重庆市第八中学校2026-2027学年高二上学期第一次月考数学试题

重庆八中 2026—2027 学年度(上)高二年级第一次月考 数学试题 一、选择题:本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1. 已知直线 的方程为 ,则 的倾斜角是 A. B. C. 120° D. 2. 直线 被圆 截得的弦长为 A. 1 B. C. D. 3. 若椭圆焦点在 轴上且椭圆经过点 ,则该椭圆的标准方程为 A. B. C. D. 4. 若圆 与圆 相交于 两点, 则两圆公共弦所在直线的方程为 A. B. C. D. 5. 在 中,角 所对的边分别为 ,若 ,则 A. B. C. 120° D. 6. 已知正四棱锥 的底面边长为 ,若半径为 1 的球与该正四棱锥的各面均相切,则正四棱锥 的体积为 A. B. 12 C. D. 36 7. 已知实数 满足 ,则 的最小值为 A. 3 B. C. D. 6 8. 已知实数 满足, ,则 的最大值为 A. B. 4 C. D. 8 二、选择题: 本题 共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分。在每小题给出的四个选项中, 有多项符合题目要求。全部选对得 6 分, 部分选对得部分分, 有选错的得 0 分。 9. 已知直线 经过点 ,若 在两坐标轴上的截距相等,则直线 的方程可以为 A. B. C. D. 10. 已知椭圆 的左、右焦点分别为 ,过 的直线 与椭圆相交于 两点, 则下列说法正确的有 A. 的周长为 16 B. 内切圆半径的最大值为 2 C. 若点 ,则 的最大值 9 D. 若 ,则 11. 已知圆 关于直线 和直线 对称,圆 经过点 ,点 是直线 上的一动点,过点 作圆 的两条切线,切点分别为 . 则下列说法正确的是 A. 圆 的标准方程 B. 四边形 周长的最小值为 C. 直线 过定点 D. 若 是圆 上一点,若 的取值与 无关,则实数 的取值范围是 三、填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。 12. 已知直线 和 ，则 与 的距离是_____. 13. 已知实数 满足 ,则 的最大值为_____ 14. 如图,过椭圆 上一点 作椭圆的切线分别交 轴于点 ,则 _____. (若 在椭圆 上,则 处的切线方程为 ) 四、解答题:本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13 分)已知直线 与直线 . (1)当 时，求实数 的值； (2)当 时，求实数 的值. 16. (15 分)在平面直角坐标系 中,已知点 ,若动点 满足 . (1)求点 的轨迹方程； (2)若 ， ，判断是否存在点 满足 ，若存在，请求出点 ； 若不存在，请说明理由. 17. (15 分)在 中，角 的对边分别为，已知 ， . (1)证明: 为钝角三角形； (2)若 的面积为 ，求 的周长； (3)若点 满足 ，求 . 18.(17 分)如图，底面为正方形的四棱锥 ，，，记 . (1)证明: 为直角三角形； (2)当四棱锥 的体积最大时，求平面 与平面 所成角的余弦值； (3)记直线 与平面 所成角为 ，求 的最大值. 19. (17 分)常用测量距离的方式有 3 种: 设 ，定义欧几里得距离 ; 定义曼哈顿距离 ,定义余弦距离 ,其中 为坐标原点). (1)求满足 的点 的轨迹所围成的图形面积; (2)若 ，求 的取值范围； (3)若动点 在直线 上，动点 在函数 图象上，求 的最小值. 学科网（北京）股份有限公司 $重庆八中2026一2027学年度（上)高二年级第一次月考参考解析 2 4 5 6 > P 9 10 11 0 B B D D AB ACD ABD 12 13 14 码 5 3 15【解答】0)由x+24m=0,解得m=多引 (2)由m(m+2)=3,解得m=-3或m=1. 当m=-3时，直线：-x+y+3=0与直线43x-3y-5=0平行，符合题意： 当m=1时，直线：3x+y+3=0与直线：3x+y+3=0重合，不满足题意， 所以m=-3. 16.【解答】(1)P=(3-x,-y),m=(5-x,-y),Pm=(3-x5-x)+y2=5 化简得(x-4)+y=6,即点P(x,y)的轨迹方程为(x-4)+y2=6. (2)假设存在点P满足P4=2P,则Vx+3+y2=V巨Vx-+y-1, 化简得(x-5)+(y-2)=34, 因为V4-+0-2=5<26-6=6,即圆(x-4+=6与圆 (-5+(y-2)-34内含 所以，不存在这样的点P满足P4=√2P吲。 17.【解答】(1)证明：在△ABC中，由正弦定理得 sin A(1+cos B)+sin B(1+cosA)=3sin C, sin A+sin Acos B+sin B+sin Bcos A=3sin C, sin A+sin B+sin(A+B)=3sin C,sin(A+B)=sinC,sin A+sin B=2sin C, 又sinA=2sinB,由正弦定理得a+b=2c,a=2b,所以c= 由余弦定理得0sA=+c2-g6+?-4 2bc = 2b.36 =-，<0，即A为钝角， 4 2 所以△ABC为钝角三角形. (2)在△ABC中，由(1)知c0sA=-1 则咖4 4 由Ss4海c店3 3 ,所以bc=6,则b2=6, 2 44 2 所以b=2,因此c=3,a=4,所以△ABC的周长为9. (3)记∠BAD=0,由D=BC,所以@= AB×ADsin8 4 SACD 3 LACx ADsin(A-0) 2 2sin(A-0)=9sin0,2sin Acos0-2cos Asin0=9sin0 即 5cos0+n0=9sn8.即n0=香，所以m∠BAD=西 17 17 18.【解答】(1)由题AD2+P=PD2,所以AD⊥PA,又AD上AB,PA∩AB=A, 所以AD⊥平面PAB,所以AD⊥PB,又AD//BC,从而BC⊥PB,所以△PBC为直角 三角形： (2)当四棱锥P-ABCD的体积最大时，PA⊥平面ABCD,以A为坐标原点，AB,AD,AP 分别为x,:轴建立空间直角坐标系如图所示，则 A0,0,0),B(2,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0),P(0,0,),BP=(-2,0,1).BC=(0,2,0) n-Bp=-2x+51=0 设平面PBC的法向量为n=(:,片，)，则 令x=1,则n=(10,2） n.BC=2y,=0 显然平面P4D的法向量为AB=(亿，0,0)， 所以cs<B,>上，即平面PAD与平面PBC所成角的余弦值为5， 5 (3)以A为坐标原点，AB,AD分别为x,y轴建立空间直角坐标系如图所示，则A(0,O,O) B(2,0,0),C(2,2,0),P(cos8,0sin),AC=(2,2,0). 设平面PBC的法向量为m=(:,5,),BC=(0,2,0),BF=(os0-2,0,sin) 则 (n.BP=(cos0-2)x:+sin=:=0 令x=sin0,则m=(sin0,0,2-cos0), m-BC=2y2=0 sina=os<Cm 2sin0 sine 1-cos'0 2W5×VSin20+(2-cos0)月 2 5-4cos0 2 V5-4cos0 令1=5-4cos0e(L,9）,则sina= 2V16d (当且仅当1=3，即日=买取等号) 所以血a的最大值为互 4 19.【解答】(1)设H(x,y),则1x+1y=1, 当x≥0，y之0时，则x+y=1:当x≥0，y<0时，则x-y=1; 当x<0,y20时，则x-y=-1:当x<0,y<0时，则x+y=-1. 如图，点H的轨迹是一个边长为√巨的正方形， ∴点H的轨迹所围成的图形面积为(W=2 （）因oc.m-6t-.-67-x43可 3×2 令6x-r-5x+35=n则6r-F=√5x-35+1 即y=6x-F与y=√5x-35+1有交点， 也即半圆x2+y2-6r=0(y≥0)与直线y=√5x-35+1有交点， 下面，先计算直线与半圆相切和经过点(60)时的情况。 由圆心(3,0)到直线y=5x-35+r的距离d==3解得，1=6， 由题知此时1>0，即1=6： 又由y=√5x-35+1,代入点(6,0)，解得1=-35 如图， 由感知要使两者有交点。黄使-516，时cCD=-名 因coco,测cm-9 (3)设动点P(,2x-2),Q(x,)） 则MQ=k-小p2-引k-外-：引 因%}--0，所以<1+受 2 ①当≥1+至时，M(P,Q)=-x2+2x-2-=3x-x-x2-2, 此时MP.Q一，引云-5-2-若-与1，当且仅当5=1+手时取得： ②当，<X<1+至时，M心，Q=x--x-2-)=-4+-5+2, 时MP@>:}号-6+2--h ③当x≤，时，M(P,Q)=-(-)-(2x-2-)=-3x+x+x+2, 此时M(P,Q)m=-3x2+x+为+2=x-2,+2, 又-22+ 立-6+1=-旷+>0， 所烈好-2出+2>季-名小 悠合得M心0写-1北-当4=1+号时取等号。 2 即M(P,Q的最小值为方