河北部分学校2026-2027学年高二第一学期9月月考数学试题

高二数学参考答案及解析 GRO1B 题号 2 3 4 6 9 10 11 答案 D BCD BC AC 1.C【解析】由直线1的倾斜角为45°，得直线1的斜率k=1an45°=1，故选C 2.A【解析】由a=(3,0,2),b=(x,2,一2)可得a十b=(x+3,2,0), 因为(a+b)⊥a,则(a+b)·a=0,即3(x+3)=0,解得x=一3.故选A 3B【解析】对于A选项，a=m十子n=(2a一c)+(2a十c)成立，放不能构成空间的另一个基底： 对于B选项，不存在实数x,y,使得b=xm十yn=x(2a一c)十y(2a十c),故能构成空间的另一个基底： 对于C选项c=一2m十之n=一之(2a-c)+之(2a十c),故不能构成空间的另一个基底： 对于D选顶a十c=-m十子n=一(2a一e)十子(2a十c),故不能构成空间的另一个基账 故选B. 4.D【解析】设原点为0(0.0,0).O心=xOi+O店+0元.即(1，-1，A)=(2xy.3z), 则x-号y=-18-号：因为四点共面所以x+y十：1，即号-1+分-1，解得-号 故选D 5.B【解析】由A1,,B(-2,2).C(-1,0),得直线AC,BC的斜率分别为x=1号=2.c= 0-4 2-0 2十】一2，如图，因为过点C(一1,0)的直线1与线段AB有交点，所以直线1斜率的取值范围为 (-∞，-2]U[2,+6©).故选B 6.A【解析】设正方体的棱长为2，以D点为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系， D Di. 则O(1.1,0),A1(2.0,2),B(2,2,0)C1(0,2,2), 设P(a,2-a,2)(0≤a≤2)，则0p=(a-1,1-a,2),A1B=(0,2,-2),A,C=(-2,2,0), 由正方体的几何特征易知DB:⊥平面A,BC,所以与DB=(2,2,2)平行的向量n=(1,1,1)为平面 A:BC,的一个法向量.则直线OP与平面A,BC,所成的角0的正弦值sin0=cos《n,OP)|= 高二数学B参考答案第1页（共8页） |m.0|-_a-1+1-a+2-2× 1 n1o市3×√2(a-1+26'a-1)+2 由0a≤2，可得/a-1)+2∈[反.w3],所以sin0=名× 1 6a-1)+2 亏停故法A 7.C【解析】因为AA=A0+0O+0,A,001⊥A0.001⊥0，A且异面直线0A,0A所成的角为3， 所以(0.0)=誓或至所以1A1=10+00+0,不1=0+0元+0，不下= √A0+0O+0,A,+240.0O,+A0.0,A,+0O,·0A=√/4+9+1+2A0·0,A =√11+2A0I041cosA0.01A>. 当A0.0A)=号时，AA1=14+2×2X1×号=4， 当A0.0A-时，Am1=14-2×2X1X号=25. 综上，A4=23或4.由于选项中只有23.故选C 0 A -0 8.A【解析】不妨设AD=√2，AB=C℃，=1，建立如图所示的空间直角坐标系D-xy 则D(0.0.0),A(1,1,0).C(0,1,0),B(1,2.0),设P(1,t.1)(t∈[1.2])， 得到DA-C官=(1,1,0).C=(1.t-1,1),D币=(1..1)， 记平面PAD和平面PBC的夹角为0. 记平面PAD的法向量为m=(x1y121),则 m·Di=x1+y=0. m·Dp=x1十1y1+1=0. 令x1=1.则y,=-1c,=1-1,所以m=(1,-1,1-1),则m|=√2+(1-1)下 记平面PBC的法向量为n=.则n·可-十，=0， n.C币=x2+(t-1)y+=0, 令x1=1,则y=-182=1-2.所以n=(1,-1,1-2).则1n=√/2+(1-2y, 0-1-2)+2 [(1-1)(t-2)P+4(1-1)(1-2)+4 所以cos0=cos(m,n〉= W/(t-1)+2×√/-2)2+2 0=0-D12+2-D+24-2y+ 2(:-1)°+2(1-2)1一4(t-1)(t-2) 2(:-1)一(t-2)于 m0=1-o0=0-11-2+20-+24-2》+-0-1D4-2+24-D+2-2+4 2 2 2 32 -+2+22-+50+4G-0+2+4G-8+2)+4+2-+2+2+2≤7当且仅当 !一时，不等式取等号，所以血智，放平面PD与平面PB收C的夹角的正孩值的最大值为智，放走入 高二数学B参考答案第2页（共8页） 9.B以CD【解析】对于A,显然直线11的斜率存在，若L们，则一m(m十1)十2=0.解得m=1或m=一2，经检 验m=1时，这两条直线重合，所以m=一2，故1亿的充要条件不是“m=1或m=一2”.故A不正确： 对于B,若11⊥1：，则2(m十1)十m=0,解得m■ 子放B正确。 对于C.若直线y=(m十1Dx一2m+3不经过第四象限，则m十10、 1-2m十3≥0. 解得一1≤m≤.放C正确： 对于D,若m=2.则直线2：2x-2y=0,即12：x一y=0,显然直线12与直线y=x+2平行，设直线：关 于直线y=x+2对称的直线方程为y=x+k(k≠0，则2-0L=k-2 ,解得k=4,所以m=2时， √/1+1√+ 直线I:关于直线y=x十2对称的直线方程为y=x十4.即x一y十4=0，故D正确.放选BCD 10.BC【解析】：在直二面角C-AB-D中，AB⊥BC,AB⊥AD,∴.AB,BC,AD两两垂直，以B为坐标原 点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则B(0,0.0),A(1,0,0),C(0,0,1),D(1,1,0),故AC=(-1,0.1),BD=(1,1.0), 对于A,设直线AC与BD所成的角为9，则os0=AC,D=-1X1十0X1+1X0l1 ACIBD(-1)+1下X√+1 2 ∴0=60°，故A错误 对于BCM=BN=a0<a<@.w看-9 =2w=1--1-② 2w慢o1）N②，受o小m-o,2-小 又应=(-1.00不.应-0X(-1+受×0+（图-小X0=0 MNLAB.放B正确： 对于c-o,-小 -0+②)+②-)--+1， 易知当a-号时，瓜取得最小值：即瓜取得技小值：瓜一【停-2<号+1-厚故 C正确： 对FD.背a-号时Mgo》N侵o, 所以-(o2》-(22o小， 1 AMn=-2r+2=0 设平面AMN的法向量为n=(x,y,),测 ,1 令x=1,则n=(1,1,1), 瓜n=+=0, :市=(0，l,0点D到平面AN的离d=n·立_ 可骨号发D说t配 1 n 言一就此D上出做w越作云(4自写八 11,AC【解析】对于A.把点P(1.0,2)代人2x一y十mx=0,得2十2m=0,解得m=-1.故A正确： 对于B,因为平面a的方程为x一y十=1，所以平而a的一个法向量为m■(1，一1,1)， 又平面3的方程为x+2y一x=6,所以平面3的-一个法向量为n=(1,2,一1)， 所以eos(m,n)= m·n -2 2 m·n5Xw6 3 则这两平面夹角的正弦值为，1-（号引-号所以B错说， 对于C,因为平面a的方程为2x一y一e=0,所以平面a的一个法向量u=(2,一1，一1) 设点Q(3,2,3)在平面a内的射影为M(a,b,c),则MQ=(3-a,2-b,3-c).且Mu, 3-a_2-b=3-c 于是有2 写子解得6-是所以M(停景碧》，故C正确： 2a-b-c=0, 19 6' 对于D,因为平面a的方程为3x+2y-x=5,所以平面a的一个法向量为a=(3.2,一1)： 因为平面3的方程为2x十y十z=0,所以平面3的一个法向量为b■(2,1.1). 设直线1的方向向量为e=(xy2),则有a:G=3x+2y一t=0. lb·e=2x+y十g=0, 取x=3,则y=一5，x=一1，则e=(3,一5，一1)， 又因为平面y的方程为x一y十：=0，所以平面Y的一个法向量为c=(1,一1,1)， 7 √105 设直线/与平面y的夹角为0，则sm0cose,e川=。：日×花7 所1m0--2e、 5,故D错误故选AC 12.【答案】(-1，-1) 【解析】方程m+2)r-(m-1)y+3=0.即m(x-y)十(2x+y+3)=0,由任y=0: 2x+y+3=0可得 -,所以方程m+2江一m-Dy十3=0所表示的直线何过的定点坐标为(-1，一 13.【答案】3 【解析】由题可知，AB=(2-x,2,0),又直线AB的一个方向向量为(1,1,0)，所以2-x=2,解得x=0, 所以AB=(2,2,0),A=22, 又BC=(1,0,-1),所以BC1=/1+0+(-1)F=2,且AB.BC=2×1+2×0+0×(-1)=2, 所以向世花在街世武上的投影物做的做长为之-看一-区。 故点A到直线BC的距离为d=√AB-(W2)=√8-2=6. 所以Sar-2BC到d-2×2X6-原. 14【答1 【解析】如图，取BD的中点O,连接OA,(OC,则由题易得(C⊥BD,OA=4,OC=3,又因为平面 ABD⊥平面CBD,平面ABD∩平面CBD-BD,OCC平面BCD,所以OC⊥平面ABD,所以OA⊥ 商二数学B参芳答案第4页（共8页） OC,所以AC=5 AC.BD=(Ad+元).B丽=Ad.BD+元.BD, 因为，BD-0,所以AC.市-Ad,B币-2(A市+A)(AD-A. 设A心=m(m>0).A=n(n>0,由题意得，十1=10. m2+n2=64, 则2m=(m+n)2-(m2+n2)=36.所以(m一n)2=(m2+n2)-2mm=28, 则m-n=士27，则AC·B币=士107. 设AC与D夹角为期。=m配励一配丽-故着案为 3= -2+x. 2 15.【解】(1)因为A(-2,1),点M(3,1)为边AC的中点，所以有 11+g 可得C(8,1).…2分 2 1-31 又因为B(4,3),所以kx一8-4一2 小3分 因为AD是BC边上的高， 所以有大0·火假=一1.印一号×kw=-1.解得o=2.…5分 所以高AD所在直线的方程为y一1=2(x十2)，即2x一y十5=0.…6分 (2)由(1)知C(8.1). ①当所求直线过坐标原点时，设其方程为y=x, 因为该直线过点C,所以有1=8，解得=8，则所求直线方程为y=写：…10分 ②当所求直线不过坐标原点时，设其方程为后十名-1a≠0， 因为该直线过点C,所以右8+}-1，解得a=0,则所求直线方程为x十y一9=0.…12分 综上，过点C且在两坐标轴上截距相等的直线方程为y一名或x+y一9=0.…13分 16.【解11喝知市-i+正-P成+成-p瓜)-市+号i-号a+0, 所以成-成+元=号元+币-号a十b-号c.…3分 2 由题意得a=bl=le=l,a·b=b·c=e·a=立： 可得-(a+b-号)-0+b++ab 5 5bc-ge·a=g …6分 故你的长度为 …7分 商二数学B参考答業第5页（共8页） (2油知，P币=号a+b,又疏=P呢-P哦-号元-p丽=名c-b, 所以亦.=（仔a+b)小（层eb）音a·c-导ab+号bc-b=-名1o分 又易知1=a+-后+a6+6==得e-- 4…12分 设异面直线PF与BE所成的角为0， 则os=os(Pp元，E1=P序.正 3 IPFBE反77' 33 即异面直线PF与BE所成的角的余弦值为号.…15分 17.【解】(1)证明：因为四边形ABB1A1为矩形，所以AB⊥AA. 连接AB1,在△CAB:中，AC=2,AB,=AA+AB-3+2=13,B,C=√/7， 所以AC十AB=17=B:C,所以AC⊥AB, 又AC⊥AB,AB∩AB=A,AB1,ABC平面ABB,A1,所以AC⊥平面ABB1A1, 又AA,C平面ABB1A1,所以AC⊥AA1. 所以AB,AC,AA,两两垂直，…3分 以A为坐标原点，直线AB,AC,A4,分别为x,y,轴建立如图所示的空间直角坐标系， 易知B,(2,03),B(2,0,0).F(1,0,3).G(1.1,0),所以F元-(0.1.-3.…5分 易得n=(们，0,0)为平面ACA,的一个法向量，…6分 因为F℃·n=(0,1,-3)·(1.0,0)=0,所以FG1n, 又FG过平面ACA1,所以FG/平面ACA1,…8分 (2)由(1)可知F元=(0,1，-3)，B=(-1,0,3),…9分 设平面BFG的法向量为m=(x,y,:), {G·m=y-3x=0, 则B萨·m=-x十3红=0 令义=1，得m=(3,3,1),…11分 又平面ACA,的一个法向量为n=(1,0,0),…12分 设平面BFG与平面ACA,的夹角为8， 则ms0=1osm-ma=市x 3 319 19· …14分 即平面BFG与平面ACA,夹角的余弦伯为39 …15分 高二数学B参考答案第6页（共8页） 18.【解】(1)因为边AC上的高BH所在直线方程为x一2y十2=0， 所以边AC所在直线的斜率为一2，且经过点C(1,3),…2分 所以边AC所在直线的方程为y-3=一2(x一1)， 即边AC所在直线的方程为2x十y一5=0.……4分 (2)设点B的坐标为(x。ya), 因为边AC上的高BH所在直线方程为x一2y+2=0, 所以无0-2y0十2=0。…5分 又因为点(0,1)是边AB的中点，所以点A的坐标为（一工。，2一y。),…6分 由边AC所在直线的方程为2x十y-5=0, 所以2(-x。)+(2-y。)一5=0，即2x。+y。+3=0, …7分 8 曲2++3=0 - 51 得 xu-2y%+2=0 所以点B的坐标为(；，》 …9分 yo5 91 （3)油(2可得点A的坐标为（管，号）所以= 55 8 5 所以直线AB的方程为y一号-号(+8）.即E一2y十2=0.…12分 设∠BAC的平分线上任意一点的坐标为(x·y), 又h线AC所在直线的方程为2x十y-5=0, 则l2x+y-51_lk-2y+2到 4444…14分 2+1√1+2 所以2x+y-5=|x-2y+2.即2x+y-5=x-2y+2或2x+y-5=-(x-2y+2). 即x十3y一7=0或3x一y-3=0,…16分 又因为km=2kx=一2， 所以结合图形可知∠BAC的平分线所在直线的方程为x十3y一7=0.…17分 19.【解】(1)如图，连接BD,BD 设BA=a.BC=b.BB,=c,由题易得a=b=1,lc=2. 依题意，a·b=0,a·c=1×2×cos60°-=1，b·c=1×2×cos120°=-1， 而BD=B店+B币=B,店十BC+BA=a十b-c,…4分 高二数学B参考答業第7页（共8页） 所以BD=(a十b-e)=a2+b2+c2+2a·b-2a·c-2b·c =1十1十4十0-2X12X(一1)=6，即BD=6。…6分 (2)①由(1)知AA=c,令cl=m>0,因为∠C,CB=∠C,CD=∠BCD=0, 所以a·b=cos(x-0)■-cos8,a·e=mcos0,b·e=mcos(r-0)=一mcos0, 易知BC=b十c,Bd=a十b,A1C=-a十b-c,…8分 /BD·A,C=(a+b)·(-a+b-c)=mcos0-mcos0=0, 因为AC⊥平面BC,D,所以 BCi.A C=(b+e).(-a+b-e)=cos 0-mcos 0-m'+1=0. 整理得(m一1)(m十1十cos8)=0,而m十1十cos8>0,解得m=1, 所以AA1的长为1.…10分 ②当0e[后，引时，由0得a·b=b·e=-m0a·c=os0eo,引， CB,=-b+c,则1CBi=√(-b+c)=√2+2cos0,|CAl=√(a-b+c万=/3+6cos, CB,.CA=(-b+c）·(a-b+c)=2十4cos8.… …12分 而CA,为平面BC,D的一个法向量， 设直线CB,与平面BC,D所成角为a,则sima=osCB,C不= CB,·CA, ICB,IICA, 2+4cos0 2 ,1+2cos0_2 1 …14分 2+2cos0×√3+6cos0V3W1+c0s95 ×2-1+cos81 号1十d01.121十s0号则1K2 1 2 1+cos 03 <×2-1+os0≤3 1 33W ≤2，即ima5,22 33 所以直线CB,与平面BC:D所成的角的正弦值的取值范围是6,22 …17分 33 绝密★启用前 高二数学 GR01B 班级___________ 姓名___________ 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级和考号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知直线l的倾斜角为，则该直线的斜率为 A． B． C．1 D． 2．已知向量，，且，则 A． B． C． D．3 3．已知是空间的一个基底，则可以与向量，构成空间另一个基底的向量是 A． B． C． D． 4．已知空间中，，，四点共面，则 A． B．1 C．2 D． 5．已知点，，，若过点C的直线l与线段有交点，则直线l斜率的取值范围为 A． B． C． D． 6．在正方体中，点O为线段的中点，点P在线段上，直线与平面所成的角为，则的取值范围是 A． B． C． D． 7．已知，分别是圆台的上、下底面圆半径，且，，，若异面直线，所成的角为，则的可能取值为 A．1 B． C． D．2 8．已知在平行六面体中，底面，，，点P是棱上的动点，则平面与平面的夹角的正弦值的最大值为 A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知直线，，则下列说法正确的是 A．的充要条件为或 B．若，则 C．若直线不经过第四象限，则 D．若，则直线关于直线对称的直线方程为 10．在直二面角中，，，，点M，N分别在线段和上移动，且，则 A．直线与所成的角为 B． C．当时，的长最小，且最小值为 D．当的长最小时，点D到平面的距离为 11．空间直角坐标系中，已知向量，则经过点，且法向量为的平面方程为．根据上面的材料，以下选项说法正确的是 A．若过点的平面方程为，则 B．若平面的方程为，平面的方程为，则这两平面夹角的正弦值为 C．若平面的方程为，则点在平面内的射影的坐标为 D．若平面的方程为，平面的方程为，平面的方程为，，则直线l与平面的夹角的余弦值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．方程所表示的直线恒过的定点坐标为_________． 13．在空间直角坐标系中，已知，，，若直线的一个方向向量为，则的面积为_________． 14．在四面体中，平面与平面互相垂直，，，为等腰三角形，且，，则异面直线与夹角的余弦值为_________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）中，已知，，点为边的中点． （1）求边上的高所在直线的一般式方程； （2）求过点C且在两坐标轴上截距相等的直线方程． 16．（本小题满分15分）如图，正四面体的棱长为1，若E，F分别在棱，上，且，．设，，． （1）试用、、表示，并求的长度； （2）求异面直线与所成的角的余弦值． 17．（本小题满分15分）如图，在四棱锥中，四边形为矩形，，且，，，F，G分别为线段，的中点． （1）证明：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值． 18．（本小题满分17分）已知三角形的顶点，边上的高所在的直线方程为，点是边的中点． （1）求边所在直线的方程； （2）求点B的坐标； （3）求的平分线所在直线的方程． 19．（本小题满分17分）如图，平行六面体的底面是菱形，，，． （1）当，，时，求的长； （2）当，平面时， ①求的长； ②当时，求直线与平面所成的角的正弦值的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $