专题03 二次函数中的特殊四边形存在性问题的四种模型（高效培优专项训练）数学新教材湘教版九年级上册

可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题03二次函数中的特殊四边形存在性问题的四种模型 题型归纳 题型一二次函数中的平行四边形存在性问题 题型二二次函数中的矩形存在性问题 题型三二次函数中的菱形存在性问题 题型四二次函数中的正方形存在性问题 题型专练 题型一：二次函数中的平行四边形存在性问题 1. (25-26九年级下辽宁大连期末)如图，抛物线y=m+2mr+c(a>0)与y轴交于点C,与x轴交于A, B两点，A点在B点的左侧.若点E在x轴上，点P在抛物线上，且以A,C,E,P为顶点的四边形是 平行四边形，则符合条件的点P有() A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 级上天津阶段检测如图，在平面直角坐标系中，抛物线y产+2 A,直线AB与抛物线在第一象限交于点B(2,6),若以A,O,B,N为顶点的四边形是平行四边形，则点N 的坐标是 3.(25-26九年级上·安徽安庆·阶段检测)己知抛物线y=2+bx+3的图象与x轴相交于点A和点B(,0), 1/11 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 与y轴交于点C,连接AC,有一动点D在线段AC上运动，过点D作x轴的垂线，交抛物线于点E,交x 轴于点F,AB=4,设点D的横坐标为m 备用图 (I)连接AE,CE则△ACE的最大面积为 (2)当m=-2时，在平面内存在点M,使以B,C,D,M为顶点的四边形为平行四边形，请写出点M的坐 标 年(2324九年级上山东泰安阶段检)如阁，一衣层故，=以+：+3的图象过（贸）。 且与，轴 交于A,B(2,0)两点，与y轴交于点C. B (1)求这个二次函数的解析式及点A坐标： (2)抛物线上是否存在点P,且满足AB平分∠CAP,若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由： (③)点N为x轴上一动点，在抛物线上是否存在点M,使以B,C,M,N为顶点的四边形是平行四边形？若存 在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由 5.(2026山东东营·三模)如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=-x2+bx-C的图象与x轴交于点 A(-3,0)和点B(1,0),与y轴交于点C. M D B (1)求这个二次函数的表达式： 2/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (②)二次函数图象的对称轴与直线AC:y=x+3交于点D,若点M是直线AC上方抛物线上的一个动点，求 △MCD面积的最大值； (3)点P、点分别是对称轴、二次函数图象上的动点，是否存在以P、Q、A、B四点为顶点的平行四边 形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由 （2026山东济南=模)三次函数y=+加+c的图象经过点4B0:点B0引 图1 图2 (1)求二次函数的表达式和顶点C的坐标： (②过点D0,-到作x轴的平行线，与=次西数=+c+e的图象在第四象限内交于点：动点E从 点A开始沿线段AB向点B运动，速度为每秒V5个单位长度；动点F从点D开始沿线段DH向点H运动， 速度为每秒1个单位长度.已知E,F两动点同时运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止 运动，设点E的运动时间为秒 ①如图1，作直线EF,当直线EF与x轴垂直时，判断直线EF是否经过点C,并说明理由； ②如图2，连接EF,点G是EF的中点，点M是抛物线上一动点，当四边形ACMG是平行四边形时，求t 的值. 题型二：二次函数中的矩形存在性问题 7.(25-26九年级上江苏盐城期末)在平面直角坐标系x0少中，一个图形上的点都在一边平行于x轴的 矩形内部（包括边界），这些矩形中面积最小的矩形称为该图形的“相关矩形”·例如：如图，函数 y=(x-22（0≤x≤3)的图象，它的“相关矩形”为矩形0ABC,若二次函数y=- x2+bx+c( 3 0≤x≤3)图象的“相关矩形”恰好也是矩形OABC,则b= 3/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B 8.(23-24九年级下吉林阶段检测)如图，抛物线y=r+bx+c(a≠0)的顶点在线段AB上移动，与x 轴交于C、D两点，若A(-2,-3)B(4,-3),当四边形ABDC是矩形时，此时抛物线的解析式是 B 9.(2023宁夏银川模拟预测)如图，抛物线的顶点坐标是A(2,-2),且经过原点O(0,0),并与x轴相交 于另一点B,连接OA、AB B (1)求抛物线的解析式与B点的坐标： (2)若点P是抛物线上的一个动点，当P运动到何处时，△OPA是以OA为直角边的直角三角形？ (3)在线段OB上有两动点C、D,且点C在点D的左边，在OA上有一点M,线段AB上有一点N,并且 四边形CMND是矩形，问当C点位于何处时，四边形CMND的面积最大，最大面积是多少？ 10.(2026辽宁丹东·一模)在平面直角坐标系中，抛物线y=-x2+br+3(b为常数)与x轴交于点A和 点B(3,O),与y轴交于点C.点M,N在该抛物线上，设点M的横坐标为t,点N的横坐标为+1. 4/11 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B 备用图 (1)求b的值及点A的坐标； (2)当MN=V5时，求t的值： (3)过点M作y轴的垂线，过点N作x轴的垂线，两条垂线交于点E,以ME,NE为边构造矩形MENF, 若矩形MENF的边（不含矩形的顶点）与抛物线有交点时，交点记为G，当△GMN与矩形MENF的面积 之比为：4时，求出此时t的值： (④)点D是点C关于抛物线对称轴的对称点，将抛物线上M,D两点之间的部分（含M，D两点）记为图 象w点PQ:+引)为y转上一动点，过点p作)抽的重线，当直线，与图象即只有一个公共点时，请直 接写出t的取值范围， 11. (2026辽宁抚顺一模)在平面直角坐标系中，抛物线y=x+br+C(b,c为常数)与x轴交于点 (2,0)和(4,0) (1)求该抛物线的函数表达式 (2)若点A在该抛物线上，过点A作平行于x轴的直线交该抛物线于另一点B,点A在点B的左侧.当 AB=8时，求点A的坐标 (3)将抛物线y=x2+bx+c先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度得到新的抛物线y,在y上 有一点P,其横坐标为m,点Q的坐标为(m-4,-2m+),以P9为对角线构造矩形PMQN,且矩形的边 所在直线垂直于坐标轴. ①当抛物线'在矩形PMQN内部（包括边界）的最高点与最低点的纵坐标的差为3时，求m的值： ②当抛物线y与矩形PMQN的边有四个公共点时，直接写出m的取值范围. 12.(2024海南海口模拟预测)如图，在平面直角坐标系中，y=2+bx+3与x轴交于点 A(-1,0),B(4,0)两点，与y轴交于C点，连接直线BC. 5/11 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B 图1 图2 备用图 (1)求抛物线的函数关系式： (2)点P是位于直线BC上方抛物线上的一个动点， ①如图1所示，过点C作CD平行于x轴与抛物线另一个交点为D,当P点位于CD上方时，过点P作与y 27 轴平行的直线交BC于点H,连接线段CP、PDDH·当四边形CPDH的面积等于8时，求p点坐标： PE 4 ②如图2所示，连接AP与直线BC交于点E'当AE5时，求tan∠PAB的值： (3)M是抛物线上一个动点，在平面内是否存在N,使得M、N、C、B为顶点的四边形是矩形.若存在， 直接写出M点坐标，若不存在，请说明理由。 题型三：二次函数中的菱形存在性问题 13.(2024湖南衡阳模拟预测)二次函数y=4√3x2的图象如图所示，点O为坐标原点，点A在y轴的正 半轴上，点B,C在函数图象上，四边形OBAC为菱形，且∠AB0=120°，则点C的坐标为() D.（-1,5 14.(24-25九年级上·浙江温州阶段检测)如图，抛物线=一x2+4x+c交y轴正半轴于点A,过点A作 ACx轴交抛物线于另一点C,点B在x轴上，点D在AC上方的抛物线上.当四边形ABCD是菱形时，则 c的值为 6/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 15.(2024江苏镇江·一模)如图，抛物线y=- ++e经过点4B0,B02.Mm0为x轴上一动 点，过点M且垂直于x轴的直线与直线AB及抛物线分别交于点P,N N 备用图 (1)求抛物线的函数表达式. (2)若点M在线段OA上且位于抛物线对称轴左侧，当m为何值时，△ABN的面积为4？ (3)在(2)的条件下，若点C为直线AB上一点，点D为平面直角坐标系内一点，是否存在这样的点C和点 D,使得以点A,C,D,M为顶点的四边形是菱形？若存在，写出点D的坐标；若不存在，请说明理由。 16.(2024广东湛江模拟预测)综合应用 如图，四边形ABCD中，AD∥BC,∠ADC=90,AD=8,DC=6,BC=12,连接AC,点以每秒2个单 位长度从A点向终点C运动，同时点P以每秒5个单位长度从C点沿射线CB运动，点P是点P关于直线 AC的对称点，连接P.OP.CP',当点Q到达终点C时，QP两点同时停止运动，运动时间记为1秒. D D B B 备用图 (I)当P∥AB时，求t的值： 7/11 面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)连接PP',当四边形QPCP是菱形时，求PP'的长： (3)①填空：sin/DCP'=_-: ②连接DQ,DP',若aDQP的面积记为S,请直接写出S与t的函数关系式. 17.(2026九年级下·海南海口·专题练习)如图，在平面直角坐标系x0y中，已知抛物线y=x2+bx+3经 过点A(3,0),与y轴交于点B,且关于直线x=1对称. 备用图 (1)求该抛物线的解析式： (②)当-1≤x≤1时，y的取值范围是0≤y≤21-1，求t的值； (3)点C是抛物线上位于第一象限的一个动点，过点C作x轴的垂线交直线AB于点D, ①求线段CD的最大值， ②在y轴上是否存在点E,使得以B,C,D,E为顶点的四边形是菱形？若存在，求出该菱形的边长；若 不存在，说明理由 18.(24-25九年级下重庆江北期中)如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+C与x轴交于 AB两点，己知A点坐标为（一2,0），顶点C的坐标为(2,8)，拋抛物线的对称轴与x轴的交点为D. PA B 图1 图2 图3 (1)求抛物线的解析式： (2)如图2，一条长度为2的线段EF在线段DB上平移，过点E作EE'⊥x轴，交抛物线于点E,交直线 BC于点M,过点F作FF'⊥x轴，交抛物线于点F',交直线BC于点N.请求出ME+NF'的最大值以及 此时点F的坐标： 8/11 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (3)如图3，将抛物线y=心+br+c沿x轴正方向平移得到新抛物线y,当新抛物线y'经过点D时，记y与 y的交点为G.点K为原抛物线y=r+bx+C对称轴上一点，点为平面内一点.若以AGQ为 顶点的四边形是菱形且AG为菱形的边，请直接写出点Q的坐标并选择其中一个坐标写出求解过程. 题型四：二次函数中的正方形存在性问题 19. (25-26九年级上全国期末)如图，正方形0ABC的边0C在x轴上，B(2,-2),定义：若某个抛物 线上存在一点P,使得点P到正方形OABC四个顶点的距离相等，则称这个抛物线为正方形OABC的“友 好抛物线”.若抛物线y=x2-2mx-m2+1是正方形OABC的“友好抛物线”，则m的值为. 20.(2024陕西汉中·二模)如图，抛物线y=-2x2+br+C与x轴交于A(-1,0)、B(2,0)两点. (1)求抛物线的函数表达式： (2)点N在坐标平面内，请问在抛物线上是否存在点M,过点M作x轴的垂线交x轴于点H,使得四边形 AHMN是正方形？若存在，求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由. 21.(24-25九年级下·山东菏泽·期中)如图，在平面直角坐标系中，将一个正方形ABCD放在第一象限斜 靠在两坐标轴上，且点A,B的坐标分别为A0,2),B(,0),抛物线y=a2-ax-2经过点C. (1)求点C的坐标： 9/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)求抛物线的表达式，并求出其顶点坐标； (3)在抛物线上是否存在点P与点Q(点C,D除外)使四边形ABP巴为正方形？若存在，请求出P,Q的 坐标；若不存在，请说明理由 22.(26-27九年级上江苏寒假作业)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=x+br+3经过 点A3,0),与y轴交于点B,且关于直线x=1对称. 备用图 (1)求该抛物线的解析式： (2)当-1≤x≤t时，y的取值范围是0≤y≤2t-1,求t的值； (3)若点P、2在直线AB上，问：在该二次函数图象上是否存在点M,N,使得四边形POMN是正方形？ 若存在，请直接写出PQ的长；若不存在，请说明理由， 23.(24-25九年级上安微阜阳期末)如图，在平面直角坐标系中，点A(0,2),C(1,0),以AC为直角边， 在第二象限作等腰直角三角形ABC,∠ACB=90°，抛物线y=ar+a-2经过点B. D (1)求抛物线的解析式. (2)设抛物线的顶点为D,连接BD,CD,求△BDC的面积. (3)在抛物线上是否还存在两点G,H，使四边形ACGH为正方形？若存在，请求出点G,H的坐标，若不存 在，请说明理由 24.(2024陕西榆林二模)如图，已知抛物线y=a2+bx+2(a<0)与y轴交于点C,与x轴交于 A(-1,0),B(2,0)两点. 10/11 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 备用图 (1)求抛物线的函数表达式： (2)若点D是第二象限抛物线上的动点，DE‖x轴，交直线BC于点E,点G在x轴上，点F在坐标平面内， 是否存在点D,使以D,E,F,G为顶点的四边形是正方形？若存在，求点D的坐标；若不存在，请说 明理由. 11/11可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题03二次函数中的特殊四边形存在性问题的四种模型 题型归纳 题型一二次函数中的平行四边形存在性问题 题型二二次函数中的矩形存在性问题 题型三二次函数中的菱形存在性问题 题型四二次函数中的正方形存在性问题 题型专练 题型一：二次函数中的平行四边形存在性问题 1.c 【分析】根据题意分三种情况讨论，然后根据平行四边形的性质求解即可. 【详解】解：：抛物线y=am+2ar+c(a>0)与y轴交于点C, ∴.当x=0时，y=C .C(0,c) ,以A,C,E,P为顶点的四边形是平行四边形，点E在x轴上，点P在抛物线上， .当AC是对角线时，AC和PE互相平分， ..ya+yc=yE+yp, ∴.0+c=0+yp ∴.yp=C 将yp=C代入y=a2+2ax+c得，c=ax2+2ax+c 解得x=0或x=-2 P(-2,c: 当AP是对角线时，AP和CE互相平分， ∴.ya+yp=ye+yc, .0+yp=0+c ∴.yp=c 1/54 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 同理可得P(-2,c): 当AE是对角线时，AE和CP互相平分， ∴.ya+yg=yp+yc, ∴.0+0=yp+c ∴.yp=-C; 由图像可得，直线y=-c与抛物线y=x+2ar+c(a>0)有两个不同的交点， ∴.此时有两个符合条件的点P, 综上所述，符合条件的点P有3个 2.(6,6)或(-2,6)或(-6，-6) 【分析】令y=0:得+2x=0,可得A(4,0),设Nm小，利用平行四边形对角线互相平分，即对角 线的中点重合，分三种情况分别列方程组求解即可 本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，抛物线与坐标轴的交点，平行四边形性质等， 解题的关键是运用方程思想、数形结合思想和分类讨论思想解题. 【详解】解：在y)2+2x中 令v=0,得)x2+2x0 解得：x=0,x2=-4, A(4,0), 设N(m,n), 分三种情况： ①以AN、BO为对角线，此时AN中点与BO中点重合，如图， A(-4,0)0(0,0）B(2,6) -4+m0+n 0+20+6 N的中点为2,2)B0中点为2,2) 2/54 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 [-4+m=0+2 0+n=0+6, [m=6 解得1n=6’ .N(6,6). ②以AB、NO为对角线，此时AB中点与NO中点重合，如图， m+0=-4+2 同理可得{n+0=0+6’ [m=-2 解得n=6’ .N(-2,6), ③以AO、BN为对角线，此时AO中点与BN中点重合，如图， VA -4+0=2+m 同理可得 0+0=6+n, m=-6 解得1n=61 ∴N(-6-6), 综上所述，点N的坐标为(6,6)或(-2,6)或(-6，-6) 故答案为：(6,6)或(-2,6)或(6，-6) 3 27 (3,2)或(-1，-2)或(-3,4) 3/54 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【分析】(1)先利用待定系数法求出抛物线和直线4C解析式，设D(m,m+3),E(m,-m-2m+3),则 DE=--3m故Ss×3x-m2-3m）,进而求解即可： (2)分别以BC、BD、BM为平行四边形对角线进行求解即可. 【详解】解：B(,0),AB=4, A(-3,0), 将B(1,0),A(-3,0)代入y=2+bx+3得， [a+b+3=0 9a-3b+3=0' a=-1 解得1b=-2' .y=-x2-2x+3. 当x=0时，y=3,即C(0,3): 设直线AC解析式为y=acx+d, -3k+d=0 k=1 d=3 ,解得d=3: .y=x+3 设D(m,m+3),Em,-m2-2m+3), .DE=-m2-3m, 8 3 :20,开口向下， 3 27 :当m=一2时，Sa的最大值为8， 27 故答案为：8： (2)m=-2, D(-2,1), 设N(n,), 4/54 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ①当BC为平行四边形的对角线时， 1+0=-2+n n=3 0+3=1+1，解得11=2 N3,2: ②当BD为平行四边形的对角线时， [1-2=0+n n=-1 0+1=3+1, 解得1=-2 N(-1,-2), ③当BM为平行四边形的对角线时， [1+n=0-2 n=-3 0+1=1+3,解得t=4, .M(-3,4) 故答案为：(3,2)或(-1，-2)或(-3,4) 【点睛】本题是二次函数的综合题，熟练掌握二次函数的图象与性质，灵活运用平行四边形的性质是解题 的关键。 4.0四y=2-x+3,点4的坐标为4.0) 84 (2)P点坐标为(4,6) 3)点M的坐标为(-2,3)或(-1+17，-3或(-1-17，-3列 【分析】(1)利用待定系数法解答，即可求解： (2②)过点p作PD⊥x轴于点D'求出点C的坐标后，可得tam∠BAC=OC=-3 OA4,从而得到 tan∠BAP=PD-3 -3m_3m D年设点p的坐标为m,8” m+3 4 用含m的代数式表示出AD'Dp的长，代入 tan∠BAP=PD-3 AD4,求出m的值，即可得到p点坐标： (3)分三种情况讨论：一、当BC为对角线；二、当BN为对角线；三、当BM为对角线，结合平行四边 形的性质，即可求解， 27 【详解】()解：将点-山，8和B(2,0)代入y=m2+bx+3” 5/54 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3 整理得到方程组 a-b=8 4a+2b=-3 a=- 8 解得： 3, b 所以二次函数的解析式为：y=-3_3 8 4t+3 令=0得： 4+3=0. 解得：x=2,x2=-4 已知点B的坐标为(2,0)， 所以点A的坐标为(-4,0)， (2) A B D 解：如图，过点P作PD⊥x轴于点D, 令x=0,得y=3, 点C(0,3), .0C=3 ·点A(-4,0) ∴.0A=4 tan∠BAC=3 :AB平分∠CAP ∴.∠BAC=∠BAP tan∠Bap=DP-3 AD 4 6/54 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 设点p的丝标为m官 2m+3 4 则DP=- -小+3,0m -23m 4 3 2m-33 m+4 4 解得：m=4,m=4(舍去)， m2-3m+3=-3x4-3x4+3=6 3 4 8 4 点P的坐标为(4,6)」 (3)解：设V(,0),M(:,),因为B(2,0),C(0,3),根据平行四边形的性质分以下三种情况讨论： x+t=2+0 ①当BC为对角线时： y+0=0+3 解得：y=3」 代入抛物线y=- 4+3得 x=-2,x2=0(舍去)， M(-2,3); x+0=2+t ②当BN为对角线时： y+3=0+0: 解得：y=-3 代入抛物线y=一 0-子+3得 x=-1±7， ∴M(-1+7,-3)或(1-7，-3： ③当BM为对角线时： [x+2=t+0 y+0=0+3 解得：y=3, 代入提物线=意-+3得 7/54 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 x=-2,x2=0(舍去)， M(-2,3), 综上所述，M(-2,3)或(1+17，-3)或-1-17，-3) 5.(1)y=-x2-2x+3」 9 (2②)SwCn的最大值为 (③)点(-5，-12)或(3，-12)或(-1,4)存在以P、Q、A、B四点为顶点的平行四边形. 【分析】(1)根据待定系数法，求出b,C,即可得到函数解析式： (2)过点M作M0LAC于点卫，作MF⊥AB于点F,交AC于点E,根据等腰直角三角形的性质，求 出∠MEQ=∠AEF=∠ACO=45°，根据抛物线求出对称轴，求出点D的坐标，根据两点间的距离公式求出 CD. 要使SMcD的值最大，则需MQ取到最大值，即可；设过点M与AC平行的直线的解析式为：y=x+m, 当直线：y=x+m与抛物线相切时，SMCn有最大值；联立可得：+3x+(m-3)=0,分别求出点M,点 E的坐标，求出ME,根据勾股定理求出M0,即可得到三角形的面积； (3)设点P(-1,),O(m,-n-2n+3),分类讨论：①当AB为边时，四边形APgB是平行四边形，②当 AB为对角线时，四边形APB是平行四边形，求出Q的坐标，即可. 【详解】(1)解：：y=-x2+bx-c的图象与x轴交于点A(-3,0)和点B(1,0), 「0=-9-3b-c ∴10=-1+b-c' b=-2 解得：c=3 y=-x2-2x+3 (2)解：过点M作M0⊥AC于点2，作MF⊥AB于点F,交AC于点E, .OA=0C=3,∠C0A=90°， ∴∠CA0=∠AC0=45°， MFy轴， .∠MEQ=∠AEF=∠ACO=45° -3+1=-1, 抛物线的对称轴为：x=一2 8/54 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 y=-1+3=2 点D(-1,2), :点C(0,3), ∴.CD=-1-0+(2-3}=V2, 5xCDxMQ. ∴要使SMD的值最大，则需M0取到最大值，即可； 设过点M与AC平行的直线的解析式为：y=x+m,当直线：y=x+m与抛物线只有一个交点时，M0取 到最大值，即SMCD取到 最大值： .x+m=-x2+2x+3, 整理得：x+3x+(m-3)=0, 由△=0得，9-4×(m-3)=0, 求得：m-3=9 4 r+3+0, 3 解得：七=为= 2 当=，=-(-2引3回》 ME=15_39 424 设Mg=EQ=a, 2w-9 解得：a=9V2 8’ ·M0=0=9W2 8 9/54 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1 ∴.SMn=5×CDxM0=5×V2× 92_9 2 2 88 D B 图1 (3)解：存在，理由如下： 点P在对称轴上， 设点P(-l,a): “点卫在二次函数图象上， 设2(n,-n2-2n+3), ①当AB为边时，四边形APQB是平行四边形， .AB=PO. :点A(-3,0),点B(1,0), ∴.AB=4, .P0=4. .-1-m=4, 解得：n=-5,n2=3 ∴当n=-5时，-m-2n+3=-(-5}-2x(-5)+3=-12, “点(-5，-12)： 10154 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 当n=3时，-n2-2n+3=-32-2×3+3=-12. 点3，-12)： ②当AB为对角线时，四边形APBQ是平行四边形， -3+1-1+n .2=2 解得：n=-1, .-2-2n+3=-(-1}-2×(-1)+3=4, 点(-1,4)； 0 0 11/54 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 综上所述，点(-5，-12)或(3，-12)或(-1,4)存在以P、9、A、B四点为顶点的平行四边形. 【点睛】本题考查了二次函数及其图象的性质，一元二次方程的解法，平行四边形的判定和性质，轴对称 的性质等知识，解决问题的关键是分类讨论 6.0y=+x+2:c02) 3 (2)①直线EF经过点C;理由如下： 设直线EF交x轴于点G,如图所示： .DH∥x轴，EF⊥x轴， ∴.EF⊥DH, ∴.∠DFG=90° .∠DOG=∠ODF=90°， ∴.四边形ODFG为矩形， ..OG=DF=1, 点40点0引 3 04=3 OB= 2, +32=3 :cos∠EAG=4e-043-2N6 AE AB 35 5, 2 4G=25 E=25 V5t=2t, 5 .0G+AG=OA=3, .1+21=3, 解得：t=1, 12154 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴，直线EF的解析式为x=1, ·点C的横坐标为1， ∴点C在直线EF上： ②t=2√7-5 【分析】(1)待定系数法求出抛物线的解析式即可； (2)①设直线EF交x轴于点G,证明四边形ODFG为矩形，得出OG=DF=t,根据 cos∠EAG=4G_0A3_2V5 AEB355,求出AG=254B-25 ×V51=21:从而得出 ,求出t的值， 2 5 +21=3 进行判定即可； ②根据四边形ACMG为平行四边形，得出AC‖MG,点M在对称轴的左侧，连接AC,过点G作 G4C:交抛梅线干点：过点区作H1x于点只根据中点标公式求出9（二） 待定系数 y=-x 法求出直线的解析式为 ，直线的解析式为 ,联立 1 y=-2 x2+x+ 3,求出点M的 AC y=-x+3 MG y=-x 坐标为(2-√万，-2+V7),再根据中点坐标公式求出结果即可。 【详解1山解：把点4B,0点0引代入y-++e得： +3b+c=0 2 3 c-2 b=1 解得： 3 c2 .二次函数解析式为：y= -x2+x+ 3 y=2 x2+x+ 2 2(x-+2. .顶点C的坐标为(1,2)： (2)解：①略 ②：四边形ACMG为平行四边形， 13154 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .ACI‖MG 点C为抛物线的顶点， ∴.点M在对称轴的左侧， 连接AC,过点G作GM∥AC,交抛物线于点M,过点E作EH⊥x于点H,如图所示： y 、B M 根据①可得：AH=21,AE=V5t, 则EH=√AE2-AH=t, ∴0H=3-21 ·点E的坐标为(3-24，)， 根据题意得：点F的坐标为（化，-3）， 点G的坐标为 设直线AC的解析式为y=c+b(k≠0)，把A(3,0),C1,2)代入得： [3k+b=0 k+b=2: [k=-1 解得：1b=3· ∴.直线AC的解析式为y=-x+3, .MG∥AC ∴设直线MG的解析式为：y=-x+b, d告）代入，8：分w, 2 解得：b=0, ∴直线MG的解析式为：y=-x, 14154 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 y=-x 联立 -2x2+x43, y=- 2 x=2-7∫x=2+V万 解得： y=-2+万或1y=-2-万（合去） 点M的坐标为(2-V万，-2+V7), ,平行四边形的对角线互相平分， 一根据中点坐标公式得：2-V7+3=1+3-{ 2 解得：t=2√7-5. 题型二：二次函数中的矩形存在性问题 17 7.3或3 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，先求出点AB、C的坐标，再根据定义分抛物线经过 点OB和点C、A两种情况解答即可求解，理解题意是解题的关键. 【详解】解：把x=0代入函数y=(x-2)2,得y=-(0-2)'=4, .C(0,-4), 由题意知A(3,0), ,四边形OABC是矩形， .B(3,4), 当抛物线经过点0、B时，把O@0)和BB,4)代入y=r+c+c得， [c=0 -3+3b+c=-4 解物6子 当抛物线经过点C、A时，把C(0,4)和46,0)代入y=+低+c得， c=-4 -3+3b+c=0? 15154 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 解得6 Γ3 综上，若二次函数y=一 日+b+C0sx53图象的相关矩形”恰好也是矩形0BC则b一3或子。 17 故答案为：一3或3 【分析】本题考查二次函数性质与几何图形应用，根据矩形的性质得到C(-2,0),D(4,0),设抛物线解析式 为y=a(x+2)(x-4),求得顶点坐标为(l,-3),代入求出a即可得到抛物线的解析式. 【详解】：四边形ABDC是矩形， .AC⊥CD,BD⊥CD 又：C、D两点在x轴，A(-2,-3八B(4,-3) .AC⊥x轴，BD⊥x轴，AB1y轴， .C(-2,0),D(4,0) 设抛物线解析式为y=a(x+2)(x-4), :抛物线的对称轴为直线x=2+4=L, 2 顶点坐标为(1，-3)， 将点(1，-3)代入，得-9a=-3 1 .a= 3 能物线的新式为y20x-4)写-号令 =1x2_2x-8 故答案为：y=30 33 9y-2x,点6的坐标为(4,0) (②)点P(4,0),(6,6)时，AOPA是以OA为直角边的直角三角形 (3)C(1,O)时，四边形CMND的面积最大，最大值为2 【分析】(1)设抛物线顶点式解析式y=a(x-2)'-2,然后把点0的坐标代入求出a的值，即可得解，再 16154 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 令y=0,解关于x的一元二次方程即可得到点B的坐标： (2)根据点A、B的坐标求出∠AOB=∠AB0=45°，然后求出∠0AB=90°，从而得到点P与点B重合时 符合再根据∠POA=90°时求出直线P0的解析式，然后与抛物线联立求解即可得到点P的坐标： (3)设CM=x,根据矩形的对边平行可得MN‖CD,然后求出△AMN和△AOB相似，利用相似三角形对 应高的比等于对应边的比列式表示出MN,再根据矩形的面积公式列式整理并利用二次函数的最值问题解 答。 【详解】(1)解：设抛物线顶点式解析式y=a(x-2)'-2, 经过原点0(0,0)， .4a-2=0 1 解得a=2, :敢物线的解析武为y-2-2=-2x 2 即y 22-2 令y=0:则2-2x=0, 解得七=0,2=4， 点B的坐标为(4,0)： (2)点A(2,-2),B(4,0). ∴.∠AOB=∠AB0=45°， ∴.∠0AB=180°-45°-45°=90°. 点P与点B重合时，△OPA是以OA为直角边的直角三角形， 此时P(4,0), ∠P0A=90°时，∠POB=45°， ∴直线OP的解析式为y=x, y=x 联立 =-2x [x=0x2=6 解得以=0'=6 17154 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 此时，点P(6,6), 综上所述，点P(4,0),(6,6)时，△OPA是以OA为直角边的直角三角形： (3)设CM=x, :四边形CMND是矩形， ∴.MN CD ∴.△AMNr△AOB, .MN_2-CM OB 2 MN_2-x 即42 解得MN=4-2x, :.四边形CMND的面积=MN.CM=(4-2x)x=-2(x-1)2+2, 当x=1时，四边形CMND的面积最大，最大值为2， 此时，OC=CM=1, 此时，点C坐标为(1,0)， 故，C(1,O)时，四边形CMND的面积最大，最大值为2. 10.()b=2,A的坐标为-l,0) a4=36号 3 8r-减好 2或)s1s1+6 -V51 (④)t≤ 2 【分析】(1)利用待定系数法求解即可； (2)利用两点之间的距离公式列式计算即可求解： (3)分两种情况讨论，①当边FN与抛物线有交点时，②当边ME与抛物线有交点时，分别画出图形，列 式计算即可求解； (4)分四种情况讨论，画出图形，列出不等组，分别求解即可， 【详解】(1)解：将点B(3,0)代入y=-x2+bx+3, 得-9+3b+3=0, 解得b=2, 18154 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .y=-x2+2x+3,令y=0,即-x2+2x+3=0, =-1,x2=3, ·点A的坐标为(-1,0)： (2)解：由题意得，点M(化，-+21+3)，点N(+1,-P+4), Mw2=P+(-2+4+-21-3,即(5=1+(-21+1， 3 4=-2,6=2 (3)解：：y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4, .对称轴为直线x=1, ①当边FN与抛物线有交点时，如图1， 4.5c 41 G 3.5M 图1 2.5 ,△GMN与矩形MENF的面积之比为l:4, 即△GM与aMNF的面积之比为1：2， ∴点G为FN的中点， 又：GN∥x轴， ∴.点G和点N关于对称轴x=1对称， :.GN=2(t+1-I)=2t,FG=FN-GN=(+1-)-(2）=1-2i, 又点G为FN的中点， .GN=FG,即2t=1-21, 1 1=4 ②当边ME与抛物线有交点时，如图2， 19154 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 4 3.5 2.5 图2 ,△GMN与矩形MEWF的面积之比为1：4， 即△GMN与△MNE的面积之比为l:2, ∴点G为ME的中点， 又ME∥x轴， ∴.点M和点G关于对称轴x=1对称， .MG=2(1-t)=2-21, GE=ME-MG=(t+1-t)-(2-2=2t-1, 又，点G为ME的中点， .MG=GE,即2-2t=2t-1, 3 1=4: 3 综上，1=4或1=4： (4)解：：对称轴为直线x=1,顶点坐标为(1,4)， 令x=0,则y=3, .C(0,3), ,点D是点C关于抛物线对称轴的对称点， D(2,3). 分情况讨论， 当t≤0时，如图， 20154 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D M B 宜线=1：与图华只有一个公类点， -+21+3s1+ 23, 2°或1+5 解不等式F+2t+3≤t+2得1≤3， 2 5 1 解不等式 <3得2： 又t≤0. :1s15 2 当0<1<1时，如图， D 0 B主 直线y=1+2与图象W只有一个公共点， :3s1+<-2+21+3. 2 解不等式1+<-+21+3得5<1<1+5 2 2 2 5 1 解不等式1+。≥3得1之 2 2’ 又0<t<1, 21154 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 “21<1: 当1≤t≤2时，如图， M 0 B 直线y=t+ 2与图象W只有一个公共点， :3≤1+s-2+21+3 2 解不等式t 得-5s151+5 +5≤-2+21+3得2 2 解不等式+之3得1≥) 2 又1≤t≤2， 1s1s1+V3 2 当>2时，如图， 珠 D p M AO B J 直线y=+2与图象w只有一个公共点， 、2+21+3≤1+s+3 2 5 1 解不等式+ ≤3得1≤2，不符合题意： 22154 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 综上的取值范围是3以1<1或112兰，即1s13/ 2°或2 2或)s1s+v3 2 11.(1)y=x2-6x+8 (2)(-1,15) 80m的值为1或1+5：②2<m 【分析】(1)利用待定系数法解答即可； (2)根据抛物线的对称性解答即可： (3)①先求出平移后抛物线的解析式，然后分四种情况解得即可； ②结合①分四种情况解得即可. 【详解】(1)解：：抛物线y=x2+bx+c过点(2,0)和(4,0)， [4+2b+c=0 16+4b+c=0? [b=-6 解得1c=8· ∴抛物线的函数表达式为y=x2-6x+8: (2)解：y=x2-6x+8=(x-3}-1, ∴.抛物线的对称轴为直线x=3, AB‖x轴，AB=8,点A在点B的左侧， 由抛物线图象的对称性得：x4=3-4=-1, y4=(-1)+6+8=15. 点A的坐标为（1,15)： (3)解：①：y=x2-6x+8=(x-32-1, ∴抛物线的顶点坐标为(3，)， 平移后抛物线的顶点坐标为(1，一4)， ∴.平移后抛物线的解析式为y=(x-1)-4=x2-2x-3, 由题意得：P0不能平行于x轴，点P的坐标为m,m2-2m-3),点9的坐标为(m-4,-2m+), 当m2-2m-3=-2m+1时，m=±2， 23154 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .m≠+2， 5 当-2m+1=-4时，m=2: 分以下四种情况： 当m<-2时，如图1，抛物线'在矩形PMN内部（包括边界）只有点P一个点，不符合题意，故舍去. 当-2<m<2时，如图2，抛物线y在矩形PMQN内部（包括边界）的最高点的纵坐标与点Q的纵坐标相 同；最低点的纵坐标与点P的纵坐标相同. ∴.-2m+1-(m2-2m-3=3, 解得m=±1. 当2<m<2时，如图3，抛物线y在矩形PMQN内部（包括边界）的最高点的纵坐标与点P的纵坐标相同： 最低点的纵坐标与点Q的纵坐标相同， :m2-2m-3-（-2m+1)=3. “m=万（舍去）或m=-7(舍去). 当m≥ 2时，如图4，抛物线y在矩形PMON内部（包括边界）的最高点的纵坐标与点P的纵坐标相同： 最低点为抛物线顶点.。 ∴.m2-2m-3-（-4)=3. m=1+3或m=1-V3(舍去). 综上所述，m的值为±1或1+√3. 图1 图2 图3 图4 ②如图1，当m<-2时，抛物线y与矩形PMQN的边有一个公共点： 如图2，当-2<m≤1时，抛物线'与矩形PMQN的边有两个公共点； 当1<m<2时，抛物线y与矩形PMQN的边有三个公共点： 24154 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 5 如图3，当2<m<2时，抛物线y与矩形PMON的边有四个公共点： 当m=2时，QW经过抛物线的顶点，此时抛物线y与矩形PMQW的边有三个公共点： 5 如图4，当m>2时，抛物线y与矩形PMON的边有两个公共点. m的取值范围为2<m< 32+2x+3 9 12.(1)y= 4 4 3 【分析】(1)由点A,B的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式： (2)①利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点B、C的坐标，进而求得点D的坐标，根据四边形 CPDH的首积等于名，得业M-?、白点a:C的坐标、为利用特定系数法求出直线C的解新式。设 27 P-+骨+3小则+子+》，将的丝标，代入直线C的解折式，求利，的值，可求 解： ②证明APEFAAEG' 比例武可得p9K,设P++3.F-寻+ 表示pF的长，求 2 进而根据正切的定义，即可求解： ③分三种情况讨论，当BC为矩形的对角线时，当CM为对角线时，当BM为对角线时，分别画出图形， 根据矩形的性质，利用勾股定理以及解直角三角形的方法求解即可， 【详解】(1)解：将A(-1,0),B(4,0)代入y=a2+bx+3, 3 a=- 得 a-b+3=0,解得 9 b= 16a+4b+3=0 4 解析式为少=一4x+ 4x+3: 25154 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)①解析式为y=-3x+?x+3 9 41 9 b 4 3 ∴对称轴为直线x= 2a 2 :CD∥x, 3 ∴C,D关于直线x=2对称 32.9 当x=0时，y=4+4+3=3, .C(0,3 .D(3,3) ∴.CD=3 27 :四边形CPDH的面积等于g, CDxPH=27 8 :m- 设直线BC的解析式为y=c+b 4k+b=0 将B(4,0)·C(0,3)分别代入得{c=3, 3 k=- 4 解得： b=3 :直线BC的解析式为：y=3 x+3 4 设-+则++3-)m-++ 3 44在y= x+3上 4 解得：1=1或1=3（与点D重合舍去） 26154 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ②过点P作y轴的平行线，交直线BC于点F,交x轴于点H, 过点A作y轴的平行线，交直线BC于点G, G E f长交：41,0) 当x=1时，y 4*()+3=15 4 AG‖y轴‖PF, ,∴△PEFAAEG, PE PF .·.AEAG PF 4 15=5, .4 .P℉=3， 设-r++-+ m3 解得：4=12=2， 2 PH=2,4H=423 在 Rt△APH 中，am∠PAB=PH-2_3: (3)解：B(4,0),C(0,3) 27154 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.0B=4,0C=3 ∴.BC=VOB2+OC2=5 y=2+骨x+3=x+- 4 3 9 设Mm,m+4m+3 当BC为矩形的对角线时，BC2=CM2+BM c=㎡+m+m3-j-㎡(+知 aw-m-4+(a++3j-a-4+2a+rm-4 25-(+jw2ma4 整理得， 9m27m+61m+1lm=0 848 2 即9m-54m3+61m2+44m=0 .m(m-4)(9m2-18m-11）=0 ,m≠0，m≠4 .9m2-18m-11=0 解得：m=1+2 3或m1-25 3 当m25.小2525小57255 3 125-5-2小则听-g 3 当CM为对角线时，如图，设BM交y轴于点O, 28154 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 M: M .'∠CBM=90° ∴.∠OQB=90°-∠OBQ=∠CB0 :tan∠CB0=C0_3 BO 4 :.tan∠OQB= OB 3 094 :00=40B 3*416 4 3 3 3 ce) 设直线B0的解析式为y=- 3代入B(4,0) 0=4k-16 k= 416 “直线B0的解析式为y=3-3 .4.16 3-3 y= 联立 32+2x+3 9 ys 4 29154 面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (x-- 25 9 解得：∫x=4或 244 y=0 y=- 27 25244 当BM为对角线时，CM⊥BC .CM∥BQ 4 直线CM的解析式为y=3x+3 4 y= x+3 3 9 y=- 4+3 - 9 解得：x=4或1125 y=0 y27 g罗》 综上所述， M1+ 题型三：二次函数中的菱形存在性问题 13.B 【分析】本题考查了菱形的性质、二次函数图象上点的坐标特征，根据二次函数图象上点的坐标性质得出 BD的长是解题关键， 连接BC交OA于D,如图，根据菱形的性质得BC⊥OA,∠OBD=6O°，利用含30度的直角三角形三边的 关系得OD=V3BD,设BD=,则OD=VBt,B,N31),利用二次函数图象上点的坐标特征得 46r=B:得出BD=子oD= 4，然后根据菱形的性质得出C点坐标. 【详解】解：连接BC交OA于D,如图， 30154 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 四边形 为菱形， B OBAC .BC⊥OA, ∠AB0=120° .∠OBD=60°， ..OD=3BD, 设BD=t,则OD=√3t, B,N5) 把B,31)f代入y=4N5x, 得452=√3， 解得=0（舍去）， 1 BD= 4, OD=3 4 故C点坐标为： 4’4 故答案为：B 14.4 【分析】先配方求出抛物线顶点坐标，再求出点A坐标，根据菱形性质得D坐标，从而得出关于c的方程， 求解即可. 【详解】解：y=-x2+4x+c=-(x-2)2+4+c .∴抛物线的对称轴为直线x=2,顶点坐标为(2,4+c) 令x=0,则=c A(0,c) 连接BD, 31/54 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D .ACx轴交抛物线于另一点C, ∴.DB⊥x轴，且DB在抛物线的对称轴上 ∴.B(2,0) ∴.D2,2c) ∴.4+c=2c 解得，c-4 故答案为：4 【点睛】本题主要考查了抛物线的性质以及菱形的性质，熟练掌握抛物线的性质是解答本题的关键. 5,0=+号+2 (2)m=1 (3)存在，点D的坐标为 【分析】(1)利用待定系数法求解即可； (2)表示PN=-4m2+10m 2 4 m+2- m+2= 3 、3 4m2+4m, 再表示三角形的面积求解即可： )设c号+2 利用勾股定理，中点坐标公式，分类求解即可； 【详解】(1)解：抛物线y= 4x+bx+c经过点A,B: 「-12+3b+c=0 c=2 10 b= 解得 3 c=2 32154 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 抛物线解析式为y=一 ,1 x+2 10 3 5 (2)解：抛物线对称轴x= 4 2x3 3m+2 时，PW=-4 m+2-2 ,1 .当0<m< 3 m+2小=-+4m =-2m2+6m, 当S△Mw=4时，得-2m2+6m=4,整理，得m2-3m+2=0, 解得m=1,m=2(舍去). ∴点M的坐标为(1,0)： (3)解：根据题意，得点M的坐标为(1,0)，A(3,0), .AM=3-1=2, 2 当4M为对角线时，如图，点C的横坐标为2 +3=2,此时纵坐标为×2+2=2 3 B P M D 当AM为边时，AC也为边时，根据题意，得AM=AC=2, 过C作x轴的垂线，垂足为H,在△ACH中由勾股定理得， （a+2j+6--2, 33154 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 MH 解得加=3社合店】 数q+合i,音)度音音丽， 根据中点坐标公式，得 3++12*3. 13 43+0 g+0 2 2 2 鲜物n=1+合5g=音B。 放+合-音而： 设lag小c-合丽音而 根据中点坐标公式，得 3-63+1 13 43+0 =p+313 2’ 2 解得p=1合Bg音D 故合E各 当AM为边时，AC为对角线时， 过C作x轴的垂线，垂足为W,在△MCW中由勾股定理得， (0+40-=2,解得4=3（务去），%言 3 收信 34154 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 324 设D(P,q) c3 根据中点坐标公式，得 343 24 +0 3=p+1,13=9+0, 22,2 2 2924 解得P=139=13, “) 综上可知点D的坐标为 2- 16.(1=60 7 (2)PP'=6 32-24H+240<1<4-2V2) (3)①7： ②Ss 25 -32+241-244-22<1<5） 【分析】(1)根据勾股定理得出AC=VAD2+CD2=V⑧2+6=10，由题意确定Ag=2,PC=51,再由平 行线分线段成比例建立方程求解即可： (2②)连接p交AC于点Q,当四边形OPCr是菱形时，得出Q0=0C=CQ=5-,QC1P,再由平 2 行线的性质得出∠ACP=∠D4C,利用三角函数确定cos∠ACP=0C-4 PC5,代入求解计算即可得出结果； (3)①延长CP'交AD于点E,根据等角对等边得出EA=EC,设EA=EC=x,则ED=8-x.然后利用 匀股定理得业CE-草。再击正孩晒数求解即可：②木确定当八.QP三点共线时，1：4-2，然后分丙 种情况分析：当0<1<4-22时，当4-2√2<1<5时，结合图形，求面积即可. 【详解】(1)解：在RteACD中，AD=8,CD=6 35/54 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .AC=VAD2+CD2=V82+62=10 由题意得AQ=21,PC=5t, .C9=10-2t P9∥AB ..co_cp m10-21_51 AC CB. 则1012’ 0 解得1=37 (2)连接PP'交AC于点O,当四边形QPCP是菱形时， 0=0c-c0-0-20-50c1P, 1 2 .AD∥BC,∠ADC=90°， ∴∠DCB=90°，∠ACP=∠DAC, .DC⊥BC, ÷cos∠ACP=COLDAC=AD=8_4 AC105· ∴cosL4CP=0C_4n5-t4 pc=5即5t=5, 解得：t=1, .P℃=5t=5,0C=5-t=5-1=4, 0P=VPC2-0C2=V532-4=3. 四边形OPCP是菱形 A D PC.PP'=20P=2×3=6 (3)①延长CP交AD于点E, ,点P是点P关于直线AC的对称点， A E D P C.∠ACP=∠ACP 36154 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 由(2)得∠ACP=∠DAC, .∠DAC=∠ACP',则EA=EC, 设EA=EC=x,则ED=8-x. ∴RIACDE中，DE2+CD2=CE2 .(8-x)2+62=x2. 、解得x三4，即CB、25 4· ED=8-25、7 44· 个 ∴.sin∠DCp'= ED_4-7 EC=25-25 4 ②当DQP三点共线时，如图所示，作DF⊥AC于点F, A E D M 9 1 B S.ADC= AC×DF= -ADx DC 10DF=8x6,则DF=24 作pM⊥CD于点M,PM=CP'sin∠ECD=5x7-?, 2551 根据题意得：sin∠ACP=sin∠ACP=sin∠CAD=CD_3 AC 5, 3 由P'0=CP'sin∠ACP'=5tx3=3t 5 ∴Saee=S,ore+S.prc A E D P CQxDF-CQxPO+xCDxPM 2 2 37154 面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 0-20x24-(0-2刘x3+6x3。 7 整理得2-8t+8=0 解得=4-22<5，=4+22（不合题意，舍去） (i)当0<1<4-2V2时， .S=S.Dor =S.poc-Sorc-S.orc =00-2刘400-20k-6x31=n-2+24. (i)当4-22<1<5时， .S=S.DOP=S.orc+Sprc-S.DQc -00-20x*63-0-2刘43r+24-24 32-241+240<1<4-2V2) 综上所述S= -32+241-244-22<1<5) 17.(1)y=-x2+2x+3 60}:@存在，边长为32-2或2 【分析】(1)待定系数法求出函数解析式即可： (2)分1≤1和>1，两种情况，结合二次函数的增减性进行求解即可. (3)①根据题意求出A,B点坐标，得到直线AB的解析式，设C(m,-m'+2m+30<m<3),则 3299 D(m,-m+3)进而可得CD=-m2+3m=m- 2 +44即可；②分®D为菱形的边和菱形的对角线两 BD 种情况进行讨论求解即可， 【详解】(1)解：抛物线y=m2+bx+3经过点A(3,0),与y轴交于点B,且关于直线x=1对称， 38154 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 （b=1 2a ,解得： [a=-1 9a+3b+3=0 b=2 .y=-x2+2x+3: (2),抛物线的开口向下，对称轴为直线x=1, ∴抛物线上点到对称轴上的距离越远，函数值越小， -1≤x≤t时，0≤y≤2t-1, ①当1≤1时，则：当x=t时，函数有最大值，即：21-1=-2+2t+3, 解得：1=-2或1=2，均不符合题意，舍去： ②当>1时，则：当x=1时，函数有最大值，即：2t-1=-12+2+3=4, 等：一多 5 故=2： (3)①当y=-x2+2x+3=0时，解得：x=3=-1,当x=0时，y=3, .A(3,0).B(0,3). 设直线AB的解析式为y=c+3,把A(3,0)代入，得：k=-1, y=-x+3 设C(m,-m2+2m+3(0<m<3),则：D(m,-m+3), D-m+2m3+m-3+3加=-气@-+骨程 9 故线段cD的最大值为4； ②存在： 由①知CD=-m2+3m,BD=Vm2+(-m+3-3}=V2m,BC2=m+(-m2+2m}, 39154 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B 当B,C,D,E为顶点的四边形是菱形时，分两种情况： ①当BD为边时，则：BD=CD,即-m2+3m=V2m, 解得：m=0(舍去)或m=3-√2， 此时菱形的边长为V2m=3W2-2; ②当BD为对角线时，则：BC=CD,即：m+(m+2m)=(-m2+3m, 解得：m=2或m=0(舍去) 此时菱形的边长为：-22+3×2=2； 综上：存在以B,C,D,E为顶点的四边形是菱形，边长为3V2-2或2. 18.①y=-2x-6 ②ME+灯有最大值3，此时F3引 3)0点坐标为(4，-27)或(4,217）或86+214或(8,6-214) 【分析】()设抛物线的解折式为y=(K-2-8,将4(-20)代入解得a=,即可求出解折析式： (2②）先求出B(60叭直线BC的解折式为y=2x-12,设F-21-6 则N(,21-12)F(,0): E0-20,5-2-,M-2-16来出MB+Nr--5+3,副可得到当，-5时， M+N灯有最大佰3.此时F3-习）： (3)设平移后的函数解析式为y=2(x-6°-8，联立解析式求出G(4,-6),设Q(x,),K(2,m),当4K 为菱形的对角线时，由AG=GK求出n=-6±2W7,由对角线AK与G0互相平分，根据中点公式得到 x=-4,y=n+6=+2W7;同理当A犯为菱形的对角线时，AG=AK,对角线A0与GK互相平分，求得 x=8,y=n-6=-6±2W14,即可得到2点坐标， 40154 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【详解】(1)解：：抛物线y=a2+bx+c顶点C的坐标为(2，-8)， ∴.设抛物线的解析式为y=a(x-2)}-8, 将A(-2,0)代入，可得16a-8=0, 解得a=2; :抛物线的解析式为y-2-8=-2r-6, (2)解：令y=0,则-2-8=0， 解得x=-2,x2=6」 .A(-2,0),B(6,0) 设直线BC的解析式为y=ac+b, [0=6k+b -8=2k+6' k=2 解得16=-12 ∴直线BC的解析式为y=2x-12, 设r-2-6,则N,21-12F.0 :一条长度为2的线段EF在线段DB上平移，过点E作EE'⊥x轴，交抛物线于点E',交直线BC于点M, 过点F作FF⊥x轴， E-20-2-2-2y-8M-22t-2-1〔-2-4M-21-16 版a-6食--安-16--卫传r-a6-r46 :ME+'=+4-6++6M-16=f+10-22=--5+3, 当t=5时，ME+F有最大值3， t时2-2-6-×8-2x5-6=子，则55引)： (3)解：：y=-2-8顶点C的坐标为(2,8)， 41154 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :.D(2,0),对称轴为直线x=2, ∴.设原抛物线y=a2+bx+c对称轴上一点K为K(2,), :将抛物线y=2+bx+c沿x轴正方向平移得到新抛物线y', 设平移后的抛物线解斩式为y少=-2-m川-8，m>0 将D(20)代入，可得0=2-2-mP-8。 解得m=±4， m>0, .m=4; 平移后的函数解折式为=x-6-8, =-2y-8 联立方程组 -x-6-8 x=4 解得1y=6 .G(4-6). 设Q(x,y), A(-2,0）,K(2,n) .AG2=(-2-4}2+62=72,KG=(2-4)2+(n+62=4+(n+6)}2,AK2=(-2-2}+m2-16+m2, :以AGQK为顶点的四边形是菱形且AG为菱形的边， 当AK为菱形的对角线时，AG=GK,对角线AK与GQ互相平分， .4+(n+6)2=72。 解得n=-6±2W7, :.K(2,6-217)或(2,6+27)， :AK与G0互相平分， 「-2+2=4+x .10+n=-6+y 42154 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 解得x=-4,y=n+6=217. .(-4,-217或（4,217)： 当A犯为菱形的对角线时，AG=AK,，对角线4g与GK互相平分， .AG=72=AK2=16+n2, 解得n=±2W14, .AQ与GK互相平分， 「-2+x=4+2 ∴.0+y=6+n 解得x=8,y=n-6=6±2V14」 :(8,-6+214)或8，-6-214)； 综上所述：Q点坐标为(4，-27)或(4,217)或(8,6+24或8,6-214 【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，函数图象平移的性质，菱形 的性质，分类讨论是解题的关键， 题型四：二次函数中的正方形存在性问题 19.-3或1 20.(1)y=-2x2+2x+4 ②有在的丝标为合)威3一号引时，位得边形心是正方形 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的图象及性质、二次函数综合问题 (1)利用将A(-1,0)、B(2,0)代入y=-2x2+b+c,利用待定系数法即可求解： (2)由题意，设M(m,-2m+2m+4),四边形AHMN是正方形，可知AH=MH,得则 m-(-1=2m2+2m+4,分两种情况：当m+1=-2m2+2m+4时，当(m+1)+(-2m2+2m+4)=0时，分别 求解即可. 【详解】(1)解：根据题意，将A(-1,0)、B(2,0)代入y=-2x2+bx+c, -2-b+c=0 b=2 得： 8+2b+c=0?解得：c=4' ∴抛物线的函数表达式为y=-2x2+2x+4: 43154 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3557 (2)存在M的坐标为2'2或22时，使得四边形AHMN是正方形，理由如下： 由题意，设M(m,-2m2+2m+4), A(-l,O),四边形AHMN是正方形，MH⊥x轴，则H(m,O), ∴.AH=MH, 则xH-xa=yw-yH, 即：m-(-1=-2m2+2m+4, 当m+1=-2m2+2m+4时， 3 解得：m= 2’m2=-1(舍去)， 期-2+2m+4,pM[3》 当(m+1)+(-2m2+2m+4=0时， 5 解得：m=2,x=1（舍去)， 则+2+4子如引： 缘上，存在y的标为名]怎)时使解圆形y是正方形. 21.(1)(3,1) 117 y=--2,顶点坐标为28 (3)2(-2,),P(-1,-1) 【分析】(1)如图，作CE⊥x轴于点E,证明出△AOB≌aBEC(AAS),得到OA=BE=2,CE=OB=1, 进而求解即可： 2-2-x-12 (2☒）利用特定系数法求出抛物线的解析式为)弓 17 x- 2( 2 8, 即可得到顶点坐标为 117 28 (3)如图，以AB为边在AB的左侧作正方形ABPO,过作QE⊥OA于E,PG⊥x轴于G,同(I)可 证△OEA≌aBGP≌△AOB,求出2点坐标为-2，)，P点坐标为(-L,-).然后分别代入抛物线验证即可. 44154 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【详解】(1)如图，作CE⊥x轴于点E, B :四边形ABCD为正方形， ∴.∠ABO+∠CBE=90°，AB=BC .∠OAB+∠OBA=90°， .∠OAB=LEBC, 又.∠AOB=∠BEC .△AOB≌△BEC(AAS). :A(0,2),B(1,0): A0=2,B0=1, ..OA=BE=2.CE=OB=1 .0E=2+1=3 .C点坐标为(3，)： (2)·抛物线经过点C(3,), .1=a×32-a×3-2, .a= 2 2-8 顾点坐标为公名)： (3)在抛物线上存在点P、2,使四边形ABPO是正方形. 如图，以AB为边在AB的左侧作正方形ABPO,过O作QE⊥OA于E,PG⊥x轴于G, 45154 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 VA 同(1)可证△QEA≌ABGP≌△AOB :.QE=BG=A0=2,AE=PG=BO=1, ∴点坐标为(-2，)，P点坐标为(-山，). 自《②聪物线方-2。 当x=-2时，y=1;当x=-1时，y=1, .P、O在抛物线上. 故在抛物线上存在点Q(-2,)、P(-山，-)，使四边形ABP2是正方形. 【点睛】此题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数和四边形综合，全等三角形的性质和判定， 正方形的性质等知识，解题的关键是掌握以上知识点. 22.(1)y=-x2+2x+3 四月 (3)存在，√2或9V2 【分析】(1)待定系数法求出函数解析式即可： (2)分t≤1和t>1,两种情况，结合二次函数的增减性进行求解即可. (③)先求出直线1B:y=-+3设PQ=9m 2m,直线MN与y轴交点为T'当MN在AB上方时，过点B 作BG⊥NM于点G,可得BT=√2BG=m,设直线MN:y=-x+3+m,与抛物线表达式联立得， y=-x2+2x+3 y=x+3+m,得到-3x+m=0设M(,乃)，N(s,y）那么由韦达定理可得x+=3,,=m 则(x-x}=(:+x2-4xx=9-4m,而MN=V(x-x)}+(y-2}=V2(:-x},则得到 9=20-间，架得。2成用8《合)，成四=号2=：当w在8下方时，同理求群 即可. 46154 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【详解】(1)解：：抛物线y=a2+bx+3经过点A(3,0),与y轴交于点B,且关于直线x=1对称， （b=1 .2a ,解得： a=-1 9a+3b+3=0 b=2 y=-x2+2x+3: (2)解：，抛物线的开口向下，对称轴为直线x=1, ∴.抛物线上点到对称轴上的距离越远，函数值越小， ,-1≤x≤t时，0≤y≤2t-1, ①当t≤1时，则：当x=t时，函数有最大值，即：2t-1=-t2+2t+3, 解得：t=-2或t=2,均不符合题意，舍去； ②当t>1时，则：当x=1时，函数有最大值，即：2t-1=-1+2+3=4, 解得：t=」 2: 5 故t=2: (3)解：存在，理由如下： 对于y=-x2+2x+3,当x=0时，y=3, .B(0,3), 设直线AB:y=x+n :点A(3,0), [3m+n=0 …n=3 m=-1 解得n=3, 直线AB:y=-x+3, 股PQ-号，且线w与，拍交点为7 当MN在AB上方时，过点B作BG⊥NM于点G,如图： 47154 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 VA ,正方形PQMN PN=PO-MN= 2L∠PNM=ZPNT=90°，AN∥AB ·BG=PW=2, .OA=OB=3,∠AOB=90°， .∠AB0=45°， ∴由MN∥AB得∠ABO=∠BTN=45°. ∴.△BTG为等腰直角三角形， ·B7=V7G2+BG=V2BG=2 mx√2=m, .MN∥AB. ∴.设直线MN:y=-x+3+m, y=-x2+2x+3 与抛物线表达式联立得， y=-x+3+m, .x2-3x+m=0, 设M(,y),N(2,2) X+七2=3，xx2=m, (x-x)=(x+x)2-4xx=9-4m :MN=V压-x)+0-}=V(:-x}+[-x+3+m-(-x+3+m)]订=V2(任-x}, 号。-0-. 解得m=2或m=-18(舍)， 48154 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 P0= x2=V2: 2 当MN在AB下方时，过点B作BG⊥NM于点G,如图： 同理可得， BG=PN-:BT=28G=m MN∥AB, .设直线MN:y=-x+3-m y=-x2+2x+3 与抛物线表达式联立得， y=-x+3-m, x2-3x-m=0, 设M(,y),N(,2) .x+x32=3,xx2=-m」 .(x-x)2=(x+x2)-4xx2=9+4m :MN=Vx-}+(-}=Vx-}+[-x+3-m-(-,+3-m)]=V2(x-, ·2m=V2(9+4m, 解得m=18或m=-2(舍)， P0 2x18=9W2; 综上：PQ的长为V2或9√2 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，正方形的性质，一元二次方程根与系数的关系等知识点，正确的 求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键. 49154 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 23.①y=2 +-2 、15 (28 (3)存在， G(1,-1),H(2,1) 【分析】(I)过点B作BF⊥x轴于点F,则∠CFB=∠AOC=90°.证明△AOC≌△CFB(AAS),则 CF=0A=2,BF=0C=1,则0F=CF+0C=2+1=3,得到点B(-3,).把点B(-3,1)代入y=ax2+ax-2, 2, 解得a= 即可求出答案： C2)求出整物线的顶点D的坐标，利用待完系数法求出直线0的解折式为-子-} -4x-4·设直线BD和 11 ,轴的交点为E:得到点E的坐标为50 则CE-；即可求出谷案： (3)延长BC至点G,使CG=AC,过点G作GM⊥x轴于点M,证明aGMC≌aCOA(AAS),进一步得到 点G1,-I).过点A作HA⊥AC,A为垂足，且使AH=AC,连接GH,则四边形ACGH为正方形.过点H 作HN上y轴于点N,证明△HAN≌aACO(AAS),进一步得到点H(2,).验证G,H两点都在抛物线上， 即可得到结论. 【详解】(1)解：如图，过点B作BF上x轴于点F,则∠CFB=∠AOC=90 D ∴.∠CAO+∠ACO=90° .∠ACB=90° ∴.∠BCF+∠AC0=90° ∴.∠BCF=∠CAO 在△AOC和△CFB中， ,∠CFB=∠AOC,∠BCF=∠CAO,AC=BC .△AOC≌△CFB(AAS), 50154 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.CF=OA=2,BF=OC=1, ∴.OF=CF+OC=2+1=3, 点B(3,) 把点B(-3,1)代入y=ax2+ar-2, 得1=9a-3a-2, 解得a=2’ 鹅物线的解新式为+宁-2 2 2 2 :点n的标为兮)】 设直线BD的解析式为y=a+b 将a以30.D分智）入， -3k+b=1 得+6= 8 解得 11 b=- 4 直线0的解行式为=子 设直线BD和x轴的交点为E, 当y=0时，0=-5x-1 44,解得x=1 5 (11。 ·点E的坐标为刿50 .CE=6 5 161715 SAw=SaE+SacX兮×t25g8 (3)存在.如图，延长BC至点G,使CG=AC,过点G作GM⊥x轴于点M, 51154 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.∠CMG=∠COA=∠ACG=90°」 .∠ACO+∠CAO=∠ACO+∠MCG=90°， .∠CAO=∠MCG. ∴.△GMC≌aCOA(AAS), ∴.GM=CO=1,CM=AO=2 点G(1,-). 过点A作HA1AC,A为垂足，且使AH=AC,连接GH,则四边形ACGH为正方形. 过点H作HN⊥y轴于点N, .∠ANH=∠AOC=∠CAH=90°. .∠ACO+∠CAO=∠NAH+∠CAO=90°， ∴.∠ACO=∠NAH, .△HAN≌△ACO(AAS). ..HN=AO=2,AN=CO=1. ∴.ON=OA-AN=2-1=1, 点H(2,1) 当x=2时，+2-21-21， 当1时21， “.G,H两点都在抛物线上， :在抛物线上存在两点G(1,-),H(2,1),使四边形ACGH为正方形. 【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质、二次函数的图象和性质、正方形的判定和性质、一次函数 的图象和性质等知识，添加辅助线构造全等三角形是解题的关键。 24.(1)y=-x2+x+2 (1528 (2四存在点D:点)的坐标为24)或方9 D 【分析】本题属于二次函数综合题，考查了待定系数法求函数的解析式，二次函数的性质，正方形的性质 等知识，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象及性质，正方形的性质，学会用分类讨论的思想思考问题 (1)将A、B两点坐标代入到y=ax2+br+2中，利用待定系数法求函数解析式. (2)由题意和y=-x2+x+2可得C点坐标，与B点坐标代入一次函数y=c+b(k≠0)，中解出BC解析 52154 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 式，从而得出D点坐标，再分两种情况：①当DE为正方形的一条边时，②当DE为正方形的对角线时， 根据正方形的性质，即可求解。 【详解】(1)将A(-l,0),B(2,0)代入y=ar2+br+2(a<0)中， a-b+2=0 得14a+2b+2=0' a=-1 解得： b=1 ∴.抛物线的函数表达式为y=-x2+x+2, (2)由题意和y=-x2+x+2可得C(0,2), B(2,0), 可设直线BC的函数表达式为：y=&+2, 将B(2,0)代入得：2k+2=0, .k=-1, 直线BC的函数表达式为y=-x+2 设D(,-2+1+2)(1<0),分两种情况： ①当DE为边时，如图1，四边形DEFG是正方形（点G、F可互换位置）· B 图1 则DG=DE=-2+t+2, 故E的纵坐标与D的纵坐标相等为-+t+2, 将y=-+1+2代入y=-x+2中，可得E的横坐标为2-t, 则点B的坐标为-4，-+1+2)，DE=2-1- :DE=EF,-t-t=-12+t+2, 解得，-27<0要合)或1= 53154 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 15 :点D的坐标为24 ②当DE为对角线时，如图2，连接FG,过点D作DH⊥x轴于点H, D B 图2 .·DE∥HGDH∥FG 易得DE=FG=2DH, 则DE=2(-2+t+2）=-22+2t+4, 则E的纵坐标为-212+2t+4+t, 点E的坐标为(-21+21+4+6，-2+1+2)】 ~点E在直线y=-x+2上， .-2+1+2=212-3t-4+2, 解得1=号或2(7<0：要台)， 28\ :点D的坐标为39 综上可州：存在点D使以p°E”F”G为项点的四边形是正方形，点0的坐标为号)皮》） 54154 专题03 二次函数中的特殊四边形存在性问题的四种模型 题型一 二次函数中的平行四边形存在性问题 题型二 二次函数中的矩形存在性问题 题型三 二次函数中的菱形存在性问题 题型四 二次函数中的正方形存在性问题 题型一：二次函数中的平行四边形存在性问题 1．（25-26九年级下·辽宁大连·期末）如图，抛物线与轴交于点，与轴交于，两点，点在点的左侧．若点在轴上，点在抛物线上，且以，，，为顶点的四边形是平行四边形，则符合条件的点有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据题意分三种情况讨论，然后根据平行四边形的性质求解即可． 【详解】解：∵抛物线与轴交于点， ∴当时， ∴ ∵以，，，为顶点的四边形是平行四边形，点在轴上，点在抛物线上， ∴当是对角线时，和互相平分， ∴， ∴ ∴ 将代入得， 解得或 ∴； 当是对角线时，和互相平分， ∴， ∴ ∴ 同理可得； 当是对角线时，和互相平分， ∴， ∴ ∴； 由图像可得，直线与抛物线有两个不同的交点， ∴此时有两个符合条件的点P， 综上所述，符合条件的点有3个． 2．（25-26九年级上·天津·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过x轴上的点A，直线AB与抛物线在第一象限交于点，若以A，O，B，N为顶点的四边形是平行四边形，则点N的坐标是______． 【答案】或或 【分析】令，得，可得，设，利用平行四边形对角线互相平分，即对角线的中点重合，分三种情况分别列方程组求解即可． 本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，抛物线与坐标轴的交点，平行四边形性质等，解题的关键是运用方程思想、数形结合思想和分类讨论思想解题． 【详解】解：在中， 令，得， 解得：，， ， 设， 分三种情况： ①以为对角线，此时中点与中点重合，如图， 、，， 的中点为，中点为， ， 解得， ， ②以为对角线，此时中点与中点重合，如图， 同理可得， 解得， ， ③以为对角线，此时中点与中点重合，如图， 同理可得， 解得， ， 综上所述，点N的坐标为或或 故答案为：或或 3．（25-26九年级上·安徽安庆·阶段检测）已知抛物线的图象与x轴相交于点A和点，与y轴交于点C，连接，有一动点D在线段上运动，过点D作x轴的垂线，交抛物线于点E，交x轴于点，设点D的横坐标为m． （1）连接则的最大面积为________； （2）当时，在平面内存在点M，使以为顶点的四边形为平行四边形，请写出点M的坐标________． 【答案】 或或 【分析】（1）先利用待定系数法求出抛物线和直线解析式，设，，则，故，进而求解即可； （2）分别以、、为平行四边形对角线进行求解即可． 【详解】解：，， ， 将，代入得， ， 解得， ， 当时，，即； 设直线解析式为， ，解得， ， 设，， ， ， ，开口向下， 当时，的最大值为， 故答案为：； （2）， ， 设， 当为平行四边形的对角线时， ，解得， ； 当为平行四边形的对角线时， ，解得， ， 当为平行四边形的对角线时， ，解得， ， 故答案为：或或． 【点睛】本题是二次函数的综合题，熟练掌握二次函数的图象与性质，灵活运用平行四边形的性质是解题的关键． 4．（23-24九年级上·山东泰安·阶段检测）如图，二次函数的图象过点，且与轴交于两点，与轴交于点． (1)求这个二次函数的解析式及点坐标； (2)抛物线上是否存在点，且满足平分，若存在，求出点坐标；若不存在，说明理由； (3)点为轴上一动点，在抛物线上是否存在点，使以为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1)；点的坐标为 (2)点坐标为 (3)点的坐标为或或 【分析】（1）利用待定系数法解答，即可求解； （2）过点作轴于点，求出点的坐标后，可得，从而得到，设点的坐标为，用含的代数式表示出、的长，代入，求出的值，即可得到点坐标； （3）分三种情况讨论：一、当为对角线；二、当为对角线；三、当为对角线，结合平行四边形的性质，即可求解． 【详解】（1）解：将点和代入， 整理得到方程组 ， 解得：， 所以二次函数的解析式为：． 令，得：， 解得：， 已知点的坐标为， 所以点的坐标为． （2） 解：如图，过点作轴于点， 令，得， 点， 点 平分 设点的坐标为， 则，， 解得：（舍去）， ， 点的坐标为． （3）解：设，，因为，，根据平行四边形的性质分以下三种情况讨论： 当为对角线时：， 解得：， 代入抛物线得 （舍去）， ； 当为对角线时：， 解得：， 代入抛物线得 ， 或； 当为对角线时： ， 解得：， 代入抛物线得 （舍去）， ， 综上所述，或或． 5．（2026·山东东营·三模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于点和点，与轴交于点． (1)求这个二次函数的表达式； (2)二次函数图象的对称轴与直线交于点，若点是直线上方抛物线上的一个动点，求面积的最大值； (3)点、点分别是对称轴、二次函数图象上的动点，是否存在以、、、四点为顶点的平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)． (2)的最大值为． (3)点或或存在以、、、四点为顶点的平行四边形． 【分析】（1）根据待定系数法，求出，，即可得到函数解析式； （2）过点作于点，作于点，交于点，根据等腰直角三角形的性质，求出，根据抛物线求出对称轴，求出点的坐标，根据两点间的距离公式求出， 要使的值最大，则需取到最大值，即可；设过点与平行的直线的解析式为：，当直线：与抛物线相切时，有最大值；联立可得：，分别求出点，点的坐标，求出，根据勾股定理求出，即可得到三角形的面积； （3）设点，，分类讨论：①当为边时，四边形是平行四边形，②当为对角线时，四边形是平行四边形，求出的坐标，即可． 【详解】（1）解：∵的图象与轴交于点和点， ∴， 解得：， ∴． （2）解：过点作于点，作于点，交于点， ∵，， ∴， ∵轴， ∴， 抛物线的对称轴为：， ∴， ∴点， ∵点， ∴， ∵， ∴要使的值最大，则需取到最大值，即可； 设过点与平行的直线的解析式为：，当直线：与抛物线只有一个交点时，取到最大值，即取到 最大值； ∴， 整理得：， 由得，， 求得：； ∴， 解得：， ∴当，，即点； 当，，即点； ∴， 设， ∴， 解得：， ∴， ∴． （3）解：存在，理由如下： ∵点在对称轴上， ∴设点； ∵点在二次函数图象上， ∴设， ①当为边时，四边形是平行四边形， ∴， ∵点，点， ∴， ∴， ∴， 解得：，， ∴当时，， ∴点； 当时，， ∴点； ②当为对角线时，四边形是平行四边形， ∴， 解得：， ∴， ∴点； 综上所述，点或或存在以、、、四点为顶点的平行四边形． 【点睛】本题考查了二次函数及其图象的性质，一元二次方程的解法，平行四边形的判定和性质，轴对称的性质等知识，解决问题的关键是分类讨论． 6．（2026·山东济南·二模）二次函数的图象经过点，点． (1)求二次函数的表达式和顶点的坐标； (2)过点作轴的平行线，与二次函数的图象在第四象限内交于点．动点从点开始沿线段向点运动，速度为每秒个单位长度；动点从点开始沿线段向点运动，速度为每秒1个单位长度．已知，两动点同时运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动，设点的运动时间为秒． ①如图1，作直线，当直线与轴垂直时，判断直线是否经过点，并说明理由； ②如图2，连接，点是的中点，点是抛物线上一动点，当四边形是平行四边形时，求的值． 【答案】(1)； (2)①直线经过点；理由如下： 设直线交x轴于点G，如图所示： ∵轴，轴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∵点，点， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵ ， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， ∵点C的横坐标为1， ∴点C在直线上； ② 【分析】（1）待定系数法求出抛物线的解析式即可； （2）①设直线交x轴于点G，证明四边形为矩形，得出，根据，求出，从而得出，求出t的值，进行判定即可； ②根据四边形为平行四边形，得出，点M在对称轴的左侧，连接，过点G作，交抛物线于点M，过点E作于点H，根据中点坐标公式求出，待定系数法求出直线的解析式为，直线的解析式为，联立，求出点M的坐标为，再根据中点坐标公式求出结果即可． 【详解】（1）解：把点，点代入得： ， 解得：， ∴二次函数解析式为：， ∵， ∴顶点的坐标为； （2）解：①略 ②∵四边形为平行四边形， ∴， ∵点C为抛物线的顶点， ∴点M在对称轴的左侧， 连接，过点G作，交抛物线于点M，过点E作于点H，如图所示： 根据①可得：，， 则 ， ∴ ， ∴点E的坐标为， 根据题意得：点F的坐标为， ∴点G的坐标为，即， 设直线的解析式为，把，代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为， ∵， ∴设直线的解析式为：， 把代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为：， 联立， 解得：或（舍去） ∴点M的坐标为， ∵平行四边形的对角线互相平分， ∴根据中点坐标公式得：， 解得：． 题型二：二次函数中的矩形存在性问题 7．（25-26九年级上·江苏盐城·期末）在平面直角坐标系中，一个图形上的点都在一边平行于轴的矩形内部（包括边界），这些矩形中面积最小的矩形称为该图形的“相关矩形”．例如：如图，函数（）的图象，它的“相关矩形”为矩形．若二次函数（）图象的“相关矩形”恰好也是矩形，则______． 【答案】或 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，先求出点的坐标，再根据定义分抛物线经过点和点两种情况解答即可求解，理解题意是解题的关键． 【详解】解：把代入函数，得， ∴， 由题意知， ∵四边形是矩形， ∴， 当抛物线经过点时，把和代入得， ， 解得； 当抛物线经过点时，把和代入得， ， 解得； 综上，若二次函数（）图象的“相关矩形”恰好也是矩形，则或， 故答案为：或． 8．（23-24九年级下·吉林·阶段检测）如图，抛物线的顶点在线段上移动，与x轴交于C、D两点，若，当四边形是矩形时，此时抛物线的解析式是 _____．    【答案】 【分析】本题考查二次函数性质与几何图形应用，根据矩形的性质得到，设抛物线解析式为，求得顶点坐标为，代入求出a即可得到抛物线的解析式． 【详解】∵四边形是矩形， ∴， 又∵C、D两点在x轴， ∴轴，轴，轴， ∴， 设抛物线解析式为， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴顶点坐标为， 将点代入，得 ∴， ∴抛物线的解析式为， 故答案为：． 9．（2023·宁夏银川·模拟预测）如图，抛物线的顶点坐标是，且经过原点，并与轴相交于另一点，连接、． (1)求抛物线的解析式与点的坐标； (2)若点是抛物线上的一个动点，当运动到何处时，是以为直角边的直角三角形？ (3)在线段上有两动点、，且点在点的左边，在上有一点，线段上有一点，并且四边形是矩形，问当点位于何处时，四边形的面积最大，最大面积是多少？ 【答案】(1)，点的坐标为 (2)点，时，是以为直角边的直角三角形 (3)时，四边形的面积最大，最大值为 【分析】（1）设抛物线顶点式解析式，然后把点的坐标代入求出的值，即可得解，再令，解关于的一元二次方程即可得到点的坐标； （2）根据点、的坐标求出，然后求出，从而得到点与点重合时符合；再根据时求出直线的解析式，然后与抛物线联立求解即可得到点的坐标； （3）设，根据矩形的对边平行可得，然后求出和相似，利用相似三角形对应高的比等于对应边的比列式表示出，再根据矩形的面积公式列式整理并利用二次函数的最值问题解答． 【详解】（1）解：设抛物线顶点式解析式， 经过原点， ， 解得， 抛物线的解析式为 即； 令，则， 解得，， 点的坐标为； （2）点，， ， ， 点与点重合时，是以为直角边的直角三角形， 此时， 时，， 直线的解析式为， 联立， 解得，， 此时，点， 综上所述，点，时，是以为直角边的直角三角形； （3）设， 四边形是矩形， ， ， 即 解得， 四边形的面积， 当时，四边形的面积最大，最大值为， 此时，， 此时，点坐标为， 故，时，四边形的面积最大，最大值为． 10．（2026·辽宁丹东·一模）在平面直角坐标系中，抛物线（为常数）与轴交于点和点，与轴交于点．点，在该抛物线上，设点的横坐标为，点的横坐标为． (1)求的值及点的坐标； (2)当时，求的值； (3)过点作轴的垂线，过点作轴的垂线，两条垂线交于点，以，为边构造矩形，若矩形的边（不含矩形的顶点）与抛物线有交点时，交点记为，当与矩形的面积之比为时，求出此时的值； (4)点是点关于抛物线对称轴的对称点，将抛物线上，两点之间的部分（含，两点）记为图象，点为轴上一动点，过点作轴的垂线，当直线与图象W只有一个公共点时，请直接写出的取值范围． 【答案】(1)，的坐标为 (2)， (3)或 (4)或 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）利用两点之间的距离公式列式计算即可求解； （3）分两种情况讨论，①当边与抛物线有交点时，②当边与抛物线有交点时，分别画出图形，列式计算即可求解； （4）分四种情况讨论，画出图形，列出不等组，分别求解即可． 【详解】（1）解：将点代入， 得， 解得， ∴，令，即， ∴，， ∴点的坐标为； （2）解：由题意得，点，点， ∴，即， ∴，； （3）解：∵， ∴对称轴为直线， ①当边与抛物线有交点时，如图1， ∵与矩形的面积之比为， 即与的面积之比为， ∴点G为的中点， 又∵轴， ∴点G和点N关于对称轴对称， ∴，， 又∵点G为的中点， ∴，即， ∴； ②当边与抛物线有交点时，如图2， ∵与矩形的面积之比为， 即与的面积之比为， ∴点G为的中点， 又∵轴， ∴点M和点G关于对称轴对称， ∴， ， 又∵点G为的中点， ∴，即， ∴； 综上，或； （4）解：∵对称轴为直线，顶点坐标为， 令，则， ∴， ∵点是点关于抛物线对称轴的对称点， ∴， 分情况讨论， 当时，如图， 直线与图象只有一个公共点， ∴， 解不等式得或， 解不等式得， 又， ∴； 当时，如图， 直线与图象只有一个公共点， ∴， 解不等式得， 解不等式得， 又， ∴； 当时，如图， 直线与图象只有一个公共点， ∴， 解不等式得， 解不等式得， 又， ∴； 当时，如图， 直线与图象只有一个公共点， ∴， 解不等式得，不符合题意； 综上，的取值范围是或或，即或． 11．（2026·辽宁抚顺·一模）在平面直角坐标系中，抛物线（b，c为常数）与x轴交于点和． (1)求该抛物线的函数表达式． (2)若点A在该抛物线上，过点A作平行于x轴的直线交该抛物线于另一点B，点A在点B的左侧．当时，求点A的坐标． (3)将抛物线先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度得到新的抛物线，在上有一点P，其横坐标为m，点Q的坐标为，以为对角线构造矩形，且矩形的边所在直线垂直于坐标轴． ①当抛物线在矩形内部（包括边界）的最高点与最低点的纵坐标的差为3时，求m的值； ②当抛物线与矩形的边有四个公共点时，直接写出m的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)①m的值为或；② 【分析】（1）利用待定系数法解答即可； （2）根据抛物线的对称性解答即可； （3）①先求出平移后抛物线的解析式，然后分四种情况解得即可； ②结合①分四种情况解得即可． 【详解】（1）解：∵抛物线过点和， ， 解得， ∴抛物线的函数表达式为； （2）解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵轴，，点A在点B的左侧， 由抛物线图象的对称性得：， ∴， ∴点A的坐标为； （3）解：①∵， ∴抛物线的顶点坐标为， 平移后抛物线的顶点坐标为， ∴平移后抛物线的解析式为， 由题意得：不能平行于x轴，点P的坐标为，点Q的坐标为， 当时，， ∴， 当时，， 分以下四种情况： 当时，如图1，抛物线在矩形内部（包括边界）只有点P一个点，不符合题意，故舍去． 当时，如图2，抛物线在矩形内部（包括边界）的最高点的纵坐标与点Q的纵坐标相同；最低点的纵坐标与点P的纵坐标相同． ， 解得， 当时，如图3，抛物线在矩形内部（包括边界）的最高点的纵坐标与点P的纵坐标相同；最低点的纵坐标与点Q的纵坐标相同． （舍去）或（舍去）．   当时，如图4，抛物线在矩形内部（包括边界）的最高点的纵坐标与点P的纵坐标相同；最低点为抛物线顶点． 或（舍去）． 综上所述，m的值为或   ②如图1，当时，抛物线与矩形的边有一个公共点； 如图2，当时，抛物线与矩形的边有两个公共点； 当时，抛物线与矩形的边有三个公共点； 如图3，当时，抛物线与矩形的边有四个公共点； 当时，经过抛物线的顶点，此时抛物线与矩形的边有三个公共点； 如图4，当时，抛物线与矩形的边有两个公共点． ∴m的取值范围为． 12．（2024·海南海口·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，与轴交于点两点，与轴交于点，连接直线． (1)求抛物线的函数关系式； (2)点是位于直线上方抛物线上的一个动点， ①如图1所示，过点作平行于轴与抛物线另一个交点为，当点位于上方时，过点作与轴平行的直线交于点，连接线段、、．当四边形的面积等于时，求点坐标； ②如图2所示，连接与直线交于点，当时，求的值； (3)是抛物线上一个动点，在平面内是否存在，使得、、、为顶点的四边形是矩形．若存在，直接写出点坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)①；② (3)或或或 【分析】（1）由点，的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式； （2）①利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点、的坐标，进而求得点的坐标，根据四边形的面积等于，得出，由点，的坐标，利用待定系数法可求出直线的解析式，设，则，将的坐标，代入直线的解析式，求得的值，即可求解； ②证明，列比例式可得的长，设，，表示的长，求得，进而根据正切的定义，即可求解； ③分三种情况讨论，当为矩形的对角线时，当为对角线时，当为对角线时，分别画出图形，根据矩形的性质，利用勾股定理以及解直角三角形的方法求解即可． 【详解】（1）解：将代入， 得，解得， ∴解析式为； （2）①解析式为 ∴对称轴为直线 ∵， ∴关于直线对称 当时，， ， ∴ ∴ ∵四边形的面积等于， ∴ ∴ 设直线的解析式为， 将，分别代入得， 解得：， 直线的解析式为：， 设，则即 ∵在上 ∴ 解得：或（与点重合舍去） ∴ ②过点作轴的平行线，交直线于点，交轴于点， 过点作轴的平行线，交直线于点， ， 当时，， ，， 轴， ， ， ， ， 设，， ， 解得：， ， ，， 在中，； （3）解：∵， ∴ ∴ 设 当为矩形的对角线时， ∵， ∴ 整理得， 即 ∴ ∵， ∴ 解得：或 当时，，则 当时，，则 当为对角线时，如图，设交轴于点， ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 设直线的解析式为代入 ∴ ∴ ∴直线的解析式为 联立 解得：或 ∴ 当为对角线时， ∴ ∴直线的解析式为 联立 解得：或 ∴ 综上所述，或或或 题型三：二次函数中的菱形存在性问题 13．（2024·湖南衡阳·模拟预测）二次函数的图象如图所示，点O为坐标原点，点A在y轴的正半轴上，点B，C在函数图象上，四边形为菱形，且，则点C的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了菱形的性质、二次函数图象上点的坐标特征，根据二次函数图象上点的坐标性质得出的长是解题关键． 连接交于D，如图，根据菱形的性质得，，利用含30度的直角三角形三边的关系得，设，则，，利用二次函数图象上点的坐标特征得，得出，，然后根据菱形的性质得出C点坐标． 【详解】解：连接交于D，如图， 四边形为菱形， ， ， ， ， 设，则， ， 把代入, 得， 解得（舍去）， ， ，， 故C点坐标为：． 故答案为：B． 14．（24-25九年级上·浙江温州·阶段检测）如图，抛物线y=－x2+ 4x+c交y轴正半轴于点A，过点A作AC∥x轴交抛物线于另一点C，点B在x轴上，点D在AC上方的抛物线上．当四边形ABCD是菱形时，则c的值为_________． 【答案】4 【分析】先配方求出抛物线顶点坐标，再求出点A坐标，根据菱形性质得D坐标，从而得出关于c的方程，求解即可． 【详解】解： ∴抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为（2，4+c） 令x=0，则y=c ∴A(0,c) 连接BD， ∵AC∥x轴交抛物线于另一点C， ∴DB⊥x轴，且DB在抛物线的对称轴上 ∴B(2,0) ∴D(2,2c) ∴4+c=2c 解得，c=4 故答案为：4 【点睛】本题主要考查了抛物线的性质以及菱形的性质，熟练掌握抛物线的性质是解答本题的关键． 15．（2024·江苏镇江·一模）如图，抛物线经过点．为轴上一动点，过点且垂直于轴的直线与直线及抛物线分别交于点． (1)求抛物线的函数表达式． (2)若点在线段上且位于抛物线对称轴左侧，当为何值时，的面积为4？ (3)在（2）的条件下，若点为直线上一点，点为平面直角坐标系内一点，是否存在这样的点和点，使得以点为顶点的四边形是菱形？若存在，写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，点D的坐标为或或或 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）表示，再表示三角形的面积求解即可； （3）设，利用勾股定理，中点坐标公式，分类求解即可； 【详解】（1）解：∵抛物线经过点， ∴， 解得， ∴抛物线解析式为； （2）解：抛物线对称轴， 设， ∴当时，， ∴， 当时，得，整理，得， 解得（舍去）． ∴点的坐标为； （3）解：根据题意，得点的坐标为，， ， 设， 当为对角线时，如图，点C的横坐标为，此时纵坐标为， 故为，根据菱形的对称性质，得到点为 当为边时，也为边时，根据题意，得， 过作轴的垂线，垂足为，在中由勾股定理得， ， 解得， 故或， 设，，根据中点坐标公式，得 ， 解得， 故； 设，，根据中点坐标公式，得 ， 解得， 故； 当为边时，为对角线时， 过作轴的垂线，垂足为，在中由勾股定理得， ，解得（舍去），， 故 设，，根据中点坐标公式，得 ， 解得， 故； 综上可知点D的坐标为或或或 ． 16．（2024·广东湛江·模拟预测）综合应用 如图，四边形中，，，连接，点以每秒2个单位长度从点向终点运动，同时点以每秒5个单位长度从点沿射线运动，点是点关于直线的对称点，连接，当点到达终点时，两点同时停止运动，运动时间记为秒． (1)当时，求的值； (2)连接，当四边形是菱形时，求的长； (3)①填空： ； ②连接，若的面积记为 ，请直接写出 与的函数关系式． 【答案】(1) (2) (3)①；② 【分析】（1）根据勾股定理得出，由题意确定，再由平行线分线段成比例建立方程求解即可； （2）连接交于点O，当四边形是菱形时，得出，再由平行线的性质得出，利用三角函数确定，代入求解计算即可得出结果； （3）①延长交于点，根据等角对等边得出，设，则．然后利用勾股定理得出，再由正弦函数求解即可；②先确定当三点共线时，，然后分两种情况分析：当时，当时，结合图形，求面积即可． 【详解】（1）解：在中，， ． 由题意得， ∴． ∵， ，则， 解得． （2）连接交于点O，当四边形是菱形时， ， ∵，， ∴，， ∴， ． ．即， 解得：， ∴， ． 四边形是菱形 ． （3）①延长交于点， ∵点是点关于直线的对称点． ， 由（2）得， ，则， 设，则． ∴中， ， 解得，即． ． ． ②当三点共线时，如图所示，作于点， ． ，则． 作于点． 根据题意得：， 由． 则， ． 整理得 解得（不合题意，舍去） （i）当时， ． （ii）当时， 综上所述． 17．（2026九年级下·海南海口·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点，与轴交于点，且关于直线对称． (1)求该抛物线的解析式； (2)当时，的取值范围是，求的值； (3)点是抛物线上位于第一象限的一个动点，过点作轴的垂线交直线于点， ①求线段的最大值， ②在轴上是否存在点，使得以为顶点的四边形是菱形？若存在，求出该菱形的边长；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)①；②存在，边长为或2 【分析】（1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）分和，两种情况，结合二次函数的增减性进行求解即可． （3）①根据题意求出点坐标，得到直线的解析式，设，则，进而可得即可；②分为菱形的边和菱形的对角线两种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点，与y轴交于点B，且关于直线对称， ∴，解得：， ∴； （2）∵抛物线的开口向下，对称轴为直线， ∴抛物线上点到对称轴上的距离越远，函数值越小， ∵时，， ①当时，则：当时，函数有最大值，即：， 解得：或，均不符合题意，舍去； ②当时，则：当时，函数有最大值，即：， 解得：， 故； （3）①当时，解得：，当时，， ∴，， 设直线的解析式为，把代入，得：， ∴， 设，则：， ∴， 故线段的最大值为； ②存在； 由①知，，， 当B，C，D，E为顶点的四边形是菱形时，分两种情况： ①当为边时，则：，即， 解得：（舍去）或， 此时菱形的边长为； ②当为对角线时，则：，即：， 解得：或（舍去） 此时菱形的边长为：； 综上：存在以B，C，D，E为顶点的四边形是菱形，边长为或2． 18．（24-25九年级下·重庆江北·期中）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点，已知点坐标为，顶点的坐标为，抛物线的对称轴与轴的交点为． (1)求抛物线的解析式； (2)如图2，一条长度为2的线段在线段上平移，过点作轴，交抛物线于点，交直线于点，过点作轴，交抛物线于点，交直线于点．请求出的最大值以及此时点的坐标； (3)如图3，将抛物线沿轴正方向平移得到新抛物线，当新抛物线经过点时，记与的交点为．点为原抛物线对称轴上一点，点为平面内一点．若以为顶点的四边形是菱形且为菱形的边，请直接写出点的坐标并选择其中一个坐标写出求解过程． 【答案】(1) (2)有最大值3，此时 (3)点坐标为或或或 【分析】（1）设抛物线的解析式为，将代入解得，即可求出解析式； （2）先求出，直线的解析式为，设，则，，，，，求出，即可得到当时，有最大值3，此时； （3）设平移后的函数解析式为，联立解析式求出，设，，当为菱形的对角线时，由求出，由对角线与互相平分，根据中点公式得到，；同理当为菱形的对角线时，，对角线与互相平分，求得，，即可得到点坐标． 【详解】（1）解：∵抛物线顶点的坐标为， ∴设抛物线的解析式为， 将代入，可得， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：令，则， 解得， ∴，， 设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， 设，则，， ∵一条长度为2的线段在线段上平移，过点作轴，交抛物线于点，交直线于点，过点作轴， ∴，，，即，， ∴，， ∴， ∴当时，有最大值3， 此时，则； （3）解：∵顶点的坐标为， ∴，对称轴为直线， ∴设原抛物线对称轴上一点为， ∵将抛物线沿轴正方向平移得到新抛物线， ∴设平移后的抛物线解析式为，， 将代入，可得， 解得， ∵， ∴； ∴平移后的函数解析式为， 联立方程组， 解得， ∴， 设， ∵， ∴，，， ∵以为顶点的四边形是菱形且为菱形的边， 当为菱形的对角线时，，对角线与互相平分， ∴， 解得， ∴或， ∵与互相平分， ∴， 解得，， ∴或； 当为菱形的对角线时，，对角线与互相平分， ∴， 解得， ∵与互相平分， ∴， 解得，， ∴或； 综上所述：点坐标为或或或． 【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，函数图象平移的性质，菱形的性质，分类讨论是解题的关键． 题型四：二次函数中的正方形存在性问题 19．（25-26九年级上·全国·期末）如图，正方形的边在轴上，，定义：若某个抛物线上存在一点，使得点到正方形四个顶点的距离相等，则称这个抛物线为正方形的“友好抛物线”若抛物线是正方形的“友好抛物线”，则的值为__________． 【答案】或 【分析】本题主要考查正方形的性质，抛物线的性质，确定出到四个点距离相等的点的位置是解题的关键． 到四个点距离都相等的点为的交点，求出点的坐标，将点的坐标代入二次函数解析式，求出的值即可． 【详解】解：连接交于点， 由题意得，抛物线必经过点， 在正方形中，，， ， 则的交点， ∵在抛物线上， ， 整理得，即， 或 解得或． 故答案为：或． 20．（2024·陕西汉中·二模）如图，抛物线与x轴交于、两点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)点N在坐标平面内，请问在抛物线上是否存在点M，过点M作x轴的垂线交x轴于点H，使得四边形是正方形？若存在，求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在的坐标为或时，使得四边形是正方形 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的图象及性质、二次函数综合问题． （1）利用将、代入，利用待定系数法即可求解； （2）由题意，设，四边形是正方形，可知，得则，分两种情况：当时，当时，分别求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，将、代入， 得：，解得：， ∴抛物线的函数表达式为； （2）存在的坐标为或时，使得四边形是正方形，理由如下： 由题意，设， ∵，四边形是正方形，轴，则， ∴， 则， 即：， 当时， 解得：，（舍去）， 则，即； 当时， 解得：，（舍去）， 则，即； 综上，存在的坐标为或时，使得四边形是正方形． 21．（24-25九年级下·山东菏泽·期中）如图，在平面直角坐标系中，将一个正方形放在第一象限斜靠在两坐标轴上，且点，的坐标分别为，，抛物线经过点． (1)求点的坐标； (2)求抛物线的表达式，并求出其顶点坐标； (3)在抛物线上是否存在点与点（点，除外）使四边形为正方形？若存在，请求出，的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)，顶点坐标为； (3)， 【分析】（1）如图，作轴于点，证明出，得到，，进而求解即可； （2）利用待定系数法求出抛物线的解析式为，即可得到顶点坐标为； （3）如图，以为边在的左侧作正方形，过作于，轴于，同（1）可证，求出点坐标为，点坐标为．然后分别代入抛物线验证即可． 【详解】（1）如图，作轴于点， ∵四边形为正方形， ∴， ∵， ∴， 又∵ ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴点坐标为； （2）∵抛物线经过点， ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为 ∴顶点坐标为； （3）在抛物线上存在点、，使四边形是正方形． 如图，以为边在的左侧作正方形，过作于，轴于， 同（1）可证， ∴，， ∴点坐标为，点坐标为． 由（2）抛物线， 当时，；当时，． ∴、在抛物线上． 故在抛物线上存在点、，使四边形是正方形． 【点睛】此题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数和四边形综合，全等三角形的性质和判定，正方形的性质等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 22．（26-27九年级上·江苏·寒假作业）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点，与轴交于点，且关于直线对称． (1)求该抛物线的解析式； (2)当时，的取值范围是，求的值； (3)若点、在直线上，问：在该二次函数图象上是否存在点，，使得四边形是正方形？若存在，请直接写出的长；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，或 【分析】（1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）分和，两种情况，结合二次函数的增减性进行求解即可． （3）先求出直线，设，直线与轴交点为，当在上方时，过点作于点，可得，设直线，与抛物线表达式联立得，，得到，设，那么由韦达定理可得，则，而，则得到，解得或（舍），故；当在下方时，同理求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点，与y轴交于点B，且关于直线对称， ∴，解得：， ∴； （2）解：∵抛物线的开口向下，对称轴为直线， ∴抛物线上点到对称轴上的距离越远，函数值越小， ∵时，， ①当时，则：当时，函数有最大值，即：， 解得：或，均不符合题意，舍去； ②当时，则：当时，函数有最大值，即：， 解得：； 故； （3）解：存在，理由如下： 对于，当时，， ∴， 设直线 ∵点， ∴， 解得， ∴直线， 设，直线与轴交点为， 当在上方时，过点作于点，如图： ∵正方形， ∴，， ∴ ∵， ∴， ∴由得， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴设直线， 与抛物线表达式联立得，， ∴， 设 ∴， ∴ ∵， ∴， 解得或（舍）， ∴； 当在下方时，过点作于点，如图： 同理可得，，， ∵， ∴设直线， 与抛物线表达式联立得，， ∴， 设 ∴， ∴ ∵， ∴， 解得或（舍）， ∴； 综上：的长为或． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，正方形的性质，一元二次方程根与系数的关系等知识点，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． 23．（24-25九年级上·安徽阜阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，点，以为直角边，在第二象限作等腰直角三角形，抛物线经过点． (1)求抛物线的解析式． (2)设抛物线的顶点为，连接，求的面积． (3)在抛物线上是否还存在两点，使四边形为正方形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在， 【分析】（1）过点作轴于点，则．证明，则，则，得到点．把点代入，解得，即可求出答案； （2）求出抛物线的顶点的坐标，利用待定系数法求出直线的解析式为．设直线和轴的交点为，得到点的坐标为，则，即可求出答案； （3）延长至点，使，过点作轴于点，证明进一步得到点．过点作为垂足，且使，连接，则四边形为正方形．过点作轴于点，证明，进一步得到点．验证两点都在抛物线上，即可得到结论． 【详解】（1）解：如图，过点作轴于点，则． ∴ ∵， ∴ ． 在和中， ∵， ， ， ， 点． 把点代入， 得， 解得， 抛物线的解析式为． （2）由， 点的坐标为． 设直线的解析式为． 将点代入， 得， 解得， 直线的解析式为． 设直线和轴的交点为， 当时，，解得 ∴点的坐标为， ， ． （3）存在．如图，延长至点，使，过点作轴于点， ∴， ∴， ∴， ∴ ， 点． 过点作为垂足，且使，连接，则四边形为正方形． 过点作轴于点， ∴， ∴， ∴， ∴， ， ， 点． 当时，， 当时，， ∴两点都在抛物线上， 在抛物线上存在两点，使四边形为正方形． 【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质、二次函数的图象和性质、正方形的判定和性质、一次函数的图象和性质等知识，添加辅助线构造全等三角形是解题的关键． 24．（2024·陕西榆林·二模）如图，已知抛物线与轴交于点，与轴交于，两点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)若点是第二象限抛物线上的动点，轴，交直线于点，点在轴上，点在坐标平面内，是否存在点，使以，，，为顶点的四边形是正方形？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在点，点的坐标为或 【分析】本题属于二次函数综合题，考查了待定系数法求函数的解析式，二次函数的性质，正方形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象及性质，正方形的性质，学会用分类讨论的思想思考问题． （1）将、两点坐标代入到中，利用待定系数法求函数解析式． （2）由题意和可得点坐标，与点坐标代入一次函数，中解出解析式，从而得出点坐标，再分两种情况：①当为正方形的一条边时，②当为正方形的对角线时，根据正方形的性质，即可求解． 【详解】（1）将，代入中， 得， 解得： 抛物线的函数表达式为． （2）由题意和可得， ， 可设直线的函数表达式为：， 将代入得：， ， 直线的函数表达式为. 设（），分两种情况： ①当为边时，如图1，四边形是正方形（点、可互换位置）. 则， 故的纵坐标与的纵坐标相等为， 将代入中，可得的横坐标为， 则点E的坐标为， ，即， 解得（，要舍）或， 点的坐标为． ②当为对角线时，如图2，连接，过点作轴于点H， ，， 易得， 则， 则的纵坐标为， 点的坐标为． 点在直线上， ， 解得或2（，要舍）， 点的坐标为． 综上可得：存在点，使以，，，为顶点的四边形是正方形，点的坐标为或． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $