专题02 二次函数的综合题专训之等腰三角形、直角三角形存在性问题的三种模型（高效培优专项训练）数学新教材湘教版九年级上册

专题02 二次函数的综合题专训之等腰三角形、直角三角形存在性问题的三种模型 题型一 二次函数综合题专训之等腰三角形存在性问题 题型二 二次函数综合题专训之直角三角形存在性问题 题型三 二次函数综合题专训之等腰直角三角形存在性问题 题型一：二次函数综合题专训之等腰三角形存在性问题 1．B 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，抛物线与x轴的交点，根与系数的关系，等腰三角形的判定和性质，勾股定理的应用等，明确函数与方程的关系是解题的关键．由抛物线开口方向和对称轴即可判断①；根据抛物线与x轴交于点，且，即可判断②；利用根与系数的关系即可判断③；利用二次函数的对称性和增减性即可判断④；利用勾股定理得到关于a的方程，求得a的值即可判断⑤． 【详解】解：∵抛物线的对称轴在y轴的右侧， ∴a、b异号， ∵， ∴，故①错误； ∵抛物线与x轴交于点，， ∴， ∵， ∴，故②正确； ∵抛物线与x轴交于点，， ∴和3是方程的两个根， ∴，， ∵和是关于x的一元二次方程的两根， ∴，， ∴，故③正确； ∵抛物线与x轴交于点，， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴点关于对称轴的对称点为， ∵抛物线上有两点，，且， ∴点在对称轴的左侧， ∵抛物线开口向下， ∴，故④正确； 当是等腰三角形时，则， ∵， ∴， ∴， ∵过， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 解得（正值舍去）， ∴当是等腰三角形时，符合条件的a值有1个，故⑤错误． 故选：B． 2．或或 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．令，求得点的坐标，依据分类讨论的思想方法，利用为等腰三角形和等腰三角形的性质进行分类讨论，解答即可得出结论． 【详解】解：令，则， 解得：或． 抛物线与轴交于，两点，点在点的左侧， ， 点的横坐标为2， ， ； ①当时，如图， 过点作于点， ，， ，，， ． 在和中， ， ， ． ，， ， ， ； 结合是等腰三角形，且， ； ②当时，如图， 过点作轴于点， ，， ，，， 设点， 点为轴的正半轴上的一点， ，， ， ， ， ， 解得：， ； ③当时，如图 此时点P与O重合，与题意不符合，故舍去． 综上，当为等腰三角形，则点的坐标为或或． 故答案为：或或． 3．或或 【分析】本题考查二次函数的图像与性质、一次函数的图像与性质、用待定系数法求函数解析式、等腰三角形的性质、勾股定理等知识与方法，注意分类讨论是解题关键． 先由直线与轴、轴分别交于点、点，求出点和点的坐标，再将点、点的坐标代入列方程组求出、的值，然后由抛物线的解析式求出其顶点坐标和对称轴，再按或或为底边进行分类讨论，根据勾股定理或等腰三角形的性质分别求出的长即可求得点的坐标． 【详解】解：直线与轴、轴分别交于点、点， 当时，由得；当时，， ，， 把，代入，得，解得， 该抛物线的解析式为； ， 该抛物线的顶点为，对称轴为直线， 设， ①等腰三角形以为底边，如图1所示： ， 由得，或（不符合题意，舍去）， ∴； ②等腰三角形以为底边，作于点，如图2所示： ， ， ， ， ； ③等腰三角形以为底边，作，交直线于点，如图3所示： ， ， ， ， ，， ， 解得， ， ， 综上所述，点的坐标为或或， 故答案为：或或． 4．(1)，，；   (2)点坐标为 (3)证明：设， 设过定点直线， 联立抛物线， 得：， 整理，得， 由根与系数的关系得：，①， 联立与抛物线得：， 由根与系数的关系得， 即②， 设直线，联立抛物线得， ∴，, 把②代入，得， 整理得：， 由变形，得， 将②代入得：， 整理，得④， 由①，得，代入，得 ， 整理，得，代入④，得 ， 整理，得， ∴直线方程为：， 对任意，当时，，与无关， 故直线恒过定点． 【分析】（）先由直线与坐标轴的交点求出坐标，再结合已知点的坐标，将三点代入抛物线一般式列方程组，求解系数，从而得到抛物线解析式； （）先根据抛物线解析式求出对称轴，设出对称轴上点的坐标，再计算出，然后分和两种等腰情况列方程求解，得到点的坐标； （）先设出过定点的直线方程，与抛物线联立，用韦达定理得到点的横坐标关系；再联立直线与抛物线，得到点的横坐标关系；接着设出直线的方程并与抛物线联立，用根与系数的关系表示出斜率和截距，通过代数化简消去参数，最终得到直线恒过的定点坐标． 【详解】（1）解：已知直线过，在轴、在轴： 令，得，即； 令，得，即 将、、代入方程组， 解得，，， ∴抛物线解析式为， ∴ （2）解：∵抛物线解析式为， ∴抛物线对称轴为， 设， ∵、 ∴，， 分两种情况讨论（为腰）： 当：， 解得， ∴、； 当：， 解得， ∴， 综上，点的坐标为，，； （3）略 5．(1) (2) (3)或或 【分析】本题主要考查了二次函数综合，待定系数法求函数的表达式，等腰三角形的定义，勾股定理等等，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）求出，则可求出直线的函数表达式为，设，则，则可得到，解方程即可得到答案； （3）设，则，分三种情况：当时，则，当时，则，当时，则，利用两点间的距离公式建立方程求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过两点， ∴， 解得， ∴抛物线的函数表达式为； （2）解：在中，当时，， ∴； 设直线的函数表达式为，则， ∴， ∴直线的函数表达式为， 设，则， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：由（2）可知，直线的函数表达式为， 设，则， ∵， ∴， ， ， 当时，则， ∴， 解得或（舍去）， ∴点P的坐标为； 当时，则， ∴， 解得， ∴点P的坐标为； 当时，则， ∴， 解得或（舍去） ∴点P的坐标为； 综上所述，点P的坐标为或或． 6．(1)，； (2)Q的坐标为或或或； (3)或 【分析】本题主要考查了二次函数综合，求二次函数解析式，二次函数的翻折问题，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． （1）利用一次函数解析式求出点B和点C的坐标，再利用待定系数法求出抛物线解析式，再把抛物线解析式化为顶点式求出点P的坐标即可； （2）设，由两点距离计算公式可得，， ，再分三种情况，分别建立方程求解即可； （3）图象翻折后点P对应点的坐标为，①当直线恰好经过，直线与该“M”形状的图象部分恰好有三个公共点，②当直线与x轴上方的部分沿x轴向下翻折后的图象相切时，此时，直线与该“M”形状的图象部分恰好有三个公共点；据此讨论求解即可． 【详解】（1）解：在中，当时，，当时，， ∴点B、C的坐标分别为、， 将点B、C的坐标分别代入抛物线表达式得：， 解得， ∴抛物线的表达式为， ∴顶点P的坐标为； （2）解：由（1）可知抛物线对称轴为直线， 设， ∵， ∴，， ； ①当时，则， ∴， 解得或（舍去）， ∴此时点Q的坐标为； ②当时，则， ∴， 解得或， ∴此时点Q的坐标为或； ③当时，则， ∴， ∴， ∴此时点Q的坐标为； 综上所述，点Q的坐标为或或或； （3）解：图象翻折后点P对应点的坐标为， ①当直线恰好经过，直线与该“M”形状的图象部分恰好有三个公共点， ∴ ∴； ②当直线与x轴上方的部分沿x轴向下翻折后的图象相切时，此时，直线与该“M”形状的图象部分恰好有三个公共点； 设点为原抛物线x轴上方的部分沿x轴向下翻折后的图象上一点，则点是原抛物线x轴上方的部分的图象上一点， ∴， ∴， ∴原抛物线x轴上方的部分沿x轴向下翻折后的图象对应的函数解析式为， 联立得， 则， 解得． 综上所述，或． 题型二：二次函数综合题专训之直角三角形存在性问题 7．或 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数图象的平移，勾股定理等．由抛物线的对称性求出点B的坐标，由抛物线的平移表示出点C的坐标，再根据勾股定理列方程即可求解． 【详解】解：抛物线L的解析式为， 抛物线L的对称轴为直线，顶点坐标为， 抛物线L过两点， ， ， ，， 抛物线L向左或向右平移后得到抛物线M， 设抛物线M的顶点， ，， 是以为斜边的直角三角形， ， ， 整理得， 解得，， 点C的坐标为或 故答案为：或． 8． 【分析】本题考查了二次函数综合运用，新定义运算，熟练掌握新定义以及二次函数的性质是解题的关键． 根据定义可得抛物线解析式为，据此可得，根据抛物线解析式，可得定点，进而可证明为抛物线顶点，则，故为等腰直角三角形，由于点Q到的距离为3，则，可得交点坐标为或，据此利用待定系数法求解即可； 【详解】解：∵抛物线的伴随直线是， ∴原抛物线解析式为， ∴，． ∵抛物线解析式为， ∴时的函数值与a值无关，此时， ∴即抛物线过定点，且点Q为抛物线顶点，对称轴为直线． ∵点A、B为抛物线与x轴的交点，Q为抛物线顶点， ∴， ∵点A、B与定点Q构成直角三角形， ∴，即为等腰直角三角形． ∵为抛物线顶点，对称轴为直线， ∴点Q到的距离为3， ∴， ∴点A、B到对称轴的距离为3， ∴抛物线与轴交点坐标为或， 选择代入，可得 解得． 故答案为：；． 9．(1)，， (2)存在，P的坐标是或 【分析】（1）待定系数法求出函数解析式，对称性求出点坐标即可； （2）分和两种情况进行讨论求解即可. 【详解】（1）解：把和代入得： ，解得， ∴， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴点关于对称轴的对称点为，即； （2）解：存在， 当时，设交轴于点， ∵点A的坐标是，点C的坐标是， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， 设直线的解析式为，把代入，得， ∴， 联立，解得或， ∴； 当时，则， ∴的解析式为， 联立，解得或， ∴； 综上：或. 10．(1) (2)①点P的坐标为；②存在，点M的坐标为或 【分析】（1）根据题意，分别求出点C的坐标，利用求出点A的坐标，再利用待定系数法求出抛物线的解析式即可； （2）①设点P的坐标为，利用待定系数法求出直线的解析式，用含a的式子表示出点E的坐标，用含a的式子表示出和的长度，由，得到关于a的方程，求得a的值，即可得到点P的坐标； ②设点M的坐标为，分别求得、、的长度，根据是以为直角边的直角三角形，所以可分为两种情况：一是为斜边，二是为斜边，利用勾股定理列出关于m的方程，求解即可． 【详解】（1）解：∵直线与轴交于点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵直线与抛物线交于点， ∴点坐标为， 把点、坐标代入解析式 得， 解得：， ∴抛物线的解析式为：． （2）解：①∵是直线上方的抛物线上一点 ∴设点的坐标为 设直线解析式： 将点、坐标代入解析式，得 解得： ∴ ∵轴于，交于点，如图， ∴点坐标为 ∴ ∵ ∴ 解得：（舍去）， 当时， ∴点坐标是 ②∵点M在直线上， ∴设点M的坐标为 ∵点，点， ∴， ∵为以为直角边的直角三角形， Ⅰ：当为斜边时，可得：， ∴， ∴， ∴点M的坐标为， Ⅱ：当为斜边时，可得：， ∴， ∴ ∴点M的坐标为 综上所述，符合题意的点M的坐标为或． 11．(1) (2) (3)存在，N点坐标为或或或 【分析】(1) 将，代入抛物线表达式，利用待定系数法求解． (2) 先求出点坐标和直线表达式，用表示和的长度，列方程求解． (3) 先求顶点坐标，设，用勾股定理分三种情况讨论直角顶点． 【详解】（1）解：将，代入， ， 解得， 抛物线的解析式为． （2）解：设， 当时，， ， 设直线解析式为， ， 解得， 直线的解析式为， 轴， ，， ，， 当时，， 解得或（舍去）， 时，． （3）解：存在点N，使得以点B，D，N为顶点的三角形为直角三角形，理由如下： ， ， 设 ，， ， ①当为斜边时， 解得或， 或； ②当为斜边时， 解得， ； ③当为斜边时， 解得， ； 综上所述：N点坐标为或或或． 12．(1) (2)或 (3) (4)或 【分析】（1）利用待定系数法将点的坐标代入解析式即可求解； （2）分点A为直角顶点和点C为直角顶点两种情况讨论，即可得； （3）据垂线段最短，可得当时，最短，即最短，根据等积法求出即可得出答案； （4）分别把，分别代入抛物线的解析式求出n的值，即可得出答案． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于点，， ∴， 解得： ， 则抛物线的解析式是； （2）解：存在． 把代入得：， ∴点C的坐标为； ①当以C为直角顶点时，过点C作，交抛物线于点，过点作y轴的垂线，垂足是M，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设， 则， 解得：（舍去），， ∴， 此时， ∴的坐标是； ②当点A为直角顶点时，过A作交抛物线于点，过点作y轴的垂线，垂足是N，交y轴于点F，如图所示： 则轴， ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵ ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， 设， 则， 解得：，（舍去）， ∴， 此时， ∴的坐标是． 综上所述：P的坐标是或； （3）解：连接OD，如图， 由题意可知，四边形是矩形，则， 根据垂线段最短可得：当时，最短，即最短， 由（1）可知，在直角中，， ∴， ∵， ∴， ∴线段的最小值为； （4）解：根据解析（1）可得：， ∴抛物线的解析式为：， 抛物线的对称轴为：直线， 当抛物线经过点时，， 解得：， 当抛物线经过点时，， 解得：， 当抛物线经过点时，， 解得：， ∴当或时，抛物线与线段只有一个公共点． 题型三：二次函数综合题专训之等腰直角三角形存在性问题 13．或 14．(1) (2)a：2；b：或或 【分析】（1）根据抛物线与x轴交于点，称轴为求解即可； （2）a：先求出点C和点B的坐标，如图所示，连接交对称轴于P，连接，根据轴对称最短路径可知与抛物线对称轴的交点即为点P，进一步求解即可； b：当点P为直角顶点时，由对称性可知；当点B为直角顶点时，若点P在x轴的下方时，作于点H，设，对称轴与x轴交于点G，证明得，，则，代入函数解析式即可求解；若点P在x轴的上方时，作于点H，设，对称轴与x轴交于点G，同样的方法求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于点，称轴为， ∴， ∴， ∴抛物线解析式为； （2）解：a：当时，， ∴点C的坐标为． 当时，， 解得， ∴点B的坐标为， 如图所示，连接交对称轴于P，连接， 由轴对称的性质可知， ∴的周长为， 此时的周长最短， 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴点P的坐标为． ∴，， ∴； b：当点P为直角顶点时，如图， ∵点P在对称轴上， ∴此时点Q与点A重合，即； 当点B为直角顶点时， 如图，若点P在x轴的下方时，作于点H，设，对称轴与x轴交于点G， ∴． ∵． ∴， ∴， ∵， ∴ ∴，， ∴， ∴，代入抛物线解析式得， ， 整理得，， 解得（舍去），， ∴． 如图，若点P在x轴的上方时，作于点H，设，对称轴与x轴交于点G， 同理可证 ∴，， ∴， ∴，代入抛物线解析式得， ， 整理得，， 解得，（舍去）， ∴． 综上所述，点Q的坐标为或或． 15．(1)抛物线的函数解析式为，点坐标为； (2)抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线； (3)直线函数解析式为； (4)点坐标为或． 【分析】此题主要考查了利用待定系数法求函数解析式，平面直角坐标系中两点间的距离，等腰直角三角形的性质，正确理解待定系数法和熟练掌握二次函数的性质是解题关键． （）利用待定系数法即可求解； （）先把二次函数配成顶点式，然后根据二次函数的性质即可求解； （）利用待定系数法即可求解； （）设，则，然后分为当，，当，两种情况分析即可． 【详解】（1）解：∵抛物线过点， ∴，解得：， ∴抛物线的函数解析式为， ∵点横坐标为，且在抛物线上， ∴， ∴点坐标为； （2）解：由（）得，抛物线的函数解析式为， ∴， ∴抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线； （3）解：由（）得点坐标为， ∵点坐标为， 设直线函数解析式为， ∴，解得：， ∴直线函数解析式为； （4）解：设，则， 如图，当，， ∴， 解得：（舍去）或， 此时点坐标为； 如图，当，， ∴， ∴，， ∴， ∴， 解得：或（舍去）， 此时点坐标为； 综上可得：点坐标为或． 16．(1)抛物线的表达式为：，， (2)①的最大值为，此时；②，． 【分析】（1）利用待定系数法求得抛物线解析式，然后将代入，即可求得、的坐标； （2）①设点，其中，先利用待定系数法求得直线的表达式为，设，那么，然后利用二次函数的性质求解即可；②先求得其对称轴为，设点，其中，过点作对称轴于点，设交轴于点，那么，先证明，得到，那么有，从而解得答案． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于点， ∴， ∴， ∴抛物线的表达式为：， 当时，，解得或， ∵抛物线与轴交于、两点， ∴，； 综上，抛物线的表达式为：，，； （2）解：设点，其中，连接，过点作轴的垂线交于点，连接，如图所示： 设直线为，代入，， ，解得， ∴直线的表达式为， 设， ∴，     ∵，， ∴， ∵， ∴当时，取得最大值，最大值为， 当时，， ∴； ∴的最大值为，此时； ②∵抛物线的表达式为：， ∴其对称轴为， 设点，其中，过点作对称轴于点，设交轴于点，那么，如图所示： ∵是以为底的等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，其中，在对称轴上， ∴， ∴， ∴， ∴，（舍去）， ∴， ∴，． 故答案为：，． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，等腰直角三角形的性质，三角形全等的判定与性质，二次函数的最值问题，待定系数法求函数解析式，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 17．(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（）根据对称性求出点的坐标，即可求出的长； （）利用待定系数法求出抛物线解析式，进而求出函数的最大值及最小值即可求解； （）分别过作直线的垂线，垂足为，可证，得到，，即得，又可得，即得到，可得，即可求证； 本题考查了二次函数的性质，待定系数法求二次函数解析式，二次函数的几何应用，掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于、两点，对称轴为直线， ∴, ∴， 即线段的长为； （2）解：由题意得，， 解得， ∴抛物线， ∵， ∴当时，取最大值，， 又∵当时，， ∴当时，的取值范围为； （3）证明：如图，分别过作直线的垂线，垂足为， 则， ∴， ∵为等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， 即为定值． 18．(1) (2)或 (3)存在，，，，． 【分析】（1）先求出点B的坐标，再用待定系数法求解即可； （2）在A点上方的y轴取点D，连接，求出使得的点D的坐标，求出过点D且平行的直线的解析式，再运用求交点横坐标的方法求解m即可； （3）作于点E，于点F，根据题意可知当，时，是以为斜边的等腰直角三角形，从而根据列出m的方程求解即可． 【详解】（1）解：将代入得， 解得： ∴点B坐标为 由题意，， 解得，， ∴抛物线的函数关系式是． （2）当时，， ∴， ∵点B坐标为，抛物线对称轴为直线， ∴点C坐标为， 由题意， 在A点上方的y轴取点D，连接，设，则，即， 解得， 过点D作的平行线交抛物线于点M， 由题意，该直线函数关系式为 令 解得，， 或 （3）存在．，，，． 作于点E，于点F ， 当，时，， ， ， ∴， ∴当，时，是以为斜边的等腰直角三角形． ， 解得，，，，． 2 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题02二次函数的综合题专训之等腰三角形、直角三角形存在性问 题的三种模型 题型归纳 题型一二次函数综合题专训之等腰三角形存在性问题 题型二二次函数综合题专训之直角三角形存在性问题 题型三二次函数综合题专训之等腰直角三角形存在性问题 题型专练 题型一：二次函数综合题专训之等腰三角形存在性问题 1.(2025黑龙江齐齐哈尔·一模)如图，抛物线y=ax2+bx+C(a≠0)与x轴交于点A(-l,0),B(3,0),与 y轴的正半轴交于点C.下列结论：①b<0;②9a+3b+2c>0；③若和x2是关于x的一元二次方程 心+x+2c=0的两根，则子+巧=16：④抛物线上有两点2”（么，）若y<乃，则，的取值范围 1 5 是2<1<2：⑤当。4BC是等腰三角形时，符合条件的a值有3个.其中正确结论的个数为(） B A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 2.2526九年级上内菽古锡林郭勒阶段检测)抛物线=+x+4与x轴交于AB两点（点4在 点B的左侧)，点C在抛物线上，且点C的横坐标为2，若点P为y轴上非原点的一点，且△BCP为等腰三 角形，则点P的坐标为 3.(25-26九年级上江西南昌阶段检测)如图，直线y=-x+5与x轴，y轴分别交于点B,C,若在经过 1/8 面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B,C两点的抛物线y=x+r+c的对称轴上有一点M(点M在第一象限)，使△CPM为等腰三角形，点 P为抛物线的顶点，则点M的坐标为 4.(2026湖北武汉模拟预测)如图1，抛物线y=2+bx+c与x轴交于点A(-l,0)、B,与y轴交于点 C.直线y=x-3经过点B,C B 图1 图2 (1)a=,b=,c= (2)若点P为抛物线对称轴上一点，若△PAC是以PA为腰的等腰三角形，求点P的坐标。 (3)如图2，过定点K(2,1)且不与坐标轴平行的直线与抛物线交于M,N两点，过点N的直线y=2x+n交 抛物线于另一点T.求证：直线MT恒过定点，并求出该定点坐标， 5.(25-26九年级上江西九江期末)如图，己知抛物线y=2+bx-6经过A(-山，-4)，B(3,0)两点，与y 轴交于点C,连接AC,BC.P是线段OB上一动点，过点P作PMLx轴，交抛物线于点M,交线段BC 于点W. (1)求抛物线的函数表达式： 2/8 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (②)当PW=3OC时，求出点M和点N的坐标： (3)连接AN,当△ACN是等腰三角形时，直接写出点P的坐标. 6.(25-26九年级上广东中山期中)如图，直线y=x-3与x轴、y轴分别交于点B、点C,经过B、C两 点的抛物线y=-x+mr+n与x轴的另一个交点为A,顶点为P. (1)求抛物线的解析式及顶点P的坐标： (②)在该抛物线的对称轴上是否存在点Q,使以C、P、Q为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，求出所 有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由： (3)将该抛物线在x轴上方的部分沿x轴向下翻折，图象的其余部分保持不变，翻折后的图象与原图象x轴 下方的部分组成一个“M形状的新图象，若直线y=x+b与该“M形状的图象部分恰好有三个公共点，求 b的值： 题型二：二次函数综合题专训之直角三角形存在性问题 7.(2025广东珠海一模)抛物线L:y=a(cx-3)2-1过A(-2,3),B(m,3)两点，将抛物线L向左或向右平移 后得到抛物线M,设抛物线M的顶点为C.若△ABC是以AB为斜边的直角三角形，则点C的坐标为 8.(25-26九年级上浙江绍兴阶段检测)定义：在平面直角坐标系中，直线y=a(x-h)+k(a≠0)称为 抛物线y=a(x-h+k(a≠0)的伴随直线，如直线y=-(x+)-2为抛物线y=-(x+1)'-2的伴随直线.若 抛物线y=m+br+c(a≠0)的伴随直线是y=a(x+l)-3,则b= (用a的代数式表示)；若该抛 物线经过定点Q,且与x轴交于点A和点B,当△ABO为直角三角形时，则a= 9.(2026九年级上全国专题练习)如图，在平面直角坐标系中，己知抛物线y=x+bx+c过A,B,C 三点，点A的坐标是(3,0)，点C的坐标是(0，-3)，动点P在抛物线上. 318 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)b= 一，C=一，点B的坐标为 (2)是否存在点P,使得△ACP是以AC边为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标； 若不存在，说明理由， 10.(2024江苏扬州模拟预测)如图，在平面直角坐标系中，直线x=-2与x轴交于点C,与抛物线 y=-x2+bx+c交于点A,此抛物线与x轴的正半轴交于点B(1,0),且AC=2BC. CI O B x 直线x=-2 (1)求抛物线的解析式： (2)点P是直线AB上方抛物线上的一点.过点P作PD垂直于x轴于点D,交线段AB于点E,使DE=3PE ①求点P的坐标： ②在直线PD上是否存在点M,使△ABM为以AB为直角边的直角三角形？若存在，直接写出符合条件的 点M的坐标；若不存在，说明理由. 11.(2026山东东营·二模)如图，在平面直角坐标系中，抛物线F:y=am2+bx+3的图象交x轴于A(-1,0), B(3,0)两点，交y轴于点C 4/8 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 M B A B 备用图 (1)求抛物线F的函数表达式： (②)点P是线段OB上的一个动点，沿OB以每秒1个单位长度的速度由点O向点B运动，过点P作EP⊥x 轴，交抛物线于点E,交直线BC于点M.在点P运动过程中，运动时间t为何值时，MC=ME? (3)设抛物线F顶点为D,点N是y轴上一动点，试判断是否存在这样的点N,使得以点B,D,N为顶点的 三角形为直角三角形，若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由 12.(2026~海南海口·一模)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=am2+bx+4与x轴交于点A(4,0), B(-1,O),与y轴交于点C,P是抛物线上一动点. 备用图 (1)求该抛物线的解析式： (2)是否存在点P,使得△ACP是以AC为直角边的直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请 说明理由： (3)过动点P作PE垂直于y轴于点E,交直线AC于点D,过点D作x轴的垂线，垂足为F,连接EF,请 直接写出线段EF的最小值： (4M(1,2),N(3,2)是平面直角坐标系中的两点，当抛物线y=ax2+bx+4+n与线段MN只有一个公共点时， 求n的取值范围. 题型三：二次函数综合题专训之等腰直角三角形存在性问题 5/8 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 13.(25-26八年级下辽宁盘锦期中)如图，抛物线y=(x-)-4与x轴交于A、B两点，A在B的左侧， 与'轴交于C,点P为对称轴右侧的抛物线上一动点，以BP为斜边作等腰直角三角形，直角顶点M正好 落在对称轴上，则P点的坐标 14.(2026湖南株洲模拟预测)如图，已知抛物线y=ax+bx+3(a≠0)与x轴交于A、B两点，其中点 A(1,0),对称轴为x=-1,与y轴交于点C. (1)求抛物线的表达式. (2)点P是抛物线对称轴上一动点.， PA a:当aP4C的周长最小值时，求PC的值. b:点卫是对称轴右侧抛物线上的一点，当△PQB是以PB为腰的等腰直角三角形时，请求出所有2点的坐 标 15.(24-25九年级上河北邯郸期中)如图：已知抛物线y=-x+2x+c与直线相交于点A和点C,A点 坐标为(-1,0)，C点横坐标为2 图1 图2 6/8 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)求抛物线的函数解析式和C点坐标： (2)求抛物线的顶点坐标和对称轴： (3)求直线AC函数解析式： (④若点P是x轴上方抛物线上的一个动点，P⊥x轴交AC于点)，若△PQC是等腰直角三角形，直接 写出P点坐标 16.(25-26九年级上甘肃兰州期末)如图，抛物线y=(x+1+k与x轴交于A、B两点，与y轴交于点 C(0,-3) 0B OB (1)求抛物线的解析式及点A、B的坐标： (2)点M是抛物线上一动点，且在第三象限； ①当M点运动到何处时，△ACM的面积最大？求出△ACM的最大面积及此时点M的坐标； ②在抛物线的对称轴上存在一点P,使△AMP是以AM为底的等腰直角三角形，请直接写出点P和点M的 坐标 17.(24-25九年级上湖北恩施期末)如图1，在平面直角坐标系xOy中，己知抛物线y=ar2+br+3与x 轴交于A(3,0)、B两点，与y轴交于点C,且关于直线x=1对称. y 图1 图2 (I)求线段AB的长： (2)当0<x<3时，求y的取值范围； (③)如图2，点G为抛物线对称轴上的点，点E(m,乃)，F(m,乃)在对称轴右侧抛物线上，若AGEF为等腰 直角三角形，∠EGF=90°，试证明：m-n为定值. 718 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 18.(25-26九年级下·山东烟台期中)如图，二次函数y=ax+bx+C的图象与直线y=x-2交于点 A(0,-2)和点B(4,n),对称轴是直线x=1,过B平行于x轴的直线与抛物线的另一个交点是C.M是抛物 线上任意一点，其横坐标是. 备用图 (1)求抛物线的函数关系式： (②)当点M在直线AB上方时，若S△w 2Sac,求m的值： (3)设N是直线BC上的点，是否存在点M和点N的位置，使△AMN是以AN为斜边的等腰直角三角形？若 存在，请求所有的值：若不存在，请说明理由 8/8 专题02 二次函数的综合题专训之等腰三角形、直角三角形存在性问题的三种模型 题型一 二次函数综合题专训之等腰三角形存在性问题 题型二 二次函数综合题专训之直角三角形存在性问题 题型三 二次函数综合题专训之等腰直角三角形存在性问题 题型一：二次函数综合题专训之等腰三角形存在性问题 1．（2025·黑龙江齐齐哈尔·一模）如图，抛物线与轴交于点，，与轴的正半轴交于点．下列结论：①；②；③若和是关于的一元二次方程的两根，则；④抛物线上有两点，．若，则的取值范围是；⑤当是等腰三角形时，符合条件的值有3个．其中正确结论的个数为（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，抛物线与x轴的交点，根与系数的关系，等腰三角形的判定和性质，勾股定理的应用等，明确函数与方程的关系是解题的关键．由抛物线开口方向和对称轴即可判断①；根据抛物线与x轴交于点，且，即可判断②；利用根与系数的关系即可判断③；利用二次函数的对称性和增减性即可判断④；利用勾股定理得到关于a的方程，求得a的值即可判断⑤． 【详解】解：∵抛物线的对称轴在y轴的右侧， ∴a、b异号， ∵， ∴，故①错误； ∵抛物线与x轴交于点，， ∴， ∵， ∴，故②正确； ∵抛物线与x轴交于点，， ∴和3是方程的两个根， ∴，， ∵和是关于x的一元二次方程的两根， ∴，， ∴，故③正确； ∵抛物线与x轴交于点，， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴点关于对称轴的对称点为， ∵抛物线上有两点，，且， ∴点在对称轴的左侧， ∵抛物线开口向下， ∴，故④正确； 当是等腰三角形时，则， ∵， ∴， ∴， ∵过， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 解得（正值舍去）， ∴当是等腰三角形时，符合条件的a值有1个，故⑤错误． 故选：B． 2．（25-26九年级上·内蒙古锡林郭勒·阶段检测）抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），点在抛物线上，且点的横坐标为2，若点为轴上非原点的一点，且为等腰三角形，则点的坐标为______． 【答案】或或 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．令，求得点的坐标，依据分类讨论的思想方法，利用为等腰三角形和等腰三角形的性质进行分类讨论，解答即可得出结论． 【详解】解：令，则， 解得：或． 抛物线与轴交于，两点，点在点的左侧， ， 点的横坐标为2， ， ； ①当时，如图， 过点作于点， ，， ，，， ． 在和中， ， ， ． ，， ， ， ； 结合是等腰三角形，且， ； ②当时，如图， 过点作轴于点， ，， ，，， 设点， 点为轴的正半轴上的一点， ，， ， ， ， ， 解得：， ； ③当时，如图 此时点P与O重合，与题意不符合，故舍去． 综上，当为等腰三角形，则点的坐标为或或． 故答案为：或或． 3．（25-26九年级上·江西南昌·阶段检测）如图，直线与x轴，y轴分别交于点B，C，若在经过B，C两点的抛物线的对称轴上有一点M（点M在第一象限），使为等腰三角形，点P为抛物线的顶点，则点M的坐标为______． 【答案】或或 【分析】本题考查二次函数的图像与性质、一次函数的图像与性质、用待定系数法求函数解析式、等腰三角形的性质、勾股定理等知识与方法，注意分类讨论是解题关键． 先由直线与轴、轴分别交于点、点，求出点和点的坐标，再将点、点的坐标代入列方程组求出、的值，然后由抛物线的解析式求出其顶点坐标和对称轴，再按或或为底边进行分类讨论，根据勾股定理或等腰三角形的性质分别求出的长即可求得点的坐标． 【详解】解：直线与轴、轴分别交于点、点， 当时，由得；当时，， ，， 把，代入，得，解得， 该抛物线的解析式为； ， 该抛物线的顶点为，对称轴为直线， 设， ①等腰三角形以为底边，如图1所示： ， 由得，或（不符合题意，舍去）， ∴； ②等腰三角形以为底边，作于点，如图2所示： ， ， ， ， ； ③等腰三角形以为底边，作，交直线于点，如图3所示： ， ， ， ， ，， ， 解得， ， ， 综上所述，点的坐标为或或， 故答案为：或或． 4．（2026·湖北武汉·模拟预测）如图，抛物线与轴交于点、，与轴交于点．直线经过点，． (1)=_____，_____，_____． (2)若点为抛物线对称轴上一点，若是以为腰的等腰三角形，求点的坐标． (3)如图，过定点且不与坐标轴平行的直线与抛物线交于，两点，过点的直线交抛物线于另一点．求证：直线恒过定点，并求出该定点坐标． 【答案】(1)，，；   (2)点坐标为 (3)证明：设， 设过定点直线， 联立抛物线， 得：， 整理，得， 由根与系数的关系得：，①， 联立与抛物线得：， 由根与系数的关系得， 即②， 设直线，联立抛物线得， ∴，, 把②代入，得， 整理得：， 由变形，得， 将②代入得：， 整理，得④， 由①，得，代入，得 ， 整理，得，代入④，得 ， 整理，得， ∴直线方程为：， 对任意，当时，，与无关， 故直线恒过定点． 【分析】（）先由直线与坐标轴的交点求出坐标，再结合已知点的坐标，将三点代入抛物线一般式列方程组，求解系数，从而得到抛物线解析式； （）先根据抛物线解析式求出对称轴，设出对称轴上点的坐标，再计算出，然后分和两种等腰情况列方程求解，得到点的坐标； （）先设出过定点的直线方程，与抛物线联立，用韦达定理得到点的横坐标关系；再联立直线与抛物线，得到点的横坐标关系；接着设出直线的方程并与抛物线联立，用根与系数的关系表示出斜率和截距，通过代数化简消去参数，最终得到直线恒过的定点坐标． 【详解】（1）解：已知直线过，在轴、在轴： 令，得，即； 令，得，即 将、、代入方程组， 解得，，， ∴抛物线解析式为， ∴ （2）解：∵抛物线解析式为， ∴抛物线对称轴为， 设， ∵、 ∴，， 分两种情况讨论（为腰）： 当：， 解得， ∴、； 当：， 解得， ∴， 综上，点的坐标为，，； （3）略 5．（25-26九年级上·江西九江·期末）如图，已知抛物线经过两点，与轴交于点，连接，．是线段上一动点，过点作轴，交抛物线于点，交线段于点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)当时，求出点和点的坐标； (3)连接，当是等腰三角形时，直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或或 【分析】本题主要考查了二次函数综合，待定系数法求函数的表达式，等腰三角形的定义，勾股定理等等，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）求出，则可求出直线的函数表达式为，设，则，则可得到，解方程即可得到答案； （3）设，则，分三种情况：当时，则，当时，则，当时，则，利用两点间的距离公式建立方程求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过两点， ∴， 解得， ∴抛物线的函数表达式为； （2）解：在中，当时，， ∴； 设直线的函数表达式为，则， ∴， ∴直线的函数表达式为， 设，则， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：由（2）可知，直线的函数表达式为， 设，则， ∵， ∴， ， ， 当时，则， ∴， 解得或（舍去）， ∴点P的坐标为； 当时，则， ∴， 解得， ∴点P的坐标为； 当时，则， ∴， 解得或（舍去） ∴点P的坐标为； 综上所述，点P的坐标为或或． 6．（25-26九年级上·广东中山·期中）如图，直线与x轴、y轴分别交于点B、点C，经过B、C两点的抛物线与x轴的另一个交点为A，顶点为P． (1)求抛物线的解析式及顶点P的坐标； (2)在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使以C、P、Q为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由； (3)将该抛物线在x轴上方的部分沿x轴向下翻折，图象的其余部分保持不变，翻折后的图象与原图象x轴下方的部分组成一个“M”形状的新图象，若直线与该“M”形状的图象部分恰好有三个公共点，求b的值． 【答案】(1)，； (2)Q的坐标为或或或； (3)或 【分析】本题主要考查了二次函数综合，求二次函数解析式，二次函数的翻折问题，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． （1）利用一次函数解析式求出点B和点C的坐标，再利用待定系数法求出抛物线解析式，再把抛物线解析式化为顶点式求出点P的坐标即可； （2）设，由两点距离计算公式可得，， ，再分三种情况，分别建立方程求解即可； （3）图象翻折后点P对应点的坐标为，①当直线恰好经过，直线与该“M”形状的图象部分恰好有三个公共点，②当直线与x轴上方的部分沿x轴向下翻折后的图象相切时，此时，直线与该“M”形状的图象部分恰好有三个公共点；据此讨论求解即可． 【详解】（1）解：在中，当时，，当时，， ∴点B、C的坐标分别为、， 将点B、C的坐标分别代入抛物线表达式得：， 解得， ∴抛物线的表达式为， ∴顶点P的坐标为； （2）解：由（1）可知抛物线对称轴为直线， 设， ∵， ∴，， ； ①当时，则， ∴， 解得或（舍去）， ∴此时点Q的坐标为； ②当时，则， ∴， 解得或， ∴此时点Q的坐标为或； ③当时，则， ∴， ∴， ∴此时点Q的坐标为； 综上所述，点Q的坐标为或或或； （3）解：图象翻折后点P对应点的坐标为， ①当直线恰好经过，直线与该“M”形状的图象部分恰好有三个公共点， ∴ ∴； ②当直线与x轴上方的部分沿x轴向下翻折后的图象相切时，此时，直线与该“M”形状的图象部分恰好有三个公共点； 设点为原抛物线x轴上方的部分沿x轴向下翻折后的图象上一点，则点是原抛物线x轴上方的部分的图象上一点， ∴， ∴， ∴原抛物线x轴上方的部分沿x轴向下翻折后的图象对应的函数解析式为， 联立得， 则， 解得． 综上所述，或． 题型二：二次函数综合题专训之直角三角形存在性问题 7．（2025·广东珠海·一模）抛物线过两点，将抛物线L向左或向右平移后得到抛物线M，设抛物线M的顶点为C．若是以为斜边的直角三角形，则点C的坐标为_______． 【答案】或 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数图象的平移，勾股定理等．由抛物线的对称性求出点B的坐标，由抛物线的平移表示出点C的坐标，再根据勾股定理列方程即可求解． 【详解】解：抛物线L的解析式为， 抛物线L的对称轴为直线，顶点坐标为， 抛物线L过两点， ， ， ，， 抛物线L向左或向右平移后得到抛物线M， 设抛物线M的顶点， ，， 是以为斜边的直角三角形， ， ， 整理得， 解得，， 点C的坐标为或 故答案为：或． 8．（25-26九年级上·浙江绍兴·阶段检测）定义：在平面直角坐标系中，直线称为抛物线的伴随直线，如直线为抛物线的伴随直线．若抛物线的伴随直线是，则________（用的代数式表示）；若该抛物线经过定点，且与轴交于点和点．当为直角三角形时，则__________． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数综合运用，新定义运算，熟练掌握新定义以及二次函数的性质是解题的关键． 根据定义可得抛物线解析式为，据此可得，根据抛物线解析式，可得定点，进而可证明为抛物线顶点，则，故为等腰直角三角形，由于点Q到的距离为3，则，可得交点坐标为或，据此利用待定系数法求解即可； 【详解】解：∵抛物线的伴随直线是， ∴原抛物线解析式为， ∴，． ∵抛物线解析式为， ∴时的函数值与a值无关，此时， ∴即抛物线过定点，且点Q为抛物线顶点，对称轴为直线． ∵点A、B为抛物线与x轴的交点，Q为抛物线顶点， ∴， ∵点A、B与定点Q构成直角三角形， ∴，即为等腰直角三角形． ∵为抛物线顶点，对称轴为直线， ∴点Q到的距离为3， ∴， ∴点A、B到对称轴的距离为3， ∴抛物线与轴交点坐标为或， 选择代入，可得 解得． 故答案为：；． 9．（2026九年级上·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线过A，B，C三点，点A的坐标是，点C的坐标是，动点P在抛物线上． (1)_______，______，点B的坐标为______． (2)是否存在点P，使得是以边为直角边的直角三角形?若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1)，， (2)存在，P的坐标是或 【分析】（1）待定系数法求出函数解析式，对称性求出点坐标即可； （2）分和两种情况进行讨论求解即可. 【详解】（1）解：把和代入得： ，解得， ∴， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴点关于对称轴的对称点为，即； （2）解：存在， 当时，设交轴于点， ∵点A的坐标是，点C的坐标是， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， 设直线的解析式为，把代入，得， ∴， 联立，解得或， ∴； 当时，则， ∴的解析式为， 联立，解得或， ∴； 综上：或. 10．（2024·江苏扬州·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点C，与抛物线交于点A，此抛物线与x轴的正半轴交于点，且． (1)求抛物线的解析式； (2)点P是直线上方抛物线上的一点．过点P作垂直于x轴于点D，交线段于点E，使． ①求点P的坐标； ②在直线上是否存在点M，使为以为直角边的直角三角形？若存在，直接写出符合条件的点M的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)①点P的坐标为；②存在，点M的坐标为或 【分析】（1）根据题意，分别求出点C的坐标，利用求出点A的坐标，再利用待定系数法求出抛物线的解析式即可； （2）①设点P的坐标为，利用待定系数法求出直线的解析式，用含a的式子表示出点E的坐标，用含a的式子表示出和的长度，由，得到关于a的方程，求得a的值，即可得到点P的坐标； ②设点M的坐标为，分别求得、、的长度，根据是以为直角边的直角三角形，所以可分为两种情况：一是为斜边，二是为斜边，利用勾股定理列出关于m的方程，求解即可． 【详解】（1）解：∵直线与轴交于点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵直线与抛物线交于点， ∴点坐标为， 把点、坐标代入解析式 得， 解得：， ∴抛物线的解析式为：． （2）解：①∵是直线上方的抛物线上一点 ∴设点的坐标为 设直线解析式： 将点、坐标代入解析式，得 解得： ∴ ∵轴于，交于点，如图， ∴点坐标为 ∴ ∵ ∴ 解得：（舍去）， 当时， ∴点坐标是 ②∵点M在直线上， ∴设点M的坐标为 ∵点，点， ∴， ∵为以为直角边的直角三角形， Ⅰ：当为斜边时，可得：， ∴， ∴， ∴点M的坐标为， Ⅱ：当为斜边时，可得：， ∴， ∴ ∴点M的坐标为 综上所述，符合题意的点M的坐标为或． 11．（2026·山东东营·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线的图象交x轴于，两点，交y轴于点C． (1)求抛物线F的函数表达式； (2)点P是线段上的一个动点，沿以每秒1个单位长度的速度由点O向点B运动，过点P作轴，交抛物线于点E，交直线于点M．在点P运动过程中，运动时间t为何值时，？ (3)设抛物线F顶点为D，点N是y轴上一动点，试判断是否存在这样的点N，使得以点B，D，N为顶点的三角形为直角三角形，若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，N点坐标为或或或 【分析】(1) 将，代入抛物线表达式，利用待定系数法求解． (2) 先求出点坐标和直线表达式，用表示和的长度，列方程求解． (3) 先求顶点坐标，设，用勾股定理分三种情况讨论直角顶点． 【详解】（1）解：将，代入， ， 解得， 抛物线的解析式为． （2）解：设， 当时，， ， 设直线解析式为， ， 解得， 直线的解析式为， 轴， ，， ，， 当时，， 解得或（舍去）， 时，． （3）解：存在点N，使得以点B，D，N为顶点的三角形为直角三角形，理由如下： ， ， 设 ，， ， ①当为斜边时， 解得或， 或； ②当为斜边时， 解得， ； ③当为斜边时， 解得， ； 综上所述：N点坐标为或或或． 12．（2026·海南海口·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，，与轴交于点C，P是抛物线上一动点． (1)求该抛物线的解析式； (2)是否存在点，使得是以为直角边的直角三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)过动点作垂直于轴于点，交直线于点，过点作轴的垂线，垂足为，连接，请直接写出线段的最小值； (4)是平面直角坐标系中的两点，当抛物线与线段只有一个公共点时，求的取值范围． 【答案】(1) (2)或 (3) (4)或 【分析】（1）利用待定系数法将点的坐标代入解析式即可求解； （2）分点A为直角顶点和点C为直角顶点两种情况讨论，即可得； （3）据垂线段最短，可得当时，最短，即最短，根据等积法求出即可得出答案； （4）分别把，分别代入抛物线的解析式求出n的值，即可得出答案． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于点，， ∴， 解得： ， 则抛物线的解析式是； （2）解：存在． 把代入得：， ∴点C的坐标为； ①当以C为直角顶点时，过点C作，交抛物线于点，过点作y轴的垂线，垂足是M，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设， 则， 解得：（舍去），， ∴， 此时， ∴的坐标是； ②当点A为直角顶点时，过A作交抛物线于点，过点作y轴的垂线，垂足是N，交y轴于点F，如图所示： 则轴， ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵ ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， 设， 则， 解得：，（舍去）， ∴， 此时， ∴的坐标是． 综上所述：P的坐标是或； （3）解：连接OD，如图， 由题意可知，四边形是矩形，则， 根据垂线段最短可得：当时，最短，即最短， 由（1）可知，在直角中，， ∴， ∵， ∴， ∴线段的最小值为； （4）解：根据解析（1）可得：， ∴抛物线的解析式为：， 抛物线的对称轴为：直线， 当抛物线经过点时，， 解得：， 当抛物线经过点时，， 解得：， 当抛物线经过点时，， 解得：， ∴当或时，抛物线与线段只有一个公共点． 题型三：二次函数综合题专训之等腰直角三角形存在性问题 13．（25-26八年级下·辽宁盘锦·期中）如图，抛物线与轴交于、两点，在的左侧，与轴交于，点为对称轴右侧的抛物线上一动点，以为斜边作等腰直角三角形，直角顶点正好落在对称轴上，则点的坐标______． 【答案】或 【分析】求得点B的坐标为，过点P作轴，交抛物线对称轴于点F，设点P的坐标为，证明，得到，，推出，据此求解即可． 【详解】解：∵， 对称轴为直线， 令，则， 解得：，， ∴点A的坐标为，点B的坐标为． 设抛物线对称轴与x轴交于点E，过点P作轴，交抛物线对称轴于点F，如图所示． 设点P的坐标为，则，． ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴． ∵， ∴，即或， 解得：（舍去），，， ∴点P的坐标为或． 14．（2026·湖南株洲·模拟预测）如图，已知抛物线与轴交于、两点，其中点，对称轴为，与轴交于点． (1)求抛物线的表达式． (2)点是抛物线对称轴上一动点． a：当的周长最小值时，求的值． b：点是对称轴右侧抛物线上的一点，当是以为腰的等腰直角三角形时，请求出所有点的坐标． 【答案】(1) (2)a：2；b：或或 【分析】（1）根据抛物线与x轴交于点，称轴为求解即可； （2）a：先求出点C和点B的坐标，如图所示，连接交对称轴于P，连接，根据轴对称最短路径可知与抛物线对称轴的交点即为点P，进一步求解即可； b：当点P为直角顶点时，由对称性可知；当点B为直角顶点时，若点P在x轴的下方时，作于点H，设，对称轴与x轴交于点G，证明得，，则，代入函数解析式即可求解；若点P在x轴的上方时，作于点H，设，对称轴与x轴交于点G，同样的方法求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于点，称轴为， ∴， ∴， ∴抛物线解析式为； （2）解：a：当时，， ∴点C的坐标为． 当时，， 解得， ∴点B的坐标为， 如图所示，连接交对称轴于P，连接， 由轴对称的性质可知， ∴的周长为， 此时的周长最短， 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴点P的坐标为． ∴，， ∴； b：当点P为直角顶点时，如图， ∵点P在对称轴上， ∴此时点Q与点A重合，即； 当点B为直角顶点时， 如图，若点P在x轴的下方时，作于点H，设，对称轴与x轴交于点G， ∴． ∵． ∴， ∴， ∵， ∴ ∴，， ∴， ∴，代入抛物线解析式得， ， 整理得，， 解得（舍去），， ∴． 如图，若点P在x轴的上方时，作于点H，设，对称轴与x轴交于点G， 同理可证 ∴，， ∴， ∴，代入抛物线解析式得， ， 整理得，， 解得，（舍去）， ∴． 综上所述，点Q的坐标为或或． 15．（24-25九年级上·河北邯郸·期中）如图：已知抛物线与直线相交于点和点，点坐标为，点横坐标为． (1)求抛物线的函数解析式和点坐标； (2)求抛物线的顶点坐标和对称轴； (3)求直线函数解析式； (4)若点是轴上方抛物线上的一个动点，轴交于点，若是等腰直角三角形，直接写出点坐标． 【答案】(1)抛物线的函数解析式为，点坐标为； (2)抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线； (3)直线函数解析式为； (4)点坐标为或． 【分析】此题主要考查了利用待定系数法求函数解析式，平面直角坐标系中两点间的距离，等腰直角三角形的性质，正确理解待定系数法和熟练掌握二次函数的性质是解题关键． （）利用待定系数法即可求解； （）先把二次函数配成顶点式，然后根据二次函数的性质即可求解； （）利用待定系数法即可求解； （）设，则，然后分为当，，当，两种情况分析即可． 【详解】（1）解：∵抛物线过点， ∴，解得：， ∴抛物线的函数解析式为， ∵点横坐标为，且在抛物线上， ∴， ∴点坐标为； （2）解：由（）得，抛物线的函数解析式为， ∴， ∴抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线； （3）解：由（）得点坐标为， ∵点坐标为， 设直线函数解析式为， ∴，解得：， ∴直线函数解析式为； （4）解：设，则， 如图，当，， ∴， 解得：（舍去）或， 此时点坐标为； 如图，当，， ∴， ∴，， ∴， ∴， 解得：或（舍去）， 此时点坐标为； 综上可得：点坐标为或． 16．（25-26九年级上·甘肃兰州·期末）如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式及点、的坐标； (2)点是抛物线上一动点，且在第三象限； ①当点运动到何处时，的面积最大？求出的最大面积及此时点的坐标； ②在抛物线的对称轴上存在一点，使是以为底的等腰直角三角形，请直接写出点和点的坐标______． 【答案】(1)抛物线的表达式为：，， (2)①的最大值为，此时；②，． 【分析】（1）利用待定系数法求得抛物线解析式，然后将代入，即可求得、的坐标； （2）①设点，其中，先利用待定系数法求得直线的表达式为，设，那么，然后利用二次函数的性质求解即可；②先求得其对称轴为，设点，其中，过点作对称轴于点，设交轴于点，那么，先证明，得到，那么有，从而解得答案． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于点， ∴， ∴， ∴抛物线的表达式为：， 当时，，解得或， ∵抛物线与轴交于、两点， ∴，； 综上，抛物线的表达式为：，，； （2）解：设点，其中，连接，过点作轴的垂线交于点，连接，如图所示： 设直线为，代入，， ，解得， ∴直线的表达式为， 设， ∴，     ∵，， ∴， ∵， ∴当时，取得最大值，最大值为， 当时，， ∴； ∴的最大值为，此时； ②∵抛物线的表达式为：， ∴其对称轴为， 设点，其中，过点作对称轴于点，设交轴于点，那么，如图所示： ∵是以为底的等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，其中，在对称轴上， ∴， ∴， ∴， ∴，（舍去）， ∴， ∴，． 故答案为：，． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，等腰直角三角形的性质，三角形全等的判定与性质，二次函数的最值问题，待定系数法求函数解析式，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 17．（24-25九年级上·湖北恩施·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，且关于直线对称． (1)求线段的长； (2)当时，求的取值范围； (3)如图，点为抛物线对称轴上的点，点，在对称轴右侧抛物线上，若为等腰直角三角形，，试证明：为定值． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（）根据对称性求出点的坐标，即可求出的长； （）利用待定系数法求出抛物线解析式，进而求出函数的最大值及最小值即可求解； （）分别过作直线的垂线，垂足为，可证，得到，，即得，又可得，即得到，可得，即可求证； 本题考查了二次函数的性质，待定系数法求二次函数解析式，二次函数的几何应用，掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于、两点，对称轴为直线， ∴, ∴， 即线段的长为； （2）解：由题意得，， 解得， ∴抛物线， ∵， ∴当时，取最大值，， 又∵当时，， ∴当时，的取值范围为； （3）证明：如图，分别过作直线的垂线，垂足为， 则， ∴， ∵为等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， 即为定值． 18．（25-26九年级下·山东烟台·期中）如图，二次函数的图象与直线交于点和点，对称轴是直线，过B平行于x轴的直线与抛物线的另一个交点是C．M是抛物线上任意一点，其横坐标是m． (1)求抛物线的函数关系式； (2)当点M在直线上方时，若，求m的值； (3)设N是直线上的点，是否存在点M和点N的位置，使是以为斜边的等腰直角三角形？若存在，请求所有m的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)存在，，，，． 【分析】（1）先求出点B的坐标，再用待定系数法求解即可； （2）在A点上方的y轴取点D，连接，求出使得的点D的坐标，求出过点D且平行的直线的解析式，再运用求交点横坐标的方法求解m即可； （3）作于点E，于点F，根据题意可知当，时，是以为斜边的等腰直角三角形，从而根据列出m的方程求解即可． 【详解】（1）解：将代入得， 解得： ∴点B坐标为 由题意，， 解得，， ∴抛物线的函数关系式是． （2）当时，， ∴， ∵点B坐标为，抛物线对称轴为直线， ∴点C坐标为， 由题意， 在A点上方的y轴取点D，连接，设，则，即， 解得， 过点D作的平行线交抛物线于点M， 由题意，该直线函数关系式为 令 解得，， 或 （3）存在．，，，． 作于点E，于点F ， 当，时，， ， ， ∴， ∴当，时，是以为斜边的等腰直角三角形． ， 解得，，，，． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $