精品解析：河南许昌市建安区第三高级中学2026-2027学年第一学期九年级第一次月考数学试题

2026-2027学年第一学期九年级第一次月考数学试题 一、选择题（每小题3分，10小题共30分） 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义，需同时满足三个条件：是整式方程；只含有一个未知数；未知数的最高次数为2且二次项系数不为0，逐一判断选项即可． 【详解】解：选项A：方程含有、两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意； 选项B：将方程，整理得，不是一元二次方程，不符合题意； 选项C：方程中，未明确，当时方程变为一元一次方程，不一定是一元二次方程，不符合题意； 选项D：将方程，整理得，是一元二次方程，符合题意． 2. 若是方程的一个根，则的值为（） A. B. 3 C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】将代入方程，即可求解． 【详解】解：∵是方程的根， ∴， 即， 解得． 3. 二次函数图象的顶点坐标是（　 　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：， ∴该二次函数图象的顶点坐标为． 4. 已知抛物线，下列说法正确的是（ ） A. 开口向上 B. 对称轴是直线 C. 顶点坐标为 D. 当时，y随x的增大而减小 【答案】C 【解析】 【分析】由二次函数解析式可得抛物线开口方向、对称轴及顶点坐标、增减性，即可判断． 【详解】解：A、∵抛物线中，， ∴开口向下，故选项错误，不符合题意； B、∵对称轴为直线，故选项错误，不符合题意； C、∵顶点坐标为，故选项正确，符合题意； D、∵抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而增大， ∵， ∴当时，随的增大而增大，故选项错误，不符合题意． 5. 关于x的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 【答案】A 【解析】 【详解】解：将方程化为一般形式：， ∴，，， ∴， ∵， ∴，即， ∴方程有两个不相等的实数根． 6. 如图是某地下停车场的平面示意图，停车场的长为40米，宽为19米，停车场内车道的宽度都相等．停车位的占地面积为350平方米．设停车场内车道的宽度为米，根据题意，下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程在几何图形面积问题中的应用，熟练掌握根据图形边长关系列方程的方法是解题的关键． 先根据车道宽度米，求出停车位区域的长和宽，再根据停车位面积=停车位长×停车位宽列出方程，最后对照选项选出正确答案． 【详解】解：设停车场内车道的宽度为米， 根据题意得，， 故选：A． 7. 老师在画二次函数（、为常数，且）的图象时列表如下： … … … … 四位同学根据表格得到结论如下： 甲：该函数图象的对称轴为直线； 乙：当时，随的增大而减小； 丙：； 丁：图象开口向下． 针对四人的说法，其中不正确的是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，待定系数法求解析式，熟练掌握以上知识点是关键．利用二次函数图象的特征，根据题意逐一判断即可． 【详解】解：将、代入得： ， 解得：， 二次函数的解析式为， 该函数图象的对称轴为直线，故甲正确； 又，函数图象的对称轴为直线， 二次函数的开口向下，当时，随的增大而增大，故乙不正确，丁正确； 当时，，即，故丙正确； 故选：B． 8. 已知点，，都在抛物线上．若，则m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先确定抛物线的对称轴和开口方向，再根据二次函数的增减性进行解答即可． 【详解】解：抛物线的对称轴为直线，，则抛物线开口向上． ∵， ∴点A到对称轴的距离小于点C到对称轴的距离，即，两边平方，可得， 解得； ∵， ∴点B到对称轴的距离小于点A到对称轴的距离，即， 两边平方，可得， 解得． 综上所述，m的取值范围是． 9. 若关于的方程有实数根，则的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根的判别式，熟练运用分类讨论思想是解题的关键； 需考虑方程可能为一次或二次方程：当时，方程为一次方程，直接求解；当时，方程为二次方程，利用判别式求范围． 【详解】解：当时，原方程为， 解得 ，有实数根， ∴符合条件； 当时，方程为一元二次方程，判别式， ∵方程有实数根， ∴， 即， ∴. 综上，实数的取值范围是． 故选：B． 10. 如图，二次函数的图象经过点，其对称轴为直线，有下列结论：①；②；③；④；⑤若，是抛物线上两点，且，则实数的取值范围是．其中正确结论是（ ） A. ①③④ B. ②④⑤ C. ①③⑤ D. ①③④⑤ 【答案】C 【解析】 【分析】根据开口方向，对称轴，以及与轴负半轴的交点位置判断的符号即可判断①，根据二次函数图象的对称性可知时的函数值与的函数值相等，进而可得，即可判断②，根据对称轴为以及顶点坐标公式即可判断③，根据二次函数图象与轴有两个交点，则，即可判断④，根据对称性可得时的函数值与时的函数值相等，进而根据抛物线的开口方向以及，即可判断，根据顶点位置的函数值最小，进而即可判断⑤ 【详解】解：∵抛物线的开口朝上，则，对称轴，可得，根据抛物线与轴交于负半轴，则 ∴ 故①正确； ∵二次函数的图象经过点， 则当时， 对称轴为直线，则时的函数值与的函数值相等， 时， 即 故②不正确 对称轴为直线， ∴，即 故③正确； ∵二次函数图象与轴有两个交点，则 即 故④错误； 对称轴为直线，则时的函数值与的函数值相等， ，是抛物线上两点，且，抛物线开口向上， 故⑤正确 故正确的是①③⑤ 故选C 【点睛】本题考查了二次函数图象的性质以及与各系数之间的关系，二次函数与一元一次不等式，根据图象判断方程的根的情况，二次函数的对称性，掌握二次根式图象的性质是解题的关键． 二、填空题（每小题3分，5小题，共15分） 11. 写一个与二次函数的图像开口相同，且顶点在x轴上的二次函数_____________ 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】二次函数开口形状和方向由二次项系数决定，开口相同则二次项系数与原函数相同；顶点在轴上说明顶点纵坐标为，利用顶点式即可写出符合要求的解析式． 【详解】解：∵原二次函数为，开口相同意味着二次项系数相同， ∴所求二次函数的二次项系数， ∵顶点在轴上，说明顶点纵坐标为， ∴可设顶点横坐标为任意实数，例如取顶点为，代入二次函数顶点式，得． 12. 若关于x的一元二次方程（a+2）x2+x+a2﹣4=0的一个根是0，则a为_____． 【答案】2． 【解析】 【分析】把x=0代入已知方程，列出关于a的新方程，再根据一元二次方程的定义可知a+2≠0，由此求解即可得答案． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程（a+2）x2+x+a2﹣4=0的一个根是0， ∴a2﹣4=0且a+2≠0， 解得 a=2， 故答案为：2． 【点睛】本题综合考查了一元二次方程的定义，一元二次方程的解，熟练掌握相关知识是解题的关键.注意：一元二次方程的二次项系数不等于零． 13. 在平面直角坐标系中，函数的图象经过点和．若，则________（填“”“”或“”）． 【答案】 【解析】 【分析】先将二次函数解析式配方，得到抛物线的开口方向与对称轴，再根据二次函数的增减性，结合判断两点横坐标的位置，即可比较与的大小． 【详解】解：对函数解析式配方得， ， 抛物线开口向上，对称轴为直线， 当时，随的增大而增大， ， ， ． 14. 已知一元二次方程（）的两根分别为、，则一元二次方程（）的两根分别为________． 【答案】， 【解析】 【分析】利用换元思路，将所求方程整理为与原方程形式相同的一元二次方程，根据原方程的根得到对应关系式，即可求解． 【详解】解：将所求方程移项变形得 , ∵一元二次方程的两根分别为，, ∴可得或, 解得，, ∴一元二次方程的两根分别为，． 15. 已知抛物线与轴交于、两点，当时，抛物线上有一点，其纵坐标为，若，则的取值范围是____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据抛物线与轴两个交点的坐标求出对称轴，结合对称轴公式求出的值，整理抛物线解析式后，根据二次函数的性质，结合和给定的范围，得到的取值范围． 【详解】解：抛物线与轴交于两点， 抛物线的对称轴为． 抛物线对称轴公式为，， ，解得， 抛物线解析式整理得． ，抛物线开口向下，顶点坐标为， 在范围内，时取得最大值． 到对称轴的距离大于到对称轴的距离， ∴在范围内，时取得最小值，且最小值为． ， ，． 是在范围内的抛物线上一点的纵坐标， 的取值范围是． 三、解答题（8小题，共75分） 16. 解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1），． （2），． 【解析】 【小问1详解】 解：原方程展开整理得， 因式分解得， 得或， 解得，． 【小问2详解】 解：原方程展开整理得， 即， 其中，，， 计算判别式得， 代入求根公式得， 解得，． 17. 已知二次函数的解析式． （1）在直角坐标系中画出它的图象； （2）观察图象可知时，的取值范围是 ； （3）当时，观察图象直接写出函数值的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据函数的解析式列表，描点，连线； （2）根据函数图象得出的取值范围； （3）根据函数图象和性质得出函数值的取值范围． 【小问1详解】 解：已知， 列表如下： 描点、连线见答案； 【小问2详解】 解：根据函数图象可知，当时，的取值范围是． 【小问3详解】 解：据图可知，函数图象的顶点坐标为，则y的最小值为， ∵，，， ∴当时，为最大值， 故当时，函数值的取值范围为． 18. 已知二次函数，当时，函数取得最小值，它的图象经过点． （1）求这个二次函数的表达式． （2）将该函数图象先向右平移4个单位长度，再向下平移5个单位长度得到新的函数图象，直接写出平移后的二次函数解析式． （3）动点能否在平移后的函数图象上？请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）不能． 理由：将代入平移后的解析式，得， 整理得， ∵， ∴该方程无实数解， ∴动点不在平移后的函数图象上． 【解析】 【分析】（1）利用二次函数的顶点式，即可求解； （2）按照“左加右减，上加下减”的平移规律即可求解； （3）把代入平移后的解析式，即可判断． 【小问1详解】 解：∵当时，函数取得最小值， ∴设， 把代入得，， 解得， ∴二次函数的表达式为． 【小问2详解】 解：∵将抛物线先向右平移4个单位长度，再向下平移5个单位长度， ∴平移后的二次函数解析式为，即． 【小问3详解】 略 19. 随着消费观念的转变，中药代茶饮“火爆出圈”，成为众多年轻人的饮品首选．据统计，某购物网站上某品牌的中药茶饮包6月份的销量为5万盒，8月份的销量为万盒． （1）求该购物网站上这个品牌的中药茶饮包销量的月平均增长率； （2）假设该购物网站上这个品牌的中药茶饮包销量的月平均增长率保持不变，则9月份的销量能不能达到万盒？请通过计算说明． 【答案】（1） 该品牌中药茶饮包销量的月平均增长率为 （2） 解：9月份的销量能达到6.6万盒，计算说明如下： 9月份销量为（万盒）， ∵， ∴9月份的销量能达到6.6万盒． 【解析】 【分析】（1）设月平均增长率为x，根据6月、8月的销量关系列一元二次方程求解； （2）用8月销量乘（月平均增长率）得到9月的销量，与6.6万盒比较即可判断． 【小问1详解】 解：设该品牌中药茶饮包销量的月平均增长率为， 由题意得，  ∴，  ∴， 解得，（不符合题意，舍去）， 答： 该品牌中药茶饮包销量的月平均增长率为； 【小问2详解】 略 20. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若该方程其中一个根为正数，求的取值范围． 【答案】（1） 证明：∵， ∴方程总有两个实数根； （2） 【解析】 【分析】（）求出的值即可求证； （）求出方程的解，再根据解的情况列出关于的不等式，解不等式即可求解； 本题考查了一元二次方程根的判别式，解一元二次方程，掌握以上知识点是解题的关键． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， 解得，， ∵该方程有一个根为正数， ∴， ∴． 21. 某经销店为某工厂代销一种建筑材料（这里的代销是指厂家先免费提供资源，待货物出售后再进行结算，未出售的由厂家负责处理）。当每吨售价为260元时，月销售量为45吨，该经销店为提高经营利润，准备采取降价的方式进行促销。经市场调查发现：当每吨售价每降低10元时，月销售量就会增加7.5吨，综合考虑各种因素，每售出一吨建筑材料共需支付厂家及其它费用元． 当每吨售价为元时，月销售量为吨，求出与之间的函数解析式； 在遵循“薄利多销”的原则下，问每吨材料售价为多少时，该经销店的月利润为元； 若在规定每吨售价不得超过元的情况下，当每吨售价定为多少元时，经销店的月利润最大． 【答案】（1）；（2）每吨材料售价为元；（3）当每吨售价定为元时，经销店的月利润最大 【解析】 【分析】（1）因为每吨售价每下降10元时，月销售量就会增加7.5吨，现在售价为元，下降，销量增加，即可求出关系式． （2）该经销店计划月利润为9000元而且尽可能地扩大销售量，以9000元做为等量关系可列出方程求解． （3）设销售额w元，求出销售额w与售价的函数关系式，当月利润最大，x为210元，此时每吨售价不得超过元，月销售额w最大，即可得出答案． 【详解】当售价定为每吨元时，月销量 由题意 化简得 解得 因为要遵循“薄利多销”的原则，所以 答：每吨材料售价为元； 设当每吨原料售价为元时，月利润为元 开口向下， 有最大值 当时，的值最大 ， 每吨售价定为元符合要求 答：当每吨售价定为元时，经销店的月利润最大． 【点睛】本题考查了二次函数的应用、一元二次方程的解得等知识，考查学生理解题意能力，学会关键二次函数解决最值问题，学会用方程的思想思考问题，属于中考常考题型． 22. 阅读下面的材料： 材料一：和3是方程的解． ； 材料二：如果实数，满足，，则可以将，看作是方程的两实数根． 问题解决： （1）若两个不同的实数、满足，，求的值； （2）已知实数，，满足，，且，求的最大值． 【答案】（1） （2）2 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系：若是一元二次方程的两根时，，也考查了判别式的意义． （1）根据、是方程的两根，利用根与系数的关系可求得和的值，然后利用整体代入的方法计算原式的值； （2）将、看作是方程的两实数根，利用判别式的意义得到，所以，解得，从而得到的最大值． 【小问1详解】 解：∵，实数、满足， ∴、可看作方程的两根， ， ∴． 【小问2详解】 解：∵、， ∴将看作是方程得两实数根； ， 而， ， ∴，即， ∴的最大值为2． 23. 如图，抛物线的对称轴是直线，与轴相交于，两点，其中点的坐标为，且点在抛物线上． （1）求抛物线的解析式； （2）点为抛物线与轴的交点，在对称轴直线上找一点，使得的周长最小，求点的坐标． （3）点是直线上方抛物线一动点，不与点重合，求点坐标使与的面积相等． 【答案】（1）抛物线的解析式为 （2） （3）点使与的面积相等 【解析】 【分析】（1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）根据的周长等于，其中为定值，当值最小时，的周长最小，根据对称性得到，得到三点共线时，的周长最小，求出直线与对称轴的交点即可； （3）根据平行线间的距离处处相等，以及同底等高的两个三角形的面积相等，将直线平移至过点，求出平移后的直线与抛物线的交点，即为点的坐标． 【小问1详解】 抛物线的对称轴为，点坐标为与在抛物线上， ∴，解得：， ∴抛物线的解析式为：； 【小问2详解】 ∵的周长等于，为定值， ∴当值最小时，的周长最小， 由于、关于抛物线的对称轴对称， ∴， ∴三点共线时，的周长最小， 即：点为直线与的交点时，的周长最小， 由（1）知，抛物线的解析式为，令，则， ， 设直线解析式为，把代入，得，解得， 直线的解析式为， 当时，， ； 【小问3详解】 设过点平行于的直线为，将点代入，得：， 直线解析式为， ∵与的面积相等 ∴点为直线与抛物线的交点， 联立，解得：（B点，舍去）或； 点． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，待定系数法求解析式，将军饮马模型解决周长最小问题．正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想，进行求解，是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年第一学期九年级第一次月考数学试题 一、选择题（每小题3分，10小题共30分） 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 若是方程的一个根，则的值为（） A. B. 3 C. 2 D. 3. 二次函数图象的顶点坐标是（　 　） A. B. C. D. 4. 已知抛物线，下列说法正确的是（ ） A. 开口向上 B. 对称轴是直线 C. 顶点坐标为 D. 当时，y随x的增大而减小 5. 关于x的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 6. 如图是某地下停车场的平面示意图，停车场的长为40米，宽为19米，停车场内车道的宽度都相等．停车位的占地面积为350平方米．设停车场内车道的宽度为米，根据题意，下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 老师在画二次函数（、为常数，且）的图象时列表如下： … … … … 四位同学根据表格得到结论如下： 甲：该函数图象的对称轴为直线； 乙：当时，随的增大而减小； 丙：； 丁：图象开口向下． 针对四人的说法，其中不正确的是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 8. 已知点，，都在抛物线上．若，则m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 9. 若关于的方程有实数根，则的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 10. 如图，二次函数的图象经过点，其对称轴为直线，有下列结论：①；②；③；④；⑤若，是抛物线上两点，且，则实数的取值范围是．其中正确结论是（ ） A. ①③④ B. ②④⑤ C. ①③⑤ D. ①③④⑤ 二、填空题（每小题3分，5小题，共15分） 11. 写一个与二次函数的图像开口相同，且顶点在x轴上的二次函数_____________ 12. 若关于x的一元二次方程（a+2）x2+x+a2﹣4=0的一个根是0，则a为_____． 13. 在平面直角坐标系中，函数的图象经过点和．若，则________（填“”“”或“”）． 14. 已知一元二次方程（）的两根分别为、，则一元二次方程（）的两根分别为________． 15. 已知抛物线与轴交于、两点，当时，抛物线上有一点，其纵坐标为，若，则的取值范围是____________． 三、解答题（8小题，共75分） 16. 解下列方程： （1）； （2）． 17. 已知二次函数的解析式． （1）在直角坐标系中画出它的图象； （2）观察图象可知时，的取值范围是 ； （3）当时，观察图象直接写出函数值的取值范围． 18. 已知二次函数，当时，函数取得最小值，它的图象经过点． （1）求这个二次函数的表达式． （2）将该函数图象先向右平移4个单位长度，再向下平移5个单位长度得到新的函数图象，直接写出平移后的二次函数解析式． （3）动点能否在平移后的函数图象上？请说明理由． 19. 随着消费观念的转变，中药代茶饮“火爆出圈”，成为众多年轻人的饮品首选．据统计，某购物网站上某品牌的中药茶饮包6月份的销量为5万盒，8月份的销量为万盒． （1）求该购物网站上这个品牌的中药茶饮包销量的月平均增长率； （2）假设该购物网站上这个品牌的中药茶饮包销量的月平均增长率保持不变，则9月份的销量能不能达到万盒？请通过计算说明． 20. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若该方程其中一个根为正数，求的取值范围． 21. 某经销店为某工厂代销一种建筑材料（这里的代销是指厂家先免费提供资源，待货物出售后再进行结算，未出售的由厂家负责处理）。当每吨售价为260元时，月销售量为45吨，该经销店为提高经营利润，准备采取降价的方式进行促销。经市场调查发现：当每吨售价每降低10元时，月销售量就会增加7.5吨，综合考虑各种因素，每售出一吨建筑材料共需支付厂家及其它费用元． 当每吨售价为元时，月销售量为吨，求出与之间的函数解析式； 在遵循“薄利多销”的原则下，问每吨材料售价为多少时，该经销店的月利润为元； 若在规定每吨售价不得超过元的情况下，当每吨售价定为多少元时，经销店的月利润最大． 22. 阅读下面的材料： 材料一：和3是方程的解． ； 材料二：如果实数，满足，，则可以将，看作是方程的两实数根． 问题解决： （1）若两个不同的实数、满足，，求的值； （2）已知实数，，满足，，且，求的最大值． 23. 如图，抛物线的对称轴是直线，与轴相交于，两点，其中点的坐标为，且点在抛物线上． （1）求抛物线的解析式； （2）点为抛物线与轴的交点，在对称轴直线上找一点，使得的周长最小，求点的坐标． （3）点是直线上方抛物线一动点，不与点重合，求点坐标使与的面积相等． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $