精品解析：河北省唐山市迁安市第四高级中学（迁安市第一中学西校区）2024-2025学年高二上学期1月月考数学试题

迁安市第四高级中学2025-2026学年度第一学期高二年级1月月考 数学 ★预祝同学们学习生活愉快★ 注意事项 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．本试卷共19题，4页，考试时间120分钟． 4．本文档为格式优化修订版，考试中若有通知更正的题目已做修改． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若直线的方向向量为，平面的法向量为，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由，有，结合空间向量垂直的坐标表示列方程求参数值. 【详解】由，则，即，可得. 故选：A 2. 过点且在轴，轴上的截距相等的直线方程是（ ） A. B. 或 C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】根据条件分截距为零和截距不为零两种情况，分别设出相应的直线方程，再结合条件，即可求解. 【详解】当在轴，轴上的截距为零时，此时直线过原点，设直线方程为， 又直线过点，所以，所以直线方程为， 当在轴，轴上的截距不为零时，设直线方程为， 又直线过点，所以，解得，所以直线方程为， 所以过点且在轴，轴上的截距相等的直线方程是或， 故选：D. 3. 已知直线的倾斜角为，则直线的斜率k=（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用直线方程求出，结合二倍角余弦公式及正余弦齐次式法求出. 【详解】由直线的倾斜角为，得， 所以直线的斜率. 故选：B 4. 已知数列满足，则（ ） A. 0 B. C. 1 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据数列递推公式，依次求出数列后面的项，判断数列周期，进而求出结果. 【详解】可知，，，，， 可知数列周期为，即，可得. 故选：B. 5. 已知圆与圆相交所得的公共弦长为，则圆的半径（ ） A. B. C. 或1 D. 【答案】D 【解析】 【分析】两圆方程相减可得公共弦所在直线方程，后由垂径定理结合圆圆心与半径表达式可得答案. 【详解】与两式相减得，即公共弦所在直线方程. 圆方程可化为，可得圆心，半径.则圆心到的距离为， 半弦长为，则有，解得或（舍），此时 故选：. 6. 已知是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且，则C的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据双曲线的定义及条件，表示出，结合余弦定理可得答案. 【详解】因为，由双曲线的定义可得， 所以，； 因为,由余弦定理可得， 整理可得，所以，即. 故选：A 【点睛】关键点睛：双曲线的定义是入手点，利用余弦定理建立间的等量关系是求解的关键. 7. 斜率为1的直线与椭圆相交于A，B两点，则的最大值为（　　） A. 2 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设直线方程，与椭圆联立，利用弦长公式表示弦长，再求最值即可 【详解】设A，B两点的坐标分别为，直线l的方程为y＝x＋t， 由消去y，得5x2＋8tx＋4（t2－1）＝0， 则x1＋x2＝，x1x2＝， ∴|AB|＝|x1－x2|＝ ＝＝·， 当t＝0时，|AB|max＝． 故选：C. 8. 如图，在面积为1的直角，中作使得以此类推，在中，再作记的面积为则{nan}的前n项和为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据面积求出，再利用错位相减法求解. 【详解】，设，所以，所以， ，， 所以， 以此类推，,， 所以， 所以， 设{nan}的前n项和为， ， 所以， 所以 ， 所以， 故选：A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知圆：，则下述正确的是（ ） A. 圆的半径为3 B. 点在圆的内部 C. 直线与圆相切 D. 圆：与圆相交 【答案】ACD 【解析】 【分析】化简得到圆的标准方程可知圆心和半径，可判断A；将点代入圆的标准方程可判断B；根据圆心到直线距离和半径的关系判断C；根据圆心距和两圆半径之间关系判断D. 【详解】将的一般式方程化为标准方程：，圆心为，半径； 对于A：由上可知正确； 对于B：因为，所以点在圆的外部，故错误； 对于C：圆心到直线的距离，所以直线与圆相切，故正确； 对于D：圆心距为，且，所以两圆相交，故正确； 故选：ACD. 10. 已知数列{an}的前n项和为，前n项积为，下列说法正确的是（ ） A. 若则 B. 若,则Sn的最大值为 C. 若，且对任意恒成立，则 D. 若为正项等比数列，，则使得的n的最大值为203 【答案】BC 【解析】 【分析】对每个选项分别利用数列的积与项的关系、等差数列前项和的最值、数列单调性的转化、等比数列的性质与前项积的公式进行分析判断. 【详解】对于选项A，，当时，； 当时，. 由于表达式在处无定义，选项A错误. 对于选项B，，令，解得，，故. ，选项B正确. 对于选项C，，由得， 化简得.该式对任意恒成立，的最小值为3， 故，选项C正确. 对于选项D，设正项等比数列的公比为， 由，得，， 故，且，. ，， ， 由，可知， 又，故， 故使得的的最大值为202，选项D错误. 故选：BC 11. 已知抛物线，其焦点为F，准线为l，PQ是过焦点F的一条弦，点，则下列说法正确的是（ ） A. 焦点F到准线l的距离为2 B. 焦点，准线方程 C. 的最小值是3 D. 以弦PQ为直径的圆与准线l相切 【答案】ACD 【解析】 【分析】对A：由抛物线方程及焦点F到准线l的距离为即可求解； 对B：由抛物线方程即可求解； 对C：利用抛物线的定义，将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，从而即可求解； 对D：利用抛物线的定义，及圆心到直线的距离等于圆的半径则直线与圆相切，从而即可求解. 【详解】解：对B：由抛物线，可得，准线 ，故选项B错误； 对A：由抛物线，可得，即，所以焦点F到准线l的距离为，故选项A正确； 对C：过点P作，垂足为，由抛物线的定义可得， 所以（为点到准线l的距离），当且仅当、、三点共线时等号成立， 所以的最小值是3，故选项C正确； 对D：过点P、Q分别作，，垂足分别为、， 设弦PQ的中点为M，则弦PQ为直径的圆的圆心为M，过点M作，垂足为，则为直角梯形的中位线，， 又根据抛物线的定义有，， 所以， 所以以弦PQ为直径的圆与准线l相切，故选项D正确； 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知O为原点，直线x+2y-3=0与圆C：交于P、Q两点．若求m的值___________． 【答案】1 【解析】 【分析】求出圆的圆心与半径，再求出圆心到直线的距离，再根据圆的弦长公式即可得出答案， 【详解】 由圆可得： 圆心为，半径，其中， 而圆心到直线的距离， 所以解得， 即的值为1， 故答案为：1 13. 在如图所示的四棱锥中，底面为正方形，底面，，，若、分别是棱、上的动点（均与端点不重合），且，则点到直线的距离的最小值为_____. 【答案】## 【解析】 【分析】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，设，利用空间向量法可求得点到直线距离的最小值. 【详解】因为四边形为正方形，底面，，， 以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系， 设，则、、， ，， 故点到直线距离为 令， 因为函数在上单调递增， 故当时，即当时，取最小值，即. 故答案为：. 14. 已知分别为椭圆的左，右焦点，直线与椭圆C的一个交点为M，若，则椭圆的离心率为______. 【答案】## 【解析】 【分析】由直线过原点及斜率，，可得，再结合椭圆定义，在焦点三角形通过勾股定理构建齐次方程，即可求出离心率 【详解】由题可知，为直角三角形，，直线过原点，，故， 又，则， 在中，，即， 又，解得：或（舍去）. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 设直线与. （1）若，求、之间的距离； （2）当直线与两坐标轴正半轴围成的三角形的面积最大时，求的值. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）由直线平行的判定列方程求参数，再由平行线的距离公式求距离； （2）根据已知可得，再由三角形面积公式有，即可确定面积最大时值. 【小问1详解】 由，则，化简得，可得或， 当时，不成立， 当时，，， 此时之间的距离为. 小问2详解】 直线与两坐标轴的正半轴围成三角形，，则， 与两坐标轴的正半轴围成的三角形的面积为， 当时，有最大. 16. 已知圆C经过点和，且圆心C在直线上． （1）求圆C的标准方程； （2）过点作圆C的切线l，求直线l的方程． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）设圆的标准方程，根据圆经过点、及圆心在直线上的条件，建立关于圆心坐标和半径的方程组，求解得到圆心与半径，进而写出圆的标准方程. （2）分切线斜率不存在和存在两种情况讨论：斜率不存在时直接验证直线是否为切线；斜率存在时设切线方程为点斜式，利用圆心到切线的距离等于半径列方程求解斜率，最终得到切线方程并综合两种情况得出结果. 【小问1详解】 设圆的方程为， 则，解得， 故圆的方程为. 【小问2详解】 由（1）知，圆心为，半径为， 若直线的斜率不存在，则直线的方程为， 此时，圆心到直线的距离为1，合乎题意； 若直线的斜率存在，设直线的方程为， 即， 由题意可得，解得， 此时，直线的方程为，即． 综上所述，直线的方程为或． 17. 已知数列的前n项和为，且 （1）求证：是等比数列，并求出的通项公式； （2）设求证： 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由与的递推关系进行求解； （2）化简由裂项相消法求解． 【小问1详解】 证明：数列的前项和为，且． 可得， 可得，解得， 整理可得，又 所以等比数列，首项为，公比为2， 所以：， 所以． 【小问2详解】 证明： 所以， 因为，所以，所以． 即． 18. 如图，圆柱轴截面是边长为4的正方形，点B是AC上一点，且,连接AB，BC，，过点A作于E． （1）求证：平面 （2）连接，在线段上是否存在一点D，使得平面与平面BCD所成角的余弦值为若存在，试确定点D的位置，若不存在，说明理由． 【答案】（1）证明见解析； （2）存在，. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用圆柱的结构特征，结合线面垂直的性质判定推理得证. （2）建立空间直角坐标系，求出平面与平面BCD的法向量，再利用面面角的向量法列式求解. 【小问1详解】 在圆柱中，母线底面，而底面，则， 由是圆的直径，得，而平面， 因此平面，又平面，则， 而平面，所以平面. 【小问2详解】 假设在线段上存在一点，在平面内过作，则直线两两垂直， 以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，由， 得，则， ，设平面的一个法向量为， 则，令，得， 设，则， 设平面的法向量为，则， 令，得， 由平面与平面BCD所成角的余弦值为，得， 解得，所以在线段上存在一点，满足题意，此时. 19. 已知抛物线C：x2=−2py经过点（2，−1）． （Ⅰ）求抛物线C的方程及其准线方程； （Ⅱ）设O为原点，过抛物线C的焦点作斜率不为0的直线l交抛物线C于两点M，N，直线y=−1分别交直线OM，ON于点A和点B.求证：以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点． 【答案】(Ⅰ) ，； (Ⅱ)见解析. 【解析】 【分析】(Ⅰ)由题意结合点的坐标可得抛物线方程，进一步可得准线方程； (Ⅱ)联立准线方程和抛物线方程，结合韦达定理可得圆心坐标和圆的半径，从而确定圆的方程，最后令x=0即可证得题中的结论. 【详解】(Ⅰ)将点代入抛物线方程：可得：， 故抛物线方程为：，其准线方程为：. (Ⅱ)很明显直线的斜率存在，焦点坐标为， 设直线方程为，与抛物线方程联立可得：. 故：. 设，则， 直线的方程为，与联立可得：，同理可得， 易知以AB为直径的圆的圆心坐标为：，圆的半径为：， 且：，， 则圆的方程为：， 令整理可得：，解得：， 即以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点. 【点睛】本题主要考查抛物线方程的求解与准线方程的确定，直线与抛物线的位置关系，圆的方程的求解及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 迁安市第四高级中学2025-2026学年度第一学期高二年级1月月考 数学 ★预祝同学们学习生活愉快★ 注意事项 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．本试卷共19题，4页，考试时间120分钟． 4．本文档为格式优化修订版，考试中若有通知更正的题目已做修改． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若直线的方向向量为，平面的法向量为，且，则（ ） A B. C. D. 2. 过点且在轴，轴上截距相等的直线方程是（ ） A. B. 或 C. D. 或 3. 已知直线的倾斜角为，则直线的斜率k=（ ） A. B. C. D. 4. 已知数列满足，则（ ） A. 0 B. C. 1 D. 2 5. 已知圆与圆相交所得的公共弦长为，则圆的半径（ ） A. B. C. 或1 D. 6. 已知是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且，则C的离心率为（ ） A. B. C. D. 7. 斜率为1的直线与椭圆相交于A，B两点，则的最大值为（　　） A. 2 B. C. D. 8. 如图，在面积为1的直角，中作使得以此类推，在中，再作记的面积为则{nan}的前n项和为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知圆：，则下述正确的是（ ） A. 圆的半径为3 B. 点在圆的内部 C. 直线与圆相切 D. 圆：与圆相交 10. 已知数列{an}的前n项和为，前n项积为，下列说法正确的是（ ） A 若则 B. 若,则Sn最大值为 C 若，且对任意恒成立，则 D. 若为正项等比数列，，则使得的n的最大值为203 11. 已知抛物线，其焦点为F，准线为l，PQ是过焦点F的一条弦，点，则下列说法正确的是（ ） A. 焦点F到准线l的距离为2 B. 焦点，准线方程 C. 的最小值是3 D. 以弦PQ为直径的圆与准线l相切 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知O为原点，直线x+2y-3=0与圆C：交于P、Q两点．若求m的值___________． 13. 在如图所示的四棱锥中，底面为正方形，底面，，，若、分别是棱、上的动点（均与端点不重合），且，则点到直线的距离的最小值为_____. 14. 已知分别为椭圆的左，右焦点，直线与椭圆C的一个交点为M，若，则椭圆的离心率为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 设直线与. （1）若，求、之间的距离； （2）当直线与两坐标轴正半轴围成的三角形的面积最大时，求的值. 16. 已知圆C经过点和，且圆心C在直线上． （1）求圆C的标准方程； （2）过点作圆C的切线l，求直线l的方程． 17. 已知数列的前n项和为，且 （1）求证：是等比数列，并求出的通项公式； （2）设求证： 18. 如图，圆柱的轴截面是边长为4的正方形，点B是AC上一点，且,连接AB，BC，，过点A作于E． （1）求证：平面 （2）连接，在线段上是否存在一点D，使得平面与平面BCD所成角的余弦值为若存在，试确定点D的位置，若不存在，说明理由． 19. 已知抛物线C：x2=−2py经过点（2，−1）． （Ⅰ）求抛物线C的方程及其准线方程； （Ⅱ）设O为原点，过抛物线C的焦点作斜率不为0的直线l交抛物线C于两点M，N，直线y=−1分别交直线OM，ON于点A和点B.求证：以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $