第二章 有理数的运算--有理数的加减法及应用 训练 2026-2027学年人教版数学七年级上册

有理数的加减法及应用 课首诊查 1.以下选项中比 小的数是( ) A. 1 B. 2 C. D. 2.在①+(+1)与-(-1);②-(+1)与+(-1);③+(+1)与-(+1);④+(-1)与-(-1)中,互为相反数的是( ) A. ①② B. ②③ C. ③④ D. ②④ 3.满足|x|=-x的数有( ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D.无数个 4.若|x-5|=5-x,下列不等式成立的是( ) A. x-5>0 B. x-5<0 C. x-5≥0 D. x-5≤0 5.a、b为有理数,且a>0、b<0,|b|>a,则a、b、-a、-b的大小顺序是( ) A.b<-a<a<-b B.-a<b<a<-b C.-b<a<-a<b D.-a<a<-b<b 6.下列推理:①若a=b,则|a|=|b|;②若|a|=|b|,则a=b;③若a≠b,则|a|≠|b|;④若|a|≠|b|,则a≠b.其中正确的个数为( ) A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 7.数轴上离原点的距离小于3.5的整数点的个数为m，距离原点等于3.5的点的个数为n，m-3n= . 8.如果|a-2|+|b+1|=0,那么a+b等于 . 9.绝对值不大于11的整数有 个. 10.式子|2x-1|+2取最小值时,x等于 . 11.若 则a 0;若|a|≥a,则a . 12.若|x|=3,|y|=2,且|x-y|=y-x,求x+y的值. 互动导学 题型一：有理数加减运算 知识点睛 基础知识 实例剖析 代数计算总法则：计算时，每一步都是先确定符号再计算绝对值. 有理数加法法则 (1)同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加. (2)绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值.互为相反数的两个数相加得0. (3)一个数同0相加，仍得这个数. 例: (+2)+(+3)=+(2+3)=5 (-2)+(-3)=-(2+3)=-5 (-2)+(+3)=+(3-2)=1 (+2)+(-3)=-(3-2)=-1 (-2)+(+2)=0 (+3)+0=3 (-2)+0=-2 加法运算律 1.加法交换律:a+b=b+a 两个数相加，交换加数的位置，和不变. 2.加法结合律:(a+b)+c=a+(b+c) 三个数相加，先把前两个加数相加，或者先把后两个加数相加，和不变. 例： 0.24+(-5.6)+0.76+(-4.4)=0.24+0.76+(-5.6)+(-4.4) =1-10 =-9 有理数减法法则 减去一个数，等于加这个数的相反数. 字母表示:a-b=a+(-b) 步骤：①计算时先把减号变成加号(变为和的形式)；把减数变为相反数；②按照加法运算律计算.注：减法运算的本质是变成加法，再利用加法法则运算：对多个有理数相减的情况，首先应该把减法变成加法，然后根据加法运算律进行简便计算. 例:9-5=9+(-5)=4 -7-(-8)=-7+8=1 7-2+(-3)-9 =7+(-2)+(-3)+(-9) =7+(-14) =-7 学科网（北京）股份有限公司 经典例题 1.已知|a|=1,b是的相反数，则a+b的值为( ) A.或 B. C. D. 或 2.计算: 3.下面算式与 的值相等的是( ) A. B. C. D. 4.计算: (1)2-(-3) (2)0-(-3.72)-(+2.72)-(-4) 5.计算: (1)6+(-8)-(-5) 6.规定一种新运算“☆”对于任意两个有理数a和b，有a☆b=a-b+1，请你根据新运算，计算(2☆3)☆2的值是 . 强化训练 1.现有30个数，其中所有正数之和为10，负数之和为a，这30个数的绝对值之和为( ) A.10+a B.20+a C.10-a D.20-a 2.计算: (1)-3.72-1.23+4.18-2.93-1.25+3.72 (2) 11-12+13-15+16-18+17 3.规定一种新运算“分”，对于任意两个有理数a和b，有 请你根据新运算，计算( 的值是 . 学科网（北京）股份有限公司 题型二：简便运算 知识点睛 基础知识 实例剖析 有理数加减法的运算技巧： (1)分数与小数均有时，可以先化为统一形式. (2)带分数可以分为整数与分数两部分参与运算. (3)多个加数相加时，若有互为相反数的两个数，可以先结合相加得零. (4)有可以凑整的数，即相加得整数时，可以先相加. (5)符号相同的数可以先结合在一起. (6)有同分母的分数或易通分的分数，可以先结合在一起. 例： =0+(-6) =-6 经典例题 1.计算: 2.计算:1+2-3-4+5+6-7-8+………+2013+2014-2015-2016 学科网（北京）股份有限公司 强化训练 1.计算: 2.计算: 2-4+6-8+10-12+………-2016+2018-2020 学科网（北京）股份有限公司 题型三：有理数的应用 经典例题 1.一年一度的“双十一”全球购物节完美收官，来自全国各地的包裹陆续发到本地快递公司.一快递小哥骑三轮摩托车从公司P出发，在一条东西走向的大街上来回投递包裹，现在他一天中七次连续行驶的记录如表(我们约定向东为正，向西为负，单位：千米) 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 第六次 第七次 -2 +7 -9 +10 +4 -5 -8 (1)快递小哥最后一次投递包裹结束时他在公司P的哪个方向上?距离公司P多少千米? (2)在第 次记录时快递小哥距公司P地最远； (3)如果每千米耗油0.08升，每升汽油需7.2元，那么快递小哥投递完所有包裹需要花汽油费多少元? 2.某中学积极倡导阳光体育运动，开展了排球垫球比赛，下表为七年级某班45人参加排球垫球比赛的情况，标准为每人垫球25个. 垫球个数与标准数量的差值 -10 -6 0 8 10 12 人数 5 10 10 5 10 5 (1)求这个班45人平均每人垫球多少个； (2)规定垫球达到标准数量记0分，超过标准数量，每多垫1个加2分；未达到标准数量，每少垫1个扣1分，求这个班垫球总共获得多少分. 学科网（北京）股份有限公司 3.某自行车厂一周内计划平均每天生产200辆自行车，由于种种原因，实际每天生产量与计划量相比有出入.下表是某周的生产情况(超产记为正，减产记为负)： 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减产量/辆 (1)根据记录的数据可知，该厂星期五生产自行车 辆. (2)根据上表记录的数据可知，该厂本周实际生产自行车 辆. (3)该厂实行每日计件工资制，每生产一辆自行车可得60元，若超额完成任务，则超过部分每辆另外奖励15元，若完不成每天的计划量，则少生产一辆扣20元，那么该厂工人这一周的工资总额是多少元? (4)若该厂实行每周计件工资制，每生产一辆自行车可得60元，若超额完成周计划工作量，则超过部分每辆另外奖励15元，若完不成每周的计划量，则少生产一辆扣20元，那么该厂工人这一周的工资总额是多少元? 强化训练 1.A市的出租车无起步价，每公里收费2元，不足1公里的按1公里计价，9月4号上午A市某出租司机在南北大道上载人,其承载乘客的里程记录为: 2.3、-7.2、-6.1、8、9.3、-1.8 (单位:公里,向北行驶记为正，向南行驶记为负)，车每公里耗油0.1升，每升油4元，那么他这一上午的净收入是多少元?他最后距离出发点多远? 学科网（北京）股份有限公司 2.最近几年时间，全球的新能源汽车发展迅猛，尤其对于我国来说，新能源汽车产销量都大幅增加，小明家新换了一辆新能源纯电汽车，他连续7天记录了每天行驶的路程(如表)，以50km为标准，多于50km的记为“+”,不足50km的记为“-”,刚好50km的记为“0”. 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天 路程 (km) -8 (1)这7天里路程最多的一天比最少的一天多走 km； (2)请求出小明家的新能源汽车这七天平均每天行驶了多少千米? (3)已知汽油车每行驶100km需用汽油6升，汽油价9元/升，而新能源汽车每行驶100km耗电量为15度，每度电为0.6元，请估计小明家换成新能源汽车后一个月(按30天计算)的行驶费用比原来节省多少钱? 3.小林的父亲上星期六买进某公司股票1000股，每股27元，下表为本周内每日该股票的涨跌情况(相对于前一天)(单位：元) 星期 一 二 三 四 五 六 每股涨跌 +4 +4.5 -1 -2.5 -6 (1)星期三收盘时，每股多少元? (2)本周内最高价是每股多少元?最低价是每股多少元? (3)已知小林的父亲买进股票时付了1.5‰的手续费，卖出时须付总金额1.5‰的手续费和1‰的交易税，如果他在周六收盘前将股票全部卖出，他的收益情况如何? 学科网（北京）股份有限公司 课堂训练 (评分规则：第1-2题每题3分，第3题8分，第4题8分，共22分) 1.对于任何有理数a，下列各式中一定为负数的是( ) A.-(-3+a) B.-a C.-|a+1| D.-|a|-1 2.式子1-2+3-4+5-6+……+2019-2020+2021的结果不可能是( ) A.奇数 B.正数 C.偶数 D.整数 3.计算: 4.在抗洪中，解放军战士的冲锋舟加满油沿东西方向的河流抢救灾民，早晨从A地出发，晚上到达B地，约定向东为正方向,当天的航行路程如下(单位:千米):+15,-8,+9,-6,+14,-5,+13,-4. (1)B地位于A地的什么方向?距离A 地多少千米? (2)若冲锋舟每千米耗油0.6升，油箱容量为30升，求冲锋舟当天救灾过程中至少还需补充多少升油? (3)救灾过程中，冲锋舟离出发点A 最远时，距A地多少千米? 学科网（北京）股份有限公司 $答案 <课首诊查 1.D 2.C 3.D 4.D 5.A 6.C 7.1 8.1 9.23 10. 2 11.<:任意数 12.解：因为x0,所以yx20,2x. 由=3，F2可知，x<0,即x=3. (1)当=2时，x+=-1: (2)当y=2时，x+=5. 所以x+y的值为-1或-5. ◆互动导学 题型一：有理数加减运算 足经典例题 1.A 2.w照00g-0-40g-2号 11、 6 2)原式=05+73)=-78：3)原式2写中- (4)原式=7.2-7.2-3.8=0-3.8=-3.8 3.C 4.(1)原式=2+3=5 (2)原式=0+3.72+(-2.72)+4=(0+4)+3.72-2.72)=4+1=5 8)原武+(39=-6兮争=29 5.(1)6+(-8)-(-5)=6-8+5=11-8=3: =32242-11=32-12242 6 =2-6=.4 、6 65 5 655 6.-1 卫强化训练 1.C 2.(1)解：-3.72-1.23+4.18-2.93-1.25+3.72=(-3.72+3.72)+4.18-2.93-1.25)-1.23=0+0-1.23=-1.23 (2)解：11-12+13-15+16-18+17=(11+13+16+17)+(-12-15-18)=57+-45)=12 3)解：-3+52+42-65 2 4618 =-3 3 2*5 1 5 +4 6、5 4 6 18 =354-0+80 =0+-18+27+30-1029 36 36 注：带分数中的整数与分数分离时，如果这个数是负数，那么分离得到的整数与分数都是负数， 2 1 、3 (4)解：2.25+3。-2+1.875=(2.25-2.75)+(3.125+1.875)=-0.5+5=4.5 8 4 5)解：376-39-5号+68-476-21月 62 =(6.76-476)+5}22+15+-39+68) 362 =-1+(-6)+29=22 (6解：3.46+45-}-3.87-22+154+337+2 63 =646+150+(387+30+4g3r2分3 63 =5+(-0.5)+45+(-1月)=4.5+3=7.5 2 3.1 题型二：简便运算 卫经典例题 1.0原式+-2+12写+(4日-+(3+++发+(2+(12+(4=-18写 2)原式-+6品-9+16+(4(7-+(-写 o)原式e293e59-2+5(3*g- 原式-（的+(2+--+(2+4+((3+号- 6)限式-++(--21+(+(+2子- 6)原式=178+(-87刃+43+53+(-12)+(-02+(-0.79)+22 2.19 =175 2.解：原式=-4×504=-2016 2强化训练 1.D原式4+(3+(-2++(2+(3-+( 2)原式(-200)+199+400+(-)+(3+3+号2=号 3)原式=9品++3号49=(+54+34(4到+(3+(+子（专-0 4展式号233+34( 3 33 6原式好(452=3+(92+日好（安(-0 4 5*+6*7=13+3457 (6)原式13+3+57 546+2=13+ 1=15 30 30 2.原式=-2×505=-1010 题型三：有理数的应用 2经典例题 1.解：(1)-2+7-9+10+4-5-8=3（千米）， 答：最后一次投递包裹结束时快递小哥在公司P的西边，距离公司3千米： (2)-2F2(千米)2+7作5（千米），2+7-94（千米），+2+7-9+10=6（千米）， -2+7-9+10+410(千米)，卜2+7-9+10+4-55（千米），-2+7-9+10+45-8=3（千米）， ,第五次快递小哥距公司P最远. 故答案为：五： (3)-2++7+-9++10++4+5+-8=45(千米)， ∴.0.08×45=3.6（升），7.2×3.6=25.92（元）， 答：快递小哥工作一天需要花汽油费25.92元. 2.解：(1)-10×5+(-6)×10+0×10+8×5+10×10+12×5=50-60+0+40+100+60=90（个）， (25×45+90)÷45=1215÷45=27(个)， 答：这个班45人平均每人垫球27个： (2)2×(8×5+10×10+12×5)-1×(101×5+61×10)=290(分)， 答：这个班垫球总共获得290分. 3.(1)超产记为正、减产记为负， ∴.星期五生产自行车200-10=190（辆）， 故答案为：190： (2)该厂本周实际生产自行车200×7+(+5)+(-2)+(-4)+(+13)+(-10)+(+16)+(-9) =1409(辆)， 故答案为：1409： (3)200×7+(+5)+(-2)+(-4)+(+13)+(-10)+(+16)+(-9)=1409(辆)， 1409×60+(5+13+16)×15+(-2-4-10-9)×20=84550(元)， 答：该厂工人这一周的工资总额是84550元： (4)实行每周计件工资制的工资为1409×60+9×15=84675（元）， 答：该厂工人这一周的工资总额是84675元. 2强化训练 1.因为每公里收费2元，且不足1公里的按1公里计算 所以出租车司机的收入为收入：(3+8+7+8+10+2)×2=76（元） 出租车所行驶的路程为23+-72+6.1+8+9.3+1.8=347公里 汽油成本：34.7×0.1×4=13.88（元），收入76-13.88=62.12（元） 他最后距离出发点的距离：23+(-7.2)+(6.1)+8+9.3+(-1.8)=4.5（公里） 答：净收入为76元，最后距离出发点4.5公里 2.解：(1)由表格得：(+33)-(-16)=49(km),即这7天里路程最多的一天比最少的一天多走49km, 故答案为：49： (2)(-8)+(-12)+(-16)+(+21)+(+22)+(+30)+(+33)=-36+106-=70(km), 70÷7+50=60(km): 答：小明家的新能源汽车这七天平均每天行驶了60km. (3)用汽油的费用：60×30+100×6×9=972（元）， 用电的费用：60×30-100×15×0.6=162（元），972-162=810（元）， 答：估计小明家换成新能源汽车后1个月的行驶费用比原来节省810元. 3.解：(1)27+4+4.5-1=34.5元： (2)最高=27+4+4.5=35.5元，最低=34.5-2.5-6=26元： (3)周六每股的价钱=26+2=28元， 收益情况=28×1000×(1-1.5%o-1%)-27×1000×(1+1.5%)=889.5元. 乡课堂训练 (评分规则：第1-4题每题3分，第5题8分，第6题5分，共25分) 1.D 2.C 昼.(1)178-8721+432+32-279=178+432153287：21+12.79例=178+97-100 11 15+C)+(-5) =l5-s-6=0 4.解：(1)，15-8+9-6+14-5+13-4=28， .B地在A地的东边28千米： (2)这一天走的总路程为：15+-8+9+-6+14+州-5+13+-4=74千米， 应耗油74×0.6=44.4（升）， 故还需补充的油量为：44.4-30=14.4（升）， 答：冲锋舟当天救灾过程中至少还需补充14.4升油： (3),路程记录中各点离出发点的距离分别为： 15千米：15-8=7千米：7+9=16千米：16-6=10千米：10+14=24千米： 24-5=19千米：19+13=32千米：32-4=28千米. ∴冲锋舟离出发点A最远时，距A地32千米.