精品解析：重庆市杨家坪中学2025-2026学年高二上学期第一次月考数学试卷

杨家坪中学高2027届高二上第一次月考 数学试题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意的. 1. 已知直线，则该直线的倾斜角是（ ） A. B. C. D. 2. 若经过，两点的直线的方向向量为，则实数（ ） A. B. C. D. 3. 已知直线与垂直，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 4. 是空间的一个基底，则下列各组向量中，不共面的一组是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 5. 已知两点到直线的距离相等，则（ ） A. 2 B. C. 2或 D. 2或 6. 过点的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为（ ） A. B. C. 或 D. 或 7. 在四棱锥中，底面是边长为的正方形，底面，，点在侧棱上，满足，上有一点，上有一点，有，，则的长为（ ） A. B. C. D. 8. 在棱长为的正方体中，，，分别为棱，，的中点，动点在平面内，且.则下列说法正确的是（ ） A. 存在点，使得直线与直线相交 B. 存在点，使得直线平面 C. 直线与平面所成角的大小为 D. 平面被正方体所截得的截面面积为 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，满分18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题意的.全部选对得6分，选对但不全得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若空间中的非零向量，夹角为钝角，则 B. 任意空间中的非零向量，，满足 C. 所有的直线都有倾斜角 D. 若两直线垂直，则它们的斜率互为负倒数 10. 2023年暑期档动画电影《长安三万里》重新点燃了人们对唐诗的热情，唐诗中边塞诗又称出塞诗，是唐代汉族诗歌的主要题材，是唐诗当中思想性最深刻，想象力最丰富，艺术性最强的一部分，唐代诗人李颀的边塞诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”.诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设将军的出发点是，军营所在位置为，河岸线所在直线的方程为，若将军从出发点到河边饮马，再回到军营（“将军饮马”）的总路程最短，则（ ） A. 将军从出发点到河边的路线所在直线的方程是 B. 将军在河边饮马的地点的坐标为 C. 将军从河边回军营的路线所在直线的方程是 D. “将军饮马”走过的总路程为 11. 已知四面体满足，则（ ） A. 直线与垂直 B. 二面角平面角的余弦值为 C. 向量在向量上的投影为 D. 四面体的体积为 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知直线，则其在轴上的截距为________. 13. 已知点，点，则点到直线的距离为________. 14. 如图，在四棱锥中，，，点是棱的中点、与平面交于点，设，则______；______． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，已知圆锥的底面半径，经过旋转轴SO的截面是等边三角形SAB，点Q为半圆弧的中点，点P为母线SA的中点. （1）求此圆锥的侧面积； （2）求异面直线PQ与SO所成角的余弦值. 16. 已知直线和. （1）若，求实数的值； （2）当时，求直线与之间的距离. 17. 如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，平面，为中点． （1）求证：平面； （2）若，，求直线与平面所成角的正弦值． 18. 已知直线． （1）求证：直线过定点； （2）若到直线的距离最大，求的值； （3）若直线与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积最小，求的方程． 19. 已知两个非零向量，在空间任取一点，作，则叫做向量与的夹角，记作．定义与的“向量积”为:是一个向量，它与向量都垂直，它的模．如图，在四棱锥中，底面为矩形，底面，，为线段上一点， （1）求的长； （2）若为线段的中点，求二面角的正弦值； （3）线段上是否存在一点，使得，若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 杨家坪中学高2027届高二上第一次月考 数学试题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意的. 1. 已知直线，则该直线的倾斜角是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由题设知直线的斜率为，设该直线的倾斜角为，则， 又因为，故. 2. 若经过，两点的直线的方向向量为，则实数（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】依题意，向量与向量共线， 因此，所以. 3. 已知直线与垂直，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由题意，与垂直，可得： ，解得. 4. 是空间的一个基底，则下列各组向量中，不共面的一组是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】A 【解析】 【分析】利用空间向量共面定理逐项判断即可得. 【详解】对A：由是空间的一个基底，故不共面， 则不能由、表示出，故，，不共面，故A正确； 对B：有，故，，共面，故B错误； 对C：，故，，共面，故C错误； 对D：，故 ，，共面，故D错误. 故选：A. 5. 已知两点到直线的距离相等，则（ ） A. 2 B. C. 2或 D. 2或 【答案】D 【解析】 【分析】分在的同侧和异侧分类讨论求解. 【详解】（1）若在的同侧， 则，所以，， （2）若在的异侧， 则的中点在直线上， 所以解得, 故选:D. 6. 过点的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】分直线过原点和不过原点两种情况讨论，结合直线的截距式即可得解. 【详解】当直线过原点时在两坐标轴上的截距都为，满足题意， 又因为直线过点，所以直线的斜率为， 所以直线方程为，即， 当直线不过原点时，设直线方程为， 因为点在直线上， 所以，解得， 所以直线方程为， 故所求直线方程为或.故D项正确. 故选：D 7. 在四棱锥中，底面是边长为的正方形，底面，，点在侧棱上，满足，上有一点，上有一点，有，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】以点为原点建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可. 【详解】如图，以点为原点，、、分别作为、、轴正方向，建立空间直角坐标系， 则，，，，， 所以，， 由于点在侧棱上，满足，所以，解得，所以， 由于点在上，不妨设，即，解得， 同理，点在上，设，解得， 则， 由于，，则， 化简得，解得， 因此 ，所以，故B正确. 8. 在棱长为的正方体中，，，分别为棱，，的中点，动点在平面内，且.则下列说法正确的是（ ） A. 存在点，使得直线与直线相交 B. 存在点，使得直线平面 C. 直线与平面所成角的大小为 D. 平面被正方体所截得的截面面积为 【答案】C 【解析】 【分析】连接，，取的中点，连接，点到线段的最短距离大于，即可判断；建立空间直角坐标系，点到平面的距离为，即可判断；由平面，连接交于点，与全等，所以，即可判断；平面被正方体所截得的截面图形为正六边形，且边长为，可求截面面积. 【详解】 连接，，所以，，取的中点，连接， 所以，点到线段的最短距离大于，所以不存在点，使得直线与直线相交，故不正确； 以为坐标原点，分别以，，所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，则，，，， 所以，，， 设平面的法向量为，所以，即， 令，则，，所以， 所以点到平面的距离为，而，所以不存在点，使得直线平面，故不正确； 因为，所以平面，连接交于点，所以为的中点，， 所以为直线与平面所成角， 因为，在中，， 所以，因为与全等，所以，故正确； 延长交的延长线于，连接交于，连接，取的中点，的中点， 连接，，，，，， 平面被正方体所截得的截面图形为正六边形，且边长为， 所以截面面积为，故不正确. 故选：. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，满分18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题意的.全部选对得6分，选对但不全得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若空间中的非零向量，夹角为钝角，则 B. 任意空间中的非零向量，，满足 C. 所有的直线都有倾斜角 D. 若两直线垂直，则它们的斜率互为负倒数 【答案】AC 【解析】 【分析】本题综合考查空间向量数量积的性质、直线倾斜角与斜率的基本概念，需结合相关定义逐一验证选项. 【详解】 选项A：非零向量夹角为钝角时，夹角，，因此，A正确; 选项B：和都是实数，左边是与共线的向量，右边是与共线的向量，与不一定共线，因此等式不一定成立，B错误; 选项C：根据倾斜角的定义，平面内任意直线都有唯一的倾斜角，取值范围为，C正确; 选项D：若一条直线斜率为0，另一条垂直于它的直线斜率不存在，此时两直线垂直但不满足斜率互为负倒数，D错误. 10. 2023年暑期档动画电影《长安三万里》重新点燃了人们对唐诗的热情，唐诗中边塞诗又称出塞诗，是唐代汉族诗歌的主要题材，是唐诗当中思想性最深刻，想象力最丰富，艺术性最强的一部分，唐代诗人李颀的边塞诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”.诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设将军的出发点是，军营所在位置为，河岸线所在直线的方程为，若将军从出发点到河边饮马，再回到军营（“将军饮马”）的总路程最短，则（ ） A. 将军从出发点到河边的路线所在直线的方程是 B. 将军在河边饮马的地点的坐标为 C. 将军从河边回军营的路线所在直线的方程是 D. “将军饮马”走过的总路程为 【答案】BD 【解析】 【分析】求出点关于直线的对称点为，直线的方程为即为从出发点到河边的路线，可得A错误；联立直线方程可解得交点坐标即为饮马地点的坐标为，可得B正确；直线的方程为即为从河边回军营的路线，可得C错误；由各路段长度总和即可求出“将军饮马”走过的总路程为，可知D正确. 【详解】由题可知在的同侧， 设点关于直线的对称点为，如下图所示： 则，解得；即. 将军从出发点到河边的路线所在直线即为， 又，所以直线的方程为，故错误； 设将军在河边饮马的地点为，则即为与的交点， 联立两直线方程解得，故B正确； 将军从河边回军营的路线所在直线为，又， 所以直线的方程为，故C错误； 总路程， 所以“将军饮马”的总路程为，故D正确. 故选：BD. 11. 已知四面体满足，则（ ） A. 直线与垂直 B. 二面角平面角的余弦值为 C. 向量在向量上的投影为 D. 四面体的体积为 【答案】AD 【解析】 【分析】构造长方体，由长方体的特征可判定A项，建立空间直角坐标系，借助空间向量可判定B、C项，利用割补法计算体积可判定D项. 【详解】 如图，构造长方体，因， 则可得，此时四面体符合题目条件. 建立空间直角坐标系，则， 对于A，由长方体的特征可知，又底面为正方形，即， 所以，故A正确； 对于B，易知， 设平面和平面的法向量分别为， 则故可取； 则，故可取. 设锐二面角的平面角为，则，故B错误； 对于C，易知， 则在上的投影为，故C错误； 对于D，由图易知四面体的体积等于长方体的体积减去四个大小相同的小三棱锥的体积， 即，故D正确. 故选：AD 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知直线，则其在轴上的截距为________. 【答案】 【解析】 【详解】令代入直线方程，可得  ，解得， 因此该直线在轴上的截距为. 13. 已知点，点，则点到直线的距离为________. 【答案】 【解析】 【分析】先求出直线的方向向量和向量，再代入空间点到直线的向量距离公式计算即可. 【详解】由点，，，得： ， , ， ， , 根据空间点到直线的距离公式 . 14. 如图，在四棱锥中，，，点是棱的中点、与平面交于点，设，则______；______． 【答案】 ①. ②. 2 【解析】 【分析】设，以为基底表示，由共面，求出，可得的值和，可求． 【详解】， 设， 由共面，有，解得，故． 又，有， 则． 故答案为：；2． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，已知圆锥的底面半径，经过旋转轴SO的截面是等边三角形SAB，点Q为半圆弧的中点，点P为母线SA的中点. （1）求此圆锥的侧面积； （2）求异面直线PQ与SO所成角的余弦值. 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）由已知条件求出母线长，然后利用圆锥的侧面积公式求解即可； （2）以为原点，所在的直线为x轴，所在的直线为y轴，所在的直线为z轴，建立空间直角坐标系，利用空间向量求解即可. 【小问1详解】 因为圆锥的底面半径， 经过旋转轴SO的截面是等边，可得， 所以圆锥的侧面积为. 【小问2详解】 以为原点，所在的直线为x轴，所在的直线为y轴，所在的直线为z轴，建立空间直角坐标系，如图， 由题意可得，则，，，，， 则，， 所以，，， 所以， 设异面直线PQ与SO所成角的大小为，， 则， 故异面直线PQ与SO所成角的余弦值为. 16. 已知直线和. （1）若，求实数的值； （2）当时，求直线与之间的距离. 【答案】（1） 或 （2） 【解析】 【小问1详解】 因为，故，故或. 【小问2详解】 因为，故，即，故或， 若，则，，此时与重合， 故，故，即， 故直线与之间的距离. 17. 如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，平面，为中点． （1）求证：平面； （2）若，，求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）证明：连接交于点，连接； 因为为平行四边形，故为的中点； 又因为为中点，故， 因为平面，平面， 故平面； （2） 【解析】 【分析】（1）根据线面平行的判定定理，找平面内一条直线与已知直线平行，根据题干所给中点以及平行四边形的性质利用中位线证明平行，即可证明线面平行； （2）利用空间向量求出平面的法向量和直线的方向向量，根据线面夹角的正弦值等于直线的方向向量和平面的法向量夹角的余弦值的绝对值进行计算． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）可知，，因为平面，故平面； 又因为底面为平行四边形，且，故底面为菱形， 则； 则以为坐标原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系， 由，可知，，则为等边三角形； 故，；； 故，，，，， 则，，； 设为平面的法向量， ，则，令，则； 设为直线与平面所成角， 则； 故直线与平面所成角的正弦值为． 18. 已知直线． （1）求证：直线过定点； （2）若到直线的距离最大，求的值； （3）若直线与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积最小，求的方程． 【答案】（1）证明：由直线整理可得： ，即， 则由，即， 故直线过定点； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）要证明直线过定点，将直线方程转化，通过提出参数，令参数所乘的式子为0建立等式，求出定点坐标； （2）直线外一点到动直线的最大距离为这点与直线上定点的距离，当直线外的点与直线上定点的连线垂直于直线时，可求最大距离； （3）根据与坐标轴的交点坐标可得三角形面积公式，利用二次函数的最值求法得到面积取最小值时参数的值，从而得到直线方程． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 当动直线满足定点与直线外点的连线垂直于时， 到直线的距离最大， 因为，则； 因为，故，解得； 【小问3详解】 由可得： 当时，；当时，； 因为直线与坐标轴交于正半轴，故 ，解得； 此时三角形面积为， 要使面积取最小值，只需取的最小值即可； 由可知， 当时，取最小值，此时面积取最小值， 此时直线方程为，即． 19. 已知两个非零向量，在空间任取一点，作，则叫做向量与的夹角，记作．定义与的“向量积”为:是一个向量，它与向量都垂直，它的模．如图，在四棱锥中，底面为矩形，底面，，为线段上一点， （1）求的长； （2）若为线段的中点，求二面角的正弦值； （3）线段上是否存在一点，使得，若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）证明，为直线与所成的角，设，结合“向量积”的模的定义由条件列方程求可得的长； （2）过点作交的延长线于点，证明为二面角的平面角，解三角形求其大小，结合二面角与二面角互补可得结论； （3）过点作，证明平面，过点作交于点，证明，结合条件可求. 【小问1详解】 因为底面为矩形，所以，， 又底面，底面， 所以，又，平面， 所以平面，又平面，所以， 因为，所以为直线与所成角，即， 设，则，， 在中，， 又，即，解得或（舍去）， 所以. 【小问2详解】 在平面内，过点作交的延长线于点，连接， 底面，底面，所以， 又，，平面， 所以平面，又平面，所以， 所以为二面角的平面角， 因为为的中点，所以，， 所以， 设二面角的平面角为，则， 所以，所以， 所以二面角的正弦值为. 【小问3详解】 依题意，，，又， 所以，，又，所以， 又，平面，所以平面， 在平面内过点作，垂足为， 由平面，平面，所以， 又，平面，所以平面， 在平面内过点作交于点，在上取点，使得， 连接， 所以且，所以四边形为平行四边形， 所以，又，即， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $