百位数字，b是十位数字，c是个位数字． (1)【基础应用】 ①______（用含a的式子表示）； ②若，则a=_____，b=_______． (2)【能力提升】 ①若三位数是7的倍数，求a与b的数量关系； ②若，则k=______． (3)【思维拓展】 是否存在两位数，若存在，求出符合要求的两位数 ，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)；5；2 (2)①或14；②2，5，8 (3)存在， 【分析】本题考查的是将数字的位值转化为代数式表达式，以及代数式组成方程组求解；本题还考查了三位数的倍数性质及乘法运算的特殊形式． （1）根据两位数和三位数的位值表达式即可求出； （2）①根据三位数的位值表达式，再写成7的倍数形式即可求出a与b的数量关系；②写出和 的表达式然后进行化简，由左右两边相等即可得出k的值； （3）利用假设法成立，把等式进行化简，组成方程组即可求出a、b的值． 【详解】（1）①∵表示十位数字是a，个位数字是b， ∴， 故答案为：； ②由，则， 所以， 因为，， 所以，， 故答案为：5，2； （2）①∵是7的倍数， ∴是7的倍数， ∵， ∴或14， 故答案为：或14； ②∵， ， ∴， ∴， ∴，时，，， ，时，，， ，时，，， 故答案为：2，5，8； （3）存在，， 理由：若 则 ∵与均为奇数，且 ∴只有， ∴， ∴存在，使． 1．（24-25七年级下·山东青岛·期末）某校组织了《“徽”聚梦想引领班风》的班徽创意设计大赛，小颖同学积极参赛，先设计了一个正方形的班徽图形（如图），准备进一步优化改造，加一些文字，需要将原正方形的一组对边各增加，另一组对边各减少，改造以后的图形面积与原来的面积相比（   ） A．不变 B．减少 C．增加 D．增加 【答案】B 【分析】本题考查平方差公式和整式加减的应用，掌握平方差公式的结构特征是正确解答的关键． 用代数式分别表示改造前后图形的面积，再列式求前后的面积差即可． 【详解】解：设原正方形的边长为， 因此面积为， 改造后的图形是长为，宽为的长方形， 因此面积为， 所以改造前后的面积差为， 因此改造以后的图形面积与原来的面积相比减少了． 故选：B． 2．（23-24七年级下·甘肃兰州·期中）如图，四边形和都是正方形，这两个正方形的面积差是36，则图中阴影部分的面积是（   ） A．18 B．20 C．22 D．24 【答案】A 【分析】本题考查平方差公式与几何图形的面积，设，，根据题意，结合题意计算即可． 【详解】解：设，， 由题意，得：， ∵， ∴． 故选A． 3．（24-25七年级下·湖南娄底·期末）若，则的值为（    ） A．17 B． C．5 D．11 【答案】A 【分析】本题考查整式化简求值，先利用多项式乘以多项式、平方差公式去括号，再合并同类项即可化简，最后结合已知条件代入求值即可，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解： ∵， ∴原式． 故选：A． 4．（24-25七年级下·陕西汉中·期中）已知，，则M与N的大小关系是（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算、平方差公式的应用等知识点，掌握相关运算法则成为解题的关键． 利用作差法和平方差求解即可． 【详解】解：∵， ∴． 故选A． 5．（24-25七年级下·湖南怀化·阶段练习）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了利用平方差公式进行简便运算，由平方差公式得，进行前后约分运算，即可求解；能熟练利用平方差公式进行简便运算是解题的关键． 【详解】解：原式 ； 故选：B． 6．（24-25七年级下·山东济南·期中）对于a，b，c，d，规定一种运算，如，那么当时，则x的值是（    ） A．21 B．22 C．33 D．34 【答案】B 【分析】本题考查了平方差公式，计算多项式乘以多项式，解一元一次方程，正确理解新定义，掌握运算法则是解题的关键． 先根据新定义，然后根据平方差公式，和多项式乘以多项式运算法则化简计算即可． 【详解】解：∵， ∴ ， 解得：， 故选：B． 7．（24-25七年级下·四川成都·期中）已知、均为实数，且满足，则（   ） A．2 B．4 C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了平方差公式、代数式求值、平方根等知识点，灵活运用整体思想解决实际问题是解题的关键． 设，则，即，再根据平方根求得，进而完成解答． 【详解】解：设，则， 所以，即， ∴， 所以． 故选A． 8．（24-25八年级下·广东佛山·期中）若一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，则称这个正整数为“神秘数”（如，）．在这个数中，所有“神秘数”的个数是 ． 【答案】 【分析】本题考查平方差的公式及不等式的应用，解题的关键是掌握平方差的公式的运用，找到“神秘数”的规律．根据题意，得“神秘数”的规律为：(为为非负整数)，进而列不等式求解即可 【详解】解：∵“神秘数”能表示为两个连续偶数的平方差， ∴“神秘数”满足：(为非负整数)的规律， ， ∴， ∴， ∴， ∴在这个数中，“神秘数”的个数是 故答案为：． 9．（24-25七年级下·四川成都·期中）若，则的末位数字是 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了平方差公式的应用，乘方的运算，熟练掌握平方差公式是解题关键． 根据平方差公式，得出，从而得到的末位数字，即可得到的末位数字． 【详解】解： ， 的末位数是2，的末位数是4，的末位数是8，的末位数是6，的末位数是2，… 末位数是2，4，8，6，… 每4个一循环， ， 所以的末位数是6， 所以的末位数是5， 所以的末位数是， 故答案为：2． 10．（24-25六年级下·山东东营·期末）从边长为的正方形中剪掉一个边长为的正方形（如图），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图）． (1)上述操作能验证的等式是___________； (2)已知，，则___________； (3)应用所得的公式计算：． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】本题考查平方差公式与几何图形，灵活运用平方差公式是解题的关键． （）根据两个图形中阴影部分的面积相等，分别用代数式表示出来，列出等式即可； （）把利用（）的结论写成两个式子相乘的形式，然后把代入即可求解； （）先将化成，再应用所得的公式即可计算得到结果． 【详解】（1）解：图面积为，图面积为， ∵阴影面积相等， ∴， 故答案为：； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； （3）解： ． 11．（24-25七年级下·江苏·期中）【观察】：；． 嘉嘉发现规律：比任意一个偶数大3的数与此偶数的平方差能被3整除． 【验证】：（1）的结果是3的 倍； （2）设偶数为2n（n为整数），试说明比2n大3的数与2n的平方差能被3整除； 【延伸】：（3）比任意一个整数大3的数与此整数的平方差被6除的余数是几？请说明理由． 【答案】（1）；（2）见解析；（3）3 【分析】本题主要考查了平方差公式的应用； （1）计算出的结果，即可； （2）由题意得偶数为，比偶数大3的数为，再利用平方差公式计算，即可； （3）设这个数为，比大3的数为，再利用平方差公式计算，即可． 【详解】（1）， ∴是3的15倍； 故答案为：； （2）由题意得偶数为，比偶数大3的数为， ∴ ∵为整数， ∴能被3整除； （3）余数为3，理由如下： 设这个数为，比大3的数为， 所以被6整除余3，余数为3． 12．（23-24七年级下·浙江宁波·期中）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查了整式的乘法运算与求代数式的值，熟练运算是解题的关键；分别利用多项式乘多项式及平方差公式展开，再合并同类项，最后代入求值即可． 【详解】解：原式 ， 当时，原式． 13．（24-25七年级下·浙江台州·期中）在月历上，我们可以发现其中某些日期满足一定的规律，某兴趣小组对此进行了活动探究． (1)图1是2025年4月份的月历，用图2所示的“Z”字型框架任意框住月历中的5个数（如图1中的阴影部分），将位置B，D上的数相乘，位置A，E上的数相乘，再相减，尝试计算：______． (2)多次尝试可以发现，上述运算结果都是定值．设“Z”字型框架中位置C上的数为x，请利用整式运算的有关知识对上述规律进行说明． 【答案】(1)15 (2)见解析 【分析】本题主要考查了平方差公式，有理数的四则混合计算，正确理解题意是解题的关键． （1）先计算乘法，再计算减法即可得到答案； （2）先根据日历的特点得到B上的数为，D上的数为，A上的数为，E上的数为，据此计算出的结果即可证明结论． 【详解】（1）解：； （2）证明：∵C上的数为x， ∴B上的数为，D上的数为，A上的数为，E上的数为， ． 14．（24-25七年级下·江西九江·期中）定义，如．已知（为常数），． (1)若，则的值为________________； (2)若的代数式中不含的一次项，当时，求的值； 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查整式的运算、方程求解，以及整式的化简求值，理解新定义，掌握乘法公式是解题的关键； （1）根据新定义得出，结合题意得出方程，解方程，即可求解． （2）根据新定义计算的代数式进而令一次项系数为，得出，再计算，进而将代入即可求解． 【详解】（1）解： 依题意， ， ∵， ∴， ； （2） ， 代数式中不含的一次项， ， 解得， ， ， 把代入， ． 15．（24-25七年级下·北京顺义·期中）如果一个正整数能表示成两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“聪明数”，比如，，，则说明4，12，20都是“聪明数” (1)24是“聪明数”吗？36是“聪明数”吗？为什么？ (2)试说明所有的“聪明数”都不可能是8的倍数． (3)是否存在两个连续的奇数，它们的平方差是“聪明数”？为什么？ 【答案】(1)24不是“聪明数”；是“聪明数” (2)见解析 (3)不存在，理由见解析 【分析】本题考查了平方差公式的运算，有理数的混合运算； （1）根据定义，进行判断，即可求解； （2）设两个连续偶数为，，根据平方差公式进行计算即可求解； （3）设两个连续奇数为 和，计算它们的平方差得出结果为，根据（2）即可说明不存在的理由． 【详解】（1）解：∵， ∴24不是“聪明数” ∵ ∴是“聪明数” （2）设两个连续偶数为，，则， ∵是奇数， ∴不是8的倍数．即所有的“聪明数”都不是8的倍数． （3）解：设两个连续奇数为 和， 其平方差为： 由（2）可得，所有的“聪明数”都不是8的倍数． ∴不存在两个连续的奇数，它们的平方差是“聪明数”． 1 / 57 学科网（北京）股份有限公司 $$