重难点专题02 平行线的证明（专项训练）数学新教材北师大版八年级上册

**基本信息** 以“判定-公理-性质-综合证明”为逻辑主线，系统提炼平行线证明的图形识别、因果推理及易错规避方法，强化几何直观与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |两直线平行的判断|4重难点（含选择、填空、解答）|精准识别三类角位置特征，强调“角相等→平行”的判定逻辑，规避因果颠倒|从具体角关系（同位角等）逐步构建平行判定体系| |平行公理及其推理|2重难点（含实际应用）|明确“直线外一点”前提，掌握平行传递性，区分与垂直结论的差异|公理为基础，推理实现多线平行关系推导| |两直线平行的性质|3重难点（含计算、证明）|“平行→角相等/互补”性质应用，结合对顶角、邻补角进行角度转化|与判定形成互逆关系，完善平行与角关系的双向推理| |判定与性质证明|综合解答题（含多步推理）|梳理论证链条，逆向推导找中间条件，规范书写推理依据|整合判定与性质，提升复杂情境下的逻辑推理能力|

重难点专题02 平行线的证明 模块一、两直线平行的判断 重难点一、同位角相等两直线平行 解题先在图形中精准识别同位角，同位角位置相同，在截线同侧、被截两直线同一方。做题先找准截线，区分哪两条是被截直线。只有同位角相等，才能推出两直线平行，不要颠倒因果关系。做题可以把相等角做好标记，确认角的位置关系，排除看似相等却不是同位角的干扰条件，规范书写推理依据，避免把性质和判定混淆。 1．（25-26七年级下·河南安阳·期末）2026年4月25日，“龙牌中国红杯”木工技能大赛在郑州圣达物流园隆重举行．如图是木工师傅常用的用角尺画平行线的方法，其中的原理是（     ） A．垂线段最短 B．同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C．同位角相等，两直线平行 D．内错角相等，两直线平行 2．（25-26七年级下·新疆和田·期末）如图所示，以下条件中能判断的是（     ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级下·河南平顶山·期末）如图，下列说法能判断出的是（     ） A． B． C． D． 4．（25-26七年级下·重庆巴南·期末）下列命题是真命题的是（     ） A．相等的角是对顶角 B．两直线被第三条直线所截，内错角相等 C．同位角相等，两直线平行 D．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 5．（25-26七年级下·广东梅州·期中）如图，给出了过直线外一点画已知直线的平行线的方法，其依据（     ） A．两直线平行，同位角相等 B．两直线平行，同旁内角互补 C．同位角相等，两直线平行 D．同旁内角互补，两直线平行 重难点二、内错角相等两直线平行 识别内错角关键看位置：在截线两侧，夹在两条被截直线中间。解题第一步定位截线，再找内错角。注意内错角本身不一定相等，只有给出相等条件才可判定平行。审题标记已知相等角度，确认角属于内错角，再下平行结论。切忌看到内错角就默认相等，分清判定逻辑：角相等是条件，两直线平行才是推导结果。 1．（25-26七年级下·福建福州·期末）如图，由，得，其根据是（     ） A．同位角相等，两直线平行 B．内错角相等，两直线平行 C．同旁内角互补，两直线平行 D．两直线平行，内错角相等 2．（25-26七年级下·河北邯郸·期末）在学习完尺规作等角之后，老师让小唯利用所学的知识在三角形中过点作边的平行线，小唯的思路和作法如下：如图，以为顶点，为一边作，则与平行，他这样作图的依据是（     ）． A．两直线平行，内错角相等 B．内错角相等，两直线平行 C．两直线平行，同位角相等 D．同位角相等，两直线平行 3．（25-26七年级下·辽宁沈阳·期末）如图，将生活中的竹篱笆（图1）局部抽象为几何图形（图2），下列条件中，能判定直线的是（     ） A． B． C． D． 4．（26-27八年级上·四川绵阳·开学考试）如图，小明利用两块相同的三角板，分别在三角板的边缘画平行线，这样做的依据是_______，两直线平行． 5．（25-26七年级下·甘肃平凉·期末）小亮在探究平行线的作法时，发现可以利用两个相同的直角三角尺画平行线，如图是小亮画平行线a，b的作法，则小亮这样画的依据是___________________________． 6．（25-26七年级下·山西朔州·期末）如图，在四边形中，连接，，并延长至点E．添加一个条件，使，可添加的条件为________（写出一个即可）． 7．（26-27七年级上·全国·课后作业）根据题图，在下列解答中，填上适当的理由． (1)（已知）， （                           ）． (2)（已知）， （                            ）． 8．（25-26七年级下·山东德州·期末）把下面的推理过程补充完整，并在括号内注明理由． 如图，点A，B，C在同一条直线上，已知平分，，，求证． 证明：（已知） _________（垂直的定义） ， 平分（已知） _________（角平分线定义） （已知） 又， _________（_________）， （_________）． 重难点三、同旁内角互补两直线平行 同旁内角位于截线同侧，夹在两条被截直线之间。判定平行的条件是两角相加等于 180°，不是两角相等。做题优先计算角度和，确认互补关系。很多题型会结合对顶角、邻补角间接给出角度，需要先换算出同旁内角的度数。千万不要记成 “同旁内角相等两直线平行”，推理时写清理论依据，不要颠倒条件与结论。 1．（25-26七年级下·黑龙江黑河·期末）如图，点E在的延长线上，下列条件能判断的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·浙江台州·期末）如图，下列能判断的是（     ） A． B． C． D． 3．（26-27八年级上·河北邯郸·开学考试）如图，点在的延长线上，下列条件中不能判定的是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26七年级下·辽宁丹东·期末）如图，有下列四个条件：①；②；③；④．其中能判定的有（     ） A．①④ B．②③ C．①②③ D．①③④ 5．（25-26七年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，一个弯形管道，若它的两个拐角，则管道．这里用到的推理依据是________________________． 6．（25-26七年级下·浙江宁波·期中）如图，点在的延长线上，对于给出的四个条件：①；②；③；④． 能判断的有______个． 7．（25-26七年级下·甘肃定西·期末）如图1，已知是一块平面镜，光线在平面镜上经点O反射后，形成反射光线，我们称为入射光线，为反射光线．镜面反射有如下性质：入射光线与平面镜的夹角等于反射光线与平面镜的夹角，即．如图2，和是两块平面镜，入射光线经过两次反射后，得到反射光线，根据图2，回答下列问题： (1)若，求的度数； (2)若，，求证：． 重难点四、在同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行 该定理前提是同一平面内，脱离平面条件结论不成立。解题看到两条直线都垂直第三条直线，先确认在同一平面，即可直接判定两直线平行。题目常结合直角给出 90° 条件，可通过角度互余完成推导。做题区分：垂直得到直角是条件，最终推出平行，不要写成两直线平行推出垂直，规避因果颠倒的高频易错点。 1．（25-26七年级下·云南曲靖·期末）下列命题中，真命题是（     ） A．内错角相等 B．同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行 C．相等的角是对顶角 D．两点之间，垂线段最短 2．（21-22七年级下·云南昆明·阶段检测）同一平面内，若，，则与的关系是（     ） A．平行 B．垂直 C．相交 D．以上都不对 3．（25-26七年级下·黑龙江牡丹江·期末）下列命题中，真命题的个数是（    ） ①平行于同一条直线的两条直线平行． ②垂直于同一条直线的两条直线平行． ③连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短． ④过一点有且只有一条直线与已知直线平行． ⑤点到直线的垂线段叫做点到直线的距离． ⑥如果点的坐标满足，那么点在第一象限． A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 4．（26-27七年级上·全国·课后作业）如图，在同一平面内，直线、均与直线垂直，点D、F为垂足．试判断与是否平行． 5．（26-27八年级上·全国·课后作业）如图，已知，，垂足分别为点，直线分别交于点．求证：． 对于上述问题，请将下列证明过程补充完整． 证明：（已知），（已知）， （同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行）． ______________________． 模块二、平行公理及其推理 重难点一、平行公理的应用 平行公理：过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行。做题注意关键点，点必须在直线外部；若点在直线上，则不存在平行线。选择题、判断题经常在这里设置陷阱。遇到作图题，牢记只能画出一条平行线。解题读题圈画 “直线外一点”，如果没有该前提，命题即为错误，审题不能忽略限定条件，避免忽略文字细节丢分。 1．（24-25七年级下·新疆巴州·阶段检测）下列说法中错误的是（     ） A．过一点有且只有一条直线与已知直线平行 B．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C．两条直线相交，有且只有一个交点 D．若两条直线相交成直角，则这两条直线互相垂直 2．（25-26七年级下·陕西西安·期末）如图，已知，点E在线段上，过点E作，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级下·贵州遵义·期中）农民伯伯在插秧时，为了保证所插的每行秧苗都平行，只需后插的每一行秧苗都与前一行平行即可．如图2，插第②行时，只需与第①行平行即可，插第③行时，只需与第②行平行即可，这样就能保证第③行秧苗与第①行秧苗也平行．这种做法的依据是（     ） A．两点确定一条直线 B．两点之间，线段最短 C．经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 D．平行于同一条直线的两条直线平行 4．（25-26七年级下·内蒙古呼和浩特·期末）有下列结论 ①同一平面内两条直线的位置关系是平行和垂直； ②如果点在经过点且与x轴平行的直线上，那么； ③算术平方根等于它本身的数是1； ④同一平面内只有一条直线与已知直线垂直； ⑤如果，，那么． 其中，正确结论的个数是（     ） A．3 B．2 C．1 D．0 5．（21-22七年级下·四川德阳·阶段检测）在同一平面内，下列说法：①过两点有且只有一条直线；②直线与直线之间垂线段最短；③过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；④过一点有且只有一条直线与已知直线平行；⑤两两不重合的三条直线交点个数为3个，其中正确的个数为（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．（23-24八年级上·广西柳州·开学考试）下列说法正确的个数是（     ） （1）两条直线不相交就平行； （2）在同一平面内，两条平行的直线有且只有一个交点； （3）过一点有且只有一条直线与已知直线平行； （4）平行于同一直线的两条直线互相平行； （5）两直线的位置关系只有相交与平行． A．个 B．个 C．个 D．个 重难点二、平行公理推论的应用 推论内容：平行于同一条直线的两条直线互相平行，也就是平行的传递性。做题只要得到两条直线都平行第三条直线，就可以判定这两条直线互相平行。可以用来做多条直线之间的平行推导。注意区分和垂直相关结论，不要相互混淆。推理书写写明推论依据，注意该结论不需要 “同一平面” 的限制条件，做题对比垂直类定理，看清题干条件。 1．（25-26七年级下·广东深圳·期末）水平尺是用来判断物体某条边是否水平的工具．如图，当水平尺的气泡位于中央，说明水平尺与水平线平行．李师傅在挂画时将水平尺放置在画框的上沿，上沿与水平尺平行；他调整画框直至气泡位于中央，判定此时画框就是水平摆放的．以上操作，依据的数学原理是（） A．同位角相等，两直线平行 B．内错角相等，两直线平行 C．同旁内角互补，两直线平行 D．平行于同一条直线的两条直线平行 2．（25-26七年级下·广西防城港·期末）已知三条直线a，b，c两两互不重合，若，，则下面的结论正确的是（     ） A． B． C． D．与相交 3．（25-26七年级下·云南文山·期末）下列命题中，是假命题的是（     ） A．内错角相等 B．若，，则 C．直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短 D．过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行 4．（25-26七年级下·重庆九龙坡·期末）如图是小明家装修时拖拉柜子的截面示意图，天花板与地面互相平行，天花板上的点与柜子上的点用绳子相连．某一时刻，测得，，则（     ） A． B． C． D． 5．（26-27八年级·全国·暑假作业）下面推理正确的是（　　） A．∵，∴ B．∵，∴ C．∵，∴ D．∵，∴ 6．（25-26七年级下·江西吉安·期末）在现代电气化铁路飞速发展的今天，列车飞驰的背后离不开一套关键设备——受电弓如图①．正是它为列车提供着源源不断的动力，保证了高铁高速顺畅地运行．其示意图如图②，若在某一时刻，，，则__________． 7．（26-27七年级上·全国·课后作业）如图，两条直线a、b相交于点O．如果直线直线c，那么直线b能与直线c平行吗？为什么？ 模块三、两直线平行的性质 重难点一、两直线平行同位角相等 这是平行线的性质，和判定互为逆命题，因果关系要分清：已知两直线平行，推出同位角相等。做题题干给出直线平行，立刻标记图形，找出对应的同位角直接得到角度相等。不能在不知道平行的前提下，主观认定同位角相等。几何计算题，借助该性质转移角度，结合对顶角、邻补角做角度换算，每一步写明推理的依据。 1．（25-26七年级下·江西南昌·期末）下列命题中真命题是（   ） A．同位角相等 B．是无理数 C．北纬，东经能定位甘肃省博物馆 D．若点的坐标为，则点在第四象限 2．（24-25七年级下·浙江宁波·阶段检测）如图，已知直线，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 3．（2026·宁夏·中考真题）如图，直线，量角器的零刻度线与重合，其中心与，的交点重合，则的度数为（     ） A．130 B．55 C．50 D．45 4．（25-26七年级下·四川成都·期末）如图， 直线， 直线与直线、 分别相交于点、 ，，垂足为点， 若， 则________． 5．（26-27七年级上·全国·课后作业）如图，，那么__________． 6．（24-25七年级下·陕西西安·期中）如图，平分，点F在上，点G在上，与相交于点H，，试说明．（请通过填空完善下列推理过程） 解：因为（已知），（_______）， 所以． 所以（_______）． 所以________（_______）． 因为平分（已知）， 所以________． 所以（_______）． 重难点二、两直线平行内错角相等 已知两直线平行，就可以得到一组内错角相等。解题先确定哪两条直线平行，再找截线，定位对应的内错角。很多题目不会直接给出内错角，会通过其他角度间接求解。核心易错点：没有平行条件时，内错角不一定相等。计算题可利用这个性质完成角度转化，切记不要和判定定理混用，看清谁是已知条件，谁是推导结果。 1．（26-27七年级上·广东汕头·开学考试）五一来汕头，骑遍山海间！汕头滨海旅游路濠江、潮南先行段——26+7公里，2026年5月1日正式开放．如图是骑行单车示意图，．已知，则的度数为（     ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·陕西西安·期末）如图，直线，相交于点，于，交于点，若，则的值为（     ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·陕西西安·期中）如图，将一个宽度相等的纸条按如图所示沿折叠，已知，则的度数是________． 4．（26-27八年级上·陕西宝鸡·开学考试）如图，已知，平分，平分．求证：． 5．（26-27七年级上·全国·课后作业）根据题图，在下列解答中，填上适当的理由． (1)（已知）， （                           ）． (2)（已知）， （                           ）． 6．（25-26七年级下·甘肃兰州·期末）如图，点D，E，F分别是三角形的边，，上的点，，，求证：． 请完成下列证明过程，并在括号内填上推理的根据； 证明：， ________（___________________________）． ， ________（__________________________）． ． 7．（25-26七年级下·陕西西安·期末）请根据条件进行推理，得出结论，并在括号内注明理由． 已知：如图，，， 求证： 证明： ___________（___________） 又 （等量代换） ___________（___________） ___________（___________） ___________（___________） （等量代换） 重难点三、两直线平行同旁内角互补 已知两直线平行，可得同旁内角相加为 180°。看到平行条件，优先观察同旁内角，用来求未知角度。题型经常结合方程，设未知数利用互补关系列等式求解。高频错误：记成两直线平行，同旁内角相等。做题时刻牢记互补（和为 180°）。做题区分判定与性质：由平行得角度关系是性质；由角度关系得平行是判定，二者不要写反。 1．（25-26七年级下·云南德宏·期末）如图，直线，是截线，若 ，则的度数是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·四川成都·期末）自行车结构示意图如图所示，其中，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级下·西藏昌都·期末）如图，已知，，则（     ） A． B． C． D． 4．（23-24七年级下·安徽芜湖·期中）下列命题是真命题的是（     ） A．同旁内角互补 B．在同一平面内，平行于同一条直线的两条直线互相平行 C．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相垂直 D．如果两个角的和是，那么这两个角互为补角 5．（26-27八年级上·陕西西安·开学考试）如图，将一块含角的直角三角尺和一把直尺摆放在一起（角的顶点在直尺边上），，则的度数为（     ） A． B． C． D． 6．（26-27七年级上·全国·课后作业）如图，如果，那么与______________． 7．（21-22七年级下·吉林长春·期中）如图，已知，则__________． 8．（26-27七年级上·全国·课后作业）根据题图，在下列解答中，填空： (1)（已知）， （    ）（两直线平行，同旁内角互补）． (2)（已知）， （    ）（两直线平行，同旁内角互补）． 9．（25-26七年级下·贵州六盘水·期末）数学源于生活，某学校电动伸缩门如图1所示，图2是从图1中抽象出的几何图形．图2中，，，那么吗？以下是解答过程，请将步骤和理由补充完整． 解：因为（已知）， 所以（_________）． 因为（已知）， 所以（_________）（等量代换）， 所以（_________）（_________）， 所以（________）． 10．（25-26七年级下·新疆乌鲁木齐·期末）补全解答过程： 已知：如图，直线，直线与直线，分别交于点，；平分，．求的度数． 解：∵与交于点，（已知） ∴．（___________） ∵，（已知） ∴．（___________） ∵，与，交于点，，（已知） ∴．（___________ ） ∴___________． ∵平分，（已知） ∴___________ ．（角平分线的定义） 模块四、根据平行线判定与性质证明 综合题核心分清：角的关系→平行（判定）；平行→角的关系（性质）。读题把已知角度、平行条件标记在图上。梳理逻辑链条，有时先证平行，再用平行求角度；有时用角度相等证平行。推理不能跳步，每一步写清定理依据。思路卡顿可以逆向推导，从要证明的结果倒推需要哪些中间条件，打通条件和结论之间的逻辑。 1．（25-26七年级下·天津津南·期末）按要求解题 (1)填空，并在括号内标注理由． 已知：如图①，，，求证：． 证明：（已知）， __________（                     ） 又（已知）， __________． ____________________（                     ） （                     ） (2)如图②，在三角形中，于点，为上一点．用三角尺和直尺过点作交于点；过点作，垂足为．先补全图形，写出与之间的数量关系，并说明理由． 2．（25-26七年级下·北京密云·期末）完成下面证明． 如图，三角形，，为上一点，，，点、分别在、上，且． 求证：． 证明：，， _________．（依据：___________） ， _________°． ， _________． ．（依据：_______________） 3．（25-26七年级下·重庆荣昌·期末）如图，点是上一点，过点作，交于点，点是延长线上一点，连接，．求证：．完成下面证明过程并注明推理依据． 证明： （已知）， _________（两直线平行，同位角相等）． （已知）， _________（等量代换）． ∴__________________（_________________________）． （_________________）． 4．（25-26七年级下·陕西咸阳·期末）如图，已知，． (1)线段与平行吗？为什么？ (2)若，，求的度数． 5．（25-26七年级下·陕西宝鸡·期末）已知：如图，于点D，平分，E是的延长线上一点，于点G，交于点F．求证：．请将下面的证明过程补充完整． 证明：于点D，于点G（已知）， （________）， ∴（___________________）， （______________），______（___________________）． 平分（已知）， ______（____________）， （________）． 6．（25-26七年级下·江苏连云港·期末）如图，已知，射线交于点F，交于点D，从D点引一条射线，若，求证：． 证明：，， 又（已知）， ∴ （____________________）， （     ）， 又（已知）， （     ）， （____________________）． 7．（26-27八年级上·四川达州·开学考试）如图1，，在、内有一条折线． (1)求证：； (2)如图2，已知的平分线与的平分线相交于点Q，且，，直接写出与的度数； (3)如图3，已知，，则与有什么关系，请说明理由． 8．（26-27八年级上·山东德州·开学考试）如图，已知，，点，点都在上，满足，平分． (1)请问：，平行吗为什么 (2)如果，求的度数． (3)请问：与之间有无一定的数量关系若有，请写出该关系，并说明理由． 9．（25-26七年级下·四川绵阳·阶段检测）如图，在三角形中，点D在边上，点E在边上，点F，G在边上，与的延长线交于点M，连接．已知，． (1)求证：； (2)若，且，求的度数． 10．（25-26七年级下·辽宁大连·期末）如图，直线，为平面内一点，连接、，试判断、、的数量关系．刘老师摘选了其中三种情形如图①、②、③． (1)请你选择其中一种完成证明；（注明你选的是图几） (2)在图①中，作平分，平分，两条角平分线交于点，如图④，直接写出与的数量关系 ； (3)在（2）的条件下，过点作交于点，若恰好平分，且，在图⑤中补全图形，并求出的度数． 11．（25-26七年级下·湖北武汉·期末）已知，作直线，，点在上． (1)若． ①如图1，求证：； ②如图2，点在上，点在的上方，，，求的度数． (2)如图3，点在上，点在上，是直线上一动点，的平分线所在直线与的平分线所在直线交于点（不与，重合），请直接写出与的数量关系． 12．（25-26七年级下·陕西安康·期末）【问题提出】 (1)如图，点在上，点在、之间，连接、、，，． ①如图1，求证：； ②如图2，连接，过点F作，若，，平分，求的度数． 【问题解决】 (2)如图3，为治理河道污染，环保工作人员在河岸直线上选取监测点、，与为两条污水导流管道，已知管道夹角满足，导流管道与河岸保持平行，为了测量管道的延伸角度，工作人员在上取一点，连接，平分，过点作交的延长线于点，经测量，，求导流管道与河岸的夹角的度数．（河岸、管道的宽度均忽略不计） 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点专题02 平行线的证明 模块一、两直线平行的判断 重难点一、同位角相等两直线平行 解题先在图形中精准识别同位角，同位角位置相同，在截线同侧、被截两直线同一方。做题先找准截线，区分哪两条是被截直线。只有同位角相等，才能推出两直线平行，不要颠倒因果关系。做题可以把相等角做好标记，确认角的位置关系，排除看似相等却不是同位角的干扰条件，规范书写推理依据，避免把性质和判定混淆。 1．（25-26七年级下·河南安阳·期末）2026年4月25日，“龙牌中国红杯”木工技能大赛在郑州圣达物流园隆重举行．如图是木工师傅常用的用角尺画平行线的方法，其中的原理是（     ） A．垂线段最短 B．同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C．同位角相等，两直线平行 D．内错角相等，两直线平行 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】同位角相等两直线平行 【分析】根据平行线的判定定理解答即可． 【详解】解：如图： 由题意可得， ∴， 故其中的原理是同位角相等，两直线平行． 2．（25-26七年级下·新疆和田·期末）如图所示，以下条件中能判断的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】同位角相等两直线平行 【分析】根据平行线的判定定理逐项判断即可． 【详解】解：A、∵，∴（同位角相等，两直线平行），故该选项符合题意； B、，不能证明，故该选项不符合题意； C、，不能证明，故该选项不符合题意； D、，不能证明，故该选项不符合题意． 3．（25-26七年级下·河南平顶山·期末）如图，下列说法能判断出的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】同位角相等两直线平行 【详解】解：A、由不能判断出，不符合题意； B、由能判断出，符合题意； C、由不能判断出，不符合题意； D、由不能判断出，不符合题意． 4．（25-26七年级下·重庆巴南·期末）下列命题是真命题的是（     ） A．相等的角是对顶角 B．两直线被第三条直线所截，内错角相等 C．同位角相等，两直线平行 D．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】垂线的定义理解、对顶角相等、同位角相等两直线平行、判断命题真假 【分析】根据对顶角定义，平行线的判定，垂线的性质，逐一判断各选项命题的真假即可． 【详解】解：相等的角不一定是对顶角，例如两个位置独立的直角相等，但不是对顶角，故选项 A是假命题； 只有两条平行直线被第三条直线所截，内错角才相等，未说明两直线平行的前提，故选项 B是假命题； “同位角相等，两直线平行”是平行线的判定定理，故选项 C是真命题； 同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，缺少“同一平面内”的前提时，说法不成立，故选项 D是假命题． 5．（25-26七年级下·广东梅州·期中）如图，给出了过直线外一点画已知直线的平行线的方法，其依据（     ） A．两直线平行，同位角相等 B．两直线平行，同旁内角互补 C．同位角相等，两直线平行 D．同旁内角互补，两直线平行 【答案】C 【难度】0.95 【知识点】用直尺、三角板画平行线、同位角相等两直线平行 【详解】解：该作图过程中，平移三角板后，得到了一对相等的同位角，根据“同位角相等，两直线平行”，判定画出的直线与已知直线平行，因此依据“同位角相等，两直线平行”． 重难点二、内错角相等两直线平行 识别内错角关键看位置：在截线两侧，夹在两条被截直线中间。解题第一步定位截线，再找内错角。注意内错角本身不一定相等，只有给出相等条件才可判定平行。审题标记已知相等角度，确认角属于内错角，再下平行结论。切忌看到内错角就默认相等，分清判定逻辑：角相等是条件，两直线平行才是推导结果。 1．（25-26七年级下·福建福州·期末）如图，由，得，其根据是（     ） A．同位角相等，两直线平行 B．内错角相等，两直线平行 C．同旁内角互补，两直线平行 D．两直线平行，内错角相等 【答案】B 【难度】0.9 【知识点】内错角相等两直线平行 【详解】解：∵， ∴（内错角相等，两直线平行） 2．（25-26七年级下·河北邯郸·期末）在学习完尺规作等角之后，老师让小唯利用所学的知识在三角形中过点作边的平行线，小唯的思路和作法如下：如图，以为顶点，为一边作，则与平行，他这样作图的依据是（     ）． A．两直线平行，内错角相等 B．内错角相等，两直线平行 C．两直线平行，同位角相等 D．同位角相等，两直线平行 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】内错角相等两直线平行、尺规作一个角等于已知角 【详解】解：由作图可知 ，与是直线和被直线所截形成的内错角， ∴ 根据“内错角相等，两直线平行”可得． 3．（25-26七年级下·辽宁沈阳·期末）如图，将生活中的竹篱笆（图1）局部抽象为几何图形（图2），下列条件中，能判定直线的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.9 【知识点】同位角相等两直线平行、内错角相等两直线平行、同旁内角互补两直线平行 【分析】根据平行线的判定定理逐一判断即可得出答案． 【详解】解：A．能判定直线，故该选项符合题意， B．不能判定直线，故该选项不符合题意， C．不能判定直线，故该选项不符合题意， D．不能判定直线，故该选项不符合题意． 4．（26-27八年级上·四川绵阳·开学考试）如图，小明利用两块相同的三角板，分别在三角板的边缘画平行线，这样做的依据是_______，两直线平行． 【答案】内错角相等 【难度】0.85 【知识点】用直尺、三角板画平行线、内错角相等两直线平行 【分析】利用画法得到，则根据平行线的判定方法可判断与平行． 【详解】解：由图形可得， 所以（内错角相等，两直线平行）． 5．（25-26七年级下·甘肃平凉·期末）小亮在探究平行线的作法时，发现可以利用两个相同的直角三角尺画平行线，如图是小亮画平行线a，b的作法，则小亮这样画的依据是___________________________． 【答案】内错角相等，两直线平行 【难度】0.85 【知识点】内错角相等两直线平行 【详解】解：根据题意可知，小亮画平行线a，b的作法的依据是内错角相等，两直线平行． 6．（25-26七年级下·山西朔州·期末）如图，在四边形中，连接，，并延长至点E．添加一个条件，使，可添加的条件为________（写出一个即可）． 【答案】（答案不唯一） 【难度】0.85 【知识点】内错角相等两直线平行 【详解】解：要使，可添加． 7．（26-27七年级上·全国·课后作业）根据题图，在下列解答中，填上适当的理由． (1)（已知）， （                           ）． (2)（已知）， （                            ）． 【答案】(1)同位角相等，两直线平行 (2)内错角相等，两直线平行 【难度】0.85 【知识点】同位角相等两直线平行、内错角相等两直线平行 【分析】根据图形判断两角的位置关系，结合平行线的判定定理填写对应理由． 【详解】（1）解：观察图形可得，和是直线、被直线所截得到的同位角， 已知， 因此判定的依据是同位角相等，两直线平行； （2）解：观察图形可得，和是直线、被直线所截得到的内错角，已知， 因此判定的依据是内错角相等，两直线平行． 8．（25-26七年级下·山东德州·期末）把下面的推理过程补充完整，并在括号内注明理由． 如图，点A，B，C在同一条直线上，已知平分，，，求证． 证明：（已知） _________（垂直的定义） ， 平分（已知） _________（角平分线定义） （已知） 又， _________（_________）， （_________）． 【答案】；；；同角的余角相等；内错角相等，两直线平行 【难度】0.86 【知识点】角平分线的有关计算、垂线的定义理解、内错角相等两直线平行 【分析】根据角平分线以及垂线的定义、余角的性质进行求证即可． 【详解】略 重难点三、同旁内角互补两直线平行 同旁内角位于截线同侧，夹在两条被截直线之间。判定平行的条件是两角相加等于 180°，不是两角相等。做题优先计算角度和，确认互补关系。很多题型会结合对顶角、邻补角间接给出角度，需要先换算出同旁内角的度数。千万不要记成 “同旁内角相等两直线平行”，推理时写清理论依据，不要颠倒条件与结论。 1．（25-26七年级下·黑龙江黑河·期末）如图，点E在的延长线上，下列条件能判断的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】内错角相等两直线平行、同旁内角互补两直线平行 【详解】解：A、，根据“内错角相等，两直线平行”能判断，故本选项符合题意； B、，根据“内错角相等，两直线平行”能判断，故本选项不符合题意； C、，根据“内错角相等，两直线平行”能判断，故本选项不符合题意； D、，根据“同旁内角互补，两直线平行”能判断，故本选项不符合题意． 2．（25-26七年级下·浙江台州·期末）如图，下列能判断的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】同位角相等两直线平行、内错角相等两直线平行、同旁内角互补两直线平行 【分析】根据平行线的判定定理，逐一分析选项即可 【详解】解：选项A：，不符合平行线判定的条件，无法推出，不符合题意； 选项B：，内错角的相等，，符合题意； 选项C：，根据同位角相等，两直线平行，证得，不符合题意； 选项D：，利用对顶角相等可得同旁内角互补，证得，不符合题意． 3．（26-27八年级上·河北邯郸·开学考试）如图，点在的延长线上，下列条件中不能判定的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.7 【知识点】同位角相等两直线平行、内错角相等两直线平行、同旁内角互补两直线平行 【详解】解：选项A：， ， 故本选项不符合题意， 选项B：， ， 故本选项不符合题意， 选项C：， ， 故本选项符合题意， 选项D：， ， 故本选项不符合题意． 4．（25-26七年级下·辽宁丹东·期末）如图，有下列四个条件：①；②；③；④．其中能判定的有（     ） A．①④ B．②③ C．①②③ D．①③④ 【答案】B 【难度】0.74 【知识点】同位角相等两直线平行、内错角相等两直线平行、同旁内角互补两直线平行 【分析】内错角相等，两直线平行；同位角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行． 【详解】解：①∵，∴，故不符合题意； ②∵，∴，故符合题意； ③∵，∴，故符合题意； ④∵，∴，故不符合题意． 5．（25-26七年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，一个弯形管道，若它的两个拐角，则管道．这里用到的推理依据是________________________． 【答案】同旁内角互补，两直线平行 【难度】0.85 【知识点】同旁内角互补两直线平行 【分析】根据同旁内角互补，两直线平行，解答即可． 【详解】解：， （同旁内角互补，两直线平行）． 6．（25-26七年级下·浙江宁波·期中）如图，点在的延长线上，对于给出的四个条件：①；②；③；④． 能判断的有______个． 【答案】3 【难度】0.72 【知识点】同位角相等两直线平行、内错角相等两直线平行、同旁内角互补两直线平行 【分析】根据平行线的判定定理进行逐一判断即可． 【详解】解：①如果，那么，故①错误； ②，那么；内错角相等，两直线平行，故②正确； ③ ，那么；同位角相等，两直线平行，故③正确； ④ ，那么；同旁内角互补，两直线平行，故④正确． 即正确的有②③④，共3个． 7．（25-26七年级下·甘肃定西·期末）如图1，已知是一块平面镜，光线在平面镜上经点O反射后，形成反射光线，我们称为入射光线，为反射光线．镜面反射有如下性质：入射光线与平面镜的夹角等于反射光线与平面镜的夹角，即．如图2，和是两块平面镜，入射光线经过两次反射后，得到反射光线，根据图2，回答下列问题： (1)若，求的度数； (2)若，，求证：． 【答案】(1) (2)证明：由题意，， ∴，， ∴， ∴． 【难度】0.67 【知识点】实际问题中角度计算问题、同旁内角互补两直线平行 【分析】（1）根据题意，根据平角定义即可求解； （2）同（1）可求，，利用同旁内角互补两直线平行即可证明． 【详解】（1）解：根据入射光线与平面镜的夹角等于反射光线与平面镜的夹角， 得． （平角的定义）， ； （2）证明：略． 重难点四、在同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行 该定理前提是同一平面内，脱离平面条件结论不成立。解题看到两条直线都垂直第三条直线，先确认在同一平面，即可直接判定两直线平行。题目常结合直角给出 90° 条件，可通过角度互余完成推导。做题区分：垂直得到直角是条件，最终推出平行，不要写成两直线平行推出垂直，规避因果颠倒的高频易错点。 1．（25-26七年级下·云南曲靖·期末）下列命题中，真命题是（     ） A．内错角相等 B．同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行 C．相等的角是对顶角 D．两点之间，垂线段最短 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】垂线段最短、在同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行、判断命题真假 【详解】解：对于选项A：缺少两直线平行的前提，是假命题； 对于选项B：同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行，是真命题； 对于选项C：相等的角不一定是对顶角，是假命题； 对于选项D：正确结论应为“两点之间，线段最短”，原命题表述错误，是假命题． 2．（21-22七年级下·云南昆明·阶段检测）同一平面内，若，，则与的关系是（     ） A．平行 B．垂直 C．相交 D．以上都不对 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】在同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行 【分析】同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行，据此可得答案． 【详解】解：∵在同一平面内，，， ∴． 3．（25-26七年级下·黑龙江牡丹江·期末）下列命题中，真命题的个数是（    ） ①平行于同一条直线的两条直线平行． ②垂直于同一条直线的两条直线平行． ③连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短． ④过一点有且只有一条直线与已知直线平行． ⑤点到直线的垂线段叫做点到直线的距离． ⑥如果点的坐标满足，那么点在第一象限． A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】判断点所在的象限、垂线段最短、点到直线的距离、平行公理推论的应用、在同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行、判断命题真假 【详解】解：①平行于同一条直线的两条直线平行，故①是真命题． ②未说明同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线不一定平行，故②是假命题． ③连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，故③是真命题． ④只有过直线外一点才有且只有一条直线与已知直线平行，若点在已知直线上则不存在这样的直线，故④是假命题． ⑤点到直线的距离是点到直线的垂线段的长度，不是垂线段本身，故⑤是假命题． ⑥若，则与同号，点在第一象限或第三象限，故⑥是假命题． 因此真命题共有个． 4．（26-27七年级上·全国·课后作业）如图，在同一平面内，直线、均与直线垂直，点D、F为垂足．试判断与是否平行． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】同位角相等两直线平行、在同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行 【分析】题目已知直线、均与直线垂直，利用垂直定义得出角度关系，即，，观察图形可知，这两个角是直线、被直线所截形成的同位角，根据平行线的判定定理“同位角相等，两直线平行”即可证明直线平行． 【详解】解：∵，， ∴， ∴（同位角相等，两直线平行）． 5．（26-27八年级上·全国·课后作业）如图，已知，，垂足分别为点，直线分别交于点．求证：． 对于上述问题，请将下列证明过程补充完整． 证明：（已知），（已知）， （同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行）． ______________________． 【答案】证明：（已知），（已知）， （同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行）， ∴（两直线平行，内错角相等）． 【难度】0.7 【知识点】在同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行、两直线平行内错角相等 【分析】根据同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行得出，根据平行线的性质即可得出结论． 【详解】略 模块二、平行公理及其推理 重难点一、平行公理的应用 平行公理：过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行。做题注意关键点，点必须在直线外部；若点在直线上，则不存在平行线。选择题、判断题经常在这里设置陷阱。遇到作图题，牢记只能画出一条平行线。解题读题圈画 “直线外一点”，如果没有该前提，命题即为错误，审题不能忽略限定条件，避免忽略文字细节丢分。 1．（24-25七年级下·新疆巴州·阶段检测）下列说法中错误的是（     ） A．过一点有且只有一条直线与已知直线平行 B．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C．两条直线相交，有且只有一个交点 D．若两条直线相交成直角，则这两条直线互相垂直 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】垂线的定义理解、平行公理的应用 【分析】本题考查平行公理，垂线定义与相交线的基本性质，根据相关定义和性质逐一判断选项即可． 【详解】解：∵平行公理要求：只有过直线外一点，才有且只有一条直线与已知直线平行，若点在已知直线上，不存在与已知直线平行的直线，∴A说法错误； ∵初中阶段默认在同一平面内，过任意一点有且只有一条直线与已知直线垂直，∴B说法正确； ∵两条直线相交，有且只有一个交点，∴C说法正确； ∵互相垂直的定义就是两条直线相交成直角，∴D说法正确． 2．（25-26七年级下·陕西西安·期末）如图，已知，点E在线段上，过点E作，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】平行公理的应用、根据平行线的性质求角的度数 【分析】根据平行公理得出，根据平行线的性质求出结果即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴． 3．（25-26七年级下·贵州遵义·期中）农民伯伯在插秧时，为了保证所插的每行秧苗都平行，只需后插的每一行秧苗都与前一行平行即可．如图2，插第②行时，只需与第①行平行即可，插第③行时，只需与第②行平行即可，这样就能保证第③行秧苗与第①行秧苗也平行．这种做法的依据是（     ） A．两点确定一条直线 B．两点之间，线段最短 C．经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 D．平行于同一条直线的两条直线平行 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】平行公理的应用 【详解】解：这种做法的依据是平行于同一条直线的两条直线平行． 4．（25-26七年级下·内蒙古呼和浩特·期末）有下列结论 ①同一平面内两条直线的位置关系是平行和垂直； ②如果点在经过点且与x轴平行的直线上，那么； ③算术平方根等于它本身的数是1； ④同一平面内只有一条直线与已知直线垂直； ⑤如果，，那么． 其中，正确结论的个数是（     ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】B 【难度】0.86 【知识点】求一个数的算术平方根、已知点所在的象限求参数、垂线的定义理解、平面内两直线的位置关系、平行公理的应用 【详解】解：①同一平面内两条直线的位置关系是平行或相交，垂直是相交的特殊情况，故①错误； ②∵与x轴平行的直线上所有点的纵坐标相等，点在经过点且与x轴平行的直线上， ∴，解得，故②正确； ③算术平方根等于它本身的数是和，故③错误； ④同一平面内，有无数条直线与已知直线垂直，故④错误； ⑤根据不等式的性质，不等式两边乘同一个非正数，不等号方向改变或变为等号，若，，则，故⑤正确． 综上，正确的结论共有个． 5．（21-22七年级下·四川德阳·阶段检测）在同一平面内，下列说法：①过两点有且只有一条直线；②直线与直线之间垂线段最短；③过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；④过一点有且只有一条直线与已知直线平行；⑤两两不重合的三条直线交点个数为3个，其中正确的个数为（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【难度】0.7 【知识点】直线相交的交点个数问题、垂线段最短、垂线的定义理解、平行公理的应用 【分析】抓住各结论的适用前提与直线位置关系的多种可能，逐一判断正误． 【详解】解：①正确．②错误，垂线段最短的适用对象是点与直线，而非直线与直线． ③正确，同一平面内该结论成立． ④错误，需限定点在已知直线外． ⑤错误，两两不重合的三条直线交点个数有、、、四种可能． 正确的说法共个． 6．（23-24八年级上·广西柳州·开学考试）下列说法正确的个数是（     ） （1）两条直线不相交就平行； （2）在同一平面内，两条平行的直线有且只有一个交点； （3）过一点有且只有一条直线与已知直线平行； （4）平行于同一直线的两条直线互相平行； （5）两直线的位置关系只有相交与平行． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】平面内两直线的位置关系、平行公理的应用 【分析】需注意“同一平面内”的前提及平行公理中点的位置，逐一判断各说法． 【详解】解：（1）（5）均未限定“同一平面内”的前提，表述错误； （2）同一平面内，平行直线没有交点，表述错误； （3）只有过直线外一点，才有且只有一条直线与已知直线平行，表述错误； （4）平行于同一直线的两条直线互相平行，表述正确； 综上，正确的说法共个． 重难点二、平行公理推论的应用 推论内容：平行于同一条直线的两条直线互相平行，也就是平行的传递性。做题只要得到两条直线都平行第三条直线，就可以判定这两条直线互相平行。可以用来做多条直线之间的平行推导。注意区分和垂直相关结论，不要相互混淆。推理书写写明推论依据，注意该结论不需要 “同一平面” 的限制条件，做题对比垂直类定理，看清题干条件。 1．（25-26七年级下·广东深圳·期末）水平尺是用来判断物体某条边是否水平的工具．如图，当水平尺的气泡位于中央，说明水平尺与水平线平行．李师傅在挂画时将水平尺放置在画框的上沿，上沿与水平尺平行；他调整画框直至气泡位于中央，判定此时画框就是水平摆放的．以上操作，依据的数学原理是（） A．同位角相等，两直线平行 B．内错角相等，两直线平行 C．同旁内角互补，两直线平行 D．平行于同一条直线的两条直线平行 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】平行公理推论的应用 【分析】根据题意梳理出直线间的平行关系：由气泡居中得水平尺与水平线平行，由放置方式得画框上沿与水平尺平行，利用平行线的传递性即可得出结论． 【详解】解：∵当水平尺的气泡位于中央时，水平尺与水平线l平行， ∴， ∵画框上沿与水平尺平行， ∴， ∴（平行于同一条直线的两条直线平行）． 2．（25-26七年级下·广西防城港·期末）已知三条直线a，b，c两两互不重合，若，，则下面的结论正确的是（     ） A． B． C． D．与相交 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】平行公理推论的应用 【分析】平行线的基本性质，即平行于同一条直线的两条直线互相平行． 【详解】解：∵平行于同一条直线的两条直线互相平行，且题目中三条直线两两互不重合， 又∵，， ∴． 3．（25-26七年级下·云南文山·期末）下列命题中，是假命题的是（     ） A．内错角相等 B．若，，则 C．直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短 D．过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】垂线段最短、平行公理的应用、平行公理推论的应用、两直线平行内错角相等、判断命题真假 【详解】解：A选项，只有两直线平行时，被第三条直线所截形成的内错角才相等，该命题未说明两直线平行的前提，故该命题是假命题，符合题意； B选项，由平行公理的推论可得，若，，则，是真命题，不符合题意； C选项，直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，是垂线的性质，是真命题，不符合题意； D选项，过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行，是平行公理，是真命题，不符合题意. 4．（25-26七年级下·重庆九龙坡·期末）如图是小明家装修时拖拉柜子的截面示意图，天花板与地面互相平行，天花板上的点与柜子上的点用绳子相连．某一时刻，测得，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】平行公理推论的应用、平行线的性质在生活中的应用 【分析】过点N作，得出，则，，据此即可求解． 【详解】解：如图，过点N作， ， ， ，， ∵，， ∴，， ． 5．（26-27八年级·全国·暑假作业）下面推理正确的是（　　） A．∵，∴ B．∵，∴ C．∵，∴ D．∵，∴ 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】平行公理推论的应用 【分析】根据平行公理的推论“如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行“进行分析，得出正确答案； 【详解】解：A．a、c都和b平行，应该推出的是，而不是，故错误； B．没有两条直线都和第三条直线平行，推不出平行，故错误； C．b、c都和a平行，可推出是，故正确； D．a、c与不同的直线平行，无法推出两者也平行． 6．（25-26七年级下·江西吉安·期末）在现代电气化铁路飞速发展的今天，列车飞驰的背后离不开一套关键设备——受电弓如图①．正是它为列车提供着源源不断的动力，保证了高铁高速顺畅地运行．其示意图如图②，若在某一时刻，，，则__________． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】平行公理推论的应用、两直线平行内错角相等、两直线平行同旁内角互补、根据平行线判定与性质求角度 【分析】过点作，利用平行线的性质得到，，再利用角的和差即可求出的度数． 【详解】解：如图，过点作， 则． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 7．（26-27七年级上·全国·课后作业）如图，两条直线a、b相交于点O．如果直线直线c，那么直线b能与直线c平行吗？为什么？ 【答案】 解：直线不能与直线平行，理由如下： 假设直线与直线平行， ∵直线直线c， ∴直线直线b，这与直线a、b相交于点O矛盾， ∴直线不与直线平行，即直线不能与直线平行． 【难度】0.85 【知识点】平行公理推论的应用 【分析】假设直线与直线平行，那么根据平行公理的推论可知直线直线b，这与直线a、b相交于点O矛盾，据此可得结论． 【详解】略 模块三、两直线平行的性质 重难点一、两直线平行同位角相等 这是平行线的性质，和判定互为逆命题，因果关系要分清：已知两直线平行，推出同位角相等。做题题干给出直线平行，立刻标记图形，找出对应的同位角直接得到角度相等。不能在不知道平行的前提下，主观认定同位角相等。几何计算题，借助该性质转移角度，结合对顶角、邻补角做角度换算，每一步写明推理的依据。 1．（25-26七年级下·江西南昌·期末）下列命题中真命题是（   ） A．同位角相等 B．是无理数 C．北纬，东经能定位甘肃省博物馆 D．若点的坐标为，则点在第四象限 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】无理数、用有序数对表示位置、判断点所在的象限、两直线平行同位角相等、判断命题真假 【详解】解：∵两直线不平行时同位角不相等，∴A是假命题． ∵是有理数，∴B是假命题． ∵经纬度可确定地球表面内唯一位置，∴北纬，东经能定位甘肃省博物馆，C是真命题． ∵点横坐标为负且纵坐标为正，位于第二象限，∴D是假命题． 2．（24-25七年级下·浙江宁波·阶段检测）如图，已知直线，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】对顶角相等、两直线平行同位角相等、根据平行线的性质求角的度数 【详解】解：如图所示， ∵，， ∴， ∴． 3．（2026·宁夏·中考真题）如图，直线，量角器的零刻度线与重合，其中心与，的交点重合，则的度数为（     ） A．130 B．55 C．50 D．45 【答案】C 【难度】0.63 【知识点】两直线平行同位角相等、根据平行线的性质求角的度数 【分析】先从量角器读出，再根据，得到，即可得到的度数． 【详解】解：由量角器读数可得 ∵， 4．（25-26七年级下·四川成都·期末）如图， 直线， 直线与直线、 分别相交于点、 ，，垂足为点， 若， 则________． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】垂线的定义理解、两直线平行同位角相等 【分析】由平行线的性质可得，再结合垂线的定义与三角形的内角和定理计算出即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 5．（26-27七年级上·全国·课后作业）如图，，那么__________． 【答案】/60度 【难度】0.85 【知识点】两直线平行同位角相等 【分析】根据平行线的性质进行求解即可． 【详解】解：∵ ∴， ∵， ∴． 6．（24-25七年级下·陕西西安·期中）如图，平分，点F在上，点G在上，与相交于点H，，试说明．（请通过填空完善下列推理过程） 解：因为（已知），（_______）， 所以． 所以（_______）． 所以________（_______）． 因为平分（已知）， 所以________． 所以（_______）． 【答案】对顶角相等；；同旁内角互补，两直线平行；；两直线平行，同位角相等；；等量代换 【难度】0.65 【知识点】对顶角相等、同旁内角互补两直线平行、两直线平行同位角相等、根据平行线判定与性质证明、三角形角平分线的定义 【分析】首先利用对顶角相等将已知条件转换为，从而根据“同旁内角互补，两直线平行”判定，接着利用平行线的性质“两直线平行，同位角相等”得到，最后结合角平分线的定义得到，通过等量代换即可证明． 【详解】略 重难点二、两直线平行内错角相等 已知两直线平行，就可以得到一组内错角相等。解题先确定哪两条直线平行，再找截线，定位对应的内错角。很多题目不会直接给出内错角，会通过其他角度间接求解。核心易错点：没有平行条件时，内错角不一定相等。计算题可利用这个性质完成角度转化，切记不要和判定定理混用，看清谁是已知条件，谁是推导结果。 1．（26-27七年级上·广东汕头·开学考试）五一来汕头，骑遍山海间！汕头滨海旅游路濠江、潮南先行段——26+7公里，2026年5月1日正式开放．如图是骑行单车示意图，．已知，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】两直线平行内错角相等、根据平行线的性质求角的度数 【分析】根据平行线的性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 2．（25-26七年级下·陕西西安·期末）如图，直线，相交于点，于，交于点，若，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.7 【知识点】垂线的定义理解、两直线平行内错角相等 【分析】利用平行线的性质得出的度数，结合垂直定义及角的和差关系计算． 【详解】解：， ， ， ， ． 3．（24-25七年级下·陕西西安·期中）如图，将一个宽度相等的纸条按如图所示沿折叠，已知，则的度数是________． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】两直线平行内错角相等、根据平行线的性质求角的度数、折叠问题 【分析】根据平行的性质得到，再根据折叠得到即可求出答案． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∵将一个宽度相等的纸条按如图所示沿折叠， ∴． 4．（26-27八年级上·陕西宝鸡·开学考试）如图，已知，平分，平分．求证：． 【答案】证明：∵， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴． 【难度】0.85 【知识点】角平分线的有关计算、内错角相等两直线平行、两直线平行内错角相等、根据平行线判定与性质证明 【分析】由平行线的性质得到，然后结合角平分线的定义得到，即可推出． 【详解】略 5．（26-27七年级上·全国·课后作业）根据题图，在下列解答中，填上适当的理由． (1)（已知）， （                           ）． (2)（已知）， （                           ）． 【答案】(1) 两直线平行，同位角相等. (2) 两直线平行，内错角相等. 【难度】0.85 【知识点】两直线平行同位角相等、两直线平行内错角相等 【分析】（1）（2）根据平行线的性质可得答案． 【详解】（1）略 （2）略 6．（25-26七年级下·甘肃兰州·期末）如图，点D，E，F分别是三角形的边，，上的点，，，求证：． 请完成下列证明过程，并在括号内填上推理的根据； 证明：， ________（___________________________）． ， ________（__________________________）． ． 【答案】；两直线平行，内错角相等；；两直线平行，同位角相等． 【难度】0.85 【知识点】两直线平行同位角相等、两直线平行内错角相等 【分析】根据平行线的性质即可证明． 【详解】证明：， （两直线平行，内错角相等）． ， （两直线平行，同位角相等）． ． 7．（25-26七年级下·陕西西安·期末）请根据条件进行推理，得出结论，并在括号内注明理由． 已知：如图，，， 求证： 证明： ___________（___________） 又 （等量代换） ___________（___________） ___________（___________） ___________（___________） （等量代换） 【答案】；两直线平行，内错角相等；；同旁内角互补，两直线平行；；两直线平行，同位角相等；；对顶角相等 【难度】0.7 【知识点】对顶角相等、同旁内角互补两直线平行、两直线平行同位角相等、两直线平行内错角相等、根据平行线判定与性质证明 【分析】先由得到角相等，等量代换推出同旁内角互补，判定两直线平行，再利用平行线性质、对顶角相等完成角的等量代换，证得． 【详解】略 重难点三、两直线平行同旁内角互补 已知两直线平行，可得同旁内角相加为 180°。看到平行条件，优先观察同旁内角，用来求未知角度。题型经常结合方程，设未知数利用互补关系列等式求解。高频错误：记成两直线平行，同旁内角相等。做题时刻牢记互补（和为 180°）。做题区分判定与性质：由平行得角度关系是性质；由角度关系得平行是判定，二者不要写反。 1．（25-26七年级下·云南德宏·期末）如图，直线，是截线，若 ，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】两直线平行同旁内角互补 【详解】解：直线， ， ， ． 2．（25-26七年级下·四川成都·期末）自行车结构示意图如图所示，其中，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】两直线平行同旁内角互补、根据平行线的性质求角的度数 【分析】根据两直线平行，同旁内角互补求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 3．（25-26七年级下·西藏昌都·期末）如图，已知，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】对顶角相等、两直线平行同位角相等、两直线平行内错角相等、两直线平行同旁内角互补、根据平行线的性质求角的度数 【分析】根据平行线的性质逐项判断即可． 【详解】解：A、， ， ， ，故该选项错误，不符合题意； B、， ， ， ，故该选项错误，不符合题意； C、， ，故该选项错误，不符合题意； D、， ， ， ，故该选项正确，符合题意． 4．（23-24七年级下·安徽芜湖·期中）下列命题是真命题的是（     ） A．同旁内角互补 B．在同一平面内，平行于同一条直线的两条直线互相平行 C．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相垂直 D．如果两个角的和是，那么这两个角互为补角 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】平面内两直线的位置关系、平行公理的应用、两直线平行同旁内角互补、判断命题真假 【分析】结合平行线的性质、余角补角的定义逐一判断选项． 【详解】A、只有两条平行线被第三条直线所截得到的同旁内角才互补，该命题缺少前提条件，故A是假命题； B、根据平行线的基本性质，同一平面内，平行于同一条直线的两条直线互相平行，故B是真命题； C、在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行，不是互相垂直，故C是假命题； D、两个角的和是时，这两个角互为余角，和为才互为补角，故D是假命题． 5．（26-27八年级上·陕西西安·开学考试）如图，将一块含角的直角三角尺和一把直尺摆放在一起（角的顶点在直尺边上），，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.7 【知识点】三角板中角度计算问题、两直线平行同位角相等、两直线平行同旁内角互补、根据平行线的性质求角的度数 【分析】先由“两直线平行，同位角相等”求出的度数，再根据平角的定义求出的度数，最后根据“两直线平行，同旁内角互补”即可求出的度数． 【详解】解：如图， ∵直尺的两边互相平行，即， ∴， ∴， ∵， ∴． 6．（26-27七年级上·全国·课后作业）如图，如果，那么与______________． 【答案】互补 【难度】0.85 【知识点】两直线平行同旁内角互补 【分析】根据两直线平行，同旁内角互补，作答即可. 【详解】解：∵， ∴，即与互补. 7．（21-22七年级下·吉林长春·期中）如图，已知，则__________． 【答案】102 【难度】0.7 【知识点】内错角相等两直线平行、两直线平行同旁内角互补 【详解】解：， ， ， ， ． 8．（26-27七年级上·全国·课后作业）根据题图，在下列解答中，填空： (1)（已知）， （    ）（两直线平行，同旁内角互补）． (2)（已知）， （    ）（两直线平行，同旁内角互补）． 【答案】(1) (2) 【难度】0.95 【知识点】两直线平行同旁内角互补 【详解】（1）略； （2）略． 9．（25-26七年级下·贵州六盘水·期末）数学源于生活，某学校电动伸缩门如图1所示，图2是从图1中抽象出的几何图形．图2中，，，那么吗？以下是解答过程，请将步骤和理由补充完整． 解：因为（已知）， 所以（_________）． 因为（已知）， 所以（_________）（等量代换）， 所以（_________）（_________）， 所以（________）． 【答案】两直线平行，同位角相等；；；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补． 【难度】0.65 【知识点】同位角相等两直线平行、两直线平行同位角相等、两直线平行同旁内角互补、根据平行线判定与性质证明 【分析】根据平行线的判定和性质，推出，进而根据同旁内角互补即可得出． 【详解】略 10．（25-26七年级下·新疆乌鲁木齐·期末）补全解答过程： 已知：如图，直线，直线与直线，分别交于点，；平分，．求的度数． 解：∵与交于点，（已知） ∴．（___________） ∵，（已知） ∴．（___________） ∵，与，交于点，，（已知） ∴．（___________ ） ∴___________． ∵平分，（已知） ∴___________ ．（角平分线的定义） 【答案】对顶角相等；等量代换；两直线平行，同旁内角互补；；60 【难度】0.66 【知识点】角平分线的有关计算、对顶角相等、两直线平行同旁内角互补 【分析】根据对顶角相等得，根据平行线的性质得，再根据角平分线的定义，即可得出． 【详解】略 模块四、根据平行线判定与性质证明 综合题核心分清：角的关系→平行（判定）；平行→角的关系（性质）。读题把已知角度、平行条件标记在图上。梳理逻辑链条，有时先证平行，再用平行求角度；有时用角度相等证平行。推理不能跳步，每一步写清定理依据。思路卡顿可以逆向推导，从要证明的结果倒推需要哪些中间条件，打通条件和结论之间的逻辑。 1．（25-26七年级下·天津津南·期末）按要求解题 (1)填空，并在括号内标注理由． 已知：如图①，，，求证：． 证明：（已知）， __________（                     ） 又（已知）， __________． ____________________（                     ） （                     ） (2)如图②，在三角形中，于点，为上一点．用三角尺和直尺过点作交于点；过点作，垂足为．先补全图形，写出与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)；两直线平行，同位角相等；；；；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等 (2)解：如图所示： ，理由如下： （已知）， （两直线平行，内错角相等）， ，（已知）， （两条直线互相垂直，夹角为直角）， （同位角相等，两直线平行）， （两直线平行，同旁内角互补）， （等量代换）， 【难度】0.85 【知识点】垂线的定义理解、用直尺、三角板画平行线、根据平行线的性质探究角的关系、根据平行线判定与性质证明 【分析】（1）利用“两直线平行，同位角相等”，“内错角相等，两直线平行”以及“两直线平行，内错角相等”推导即可； （2）根据“一落”“二靠”“三移”“四画”这四个步骤画平行线，用三角尺的直角画垂线，再利用“两直线平行，内错角相等”，“同位角相等，两直线平行”，“两直线平行，同旁内角互补”以及等量代换说明即可． 【详解】（1）略 （2）略 2．（25-26七年级下·北京密云·期末）完成下面证明． 如图，三角形，，为上一点，，，点、分别在、上，且． 求证：． 证明：，， _________．（依据：___________） ， _________°． ， _________． ．（依据：_______________） 【答案】证明：，， ．（两直线平行，内错角相等） ， ． ， ． ．（同位角相等，两直线平行） 【难度】0.85 【知识点】根据平行线判定与性质证明 【分析】根据平行线的性质得出，利用角的和差关系求出，即可得出，根据平行线的判定定理即可得出答案． 【详解】略 3．（25-26七年级下·重庆荣昌·期末）如图，点是上一点，过点作，交于点，点是延长线上一点，连接，．求证：．完成下面证明过程并注明推理依据． 证明： （已知）， _________（两直线平行，同位角相等）． （已知）， _________（等量代换）． ∴__________________（_________________________）． （_________________）． 【答案】 ；；；；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等． 【难度】0.86 【知识点】根据平行线判定与性质证明 【分析】找出上下的逻辑关系，根据平行线的性质和判定填空即可． 【详解】略 4．（25-26七年级下·陕西咸阳·期末）如图，已知，． (1)线段与平行吗？为什么？ (2)若，，求的度数． 【答案】(1)线段与平行，理由如下： ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴； (2) 【难度】0.84 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、根据平行线判定与性质证明 【分析】（1）根据平行线的判定与性质证明即可； （2）先由平行线求出，则，再由，求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴． 5．（25-26七年级下·陕西宝鸡·期末）已知：如图，于点D，平分，E是的延长线上一点，于点G，交于点F．求证：．请将下面的证明过程补充完整． 证明：于点D，于点G（已知）， （________）， ∴（___________________）， （______________），______（___________________）． 平分（已知）， ______（____________）， （________）． 【答案】垂直的定义；同位角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；；两直线平行，同位角相等；；角平分线的定义；等量代换 【难度】0.85 【知识点】角平分线的有关计算、垂线的定义理解、根据平行线判定与性质证明 【分析】先得出，再根据平行线的性质可得，，然后得出，由此即可得证． 【详解】证明：略． 6．（25-26七年级下·江苏连云港·期末）如图，已知，射线交于点F，交于点D，从D点引一条射线，若，求证：． 证明：，， 又（已知）， ∴ （____________________）， （     ）， 又（已知）， （     ）， （____________________）． 【答案】内错角相等，两直线平行；；两直线平行，同旁内角互补；；等量代换 【难度】0.86 【知识点】根据平行线判定与性质证明 【详解】略 7．（26-27八年级上·四川达州·开学考试）如图1，，在、内有一条折线． (1)求证：； (2)如图2，已知的平分线与的平分线相交于点Q，且，，直接写出与的度数； (3)如图3，已知，，则与有什么关系，请说明理由． 【答案】(1)证明：如图1， 过点P作， ∵， ∴， ∴，， 又∵， ∴； (2)， (3)，理由如下 如图3， 由（1），可得 ，， ∵， ∴ ∴. 【难度】0.65 【知识点】角平分线的有关计算、根据平行线的性质探究角的关系、根据平行线判定与性质证明 【分析】（1）过P点作，继而根据平行线的性质可求证； （2）利用（1）的结论结合已知条件求得，然后求得，再利用四边形内角和为360度，求得 （3）由（1）可得：，，结合已知条件，根据邻补角的概念，四边形内角和为360度，即可得出关系 【详解】（1）略 （2）解：，， ，， 由（1）可知， ， 分别为，的角平分线， ， ， ， ，； （3）略 8．（26-27八年级上·山东德州·开学考试）如图，已知，，点，点都在上，满足，平分． (1)请问：，平行吗为什么 (2)如果，求的度数． (3)请问：与之间有无一定的数量关系若有，请写出该关系，并说明理由． 【答案】(1)，理由如下： ， ， ， ， ； (2) (3)，理由如下： ∵平分， ， ∵， ，即， ， ， 【难度】0.55 【知识点】角平分线的有关计算、根据平行线的性质探究角的关系、根据平行线的性质求角的度数、根据平行线判定与性质证明 【分析】（1）先得出，进而证明，即可得出结论； （2）先求出，进而得出； （3）先证明，再根据得出结论； 【详解】（1）略 （2）解：，， ， ， ， ； （3）略 9．（25-26七年级下·四川绵阳·阶段检测）如图，在三角形中，点D在边上，点E在边上，点F，G在边上，与的延长线交于点M，连接．已知，． (1)求证：； (2)若，且，求的度数． 【答案】(1)证明：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． (2) 【难度】0.65 【知识点】几何问题(二元一次方程组的应用)、同(等)角的余(补)角相等的应用、对顶角相等、根据平行线的性质求角的度数、根据平行线判定与性质证明 【分析】（1）由，得到，因此，结合，得到，即可证明； （2）由，得到，，由得到，因此，从而，结合即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ， ∴． 10．（25-26七年级下·辽宁大连·期末）如图，直线，为平面内一点，连接、，试判断、、的数量关系．刘老师摘选了其中三种情形如图①、②、③． (1)请你选择其中一种完成证明；（注明你选的是图几） (2)在图①中，作平分，平分，两条角平分线交于点，如图④，直接写出与的数量关系 ； (3)在（2）的条件下，过点作交于点，若恰好平分，且，在图⑤中补全图形，并求出的度数． 【答案】(1)选图①：结论：， 证明：过点作，如图所示， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即； 选图②，结论：； 证明：过点作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； 选图③，结论：； 证明：过点作， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； (2) (3)补全的图形如图所示， 【难度】0.42 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、角平分线的有关计算、根据平行线的性质探究角的关系、根据平行线的性质求角的度数、根据平行线判定与性质证明 【分析】（1）过点作，根据两直线平行的性质进行推导即可； （2）过点作，根据两直线平行，内错角相等可得，，进而可得，结合平分线的性质可证得即，再结合（1）的结论即可得到与的数量关系； （3）过点作交于点，连接，设，则，根据角平分线的性质可得，，进而得到，，由平行线的性质可得，代入即可求出，即可求出的度数． 【详解】（1）略 （2）如图所示，过点作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴，即， 由（1）可得， ∴， 即； （3）如图所示，过点作交于点，连接， 设， ∵， ∴， ∵平分，平分， ∴ ，， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴． 11．（25-26七年级下·湖北武汉·期末）已知，作直线，，点在上． (1)若． ①如图1，求证：； ②如图2，点在上，点在的上方，，，求的度数． (2)如图3，点在上，点在上，是直线上一动点，的平分线所在直线与的平分线所在直线交于点（不与，重合），请直接写出与的数量关系． 【答案】(1)①证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； ②； (2)与的数量关系为或． 【难度】0.42 【知识点】根据平行线判定与性质证明 【分析】（1）①利用平行线的判定和性质证明即可； ②作，设，，利用平行线的判定和性质即可求得； （2）分三种情况讨论，利用平行线的判定和性质求解即可． 【详解】（1）解：①略 ②作， 设，，则，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：当点在线段上时，如图，作，， ∵， ∴， 设，，则，，，， ∴， ∵的平分线所在直线与的平分线所在直线交于点， ∴，， ∴ ， ∴，即； 当点在射线上时，如图，作，， ∵， ∴， 设，，则，，，， ∴， ∵的平分线所在直线与的平分线所在直线交于点， ∴，， ∴ ， ∴； 当点在射线上时，如图，作，， ∵， ∴， 设，，则，，，， ∴， ∵的平分线所在直线与的平分线所在直线交于点， ∴，， ∴ ， ∴； 综上，与的数量关系为或． 12．（25-26七年级下·陕西安康·期末）【问题提出】 (1)如图，点在上，点在、之间，连接、、，，． ①如图1，求证：； ②如图2，连接，过点F作，若，，平分，求的度数． 【问题解决】 (2)如图3，为治理河道污染，环保工作人员在河岸直线上选取监测点、，与为两条污水导流管道，已知管道夹角满足，导流管道与河岸保持平行，为了测量管道的延伸角度，工作人员在上取一点，连接，平分，过点作交的延长线于点，经测量，，求导流管道与河岸的夹角的度数．（河岸、管道的宽度均忽略不计） 【答案】(1)①证明：， ， ， ， ; ②； (2)导流管道与河岸的夹角的度数为 【难度】0.42 【知识点】角平分线的有关计算、根据平行线的性质求角的度数、根据平行线判定与性质证明 【分析】（1）①根据平行线的性质可得，进而推出，即可得证；②由题意得，，根据平行线的性质可得，，进而求出，再根据角平分线的定义得到，进而求出，最后根据，即可求解； （2）根据，，推出，根据平行线的性质可得，结合垂直的定义可求出，根据角平分线的定义求出，最后根据，即可求解． 【详解】（1）①略 ②解：， ， ，， ，         ，， ，         平分， ， ，         ， ； （2），， ， ， ，         ， ，         ， ， ， 平分， ，         ， ， 即导流管道与河岸的夹角的度数为． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $