专题10 椭圆中定点定值定直线十种考法（压轴题专项训练）数学苏教版高二选择性必修第一册

专题10 椭圆中定点定值定直线十种考法 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、椭圆中直线过定点问题 题型二、椭圆中圆过定点问题 题型三、椭圆中斜率相关的定值问题 题型四、椭圆中面积有关的定值问题 题型五、椭圆中向量有关的定值问题 题型六、椭圆中距离有关的定值问题 题型七、椭圆中线段长有关的定值问题 题型八、椭圆中角度有关的定值问题 题型九、椭圆中定直线问题 题型十、椭圆中探索性、存在性问题 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 通法通法—明晰核心解法，助力能力迁移 椭圆中定点定值定直线是高中数学核心重难点，所有题型均围绕椭圆中直线过定点问题、椭圆中圆过定点问题、椭圆中斜率相关的定值问题、椭圆中面积有关的定值问题、椭圆中向量有关的定值问题、椭圆中距离有关的定值问题、椭圆中线段长有关的定值问题、椭圆中角度有关的定值问题、椭圆中定直线、椭圆中探索性、存在性问题十大核心展开，解题贯穿三条底线原则： 一是圆锥曲线中的定点定值问题一般与圆锥曲线的基本量和题设条件中的给定的点或值有关，曲线过定点问题以直线过定点居多，定点问题其实也可以归结到定值问题(定点的横纵坐标为定值)；二是定直线问题是指因图形变化或点的移动而产生的动点在定直线上的问题.这类问题的核心在于确定定点的轨迹，三是一些探索性、存在性问题，是否存在定点使得某一个量为定值，是否存在定值使得某一量为定值，是否存在定点使得曲线过定点，是否存在定值使得曲线过定点，可以看做定点定值问题的延伸所有参数结果最终均需合规检验. 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、椭圆中直线过定点问题 典例1 已知椭圆的长轴长为，由的三个顶点构成的三角形的面积为    (1)求的方程 (2)记的右顶点和上顶点分别为，，点在线段上运动，垂直于轴的直线交于点点在第一象限，为线段的中点，设直线与的另一个交点为，证明：直线过定点． 【答案】(1)．(2)证明见解析 【分析】（1）根据椭圆的几何性质即可求解. （2）讨论直线的斜率是否存在，存在时，设出直线的方程，联立与椭圆的方程，可得根与系数的关系式，利用斜率关系或者根据向量的共线得到点的坐标之间的关系，得到韦达定理，由两点斜率公式，即可代入化简的方程求解. 【解析】（1）由题意可知， E的三个顶点构成的三角形要么是短轴的一个顶点和长轴的两个顶点构成的三角形，面积为； 要么是短轴的两个顶点和长轴的一个顶点构成的三角形，面积为， 所以， 故E的方程为. （2）由于轴，所以不可能垂直于轴，故直线的斜率存在，故设直线的方程为，, 联立， 则 ， 直线的方程为， 当时，，所以，是的中点，所以， ，即，所以， 则， 化简得 ， 代入，得， 故，所以或， 故直线的方程为或， 由于不与重合，所以直线不经过，故直线的方程为， 此时 ， 故，此时直线过定点. 题型模版 1.特征：一般与椭圆的基本量和题设条件中的给定的点或值有关． 2.方法：直线过定点问题 ①“特殊探路，一般证明”：先通过参数取特殊值等特殊情况推测定点坐标，再以猜想为方向，进行严谨的一般性证明，验证定点的唯一性。 ②“一般推理，特殊求解”：先设出定点坐标，结合题设选取参数并构建直线系（或曲线）方程，利用参数的任意性列出关于定点坐标的方程组，解方程组即可得到所求定点。 ③“方程形式推导法”:若需证明直线过定点，常借助直线的点斜式或斜截式等方程形式，通过推导论证直线必过该定点。 变式1-1已知椭圆的离心率是，点在上． （1）求的方程； （2）过点的直线交于两点，直线与轴的交点分别为，证明：直线过定点． 【答案】（1）；（2）证明见解析 【解析】（1）由题意可得，解得， 所以椭圆方程为. （2）由题意可知：直线的斜率存在，设， 联立方程，消去y得：， 则，解得， 可得， 因为，则直线， 令，解得，即, 同理可得， 则 ， 所以直线过定点. 变式1-2在平面直角坐标系中，椭圆的离心率为，点在椭圆C上． （1）求椭圆C的方程； （2）设椭圆C的左、右顶点分别为A，B，点P，Q为椭圆上异于A，B的两动点，记直线的斜率为，直线的斜率为，已知．求证：直线恒过x轴上一定点. 【答案】（1） （2）证明见解析 【分析】（1）由题意列方程组求解；（2）设直线方程，与椭圆方程联立，由题意列方程通过韦达定理化简求解，注意分类讨论直线的斜率是否为0. 【解析】（1）由题意可得，解得， 所以椭圆C的方程为． （2）依题意，点，设， 因为若直线的斜率为0，则点P，Q关于y轴对称，必有，不合题意． 所以直线斜率必不为0，设其方程为， 与椭圆C联立，整理得：， 所以，且 因为点是椭圆上一点，即， 则， 所以，即 因为 ， 所以，此时， 故直线：恒过x轴上一定点． 变式1-3已知椭圆，，分别是左、右焦点，P是椭圆C上一点，的最大值为3，当P为椭圆上顶点时，为等边三角形. (1)求椭圆C的标准方程； (2)设A，B分别是椭圆C的左、右顶点，若直线l与C交于点M，N，且，证明：直线l过定点，并求出此定点. 【答案】(1)； (2)证明见解析，直线过定点 【解析】（1）由的最大值为3，得，由为椭圆上顶点时，为等边三角形， 得，联立解得，则， 所以椭圆的标准方程为． （2）法一：由（1）知，设， 设直线的斜率为，则直线的斜率为， 直线的方程为，直线的方程为， 由，得， 由，得，即， 由，得， 由，得，即， 则， 因此直线的方程为，即， 所以直线过定点． 法二：由（1）知，设， 直线斜率分别为， 则，由，得， 于是，由，得， 设直线的方程为， 由，得， 由，得，解得， 则，， 则，解得， 所以直线过定点. 类型二、椭圆中圆过定点问题 典例2 已知椭圆（）经过点，两点，过点的直线与C交于M，N两点，且直线，与直线分别交于点P和点Q. (1)求C的方程； (2)求的面积的最大值； (3)证明：存在定点E，使得以为直径的圆恒过点E. 【答案】(1)； (2)； (3)存在，证明见解析. 【分析】（1）把点，代入即可求出椭圆的方程即可求解； （2）设直线的方程，与椭圆的方程联立，利用韦达定理表示出的面积，再求出的面积的最大值； （3）若以为直径的圆恒过点E，则，进而通过韦达定理求出定点坐标. 【解析】（1）把点，代入椭圆的方程， 得，所以椭圆的方程为. （2）显然直线的斜率不为0，设直线的方程为， 联立， 则， 所以 ， 设，则，即， 那么， 由于，函数在上单调递增， 所以， 故， 则的面积的最大值为. （3）设，直线，直线， 令，得， ，则， 由于以为直径的圆恒过点E，则， 所以，而， 则， 化简，得， 则， 由于， 所以， 则， 即， 令，解得或 所以定点坐标为或， 因此，存在定点E，使得以为直径的圆恒过点E. 题型模版 1.特征：一般与椭圆的基本量和题设条件中的给定的点或值有关 2.方法：引入参变量建立圆的方程，再根据其对参变量恒成立，令其系数等于零，得出定点． 变式2-1已知椭圆：（）的左、右焦点分别为，，离心率为，左顶点为，下顶点为，过点且垂直于轴的直线交椭圆于两点，且所得弦长为． (1)求椭圆的方程； (2)若点是椭圆上在第一象限内的一个动点，求三角形面积的最大值； (3)过且斜率不为0的直线交椭圆于，两点，线段的中点为，连接并延长交直线于点．试探究：在轴上是否存在一定点，使得以为直径的圆恒过点？若存在，求点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)存在定点，使得以为直径的圆恒过点 【分析】（1）根据离心率及通径长求出即可得解； （2）设直线方程为，求出点坐标，再由交点求出点坐标，假设存在满足题意，则恒成立，据此求解即可. 【解析】（1）因为，所以， 由代入，可得，， 所以椭圆的通径长为，即， 由可得，解得， 所以， 所以椭圆的方程为. （2）因为，设直线方程为，代入椭圆方程可得， 设，则，所以中点的纵坐标， 所以，即， 所以所在直线方程为，令，可得，即， 假设在轴上存在一定点满足题意，则， 所以恒成立，则需，解得， 即轴上存在定点，使得以为直径的圆恒过点. 变式2-2为椭圆上异于顶点的动点，且的离心率为，分别为的左、右焦点，为的左顶点，记. (1)求的方程； (2)求证：； (3)设点，过点作一条不与坐标轴垂直的直线，交椭圆于，两点，再过点作一条垂直于轴的直线分别交直线于点.问是否存在，使得点四点共圆（为坐标原点）？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由. 【答案】(1)； (2)存在， 【分析】（1）根据方程可知，结合离心率可得，即可得椭圆方程； （2）假设存在，设直线，，，与椭圆方程联立可得韦达定理，结合圆的性质可得，整理可得，代入韦达定理运算求解即可. 【解析】（1）由椭圆方程可知：， 因为，解得， 所以椭圆的标准方程为. （2）假设存在，可设直线，，，且， 联立方程，消去x可得， 则，可得， 则，， 由题意可知：，则直线， 令，可得，即， 同理可得， 若四点共圆，则， 可得， 且，则，可得， 且，，， 则， 整理可得， 即， 则， 整理可得，解得或（舍去）， 所以存在，使得点四点共圆，此时. 变式2-3梅纳库莫斯（前375—前325）首研圆锥曲线.约百年后，阿波罗尼斯系统研究其光学性质：由椭圆焦点发出的光线经椭圆反射后必过另一焦点.椭圆的中心在原点，法线表示与椭圆的切线垂直且过相应切点的直线，焦点，由发出的光线经椭圆反射后至的路径长为4.任取椭圆上非长轴端点，其切线为在的射影为点.    (1)求椭圆的方程； (2)已知切线与直线相交于两点，轴上是否存在定点，使得以为直径的圆过点，若存在，求出点，若不存在，请说明理由. 【答案】(1)； (2)存在，或. 【解析】（1）根据题意，椭圆的中心在坐标原点，焦点为， 所以椭圆的方程为，其中，且. 又因为由发出的光线经椭圆一次反射后到经过的路程为4， 所以，因此， 则椭圆方程为. （2）设椭圆上点，其切线方程为：. 切线与直线和的交点分别为和. 以为直径的圆的方程为： . 若存在满足条件的定点，则可设在圆上， 代入得：. 化简得：. 利用椭圆方程，可得， 因此：，即，所以. 即的坐标为或. 题型三、椭圆中斜率相关的定值问题 典例3 已知为椭圆：的右焦点，为椭圆的右顶点，为椭圆的上顶点，坐标原点到直线的距离为. (1)求的方程； (2)过的直线与椭圆交于，两点（不与椭圆的左，右顶点重合），设直线，的斜率分别为，，求证：为定值； 【答案】(1)(2)证明见解析 【分析】（1）利用椭圆基本性质和点到直线距离公式建立方程求解. （2）先联立直线与椭圆方程，利用韦达定理得到的关系，再代入斜率比值表达式化简得出定值. 【解析】（1）已知右焦点，所以椭圆中， 右顶点，上顶点，根据两点式的方程可得： 直线的方程：，原点到直线的距离为： ，两边平方得， 又因为， 所以 代入上式可得：，化简可得：， 解得（负根舍去），故，因此椭圆的方程为： . （2）设过的直线方程为，交点，联立方程可得： ，消去整理得：，， 由韦达定理得： ， 化简得：，由知，斜率，， 因此：，代入，化简可得： ，故为定值，定值为. 题型模版 1.特征：椭圆中的定值问题是指直线的斜率的大小和题目中的参数无关，不依参数的变化而变化，而始终是一个确定的。 2.方法：解题步骤：①先设出直线方程（注意斜率不存在单独验证），将其与圆锥曲线方程联立，整理为关于x或y的一元二次方程； ②利用判别式确定变量的取值范围，同时写出韦达定理的表达式； ③结合韦达定理表示出待求量，并将其转化为关于变量的函数； ④对所得函数式进行化简、消元，最终推导出定值 变式3-1在平面直角坐标系中，O为坐标原点，焦点在x轴上的椭圆C的上顶点为，线段的中垂线交C于两点，且. (1)求椭圆C的标准方程； (2)点E为椭圆C上位于直线上方（不与点重合）的动点，过点B作直线的平行线交椭圆C于点F，点M为直线与的交点，点N为直线与的交点.证明：直线与直线的斜率之积为定值； 【答案】(1)； (2)证明见解析 【分析】（1）设出椭圆方程，求出点坐标，进而求出椭圆方程. （2）设出直线方程，与椭圆方程联立求出点，同理可得点坐标，再按的斜率存在与否求出直线与直线的斜率之积. 【解析】（1）设椭圆，由椭圆的上顶点为，得， 线段的中垂线方程为，由，则，，解得 所以椭圆. （2） 由，且点位于直线上方，得直线与直线的斜率相等，且， 设直线，代入椭圆， 整理得， ， 当时，直线与椭圆相切，则， 设，，， 设，同理得，， 由为直线与的交点，则设， 当直线的斜率不存在时，， 整理可得，解得，则， 直线的斜率，所以； 当直线的斜率存在时，，解得， 直线的斜率，则； 所以直线与直线的斜率之积为定值，即为. 变式3-2已知椭圆的左顶点为，上顶点为，离心率为，的面积为． (1)求椭圆的方程； (2)直线（存在且不等于0）与椭圆交于，两点，直线与轴交于点，直线与直线交于点，判断是否为定值并证明． 【答案】(1)； (2)，证明见解析 【分析】（1）根据椭圆几何性质以及面积列方程组计算可得椭圆方程； （2）设，由，关于原点对称得，联立得，然后求出，，利用两点斜率公式并化简得为定值，即可得解. 【解析】（1）由题意，解得， 故椭圆的方程为； （2）设，由对称性可知，，两点关于原点对称，即， 由（1）可知，， 联立，得，所以， 直线的斜率存在，其方程为：， 令得，即， 直线的斜率存在，其方程为：， 令得，即， 所以 ， 所以为定值.    变式3-3已知椭圆（）的离心率为，椭圆被直线截得的线段长为． (1)求的标准方程； (2)斜率为的直线与圆相切，且该直线交椭圆于，（），是椭圆的上顶点．记直线，的斜率分别为，，求． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）根据椭圆的离心率可知，，然后将代入椭圆方程即可求解； （2）根据直线与圆相切即可求出，分类讨论即可. 【解析】（1）由于椭圆的离心率为，所以，即， 由于，所以， 将代入椭圆方程，得，即，解得，即， 由题意，所截得的线段长为，所以，解得，从而， 所以椭圆的方程为. （2）由（1）可知，，所以圆的方程为， 设直线的方程为，因为直线与圆相切，如图所示， 则圆心到直线的距离，解得， 椭圆上顶点，分两种情况讨论： ①当时，直线的方程为，代入椭圆方程， 化简得，解得或， 则当时，，当时，，由于，所以， 则，，此时； ②当时，直线的方程为，代入椭圆方程， 化简得，解得或， 当时，，当时，，由于，所以， 则，，此时. 综上所述，的值为. 题型四、椭圆中面积有关的定值问题 典例4 在平面直角坐标系中，已知椭圆的左顶点为，上顶点为，右焦点为，连接并延长交椭圆于点椭圆． (1)若，，求椭圆的方程 (2)若直线与直线的斜率之比是，证明：为定值,并求出定值． 【答案】(1)；(2)证明见解析,. 【分析】（1）由和在椭圆上求出，即可. （2）求出直线BF的方程，并与椭圆方程联立求得点坐标，再由给定条件结合面积公式求解即可． 【解析】（1）由，，得：，解得， 又点在椭圆上，则，解得， 所以椭圆的方程为． （2）证明:依题意，令，直线，由，得， 直线AB的斜率，直线AP的斜率， 则，即，有，得，， 于是得点，，， 所以为定值. 题型模版 1.特征：椭圆中的定值问题是指图形面积的大小和题目中的参数无关，不依参数的变化而变化，而始终是一个确定的. 2.方法：将问题涉及的几何式转化为代数式或三角式，证明该式的值与参数无关. 变式4-1已知椭圆的左、右焦点分别为，，直线与C交于A，B两点，当（  ）时为定值2． A． B． C． D． 【答案】C 【解析】将直线与椭圆联立，消去可得， 因为直线与椭圆相交于点， 则，解得， 设到的距离到距离，易知， 则，， ，解得或（舍去）， 故选：C. 变式4-2“如果两个椭圆的离心率相同，我们称这两个椭圆相似”.已知椭圆与椭圆相似，的短轴长为2，离心率为. (1)求的标准方程. (2)设为坐标原点，为上的动点，过点且斜率为的直线与相切，与交于，两点，射线交于点，证明的面积是为定值. 【答案】(1)； (2)证明见解析. 【分析】(1)根据椭圆离心率的定义，短轴的概念，求出椭圆标准方程. (2)根据直线与椭圆的交点问题解题方程，依据弦长公式,证明椭圆中的定值问题. 【解析】（1）因为的短轴长为2，所以. 因为的离心率为，所以. 又的离心率，所以， 所以的标准方程为. （2） 由（1），知. 设，过点的直线方程为. 由得. 因为直线与相切，所以，即①， 所以，， 所以直线的斜率，方程为. 由得，设，所以，所以. 由题意，得，位于轴两侧，所以，所以. 设，，由得，， 由根与系数的关系，得，， 所以，将①代入，得. 由直线与轴交于点， 得， 所以，即的面积为定值. 变式4-3已知椭圆的离心率为，左､右焦点分别是，以为圆心，6为半径的圆与以为圆心，2为半径的圆相交，且交点在椭圆上. (1)求椭圆的方程； (2)设过椭圆的右焦点的直线的斜率分别为，且，直线交椭圆于两点，直线交椭圆于两点，线段的中点分别为，直线与椭圆交于两点，是椭圆的左､右顶点，记与的面积分别为，证明：为定值. 【答案】(1)；(2)证明见解析． 【分析】（1）根据离心率的定义和椭圆定义求得，再计算出后得椭圆方程； （2）设，直线方程代入椭圆方程，利用韦达定理求得中点的坐标，当直线斜率存在时，设直线，点在直线上，代入整理得是一个一元二次方程的根，由韦达定理得，从而得出关系，得出直线过定点，再确定直线斜率不存在时也过这个定点，然后结合该定点得出三角形面积比． 【解析】（1）依题意得，则 则，所以椭圆的方程为； （2）直线，设， 由得， 所以，，且， 则中点，同理可算 ①当直线斜率存在时，设直线，点在直线上， 点坐标代入整理得 易知为方程的两个根， 则，所以， 所以直线，则直线恒过点 ②当直线的斜率不存在时，由对称性可知，由， 不妨设，所以， 直线过，根据①②可知，直线恒过点，因为的面积， 的面积，所以. 题型五、椭圆中向量有关的定值问题 典例5 已知椭圆的离心率是，且过点． (1)求椭圆的标准方程； (2)过点的直线与交于两点． （i）若，且直线的倾斜角为，求线段的长； （ii）若直线的斜率不为，，是否存在点，使得为定值？若存在，求出 的最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)（i）；（ii）存在，最小值为. 【分析】（1）由得，又得，由在椭圆上，利用待定系数法即可求解； （2）（i）由题意可得直线的方程为，与椭圆方程联立，由韦达定理得，利用弦长公式即可求解； （ii）可设，与椭圆方程联立，由韦达定理得，由为定值得，利用基本不等式即可求解. 【解析】（1）由题意，得，得， 又，所以， 又，两式联立，解得， 所以椭圆的标准方程为； （2）设； （i）由题意可得直线的方程为， 联立，得， 所以， 所以； （ii）存在点 ，使得为定值， 的最小值为； 由题意，可设，联立， 得， 则， 且， 因为， 所以 ， 因为为定值， 所以，得， 因为，所以， 当且仅当，即时，等号成立， 故 的最小值为 题型模版 1.特征：椭圆中的定值问题是指向量的大小或某些代数表达式的值和题目中的参数无关，不依参数的变化而变化，而始终是一个确定的； 2.方法：求解定值问题的三个步骤 (1)由特例得出一个值，此值一般就是定值； (2)证明定值，有时可直接证明定值，有时将问题转化为代数式，可证明该代数式与参数（某些变量）无关；也可令系数等于零，得出定值； (3)得出结论。 变式5-1已知椭圆C:+y2=1的右焦点为F,过点F作直线l交C于A,B两点,试问:在x轴上是否存在一个定点M,使·为定值?若存在,求出M的坐标;若不存在,请说明理由. 【答案】点M存在,其坐标为；·=-为定值 【解析】假设存在符合条件的点M(m,0), 易知F(1,0), 设A(x1,y1),B(x2,y2), 则=(x1-m,y1),=(x2-m,y2), ·=(x1-m)(x2-m)+y1y2=x1x2-m(x1+x2)+m2+y1y2, ①当直线l的斜率不为0时,设直线l的方程为x=ty+1, 由得(t2+2)y2+2ty-1=0, 则y1+y2=,y1y2=, 所以x1x2=(ty1+1)(ty2+1)=t2y1y2+t(y1+y2)+1=, x1+x2=t(y1+y2)+2=. 因此·=, 若对于任意的t值,上式为定值, 则2m2-4m+1=2(m2-2),解得m=, 此时,·=-为定值. ②当直线l的斜率为0时,此时A(-,0),B(,0), ·=(--m)(-m)=m2-2=-2=-. 综合①②知,符合条件的点M存在,其坐标为. 变式5-2已知椭圆的左、右焦点分别为，左、右顶点分别为，，点在椭圆上，满足直线的斜率之积为，且面积的最大值为2． (1)求椭圆的方程； (2)过点的直线与椭圆交于两点，同时与直线交于点，假设，，判断是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1)；(2)为定值，定值为0． 【分析】（1）由斜率关系求得的关系，根据面积的最大值为，得到，结合，求得，即可求得椭圆的方程； （2）设过点的直线为，联立方程组得到，再联立两直线，求得，根据，，求得，进而结合韦达定理，化简得到，即可得到结论. 【解析】（1）设，由已知，得． 又点在椭圆上，所以，则，所以，即． 因为，所以．又由面积的最大值为2，可得， 即，解得．故椭圆的方程为． （2）    由，可得点四点共线， 设过点的直线斜率存在时，直线方程为，即， 联立方程组，整理得． 设，则，， 联立方程组，可得，即． 因为，可得， 所以， 则 ． 当直线斜率不存在时，直线方程为， 求得 可得， 所以为定值，定值为0． 变式5-3已知椭圆：，离心率为，圆：． (1)求椭圆的方程； (2)如图所示，是曲线的两个公共顶点，过点作一直线与曲线交于两点（在的上方）．过作与轴平行的直线与圆在轴上方交于点． ①证明； ②若直线，交于，求证：为定值． 【答案】(1)； (2)①证明见解析； ②证明见解 【分析】（1）由椭圆顶点、离心率条件列式算出，直接写出椭圆标准方程； （2）①设直线，并联立椭圆方程，借助韦达定理，用向量坐标乘积为零证明两直线平行； ②写出直线方程并联立求横坐标，再代入坐标算向量数量积得到定值． 【解析】（1）由题意知，，则， 所以， 所以椭圆的方程为． （2）①直线的斜率不为0，设的方程为，，． 联立，得， ，则，， 由在椭圆上，在圆上，易知， 则，， 因为，， 所以， 代入韦达定理得， 则，从而． ；②直线的方程为，直线的方程为， 则， 所以 由①中韦达定理可知， 代入可得， 即，可解得． 由题意，可设，则， 又，从而，所以为定值． 题型六、椭圆中距离有关的定值问题 典例6 已知椭圆：的离心率为，且与直线 有且只有一个公共点． (1)求的标准方程； (2)设一动直线不经过坐标原点，与交于，两点，且 ，证明：点到直线的距离为定值． 【答案】(1)； (2)证明见解析 【分析】（1）根据椭圆的离心率，得出 的关系，再由直线 与椭圆有且只有一个公共点，判别式为0，从而求出 的值. （2）当直线的斜率存在时，设其方程为，与椭圆方程联立，根据根与系数的关系，结合 ，得出，再由点到直线的距离求解，当直线的斜率不存在时，求出点到直线的距离，即可得定值. 【解析】（1）由，得，即， 因此椭圆方程可写为 ，即， 将直线 代入椭圆方程得， 即 ， 因为直线与椭圆有且只有一个公共点，所以 ， 即 ，解得 ，则 ， 所以椭圆的标准方程为 . （2）设直线的斜率存在，其方程为，. 联立，消去得 ， 则， 化简得，， 因为 ，所以 ，即 ， 而， 代入得 ， 所以 ， 整理得 ，所以，满足. 所以点到直线的距离， 由，得. 当直线的斜率不存在时，设：，代入椭圆方程得， 则，由 ，得 ， 即，解得，所以，仍然成立. 综上，点到直线的距离为定值. 题型模版 1.特征：椭圆中的定值问题是指距离的大小或某些代数表达式的值和题目中的参数无关，不依参数的变化而变化，而始终是一个确定的. 2.方法：定值问题(定点的横纵坐标为定值).这类问题用函数的思想方法来处理，具体操作流程如下： (1)变量——选择合适的参变量； (2)函数——要证明为定值的量表示出参数的函数； (3)定值——化简函数解析式，消去参数得定值. 变式6-1已知椭圆的离心率为是上任意一点，为坐标原点，到轴的距离为，则（  ） A．为定值 B．为定值 C．为定值 D．为定值 【答案】D 【分析】观察选项，设，从而表示出，再利用椭圆离心率的定义求得，进而得到椭圆方程，从而配凑出关于的式子，由此得解. 【解析】依题意，设，则， 因为椭圆的离心率为， 所以，解得， 所以的方程为，即，即， 所以，故D正确，显然ABC错误. 故选：D. 变式6-2已知椭圆的离心率，且经过点，为坐标原点，斜率不为0的直线与椭圆交于两点，． (1)求椭圆的方程； (2)证明：点到直线的距离是定值； (3)求的取值范围． 【答案】(1)； (2)证明见解析； (3) 【分析（1）根据题意建立关于的方程组，求解即得椭圆方程； （2）依题设直线的方程为，与椭圆方程联立，消元后写出韦达定理，根据化简推得，利用点到直线的距离公式即可证明； （3）根据弦长公式求出的表达式，代入韦达定理，并消去，将其化成关于的关系式，通过换元后利用二次函数的性质即可求得其范围. 【解析】（1）由，可得 ①， 椭圆经过点，可得，解得，代入①，可得， 故椭圆的方程为. （2）依题意，可设直线的方程为，， 由，消去，整理得， 可得， 设，则， 因，则 ， 去分母得， 化简得. 则点到直线的距离为，为定值. （3）因， 故， 由得，代入上式，整理得， 设，则，且代入上式， 可得， 设，则，且， 所以， 故的取值范围是.    变式6-3已知椭圆的左右焦点分别为，，离心率为，且，直线l过点且与C相交于A，B两点． (1)求C的方程； (2)若的面积为，求； (3)过点A作直线的垂线，垂足为P，求证：为定值． 【答案】(1)； (2)； (3)证明建解析 【分析】（1）由题设求出，进而求解即可； （2）设，由的面积为可得，进而结合平面向量的数量积的坐标表示求解即可； （3）当直线的斜率不为0时，设，利用韦达定理得到，，且，利用距离公式和弦长公式表示，，所以；当直线的斜率为0时，不满足题意，故为定值． 【解析】（1）由题意得，，所以， 又因为离心率，所以， 所以，所以椭圆的方程为． （2）设，所以，将代入椭圆方程， 所以，所以． （3）当直线的斜率不为0时，设， 联立椭圆方程，得到， 则， 设，，则，由韦达定理可得，， 因为，原点到的距离为， 所以， 又因为点到的距离为，， 所以， 所以， 由，，得到， 所以； 当直线的斜率为0时，，，，四点共线无法构成三角形，故舍去； 综上，为定值． 题型七、椭圆中线段长有关的定值问题 典例7 已知，是椭圆（）的左，右焦点，焦距为2，离心率，过左焦点的直线交椭圆于两点. (1)求椭圆C的方程； (2)求证为定值. 【答案】(1)； (2)证明见解析 【分析】（1）由题意，列方程组，求出的值，即得椭圆方程； （2）设，直线方程为并与椭圆方程联立，写出韦达定理，求出弦长，利用两点之间距离公式化简 ，将韦达定理代入计算即得证. 【解析】（1）由题可知，解得， 故椭圆C的标准方程是 （2）设，依题可设直线方程为， 由，消去可得：， 故 于是，， 故 ， 故为定值. 题型模版 1.特征：椭圆中的定值问题是指线段长度的大小或某些代数表达式的值和题目中的参数无关，不依参数的变化而变化，而始终是一个确定的。 2.方法：定值问题常见的解题方法有两种： 法一、先猜后证（特例法）：从特殊入手，求出定值，再证明这个定值与变量无关； 法二、引起变量法（直接法）：直接推理、计算，并在计算推理过程中消去参数，从而得到定值。 变式7-1已知椭圆过点，焦距是短半轴长的倍，点是椭圆上的三个不同点，线段交轴于点异于坐标原点，且总有的面积与的面积相等，直线分别交轴于点两点，则的值为____________. 【答案】4 【解析】设椭圆的半焦距为，由题意知，解得， 椭圆的方程； 因为的面积与的面积总相等，故为的中点， 结合对称性可知两点关于轴对称， 由题意直线斜率存在且不为0，并且纵截距不为0， 设直线，故， ，化简得， 由得，， 设，则， 则， 直线，令得， ， 所以 故答案为:4 变式7-2已知椭圆：（）的离心率为，且过点． (1)求椭圆的方程和焦距； (2)过点的直线与椭圆交于两点，关于轴对称点为，直线，和轴的交点分别为，，求． 【答案】(1)，焦距为；(2) 【分析】（1）根据离心率及点，列方程组求解即可； （2）设直线，联立得到，，进而得到、，再根据计算即可． 【解析】（1）根据题意可得，解得， 所以椭圆的方程为，焦距为； （2）根据题意直线的斜率存在，设方程为， 即，，，则， 联立， 整理得， ，， 直线的方程为，令，可得点纵坐标， 直线的方程为，令，可得点纵坐标， 则 ， 所以． 变式7-3已知椭圆的短半轴长为2，以椭圆长轴和短轴四个端点为顶点的四边形面积为． (1)求椭圆的标准方程． (2)若斜率为，且经过轴上一点的直线与椭圆交于，两点，探究：是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)是，定值为12 【分析】（1）根据短半轴的长度、四边形的面积确定，的值，求出椭圆的标准方程． （2）联立直线和椭圆方程，用表示出，，利用两点间的距离公式表示出，化简即可判断是否为定值. 【解析】（1）由题意得 解得 故椭圆的标准方程为． （2）设，，， 由题意得，直线的方程为， 由 消去得， 由， 解得， ． 又，， 所以 ， 所以是定值，且该定值为12． 题型八、椭圆中角度有关的定值问题 典例8已知椭圆的焦距为2，且点在椭圆上. (1)求椭圆的标准方程； (2)若直线与椭圆交于两点，且坐标原点到直线的距离为，则的大小是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由. (3)在（2）的条件下，试求三角形的面积的取值范围. 【答案】(1)； (2)的大小为定值 【分析】（1）根据椭圆的性质， 可求出的值，进而得到两焦点坐标.再利用椭圆的定义求出的值，最后根据求出的值，从而得到椭圆方程. （2）分直线的斜率不存在和存在两种情况讨论.当斜率不存在时，求出直线的方程，进而求出，的坐标，判断的大小；当斜率存在时，设出直线的方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理得到，的表达式，再通过向量的数量积判断与是否垂直，从而确定的大小.   【解析】（1）已知椭圆的，则，两焦点为，. 因为点在椭圆上，由椭圆的定义可得 即，即. 又因为，根据，可得，所以. 所以椭圆的方程为. （2）当直线的斜率不存在时：直线的方程为，由对称性，不妨令直线的方程为. 联立，将代入得：   即，此时OM与ON垂直，易知. 当直线的斜率存在时：设直线的方程为，，. 由点到直线的距离公式，可得，两边平方得. 联立，消去得. 则，即. 由韦达定理可得，. 所以 将代入上式得： 所以，即. 综上，的大小为定值，该定值为. 题型模版 1.特征：椭圆中的定值问题是指角度的大小或某些代数表达式的值和题目中的参数无关，不依参数的变化而变化，而始终是一个确定的。 2.方法：直接法解题步骤 第一步设变量：选择适当的量当变量，一般情况先设出直线的方程：或、点的坐标； 第二步表示函数：要把证明为定值的量表示成上述变量的函数，一般情况通过题干所给的已知条件，进行正确的运算，将需要用到的所有中间结果（如弦长、距离等）用引入的变量表示出来； 第三步定值：将中间结果带入目标量，通过计算化简得出目标量与引入的变量无关，是一个常数。 变式8-1已知椭圆，直线不经过点，且斜率为.若与交于两个不同点且直线的倾斜角分别为，则（  ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】设直线，，，联立椭圆并应用韦达定理得，，设直线与的斜率分别为，应用斜率的两点式得，即有，即可得. 【解析】设直线，，，    由，得， 由，解得或， 则，， 依题意，因为恰好在椭圆上，所以与的斜率一定存在，所以，， 设直线与的斜率分别为，因为，， 所以． 又，， 所以 ， 又，，即， 则，所以. 故选：B 变式8-2定义若椭圆（）的两个焦点和两个顶点四点共圆，则称该椭圆为“完美曲线”．已知：（）为“完美曲线”，且和：，：均相切． (1)求的表达式和离心率 (2)已知动点在的第一象限上运动，和相切，和交于，和交于．设右焦点为，证明是定值，并求其正切值． 【答案】(1)，；(2)证明见解析，. 【解析】（1）焦点和长轴顶点共线，它们不会共圆，从而焦点和短轴顶点共圆，则，为半焦距， ，因此的离心率为， 椭圆的方程为，由消去得， 由和相切，得，解得， 此时，由对称性知，和相切， 所以的表达式为. （2）设从而斜率必然存在且非0，令， 设切线 代入得到 由在上，得，从而， 由直线与椭圆相切，得上述方程有相等实根，则，即， 从而，即 由，解得，记为 同理，记为， 即，，， ，，， 由，得，直线的斜率分别为， ， ， ， 当时，，和重合，与已知矛盾，又， 因此，所以是定值，其正切值为． 变式8-3已知 是椭圆 上一个动点， 是椭圆的左焦点，若 的最大值和最小值分别为 和 . (1)求椭圆 的标准方程； (2) 是 轴正半轴上的一点，求 的最大值. (3)若动直线 与 交于点 ，点 是 轴正半轴上异于点(1，0)的一定点， 若直线 的倾斜角分别为 ，且存在实数 使得 恒成立，求点 的坐标及 的值. 【答案】(1)； (2)时，的最大值为，时，的最大值为当； (3)，. 【解析】（1）由条件可知，，，得， 所以， 所以椭圆的标准方程为； （2）设，， ， ，，， 当时，即，此时在区间单调递减，所以的最大值为当时，此时， 当时，即，此时在区间的最大值为当， 综上可知，时，的最大值为，时，的最大值为当； （3）设，（且），，， 将与联立，得， 则，， 因为，， 所以，所以为定值， 因为 ， 当时，，为定值， ， 所以，. 题型九、椭圆中定直线问题 典例9 已知椭圆的离心率为，右焦点，且，直线交椭圆于，两点，交轴于点． (1)求椭圆的标准方程； (2)若直线过右焦点，设，，求的值； (3)若已知，椭圆上下顶点分别为C，D，直线交直线于点，证明：点在定直线上． 【答案】(1)； (2)； (3)证明见解析 【分析】（1）根据条件列方程组求解； （2）设直线的方程为，根据向量的坐标运算以及韦达定理化简； （3）直线的方程为，联立直线、的方程求出点的坐标，结合韦达定理化简得出. 【解析】（1）依题意可得，解得， 所以椭圆的标准方程为． （2）由（1）可得椭圆的右焦点， 由题意知直线的斜率存在，则设直线的方程为， ， ，， 联立，得， ∴，， 又，，，， ，， 则，， ∴，， ∴ ． （3）证明如下：依题意直线的斜率存在，设直线的方程为， 由（1）可得，， 设，， 由，得， ∴，，， 则，， 又直线的方程为，直线的方程为， 解，即， 即， 得，所以，即， 所以 ， 所以点在定直线上． 题型模版 1.特征：定直线问题是指因图形变化或点的移动而产生的动点在定直线上的问题.这类问题的核心在于确定定点的轨迹。 2.方法：主要方法有： (1)设点法：设点的轨迹，通过已知点轨迹，消去参数，从而得到轨迹方程； (2)待定系数法：设出含参数的直线方程、待定系数法求解出系数； (3)验证法：通过特殊点位置求出直线方程，对一般位置再进行验证。 变式9-1已知椭圆C：的下顶点为A，斜率不为0的直线与C交于B，D两点，记线段的中点为E，若，则（  ） A．点E在定直线上 B．点E在定直线上 C．点E在定直线上 D．点E在定直线上 【答案】A 【分析】先设直线，然后根据韦达定理求出E点坐标，根据直线垂直列出方程求解,最后代入E点即可求出E所在直线. 【解析】由题意知,设直线l的方程为,设, 联立消去得, 所以 ， 所以 所以的中点， 因为, 所以 ， 即, 整理得, 所以E在定直线上， 故选:A. 变式9-2已知椭圆的离心率为，点在椭圆C上． (1)求椭圆C的标准方程； (2)过点的直线（非y轴）交椭圆于A，B两点，过点A作y轴的垂线与直线BP相交于点D，求证：线段AD的中点在定直线上． 【答案】(1)； (2)证明见解析 【分析】（1）根据离心率得到，将代入椭圆方程，待定系数法求出椭圆方程； （2）设直线AB的方程为，联立椭圆方程，得到两根之和，两根之积，根据点B，P，D共线，得到方程，求出，得到，，而，所以，可得，而，故，又，所以，得到答案. 【解析】（1）由，得，则，所以， 将点代入椭圆方程，得，解得， 所以椭圆的标准方程为． （2）易知直线AB斜率存在，设直线AB的方程为， 并设点，AD的中点坐标设为． 联立方程，消去y，得， 所以，且即或, 由条件，，点B，P，D共线，其中，， 则， 所以， ， ， ， 而， 所以，可得， 而，故， 又，所以， 即线段AD的中点在定直线上． 变式9-3已知椭圆：的左、右焦点分别为，，上顶点为，是边长为2的等边三角形. (1)求椭圆的标准方程； (2)过点的直线与椭圆交于，两点，点是线段上一点，且满足.求证：点在一条定直线上. 【答案】(1)； (2)证明详见解析. 【分析】（1）由题设结合椭圆中的几何意义及其关系即可求解； （2）先由题设直线，与椭圆联立得韦达定理，将韦达定理代入转换化简后的代数式求出点T的横坐标为定值即可得证. 【解析】（1）由题可得即， 所以， 所以椭圆的标准方程为； （2）证明：由题可知直线l斜率存在，设直线， 联立， 则，即， 由题可设，， 则，且， 所以， ， 同理，， 所以由得即， 又由题意可知， 所以，所以，整理得， 所以，整理并化简得， 所以，在定直线上.    题型十、椭圆中探索性、存在性问题 典例10 已知椭圆的中心为坐标原点，对称轴为轴､轴，且点和点在椭圆上 (1)求椭圆的方程； (2)直线与椭圆交于两点，若，是否存在定点，使得直线的倾斜角互补？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)；(2)存在，. 【分析】（1）设出椭圆方程，利用待定系数法求出中. （2）假设存在点，由倾斜角互补可知斜率和为，将直线与椭圆方程联立，利用韦达定理及斜率坐标公式列式求出即可. 【解析】（1）设椭圆的方程为：， 由点和点在椭圆上，得，解得， 所以椭圆的方程为：. （2）当时，直线， 假设存在点，使直线的倾斜角互补，即直线的斜率之和为， 由消去得， ，设， ，，由， 得，而，即， 于是，整理得，解得， 所以存在点，使得直线的倾斜角互补. 题型模版 1.特征：一些探索性、存在性问题，是否存在定点使得某一个量为定值，是否存在定值使得某一量为定值，是否存在定点使得曲线过定点，是否存在定值使得曲线过定点，可以看做定点定值问题的延伸。 2.方法：（1）解决存在性问题通常采用“肯定顺推法”，将不确定性问题明朗化.一般步骤如下： ①假设满足条件的曲线（直线或点等）存在，用待定系数法设出； ②列出关于待定系数的方程（组）； ③若方程（组）有实数解，则曲线（直线或点等）存在，否则不存在. （2）反证法与验证法也是求解存在性问题常用的方法。 （3）求解含参数的存在性问题时，通常的方法是首先假设满足条件的参数值存在，然后利用这些条件并结合题目的其他已知条件进行推理与计算，若不出现矛盾，并且得到了相应的参数值，就说明满足条件的参数值存在；若在推理与计算中出现了矛盾，则说明满足条件的参数值不存在，同时推理与计算的过程就是说明理由的过程 变式10-1已知分别为椭圆的左、右顶点，，均为椭圆上异于顶点的点，为椭圆上的点，直线经过左焦点，直线经过右焦点. (1)求椭圆的标准方程； (2)试问是否为定值？若是定值，求出该定值；若不是，请说明理由. 【答案】(1) (2)，理由见解析 【分析】（1）根据题意，得出方程组，求得，得到椭圆的标准方程； （2）设且，得到，代入的方程，联立方程组，求得和，结合，即可求得为定值. 【解析】（1）解：由椭圆满足，且右焦点， 可得，解得，所以椭圆的标准方程为. （2）解：由题意知：椭圆的左、右焦点为， 设，且， 再设，其中， 则，可得， 整理得，同理可得， 则， 所以存在为定值，定值为. 变式10-2已知椭圆的左右顶点分别为A、B，椭圆的离心率为，短轴长为． （1）求椭圆C的方程； （2）若过点的直线l与椭圆交于M，N两点，且点M在第一象限，判断是否存在常数，使得恒成立；若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）； （2）答案见解析. 【分析】（1）根据离心率和短轴长求得，则方程得解； （2）方法一：讨论直线斜率是否存在，特别的当斜率存在时，设出直线的方程，联立椭圆方程，利用韦达定理直接求解，即可求得参数值；方法二：设出直线的方程，联立椭圆方程，利用韦达定理求得，再求，即可求得参数. 【解析】（1）由条件，即，解得． 故椭圆C的方程． （2）方法一：当直线l的斜率不存在时，，， ； 当直线l的斜率存在时，不妨设， 联立直线和椭圆方程可得，显然， 且， 从而 综上所述，存在常数，使得. 方法二：不妨设，， 联立直线和椭圆方程可得，显然， ， ， 又，故. 故存在常数，使得. 变式10-3平面直角坐标系中，圆A的方程为，点B的坐标为，点P是圆上任意一点，线段的垂直平分线交半径于点Q，当点P在圆上运动时，点Q的轨迹为曲线E． (1)求点Q的轨迹E的方程； (2)过点A作一条直线与点Q的轨迹E相交于M，N两点，满足，点H满足，问：点H是否在一条定直线上，若是，求出这条直线方程，若不是，请说明理由． 【答案】(1)；(2)点H在一条定直线上，直线方程为． 【分析】（1）由椭圆的定义确定Q的轨迹，得出求解即可； （2）设，，，，解法一，根据向量坐标运算化简可得，设直线的方程为：，联立椭圆方程，根据根与系数的关系结合化简可得；解法二，设直线方程为，同解法一建立纵坐标间关系，化简可得，当直线斜率不存在或斜率为0时，验证即可. 【解析】（1）如图， 由题意知，， 所以Q点的轨迹是以，为焦点，长轴长为4的椭圆． 设椭圆的方程为， 则，，， 所以椭圆方程为． （2）如图， 解法一： 设，，，， 由可得， 则，即①. 由可得 则，即②， 所以，整理得③. 当直线的斜率存在时，设直线的方程为：，联立得， 消去得， ，， 代入③得，又因为，所以． 直线的斜率不存在时，不妨取，， 则，，则，，解得， 综上可得，点在一条定直线上，直线方程为． 解法二：设，，，， 由可得， 则，即①. 由可得， 则，即②， 所以，整理得③. 当直线的斜率不存在或不为0时，设直线方程为， 联立，消去得， ，，代入③得. 当直线的斜率为0时，，， 则，恒成立，点H在上也成立， 综上可得，点H在一条定直线上，直线方程为． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．已知椭圆E：经过点，右焦点为，A，B分别为椭圆E的上顶点和下顶点,若过且斜率存在的直线l与椭圆E交于C、D两点，直线BD与直线AC的斜率分别为k1和k2，则的值为（  ） A．1 B．3 C．2 D． 【答案】B 【分析】由已知可得关于，，的方程组，从而可得，的值，从而可得椭圆的方程；设直线，与椭圆方程联立，可得根与系数的关系，利用两点的斜率公式表示出和，作比，结合根与系数的关系即可求解． 【解析】由，，， 椭圆的标准方程为． 设直线：，联立直线和椭圆方程， ， ，记，， 则， 由题意知和．则，， 则， 所以． 故选:B 2．如图，已知椭圆的上顶点为，离心率为，若过点作圆的两条切线分别与椭圆相交于点 (不同于点).直线过定点（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 椭圆的上顶点为，离心率为 可得 解得 椭圆的方程为. 设切线方程为，则 即 设两切线的斜率分别为， 则是上述方程的两根，根据韦达定理可得: 由 消掉得: 设 同理可得 直线BD方程为 令，得， 故直线过定点 3．已知椭圆的离心率为是上任意一点，为坐标原点，到轴的距离为，则（  ） A．为定值 B．为定值 C．为定值 D．为定值 【答案】D 【分析】观察选项，设，从而表示出，再利用椭圆离心率的定义求得，进而得到椭圆方程，从而配凑出关于的式子，由此得解. 【解析】依题意，设，则， 因为椭圆的离心率为， 所以，解得， 所以的方程为，即，即， 所以，故D正确，显然ABC错误. 故选：D. 4．在平面直角坐标系xOy中，如图，已知椭圆的左、右顶点为A、B，右焦点为F.设过点的直线TA、TB与此椭圆分别交于点M（x1，y1）、N（x2，y2），其中.则直线MN必过一定点的坐标为（  ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】通过联立方程组求得两点的坐标，进而确定定点的坐标. 【解析】依题意得， 直线的方程为， 由消去并化简得， ， 则， 所以. 直线的方程为， 由消去并化简得， ， 所以， 所以. 若，即， 即，即， ，则，所以， 此时直线过点. 若，依题意， 所以直线的方程为， ， ， 所以直线过点， 综上所述，直线过定点. 故选：A.    5．（多选）已知椭圆的左、右焦点分别为，，直线与C交于A，B两点，其中O为坐标原点，则（  ） A．C的离心率为 B．的周长为 C．面积的最大值为 D．若，则点Q在定直线上 【答案】BD 【分析】根据椭圆方程求出离心率，即可判断A，根据焦点三角形周长公式判断B，设，，联立直线与椭圆方程，消元，列出韦达定理，即可表示出及，利用基本不等式求出面积最大值，即可判断C，设，结合C即可求出轨迹方程，从而判断D. 【解析】设椭圆的长半轴为，短半轴为，半焦距为， ，， 所以椭圆的离心率，故 A 错误； 的周长为，故B正确； 设，， 联立，整理得， 由，解得， 此时， 所以， 点到直线的距离， 所以的面积 ，当且仅当，即时， 的面积取最大值，故C错误； 设，由，有，即， 因为，所以，故， 于是有，所以点在定直线上，故D正确； 故选：BD. 6．（多选）已知椭圆：，，分别为它的左右焦点，，分别为它的左右顶点，已知定点，点是椭圆上的一个动点，下列结论中正确的有（  ） A．存在点，使得 B．直线与直线斜率乘积为定值 C．有最小值 D．的范围为 【答案】BCD 【解析】依题意， ，A错误. 设，则， ，为定值，B选项正确. ， ， 当且仅当时等号成立.C选项正确. Q在椭圆外，设直线、与椭圆相交于如图所示， 则， ，， ，即， 所以 所以.D选项正确. 故选：BCD 7.已知椭圆的短轴长为2，点在上，设是上不同于短轴端点（点在点上方）的两点，直线与直线的斜率分别为，且满足，则直线过定点_____________. 【答案】 【分析】易知，代入点即可求出方程；当直线的斜率不存在时，求出，利用可舍去，当直线的斜率存在时，可设直线：，与椭圆联立方程组，求出，分别表示斜率，代入到可求出的值，进而求出直线过的定点即可. 【解析】（1）由题意可知，， 把点代入中，可得，解得， 所以的方程为：； （2）依题意，，，如果直线的斜率不存在，则直线垂直于轴， 设直线：，由题意可知，且， 把代入中，可得的坐标分别为， 所以，，因为，无解，故舍去， 从而可设直线：，代入中，得 ，由题设可知，设，， 则有，，因为，所以 则，， 因为，所以，化简得， 即 解得（舍）或，所以直线：恒过顶点. 故答案为： 8．已知椭圆的上、下顶点分别是，，点（异于，两点）在椭圆上，直线与的斜率之积为，椭圆的短轴长为,则的标准方程为_______________；已知，直线与椭圆的另一个交点为，且直线与相交于点，则点在定直线_______上． 【答案】 ； 【分析】设，根据斜率之积和点在椭圆上整理可得椭圆的标准方程；设直线的方程为，联立椭圆方程消去，利用，坐标表示出直线与的方程，求解出点的坐标，然后用韦达定理化简即可得证． 【解析】（1）由题意可得，且，则. 设，则，所以， 因为点在椭圆上，所以， 所以，代入式得， 由，代入得， 故椭圆C的标准方程为； （2）设，，显然直线不垂直于轴， 故可设直线的方程为， 由消去得， 因为点在椭圆的内部，则直线与椭圆恒有两个交点， 所以， 由（1）知，， 所以直线的方程为，直线的方程为， 由直线与相交于点，则， 消得①， 由（1）知，得， 可得 ， 将代入①式得，解得，即点在直线上． 故答案为: . 9．已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且过两点,设过点的直线交E于M，N两点，过M且平行于x轴的直线与线段AB交于点T，点H满足,则直线HN过定点____________． 【答案】 【分析】将给定点代入设出的方程求解即可；设出直线方程，与椭圆C的方程联立，分情况讨论斜率是否存在，即可得解. 【解析】设椭圆E的方程为，过， 则，解得，， 所以椭圆E的方程为：. ，所以， ①若过点的直线斜率不存在，直线.代入， 可得，，代入AB方程，可得 ，由得到. 求得HN方程：，过点. ②若过点的直线斜率存在，设. 联立得， 可得，，且 联立可得 可求得此时， 将，代入整理得， 将代入，得显然成立， 综上，可得直线HN过定点 故答案为: 10．已知椭圆：与直线相切于点. (1)求椭圆的方程； (2)设，为椭圆上异于点的点，直线，与轴分别交于点，，若，证明：直线恒过定点. 【答案】(1)； (2)直线过定点 【解析】（1）联立，可得， 可得， 化简可得，， 又点在椭圆上，因此，解得：，， 故椭圆的方程为； （2）设直线的方程为， 设点，， 由可得， 又， 则， ， 故， 由， 即有，因此有， 则直线的方程为， 当时，恒成立， 因此直线过定点. 11．已知椭圆（）的离心率为，椭圆被直线截得的线段长为． (1)求的标准方程； (2)斜率为的直线与圆相切，且该直线交椭圆于，（），是椭圆的上顶点．记直线，的斜率分别为，，证明：为定值． 【答案】(1)； (2)证明见解析 【分析】（1）根据椭圆的离心率可知，，然后将代入椭圆方程即可求解； （2）根据直线与圆相切即可求出，分类讨论即可. 【解析】（1）由于椭圆的离心率为，所以，即， 由于，所以， 将代入椭圆方程，得，即，解得，即， 由题意，所截得的线段长为，所以，解得，从而， 所以椭圆的方程为. （2）由（1）可知，，所以圆的方程为， 设直线的方程为，因为直线与圆相切，如图所示， 则圆心到直线的距离，解得， 椭圆上顶点，分两种情况讨论： ①当时，直线的方程为，代入椭圆方程， 化简得，解得或， 则当时，，当时，，由于，所以， 则，，此时； ②当时，直线的方程为，代入椭圆方程， 化简得，解得或， 当时，，当时，，由于，所以， 则，，此时. 综上所述，的值为. 12．已知曲线C上任一点到两点、的距离之和为 . (1)求曲线C的方程； (2)若过点N作垂直于x轴的直线交曲线C于A，B两点. ①若，求动点Q的轨迹方程； ②以曲线C上D、E两点为直径端点作圆P，点P恰好在直线AB上，再过点P作DE的垂线l，则直线l 是否经过某定点，若经过，试求此定点，如不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)①；②经过定点，该定点为. 【分析】 【解析】（1）依题意，曲线C是以点、为左右焦点，长轴长为的椭圆， 所以曲线C的方方程为. （2）①直线方程为，由，得， 由，得点的轨迹是以线段为直径的圆，而为线段的中点， 所以动点Q的轨迹方程为. ②依题意，直线斜率存在且不为，设直线，， 由消去得， 则，， 由两点为直径端点作圆，圆心恰好在直线上，得中点在直线上， 则，整理得，直线方程为， 令，则，即，因此直线，即， 所以直线恒过定点. 13．椭圆的离心率是，点是椭圆上一点，过点的动直线与椭圆相交于两点. (1)求椭圆的方程； (2)当直线的斜率为1时，求的面积； (3)在平面直角坐标系中，是否存在与点不同的定点，使恒成立？存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）； （2）；（3）答案见解析. 【解析】（1）根据题意，得，解得， 椭圆C的方程为. （2）依题意，设，则直线为，即， 联立，消去，得， 所以，， 故， 又因为到直线的距离为， 所以. （3）当平行于轴时，设直线与椭圆相交于两点，如果存在点满足条件， 则有，即， 所以点在轴上，可设的坐标为； 当垂直于轴时，设直线与椭圆相交于两点，如果存在点满足条件， 则有，即， 解得或， 所以若存在不同于点的定点满足条件，则点的坐标为； 当不平行于轴且不垂直于轴时,设直线方程为， 联立，消去，得， 易得,， 又因为点关于轴的对称点的坐标为， 又，， 则， 所以，则三点共线， 所以； 综上：存在与点不同的定点，使恒成立，且. 14．已知是椭圆的右焦点，椭圆离心率，且椭圆上任意一点与点距离的最大值为3.    (1)求椭圆的方程； (2)点在椭圆上，椭圆在点处的切线交轴于点. ①求的最小值； ②设分别为椭圆的左､右顶点，不垂直轴的直线交椭圆于另一点，直线与直线交于点，问直线与直线的交点是否在一条定直线上？若是，求出该直线方程；若不是，请说明理由. 【答案】(1)； (2)①；②是，直线方程为，理由见解析 【分析】（1）由已知得到关于的方程，解得，然后求解，即可得椭圆方程； （2）①由已知可得，根据两点间距离公式可得，代入，由基本不等式即可求解；②设直线：，，与椭圆方程联立由韦达定理可得，由已知可得，的方程，联立可得，将直线的方程与直线联立即可求解. 【解析】（1）由已知，解得， 所以，所以椭圆方程为； （2）①因为切线交轴于点，所以，， 因为点在椭圆上，所以，即， 又， 因为，所以，所以， 所以， 所以， 当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为； ②由已知设直线：，， 由消元得， 则，， 所以， 因为，，所以， 因为，，所以， 所以 ， 即点，所以直线的方程为， 与直线联立，得， 因为，所以，代入上式可得 ， 即，解得， 即点在直线上. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题10 椭圆中定点定值定直线十种考法 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、椭圆中直线过定点问题 题型二、椭圆中圆过定点问题 题型三、椭圆中斜率相关的定值问题 题型四、椭圆中面积有关的定值问题 题型五、椭圆中向量有关的定值问题 题型六、椭圆中距离有关的定值问题 题型七、椭圆中线段长有关的定值问题 题型八、椭圆中角度有关的定值问题 题型九、椭圆中定直线问题 题型十、椭圆中探索性、存在性问题 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 通法通法—明晰核心解法，助力能力迁移 椭圆中定点定值定直线是高中数学核心重难点，所有题型均围绕椭圆中直线过定点问题、椭圆中圆过定点问题、椭圆中斜率相关的定值问题、椭圆中面积有关的定值问题、椭圆中向量有关的定值问题、椭圆中距离有关的定值问题、椭圆中线段长有关的定值问题、椭圆中角度有关的定值问题、椭圆中定直线、椭圆中探索性、存在性问题十大核心展开，解题贯穿三条底线原则： 一是圆锥曲线中的定点定值问题一般与圆锥曲线的基本量和题设条件中的给定的点或值有关，曲线过定点问题以直线过定点居多，定点问题其实也可以归结到定值问题(定点的横纵坐标为定值)；二是定直线问题是指因图形变化或点的移动而产生的动点在定直线上的问题.这类问题的核心在于确定定点的轨迹，三是一些探索性、存在性问题，是否存在定点使得某一个量为定值，是否存在定值使得某一量为定值，是否存在定点使得曲线过定点，是否存在定值使得曲线过定点，可以看做定点定值问题的延伸所有参数结果最终均需合规检验. 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、椭圆中直线过定点问题 典例1 已知椭圆的长轴长为，由的三个顶点构成的三角形的面积为    (1)求的方程 (2)记的右顶点和上顶点分别为，，点在线段上运动，垂直于轴的直线交于点点在第一象限，为线段的中点，设直线与的另一个交点为，证明：直线过定点． 题型模版 1.特征：一般与椭圆的基本量和题设条件中的给定的点或值有关． 2.方法：直线过定点问题 ①“特殊探路，一般证明”：先通过参数取特殊值等特殊情况推测定点坐标，再以猜想为方向，进行严谨的一般性证明，验证定点的唯一性。 ②“一般推理，特殊求解”：先设出定点坐标，结合题设选取参数并构建直线系（或曲线）方程，利用参数的任意性列出关于定点坐标的方程组，解方程组即可得到所求定点。 ③“方程形式推导法”:若需证明直线过定点，常借助直线的点斜式或斜截式等方程形式，通过推导论证直线必过该定点。 变式1-1已知椭圆的离心率是，点在上． （1）求的方程； （2）过点的直线交于两点，直线与轴的交点分别为，证明：直线过定点． 变式1-2在平面直角坐标系中，椭圆的离心率为，点在椭圆C上． （1）求椭圆C的方程； （2）设椭圆C的左、右顶点分别为A，B，点P，Q为椭圆上异于A，B的两动点，记直线的斜率为，直线的斜率为，已知．求证：直线恒过x轴上一定点. 变式1-3已知椭圆，，分别是左、右焦点，P是椭圆C上一点，的最大值为3，当P为椭圆上顶点时，为等边三角形. (1)求椭圆C的标准方程； (2)设A，B分别是椭圆C的左、右顶点，若直线l与C交于点M，N，且，证明：直线l过定点，并求出此定点. 类型二、椭圆中圆过定点问题 典例2 已知椭圆（）经过点，两点，过点的直线与C交于M，N两点，且直线，与直线分别交于点P和点Q. (1)求C的方程； (2)求的面积的最大值； (3)证明：存在定点E，使得以为直径的圆恒过点E. 题型模版 1.特征：一般与椭圆的基本量和题设条件中的给定的点或值有关 2.方法：引入参变量建立圆的方程，再根据其对参变量恒成立，令其系数等于零，得出定点． 变式2-1已知椭圆：（）的左、右焦点分别为，，离心率为，左顶点为，下顶点为，过点且垂直于轴的直线交椭圆于两点，且所得弦长为． (1)求椭圆的方程； (2)若点是椭圆上在第一象限内的一个动点，求三角形面积的最大值； (3)过且斜率不为0的直线交椭圆于，两点，线段的中点为，连接并延长交直线于点．试探究：在轴上是否存在一定点，使得以为直径的圆恒过点？若存在，求点坐标；若不存在，请说明理由． 变式2-2为椭圆上异于顶点的动点，且的离心率为，分别为的左、右焦点，为的左顶点，记. (1)求的方程； (2)求证：； (3)设点，过点作一条不与坐标轴垂直的直线，交椭圆于，两点，再过点作一条垂直于轴的直线分别交直线于点.问是否存在，使得点四点共圆（为坐标原点）？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由. 变式2-3梅纳库莫斯（前375—前325）首研圆锥曲线.约百年后，阿波罗尼斯系统研究其光学性质：由椭圆焦点发出的光线经椭圆反射后必过另一焦点.椭圆的中心在原点，法线表示与椭圆的切线垂直且过相应切点的直线，焦点，由发出的光线经椭圆反射后至的路径长为4.任取椭圆上非长轴端点，其切线为在的射影为点.    (1)求椭圆的方程； (2)已知切线与直线相交于两点，轴上是否存在定点，使得以为直径的圆过点，若存在，求出点，若不存在，请说明理由. 题型三、椭圆中斜率相关的定值问题 典例3 已知为椭圆：的右焦点，为椭圆的右顶点，为椭圆的上顶点，坐标原点到直线的距离为. (1)求的方程； (2)过的直线与椭圆交于，两点（不与椭圆的左，右顶点重合），设直线，的斜率分别为，，求证：为定值； 题型模版 1.特征：椭圆中的定值问题是指直线的斜率的大小和题目中的参数无关，不依参数的变化而变化，而始终是一个确定的。 2.方法：解题步骤：①先设出直线方程（注意斜率不存在单独验证），将其与圆锥曲线方程联立，整理为关于x或y的一元二次方程； ②利用判别式确定变量的取值范围，同时写出韦达定理的表达式； ③结合韦达定理表示出待求量，并将其转化为关于变量的函数； ④对所得函数式进行化简、消元，最终推导出定值 变式3-1在平面直角坐标系中，O为坐标原点，焦点在x轴上的椭圆C的上顶点为，线段的中垂线交C于两点，且. (1)求椭圆C的标准方程； (2)点E为椭圆C上位于直线上方（不与点重合）的动点，过点B作直线的平行线交椭圆C于点F，点M为直线与的交点，点N为直线与的交点.证明：直线与直线的斜率之积为定值； 变式3-2已知椭圆的左顶点为，上顶点为，离心率为，的面积为． (1)求椭圆的方程； (2)直线（存在且不等于0）与椭圆交于，两点，直线与轴交于点，直线与直线交于点，判断是否为定值并证明． 变式3-3已知椭圆（）的离心率为，椭圆被直线截得的线段长为． (1)求的标准方程； (2)斜率为的直线与圆相切，且该直线交椭圆于，（），是椭圆的上顶点．记直线，的斜率分别为，，求． 题型四、椭圆中面积有关的定值问题 典例4 在平面直角坐标系中，已知椭圆的左顶点为，上顶点为，右焦点为，连接并延长交椭圆于点椭圆． (1)若，，求椭圆的方程 (2)若直线与直线的斜率之比是，证明：为定值,并求出定值． 题型模版 1.特征：椭圆中的定值问题是指图形面积的大小和题目中的参数无关，不依参数的变化而变化，而始终是一个确定的. 2.方法：将问题涉及的几何式转化为代数式或三角式，证明该式的值与参数无关. 变式4-1已知椭圆的左、右焦点分别为，，直线与C交于A，B两点，当（   ）时为定值2． A． B． C． D． 变式4-2“如果两个椭圆的离心率相同，我们称这两个椭圆相似”.已知椭圆与椭圆相似，的短轴长为2，离心率为. (1)求的标准方程. (2)设为坐标原点，为上的动点，过点且斜率为的直线与相切，与交于，两点，射线交于点，证明的面积是为定值. 变式4-3已知椭圆的离心率为，左､右焦点分别是，以为圆心，6为半径的圆与以为圆心，2为半径的圆相交，且交点在椭圆上. (1)求椭圆的方程； (2)设过椭圆的右焦点的直线的斜率分别为，且，直线交椭圆于两点，直线交椭圆于两点，线段的中点分别为，直线与椭圆交于两点，是椭圆的左､右顶点，记与的面积分别为，证明：为定值. 题型五、椭圆中向量有关的定值问题 典例5 已知椭圆的离心率是，且过点． (1)求椭圆的标准方程； (2)过点的直线与交于两点． （i）若，且直线的倾斜角为，求线段的长； （ii）若直线的斜率不为，，是否存在点，使得为定值？若存在，求出 的最小值；若不存在，请说明理由． 题型模版 1.特征：椭圆中的定值问题是指向量的大小或某些代数表达式的值和题目中的参数无关，不依参数的变化而变化，而始终是一个确定的； 2.方法：求解定值问题的三个步骤 (1)由特例得出一个值，此值一般就是定值； (2)证明定值，有时可直接证明定值，有时将问题转化为代数式，可证明该代数式与参数（某些变量）无关；也可令系数等于零，得出定值； (3)得出结论。 变式5-1已知椭圆C:+y2=1的右焦点为F,过点F作直线l交C于A,B两点,试问:在x轴上是否存在一个定点M,使·为定值?若存在,求出M的坐标;若不存在,请说明理由. 变式5-2已知椭圆的左、右焦点分别为，左、右顶点分别为，，点在椭圆上，满足直线的斜率之积为，且面积的最大值为2． (1)求椭圆的方程； (2)过点的直线与椭圆交于两点，同时与直线交于点，假设，，判断是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 变式5-3已知椭圆：，离心率为，圆：． (1)求椭圆的方程； (2)如图所示，是曲线的两个公共顶点，过点作一直线与曲线交于两点（在的上方）．过作与轴平行的直线与圆在轴上方交于点． ①证明； ②若直线，交于，求证：为定值． 题型六、椭圆中距离有关的定值问题 典例6 已知椭圆：的离心率为，且与直线 有且只有一个公共点． (1)求的标准方程； (2)设一动直线不经过坐标原点，与交于，两点，且 ，证明：点到直线的距离为定值． 题型模版 1.特征：椭圆中的定值问题是指距离的大小或某些代数表达式的值和题目中的参数无关，不依参数的变化而变化，而始终是一个确定的. 2.方法：定值问题(定点的横纵坐标为定值).这类问题用函数的思想方法来处理，具体操作流程如下： (1)变量——选择合适的参变量； (2)函数——要证明为定值的量表示出参数的函数； (3)定值——化简函数解析式，消去参数得定值. 变式6-1已知椭圆的离心率为是上任意一点，为坐标原点，到轴的距离为，则（  ） A．为定值 B．为定值 C．为定值 D．为定值 变式6-2已知椭圆的离心率，且经过点，为坐标原点，斜率不为0的直线与椭圆交于两点，． (1)求椭圆的方程； (2)证明：点到直线的距离是定值； (3)求的取值范围． 变式6-3已知椭圆的左右焦点分别为，，离心率为，且，直线l过点且与C相交于A，B两点． (1)求C的方程； (2)若的面积为，求； (3)过点A作直线的垂线，垂足为P，求证：为定值． 题型七、椭圆中线段长有关的定值问题 典例7 已知，是椭圆（）的左，右焦点，焦距为2，离心率，过左焦点的直线交椭圆于两点. (1)求椭圆C的方程； (2)求证为定值. 题型模版 1.特征：椭圆中的定值问题是指线段长度的大小或某些代数表达式的值和题目中的参数无关，不依参数的变化而变化，而始终是一个确定的。 2.方法：定值问题常见的解题方法有两种： 法一、先猜后证（特例法）：从特殊入手，求出定值，再证明这个定值与变量无关； 法二、引起变量法（直接法）：直接推理、计算，并在计算推理过程中消去参数，从而得到定值。 变式7-1已知椭圆过点，焦距是短半轴长的倍，点是椭圆上的三个不同点，线段交轴于点异于坐标原点，且总有的面积与的面积相等，直线分别交轴于点两点，则的值为____________. 变式7-2已知椭圆：（）的离心率为，且过点． (1)求椭圆的方程和焦距； (2)过点的直线与椭圆交于两点，关于轴对称点为，直线，和轴的交点分别为，，求． 变式7-3已知椭圆的短半轴长为2，以椭圆长轴和短轴四个端点为顶点的四边形面积为． (1)求椭圆的标准方程． (2)若斜率为，且经过轴上一点的直线与椭圆交于，两点，探究：是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 题型八、椭圆中角度有关的定值问题 典例8已知椭圆的焦距为2，且点在椭圆上. (1)求椭圆的标准方程； (2)若直线与椭圆交于两点，且坐标原点到直线的距离为，则的大小是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由. (3)在（2）的条件下，试求三角形的面积的取值范围. 题型模版 1.特征：椭圆中的定值问题是指角度的大小或某些代数表达式的值和题目中的参数无关，不依参数的变化而变化，而始终是一个确定的。 2.方法：直接法解题步骤 第一步设变量：选择适当的量当变量，一般情况先设出直线的方程：或、点的坐标； 第二步表示函数：要把证明为定值的量表示成上述变量的函数，一般情况通过题干所给的已知条件，进行正确的运算，将需要用到的所有中间结果（如弦长、距离等）用引入的变量表示出来； 第三步定值：将中间结果带入目标量，通过计算化简得出目标量与引入的变量无关，是一个常数。 变式8-1已知椭圆，直线不经过点，且斜率为.若与交于两个不同点且直线的倾斜角分别为，则（  ） A．1 B． C． D． 变式8-2定义若椭圆（）的两个焦点和两个顶点四点共圆，则称该椭圆为“完美曲线”．已知：（）为“完美曲线”，且和：，：均相切． (1)求的表达式和离心率 (2)已知动点在的第一象限上运动，和相切，和交于，和交于．设右焦点为，证明是定值，并求其正切值． 变式8-3已知 是椭圆 上一个动点， 是椭圆的左焦点，若 的最大值和最小值分别为 和 . (1)求椭圆 的标准方程； (2) 是 轴正半轴上的一点，求 的最大值. (3)若动直线 与 交于点 ，点 是 轴正半轴上异于点(1，0)的一定点， 若直线 的倾斜角分别为 ，且存在实数 使得 恒成立，求点 的坐标及 的值. 题型九、椭圆中定直线问题 典例9 已知椭圆的离心率为，右焦点，且，直线交椭圆于，两点，交轴于点． (1)求椭圆的标准方程； (2)若直线过右焦点，设，，求的值； (3)若已知，椭圆上下顶点分别为C，D，直线交直线于点，证明：点在定直线上． 题型模版 1.特征：定直线问题是指因图形变化或点的移动而产生的动点在定直线上的问题.这类问题的核心在于确定定点的轨迹。 2.方法：主要方法有： (1)设点法：设点的轨迹，通过已知点轨迹，消去参数，从而得到轨迹方程； (2)待定系数法：设出含参数的直线方程、待定系数法求解出系数； (3)验证法：通过特殊点位置求出直线方程，对一般位置再进行验证。 变式9-1已知椭圆C：的下顶点为A，斜率不为0的直线与C交于B，D两点，记线段的中点为E，若，则（  ） A．点E在定直线上 B．点E在定直线上 C．点E在定直线上 D．点E在定直线上 变式9-2已知椭圆的离心率为，点在椭圆C上． (1)求椭圆C的标准方程； (2)过点的直线（非y轴）交椭圆于A，B两点，过点A作y轴的垂线与直线BP相交于点D，求证：线段AD的中点在定直线上． 变式9-3已知椭圆：的左、右焦点分别为，，上顶点为，是边长为2的等边三角形. (1)求椭圆的标准方程； (2)过点的直线与椭圆交于，两点，点是线段上一点，且满足.求证：点在一条定直线上. 题型十、椭圆中探索性、存在性问题 典例10 已知椭圆的中心为坐标原点，对称轴为轴､轴，且点和点在椭圆上 (1)求椭圆的方程； (2)直线与椭圆交于两点，若，是否存在定点，使得直线的倾斜角互补？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 题型模版 1.特征：一些探索性、存在性问题，是否存在定点使得某一个量为定值，是否存在定值使得某一量为定值，是否存在定点使得曲线过定点，是否存在定值使得曲线过定点，可以看做定点定值问题的延伸。 2.方法：（1）解决存在性问题通常采用“肯定顺推法”，将不确定性问题明朗化.一般步骤如下： ①假设满足条件的曲线（直线或点等）存在，用待定系数法设出； ②列出关于待定系数的方程（组）； ③若方程（组）有实数解，则曲线（直线或点等）存在，否则不存在. （2）反证法与验证法也是求解存在性问题常用的方法。 （3）求解含参数的存在性问题时，通常的方法是首先假设满足条件的参数值存在，然后利用这些条件并结合题目的其他已知条件进行推理与计算，若不出现矛盾，并且得到了相应的参数值，就说明满足条件的参数值存在；若在推理与计算中出现了矛盾，则说明满足条件的参数值不存在，同时推理与计算的过程就是说明理由的过程 变式10-1已知分别为椭圆的左、右顶点，，均为椭圆上异于顶点的点，为椭圆上的点，直线经过左焦点，直线经过右焦点. (1)求椭圆的标准方程； (2)试问是否为定值？若是定值，求出该定值；若不是，请说明理由. 变式10-2已知椭圆的左右顶点分别为A、B，椭圆的离心率为，短轴长为． （1）求椭圆C的方程； （2）若过点的直线l与椭圆交于M，N两点，且点M在第一象限，判断是否存在常数，使得恒成立；若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 变式10-3平面直角坐标系中，圆A的方程为，点B的坐标为，点P是圆上任意一点，线段的垂直平分线交半径于点Q，当点P在圆上运动时，点Q的轨迹为曲线E． (1)求点Q的轨迹E的方程； (2)过点A作一条直线与点Q的轨迹E相交于M，N两点，满足，点H满足，问：点H是否在一条定直线上，若是，求出这条直线方程，若不是，请说明理由． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．已知椭圆E：经过点，右焦点为，A，B分别为椭圆E的上顶点和下顶点,若过且斜率存在的直线l与椭圆E交于C、D两点，直线BD与直线AC的斜率分别为k1和k2，则的值为（  ） A．1 B．3 C．2 D． 2．如图，已知椭圆的上顶点为，离心率为，若过点作圆的两条切线分别与椭圆相交于点 (不同于点).直线过定点（  ） A． B． C． D． 3．已知椭圆的离心率为是上任意一点，为坐标原点，到轴的距离为，则（  ） A．为定值 B．为定值 C．为定值 D．为定值 4．在平面直角坐标系xOy中，如图，已知椭圆的左、右顶点为A、B，右焦点为F.设过点的直线TA、TB与此椭圆分别交于点M（x1，y1）、N（x2，y2），其中.则直线MN必过一定点的坐标为（  ）    A． B． C． D．   5．（多选）已知椭圆的左、右焦点分别为，，直线与C交于A，B两点，其中O为坐标原点，则（  ） A．C的离心率为 B．的周长为 C．面积的最大值为 D．若，则点Q在定直线上 6．（多选）已知椭圆：，，分别为它的左右焦点，，分别为它的左右顶点，已知定点，点是椭圆上的一个动点，下列结论中正确的有（  ） A．存在点，使得 B．直线与直线斜率乘积为定值 C．有最小值 D．的范围为 7.已知椭圆的短轴长为2，点在上，设是上不同于短轴端点（点在点上方）的两点，直线与直线的斜率分别为，且满足，则直线过定点_____________. 8．已知椭圆的上、下顶点分别是，，点（异于，两点）在椭圆上，直线与的斜率之积为，椭圆的短轴长为,则的标准方程为_______________；已知，直线与椭圆的另一个交点为，且直线与相交于点，则点在定直线_______上． 9．已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且过两点,设过点的直线交E于M，N两点，过M且平行于x轴的直线与线段AB交于点T，点H满足,则直线HN过定点____________． 10．已知椭圆：与直线相切于点. (1)求椭圆的方程； (2)设，为椭圆上异于点的点，直线，与轴分别交于点，，若，证明：直线恒过定点. 11．已知椭圆（）的离心率为，椭圆被直线截得的线段长为． (1)求的标准方程； (2)斜率为的直线与圆相切，且该直线交椭圆于，（），是椭圆的上顶点．记直线，的斜率分别为，，证明：为定值． 12．已知曲线C上任一点到两点、的距离之和为 . (1)求曲线C的方程； (2)若过点N作垂直于x轴的直线交曲线C于A，B两点. ①若，求动点Q的轨迹方程； ②以曲线C上D、E两点为直径端点作圆P，点P恰好在直线AB上，再过点P作DE的垂线l，则直线l 是否经过某定点，若经过，试求此定点，如不存在，请说明理由. 13．椭圆的离心率是，点是椭圆上一点，过点的动直线与椭圆相交于两点. (1)求椭圆的方程； (2)当直线的斜率为1时，求的面积； (3)在平面直角坐标系中，是否存在与点不同的定点，使恒成立？存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 14．已知是椭圆的右焦点，椭圆离心率，且椭圆上任意一点与点距离的最大值为3.    (1)求椭圆的方程； (2)点在椭圆上，椭圆在点处的切线交轴于点. ①求的最小值； ②设分别为椭圆的左､右顶点，不垂直轴的直线交椭圆于另一点，直线与直线交于点，问直线与直线的交点是否在一条定直线上？若是，求出该直线方程；若不是，请说明理由. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $