第13章 三角形中的边角关系、命题与证明 学业质量自我评价-【学海风暴】2026-2027学年八年级上册数学同步备课（沪科版·新教材）

八年级数学HK版上册安徽 第13章 学业质量自我评价 (考试时间：90分钟满分：100分) 班级： 姓名： 得分： 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 1.下列命题中，是真命题的是 A.相等的角是对顶角 B.如果两个数是奇数，那么它们的和是奇数 C.三角形内角和等于180 D.如果a>b,那么a2>b 2.已知△ABC的两条边长分别为7和11，则第三条边长可能的值为 A.3 B.4 C.6 D.18 3.(2025一2026滁州期中)在△ABC中，∠A:∠B:∠C=2:3:5,则△ABC的 形状是 () A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.无法确定 4.(2025一2026六安金安区期中)将一副三角板按照如图方式摆放，点B,C,D共 线，∠CDF=18°，则∠CFD的度数为 () A.29 B.27 C.37 D.30° A a E .BA 560( D E B 450 B C D B C 第4题图 第5题图 第6题图 5.如图，已知在△ABC中，∠B=∠C,点D在BC边上，点E在AB边上，连接 DE,且∠ADE=∠AED.设∠CAD=x°，∠BDE=y°，则2y-x+3的值为 () A.0 B.1 C.2 D.3 6.如图，将一张三角形纸片ABC的一角折叠，使点A落在△ABC外的A'处，折痕 为DE.如果∠A=a,∠CEA'=B,∠BDA'=Y,那么下列式子中，正确的是() A.y=180°-a-3 B.Y=a+23 C.Y=2a+B D.Y=a+8 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分） 7.(2025一2026合肥包河区期中）命题“若a-b>0,则a>b”的逆命题 为 8.在△ABC中，∠C=40°，且∠B:∠A=4:3,则∠B的度数为 9.若一个三角形三边长分别为2，m和8，则m的取值范围 10.如图，在△ABC中，BD是AC边的中线，E是BD的中点，连接AE,CE.若 △ABC的面积为18cm,则阴影部分的面积为 cm. 133 A E B 第10题图 第11题图 11.如图，在△ABC中(AB>BC),AB=2AC,AC边上的中线BD把△ABC的周 长分成30和20两部分，则BC的长为 12.(2025一2026巢湖检测)一个三角形的两个锐角分别为∠a与∠B.如果2∠a一 ∠3=90°，那么我们称这个三角形是“差余三角形”，∠a叫作三角形的“差 余角” (1)若一个三角形的三个内角分别为20°，55°和105°，则这个三角形 (填“是”或“不是”)“差余三角形”. (2)在Rt△ABC中，∠B=90°，∠C=28°，D是边BC上一点.若△ACD是“差 余三角形”，则∠ADC的度数是」 三、（本大题共3小题，每小题6分，满分18分） 13.如下图，在△ACD中，B是DC边上一点，2∠1=∠2，∠3=4∠4，∠DAC= 110°.求∠1和∠DAB的度数. C 34D 14.命题：互补的两个角一定是一个锐角，一个钝角. (1)将该命题改写成“如果…那么…”的形式。 (2)该命题是真命题还是假命题？如果是假命题，请举一个反例. 15.已知△ABC的三边长为a,b,c,且a,b,c均为整数. (1)若a=3,b=4,求边长c的取值范围. (2)在(1)的条件下，若c为奇数，求△ABC的周长. 四、（本大题共3小题，每小题7分，满分21分） 16.如下图，点F,D在△ABC的边BC上，点E,G分别在边AB,AC上.请你从三 个选项①∠1+∠2=180°，②∠DGC=∠BAC,③EF∥AD中任选出两个作为 条件，另一个作为结论，组成一个真命题，并加以证明 1141414 134 17.如下图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，AE是BC边上的高. (1)若∠ACB=100°，求∠CAE的度数. (2)若S△Ac=12,CD=4,求高AE. 18.如下图，直线AB,CD被BC所截，连接AC,BD交于点E,∠A=25°，∠BCD =50°，CA平分∠BCD. (1)若∠ABD=70°，求∠D的度数. (2)点F在AB上，连接EF.若∠AFE+∠BCD=180°，证明：∠A=∠AEF. 135 五、（本题满分9分） 19.如图，在△ABC中，BE和CD分别是∠ABC和∠ACB的平分线，BE与CD 交于点O D FHG 图① 图② 图③ (1)如图①，若∠ABC=40°，∠ACB=60°，求∠A和∠BEC的度数. (2)连接AO并延长交BC于点F,则AF是∠BAC的平分线.过点A作AG⊥ BC于点G,已知∠ABC=a,∠ACB=B(B>a)(用含a,B的代数式表示下列角 度数)： ①如图②，求∠CAG和∠CAF的度数； ②如图③，过点O作OH⊥BC于点H.求∠FOH的度数. 六、（本题满分10分） 20.(2025一2026合肥期中)在∠MAN中，点B,C分别是AM,AN上一点， ∠ABC,∠ACB的平分线交于点P. (1)如图①，若∠MAN=90°，求∠P的度数. 1 (2)如图②，若∠A=2∠P,求∠A的度数 (3)如图③，若∠CBM和∠BCN的平分线交于点Q,请直接写出∠P和∠Q 之间的数量关系. M C N 图① 图② 图③ 1141419 13616.解：(1)y=2x(2)x>-2 (3)因为直线1交x轴于点A,交y轴于点B, 所以A(-2,0),B(0,4), 所以OA=2,OB=4. 设点P的坐标为（x,2x十4).因为S三角形oaP =2S三角形OBP, 所以0A·2x+41=2×0B.11,即12x+4 =4|x1, 解得x=一 或2所以点P的坐标为(-号，号)或 2 (2,8). 17.解：(1)(-3,0)4 (2)设点A的坐标为(a,0),则AB=a一(-3)=a +3. 因为S5=12,所以2AB·e=12, 所以号(a+3)×4=12.解得a=3,所以A(3,0. 设直线l2的表达式为y=k.x十b(k≠0)， 则。。年孙合6 k=一2， 所以直线l2的表达式为y=一2x十6. 18.解：(1)0-202 (2)函数y1,y2的图象如图所示. y=2x-4l-2 456 (3)①-2 ②1≤x≤5 19.解：(1)由题意可得32.x+24(100-x)≤3000， 解得x≤75， 所以60≤x≤75，且x为整数， 依题意，得y=(35-32)x十(30-24)(100-x)= -3x+600 故y与x之间的函数关系式为y=一3.x+600(60≤x ≤75，且x为整数). (2)因为y=-3x+600,-3<0, 所以y随x的增大而减小. 又因为60≤x≤75， 所以当x=60时，y最大，最大值为一3×60十600 =420. 故当购进早春红玉60箱时，商家获利最大，最大利润 为420元. (3)依题意，得y=(35一32)x十(30一m-24)(100 x)=(m-3)x+600-100m. 当m>3时，m-3>0, 所以y随x的增大而增大， 50 八年级数学HK版 所以当x=75时，y最大. 当m<3时，m-3<0, 所以y随x的增大而减小， 所以当x=60时，y最大. 当m=3时，y=300,不随x的变化而变化. 综上所述，当m>3时，购进早春红玉75箱，特小凤 25箱：当m<3时，购进早春红玉60箱，特小凤40 箱：当m=3时，最大利润相同. 20.解：(1)甲商店：y=4x. 乙商店：当0<x≤3时，y=5.x 当x>3时，设y与x的关系式为y=kx十b. 将(5,22)，(7,29)代入， 得路十动保号合 1b=4.5, (5x(0<x≤3)， 所以乙商店：y={3.5x+4.5(x>3). (2)因为x>0,所以4x<5x, 所以当0<x≤3时，选择甲商店合算； 由4x<3.5x+4.5,解得x<9, 所以当3<x<9时，选择甲商店合算： 由4x=3.5.x+4.5,解得x=9, 所以当x=9时，两个商店的付款金额相同； 由4x>3.5x十4.5，解得x>9, 所以当x>9时，选择乙商店合算。 综上，当0<x<9时，选择甲商店合算；当x=9时， 两个商店的付款金额相同：当x>9时，选择乙商店 合算. 第13章学业质量自我评价 1.C2.C3.B4.B 5.D【解析】设∠BAD=a.:∠B=∠C,∠ADE= ∠AED,∠CAD=x°，.∠AED=∠ADE=180°-& 2 ∠B=∠C=180°-，a-x.:∠AED=∠B+∠BDE. 2 ∠BDE=y,180°-&=180°-a-x 2 +y°，x= 2y,.2y-x+3=3. 6.C【解析】如图，设AC交DA'于点F 由折叠的性质，得∠A=∠A' :∠BDA'=∠A+∠AFD,∠AFD= E ∠A'+∠CEA',∠A=a,∠CEA'=B,DEFN ∠BDA'=Y, ∴.∠BDA'=Y=a+a十B=2a十B. B 7.若a>b,则a-b>08.80°9.6<m<10 10.9【解析】，BD是AC边的中线，∴.AD=CD, 1 SAADE-SACDE SAAMD=SAANC ∴.S用影=SAABE十S△ADE=S△ABD· 又，S△Ac=18cm2, 1 SAAM-X18-9(cm),..Sm=9 cm'. 1.14【解析I:BD为中线CD=AD=2AC. :AB=2AC,∴.AB=4AD.:中线BD把△ABC的 周长分成30和20两部分，且AB>BC,∴.AB十AD =30,BC+CD=20,.5AD=30,.AD=6,.CD= AD=6,.BC=20-CD=14. 12.(1)是(2)93°【解析】(1)2×55°-20°=110° 20°=90°，∴这个三角形是“差余三角形”. (2)如图.：∠ADC>∠B=90°， A .在△ACD中，∠C和∠DAC 是锐角.∠C=28°，∴.2∠C= 56°<90°.△ACD是“差余三B D 角形”， .2∠DAC-∠C=90°，即2∠DAC-28°=90°， .∠DAC=59°，∴.∠ADC=180°-∠DAC-∠C= 180°-59°-28°=93°. 13.解：根据题意，得∠3=∠2+∠1. 2∠1=∠2，∠3=4∠4， ∴.4∠4=3∠1， ∴24-4. ∠DAC=110°，∴∠4+∠1=70°， ∴.∠1=40°， .∠2=2∠1=80°， ∴.∠DAB=∠DAC-∠2=30° 14.解：(1)如果两个角互补，那么这两个角一个是锐角， 一个是钝角. (2)该命题是假命题，反例为两个直角相加也为180°. 15.解：(1)由题意得b-a<c<b+a,即4-3<c<4+3, 解得1<c<7. (2)在(1)的条件下，c为奇数， ∴.c=3或5. 当c=3时，△ABC的周长=a+b+c=3十4十3 =10； 当c=5时，△ABC的周长=a+b+c=3+4十5 =12. 综上所述，△ABC的周长为10或12. 16.解：示例：条件是①∠1+∠2=180°和②∠DGC= ∠BAC,结论是③EF∥AD. 证明：，∠DGC=∠BAC,∴DG∥AB, ∴.∠BAD=∠1. ∠1+∠2=180°， .∠2+∠BAD=180°，.EF∥AD. 17.解：(1)：AE是BC边上的高， ∴.∠E=90. 又：∠ACB=100°，∠ACB=∠E+∠CAE, ∴.∠CAE=100°-90°=10°. (2)AD是BC边上的中线，CD=4, .BC=2CD=8. AE是BC边上的高，S△AB=12, ÷7BC.AE=12,即2×8AE=12 解得AE=3. 18.解：(1)CA平分∠BCD,∠BCD=50°， 1 ·∠BCA=2∠BCD=25, :∠A=25, .∠ABC=180°-∠A-∠BCA=130°. :∠ABD=70°， ∴.∠DBC=∠ABC-∠ABD=130°-70°=60° .∠BCD=50°， .∠D=180°-∠DBC-∠BCD=180°-60°-50 =70°. (2)证明：，∠AFE+∠BCD=180°，∠BCD=50°， .∠AFE=130°， ∠AEF=180°-∠AFE-∠A=180°-130°-25° =25°， ∠A=∠AEF 19.解：(1)根据三角形内角和定理，得∠A=180°一 ∠ABC-∠ACB=180°-40°-60°=80. :BE是∠ABC的平分线， 六∠CBE=2∠ABC=20, .∠BEC=180°-∠CBE-∠BCE=180°-20°-60 =100°. (2)①：AG⊥BC于点G, .∠AGC=90°， ∴.∠CAG=180°-∠AGC-∠ACG=180°-90°-B =90°-3. ,∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB=180°-a-B, AF是∠BAC的平分线， ∠CAF=号∠BAc=71s0-a-Bm=90-20 1 -2B ②由①可知，∠FAG=∠CAF-∠CAG=(90°-2a -2)-(90-)=29-7. 1 1 OH⊥BC,AG⊥BC, .OH∥AG, 1 ∠FOH=∠FAG=2B-2a 20.解：(1)∠MAN=90°， .∠ABC+∠ACB=90. :∠ABC和∠ACB的平分线交于点P, ∠CBP-∠ABC,∠BCP=∠ACB. ∴.∠P=180°-（∠CBP+∠BCP) =180°- 2(∠ABC+∠ACB) =135°. (2),∠ABC和∠ACB的平分线交于点P, ∠CBP-∠ABC,∠BCP=∠ACB. ∴.∠P=180°-（∠CBP+∠BCP) 上册详解详析 51 =180°-1 (∠ABC+∠ACB) =180°- 180-∠) -0+方A ∠A-}∠P. i∠p-90+号x2∠p, .∠P=120°， ∠A=3∠P=60 (3)∠P+∠Q=180°. 【解析】(3)：∠ABC和∠ACB的平分线交于点P, ∠CBP-7∠ABC,∠BCP-g∠ACB, :∠CBM和∠BCN的平分线交于点Q, ∠CQ-∠CBM,∠BcQ-S∠CN. ,∠ABC+∠CBM=∠ACB+∠BCN=180°， .∠PBQ=∠PBC+∠CBQ=90°.同理可得∠PCQ =90°， ∴∠P+∠Q=360°-90°×2=180°. 期中学业质量自我评价 1.D2.A3.A4.D5.D6.B7.B 8.C【解析】，AD,CE是△ABC的中线，△ABC的面 积是12Sm=Sm=S2m=号×12=6，ED 1 1 是△EBC的中线.S△x=2S△=2X6=3. 9.D【解折】当缸=（使-3》十长时，解得r=合直 线y=红和1：y=(k-3)x十长的交点为（会， 气)直线y=:和1：y=一3》x十长的交点 在x轴的上方.故选项A,C不合题意.B:由正比例函 数的图象可知，k<0.由一次函数的图象可知，0<k< 3.故选项B不合题意.D:由正比例函数的图象可知，k >0.由一次函数的图象可知，0<k<3.两直线的交点 在第一象限.故选项D符合题意. 10.B【解析】由题意可知，点P在AD段时面积为0；在 DC段时面积y由0逐渐增大到8；在CB段因为底和 高不变，所以面积y不变；在BA段时面积y逐渐减 小为0.故只有B选项符合题意. 11.x≥-2且x≠012.x>2 13.25°【解析】：△ABC沿EF翻折，.∠BEF ∠B'EF,∠CFE=∠C'FE,∴.180°-∠AEF=∠1+ ∠AEF,180°-∠AFE=∠2+∠AFE. :∠1=95∠AEF=号×180-95=42.5 ∠A+∠AEF+∠AFE=180°，∴.∠AFE=180° 52 八年级数学HK版 60°-42.5°=77.5°，∴.180°-77.5°=∠2+77.5°，獬 得∠2=25. 14.(11(2)2<k<2【解析】1)当x=1时，y= max{1,1}=1. (2)对于直线y=kx十3k一1，当x=一3时，y=一3k +3k一1=一1，∴.直线y=kx+3k-1过定点(-3， -1).当x<1时，y=max{2x-1,-x+2}=-x+ 2;当x≥1时，y=max{2x-1,-x+2}=2x-1, 如图. 1上 -5-4-3.2-1012 -2 -3 -4 -5h 当直线y=kx+3k-1经过点(1,1)时，k=2,此时 只有一个交点.当y=kx十3k一1与直线y=2x一1 1 平行时，k=2,此时只有一个交点…当2<k<2时， 直线y=k.x+3k-1与函数y=max{2x-1,-x十 2}的图象有两个交点. 15.解：(1)0 (2)由题意可知，点P到x轴的距离为3x,到y轴的 距离为2x一1. 点P到两坐标轴的距离之和为9， ∴.3x+2x-1=9, 解得x=2,则1一2x=一3,3x=6, 点P的坐标为(-3,6). 16.解：(1)平移后的△A'BC'如图所示.A'(一3,1)， B'(2,4),C(-1,5). --42才234 (2)△AB'C的面积=4X5-2X5X3- 1 2×1X3 1 -2×2X4=7. 17.解：(1)把点A和点B的坐标代入一次函数y=kx+ b,得