河北省邯郸市大名县第一中学2025-2026学年高二上学期12月月考数学试题

高二第二次月考 数学 命题人：王晓娜审题人：郭冰120分钟 一、单选题（共8小题，每小题5分，共40分） 1.“关于x,y的方程x2+y2+2x+2y+5=0表示的曲线是圆”是“>2”的()条件 A.充分不必要B.必要不充分 C.充分必要 D.既不充分也不必要 2.已知等差数列{a}的前n项和为Sn,a2+a+a1=24,且S,=14,则a3=（) A.24 B.20 C.16 D.12 3.直三棱柱ABC-A'B'C中，AC=BC=AA,∠ACB=90°，E为BB'的中点，异面直线CE与 CA所成角的余弦值是( ) A.5 B. 2v5 D.3v10 5 5 10 10 4.已知双曲线琴茶-1a>0b>0)的右焦点刀与抛物线)广-8r的焦点重合，抛物线准线与 、y2 a 一条渐近线交于点A,-2√3)，则双曲线的方程为() x2 v2 B. x2 v2 A. 1241 =1 C.2 -y2=1 D.x2y2 =1 412 3 3 5. 已知桃圆C言+君-a>b>0的左顶点为4，点P,Q均在C上且关于y转对称若直线 2 ,A9的斜率之积为，则椭圆C的离心率为( A.3 B.V6 2W3 3 c D.22 3 3 6.南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中提出了新的垛积公式.所讨论的高 阶等差数列与一般的等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项差数或高次差数成等差 数列.如数列1,3,6,10，前后两项之差组成新的数列2,3,4为等差数列，这样的数列称为 二阶等差数列.已知一个二阶等差数列的前5项分别为1,5,12,22,35，则该数列的第45项 为() A.3015 B.3025 C.3022 D.3122 答案第1 7.已知三棱锥P-ABC的体积为5，△BCP是边长为4的正三角形，点D为PB的中点，点Q满 足A0=2xAD+yAC+亿-x)AP,且x+y+z=1,则A的最小值为() A.5V3 5 B. c.55 D.53 16 4 12 8.已知a>b>0,设椭圆 1与双酸 B2 -=1的离心率分别为e,e2,双曲线渐近 a 线斜率的绝对值小于5，则三的取值范围是() 3 B 二、多选题（共3小题，每小题6分，共18分） 9.己知等差数列{an}的前n项和为Sn,且S2<S<S,则() A.a1>0 B.a2<0 C.S<0 D.S4>0 知椭圆C5十。1的左、有焦点分别为R、乃，P为椭圆C上不同于左、右项点的任 意一点，则下列说法正确的是() A.△PrF的周长为16 B.△PFF,面积的最大值为12 C.存在点P,使得∠FPF=90° D.PPF的取值范围为(9,25] 11.如图，若P是棱长为2的正方体ABCD-AB,CD的表面一个动点， D C 则下列结论正确的是() A.当P在平面BCCB内运动时，四棱锥P-AAD,D的体积不变 B.当P在线段AC上运动时，DP与AC所成角的取值范围是 π元 62 B C.使直线AP与平面ABCD所成的角为45°的点P的轨迹长度为2r+4W5 D.若F是棱AB的中点，当P在底面ABCD内运动，且满足PF/I平面BCD时，PF长度 的最小值是√6 万，共2页 三、填空题（供3小题，每小题5分，共15分） 17.(15分)已知：抛物线C的顶点在坐标原点，焦点F在x轴上，已知抛物线C上一点M(2,m) 12.已知圆C:x2+y2-2x+m=0与圆C:(x+3)2+(y+3)=36内切，且圆C的半径小于6， 到焦点F的距离为3. 点P是圆C上的一个动点，则点P到直线l:5x+12y+8=0距离的最大值为 (1)求抛物线C的方程， 1B.如图，双曲线c:等茶-1a>06>0的左焦点为P,过原 (2)设D(-2,2),动直线L:y=k(x-2)与抛物线C相交于B,E两点，记直线DE和直线DB的 点O的直线与C交于A,B两点（点A位于第二象限），M为BF的 斜率分别为k,k2,证明：k+k,为定值. 中点，直线OM为C的一条渐近线，且BF=3AF,则直线OM的 方程为一· 14.已知{a}的通项公式为a.=-3n+n(2∈R),若数列{a}为递减数列，则实数2的取值范 围是」 18.(17分)已知S1为等差数列{am的前n项和，=25，a=16, 四、解答题（共5小题，共77分） (1)求n为何值时，S1取得最大值： 15.(13分)已知直线，12均过点P(1,2) (2)求a2十a4十a6十as+..十a2o的值； (3)求数列{lcw}的前n项和Tn (1)若直线过点A(-1,3),且4⊥42，求直线的方程： (2)若直线马在x轴和V轴上的截距互为相反数，求直线1的方程： (3)若直线2与两坐标轴的正半轴能够围成三角形，求该三角形面积最小时直线，的方程， 117分)尼知椭圆C号君-1>b>0上的点到两个焦点的距离之和为4E,短轴的两个 顶点和两个焦点连接成的四边形为正方形 16.(15分)在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD是矩形，平面ABCD⊥平面SBC,SB=SC,M (1)求椭圆C的方程： 是BC的中点.AB=SM=1,BC=2. 3 (2)设点AB为椭圆C上的两点，O为坐标原点，k:·k=-2,求O1.O丽的取值范围. (1)求证：AM⊥SD: (2)求直线4与平面SCD所成角的正弦值： (3)在线段SD上是否存在点P,使得面AMP⊥面SCD, 若存在，求SP:SD的值：若不存在，说明理由 答案第2页，共2页高二第二次月考数学参考答案 题号 1 2 3 4 6 6 7 6 9 10 答案 B B C D A A C D BCD BCD 题号 11 答案 AD 1.Bx2+y2+2x+2y+5=0化成标准方程(x+m)2+(y+1)2=m2-4, 所以m2-4>0,解得>2或m<-2, 因为m>2或m<-2推不出m>2,>2可以推出>2或m<-2, 所以方程x2+y2+2x+2y+5=0表示圆是m>2的必要不充分条件」 4+d+a+7d++10d=24 2.B由题意得， ×0-0a=14 ,其中a,d分别是等差数列{a}的首项和公差， 74+ 2 q+3d=2,解得4=-4.d=2所以4，=4+12d=20 a+6d=8 化简得 3.C直三棱柱ABC-A'B'C'中，AC=BC=AA',∠ACB=90°，E为BB的中点 以C为原点，分别以CA,CB,CC所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，设 AC=BC=AA'=2a,则C(0,0,0),E(0,2a,a),C(0,0,2a) A(2a,0,0),则CE=(0,2a,a,CA=(2a,0,-2a), 设异面直线CE与CA所成角为O, CE-CA B 2a2 V10 则cosθ 则异面直线CE与 CA所成角的余弦值为10 10 4D因为地物线广8x的维点为2,0双曲线等芹1的右焦点P与敢物线)广=8x的焦点 重合，所以双曲线的右焦点为F(2,0),即c=2, 又因为抛物线的准线方程为x=-2,抛物线准线与一条渐近线交于点A(m,-2W3) 答案第1页 则4-2，-2V3),因为点A在第三象限，则点A在渐近线y=x上，代入得b=5a, a2+b2=c2=4 则 b=√5a ,解得 a2=1 b2=3 所以双曲线的方程为x-=1. 3 5.A精圆C产+若=a>b0的左顶点4a0,设点P,》,则O-6》. 且-年d-功，由直线机0的剑率之积为子的aa”然子 2 。+a-x+aa2-xa23 所以椭圆C的离心率e=V:-BF 1-b- a a2 3 6.A因为二阶等差数列的前5项分别为1,5,12,22,35， 所以a2-4=4,4-a=7,4-4=10,a-a4=13,,a1-a,=4+3(n-1)=3n+1,n∈N, 所以a.=(a-a-1)+(a-1-a-2)+.+(a-a)+(a-4)+4 =[3(n-1)+1]+[3(-2)+1+.+(3×2+1)+(3×1+1)+1 =3a-0+11=”,则该数列的第5项为行们-5-05 2 7.C如图，由点D为PB的中点，可得AB+AP=2AD, 所以AQ=2xAD+yAC+(亿-xAP=xAB+yAC+zAP.因为x+y+z=1,所以点Q在平面BCP 内，A可的最小值就是三棱锥A-BCP的高h,由V=枝锥4-Bcp=V=棱锥P-ABc, 得h.5×-5,得h=15-55 34 434 b 双曲线-冷=1的渐近线方程为y=士x,依题意，0< ,共4页 因此 2-b2 2a2 2 l= e, a 1+a 3 2 由0<b ,得0< <2 a 3 32 1+ 1 √2 2 -1<1 -1<1 .2 1+赛 ·2 喔2 .即7 1+理 9.BCD对于A,B,因为S2<S<S3,所以a2=S2-S<0,4=S3-S2>0, 则{a}的公差d>0,则a<0,故A错误，B正确； 对于C,因为9，=34+a）<0,枚C正确： 2 对于D,因为8-8=a,+a>0,所以3=4a+a-2a+4)>0,故D正确 2 10.BCD椭圆c:+上=1的长半轴长a=5,短半轴长b=3,半焦距c=V-=4, 259 对于A:△PFE的周长为P+P+FF=2a+2c=18,A错误； 3:设P(),0<≤b,则SaEy≤cb=12,B 对于C:由c>b,得以原点O为圆心，半焦距C为半径的圆与椭圆相交， 当P为此交点时，∠FPF=90°，因此存在点P,使得∠PF2=90°，C正确： 对打D:1P咽卡G+4+喏-G+8+16+9 16s+8t2=5+3,ea.9), 25V25 Pr‖PF2HP耳|10-|PFD=-(PFl-5)2+25∈(9,25]，D正确 11.AD选项A:当P在平面BCCB内运动时，P到平面ADDA的距离不变， 平面ADDA的面积不变，所以四棱锥P-AADD的体积不变，故A正确： 答 选项B:以D为原点，DA,DC,DD为x,y,z轴正方向建系，如图所示， 则A(2,0,2),D(0,0,2),C(0,2,2),设P(x,2-x,0),0≤x≤2， 则aP=(c2-x-24C-(22,0,设DP与4G所成角为0,0e0 DP.AC 4-4x 1-x 则c0s6= D4CVx2+2-x)2+4×2W2Vx-102+3 (x-1)2 3 V(x-1)2+3 (x-1)2+3 因为0sxs2,所以-0小.则a-少+3=4引 3 1 所以c0s6= ∈0， x-1)2+3 因为y=C0Sx在 0, 上单调递减， D 所以∈匹，匹 3’2 故B错误； A 选项C:己知直线AP与平面ABCD所成的角为45°， D 若点P在平面DCCD和平面BCC,B内， .-M 因为∠BAB=45°，∠DAD=45°，且为最大角，所以点P仅在点B1,D处： 若点P在平面ADDA内，则点P的轨迹为AD=2√2：若点P在平面ABBA内，则点P的轨迹 为AB=2W2;若点P在平面AB,CD内，作PM⊥平面ABCD,如图所示， 因为∠PAM=45°，所以PM=AM,因为PM=AB=2,所以AM=AB,所以A,P=AB, 所以点P的轨迹是以A为圆心，2为半径的圆的四分之一，所以点P的轨迹长度为二×2π×2=兀， 综上，点P的轨迹总长度为元+4√2，故C错误； 选项D:B,(2,2,2),D(0,0,2),C(0,2,0),F(2,1,2,设P(m,n,0),0≤≤2,0≤n≤2， 则CB,=(2,0,2),CD=(0,-2,2),FP=(-2,n-1,-2),设平面B,CD的法向量n=(a,b,c), 案第2页，共4页 [i.CB,=0m∫2a+2c=0 nCD,=0 即{-2b+2c=0,令a=1,则b=c=-1,所以n=4-1-少， ,即 因为PF/1平面B,CD,所以FP.n=(-2)-(-1)+2=0,则n=m+1, 所以F7=V0m-22+(n-12+4=V2m2-4+8=V20m-12+6≥V6, 即当=1时，PF长度的最小值是√6，故D正确 12.2圆C1:(x-1)2+y2=1-,圆C2:(x+3)2+(y+3)2=36内切. 故圆心距d=√42+32=5=6-√1-m,故=0. 点P到直线1：5x+12y+8=0距离的最大值为圆心到直线的距离加上半径，即上L+1=2 13 13.y=√2x设C的右焦点为F'(c,0),连接AF,BF. 因为O,M分别是AB,BF的中点，所以OM∥AF. 又直线OM是c的一条渐近线，所以tan∠AF0=b,故 a cos∠AFO=4.由双曲线的对称性，得BF=AF'1. 由BF=3AF,得AF1=3AF.又AF1-AF=2a,所以AF叫=3a,AF=a. 在aFAF中，由余弦定理得9a2=a2+4c2-2a×2c×2,整理得3a2=c2, 所以x=a+,名万，所以直线o山的方程为y=x。 14.（-∞，9)若数列{an}为递减数列，且4，=-3n+, 则a-a.=-3n+1)2+6+1-（312+1上-6m+元-3<0， 可得<6m+3对任意n∈N恒成立，可知当n=1时，6n+3取到最小值9，可得元<9， 所以实数1的取值范围是(-∞，9) 15.(1)y=2x(2)为y=2x或y=x+1(3)y=-2x+4 （1点=岩片又44所以气=2，所以直找影的方程为y-2=2派》，即y=2x 答案第 (2)当直线的斜率不存在时，直线的方程为x=1,不满足条件：当直线斜率为0时，直线 的方程为y=2,不满足条件；当斜率存在且不为0时，设直线l的方程为y=c+b, 令x=0,则y=b,令y=0,则x=-无，因为直线马在x轴和y轴上的截距互为相反数， b 所以b冬=0，所以b-0或k-1,又因为直线过点P12),所以2-k+, 所以当b=0时，k=2;当k=1时，b=1:所以直线的方程为y=2x或y=x+1: (3)因为直线2与两坐标轴的正半轴能够围成三角形，所以直线的斜率一定存在且不为0， 又直线l,过点P(1,2),所以设直线L,的方程为y-2=k(x-1),令x=0,则y=2-k,令y=0, 2-k>0 则r=k 解得k<0, k 2,所以k-2>0 k =-21台2异 2k +2-242-当且仅当号是 即k=-2时，s取得最小值，所以直线2的方程为y-2=-2(x-1),即y=-2x+4. 160匹明见解折：©50有在，且严-013 (1)由于SB=SC,M是BC的中点，所以SM⊥BC, 由于平面ABCD⊥平面SBC且交线为BC,所以SM⊥平面ABCD 以B为原点建立如图所示空间直角坐标系，A(1,0,0),M(0,1,0),S(0,1,1),D(1,2,0), AM=(-1,1,0),SD=(1,1,-1),AM·SD=C,所以AM1SD (2)AS=(-1,1,1),C(0,2,0),CD=(1,0,0),CS=(0,-1,1）, mCD=x=0 设平面SCD的法向量为m=(x,y,),则 m=-y+:=0’故可设m=(0,1). m.AS 2 √6 设直线SA与平面SCD所成角为a,则sina= V3V53 3页，共4页 (3)设”=(0≤1≤，M=(←11,0)，A亚P=0币-0A=驴-50-0A SD =t5D+0s-OA=t1,-tH(0,114,0,0上（-14+1，-t+1), n.AM=-x+y=0 设平面AP的法向量为=(x,y,三)，则 n.AP=t-1)x,+t+1)y+←t+11 t-1t-1 所以存在点P使面AMP⊥面SCD,此时SP:SD=1:3. 17.(1)y2=4x;（1)依题意，设抛物线C的方程为：y2=2px(p>0),则其准线为： 由抛物线的定义得：2+卫=3，解得p=2,抛物线C的方程：y'=4x 2 (2)直线L与抛物线有两个交点B,E,显然L不垂直于y轴，令1=二，则L的方程为：x 少-4K消去x并整理得：-40-8=0，设E6,y),B,）, x=y+2 由 厕+，y8,因此，+2，专=3 x+2 飞+k=-2+22+-2-2+42y+)168-16-1, x+2x2+2y+4y2+4tyy2+4t(y+y2)+16&2+16 -3 .53 2+n,n≤9 2 18.(1)9;(2)-50;(3)T= 、3 3 +234,n>9 2 解：(1)在等差数列{amy中，a=25,4=16,公差d=4=-3. 4-1 .m=-3n十28.令2=-3n十28≥0且n∈W*,，得9 .当9时，aw心0：当心9时，m<0.∴.当=9时，S2取得最大值. (2),数列{mm}是等差数列，∴.，44，a。…4o也构成等差数列， 十a4+6+as++a0=10a+a）=10a1=10x(-3×11+28=-50 2 (3)由（1)得，当n9时，>0：当心9时，K0. 六当9时，1m=a+++am=25n+0-Dx(3)=-353n 2 22 当>9时，Tn=a+a2+..十ag-(ao+a1+..+cam=2S-S2 3n2_53+234 22 Q.0。+1②可)由思意可得2a4W22b=2@ 又因为椭圆中d=6+c,所以a=22,b=2,c=2,故椭圆C的方程为亡+上-1. 84 、 2 (2)当直线AB斜率存在时，设A(化，)，B(x2,y2),直线AB方程为y=x+m, 联立 K+2y2_8得0+23)x2+4ax+22-8=0,△=16k2m2-41+22m2-8)>0, ty+2, -4a2 552,所以 +4>r,+飞+2水克8因为。亚-3 xm My=(+m)a,+m）上kx,+m6+x,片m2=.2r_8 +m2-m2-8k2 1+2k2 hmn.-4hin 1+2k2 1+2k2 所以3m-_-8,即2+3=㎡，所以 1+2k2-1+2k2 a死·司 2k2+1 因为11+2，所以-1<-1+7+2<1，即-150.O丽≤1 当直线AB斜率不存在时，设A(,m),B(,-n),-2√2<<2√2，且m≠0， 所以点。品品= 3,解得2=3m2,又因为A在椭圆上，则m+2m=8,所以m=2, n2=3,所以OA.OB=m2-m2=-1, 综上OA.OB的取值范围为[-1,1]. 答案第4页，共4页