培优专题01 圆的基本性质综合题型归纳(专项训练）数学新教材人教版九年级上册

西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题01圆的基本性质综合题型归纳 内容概览 目常考题型精准突破 考点一垂径定理及其推论 题型1利用垂径定理求值 题型2垂径定理的推论 题型3垂径定理的实际应用 考点二弧、弦、圆心角之间的关系 题型1利用弧、弦、圆心角的关系求解 题型2利用弧、弦、圆心角的关系证明 题型3求圆弧的度数 考点三圆周角定理及其推论 题型1圆周角定理 题型2同弧或等弧所对的圆周角相等 题型3直径与圆周角 目综合攻坚知能拔高 常考题型精准突破 ·考点一垂径定理及其推论● ◆题型1利用垂径定理求值 1,如图，在⊙0中，半径OC与弦AB垂直于点D,且AB=8,OC=5,则CD的长是() A.3 B.2.5 C.2 D.1 1/16 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2.如图，线段CD是⊙O的直径，CD⊥AB于点E.若AB=8,OE=3,则⊙O的半径长为() C E B D A.2 B.3 C.4 D.5 3.如图，AB是⊙O的直径，弦CD1AB于点E,CD=10,BE=2,则⊙0的半径OC= D 4.如图，AB是⊙0的一条弦，OC⊥AB,C0的延长线交⊙0于点D.若AB=2V2,DC=3,则OA的 长是 D B 5.如图，OO的直径AB垂直于弦CD,垂足为点E,F为AB上一点，∠CFD=100°.求∠CFE与∠DFE的 大小 D E B ◆题型2垂径定理的推论 1,如图是一个隧道的横截面，它的形状是以点O为圆心的圆的一部分如果M是⊙0中弦CD的中点， 2/16 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 EM经过圆心O交⊙0于点E,并且CD=4m,EM=6m.则⊙O的半径为() E C M D 10 A.2m B.3m C.3m D.4m 2.如图，AB是OO的直径，CD为弦，CD⊥AB于点E,连接AC,AD,则下列结论一定正确的是 () D B A.AC=BC B.BC=BD C.OE=BE D.∠CAD=∠CDA 3.如图，⊙0的半径为5，弦AB的长为8，点C是⊙0上一点，且AC=BC,连接C0并延长，交AB于 点D,交OO于点E,则DE的长为 D B E 4.如图，在⊙O中，C,D分别是AB和弦AB的中点，若AB=8,CD=2,则⊙O的半径是 B 5.如图，在⊙O中，M,N分别为弦AB,CD的中点，AB=CD,AB不平行于CD.求证： 3/16 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 M D (1)OM =ON (2)∠BMN=∠DNM. ◆题型3垂径定理的实际应用 1.如图1，筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智慧，点P表示筒车的 一个盛水桶，如图2，当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心O为圆心的圆，且圆心在水面上方，若 圆被水面截得的弦AB长为8m,筒车工作时盛水桶在水面以下的最大深度为2m,则筒车的直径是() 水面A 图1 图2 A.8m B.10m C.12m D.13m 2.如图，翠湖公园一座拱桥是圆弧形（劣弧），其跨度AB为24米，拱高CD为8米，求圆弧所在圆的半 径为()米. D A.5 B.12 C.13 D.26 3.《九章算术》中有这样一个问题：“今有圆材，埋壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺 问径几何？”用现在的数学语言表达是：如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD,垂足为E,CE=1寸， AB=1尺，则直径CD长为寸.(1尺=10寸) D 4.如图，拱桥可以近似地看作一个圆弧，桥拱和路面之间用数根钢索垂直相连，其正下方的路面AB长度 4/16 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 为l00m,如果这些钢索中最长的一根的长度为l0m,则该圆弧的半径为m, B路面 桥拱 5.有一种叫云南的生活：冬日暖阳，倚桥观鸡，滨朴倒影，如诗如画.如图1，大观河上的这座圆弧形拱 桥建于上世纪70年代.图2是拱桥的示意图，它的跨度AB=60米，拱高PD=18米 A B 图1 图2 (1)求圆弧所在的圆的半径r的长： (2)当洪水泛滥到跨度只有30米时，要采取紧急措施，若拱顶离水面只有4米，即PE=4米时，是否要采取 紧急措施？ ●考点二弧、弦、圆心角之间的关系●一 ◆题型1利用弧、弦、圆心角的关系求解 1.如图，点A、B、C、D在⊙O上，∠AOC=150°，点B是AC的中点，则∠D的度数是() A B D A.75° B.37.5° C.30° D.60 2.如图，AO,CO是⊙O的半径，B是AC的中点，连接AB,BC,点D在BC的延长线上.若 ∠OCD=130°，则∠AOC的度数为() 5/16 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D B A.160° B.130° C.100° D.80° 3.如图，AB是OO的直径，CB,CD是⊙O的弦，且CB=CD,CD与AB交于点E,连接OD.若 ∠AOD=40°，则∠D的度数是 E D B 4.如图，△ABC是OO的内接三角形，AB=AC,点D是劣弧AB中点，连接OB,OD,其中OD交AB 于点E,若∠BOD=60°，OD=1,则AC的长为 D 5.如图，已知在⊙0中，AC=CE, (1)求证：C0⊥AE: (2)CD⊥直径AB于点D,若BD=L,AE=4,求O0的半径. ◆题型2利用弧、弦、圆心角的关系证明 6/16 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1.在⊙0中，圆心角∠AOB=2∠COD,则弦AB与弦CD的关系是() A.AB=2CD B.AB>2CD C.AB<2CD D,不能确定 2.如图，在⊙O中，若AB=CD,则下列判断错误的是() ○ A.AB=CD B.AC=CB C.AC=BD D.∠AOC=∠BOD 3.如图，A,B,C是⊙O上的点，其中AB=2BC,过点B画BD⊥OC于点D 0. (1)求证：AB=2BD】 (2)若AB=4W3,CD=2,求涂色部分的周长. 4.如图，以如ABCD的顶点A为圆心，AB的长为半径作圆，分别交AD,BC于点B,F,延长BA交⊙A于 点G. (1)求证：GE=EF」 (2)若F为BE的中点，求∠C的度数. ◆题型3求圆弧的度数 1.如图，OC是⊙O的半径，D是OC的中点，弦AB过点D,且AB⊥OC,垂足为D,那么ACB的度数 为() 7116 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B A.30° B.60° C.120 D.150 2.如图，AB是⊙O的直径，点C在圆上，将AC沿AC翻折与AB交于点D.若OA=3cm,BC的度数为 30°，则AD=()· D B A.100 B.120 C.60 D.30 3.如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=28°，以点C为圆心，CA为半径的圆交AB于点D,交BC于点 E,那么DE的度数是 B A 4.如图，在△ABC中∠C=90°，以点C为圆心，BC为半径的圆交AB于点D,交AC于点E. B (1)若∠A=28°，求DE的度数： (2)若BC=3,AC=4,求BD的长. 8/16 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 5.如图，△ABC中，∠C=90°，以AC为半径的⊙C与AB相交于点D. B (1若LB=35°，求AD的度数 (2)若AC=3,BC=4,求DB的长. ● 考点三圆周角定理及其推论●—一 ◆题型1圆周角定理 1.如图，点A,B,C在⊙0上，∠ACB=54°，则∠AB0的度数是() A A.54° B.27° C.36° D.108° 2.如图，点C在以AB为直径的半圆O上，CD1AB于D,若∠A=22.5°，AB=16,则CD=() 0 D B A.42 B.8 c.8V2 D.16 3.如图，AB为⊙O的一条弦，且AB=8,∠AOB=120°，C为劣弧AB上一点，连接AC,BC,则 ∠ACB的度数为一· 9/16 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B C 4.如图，△ABC是⊙O的内接正三角形，点O是圆心，点D,E分别在边AC,AB上，若DA=EB,则 ∠DOE的度数是 度. D 5.如图，在⊙0中，弦BC垂直于半径OA,垂足为E,D是优弧BC上一点，连接BD,AD,OC, ∠A0C=58°. (1)求∠ADB的度数， (2)若0E=3,OA=5,求BC的长. ◆题型2同弧或等弧所对的圆周角相等 1.如图，点A,B,C,D在⊙O上，AB=CD,∠ACB=35°，则∠DBC等于() D A.60° B.55° C.45° D.350 2.如图，⊙O是△ABC的外接圆，若AB=AC,∠ACB=65°，则∠BOC的度数为() 10/16 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.130° B.115° C.100° D.150° 3.如图，四边形ABCD内接于⊙O,∠ABC=60°，∠DAB=90°，C为BD的中点，则∠ACD= 0 B 4.如图，AD是⊙0的直径，AB=CD,若LBPC=48°，则圆心角∠AOB的度数是 D A 5.如图，在⊙0中，直径AB与弦CD相交于点P,∠CAB=40°，∠APD=66°. B 0 A D (1)求∠B的大小： (2)已知圆心O到BD的距离为4，求AD的长. ◆题型3直径与圆周角 1.如图，AD是⊙0的直径，B,C,E是⊙0上的三点，∠B=112°，则∠E的度数为() 11/16 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D A.20° B.22° C.30° D.32 2.如图，四边形ABCD中，∠BAD=∠BCD=90°，∠BAC=40°，则∠CBD的度数为() D C A.40° B.45° C.50 D.55 3.如图，∠ACB=90°，∠ACB的平分线交⊙0于D,若CD=3,AC=V2则AB的长为 B D 4.如图，AB是⊙0的直径，弦CD‖AB,若∠CAB=65°，则∠BCD= 0 D B 0 5.如图，△ABC为⊙O的内接三角形，AB是直径，D是ABC的中点，连结DA,DC,过点D作CD的垂 线交CB的延长线于点E. D (1)证明：AB=CE 12/16 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)若AC=4,tanE=2,求AB和BE的长. 综合攻坚·知能拔高 1.如图，点A,B,C,D都在半径为4的⊙0上，若OA⊥BC,∠CDA=30°，则弦BC的长为() 0 D A.4V5 B.2V5 c.5 D.2 2.如图，点A,B,C在半径为2的⊙0上，∠ACB=60°，OD⊥AB于E,交⊙0于D,连OA,则OE 的长度为() C E B A.1 B.2 C.3 D.22 3.如图，在⊙0中，直径AB⊥CD,∠C=65°，则∠D的度数为() B A.25 B.40° C.50° D.55 4.如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠BCD=132°，则∠BOD的大小为() 13/16 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B D A A.96° B.90° C.76° D.48° 5,如图，AB是⊙0的直径，点C、D为⊙0上的点.若∠ABC=25°，则∠D的度数为(). B A.50° B.115 C.150° D.1659 6.如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，BE是⊙O的直径，连接AE.若∠BCD=l20°，则∠DAE的 度数是」 B 7.如图，是一圆柱形输水管的横截面，阴影部分有水，如果水面宽8cm,水的最大深度为2cm,求该输 水管的半径是 cm 8.如图，四边形ABCD是半圆O的内接四边形，AB是直径，CD=DA.若∠BCD=120°，则∠ABC的度 数为 O 14/16 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 9.如图，在⊙0中，CD是直径，弦AB⊥CD,垂足为E,若∠C=30°，AB=2V3cm,则⊙0的半径为 cm 01 E B 0 10.如图，在⊙0中，AB=AD,若∠C=30°，则∠B0C的度数是一 11.如图，⊙O是△ABC的外接圆，D是直径AB上一点，∠ACD的平分线交AB于点E,交⊙O于另一点 F,FA=FE. M E D B (1)求证：CD⊥AB (2)作FM⊥AB,垂足为M.若OM=OE=1,求AC的长 12.如图，△ABC内接于O0,AD、BE是△ABC的高，H是AD、BE的交点，AD的延长线交⊙0于G. G (1)试说明：HD=DG」 (2)若∠BAD=30°，BH=4,求O0的面积. 15/16 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 13.如图，己知四边形ABCD内接于⊙O,连接BD,∠BAD=105°，∠DBC=75° (1)求证：BD=CD: (2)若⊙0的半径为5，求BC的长 14.如图，AB是半圆O的直径，C,D是圆上的两点，OD‖4C,OD与BC交于点E. D (1)求证：E为BC的中点. (2)若BC=8,DE=2,求AB的长度. 15.如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD,垂足为E,M是弦AD上一点，连接CM交AB于点F,连接 BC,∠BCD=∠DCM. D (1)求证：CM⊥AD: (2)若AB=12,OF=2,求CD的长. 16/16画学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题01圆的基本性质综合题型归纳 内容概览 目常考题型精准突破 考点一垂径定理及其推论 题型1利用垂径定理求值 题型2垂径定理的推论 题型3垂径定理的实际应用 考点二弧、弦、圆心角之间的关系 题型1利用弧、弦、圆心角的关系求解 题型2利用弧、弦、圆心角的关系证明 题型3求圆弧的度数 考点三圆周角定理及其推论 题型1圆周角定理 题型2同弧或等弧所对的圆周角相等 题型3直径与圆周角 目综合攻坚知能拔高 常考题型精准突破 ●考点一垂径定理及其推论●一 ◆题型1利用垂径定理求值 1.C 2.D 29 3. 4 4. 6 1/17 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 5. 【详解】解：，⊙O的直径AB垂直于弦CD, ·EF⊥CD,CE=DE, ∴FC=DF, .∠CFE=∠DFE, ,∠CFD=100°， ∴.∠CFE=∠DFE=50° ◆题型2垂径定理的推论 1.c 2.B 3.2 4.5 5. (1) 证明：连接OA,OC, d B D OA=OC :M,N分别为弦AB,CD的中点，AB=CD, .AM=CN,∠OMA=∠ONC=90°， ∴.aOMA≌aONC(HL) ∴.OM=ON: (2) 证明：，M,N分别为弦AB,CD的中点，AB=CD, ∴.∠OMB=∠OND=90°， ..OM =ON, 2/17 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠OMN=∠ONM, ∴.∠OMB-∠OMN=∠OND-∠ONWM, ∴.∠BMN=∠DNM ◆题型3垂径定理的实际应用 1.B 2.C 3.26 4.130 5. 【详解】(1)解：连接OA, 由题意得：4D=2B=30米，OD=仁-18)米， 在RtADC0中，有r2=302+(-182,解得r=34米 (2)解：连接OA' OE=OP-PE=30米， ∴在Rt△AE0中，AE=√AO2-OE2=16(米)， AB=32米 AB=32>30. ∴不需要采取紧急措施 。考点二弧、弦、圆心角之间的关系。一 ◆题型1利用弧、弦、圆心角的关系求解 3/17 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1.B 2.A 3.35° 4.5 5. (1) 证明：如图，延长CO交AE于点F,连接AC,EC,OE AC=CE ∴.∠A0C=∠E0C,且OA=OE,OC=OC, :.△AOC2aEOC(SAS). .AC=EC,∠ACO=∠ECO. 在△ACF和△ECF中， 「AC=EC ∠ACF=LECF, CF=CF .△ACF≌aECF(SAS), ∴.∠AFC=∠EFC, 又∠AFC+∠EFC-180°， ∴.CO⊥AE: (2)解：设⊙0的半径为1， ,AC=CE,CF过圆心，AE=4, 4f-54E=2, CD⊥AB,OF⊥AE, :.∠AFO=∠ODC=90°. 又：∠AOF=∠COD,OA=OC, 4/17 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ·.△OAF≌aOCD(AAS), ..OF =OD=r-1, :在RtAAOF中，OA2=AF2+OF2, 、r2=22+(-12, 解刚 5 ·00的半径为2： ◆题型2利用弧、弦、圆心角的关系证明 1.C 2.B 3. (1) 证明：延长BD交圆O于E. B D E OC⊥BD, 六.BE=2BD,BE=2BC, AB=2BC. .BE=AB, ,AB=BE=2BD」 (2)解：连接OB,CB 5/17 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A 设OB=r, 由(1)得AB=BE=2BD, .AB=43. :.BD=213, ,CD=2, ∴OD=r-2, 则OB2=OD2+BD2 2=-2+(23, 得r=4, .0D=4-2=2, :.OD=CD=2, ∴，BE垂直平分OC, ..OB=BC, ∴OB=BC=OC. :.△BOC为等边三角形， .∠BOD=60° 60π×44 小弧BC的长=180=3T, ÷涂色部分的周长=CD+DB+弧BC的长=2+25+手 4. (1) 证明：如图，连接AF. 6/17 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 E D 四边形 为平行四边形， ABCD AD∥BC .∠DAF=∠AFB,∠GAD=∠B AB=AF,∠B=∠AFB ∴∠GAD=∠DAF, .GE=EF (2)解：∵F为BE的中点， .BF=EF=GE,.∠BAF=60° .AB=AF, :∠B=∠AFB=(180°-∠BAF)=60. 0 :四边形ABCD为平行四边形， .AB CD, .∠C=180°-∠B=120° ◆题型3求圆弧的度数 1.c 2.B 3.34° 4. 【详解】(1)解：连接CD, 7/17 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B D ∠A=28°∠ACB=90° ·∠B=62°， .CB=CD, .∠B=∠CDB=62°， ∠BCD=56°， .∠DCE=34°， .DE的度数为34°； (2)解：作CH⊥BD,则BH=DH, 在Rt△4CB中，AB=VBC2+AC2=V32+4=5, :CH.AB=IBC.AC. 2 ∴CH=3×412 55 在 Rt△BCH .BD=2BH-18 · 5. 【详解】(1)解：连接CD, B :∠ACD=90°，∠B=35°， ∠A=55 CA=CD, .∠CDA=55°， ∴∠ACD=180°-55°-55°=70°， 8/17 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .AD的度数为70°： (2)解：作CH⊥AD, .HDIAD. :AC=3,BC=4. .AB=5, 4C-c=548cm,即：cH-号 AH=AC-CH= , 4D=24H= :BD=AB-AD=5-18-7 5-5· ●考点三圆周角定理及其推论●一 ◆题型1圆周角定理 1.C 2.A 3.120 4.120 5. 【详解】(1)解：连接OB 9/17 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :OA L BC,且OA为O0的半径， :.BE=EC,AB=AC. .∠A0C=58°， .∠B0A=∠AOC=58°， .∠ADB三)∠B0A=29 (2)解：0B=0A=5,OE=3, ÷BE=VOB2-0E2=V52-32=4, ∴.BC=2BE=8 ◆题型2同弧或等弧所对的圆周角相等 1.D 2.C 3.15 4.42° 5. 【详解】(1)解：根据同弧所对的圆周角相等可得到∠CAB=∠CDB=40°， :∠APD=66°，∠APD=∠B+∠CDB, ∠B=66°-40°=26°： (2)解：过点O作OE⊥BD于点E,则圆心O到BD的距离OE=4,BE=DE, 10/17 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B P D O是AB的中点， .OE是△ABD的中位线， .AD=2OE=8」 ◆题型3直径与圆周角 1.B 2.C 3.10 4.25 5. (1)证明：：点D是ABC的中点， .CD=AD AB为直径，DE⊥CD, ∴∠ADB=∠CDE=90°. ∵BD=BD ∠DAB=∠DCE, 在△ADB和△CDE中， [∠DAB=∠DCE AD=CD ∠ADB=∠CDE ∴△ADB≌△CDE(ASA)」 .AB=CE. (2)解：连接并延长DO交AC于点F, 11/17 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 E 点 是 的中点， D D CBA AC=4 1 .AF=CF=AC=2. △ADB≌ACDE, ∴.∠ABD=∠E ∴.tan∠ACD=tan∠ABD=tanE=2, ∴在RtACDF中，DF=CF.tan∠ACD=4, CD=VCF2+DF2=2√5， ∴AD=CD=25 在RACDE中，DE=CD tan=5 CE=CD2+DE2=5, ,△ADB≌aCDE, .AB=CE=5. AB是直径， .∠ACB=90°， ∴，在Rt△ACB中，CB=√AB2-AC2=3, ∴BE=CE-CB=2. 综合攻坚·知能拔高 1.A 2.A 3.B 4.A 5.B 12/17 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 6.30° 7.5 8.60 9.2 10.120° 11. ) 证明：，FA=FE, ,∠FAE=∠AEF 又∠FAE与∠BCE都是BF所对的圆周角， .∠FAE=∠BCE, :'∠AEF=∠CEB」 ∴.∠CEB=∠BCE :CE平分∠ACD, .∠ACE=∠DCE. :AB是⊙O的直径， .∠ACB=90° ∴，∠CEB+∠DCE=∠BCE+∠ACE=∠ACB=90° .∠CDE=180°-（∠CEB+∠DCE)=90° .CD⊥AB (2)解：由(1)知，∠BEC=∠BCE, .BE=BC ,FA=FE,FM⊥AB, .MA=ME=OM+OE=2 .'.OB=OA=MA+OM=3. .AB=OA+OB=6,BC=BE=OB-OE=2. .∠ACB=90°， .AC=VAB2-BC2=V62-22=4V2. 12. 13/17 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)解：连接BG A 是 的高， D .AD、BE△ABC .∴，∠AEH=∠BDH=90° ,∠AHE=∠BHD .∠DBH=∠EAH, :∠CBG=∠CAG, ∴∠HBD=∠GBD, 在△BDH与△BDG中， ∠HBD=∠GBD BD=BD ∠BDH=∠BDG=90° .∴ABDH≌ABDG(ASA), ∴.DH=DG (2)解：连接OB、OG A B U .·∠BAD=30° .∠BOG=2∠BAG=60° .OB=OG, ∴△OBG为等边三角形， ..BG=OB=OG. △BHD≌ABGD, .BH=BG=4, 14/17 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.0B=0G=4, .S=42.元=16π. 13. 【详解】(1)证明：：四边形ABCD内接于⊙0， ∠C+∠BAD=180°， ∠BAD=105°， ∴.∠C=180°-105°=75°. ∠DBC=75°， ∴LDBC=∠C, ...BD=CD; (2)解：连接OB、OC, B 由(1)可知，∠DBC=∠DCB=75°， ∴.∠BDC=180°-75°-75°=30°， 由圆周角定理得，∠B0C=60°， 0B=0C, ∴△BOC为等边三角形， .'BC=OB=5 14. (1) 证明：：AB是半圆O的直径，C,D是圆上的两点， .∠ACB=90°， ..ODII AC. ∠BEO=90°，即：OE⊥BC, .BE=CE; .E为BC的中点： 15/17 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)解：设半径为r,则OB=OD=r,AB=2r, ∴.OE=OD-DE=r-2, :BC=8, ∴BE=CE=4, 在RtaBEC0中，由勾股定理，得r户=(-2)°+4，解得r=5: .AB=10 15. 【(1) 证明：AB是OO的直径，AB⊥CD, ∴.∠CEF=90° ∠BCD=∠DCM,∠BCD=∠A, ∴∠DCM=∠A」 又，∠AFM=∠CFE, ∴.∠AMF=∠CEF=90°， ∴CM⊥AD. (2)解：连接OC D 在△CEF与△CEB中， [∠FCE=∠BCE CE=CE ∠CEF=∠CEB=90° ∴ACEF≌aCEB(ASA) ∴EF=EB」 1 0BB=x12=60F2 ..EF=EB=2, 16/17 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.OE=OF+EF=4. 在Rt△0EC中，CE=VOC2-0E2=V6-4=25, .CD=2CE=45 17117 专题01 圆的基本性质综合题型归纳 常考题型·精准突破 考点一 垂径定理及其推论 题型1 利用垂径定理求值 题型2 垂径定理的推论 题型3 垂径定理的实际应用 考点二 弧、弦、圆心角之间的关系 题型1 利用弧、弦、圆心角的关系求解 题型2 利用弧、弦、圆心角的关系证明 题型3 求圆弧的度数 考点三 圆周角定理及其推论 题型1 圆周角定理 题型2 同弧或等弧所对的圆周角相等 题型3 直径与圆周角 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 考点一 垂径定理及其推论 ◆题型1利用垂径定理求值 1．如图，在中，半径与弦垂直于点，且，，则的长是（     ） A．3 B． C．2 D．1 【答案】C 【分析】根据垂径定理求出长度，再根据勾股定理求出长度，即可求出的长度． 【详解】解：，， ，， ， 在中，， ． 2．如图，线段是的直径，于点．若，，则的半径长为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】利用垂径定理求出弦长的一半，再连接半径构造直角三角形，通过勾股定理计算圆的半径． 【详解】解：连接． 是的直径，， ． ， ． ，， ． 3．如图，是的直径，弦于点E，，，则的半径_______． 【答案】 【分析】设半径为r，则，得到，由垂径定理得到，再根据勾股定理，即可求出答案． 【详解】解：由题意，设半径为r， 则， ∵， ∴， ∵是的直径，弦于点E， ∴点E是的中点， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得 ， 即， 解得：． 4．如图，是的一条弦，的延长线交于点D．若，，则的长是______． 【答案】/ 【分析】根据，得出，设，则，然后根据勾股定理列出关于r的方程，解方程即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴，， 设，则， ∵， ∴， 解得：， 即． 5．如图，的直径垂直于弦，垂足为点E，F为上一点，．求与的大小． 【答案】 【分析】根据垂径定理求出，，求出，根据等腰三角形的性质得出即可． 【详解】解：∵的直径垂直于弦， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴． ◆题型2 垂径定理的推论 1．如图是一个隧道的横截面，它的形状是以点为圆心的圆的一部分.如果是中弦的中点，经过圆心交于点，并且．则的半径为（　　） A． B．3m C． D．4m 【答案】C 【分析】先根据垂径定理的逆定理得出，再根据勾股定理得出答案即可． 【详解】解：∵点M是的中点，且经过点O，， ∴， ∴． 设半径为r，则，根据勾股定理，得 ， 解得， 所以半径为． 2．如图，是的直径，为弦，于点，连接，，则下列结论一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了垂径定理，掌握垂径定理是解题的关键． 根据垂径定理可得、 ，，无法得到，，据此即可解答． 【详解】解：如图：连接、， ∵是的直径，为弦，于点， ∴，，， ∴，， ∴B选项结论成立，符合题意；A选项结论不成立，不符合题意； 证明缺少条件，即C选项结论不成立，不符合题意， 无法判断，即D选项结论不成立，不符合题意． 故选：B． 3．如图，的半径为5，弦的长为8，点C是上一点，且，连接并延长，交于点D，交于点E，则的长为________． 【答案】2 【分析】连接，根据垂径定理推论可得，，勾股定理求出，即可得． 【详解】解：连接， ∵点C是上一点，且，连接并延长，交于点D，交于点E，弦的长为8， ∴，， ∵的半径为5， ∴， ∴， ∴． 4．如图，在中，C，D分别是和弦的中点，若，，则的半径是________． 【答案】5 【分析】本题考查垂径定理的推论、勾股定理，熟知垂径定理及其推论是解答的关键． 连接，，，根据垂径定理的推论得到，，，则O、D、C共线，设半径，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：连接，，， ∵C，D分别是和弦的中点，， ∴，，， ∴O、D、C共线， 设半径，则， 由勾股定理得，即 解得，故的半径是5， 故答案为：5． 5．如图，在中，分别为弦的中点，，不平行于．求证： (1) (2)． 【答案】(1) 证明：连接， ∴， ∵分别为弦的中点，， ∴，， ∴ ∴； (2) 证明：∵分别为弦的中点，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【分析】本题考查了垂径定理的推论，全等三角形的判定和性质，等边对等角． （1）连接，则，根据中点的定义得到，根据垂径定理的推论得到，根据证明，即可得到； （2）根据垂径定理的推论得到，根据等边对等角得到，即可证明． 【详解】（1）略 （2）略 ◆题型3 垂径定理的实际应用 1．如图1，筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智慧，点表示筒车的一个盛水桶，如图2，当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心为圆心的圆，且圆心在水面上方，若圆被水面截得的弦长为，筒车工作时盛水桶在水面以下的最大深度为，则筒车的直径是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点作，交于点，交于点，则有，然后根据勾股定理可进行求解． 【详解】解：如图，过点作，交于点，交于点， 设筒车的半径为，则， ∴． ∵， ∴． 在中，， ∴，解得， ∴筒车的直径是． 2．如图，翠湖公园一座拱桥是圆弧形（劣弧），其跨度为24米，拱高为8米，求圆弧所在圆的半径为（    ）米． A．5 B．12 C．13 D．26 【答案】C 【分析】延长到，使得，利用勾股定理和垂径定理解答． 【详解】解：延长到，使得，则为圆心， 拱桥的跨度米，， ， ， 即， 解得． 圆弧所在圆的半径为． 3．《九章算术》中有这样一个问题：“今有圆材，埋壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用现在的数学语言表达是：如图，为的直径，弦，垂足为E，寸，尺，则直径长为______寸．（1尺寸） 【答案】26 【分析】连接构成直角三角形，先根据垂径定理，可得寸，再设出圆的半径为x寸，表示出，最后根据勾股定理建立关于x的方程进行求解即可． 【详解】解：连接，如图， ，且寸， 寸， 设圆O的半径的长为x寸， 寸， 在中， 解得， ， 寸． 4．如图，拱桥可以近似地看作一个圆弧，桥拱和路面之间用数根钢索垂直相连，其正下方的路面长度为，如果这些钢索中最长的一根的长度为，则该圆弧的半径为______m． 【答案】130 【分析】本题考查了圆的综合应用，解题的关键是建立坐标系，以中点为原点，利用圆上三点坐标建立方程组求解．设圆心坐标为，由在圆上得，由最高点在圆上得，联立解方程即可求出半径． 【详解】解：以的中点为原点，所在直线为轴建立坐标系， 则，圆弧最高点坐标为， 由对称性知圆心在轴上，设圆心为，半径为， 在圆上， , 即，① 最高点在圆上， ，② 将②代入①，得 ， 解得， ． 故答案为：130． 5．有一种叫云南的生活：冬日暖阳，倚桥观鸡，滨朴倒影，如诗如画．如图1，大观河上的这座圆弧形拱桥建于上世纪70年代．图2是拱桥的示意图，它的跨度米，拱高米． (1)求圆弧所在的圆的半径r的长； (2)当洪水泛滥到跨度只有30米时，要采取紧急措施，若拱顶离水面只有4米，即米时，是否要采取紧急措施？ 【答案】(1)米 (2)不需要采取紧急措施 【分析】（1）连接，利用r表示出的长，在中根据勾股定理求出r的值即可； （2）连接，在中，由勾股定理得出的长，进而可得出的长． 【详解】（1）解：连接， 由题意得：米，米， 在中，有，解得米； （2）解：连接． 米， ∴在中，（米）， 米． ， ∴不需要采取紧急措施． 考点二 弧、弦、圆心角之间的关系 ◆题型1利用弧、弦、圆心角的关系求解 1．如图，点A、B、C、D在上，，点B是的中点，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，根据弧，弦，圆心角的关系，易得，再根据圆周角定理，即可求解． 【详解】解：如图，连接， 点B是的中点， ， ， ， ， ． 2．如图，是的半径，是的中点，连接，点在的延长线上．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用邻补角定义求出，根据等腰三角形性质求出 ，再利用弧中点性质得出，最后求和即可． 【详解】解：连接， 点在的延长线上， 是的中点 ． 3．如图，是的直径，，是的弦，且，与交于点E，连接．若，则的度数是_____ 【答案】/度 【分析】连接，根据弦相等得出对应的圆心角相等，即，利用平角定义和角的和差关系建立方程求出的度数，最后利用等腰三角形的性质求出的度数即可. 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∴， 设，则， 是的直径， ， ， ， 由图可知， ， 解得， ， ， . 4．如图，是的内接三角形，，点是劣弧中点，连接，，其中交于点，若，，则的长为______． 【答案】 【分析】证明，，求解，进一步可得答案． 【详解】解：∵点是劣弧中点， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ， ∴， ∵， ∴． 5．如图，已知在中，． (1)求证：； (2) 直径于点D，若，，求的半径． 【答案】(1) 证明：如图，延长交于点F，连接， ∵， ∴，且， ∴， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， 又， ∴； (2) 【分析】本题考查的是垂径定理、全等三角形的判定和性质及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键． （1）延长交于点F，连接，证明，，即可求解； （2）由垂径定理可知，根据全等三角形的判定定理得出，故可得出的长，根据勾股定理即可求出的长． 【详解】（1）略 （2）解：设的半径为r， ∵，过圆心，， ∴， ∵，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∵在中，， ∴， 解得， ∴的半径为． ◆题型2 利用弧、弦、圆心角的关系证明 1．在中，圆心角，则弦与弦的关系是（     ） A． B． C． D．不能确定 【答案】C 【分析】作的平分线构造等圆心角，得到等弦，结合三角形三边关系比较弦长大小． 【详解】解：如图，作的平分线，交于点，连接、、、， 则， ∵， ∴， ∵在同圆中，相等的圆心角所对的弦相等， ∴， 在中，， ∴，即． 2．如图，在中，若，则下列判断错误的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，根据圆心角、弧、弦的关系得出，，，即可得出选项，解此题的关键是熟练掌握圆心角、弧、弦的关系． 【详解】解：∵， ，，故A正确； ∴，故C正确； ，，故D正确； ∵和无法确定相等， 无法判断， 故选：B． 3．如图，A，B，C是上的点，其中，过点B画于点D． (1)求证：． (2)若，，求涂色部分的周长． 【答案】(1) 证明：延长交圆于E． ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴． (2) 【分析】本题考查了垂径定理，利用弧、弦、圆心角的关系求解，勾股定理，弧长公式，等边三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）结合垂径定理得，，结合，得，即可作答． （2）先整理得，把数值代入，进行计算，得，则 ，结合垂直平分，得，证明为等边三角形，再求出弧的长，即可得出涂色部分的周长． 【详解】（1）略 （2）解：连接，， 设， 由（1）得， ∵， ∴， ∵， ∴， 则 ∴， 得， ∴， ∴， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴． ∴弧的长， ∴涂色部分的周长弧的长 4．如图，以的顶点A为圆心，的长为半径作圆，分别交于点E，F，延长交于点G． (1)求证：． (2)若F为的中点，求的度数． 【答案】(1) 证明：如图，连接． 四边形为平行四边形， ， ． ， ， ． (2) 【分析】本题考查了平行四边形的性质，平行线的性质，圆周角定理等知识点的应用，关键是求出． （1）要证明则要证明，由题干条件能够证明之； （2）根据F为的中点，可得，从而求得，继而得到，根据平行四边形得性质即可得到结论． 【详解】（1）略 （2）解：为的中点， ． ． 四边形为平行四边形， ． ◆题型3 求圆弧的度数 1．如图，是的半径，D是的中点，弦过点D，且，垂足为D，那么的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆周角、弧、弦的关系，垂径定理．连接、，如图，根据垂径定理得到，，再证明为等边三角形得到，然后根据圆心角的度数等于它所对的弧的度数得到的度数为，从而得到的度数． 【详解】解：如图，连接、， ∵， ∴，， ∵D是的中点， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴的度数为， ∴的度数为． 故选：C． 2．如图，是的直径，点C在圆上，将沿翻折与交于点D．若，的度数为，则（　　）° A．100 B．120 C．60 D．30 【答案】B 【分析】本题主要考查了翻折变换的性质、圆周角定理、圆心角、弧、弦的关系等知识点，作辅助线是解答本题的关键． 作D关于的对称点E，连接，则，然后再根据的度数为知，然后再根据圆周角定理、邻补角性质可得，即可解答． 【详解】解：如图，作D关于的对称点E，连接，则, ∵的度数为， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的度数为． 故选：B． 3．如图，在中，，，以点C为圆心，为半径的圆交于点D，交于点E，那么的度数是 _________． 【答案】/度 【分析】连接，根据三角形内角和定理求出的度数，根据等边对等角得出的度数，然后根据三角形外角的性质得出的度数，则结果可得． 【详解】解：连接， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的度数是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，弧的度数，熟练掌握相关知识点是解本题的关键． 4．如图，在中，以点为圆心，为半径的圆交于点，交于点． (1)若，求的度数； (2)若，，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了垂径定理以及勾股定理，解题的关键是正确添加辅助线构造直角三角形． （1）先求出的度数，再求出所对的弧的度数，即可得出答案； （2）作，根据垂径定理得到，再利用勾股定理计算出，接着利用面积法计算出，然后利用勾股定理计算出，从而得到的长． 【详解】（1）解：连接， ，， ， ， ， ， ， 的度数为； （2）解：作，则， 在中，， ， ， 在中，， ． 5．如图，中，，以为半径的与相交于点D． (1)若，求的度数 (2)若，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查计算圆心角度数，三角形内角和定理，等腰三角形性质，勾股定理等． （1）根据题意连接，再利用内角和定理计算出，继而求出本题答案； （2）作，根据垂径定理得，再利用勾股定理计算出，利用等积法求出，再利用勾股定理即可计算出本题答案． 【详解】（1）解：连接， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的度数为； （2）解：作， ∴， ∵， ∴， ∴，即：， ∴， ∴， ∴． 考点三 圆周角定理及其推论 ◆题型1圆周角定理 1．如图，点，，在上，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据圆周角定理求出，根据等腰三角形的性质求出即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 2．如图，点在以为直径的半圆上，于，若，，则(     ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，证明为等腰直角三角形．设，则，根据勾股定理求得的值，即可求解． 【详解】解：如图，连接， ， ， ． 又， ， 为等腰直角三角形． 设，则， 根据题意得：， 即， 解得：，(不符合题意，舍去)， ∴． 3．如图，为的一条弦，且，，为劣弧上一点，连接，，则的度数为_____． 【答案】/120度 【分析】在优弧上构造圆周角，利用同弧所对圆周角等于圆心角的一半求出该角，再利用圆内接四边形对角互补求出． 【详解】解：在优弧上任取一点，连接，． ， ， 四边形内接于 ， ， ． 4．如图，是的内接正三角形，点O是圆心，点D，E分别在边上，若，则的度数是______度． 【答案】120 【分析】连接，根据已知条件得到，根据等腰三角形的性质得到，证明，根据全等三角形的性质得到，于是得到结论． 【详解】解：连接，如图， ∵是的内接正三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ， ∴． 5．如图，在中，弦垂直于半径，垂足为E，D是优弧上一点，连接，，，． (1)求的度数． (2)若，求的长． 【答案】(1) (2)8 【分析】（1）连接，根据垂径定理，以及弧、弦、圆心角之间的关系推出，再结合圆周角定理求解即可； （2）利用勾股定理推出，再结合垂径定理求解即可． 【详解】（1）解：连接． ∵，且为的半径， ∴，． ∵， ∴， ∴． （2）解：∵，， ∴， ∴． ◆题型2 同弧或等弧所对的圆周角相等 1．如图，点A，B，C，D在上，，，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用同弧所对圆周角相等得到，结合已知条件即可求得结果． 【详解】解：∵， ∴， 又∵， ∴． 2．如图，是的外接圆，若，，则的度数为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据得到，利用三角形内角和定理，得到，根据，解答即可． 本题考查了圆周角定理，三角形内角和定理，熟练掌握定理和性质是解题的关键． 【详解】解：根据得到， 故， 根据． 故选：C． 3．如图，四边形内接于，，，为的中点，则________． 【答案】15 【分析】先根据圆的内接四边形求解，然后根据圆周角定理求解，再由三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：∵四边形内接于， ∴， ∵， ∴， ∵为的中点，， ∴， ∴． 4．如图，是的直径，，若，则圆心角的度数是_____________． 【答案】 【分析】本题考查了等弧所对的圆心角相等，圆周角定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据，可得，结合圆周角定理，可得，最后结合平角即可得出答案． 【详解】解：， ， ， ， 是直径， ， ， 故答案为：． 5．如图，在中，直径与弦相交于点P，，． (1)求的大小； (2)已知圆心O到的距离为4，求的长． 【答案】(1) (2)8 【分析】（1）由同弧所对的圆周角相等求得，根据三角形外角性质求解即可； （2）过点O作于点E，则，根据垂径定理以及三角形中位线定理即可求解． 【详解】（1）解：根据同弧所对的圆周角相等可得到， ∵，， ∴； （2）解：过点O作于点E，则圆心O到的距离，， ∵O是的中点， ∴是的中位线， ∴． ◆题型3 直径与圆周角 1．如图，是的直径，，，是上的三点，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，根据直径所对圆周角是直角得出，进而求出，最后利用同弧所对圆周角相等求解． 【详解】解：连接， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∵与都是弧所对的圆周角， ∴． 2．如图，四边形中，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据直角确定四点共圆，然后根据圆周角定理求解． 【详解】解：如图所示， ∵， ∴四点共圆， ∵， ∴， ∵与所对的弧为， ∴． 3．如图，，的平分线交于D，若则的长为_______． 【答案】 【分析】本题主要考查圆的性质和勾股定理，过点A作于点E，连接，，根据题意可得，，利用勾股定理求得，则可求，在中可求得，即可求得． 【详解】解：过点A作交于点E，连接，，如图， ∵， ∴为直径， ∴， ∵平分， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，， 则． 故答案为：． 4．如图，是的直径，弦，若，则__________． 【答案】 【分析】根据直径所对的圆周角是直角求出 ，利用三角形内角和求出 的度数，再根据平行线的性质即可求解． 【详解】解：∵是的直径， ∴, ∵， ∴， ∵， ∴． 5．如图，为的内接三角形，是直径，是的中点，连结，过点作的垂线交的延长线于点． (1)证明：． (2)若，求和的长． 【答案】(1)证明：点是的中点， ． 为直径，， ． ∵ ， 在和中， ， ． (2)； 【分析】（1）根据同弧所对的圆周角相等即可得，进而证明即可求解； （2）连接并延长交于点，可知，根据正切值可知，进而可求，再根据勾股定理即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：连接并延长交于点， 点是的中点，， ， ， ∴ ， ∴在中，， ， ∴． ∴在中，， ， ∵， ∴． ∵是直径， ∴， ∴在中，， ． 综合攻坚·知能拔高 1．如图，点A，B，C，D都在半径为4的上，若，，则弦的长为（    ） A．4 B．2 C． D．2 【答案】A 【分析】本题考查的是垂径定理、圆周角定理，由垂径定理推出，，由圆周角定理得到，由，求出，即可得到的长． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴． 故选：A． 2．如图，点，，在半径为2的上，，于，交于，连，则的长度为（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查圆周角定理、垂径定理，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．先连接，然后根据圆周角定理，可以求得的度数，再根据垂径定理可以求得的度数，然后根据直角三角形的性质，即可求得的长． 【详解】解：连接，如图所示， ， ， ， ，， ， ， ， ， 故选：A． 3．如图，在中，直径，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查圆周角定理，垂径定理，三角形的内角和定理．试题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用和利用弧、弦、圆心角的关系求解．根据垂径定理得到，再根据圆周角定理，利用弧与圆心角的关系和三角形的内角和定理即可得到结论． 【详解】解：连接，如图， ∵是直径，， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， 在中，， ∴， ∴， 在中，． 4．如图，四边形是的内接四边形，若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，先根据圆内接四边形的性质求出，再由圆周角定理即可得出结果，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵四边形是的内接四边形， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 5．如图，是的直径，点、为上的点．若，则的度数为（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了圆周角定理、圆的内接四边形的性质等知识点，熟练运用圆周角定理和内接四边形的性质是解题的关键． 由圆周角定理可得，从而可求得，再根据圆的内接四边形对角互补即可解答． 【详解】解：∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选B． 6．如图，四边形是的内接四边形，是的直径，连接．若，则的度数是______． 【答案】30° 【分析】由“圆内接四边形对角互补”得到，由“直径所对的圆周角等于”得到，最后． 【详解】解：四边形是的内接四边形， ，（圆内接四边形对角互补） 又， ． 是的直径， ， ． 7．如图，是一圆柱形输水管的横截面，阴影部分有水，如果水面宽，水的最大深度为，求该输水管的半径是___________． 【答案】5 【分析】本题考查的是垂径定理的应用及勾股定理．先过点作于点，连接，由垂径定理可知，设，则，在中，利用勾股定理即可求出的值． 【详解】解：过点作于点，连接． 设半径长为， ， ， 水的最大深度为， ， 在中，由勾股定理得：， 解得， 答：该水管的半径是． 故答案为：5． 8．如图，四边形是半圆的内接四边形，是直径，．若，则的度数为__________． 【答案】 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质以及圆周角定理． 连接，根据圆内接四边形的性质求出的度数，再利用直角所对圆周角是直角求出，继而求出，再利用等弦对等弧，即可求解． 【详解】解：连接，    ∵四边形是半圆的内接四边形，， ∴， ∵是直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 9．如图，在中，是直径，弦，垂足为E，若，，则的半径为____． 【答案】 【分析】本题考查了垂径定理、圆周角定理，解直角三角形等知识，熟练掌握圆周角定理，由垂径定理求出是解决问题的关键．连接，由圆周角定理得出，根据垂径定理求出，解直角三角形求解即可． 【详解】解：连接，如图所示， 是直径，， ，， ， ， 在中，， ∴， ∴的半径为， 故答案为：2． 10．如图，在中，，若，则的度数是_____． 【答案】 【分析】本题主要考查圆周角定理，根据圆周角写出圆心角是解题的关键． 首先根据圆周角定理得出的度数，进而求解的度数即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 11．如图，⊙O是的外接圆，D是直径上一点，的平分线交于点E，交⊙O于另一点F，． (1)求证：． (2)作，垂足为M．若，求的长． 【答案】(1) 证明：∵， ∴． 又与都是所对的圆周角， ∴， ∵， ∴． ∵平分， ∴． ∵是的直径， ∴． ∴． ∴． ∴． (2) 【分析】（1）由等边对等角得出，由同弧所对的圆周角相等得出，由对顶角相等得出，等量代换得出，由角平分线的定义可得出，由直径所对的圆周角等于可得出，即可得出，即． （2）由（1）知，，根据等边对等角得出，根据等腰三角形三线合一的性质可得出的值，进一步求出，，再利用勾股定理即可求出． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）知，， ∴． ∵，， ∴． ∴． ∴，． ∵， ∴． 12．如图，内接于，、是的高，H是的交点，的延长线交于G． (1)试说明：． (2)若，，求的面积． 【答案】(1)解：连接． 是的高， ． ． ， ， ， 在与中， ， ． (2) 【分析】（1）连接，先根据三角形的高线定义和三角形的内角和定理推导出，再证明，然后根据全等三角形的对应边相等可证得结论； （2）连接．先利用圆周角定理可得，进而可证明为等边三角形得到，结合全等三角形的性质可得，最后利用圆的面积公式求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：连接． ， ． ， 为等边三角形， ． ， ， ， ． 13．如图，已知四边形内接于，连接，，． (1)求证：； (2)若的半径为，求的长． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】（）由内接四边形性质可得，从而有，然后通过等角对等边即可求证； （）连接，通过三角形内角和定理可得，由圆周角定理得，然后证明为等边三角形，再根据等边三角形性质即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形内接于， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：连接， 由（1）可知，， ∴， 由圆周角定理得，， ∵， ∴为等边三角形， ∴． 14．如图，是半圆的直径，是圆上的两点，，与交于点． (1)求证：为的中点． (2)若，求的长度． 【答案】(1) 证明：∵是半圆的直径，是圆上的两点， ∴， ∵， ∴，即：， ∴； ∴为的中点； (2)10 【分析】本题考查圆周角定理，垂径定理，勾股定理： （1）由圆周角定理得到，结合平行得到，进一步由垂径定理即可得出结论； （2）设半径为，在中，利用勾股定理进行求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：设半径为，则，， ∴， ∵， ∴， 在中，由勾股定理，得，解得； ∴． 15．如图，的直径垂直于弦，垂足为，是弦上一点，连接交于点，连接，． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1) 证明：是的直径，， ． ， ． 又， ， ． (2) 【分析】本题主要考查了圆的相关性质，垂径定理，同弧或等弧对的圆周角相等以及勾股定理，熟练掌握圆的相关性质是解题的关键． （1）根据题意可得，再由圆周角定理可得，从而得到，即可解答； （2）证明，可得，从而得到，然后在中，利用勾股定理解答即可． 【详解】（1）略 （2）解：连接． 在与中， ， ． ， ， ． 在中，， ． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $