3.1.1函数的概念（分层作业，15大题型）高一数学人教A版必修第一册

分层作业 3.1.1 函数的概念 A组|理解层级|巩固过关；B组|掌握层级|能力进阶；C组|运用层级|思维拔高 目 录 A组 巩固过关 题型01 函数关系的判断 题型02 区间的定义与表示 题型03 具体函数的定义域 题型04 实际问题中的定义域 题型05 判断两个函数是否相等 题型06 求函数值 题型07 已知函数值求自变量或参数 题型08 常见（一次、二次、反比例函数等）的函数值域 B组 能力进阶 题型01 函数关系中的计数问题 题型02 实际问题中的函数关系建模 题型03 复合函数中的定义域 题型04 复杂（根式型、分式型等）函数的值域 题型05 已知函数值域求参 C组 思维拔高 题型01 新定义情境下的函数问题 题型02 区间与值域的新定义问题 函数关系的判断题型01 1．（24-25高一上·湖南长沙·月考）下列各图中，不能表示是的函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用函数的定义，对各个选项逐一分析判断，即可求出结果. 【详解】由函数的定义知，每一个的取值，有且仅有一个值与之对应， 由选项A，C和D的图象可知，每一个的取值，有且仅有一个值与之对应，所以选项A，C和D错误， 由选项B的图象知，存在的取值，一个的取值，有两个值与之对应，所以不能表示是的函数， 故选：B. 2．设,,如下选项是从M到N的四种应对方式,其中是M到N的函数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由函数对应关系可得,对于集合M中的每个数,集合N中都有唯一且确定的数与之对应. 【详解】对于A,集合M中的3对应了集合N中的两个数,A错误; 对于B,集合M中的2对应了集合N中的两个数,B错误; 对于C,集合M中的每个数在集合N中都有唯一的数对应,C正确; 对于D,集合M中的3对应了集合N中的两个数,D错误, 故选:C. 3．在平面直角坐标系中，直线与函数的图象的交点个数为（    ） A．0 B．1 C．0或1 D．无法确定 【答案】C 【分析】由函数的概念，结合函数定义域的范围即可判断. 【详解】由函数的定义可知，对定义域内的任意一个，只有唯一的与之对应， 若在函数定义域内，则直线与函数的图象的交点个数为1， 若不在函数定义域内，则直线与函数的图象的交点个数为0， 所以函数的图象与直线的交点个数为0或1. 4．中文“函数”一词，最早是由近代数学家李善兰翻译出来的，之所以这么翻译，他给出的原因是“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”.已知集合，给出下列四个对应法则，请由函数定义判断，其中能构成从集合到集合的函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由函数的定义逐个判断即可； 【详解】A选项，当时，，故A错误； B选项，当时，，故B错误； C选项，当时，，当时，，当时，，故满足要求， 正确；D选项，当时，错误， 故选：C. 5．以下形式中，不能表示“是的函数”的是（    ） A． 1 2 3 4 4 3 2 1 B． C． D． 【答案】D 【解析】根据函数的定义逐一对选项进行分析即可. 【详解】对于A选项，运用的是列表法，每一个自变量，都有一个唯一确定的与之对应，所以是的函数； 对于B选项，运用的是图象法，每一个自变量，都有一个唯一确定的与之对应，所以是的函数； 对于C选项，运用的是解析法，每一个自变量，都有一个唯一确定的与之对应，所以是的函数； 对于D选项，每一个自变量，都有两个与之对应，所以不是的函数. 故选：D. 【点睛】本题考查函数的定义，解题时应注意自变量和函数值“一一对应”的关系，属于基础题. 6．下列对应中： （1），其中，； （2），其中，，； （3），其中y为不大于x的最大整数，，； （4），其中，，. 其中，是函数的是（    ） A．（1）（2） B．（1）（3） C．（2）（3） D．（3）（4） 【答案】B 【分析】利用函数的定义，逐项分析是否满足定义判断即可． 【详解】 （1），其中，；满足函数的定义，（1）正确； （2），其中，，，不满足一个自变量有唯一一个实数y与之对应，例如当时，；不满足函数的定义，（2）不正确； （3），其中y为不大于x的最大整数，，；满足函数的定义，③正确； （4），其中，，，当时，对应的，（4）不正确． 故选：B 7．（25-26高一上·内蒙古呼和浩特·期中）已知集合，集合，则下列图象能表示以为定义域，为值域的函数是（   ） A．   B．   C．   D．   【答案】A 【分析】根据题意，利用函数的定义，结合选项，逐项分析判断，即可求解. 【详解】对于A，由函数的定义，选项A可以表示定义域为，值域为的函数，所以A符合题意； 对于B，由函数的定义，选项B表示定义域为，值域为的函数，所以B不符合题意； 对于C，选项C中存在，有两个与之对应，不符合函数的定义，所以选项C不能表示函数，所以C不符合题意； 对于D，选项D中，当时，，所以选项D不能表示函数，所以D不符合题意. 故选：A. 8．存在函数满足，对任意都有（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数的概念逐项分析即可. 【详解】选项A：令（），则，原式可变形为（）. 令（），则，所以，即，满足题意，A正确； 选项B：令（），对于同一个，有两个不同结果（如时，或，或）， 一个对应两个函数值，故不存在这样的函数，B错误； 选项C：令（），对于同一个，有两个不同结果（如时，，或）， 一个对应两个函数值，故不存在这样的函数，C错误； 选项D：令（），对于同一个，有两个不同结果（如时，或，或）， 一个对应两个函数值，故不存在这样的函数，D错误； 故选：A 区间的定义与表示题型02 1．（24-25高一上·四川·质检）集合用区间可表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据区间表示集合的形式，即可求解. 【详解】集合用区间可表示为. 故选：C 2．（24-25高二下·云南昆明·质检）集合或用区间表示为（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据区间定义即可得答案. 【详解】由区间定义可知，或. 故选：A 3．不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由二次不等式解法可得答案. 【详解】. 故选：C 4．（25-26高一上·山东济南·期中）不等式的解集用区间表示为______. 【答案】 【分析】利用一次不等式的解法和区间的概念可得出原不等式的解集. 【详解】解不等式得，故原不等式的解集为. 故答案为：. 5．不等式组的解集用区间表示为：______． 【答案】 【分析】先解不等式组，再将结果用区间表示. 【详解】解：∵不等式组 ， ∴，∴不等式组的解集为． 故答案为：． 6．若为一确定区间，则的取值范围为__________. 【答案】 【分析】由区间的含义列出限制条件可得答案. 【详解】由题意，，解得. 故答案为： 7．（24-25高一上·湖南·期中）已知区间内有且仅有4个整数，则的取值范围为______. 【答案】 【分析】根据题意，由条件可得区间长度为，然后分，以及讨论，分别计算，即可得到结果. 【详解】由题意可得，且区间中有4个整数， 易知任意区间的区间长度为， 当时，的区间长度为， 此时中不可能有4个整数； 当时，，其中含有4、5、6、7四个整数，符合题意； 当时，的区间长度大于3， 若的区间长度，即， 若是整数，则区间中含有4个整数， 根据可知，则， 此时，其中含有5、6、7、8四个整数，符合题意； 若不是整数，则区间中含有5、6、7、8四个整数， 则必须有且，解得； 若时，，其中含有5、6、7、8、9五个整数，不符合题意； 若时，的区间长度， 此时中有6、7、8、9这四个整数，故，即， 结合，得； 综上所述，或或. 故答案为：. 具体函数的定义域题型03 1．函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由有意义，可得且，解得且， 所以函数的定义域为. 2．已知函数．若的图象经过原点，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用点在函数的图象上及偶次根式有意义即可求解. 【详解】因为函数的图象经过原点， 所以，解得， 所以函数的解析式为. 要使有意义，只需要， 所以的定义域为. 故选：A. 3．（25-26高一上·河北·期中）函数的定义域为________． 【答案】 【分析】根据题意有，解出即可. 【详解】由题可得，解得且， 的定义域为. 故答案为：. 4．函数的定义域为______． 【答案】 【分析】根据函数形式列出不等式组，解出即可. 【详解】由题意有，解得或或． 故其定义域为. 故答案为：. 5．若函数的定义域为，则实数的取值范围是_____________. 【答案】 【分析】利用函数的定义域为,转化为恒成立,然后通过分类讨论和两种情况分别求得a的取值范围，可得解. 【详解】的定义域为，是使在实数集上恒成立. 若时,要使恒成立,则有 且, 即,解得. 若时，化为，恒成立，所以满足题意， 所以 故答案为：. 6．（1）求函数的定义域； （2）已知函数的定义域为，求函数的定义域． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）只需使被开方数是非负数且分式的分母不为0，求解不等式组即得； （2）求抽象函数的定义域，只需将看成整体，满足，且分式的分母不为0，求解不等式组即得. 【详解】（1）要使函数有意义，需使解得或且. 故函数的定义域为. （2）因的定义域为，要使函数有意义，需使解得 故函数的定义域为. 实际问题中的定义域题型04 1．一枚炮弹发射后，经过落到地面击中目标．炮弹的射高为，且炮弹距地面的高度（单位：）与时间（单位：）的关系为．该函数定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据实际意义分析即可. 【详解】由题意可知，炮弹发射后共飞行了， 所以，即函数的定义域为. 故选：C 2．已知等腰三角形的周长为40，设其底边长为ycm，腰长为xcm.则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用三角形三边关系即可得到函数的定义域. 【详解】由题知：，， 根据三角形三边关系得到， 所以函数的定义域为. 故选：A 3．动物园需要用篱笆围成两个面积均为50 的长方形熊猫居室，如图所示，以墙为一边（墙不需要篱笆），并共用垂直于墙的一条边，为了保证活动空间，垂直于墙的边长不小于2m，每个长方形平行于墙的边长也不小于2m． （1）设所用篱笆的总长度为l，垂直于墙的边长为x．试用解析式将l表示成x的函数，并确定这个函数的定义域； （2）怎样围才能使得所用篱笆的总长度最小？篱笆的总长度最小是多少？ 【答案】（1），.（2）当垂直于墙的边长为时，所用篱笆的总长度最小，最小为m. 【分析】（1）由题意得每个长方形平行于墙的边长，表示出；由且，可得函数的定义域；（2）对其运用基本不等式求出函数的最值即场地的篱笆的总长度最小，从而求解． 【详解】（1）由题得每个长方形平行于墙的边长， 则， 且， ， 所以函数的定义域为，； （2），当且仅当，即时取等号， 故当垂直于墙的边长为时，所用篱笆的总长度最小，篱笆的总长度最小是． 【点睛】此题是一道实际应用题，考查函数的最值问题，解决此类问题要运用基本不等式，这也是高考常考的方法． 4．（25-26高一上·江苏无锡·期中）设矩形的周长为12，把它沿对角线对折后，设交于点，此时点记作，如图所示，设.    (1)设，将表示成关于的函数，并写出定义域； (2)设的面积为， （i）将表示成关于的函数； （ii）求的最大值及相应的值. 【答案】(1) (2)（i）（ii）当时，有最大值 【分析】（1）利用三角形全等定理，结合勾股定理进行求解即可； （2）（i）根据三角形面积公式，结合（1）的结论进行求解即可； （ii）运用基本不等式进行求解即可. 【详解】（1）由题意知，，，， 所以，所以， 因为矩形的周长为12，， 所以， 因为，所以，所以， 在中，可得，所以， 整理得. （2）（i）； （ii）因为， 所以， 当且仅当时取等号，即当时取等号， 于是有， 所以当时，有最大值. 5．为应对疫情需要，某医院需要临时搭建一处面积为10000平方米的矩形隔离病区（图中大矩形），划分两个完全相同的长方形工作区域（图中两小矩形），分别为观察区和治疗区，根据防疫要求，为方便救护车出入所有内部通道（图中阴影区域）的宽度为6米. (1)设隔离病区的长x米，将工作区的面积表示为x的函数f（x），并求出定义域 (2)应该如何设计该隔离病区的长，才能使工作区域的总面积最大？ 【答案】(1),定义域为； (2)米时面积最大 【分析】（1）根据题意，列出关系式即可；（2）根据基本不等式，即可求出最值. 【详解】（1）设隔离病区的长为x米，由面积为10000平方米，得宽为米， 由题意知，，解得， 所以，， 定义域为 （2）由（1）知，, 当且仅当，，即时，等号成立. 所以，当该隔离病区的长为，才能使工作区域的总面积最大. 判断两个函数是否相等题型05 1．（24-25高一上·四川·期末）下列函数中，与函数相等的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数相等的判断方法，即从函数定义域和对应法则一一分析即可. 【详解】的定义域为R， 对于A，，定义域为R，与不是相等函数，故A错误； 对于B，，定义域为R，与是相等函数，故B正确； 对于C，，定义域为，与不是相等函数，故C错误； 对于D，的定义域为，与不是相等函数，故D错误. 故选：B. 2．下列选项中表示同一函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【分析】根据相同函数的定义进行逐一判断即可. 【详解】对于A，因为定义域为，而的定义域为R， 所以两函数的定义域不同，故不能表示同一函数； 对于B，因为定义域为R，而的定义域为， 所以两函数的定义域不同，故不能表示同一函数； 对于C，易知函数和的定义域为，而的值域为，的值域为，两函数值域不同，故不能表示同一函数； 对于D，易知函数和的定义域为，值域为，且， 所以是同一函数. 故选：D 3．下列各组函数是同一个函数的是（    ） A．， B．与 C．与 D．与 【答案】B 【分析】根据同一函数的知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】A选项，，所以不是同一函数. B选项，，，所以是同一函数. C选项，的定义域是，的定义域是， 所以不是同一函数. D选项，由解得或， 所以的定义域是， 由解得，所以的定义域是， 所以不是同一函数. 故选：B 4．下列各组中的两个函数是同一个函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出两个函数定义域以及化简对应关系，若两个函数定义域和对应关系都相同，则这两个函数相同，从而得到结果. 【详解】对A，的定义域为，的定义域为，故A错误； 对B，和的定义域均为，且，故B正确； 对C，的定义域为，的定义域为，故C错误； 对D，和的定义域均为，但，对应关系明显不同，故D错误. 故选：B. 5．以下各组函数中，不是同一函数的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】对于选项B，C，D中两个函数的定义域相同，对应法则相同，故均为同一函数，而对于A选项，两个函数对应法则不同，故两个函数不是同一函数. 【详解】对于A选项，两个函数的定义域相同， ，两者的函数解析式不相同，故两者不是同一函数； 对于B，，两个函数的定义域和对应法则相同， 故得到两个函数是同一函数； 对于C，两个函数的定义域相同为， 且对应法则相同，故得到两个函数是同一函数； 对于D，两个函数定义域相同，， 对应法则相同，故两个函数是同一函数. 故选：A. 求函数值题型06 1．（24-25高一上·陕西榆林·期末）已知，则    ） A．9 B．8 C．3 D．1 【答案】B 【分析】直接代入即可. 【详解】令，则. 故选：B. 2．（25-26高一上·广西桂林·质检）已知函数对任意都有成立，且，则   ） A．8 B．4 C．0 D．2 【答案】A 【分析】根据抽象函数赋值法计算即可. 【详解】令，则. 故选：A. 3．已知函数，且，则   ） A． B．26 C． D．18 【答案】C 【分析】根据给定条件，代入计算即可得解. 【详解】函数，由，得，解得， 所以. 故选：C 4．已知定义在上的函数满足对于任意实数x，y均有，且，则    ） A．675 B．1350 C．2025 D．4050 【答案】D 【分析】根据赋值法，用x替换y，y替换x得到，故是常函数，设，再结合可解即可求. 【详解】用x替换y，y替换x可得，当，时，，故可知是常函数，于是知当时，，其中c为常数，故，解得，于是. 故选：D. 5．已知三次函数，且，，，则（    ） A．2023 B．2027 C．2031 D．2035 【答案】D 【分析】根据题意，构造函数，根据可以知道，进而代值得到答案. 【详解】设，则，所以，所以，所以. 故选：D. 6．已知函数的定义域为，若，则__________. 【答案】2024 【分析】根据递推式可得函数呈周期性递增，根据规律可求解. 【详解】， ，即， ， 故答案为：2024. 7．定义在上的函数满足：对任意，均有，且对任意，均有．则的值为________． 【答案】 【分析】通过给抽象函数进行赋值，由所给性质进行推导计算计算． 【详解】先求，因为，，由，所以， 且．又． 设，则，所以． 因为，，，所以，． 又，且， 由对称性得，设， 则，所以，又，即． 所以，，． 因此． 8．已知函数的定义域为，且对任意的正实数、都有，且. (1)求证：； (2)求； 【答案】(1)令，，则， ； (2). 【分析】（1）令，，进行求解； （2）先赋值求出，从而结合，赋值求出. 【详解】（1）略 （2）， ， ； 已知函数值求自变量或参数题型07 1．（24-25高一上·吉林长春·期末）已知函数，且，则   ） A． B．3 C． D．17 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用赋值法代入计算得解. 【详解】函数，令，则，而， 所以. 故选：B 2．（24-25高一上·北京·期中）若函数和分别由下表给出： 1 2 3 4 2 3 4 1 1 2 3 4 2 1 4 3 满足的值是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】从外到内逐步求值． 【详解】根据题意，， 则，所以. 故选：B 3．（24-25高一上·河北沧州·期中）若函数，且，则__________． 【答案】2 【分析】根据解析式，代入得，即可求解. 【详解】由，得，解得， 故答案为：. 4．已知函数，若，则实数的值为____________． 【答案】 【分析】根据已知条件可得出关于、的方程组，进而可解得实数的值. 【详解】已知函数，若，则，解得. 故答案为：. 5．已知函数. （1）求，的值； （2）若，求的值. 【答案】（1），；（2），或 【解析】（1）直接代入求值即可； （2）令，解出即可. 【详解】解：（1）， ， ； （2）令， 即， 解得：，或. 6．（24-25高一上·江苏徐州·期中）已知函数． (1)求，； (2)若，求实数的值． 【答案】(1)4；2 (2)或． 【分析】（1）将代入解析式求解即可； （2）根据，求解即可. 【详解】（1）由，可知，， 所以． （2）函数的定义域为， 因为，即， 解得或． 故或． 7．（25-26高二下·河南开封·期末）已知函数的图象过点和点． (1)求实数，的值； (2)求函数的值域． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，得到且，联立方程组，即可求解； （2）由函数，确定的定义域为，法一：化简函数为，令，转化为关于的方程有正实数根，求得函数的值域；法二：当时，化简，结合基本不等式和，进而求得函数的值域. 【详解】（1）由题意得，即， 解得． （2）由（1）知，所以的定义域为． 法一：由得， 令，当时，， 当时，，关于的方程有正实数根，，且，，，所以， 所以的值域为． 法二：由题意可得， 当时，， 因为，当且仅当时，取等号， 所以，即， 所以的值域为． 8．已知函数，. (1)若函数的图象经过点，求实数的值； (2)在（1）条件下，求不等式的解集； (3)当时，求关于的不等式的解集. 【答案】(1) (2) (3) 当时，原不等式无解； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. 【分析】（1）把点的坐标代入函数方程可求解； （2）利用一元二次不等式的解法可求出原不等式的解集； （3）根据对应方程根的大小变化，利用二次不等式的解法求解. 【详解】（1）解：由题可得，所以，. （2）解：由（1）可得，由，解得， 所以不等式的解集为. （3）解：由得，即， 当时，原不等式即为，此时，原不等式无解； 当时，，解原不等式可得，原不等式的解集为； 当时，，解原不等式可得，原不等式的解集为. 综上所述，当时，原不等式无解； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. 常见（一次、二次、反比例函数等）的函数值域题型08 1．（25-26高一上·河南新乡·期中）若函数的定义域为，则函数的值域为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数定义域及不等式的性质求解值域即可. 【详解】函数的定义域为， 由，可得， ，即函数的值域为. 故选：A. 2．下列函数中，值域为的是（    ） A．， B． C． D． 【答案】C 【分析】根据一次函数、二次函数、对勾函数值域的求法依次判断各个选项即可. 【详解】对于A，的值域为，A错误； 对于B，的值域为，B错误； 对于C，由得：，即的定义域为， 当时，，，C正确； 对于D，当时，（当且仅当时取等号），，D错误. 故选：C. 3．（25-26高一上·黑龙江绥化·期中）函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数的单调性求解. 【详解】因为函数为单调递增函数， 所以时，， 则函数的值域为， 故选： 4．下列函数的定义域与值域相同的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分别求出各函数的定义域和值域，逐一判断即可. 【详解】函数的定义域和值域都为R，A正确； 的定义域为，值域为，B错误； 的定义域为R，值域为，C错误； 的定义域为R，值域为，D错误. 故选：A 5．满足的实数对，构成的点共有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个 【答案】C 【分析】结合集合相等及二次函数的单调性即可求. 【详解】由，又， 则，所以在单调递增， 故值域为， 即是的两根，解得， 当时，点为， 当时，点为， 当时，点为. 故选：C 6．已知函数，，则此函数的值域为______． 【答案】 【分析】求出给定函数的值域. 【详解】由，且，则， 所以函数的值域为. 故答案为： 7．（24-25高一上·江苏扬州·期中）函数的值域________． 【答案】 【分析】根据二次函数的性质求解即可. 【详解】函数的对称轴为，开口向下， 且时，；时，；时，， 则函数的最小值为0，最大值为4， 所以的值域为. 故答案为：. 8．函数的值域为___________． 【答案】 【分析】分别求出分段函数和时的函数值的取值范围，取并集可得答案. 【详解】由于函数，当时，,当时，， 所以函数的值域为 故答案为： 函数关系中的计数问题题型01 1．已知函数的值域为{1,9}，解析式为，这样的函数的个数为 A．1 B．2 C．3 D．9 【答案】D 【详解】函数的值域为，即，，解得，，故当定义域为，，，，，，，，中任何一个均满足题意，共9个，故选D. 2．已知集合，是的函数，且满足，则这样的函数的个数为（     ） A．31 B．33 C．41 D．133 【答案】C 【分析】由知，且不能只，中至少还要有1个函数值等于1，然后进行分类列举即可. 【详解】因为，若，则，所以， 若仅，设，则， 所以函数不能仅有，在中至少还要有1个函数值等于1，具体分类如下： 1、若5个函数值都为1，此时共有1种情况； 2、若仅有4个函数值为1,又，4个中取3个函数值为1有种，另一个的取值有3种情况，此时共有种； 3、若仅有3个函数值为1，4个中取2个函数值为1有种，另外2个的取值有种，此时共有种； 4、若仅有2个函数值为1，4个中取1个函数值为1有种，另3个的取值有1种，此时有种情况； 综上共有， 故选：C. 3．（25-26高一上·上海·月考）为定义在上的函数，且同时满足以下两个条件：①；②对任意，都有.则这样的函数有_________个． 【答案】4 【分析】根据函数的定义和给定的两个条件确定满足条件的函数个数即可． 【详解】根据题意满足条件的函数有： ； ； ； ； 因此，满足条件的函数有4个． 故答案为：4． 4．已知函数的解析式为，其值域为，则这样的函数有______个． 【答案】 【分析】根据函数的概念，不同的定义域对应不同的函数，计算满足值域为的定义域个数即可. 【详解】当时，，解得，因此定义域必须包含，共种选择； 当时，，解得，值域需要包含， 因此定义域至少包含中的一个，可选方案为：，共种选择； 当时，，解得，同理，定义域至少包含中的一个，共种选择； 故可能得定义域又， ，共有个不同的函数. 5．已知函数的定义域为，值域，且对任意正整数，有．则符合条件的函数的个数为______． 【答案】178 【分析】记中满足，都有的函数个数为，设中满足的个数为，满足的个数为．推导出，，结合，，求出答案. 【详解】记满足题设条件的，定义域为的函数的个数为. 显然，当时，（按，排序）：； 当时，， 于是当时，则； 当时，则；当时，则； 从而设中满足的个数为，满足的个数为． 此时有，，且． 整理上式得，，， 所以，，，，，，． 实际问题中的函数关系建模题型02 1．（25-26高一上·广东广州·期中）如图所示，学校要围建一个面积为的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙（利用旧墙时需要维修），其他三面围墙要新建，在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为的出入口，已知旧墙的维修费用为56 元，新墙的造价为200元，设利用旧墙的长度为），修建此矩形场地的总费用为（单位：元）. (1)求关于的函数表达式； (2)当时，求总费用； (3)试确定的值，使修建此矩形场地的总费用最小，并求出最小总费用. 【答案】(1) (2) (3)，最小总费用是12200元 【分析】（1）总费用包括维修费用和新墙费用，旧墙长度为，新墙长度为，乘单价后相加得到总费用； （2）将代入，得到的值； （3）由基本不等式求得最值. 【详解】（1）设利用旧墙的长度为，则另一边长为， 所以新墙总长度为， 则 ， 故. （2）由（1）知，， 所以当时，. （3）因为，所以，由基本不等式有， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 故当利用旧墙的长度为时，修建此矩形场地的总费用最小，最小总费用是12200元. 2．为了增强生物实验课的趣味性，丰富生物实验教学内容，某校计划沿着围墙（足够长）划出一块面积为100平方米的矩形区域修建一个羊驼养殖场，规定的每条边长均不超过20米.如图所示，矩形为羊驼养殖区，且点，，，四点共线，阴影部分为1米宽的鹅卵石小径.设（单位：米），养殖区域的面积为（单位：平方米）. (1)将表示为的函数，并写出的取值范围； (2)当为多长时，取得最大值？并求出最大值. 【答案】(1)， (2)当为时，取得最大值，最大值为 【分析】（1）根据题意表示出的面积，并根据的每条边长均不超过20米确定好的取值范围. （2）对（1）中的结果，利用基本不等式求最大值. 【详解】（1）因为，所以，， 因为，，所以. （2） 当且仅当，即时，等号成立， 所以当为时，取得最大值，最大值为. 复合函数中的定义域题型03 1．（25-26高一上·陕西渭南·月考）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据定义域的定义，即可由不等式求解. 【详解】由于的定义域为，故，则， 因此，解得， 所以的定义域为 故选：A 2．（25-26高一上·吉林·期中）已知函数，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出函数的定义域，然后根据抽象函数的定义域求解法列出不等式组解出即可. 【详解】若函数要有意义，则，解得， 由， 所以函数的定义域为. 故选：B. 3．若函数的定义域为，则函数的定义域是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】根据已知可得函数的定义域需满足：, 解得， 即函数定义域为，故选B. 考点：求函数定义域 4．已知函数的定义域为，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由已知条件求得的定义域，再由的定义域求出的定义域即可. 【详解】∵函数的定义域为，即， ∴， 又∵，解得， ∴的定义域为, 故选：. 5．（25-26高一上·福建南平·质检）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据抽象函数的定义域先求得函数的定义域为，进而求解即可. 【详解】因为的定义域为，则，可得， 所以函数的定义域为， 由，解得且， 故的定义域为. 故选：D 6．（24-25高一上·江西赣州·期末）若函数的定义域为，则函数的定义域为__________. 【答案】 【分析】由函数的定义域为，可得，即的定义域为. 【详解】函数的定义域为， ，则， ， 函数的定义域为. 故答案为：. 7．若函数的定义域为，则函数的定义域是________． 【答案】 【分析】根据函数的定义域为，可知函数的自变量取值范围为，故对于函数，须满足. 【详解】函数的定义域是，对于函数有， 解得，所以函数的定义域是． 故答案为：. 复杂（根式型、分式型等）函数的值域题型04 1．函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据反比例函数的性质求解即可. 【详解】因为，所以，所以， 所以函数的值域为. 故选：B. 2．函数的值域为 A． B． C． D． 【答案】A 【解析】先设，将原根式函数的值域问题转化为二次函数的值域问题解决即可. 【详解】解：设， 则原函数可化为. 又∵， ∴，故， ∴的值域为. 故选：A. 【点睛】本小题主要考查函数的值域、二次函数的性质等基础知识，考查运算求解能力、转化能力.属于基础题. 3．（24-25高一上·辽宁凌源·月考）若函数的值域为，则函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】令，通过换元法将表示为，然后根据二次函数的性质求解出的值域. 【详解】令，得，，则， 所以，对称轴，开口向上且，所以， 所以函数的值域为. 故选：C. 4．若函数的最大值为，最小值为，则（    ） A．4 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】直接用判别式法求函数的最大值和最小值． 【详解】设，，， 时，， 时，因为，所以，解得，即且， 综上，最大值是，最小值是，和为6． 故选：B． 5．（25-26高一上·福建·月考）函数，的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】换元后得到，结合函数单调性得到值域. 【详解】，令，则， 则函数变为， 在上单调递减， 其中，， 故值域为. 故选：D 6．函数的值域为，则集合___________． 【答案】 【分析】利用函数的值域求解不等式，进而得到函数的定义域即可. 【详解】令，解得， 令，解得， 则集合. 故答案为： 7．对于任意实数，表示不小于的最小整数，如，定义在上的函数，若集合，则集合中所有元素的和为_______ 【答案】-4 【分析】讨论，，三种情况，分别计算得到得到答案. 【详解】当时： 当时：，， 当时：，， 故，集合中所有元素的和为 故答案为 【点睛】本题考查了集合的元素和，分类讨论是一个常用的技巧，可以简化题目，易于计算. 8．求下列函数的值域： (1)； (2) 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）化简的解析式，利用换元法，结合对勾函数的性质求得正确答案. （2）化简的解析式，利用换元法，结合基本不等式即可求解. 【详解】（1）因为，所以， 令，根据对勾函数的单调性可知在上是严格递增函数， 所以，所以，所以， 所以的值域为. （2）函数， 当时，； 当时，， 若时，，当且仅当即取等号， 则，所以， 若时，，当且仅当即取等号， 则，所以， 综上所述，函数在上的值域是. 已知函数值域求参题型05 1．（25-26高一上·福建·月考）命题“”是真命题的一个充分不必要条件的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出命题“”是真命题的充要条件，再根据充分不必要条件的定义选出正确答案即可. 【详解】由于命题“”是真命题， 等价于对恒成立，则只需即可； 又由，得，可知，从而得. 又因区间是区间的真子集， 所以满足题意的一个充分但不必要条件是. 故选：B 2．设函数的定义域为，若所有点构成一个正方形区域，则的值为 A． B． C． D．不能确定 【答案】B 【详解】定义域是的解集， 的根为x1与x2， 由题意可知：， 值域为， 由，得到故选B． 3．若函数，，对于，，使，则a的取值范围是_____________. 【答案】 【分析】由题意可知函数在区间的值域是函数在区间的值域的子集，转化为子集问题求的取值范围. 【详解】在定义域上是单调递增函数， 所以函数在区间的值域是 函数在区间是单调递增函数， 所以函数的值域是， 由题意可知， 所以 ，解得：. 故答案为：. 【点睛】本题考查双变量等式中任意，存在问题求参数的取值范围，重点考查函数的值域，转化与化归的思想，属于中档题型. 4．已知集合，，.若. （1）求集合B和集合C； （2）求实数a的取值范围. 【答案】（1），（2） 【分析】（1）根据二次函数、一次函数的单调性求出、；（2）由建立不等式即可得解. 【详解】因为， 所以，， （2）又，， 所以，解得， 所以实数a的取值范围为. 新定义情境下的函数问题题型01 1．（25-26高一上·西藏拉萨·期末）已知…，如果对应关系f将n对应到的小数点后第n位上的数字，则   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】D 【分析】函数对应关系的直接应用法，先明确函数的对应关系是“输入正整数，输出小数点后第位的数字”，再定位目标位置的数字，最后将对应位置的数字相加，得到最终和. 【详解】由题意得： 第1位数字（）：， 第4位数字（）：， 所以． 故选D． 2．（24-25高三下·云南·月考）对于函数，若存在两个常数a，b，使得，则称是“平方差关联函数”．已知函数是“平方差关联函数”，则   ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】根据“平方差关联函数”定义建立等式，通过化简求出的值即可求解． 【详解】因为是“平方差关联函数”，所以， 化简得，则 解得 故， 故选：B． 3．已知函数的值域为，关于其定义域，下面说法正确的是（    ）． A． B．不可能是无穷多个闭区间的并集 C．任取中两个元素，乘积一定非负 D．可能是所有有理数以及负无理数所成集合 【答案】D 【分析】对于ABC：找反例即可判断；对于D：所有非正有理数以及负无理数所成集合为,即可判断. 【详解】对于A：取时，函数的值域为，A错误； 对于B：可能是无穷多个闭区间的并集，比如，B错误； 对于C：当函数的值域为，取其定义域，取，则，C错误； 对于D：所有非正有理数以及负无理数所成集合为，此时函数的值域为.而函数在上为偶函数，所以当为正有理数时，函数值大于0，D正确. 故选：D 4．（24-25高一上·上海·期末）设是含数2的有限实数集，是定义在上的函数，若的图象绕原点逆时针旋转后与原图象重合，则在以下各项中，的可能取值只能是（    ） A． B． C． D．0 【答案】A 【分析】问题相当于圆上由12个均匀分布的点为一组，每次绕原点逆时针旋转个单位后与下一个点会重合，利用排除法，若时，圆上有部分关于轴对称的点，即一个对应2个，不满足函数的定义，从而可得结果. 【详解】问题相当于圆上由12个均匀分布的点为一组， 每次绕原点逆时针旋转个单位后会与下一个点重合， 我们可以通过代入和赋值的方法当时， 这12 个点对应的圆心角分别为， 然而此时有5组关于轴对称的点，即一个对应2个， 因为函数的定义要求一个只能对应一个，排除选项， 因此只有当时，旋转后得到的12个点，没有任何两个点关于轴对称， 此时每个都满足一个只会对应一个. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是将问题转化为“问题相当于圆上均匀分布12个点,且都不关于轴对称”. 5．设函数的定义域为，如果对于任意的，存在唯一的，使为常数），则称函数在上均值为.下列五个函数：①；②；③；④；⑤.则满足在其定义域上均值为2的所有函数的序号是___. 【答案】① 【解析】根据定义分别验证对于任意的，存在唯一的，使成立的函数即可. 【详解】 ;首先分析题目求对于任意的，存在唯一的，使成立的函数. ①，得，解得，满足唯一性，故成立. ②，由得，此时，当时，有两个值，不满足唯一性，故不满足条件. ③，由得，此时，当时，有两个值，不满足唯一性，故不满足条件. ④，由得，此时，当时，无意义，即不存在对应的值，不满足存在性，故不满足条件. ⑤，由得，解得，当，时，不存在对应的值，不满足存在性，故不满足条件. 故答案为：① 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是理解函数在上均值为这个函数新定义，判断的过程中要注意存在唯一一个. 6．丹麦数学家琴生是19世纪对数学分析做出卓越贡献的巨人，特别在函数的凹凸性与不等式方面留下了很多宝贵的成果.若为上任意个实数，满足，当且仅当时等号成立.则称函数在上为“上凸函数”.若为上任意个实数，满足，当且仅当时等号成立.则称函数在上为“下凸函数”这里关于凹凸函数的不等式即为著名的琴声不等式. (1)已知函数， ①若判断函数是上凸还是下凸函数并给予证明， ②试判断是上凸还是下凸函数，直接写出结论. (2)若是一组实数且，求的最小值. 【答案】(1)①是下凸函数，证明： ， ， ， 所以函数是下凸函数. ②是下凸函数 (2)2024 【分析】（1）根据题意，由下凸函数的定义即可证明； （2）根据题意，由下凸函数的定义，列出不等式代入计算，即可得到结果. 【详解】（1）①略 ②是下凸函数. 证明如下： ， 所以函数是下凸函数. （2）由是下凸函数可知: ， 所以的最小值为. 7．如果一个函数的值域与其定义域相同，则称该函数为“同域函数”.已知函数的定义域为且. （Ⅰ）若，，求的定义域； （Ⅱ）当时，若为“同域函数”，求实数的值； （Ⅲ）若存在实数且，使得为“同域函数”，求实数的取值范围. 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）. 【解析】（Ⅰ）当，时，解出不等式组即可； （Ⅱ）当时，，分、两种情况讨论即可； （Ⅲ）分、且、且三种情况讨论即可. 【详解】（Ⅰ）当，时，由题意知：，解得：. ∴的定义域为； （Ⅱ）当时，， （1）当，即时，的定义域为，值域为， ∴时，不是“同域函数”. （2）当，即时，当且仅当时，为“同域函数”. ∴. 综上所述，的值为. （Ⅲ）设的定义域为，值域为. （1）当时，，此时，，，从而， ∴不是“同域函数”. （2）当，即， 设，则的定义域. ①当，即时，的值域. 若为“同域函数”，则， 从而，， 又∵，∴的取值范围为. ②当，即时，的值域. 若为“同域函数”，则， 从而，     此时，由，可知不成立. 综上所述，的取值范围为 【点睛】关键点睛：解答本题的关键是理解清楚题意，能够分情况求出的定义域和值域. 8．（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·期中）对于函数， 若存在，使得，则称为函数的 “不动点”;若存在，使得，则称为函数 的“稳定点”.记函数的“不动点”和“稳定点”的集合分别为和，即． (1)设函数，求和； (2)证明：若为连续的单调函数，则； (3)若，存在，使得，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 若，则对，若满足，则，既， 若，同样. 假设，既存在，使得，，且. 不妨设，函数为连续单调递增函数，则，既，矛盾. 故不成立. 所以，则. (3) 【分析】（1）已知函数的解析式，利用“不动点”和“稳定点”的概念求集合和. （2）结合函数的单调性，利用“”证明集合相等. （3）把问题转化为“存在，使得，，且”，进一步转化成“方程存在两个不相等的实根”，由求的取值范围. 【详解】（1），解得； ，解得； . （2）略 （3）若，则存在，使得，，且. 即，两式相减，得， 又，，. 代入，得，同理，， 即方程存在两个不相等的实根， 则， 【点睛】关键点点睛：第三问中，把问题转化为“存在，使得，，且”，进一步转化成“方程存在两个不相等的实根”，由求的取值范围. 区间与值域的新定义问题题型02 1．对于实数和正实数，称满足不等式的实数的集合叫做的邻域，已知，若的邻域中恰有2个整数，则的取值范围是__________. 【答案】 【分析】由定义得到，求得区间，再由区间长度解得，讨论两个整数只能为1和2，或者2和3，构造不等式求解即可； 【详解】由，解得，所以的邻域为， 要使该邻域中恰有两个整数，需要区间长度满足，由此解得， 所以这两个整数只能为1和2，或者2和3， 当这两个整数为1和2时，解得； 当这两个整数为2和3时，，解得， 综上，的取值范围是. 故答案为： 2．（25-26高一上·上海·月考）定义区间的长度均为 ，其中 . 若不等式组 的解集中各区间长度和等于 8 ，则实数 的取值范围是_____. 【答案】 【分析】先解不等式，并求出解集区间的长度，再从分类讨论解不等式，结合题意即可得出答案. 【详解】由，得，得且， 由得，解得， 由得，解得或， 所以不等式的解集为， 此不等式解集的长度恰好为， 由得， 当时，此不等式的解集为空集，舍去； 当时，此不等式的解集为， 要满足题意则，解得； 当时，此不等式的解集为， 要满足题意则，解得， 综上所述，实数m的取值范围是. 故答案为：. 试卷第1页（共3页） 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 3.1.1 函数的概念 A组|理解层级|巩固过关；B组|掌握层级|能力进阶；C组|运用层级|思维拔高 目 录 A组 巩固过关 题型01 函数关系的判断 题型02 区间的定义与表示 题型03 具体函数的定义域 题型04 实际问题中的定义域 题型05 判断两个函数是否相等 题型06 求函数值 题型07 已知函数值求自变量或参数 题型08 常见（一次、二次、反比例函数等）的函数值域 B组 能力进阶 题型01 函数关系中的计数问题 题型02 实际问题中的函数关系建模 题型03 复合函数中的定义域 题型04 复杂（根式型、分式型等）函数的值域 题型05 已知函数值域求参 C组 思维拔高 题型01 新定义情境下的函数问题 题型02 区间与值域的新定义问题 函数关系的判断题型01 1．（24-25高一上·湖南长沙·月考）下列各图中，不能表示是的函数的是（    ） A． B． C． D． 2．设,,如下选项是从M到N的四种应对方式,其中是M到N的函数是（    ） A． B． C． D． 3．在平面直角坐标系中，直线与函数的图象的交点个数为（    ） A．0 B．1 C．0或1 D．无法确定 4．中文“函数”一词，最早是由近代数学家李善兰翻译出来的，之所以这么翻译，他给出的原因是“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”.已知集合，给出下列四个对应法则，请由函数定义判断，其中能构成从集合到集合的函数的是（    ） A． B． C． D． 5．以下形式中，不能表示“是的函数”的是（    ） A． 1 2 3 4 4 3 2 1 B． C． D． 6．下列对应中： （1），其中，； （2），其中，，； （3），其中y为不大于x的最大整数，，； （4），其中，，. 其中，是函数的是（    ） A．（1）（2） B．（1）（3） C．（2）（3） D．（3）（4） 7．（25-26高一上·内蒙古呼和浩特·期中）已知集合，集合，则下列图象能表示以为定义域，为值域的函数是（   ） A．   B．   C．   D．   8．存在函数满足，对任意都有（  ） A． B． C． D． 区间的定义与表示题型02 1．（24-25高一上·四川·质检）集合用区间可表示为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·云南昆明·质检）集合或用区间表示为（   ）． A． B． C． D． 3．不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·山东济南·期中）不等式的解集用区间表示为______. 5．不等式组的解集用区间表示为：______． 6．若为一确定区间，则的取值范围为__________. 7．（24-25高一上·湖南·期中）已知区间内有且仅有4个整数，则的取值范围为______. 具体函数的定义域题型03 1．函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 2．已知函数．若的图象经过原点，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·河北·期中）函数的定义域为________． 4．函数的定义域为______． 5．若函数的定义域为，则实数的取值范围是_____________. 6．（1）求函数的定义域； （2）已知函数的定义域为，求函数的定义域． 实际问题中的定义域题型04 1．一枚炮弹发射后，经过落到地面击中目标．炮弹的射高为，且炮弹距地面的高度（单位：）与时间（单位：）的关系为．该函数定义域为（    ） A． B． C． D． 2．已知等腰三角形的周长为40，设其底边长为ycm，腰长为xcm.则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 3．动物园需要用篱笆围成两个面积均为50 的长方形熊猫居室，如图所示，以墙为一边（墙不需要篱笆），并共用垂直于墙的一条边，为了保证活动空间，垂直于墙的边长不小于2m，每个长方形平行于墙的边长也不小于2m． （1）设所用篱笆的总长度为l，垂直于墙的边长为x．试用解析式将l表示成x的函数，并确定这个函数的定义域； （2）怎样围才能使得所用篱笆的总长度最小？篱笆的总长度最小是多少？ 4．（25-26高一上·江苏无锡·期中）设矩形的周长为12，把它沿对角线对折后，设交于点，此时点记作，如图所示，设.    (1)设，将表示成关于的函数，并写出定义域； (2)设的面积为， （i）将表示成关于的函数； （ii）求的最大值及相应的值. 5．为应对疫情需要，某医院需要临时搭建一处面积为10000平方米的矩形隔离病区（图中大矩形），划分两个完全相同的长方形工作区域（图中两小矩形），分别为观察区和治疗区，根据防疫要求，为方便救护车出入所有内部通道（图中阴影区域）的宽度为6米. (1)设隔离病区的长x米，将工作区的面积表示为x的函数f（x），并求出定义域 (2)应该如何设计该隔离病区的长，才能使工作区域的总面积最大？ 判断两个函数是否相等题型05 1．（24-25高一上·四川·期末）下列函数中，与函数相等的是（    ） A． B． C． D． 2．下列选项中表示同一函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 3．下列各组函数是同一个函数的是（    ） A．， B．与 C．与 D．与 4．下列各组中的两个函数是同一个函数的是（    ） A． B． C． D． 5．以下各组函数中，不是同一函数的是（ ） A． B． C． D． 求函数值题型06 1．（24-25高一上·陕西榆林·期末）已知，则    ） A．9 B．8 C．3 D．1 2．（25-26高一上·广西桂林·质检）已知函数对任意都有成立，且，则   ） A．8 B．4 C．0 D．2 3．已知函数，且，则   ） A． B．26 C． D．18 4．已知定义在上的函数满足对于任意实数x，y均有，且，则    ） A．675 B．1350 C．2025 D．4050 5．已知三次函数，且，，，则（    ） A．2023 B．2027 C．2031 D．2035 6．已知函数的定义域为，若，则__________. 7．定义在上的函数满足：对任意，均有，且对任意，均有．则的值为________． 8．已知函数的定义域为，且对任意的正实数、都有，且. (1)求证：； (2)求； 已知函数值求自变量或参数题型07 1．（24-25高一上·吉林长春·期末）已知函数，且，则   ） A． B．3 C． D．17 2．（24-25高一上·北京·期中）若函数和分别由下表给出： 1 2 3 4 2 3 4 1 1 2 3 4 2 1 4 3 满足的值是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 3．（24-25高一上·河北沧州·期中）若函数，且，则__________． 4．已知函数，若，则实数的值为____________． 5．已知函数. （1）求，的值； （2）若，求的值. 6．（24-25高一上·江苏徐州·期中）已知函数． (1)求，； (2)若，求实数的值． 7．（25-26高二下·河南开封·期末）已知函数的图象过点和点． (1)求实数，的值； (2)求函数的值域． 8．已知函数，. (1)若函数的图象经过点，求实数的值； (2)在（1）条件下，求不等式的解集； (3)当时，求关于的不等式的解集. 常见（一次、二次、反比例函数等）的函数值域题型08 1．（25-26高一上·河南新乡·期中）若函数的定义域为，则函数的值域为（　　） A． B． C． D． 2．下列函数中，值域为的是（    ） A．， B． C． D． 3．（25-26高一上·黑龙江绥化·期中）函数的值域是（    ） A． B． C． D． 4．下列函数的定义域与值域相同的是（    ） A． B． C． D． 5．满足的实数对，构成的点共有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个 6．已知函数，，则此函数的值域为______． 7．（24-25高一上·江苏扬州·期中）函数的值域________． 8．函数的值域为___________． 函数关系中的计数问题题型01 1．已知函数的值域为{1,9}，解析式为，这样的函数的个数为 A．1 B．2 C．3 D．9 2．已知集合，是的函数，且满足，则这样的函数的个数为（     ） A．31 B．33 C．41 D．133 3．（25-26高一上·上海·月考）为定义在上的函数，且同时满足以下两个条件：①；②对任意，都有.则这样的函数有_________个． 4．已知函数的解析式为，其值域为，则这样的函数有______个． 5．已知函数的定义域为，值域，且对任意正整数，有．则符合条件的函数的个数为______． 实际问题中的函数关系建模题型02 1．（25-26高一上·广东广州·期中）如图所示，学校要围建一个面积为的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙（利用旧墙时需要维修），其他三面围墙要新建，在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为的出入口，已知旧墙的维修费用为56 元，新墙的造价为200元，设利用旧墙的长度为），修建此矩形场地的总费用为（单位：元）. (1)求关于的函数表达式； (2)当时，求总费用； (3)试确定的值，使修建此矩形场地的总费用最小，并求出最小总费用. 2．为了增强生物实验课的趣味性，丰富生物实验教学内容，某校计划沿着围墙（足够长）划出一块面积为100平方米的矩形区域修建一个羊驼养殖场，规定的每条边长均不超过20米.如图所示，矩形为羊驼养殖区，且点，，，四点共线，阴影部分为1米宽的鹅卵石小径.设（单位：米），养殖区域的面积为（单位：平方米）. (1)将表示为的函数，并写出的取值范围； (2)当为多长时，取得最大值？并求出最大值. 复合函数中的定义域题型03 1．（25-26高一上·陕西渭南·月考）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·吉林·期中）已知函数，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 3．若函数的定义域为，则函数的定义域是（ ） A． B． C． D． 4．已知函数的定义域为，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高一上·福建南平·质检）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高一上·江西赣州·期末）若函数的定义域为，则函数的定义域为__________. 7．若函数的定义域为，则函数的定义域是________． 复杂（根式型、分式型等）函数的值域题型04 1．函数的值域为（    ） A． B． C． D． 2．函数的值域为 A． B． C． D． 3．（24-25高一上·辽宁凌源·月考）若函数的值域为，则函数的值域为（    ） A． B． C． D． 4．若函数的最大值为，最小值为，则（    ） A．4 B．6 C．7 D．8 5．（25-26高一上·福建·月考）函数，的值域为（    ） A． B． C． D． 6．函数的值域为，则集合___________． 7．对于任意实数，表示不小于的最小整数，如，定义在上的函数，若集合，则集合中所有元素的和为_______ 8．求下列函数的值域： (1)； (2) 已知函数值域求参题型05 1．（25-26高一上·福建·月考）命题“”是真命题的一个充分不必要条件的是（   ） A． B． C． D． 2．设函数的定义域为，若所有点构成一个正方形区域，则的值为 A． B． C． D．不能确定 3．若函数，，对于，，使，则a的取值范围是_____________. 4．已知集合，，.若. （1）求集合B和集合C； （2）求实数a的取值范围. 新定义情境下的函数问题题型01 1．（25-26高一上·西藏拉萨·期末）已知…，如果对应关系f将n对应到的小数点后第n位上的数字，则   ） A．4 B．5 C．6 D．7 2．（24-25高三下·云南·月考）对于函数，若存在两个常数a，b，使得，则称是“平方差关联函数”．已知函数是“平方差关联函数”，则   ） A． B． C．2 D． 3．已知函数的值域为，关于其定义域，下面说法正确的是（    ）． A． B．不可能是无穷多个闭区间的并集 C．任取中两个元素，乘积一定非负 D．可能是所有有理数以及负无理数所成集合 4．（24-25高一上·上海·期末）设是含数2的有限实数集，是定义在上的函数，若的图象绕原点逆时针旋转后与原图象重合，则在以下各项中，的可能取值只能是（    ） A． B． C． D．0 5．设函数的定义域为，如果对于任意的，存在唯一的，使为常数），则称函数在上均值为.下列五个函数：①；②；③；④；⑤.则满足在其定义域上均值为2的所有函数的序号是___. 6．丹麦数学家琴生是19世纪对数学分析做出卓越贡献的巨人，特别在函数的凹凸性与不等式方面留下了很多宝贵的成果.若为上任意个实数，满足，当且仅当时等号成立.则称函数在上为“上凸函数”.若为上任意个实数，满足，当且仅当时等号成立.则称函数在上为“下凸函数”这里关于凹凸函数的不等式即为著名的琴声不等式. (1)已知函数， ①若判断函数是上凸还是下凸函数并给予证明， ②试判断是上凸还是下凸函数，直接写出结论. (2)若是一组实数且，求的最小值. 7．如果一个函数的值域与其定义域相同，则称该函数为“同域函数”.已知函数的定义域为且. （Ⅰ）若，，求的定义域； （Ⅱ）当时，若为“同域函数”，求实数的值； （Ⅲ）若存在实数且，使得为“同域函数”，求实数的取值范围. 8．（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·期中）对于函数， 若存在，使得，则称为函数的 “不动点”;若存在，使得，则称为函数 的“稳定点”.记函数的“不动点”和“稳定点”的集合分别为和，即． (1)设函数，求和； (2)证明：若为连续的单调函数，则； (3)若，存在，使得，求实数的取值范围． 区间与值域的新定义问题题型02 1．对于实数和正实数，称满足不等式的实数的集合叫做的邻域，已知，若的邻域中恰有2个整数，则的取值范围是__________. 2．（25-26高一上·上海·月考）定义区间的长度均为 ，其中 . 若不等式组 的解集中各区间长度和等于 8 ，则实数 的取值范围是_____. 试卷第1页（共3页） 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $