专题04 垂径定理的十二大题型专项训练（题型专练）数学新教材苏科版九年级上册

**基本信息** 以十二大题型为框架，系统提炼垂径定理应用的方法体系，从基础判断到综合应用形成递进逻辑链，培养几何直观与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |定理理解|1典例+3变式|知二推三，排除直径陷阱|从定理要素到推论辨析| |计算应用|5题型（线段/角度/最值/面积/同心圆）|垂径构直角三角形，勾股定理核心|从基础计算到复杂模型（如弓形/圆环）| |综合问题|4题型（分类讨论/证明/实际应用/坐标系）|分类场景分析，建模转化|从单一知识到跨知识综合（几何+代数）|

专题04 垂径定理十二大题型专项训练 （题型突破·举一反三） 题型01 由垂径定理及其推论判断正误 题型02 利用垂径定理求线段长 题型03 利用垂径定理求角度 题型04 利用垂径定理求最值 题型05 利用垂径定理求面积 题型06 利用垂径定理求同心圆问题 题型07 利用垂径定理求同心圆问题 题型08 垂径定理分类讨论问题 题型09 垂径定理与证明 题型10 利用垂径定理解决实际问题 题型11 垂径定理与平面直角坐标系的综合应用 题型12 垂径定理综合应用问题 ▌题型01 由垂径定理及其推论判断正误 1. 牢记定理 5 要素：直径 / 过圆心直线、垂直弦、平分弦、平分优弧、平分劣弧，知二推三； 2. 易错关键点：推论中 “平分弦” 的弦不能是直径，两条直径互相平分但不一定垂直； 3. 反例快速排除：任意两条直径、不经过圆心的垂线、只平分弧不过圆心的直线均不满足完整垂径结论； 4. 判断步骤：先看直线是否过圆心，再看垂直 / 平分条件，核对是否存在直径平分直径的陷阱。 【典例1】下列说法：①相等的弦所对的圆心角相等；②等圆中相等的圆心角所对的弧相等；③同圆中等弧所对的圆心角相等；④平分弦的直径，平分这条弦所对的弧．其中正确的有（   ）个 A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】本题考查了弧，弦，圆心角以及垂径定理，要求学生对基本的概念定理有透彻的理解．判断四个说法关于圆的性质的正确性，需结合同圆或等圆的条件及垂径定理． 【详解】解：①∵相等的弦在不同圆中所对圆心角可能不等，∴①错误． ②∵等圆中半径相等，相等的圆心角所对弧相等，∴②正确． ③∵根据圆心角与弧的关系定理，同圆中等弧所对圆心角相等，∴③正确． ④∵平分弦的直径若弦为直径，不一定平分弧，∴④错误． ∴正确的有②和③，共2个， 故选：C． 【变式1-1】如图，是的直径，为弦，于点，连接，，则下列结论一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了垂径定理，掌握垂径定理是解题的关键． 根据垂径定理可得、 ，，无法得到，，据此即可解答． 【详解】解：如图：连接、， ∵是的直径，为弦，于点， ∴，，， ∴，， ∴B选项结论成立，符合题意；A选项结论不成立，不符合题意； 证明缺少条件，即C选项结论不成立，不符合题意， 无法判断，即D选项结论不成立，不符合题意． 故选：B． 【变式1-2】下列命题正确的有（    ） ①长度相等的两条弧是等弧； ②弦的垂直平分线必过圆心； ③平分弦的直径垂直于弦； ④圆中两条非直径的相交弦不能互相平分 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了圆周角定理以及垂径定理，以及圆的相关性质，逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：①在同圆或等圆中，长度相等的两条弧是等弧，故该选项不正确，不符合题意； ②弦的垂直平分线必过圆心，故该选项正确，符合题意； ③平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故该选项不正确，不符合题意； ④圆中两条非直径的相交弦不能互相平分，故该选项正确，符合题意； 故选：B． 【变式1-3】如图，AB为半圆O的一条弦（非直径），连结OA、OB，分别以A、B为圆心，大于AB一半的长为半径画弧，两弧交于点P，连结OP，交AB于点Q，下列结论不一定正确的是（　　） A．AB⊥OQ B．AQ＝BQ C．∠ABO＝60° D．∠AOB＝2∠AOQ 【答案】C． 【分析】利用基本作图得到OQ⊥AB，则可对A选项进行判断；再根据垂径定理可对B选项进行判断；由于AB为任意一条弦，则△OAB不一定为等边三角形，所以∠ABO不一定为60°，于是可对C选项进行判断；利用等腰三角形的“三线合一”得到OQ平分∠AOB，从而可对D选项进行判断． 【详解】解：由作法得OQ⊥AB，所以A选项不符合题意； ∴AQ＝BQ，所以B选项不符合题意； ∵AB不一定等于OA， ∴△OAB不一定为等边三角形， ∴∠ABO不一定为60°，所以C选项符合题意； ∵OA＝OB，OQ⊥AB， ∴OQ平分∠AOB， ∴∠AOB＝2∠AOQ，所以D选项不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了基本作图． ▌题型02 利用垂径定理求线段长 1. 固定辅助线：遇弦，过圆心作弦的垂线，垂足平分弦； 2. 核心公式（勾股定理）：； 3. 三类求法： · 已知半径、弦心距，求弦长： · 已知半径、弦长，求弦心距： · 已知弦长、弦心距，求半径： 4. 线段包含：半径、直径、弦、弦心距、弧中点到弦的距离（拱高），拱高 。 【典例2】（2026·四川南充·中考真题）如图，为直径，弦于E，，则长为（     ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】本题考查垂径定理及勾股定理，根据垂径定理求出的长，再在中利用勾股定理求出的长即可． 【详解】解：为直径，，， ， 在中，． 【变式1-1】如图，为的直径，弦，垂足为E，，半径为3，则弦的长为（   ） A． B． C．2 D．1 【答案】B 【分析】本题考查了垂径定理和勾股定理，连接，由，得，在中，利用勾股定理得，再由垂径定理可得． 【详解】解：连接， ∵，半径为3， ∴，， ∵，是的直径， ∴ , ∴， 故选：B． 【变式1-2】如图在半圆中，，将半圆沿弦所在的直线折叠，若弧恰好过圆心O，则的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了轴对称的性质，勾股定理，垂径定理，掌握垂直于弦的直径平分这条弦是解题关键．过点作的垂线交于点，交半圆于点，由轴对称的性质可知，，由勾股定理可得，再利用垂径定理求解即可． 【详解】解：如图，过点作的垂线交于点，交半圆于点， ， ， 由轴对称的性质可知，， 在中，， 是半径，， ， 故选：A． 【变式1-3】如图，AB是⊙O的直径，C、D为⊙O上的点，且BC∥OD，过点D作DE⊥AB于点E．若DE＝3，⊙O的半径长为，求BC的长． 【答案】4． 【分析】过O点作OH⊥BC于H，由题意易得∠DEO＝90°，∠OHB＝90°，∠DOE＝∠OBH，然后可证△ODE≌△BOH，进而根据全等三角形的性质及勾股定理可得BH，再根据垂径定理可求得BC的长． 【详解】解：如图，过O点作OH⊥BC于H， ∵DE⊥AB，OH⊥BC， ∴∠DEO＝90°，∠OHB＝90°， ∵BC∥OD， ∴∠DOE＝∠OBH， 在△ODE和△BOH中， ， ∴△ODE≌△BOH（AAS）， ∴DE＝OH＝3， 在Rt△OBH中，BH2， ∴BC＝2BH＝2×2＝4． 【点睛】本题主要考查圆的基本性质、垂径定理、全等三角形的性质与判定及勾股定理，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． ▌题型03 利用垂径定理求角度 1. 垂径带来等弧：垂直直径分弦为两等弧，等弧对等圆心角、等圆周角； 2. 直角条件：圆心与弦连线⊥弦，直接得 90° 直角； 3. 角度转化思路： · 由弧相等→圆心角相等； · 直角三角形两锐角互余； · 圆周角 = 同弧圆心角一半； 4. 常用模型：半径相等得等腰三角形，结合垂线三线合一求角。 【典例3】如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，且CE＝DE，∠COB＝52°，则∠DCO的度数为（　　） A．52° B．50° C．48° D．38° 【答案】D． 【分析】证明∠CEO＝90°，利用三角形内角和定理求解． 【详解】解：∵AB是直径，CE＝ED， ∴AB⊥CD， ∴∠CEO＝90°， ∴∠DCO＝90°﹣52°＝38°， 故选：D． 【点睛】本题考查圆的性质及应用，解题的关键是掌握垂径定理及推论． 【变式1-1】如图，已知⊙O半径OA＝4，点B为圆上的一点，点C为劣弧上的一动点，CD⊥OA， CE⊥OB，连接DE，要使DE取得最大值，则∠AOB等于（　　） A．60° B．90° C．120° D．135° 【答案】B． 【分析】如图，延长CD交⊙O 于P，延长CE交⊙O于T，连接PT．根据垂径定理以及三角形的中位线定理，可得DEPT，当PT是直径时，DE的长最大，再证明∠AOB＝90°，即可解决问题． 【详解】解：如图，延长CD交⊙O 于P，延长CE交⊙O于T，连接PT． ∵OA⊥PC，OB⊥CT， ∴CD＝DP，CE＝TE， ∴DEPT， ∴当PT是直径时，DE的长最大， 连接OC， ∵OP＝OC＝OT，OD⊥PC，OE⊥CT， ∴∠COD＝∠POA，∠COB＝∠BOT， ∴∠AOB＝∠COA+∠COB∠POT＝90°， 故选：B． 【点睛】本题考查垂径定理，三角形的中位线定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造三角形的中位线解决问题． 【变式1-2】如图，AB为⊙O的直径，AD是⊙O的弦，E是AD的中点，连接OE并延长交⊙O于点C，若∠BAD＝20°，求∠ACO的度数． 【答案】55°． 【分析】根据平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧，由E是AD的中点得到OE⊥AD，则利用互余可计算出∠AOE＝70°，加上∠OAC＝∠AOC，于是可根据三角形内角和定理计算出∠AOC． 【详解】解：∵E是AD的中点， ∴OE⊥AD， ∴∠AEO＝90°， ∵∠BAD＝20°， ∴∠AOE＝70°， ∵OA＝OC， ∴∠OAC＝∠AOC， ∴∠AOC（180°﹣∠AOC）（180°﹣70°）＝55°． 【点睛】本题考查了垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧；平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧． 【变式1-3】如图，⊙O的直径是4cm，C是的中点，弦AB、CD交于P，CD＝2cm，求∠APC的度数． 【答案】60°． 【分析】作OH⊥CD于H，连接OC交AB于E，如图，根据垂径定理得CH＝DHCD，在根据勾股定理计算出OH＝1，则利用含30度的直角三角形三边的关系得∠OCH＝30°，由于C是的中点，根据垂径定理的推理得到OC⊥AB，然后在Rt△PCE中利用互余即可计算出∠APC的度数． 【详解】解：作OH⊥CD于H，连接OC交AB于E，如图， ∵OH⊥CD， ∴CH＝DHCD， 在Rt△OCH中，∵OC＝2，CH， ∴OH1， ∴∠OCH＝30°， ∵C是的中点， ∴OC⊥AB， 在Rt△PCE中，∵∠ECP＝30°， ∴∠CPE＝60°， 即∠APC的度数为60°． 【点睛】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧；平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧． ▌题型04 利用垂径定理求最值 1. 核心最值结论（同圆内定点 + 动弦）： · 过圆内一点的弦：直径最长，垂直于圆心与该点连线的弦最短； 2. 解题步骤： ① 连接圆心与定点，计算圆心到定点距离； ② 最短弦：垂径定理勾股算长度；最长弦 = 直径； 3. 拱高最值、弦到圆心距离最值：圆心到弦距离越大，弦越短；距离越小，弦越长。 【典例4】如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，且CE＝DE，∠COB＝52°，则∠DCO的度数为（　　） A．52° B．50° C．48° D．38° 【答案】D． 【分析】证明∠CEO＝90°，利用三角形内角和定理求解． 【详解】解：∵AB是直径，CE＝ED， ∴AB⊥CD， ∴∠CEO＝90°， ∴∠DCO＝90°﹣52°＝38°， 故选：D． 【点睛】本题考查圆的性质及应用，解题的关键是掌握垂径定理及推论． 【变式1-1】如图，在⊙O中，弦AB＝5，点C在AB上移动，连结OC，过点C作CD⊥OC交⊙O于点D，则CD的最大值为（　　） A．5 B．2.5 C．3 D．2 【答案】B． 【分析】连接OD，如图，利用勾股定理得到CD，利用垂线段最短得到当OC⊥AB时，OC最小，再求出CD即可． 【详解】解：连接OD，如图， ∵CD⊥OC， ∴∠DCO＝90°， ∴CD， 当OC的值最小时，CD的值最大， 而OC⊥AB时，OC最小，此时D、B两点重合， ∴CD＝CBAB5＝2.5， 即CD的最大值为2.5， 故选：B． 【点睛】本题考查了垂线段最短，勾股定理和垂径定理等知识点，能求出点C的位置是解此题的关键． 【变式1-2】如图，的半径，弦，若半径从出发绕点逆时针旋转，与弦的交点为，则的最大值是_________．    【答案】2 【分析】在中，可知=-,若求的最大值，即可转换为求OP的最小值. 【详解】∵=-，求的最大值， ∴当P点在AB的中点时OP最短， ∵的半径，弦 ∴ ∵=-，即最大值为5-3=2cm 故答案为：2. 【点睛】此题考查垂径定理，解题关键在于掌握垂径定理的运用以及勾股定理. 【变式1-3】如图，在平面直角坐标系中，⊙O的半径为5，弦AB的长为6，过O作OC⊥AB于点C，⊙O内一点D的坐标为（﹣2，1），当弦AB绕O点顺时针旋转时，点D到AB的距离的最小值是___________． 【答案】4- 【分析】首先根据题意，判断出当AB旋转至OC恰好过点D时，D到AB的距离最小，然后根据垂径定理，即可得解. 【详解】当AB旋转至OC恰好过点D时，D到AB的距离最小，即DC的距离 AB=6，OA=5 根据垂径定理得AC=3， 又∵点D的坐标为（﹣2，1）， ∴ ∴DC=OC-OD=4- 【点睛】此题主要考查垂径定理的应用，熟练掌握，即可解题. ▌题型05 利用垂径定理求取值范围 1. 基础图形面积： · 由半径、半弦、弦心距构成直角三角形面积； · 弦与两条半径围成等腰三角形面积（底 = 弦长，高 = 弦心距）； 2. 弓形面积：弓形 = 扇形面积 ± 等腰三角形面积； 3. 通用流程：先用垂径勾股求出弦长、高、半径，再代入对应面积公式计算。 【典例5】如图，⊙O的半径为5，OP＝3，过点P画弦AB，则AB的取值范围是_____．    【答案】8≤AB≤10 【分析】过点P作CD⊥OP，⊙O于C，D．连接OC．利用勾股定理求出CD，可得点P的最短的弦，过点P的最长的弦即可解决问题． 【详解】解：过点P作CD⊥OP，交⊙O于C，D．连接OC．    ∵OC＝5，OP＝3，∠OPC＝90°， ∴PC＝ ＝4， ∵OP⊥CD， ∴PC＝PD＝4， ∴CD＝8， ∴过点P的最短的弦长为8，最长的弦长为10， 即AB的取值范围是8≤AB≤10， 故答案为：8≤AB≤10． 【点睛】本题考查垂径定理，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 【变式1-1】如图，⊙O的半径为10，弦AB＝16，M是弦AB上的动点，则OM不可能为（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】A． 【分析】过点O作OC⊥AB于点C，连接OB，利用垂径定理求得OM的最大值与最小值，由此即可得出结论． 【详解】解：过点O作OC⊥AB于点C，连接OB，如图， ∵OC⊥AB， ∴AC＝BCAB＝8． ∴OC6． ∵垂线段最短， ∴点M与点C重合时，OM取得最小值6，当点M与点A，B重合时，OM取得最大值10， ∴6≤OM≤10． ∴OM不可能为5， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了圆的有关性质，垂径定理，勾股定理，正确利用上述定理与性质求得OM的最大值与最小值是解题的关键． 【变式1-2】如图，已知⊙O的直径为26，弦AB＝24，动点P、Q在⊙O上，弦PQ＝10，若点M、N分别是弦AB、PQ的中点，则线段MN的取值范围是（　　） A．7≤MN≤17 B．14≤MN≤34 C．7＜MN＜17 D．6≤MN≤16 【答案】A． 【分析】连接OM、ON、OA、OP，由垂径定理得OM⊥AB，ON⊥PQ，AMAB＝12，PNPQ＝5，由勾股定理得OM＝5，ON＝12，当AB∥PQ时，M、O、N三点共线，当AB、PQ位于O的同侧时，线段MN的长度最短＝ON﹣OM＝7，当AB、PQ位于O的两侧时，线段EF的长度最长＝OM+ON＝17，便可得出结论． 【详解】解：连接OM、ON、OA、OP，如图所示： ∵⊙O的直径为26， ∴OA＝OP＝13， ∵点M、N分别是弦AB、PQ的中点，AB＝24，PQ＝10， ∴OM⊥AB，ON⊥PQ，AMAB＝12，PNPQ＝5， ∴OM5，ON12， 当AB∥PQ时，M、O、N三点共线， 当AB、PQ位于O的同侧时，线段MN的长度最短＝ON﹣OM＝12﹣5＝7， 当AB、PQ位于O的两侧时，线段MN的长度最长＝ON+OM＝12+5＝17， ∴线段MN的长度的取值范围是7≤MN≤17， 故选：A． 【点睛】本题考查了垂径定理、勾股定理以及线段的最值问题，熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键． 【变式1-3】如图，的半径为5，弦，点C在弦上，延长交于点D，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】本题主要考查了垂径定理、勾股定理等知识点，根据勾股定理、垂径定理求出的长是解题的关键． 过O作于H，由垂径定理得到，由勾股定理求出，当C和H重合时，的最小值是，当是圆直径时，的值最大是，即可得到的取值范围． 【详解】解：过O作于H， ∴， ∵的半径为5， ∴， ∴， ∴当C和H重合时，的最小值是4，的最小值是， 当是圆直径时，的值最大是， ∴的取值范围是． 故答案为：． ▌题型06 利用垂径定理求面积 1. 同心圆共用圆心，过圆心作公共弦垂线，同时垂直平分内外圆的弦； 2. 模型：大圆弦交小圆两点，设大圆半径，小圆半径，圆心到弦距离； 半大圆弦：，半小圆弦：，两弦线段差可直接计算； 3. 辅助线统一：同一条垂线同时适用于大小两圆，一次构造两个直角三角形。 【典例6】如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，AC＝CD，⊙O的半径为2，则△AOC的面积为（　　） A． B．2 C．2 D．4 【答案】C 【分析】根据垂径定理求出CE=CD=AC，则在Rt△ACE中存在特殊角，即∠CAO=30°，∠ACE=60°，根据OC=OA=，得到∠CAO=∠ACO=30°，则有∠OEC=30°，则在Rt△OCE中有OE=OC=，CE=OE=，则△AOC的面积得解． 【详解】∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E， ∴直径AB平分弦CD，E为CD中点， ∴CE=CD=AC， ∴∠CAO=30°， ∴∠ACE=60°， 又∵OC=OA=， ∴∠CAO=∠ACO=30°， ∴∠OEC=30°， ∴ Rt△OCE中有OE=OC=，CE=OE=， 则△AOC的面积为：， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了垂径定理以及解特殊直角三角形的知识，灵活运用垂径定理是解答本题的关键． 【变式1-1】如图，是的直径，弦于点，连接，若，，则的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了圆的基本性质、垂径定理、勾股定理等知识点，掌握垂径定理是解题的关键．由垂径定理可得，再根据圆的性质可得，再根据勾股定理列方程求得，即，最后根据三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：∵是的直径，弦于点， ∴， ∵，， ∴，解得：， ∴， ∴的面积是． 故选：A． 【变式1-2】如图，的半径是，是的直径，弦丄，垂足为，若，则的面积是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，由垂径定理可知，在中利用勾股定理可得，从而可知，再借助三角形面积公式即可计算． 【详解】解：连接， ∵的半径是5，是的直径，弦，， ∴， ∴ ， ∴， ∴． 【变式1-3】如图，CD是圆O的弦，直径AB⊥CD，垂足为E，若AB＝12，BE＝3，则四边形ACBD的面积为(   ) A．36 B．24 C．18 D．72 【答案】A 【分析】连接OC，首先根据题意可求得OC=6，OE=3，根据勾股定理即可求得CE的长，再根据垂径定理即可求得CD的长，据此即可求得四边形ACBD的面积． 【详解】解：如图，连接OC， ∵AB＝12，BE＝3， ∴OB＝OC＝6，OE＝3， ∵AB⊥CD， ∴在Rt△COE中，， ∴CD＝2CE＝6， ∴四边形ACBD的面积＝． 故选：A． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，垂径定理，熟练掌握和运用垂径定理是解决本题的关键． ▌题型07 利用垂径定理求同心圆问题 1. 已知圆环宽度、弦长，求圆环面积：圆环面积 ，由勾股得 （大圆弦长），可快速消去直接算面积； 不用单独求半径，利用平方差简化计算，减少开方步骤。 【典例7】如图，在以点O为圆心的两个圆中，大圆的半径是小圆半径的2倍，大圆的弦和小圆交于C，D两点，若，则小圆半径是________． 【答案】 【分析】过O点作于H点，连接、，如图，根据垂径定理得到，，设，则，再利用双勾股得到，然后解方程求出r即可． 本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理． 【详解】解：过O点作于H点，连接，如图，则 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得或r（舍去）， 即小圆半径是， 故答案为：． 【变式1-1】如图，半径为和5的两个圆都以为圆心，大圆的弦交小圆于两点，若，则____． 【答案】12 【分析】本题考查了勾股定理，垂径定理，过点作于点，连接，由垂径定理可得，由勾股定理求出的长，进而求出的长即可得到答案． 【详解】解：如图所示，过点作于点，连接， ∴， 在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， ∴， 故答案为：． 【变式1-2】如图，两个同心圆的半径分别为2和4，矩形的边和分别是两圆的弦，则矩形面积的最大值是______． 【答案】16 【分析】过点O作OP⊥AB于P并反向延长交CD于N，作OM⊥AD于点M，连接OA、OD，根据面积之间的关系得出S△AOD=S矩形APND=S矩形ABCD，从而得出S矩形ABCD最大时，S△AOD也最大，过点D作AO边上的高h，根据垂线段最短可得h≤OD，利用三角形的面积公式即可求出S△AOD的最大值，从而求出结论． 【详解】解：过点O作OP⊥AB于P并反向延长交CD于N，作OM⊥AD于点M，连接OA、OD ∴AO=2，OD=4，四边形APND和四边形PBCN为矩形，PN⊥CD， ∴OM=AP 根据垂径定理可得：点P和点N分别为AB和CD的中点， ∴S矩形APND=S矩形ABCD ∵△AOD的高OM等于矩形APND的宽，△AOD的底为矩形APND的长 ∴S△AOD=S矩形APND=S矩形ABCD ∴S矩形ABCD最大时，S△AOD也最大 过点D作AO边上的高h，根据垂线段最短可得h≤OD（当且仅当OD⊥OA时，取等号） ∴S△AOD=AO·h≤AO·OD=×2×4=4 故S△AOD的最大值为4 ∴S矩形ABCD的最大值为4÷=16 故答案为：16． 【点睛】此题考查的是垂径定理、各图形面积的关系和三角形面积的最值问题，掌握垂径定理、利用边的关系推导面积关系和垂线段最短是解决此题的关键． 【变式1-3】如图，两个圆都是以为圆心． （1）求证：； （2）若，，小圆的半径为，求大圆的半径的值． 【答案】（1）见解析；（2） 【分析】（1）作，由垂径定理得AE=BE，CE=DE，即可得到AC=BD； （2）连接OB，OD，由AB=10，则BE=5，由勾股定理，得，，，即可求出大圆半径. 【详解】解：（1）如图：作于E， 由垂径定理，得： ，， ∴， 即； （2）如图，连接OD，OB， ∵AB=10， ∴BE=AE=5，DE=5-2=3， 在Rt△OBE和Rt△ODE中，由勾股定理，得： ，， ∴=， 即， 解得：. ∴大圆的半径为. 【点睛】本题考查了垂径定理，以及勾股定理，熟练掌握垂径定理和勾股定理进行计算是解题的关键. ▌题型08 垂径定理分类讨论问题 1. 两大分类场景： ① 弦在圆心同侧 / 异侧：已知两条平行弦长度，求弦之间距离，分圆心在两弦中间、圆心在两弦同一侧两种情况； ② 已知拱高求弦长：拱高可能是或，分弧为优弧、劣弧两种； 2. 解题步骤： ① 作圆心到弦垂线，画出两种位置示意图； ② 分别用勾股求弦心距； ③ 加减得到两种距离结果，不可漏解。 【典例8】已知的直径为，，是的两条弦，，，，则和之间的距离是（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】A 【分析】解题需分情况讨论弦、与圆心的位置关系，避免漏解，先求出圆心到两条弦的距离，再分情况计算两弦间的距离。 【详解】解：①当弦和在圆心同侧时， 连接，，过点作于点并延长交于点．则，如图， ，， ，， ， ，， ； ②当弦和在圆心异侧时，如图， ，， ，， ， ，， ． 与之间的距离为或． 【变式1-1】已知半径为5的⊙O中，弦AB＝5，弦AC＝5，则∠BAC的度数是（　　） A．15° B．210° C．105°或15° D．210°或30° 【答案】C． 【分析】连接OC，OA，OB，根据已知可得到△OAC是等边三角形，△OAB是等腰直角三角形，从而分两种情况进行分析，不难求得∠BAC的度数． 【详解】解：连接OC，OA，OB ∵OC＝OA＝AC＝5 ∴△OAC是等边三角形 ∴∠CAO＝60° ∵OA＝OB＝5，AB＝5 ∴OA2+OB2＝50＝AB2 ∴△OAB是等腰直角三角形． ∴∠OAB＝45° 点C的位置有两种情况： 如图，C不在弧AB上时：∠BAC＝∠CAO+∠OAB＝60°+45°＝105° 如图，C在弧AB上时：∠BAC＝∠CAO﹣∠OAB＝60°﹣45°＝15°． 故选：C． 【点睛】本题利用了等边三角形的判定和性质，勾股定理的逆定理求解． 【变式1-2】已知弓形的弦长为8cm，所在圆的半径为5cm，则弓形的高为　 　． 【答案】2cm或8cm． 【分析】过O作直径OC⊥AB于D，连接OA，则CD是弓形的高或DE是弓形的高，根据垂径定理求出AD，根据勾股定理求出OD，即可求出答案． 【详解】 解：过O作直径OC⊥AB于D，连接OA，则CD是弓形的高或DE是弓形的高， ∵CE⊥AB，CE为直径， ∴AD＝DBAB＝4cm， 在Rt△ADO中，由勾股定理得：AO2＝AD2+OD2， 52＝42+OD2， OD＝3， ∴CD＝5cm﹣3cm＝2cm，DE＝5cm+3cm＝8cm． 故答案为：2cm或8cm． 【点睛】本题考查了垂径定理和勾股定理的应用，关键是能根据得出方程． 【变式1-3】⊙O的直径CD＝10，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，OM：OC＝3：5，则AC的长为 　 　． 【答案】2cm或8cm． 【分析】连接OA，由AB⊥CD，设OC＝5x，OM＝3x，则DM＝2x，根据CD＝10可得OC＝5，OM＝3，根据垂径定理得到AM＝4，然后分类讨论：当如图1时，CM＝8；当如图2时，CM＝2，再利用勾股定理分别计算即可． 【解答】解：连接OA， ∵OM：OC＝3：5， 设OC＝5x，OM＝3x，则DM＝2x， ∵CD＝10， ∴OM＝3，OA＝OC＝5， ∵AB⊥CD， ∴AM＝BMAB， 在Rt△OAM中，OA＝5， AM， 当如图1时，CM＝OC+OM＝5+3＝8， 在Rt△ACM中，AC； 当如图2时，CM＝OC﹣OM＝5﹣3＝2， 在Rt△ACM中，AC． 综上所述，AC的长为4或2． 故答案为：4或2． 【点评】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧． ▌题型09 垂径定理与证明 1.可证结论：线段相等、弧相等、直线垂直、点为中点； 2.证明固定思路： ① 作圆心到弦垂线，用垂径得平分弦、平分弧； ② 等弧推相等线段 / 相等角； ③ 结合等腰三角形、全等三角形完成推导； 3.常用辅助线：遇弧中点、弦中点，连接圆心或作垂线。 【典例9】如图所示，是的直径，，垂足为D，，和相交于E，求证：． 【答案】见解析 【分析】延长交于，如图，利用得到，再根据垂径定理得，所以，则根据圆周角定理得到，然后根据等腰三角形的判定可得到结论． 【详解】证明：延长交于，如图， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了圆周角定理． 【变式1-1】如图，交于点C，D，是半径，且于点F．求证：． 【答案】 证明：∵为的弦， ， ， ， ， ． 【分析】本题考查垂径定理．由垂径定理得，根据等腰三角形的性质可得，再根据线段的和差关系可得结论． 【详解】略 【变式1-2】已知：如图，在中，A、B、C、D是圆上四点，且，于点E，于点F．求证：． 【答案】 证明：∵，于点E， ∴， 同理可证：． ∵ ∴． ∵于E点，于点F ∴ 在与中 ， ∴， ∴． 【分析】本题考查垂径定理，全等三角形的判定和性质，掌握相关知识点是解题的关键． 先根据垂径定理得出，再证明即可得出． 【详解】略 【变式1-3】如图，在中，，是互相垂直的两条弦，，，垂足分别为．求证：． 【答案】 证明：∵， ∴， ∵，， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴． 【分析】本题考查了弧弦圆心角的关系，垂径定理，正方形的判定和性质，由弧弦圆心角的关系得，进而由垂径定理可得，再证明四边形是正方形即可求证，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】略 ▌题型10 利用垂径定理解决实际问题 1. 常见模型：拱桥、油管、圆形管道水深、车轮； 2. 建模步骤： ① 实物抽象为圆，水面 / 油面为弦，拱高 / 水深为拱高； ② 设半径，用拱高表示弦心距； ③ 代入勾股定理列方程求解； 3. 单位统一，最后还原到实际长度作答。 用负数计算边长。 【典例10】在数学综合与实践课上，同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径，小明的解决方案是：在工件圆弧上任取两点 ，连接，作的垂直平分线交于点，交于点，测出，，则圆形工件的半径为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由垂径定理，可得出的长；设圆心为O，连接，在中，可用半径表示出的长，进而可根据勾股定理求出圆形工件的半径． 【详解】解：∵是线段的垂直平分线， ∴直线经过圆心，设圆心为 ，连接． 中，， 根据勾股定理得： ，即： ， 解得：； 故圆形工件的半径为 ， 【变式1-1】把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知，则球的半径为（     ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】取的中点，作于点，取上的球心，连接，设，在中利用勾股定理求得的长即可． 【详解】解：如图，取的中点，作于点， ∵是的中点，于点， ∴经过球心， ∴取上的球心，连接， ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， 设， ∴， ∵， ∴在直角三角形中，，即， 解得：， ∴球的半径为． 【变式1-2】如图，圆形拱门下端是一个长方形，拱门所在的与长方形的边相切于点，点为拱门的最高点，经测量，，，则拱门最高点到地面的距离是（     ）dm A．13.25 B．15.25 C．24.5 D．26.5 【答案】D 【分析】连接交于点，连接，根据矩形的性质和垂径定理求得的值，通过构建直角三角形，利用勾股定理进行计算即可求解． 【详解】解：连接交于点，连接，如图： ∵拱门所在的与长方形的边相切于点， ∴，，， ∵，， ∴， 即， ∴，， 设的半径为，则， 在中，， 即， 解得， ∴拱门最高点到地面的距离是． 【变式1-3】如图，有一座圆弧形拱桥，桥下水面宽为，拱高为． (1)求桥拱的半径； (2)此桥的安全限度是拱顶点距离水面不得小于，若大雨过后，洪水泛滥到水面宽度为时，是否需要采取紧急措施？请说明理由． 【答案】(1) (2) 解：不需要采取紧急措施，理由如下： 如图，连接， ， ， ， ， ， 不需要采取紧急措施． 【分析】本题考查勾股定理，垂径定理，关键是由勾股定理，垂径定理列出关于圆半径的方程． （1）设桥拱的半径是，由垂径定理求出，而，由勾股定理得到，求出； （2）由垂径定理求出的长，由勾股定理求出的长，即可求出的长即可得解． 【详解】（1）解：如图半径，， 设桥拱的半径是， ， ， 拱高为， ， ， ， ， 桥拱的半径是； （2）略 ▌题型11 垂径定理与平面直角坐标系的综合应用 1. 坐标转化线段：点横纵坐标绝对值代表水平、竖直线段长度； 2. 核心操作： · 已知圆上两点（弦端点），求圆心：圆心在弦的垂直平分线上； · 过圆心向水平 / 竖直弦作垂线，横坐标 / 纵坐标相等，快速得弦中点坐标； 3. 勾股结合坐标距离公式：两点距离 = 弦长一半，配合圆心坐标列方程求半径、圆心坐标。 【典例11】如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，点在第一象限，与轴交于，两点，点的坐标为，的半径为，则点的坐标为__________． 【答案】 【分析】过点作轴于点，连接，先由垂径定理求出的长，再根据勾股定理求出的长，故可得出答案． 【详解】解：过点作轴于点，连接， ，， ， 在中   ，       【变式1-1】已知：如图，⊙O1与坐标轴交于A（1，0），B（5，0）两点，点O1的纵坐标为，则⊙O1的半径为______． 【答案】3 【分析】由题意知，AB=4，过点作，垂足为C，因为点的纵坐标为，所以，在中，利用勾股定理可求出⊙半径． 【详解】解：如图，过点作，垂足为C， ∵点的纵坐标为， ∴， ∵， ∴AC=BC=AB， 又∵⊙与坐标轴交于A（1，0）、B（5，0）， ∴AB=4， ∴AC=2， 在中，=， 即⊙的半径为3， 故答案为：3． 【点睛】本题考查了坐标与图形性质，勾股定理，垂径定理的应用，解此题的关键是构造直角三角形，并进一步求出AC的长． 【变式1-2】如图，半径为5的与y轴交于点，点P的坐标为______． 【答案】（-4，-7） 【分析】过P作PQ垂直于y轴，利用垂径定理得到Q为MN的中点，由M与N的坐标得到OM与ON的长，由OM-ON求出MN的长，确定出MQ的长，在直角三角形PMQ中，由PM与MQ的长，利用勾股定理求出PQ的长，由OM+MQ求出OQ的长，进而可得出P点坐标． 【详解】解：过P作PQ⊥y轴，与y轴交于Q点，连接PM， ∴Q为MN的中点， ∵M（0，-4），N（0，-10）， ∴OM=4，ON=10， ∴MN=10-4=6， ∴MQ=NQ=3，OQ=OM+MQ=4+3=7， 在Rt△PMQ中，PM=5，MQ=3， 根据勾股定理得：PQ==4， ∴P（-4，-7）． 故答案为：（-4，-7）． 【点睛】本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键． 【变式1-3】如图，交轴与两点，交轴于点，弦于点的纵坐标为2，，．则圆心的坐标为____． 【答案】（，2） 【分析】过M作MN⊥BC于N，连接CM，由垂径定理可求出CN的长，即可求出ON的长，可得M的坐标． 【详解】解：过M作MN⊥BC于N，连接CM， ∵，， ∴OB=，OC=， ∴BC=， ∵MN⊥BC， ∴CN=AB=， ∴ON=， ∴M（，2）， 故答案为：（，2）． 【点睛】本题考查的是垂径定理、坐标与图形特点，根据题意作出辅助线是解答此题的关键． ▌题型12 垂径定理综合应用问题 1. 综合考点组合：垂径 + 勾股 + 圆心角 + 全等+ 坐标系； 2. 通用解题流程： ① 见弦先作圆心垂线，得到半弦、弦心距直角三角形； ② 勾股求出所有基础线段； ③ 结合圆的其他性质转化角度、面积、坐标； 【典例12】如图，是的直径，点C为的中点，为的弦，且，垂足为点E，连接交于点G，连接． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1) ∵为直径， ∴平分 ∵C为的中点 ∴ ∴ ∵ ∴ (2) 【分析】（1）利用AAS证明； （2）连接，根据得到，利用勾股定理解题即可． 【详解】（1）略 （2）连接 ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴， 【点睛】本题考查圆的相关知识、垂径定理以及全等三角形的判定和勾股定理，解一元二次方程等知识,解决问题的关键在圆内通过等弧进行角或边的转换． 【变式1-1】如图，是的直径，四边形内接于，连接交于点E，． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)证明见解析； (2)5． 【分析】（1）根据圆心角、弧、弦的关系定理得，根据垂径定理的推论得，然后再根据圆周角定理的推论得出，再利用平行线的判定得证； （2）根据垂径定理得的长，再根据勾股定理即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∴． ∵是的直径， ∴， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴． 设，则， 在中，， ∴， 解得， ∴． 【点睛】此题是圆的综合题，主要考查了圆心角、弧、弦的关系定理、垂径定理及其推论、圆周角定理的推论、勾股定理、平行线的判定等知识，熟练掌握圆的相关定理是解答此题的关键． 【变式1-2】如图，是的一条弦，于点，交于点，点在上． (1)若点B是的中点，求证：； (2)若，，求的半径r． 【答案】(1)证明见解析 (2)10 【分析】本题考查了垂径定理，弧、弦及圆心角间的关系，勾股定理，掌握垂径定理是解决本题的关键． （1）证明，可得，即可证明； （2）由垂径定理可得，然后设的半径为r，由勾股定理即可列出方程，解方程即可求得答案． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：连接, 设的半径为r，， 则， ∵，， ∴， 在中，， ∴， 解得， ∴的半径为． 【变式1-3】如图，A，C在以AB为直径的⊙O上，D为弧AC的中点，连接BD与AC交于点E，若 (1)求证： (2)求⊙O 的半径． 【答案】(1)见解析 (2)⊙O 的半径为 【分析】本题主要考查对圆的认识，垂径定理和勾股定理等知识，连接，证明是解答本题的关键． （1）连接，证明得，可得结论； （2）由求出证明得由三角形中位线得再由勾股定理可得结论． 【详解】（1）证明：连接，如图， 则 ∵D为弧AC的中点， ∴即 在和中， , ∴， ∴， ∵, ∴， ∴； （2）解：∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵是的直径， ∴ 在和中， ∴， ∴ ∵为的中点，F为的中点， ∴为的中位线， ∴即 ∴， ∴ 在中， ∴ ∴ ∴，即⊙O 的半径为． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 垂径定理十二大题型专项训练 （题型突破·举一反三） 题型01 由垂径定理及其推论判断正误 题型02 利用垂径定理求线段长 题型03 利用垂径定理求角度 题型04 利用垂径定理求最值 题型05 利用垂径定理求面积 题型06 利用垂径定理求同心圆问题 题型07 利用垂径定理求同心圆问题 题型08 垂径定理分类讨论问题 题型09 垂径定理与证明 题型10 利用垂径定理解决实际问题 题型11 垂径定理与平面直角坐标系的综合应用 题型12 垂径定理综合应用问题 ▌题型01 由垂径定理及其推论判断正误 1. 牢记定理 5 要素：直径 / 过圆心直线、垂直弦、平分弦、平分优弧、平分劣弧，知二推三； 2. 易错关键点：推论中 “平分弦” 的弦不能是直径，两条直径互相平分但不一定垂直； 3. 反例快速排除：任意两条直径、不经过圆心的垂线、只平分弧不过圆心的直线均不满足完整垂径结论； 4. 判断步骤：先看直线是否过圆心，再看垂直 / 平分条件，核对是否存在直径平分直径的陷阱。 【典例1】下列说法：①相等的弦所对的圆心角相等；②等圆中相等的圆心角所对的弧相等；③同圆中等弧所对的圆心角相等；④平分弦的直径，平分这条弦所对的弧．其中正确的有（   ）个 A．4 B．3 C．2 D．1 【变式1-1】如图，是的直径，为弦，于点，连接，，则下列结论一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】下列命题正确的有（    ） ①长度相等的两条弧是等弧； ②弦的垂直平分线必过圆心； ③平分弦的直径垂直于弦； ④圆中两条非直径的相交弦不能互相平分 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式1-3】如图，AB为半圆O的一条弦（非直径），连结OA、OB，分别以A、B为圆心，大于AB一半的长为半径画弧，两弧交于点P，连结OP，交AB于点Q，下列结论不一定正确的是（　　） A．AB⊥OQ B．AQ＝BQ C．∠ABO＝60° D．∠AOB＝2∠AOQ ▌题型02 利用垂径定理求线段长 1. 固定辅助线：遇弦，过圆心作弦的垂线，垂足平分弦； 2. 核心公式（勾股定理）：； 3. 三类求法： · 已知半径、弦心距，求弦长： · 已知半径、弦长，求弦心距： · 已知弦长、弦心距，求半径： 4. 线段包含：半径、直径、弦、弦心距、弧中点到弦的距离（拱高），拱高 。 【典例2】（2026·四川南充·中考真题）如图，为直径，弦于E，，则长为（     ） A．1 B． C．2 D． 【变式1-1】如图，为的直径，弦，垂足为E，，半径为3，则弦的长为（   ） A． B． C．2 D．1 【变式1-2】如图在半圆中，，将半圆沿弦所在的直线折叠，若弧恰好过圆心O，则的长是（   ） A． B． C． D． 【变式1-3】如图，AB是⊙O的直径，C、D为⊙O上的点，且BC∥OD，过点D作DE⊥AB于点E．若DE＝3，⊙O的半径长为，求BC的长． ▌题型03 利用垂径定理求角度 1. 垂径带来等弧：垂直直径分弦为两等弧，等弧对等圆心角、等圆周角； 2. 直角条件：圆心与弦连线⊥弦，直接得 90° 直角； 3. 角度转化思路： · 由弧相等→圆心角相等； · 直角三角形两锐角互余； · 圆周角 = 同弧圆心角一半； 4. 常用模型：半径相等得等腰三角形，结合垂线三线合一求角。 【典例3】如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，且CE＝DE，∠COB＝52°，则∠DCO的度数为（　　） A．52° B．50° C．48° D．38° 【变式1-1】如图，已知⊙O半径OA＝4，点B为圆上的一点，点C为劣弧上的一动点，CD⊥OA， CE⊥OB，连接DE，要使DE取得最大值，则∠AOB等于（　　） A．60° B．90° C．120° D．135° 【变式1-2】如图，AB为⊙O的直径，AD是⊙O的弦，E是AD的中点，连接OE并延长交⊙O于点C，若∠BAD＝20°，求∠ACO的度数． 【变式1-3】如图，⊙O的直径是4cm，C是的中点，弦AB、CD交于P，CD＝2cm，求∠APC的度数． ▌题型04 利用垂径定理求最值 1. 核心最值结论（同圆内定点 + 动弦）： · 过圆内一点的弦：直径最长，垂直于圆心与该点连线的弦最短； 2. 解题步骤： ① 连接圆心与定点，计算圆心到定点距离； ② 最短弦：垂径定理勾股算长度；最长弦 = 直径； 3. 拱高最值、弦到圆心距离最值：圆心到弦距离越大，弦越短；距离越小，弦越长。 【典例4】如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，且CE＝DE，∠COB＝52°，则∠DCO的度数为（　　） A．52° B．50° C．48° D．38° 【变式1-1】如图，在⊙O中，弦AB＝5，点C在AB上移动，连结OC，过点C作CD⊥OC交⊙O于点D，则CD的最大值为（　　） A．5 B．2.5 C．3 D．2 【变式1-2】如图，的半径，弦，若半径从出发绕点逆时针旋转，与弦的交点为，则的最大值是_________．    【变式1-3】如图，在平面直角坐标系中，⊙O的半径为5，弦AB的长为6，过O作OC⊥AB于点C，⊙O内一点D的坐标为（﹣2，1），当弦AB绕O点顺时针旋转时，点D到AB的距离的最小值是___________． ▌题型05 利用垂径定理求取值范围 1. 基础图形面积： · 由半径、半弦、弦心距构成直角三角形面积； · 弦与两条半径围成等腰三角形面积（底 = 弦长，高 = 弦心距）； 2. 弓形面积：弓形 = 扇形面积 ± 等腰三角形面积； 3. 通用流程：先用垂径勾股求出弦长、高、半径，再代入对应面积公式计算。 【典例5】如图，⊙O的半径为5，OP＝3，过点P画弦AB，则AB的取值范围是_____．    【变式1-1】如图，⊙O的半径为10，弦AB＝16，M是弦AB上的动点，则OM不可能为（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 【变式1-2】如图，已知⊙O的直径为26，弦AB＝24，动点P、Q在⊙O上，弦PQ＝10，若点M、N分别是弦AB、PQ的中点，则线段MN的取值范围是（　　） A．7≤MN≤17 B．14≤MN≤34 C．7＜MN＜17 D．6≤MN≤16 【变式1-3】如图，的半径为5，弦，点C在弦上，延长交于点D，则的取值范围是______． ▌题型06 利用垂径定理求面积 1. 同心圆共用圆心，过圆心作公共弦垂线，同时垂直平分内外圆的弦； 2. 模型：大圆弦交小圆两点，设大圆半径，小圆半径，圆心到弦距离； 半大圆弦：，半小圆弦：，两弦线段差可直接计算； 3. 辅助线统一：同一条垂线同时适用于大小两圆，一次构造两个直角三角形。 【典例6】如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，AC＝CD，⊙O的半径为2，则△AOC的面积为（　　） A． B．2 C．2 D．4 【变式1-1】如图，是的直径，弦于点，连接，若，，则的面积是（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】如图，的半径是，是的直径，弦丄，垂足为，若，则的面积是（     ） A． B． C． D． 【变式1-3】如图，CD是圆O的弦，直径AB⊥CD，垂足为E，若AB＝12，BE＝3，则四边形ACBD的面积为(   ) A．36 B．24 C．18 D．72 ▌题型07 利用垂径定理求同心圆问题 1. 已知圆环宽度、弦长，求圆环面积：圆环面积 ，由勾股得 （大圆弦长），可快速消去直接算面积； 不用单独求半径，利用平方差简化计算，减少开方步骤。 【典例7】如图，在以点O为圆心的两个圆中，大圆的半径是小圆半径的2倍，大圆的弦和小圆交于C，D两点，若，则小圆半径是________． 【变式1-1】如图，半径为和5的两个圆都以为圆心，大圆的弦交小圆于两点，若，则____． 【变式1-2】如图，两个同心圆的半径分别为2和4，矩形的边和分别是两圆的弦，则矩形面积的最大值是______． 【变式1-3】如图，两个圆都是以为圆心． （1）求证：； （2）若，，小圆的半径为，求大圆的半径的值． ▌题型08 垂径定理分类讨论问题 1. 两大分类场景： ① 弦在圆心同侧 / 异侧：已知两条平行弦长度，求弦之间距离，分圆心在两弦中间、圆心在两弦同一侧两种情况； ② 已知拱高求弦长：拱高可能是或，分弧为优弧、劣弧两种； 2. 解题步骤： ① 作圆心到弦垂线，画出两种位置示意图； ② 分别用勾股求弦心距； ③ 加减得到两种距离结果，不可漏解。 【典例8】已知的直径为，，是的两条弦，，，，则和之间的距离是（    ） A．或 B．或 C． D． 【变式1-1】已知半径为5的⊙O中，弦AB＝5，弦AC＝5，则∠BAC的度数是（　　） A．15° B．210° C．105°或15° D．210°或30° 【变式1-2】已知弓形的弦长为8cm，所在圆的半径为5cm，则弓形的高为　 　． 【变式1-3】⊙O的直径CD＝10，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，OM：OC＝3：5，则AC的长为 　 　． ▌题型09 垂径定理与证明 1.可证结论：线段相等、弧相等、直线垂直、点为中点； 2.证明固定思路： ① 作圆心到弦垂线，用垂径得平分弦、平分弧； ② 等弧推相等线段 / 相等角； ③ 结合等腰三角形、全等三角形完成推导； 3.常用辅助线：遇弧中点、弦中点，连接圆心或作垂线。 【典例9】如图所示，是的直径，，垂足为D，，和相交于E，求证：． 【变式1-1】如图，交于点C，D，是半径，且于点F．求证：． 【变式1-2】已知：如图，在中，A、B、C、D是圆上四点，且，于点E，于点F．求证：． 【变式1-3】如图，在中，，是互相垂直的两条弦，，，垂足分别为．求证：． ▌题型10 利用垂径定理解决实际问题 1. 常见模型：拱桥、油管、圆形管道水深、车轮； 2. 建模步骤： ① 实物抽象为圆，水面 / 油面为弦，拱高 / 水深为拱高； ② 设半径，用拱高表示弦心距； ③ 代入勾股定理列方程求解； 3. 单位统一，最后还原到实际长度作答。 用负数计算边长。 【典例10】在数学综合与实践课上，同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径，小明的解决方案是：在工件圆弧上任取两点 ，连接，作的垂直平分线交于点，交于点，测出，，则圆形工件的半径为（     ） A． B． C． D． 【变式1-1】把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知，则球的半径为（     ）． A． B． C． D． 【变式1-2】如图，圆形拱门下端是一个长方形，拱门所在的与长方形的边相切于点，点为拱门的最高点，经测量，，，则拱门最高点到地面的距离是（     ）dm A．13.25 B．15.25 C．24.5 D．26.5 【变式1-3】如图，有一座圆弧形拱桥，桥下水面宽为，拱高为． (1)求桥拱的半径； (2)此桥的安全限度是拱顶点距离水面不得小于，若大雨过后，洪水泛滥到水面宽度为时，是否需要采取紧急措施？请说明理由． ▌题型11 垂径定理与平面直角坐标系的综合应用 1. 坐标转化线段：点横纵坐标绝对值代表水平、竖直线段长度； 2. 核心操作： · 已知圆上两点（弦端点），求圆心：圆心在弦的垂直平分线上； · 过圆心向水平 / 竖直弦作垂线，横坐标 / 纵坐标相等，快速得弦中点坐标； 3. 勾股结合坐标距离公式：两点距离 = 弦长一半，配合圆心坐标列方程求半径、圆心坐标。 【典例11】如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，点在第一象限，与轴交于，两点，点的坐标为，的半径为，则点的坐标为__________． 【变式1-1】已知：如图，⊙O1与坐标轴交于A（1，0），B（5，0）两点，点O1的纵坐标为，则⊙O1的半径为______． 【变式1-2】如图，半径为5的与y轴交于点，点P的坐标为______． 【变式1-3】如图，交轴与两点，交轴于点，弦于点的纵坐标为2，，．则圆心的坐标为____． ▌题型12 垂径定理综合应用问题 1. 综合考点组合：垂径 + 勾股 + 圆心角 + 全等+ 坐标系； 2. 通用解题流程： ① 见弦先作圆心垂线，得到半弦、弦心距直角三角形； ② 勾股求出所有基础线段； ③ 结合圆的其他性质转化角度、面积、坐标； 【典例12】如图，是的直径，点C为的中点，为的弦，且，垂足为点E，连接交于点G，连接． (1)求证：； (2)若，求的长． 【变式1-1】如图，是的直径，四边形内接于，连接交于点E，． (1)求证：； (2)若，求的长． 【变式1-2】如图，是的一条弦，于点，交于点，点在上． (1)若点B是的中点，求证：； (2)若，，求的半径r． 【变式1-3】如图，A，C在以AB为直径的⊙O上，D为弧AC的中点，连接BD与AC交于点E，若 (1)求证： (2)求⊙O 的半径． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题04 垂径定理十二大题型专项训练 (题型突破举一反三) 目录 题型01由垂径定理及其推论判断正误 题型02利用垂径定理求线段长 题型03利用垂径定理求角度 题型04利用垂径定理求最值 题型05利用垂径定理求面积 题型06利用垂径定理求同心圆问题 题型07利用垂径定理求同心圆问题 题型08垂径定理分类讨论问题 题型09垂径定理与证明 题型10利用垂径定理解决实际问题 题型11垂径定理与平面直角坐标系的综合应用 题型12垂径定理综合应用问题 】题型01由垂径定理及其推论判断正误 典例精析 【典例1)【答案】c 举一反三 【变式1-1】【答案】B 1/18 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【变式12】【答案】B 【变式1-3】【答案】C. 题型02利用垂径定理求线段长 三典例精析 【典例2】【答案】B 举一反三 【变式1-1】【答案】B 【变式12】【答案】A 【变式13】【答案】4. 【分析】过O点作OH⊥BC于H,由题意易得∠DEO=90°，∠OHB=90°，∠DOE=∠OBH,然后可证 △ODE≌△BOH,进而根据全等三角形的性质及勾股定理可得BH,再根据垂径定理可求得BC的长. 【详解】解：如图，过O点作OH⊥BC于H, ,DE⊥AB,OH⊥BC, ∴.∠DEO=90°，∠OHB=90°， ,BC∥OD, .∠DOE=∠OBH, 在△ODE和△BOH中， ∠DEO=∠OHB ∠DOE=∠OBH, OD=BO ∴.△ODE≌△BOH(AAS9, ∴.DE=OH=3, 在Rt△OBH中，BH=√OB2-OH=(132-32=2, ∴.BC=2BH=2×2=4. 2118 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D B 【点睛】本题主要考查圆的基本性质、垂径定理、全等三角形的性质与判定及勾股定理，正确作出辅助线 构造全等三角形是解题的关键 题型03利用垂径定理求角度 典例精析 【典例3】【答案】D. E 举一反三 【变式1-1)】【答案】B. 【变式1-2】 D 【答案】55. 【分析】根据平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧，由E是AD的中点得到 OE⊥AD,则利用互余可计算出∠AOE=70°，加上∠OAC=∠AOC,于是可根据三角形内角和定理计算出 ∠AOC. 【详解】解：，E是AD的中点， .OE⊥AD, ∴.∠AE0=90°， :∠BAD=20°， .∠AOE=70°， 3118 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .OA=OC, ∴.∠OAC=∠AOC, ∴.∠AOC 2(180°-∠A0C)= (180°-70°)=55°. 【点睛】本题考查了垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧：平分弦（不是直 径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧 【变式13】 【答案】60. 【分析】作OH LCD于H,连接OC交AB于E,如图，根据垂径定理得CH=DFCD-3,在根据勾股 定理计算出OH=1,则利用含30度的直角三角形三边的关系得∠OCH=30°，由于C是AB的中点，根据 垂径定理的推理得到OC⊥AB,然后在Rt△PCE中利用互余即可计算出∠APC的度数. 【详解】解：作OH⊥CD于H,连接OC交AB于E,如图， ,OH⊥CD, 1 CH-DIFTCD=3, 在Rt△OCH中，，OC=2,CHV3, ∴.0H=0C2-0H=1, .∠OCH=30°， C是AB的中点， ∴.OC⊥AB, 在Rt△PCE中，：∠ECP=30°， .∠CPE=60°， 即∠APC的度数为60 P..H 【点睛】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧：平分弦所对一条 弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧. 4/18 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 题型04利用垂径定理求最值 典例精析 【典例4】【答案】D. 举一反三 【变式1-1】【答案】B. 【变式12】【答案】2 【变式1-3】【答案】4.V5 题型05； 利用垂径定理求取值范围 三典例精析 【典例5】【答案】8≤AB≤10 举一反三 【变式1-1】【答案】A. 【变式12】【答案】A. 【变式13】【答案】9≤CD≤10 题型06利用垂径定理求面积 5118 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 典例精析 【典例6】【答案】C 举一反三 【变式1-1】【答案】A 【变式1-2】【答案】c 【变式1-3】【答案】A 题型07利用垂径定理求同心圆问题 典例精析 4V6 【典例7】【答案】 3 举一反至 【变式11】【答案】12 【变式12】【答案】16 【变式13】 【答案】(1)见解析：(2)√41 【分析】(I)作OE⊥AB,由垂径定理得AE-BE,CE-DE,即可得到AC-BD: (2)连接OB,OD,由AB=10,则BE=5,由勾股定理，得0E2=OD-DE2,OE2=OB-BE2, DE=BE-BD=5-2=3,即可求出大圆半径 6/18 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【详解】解：(1)如图：作OE⊥AB于E, :0 D 由垂径定理，得： AE=BE,CE=DE, ∴BE-DE=AE-CE, 即AC=BD: (2)如图，连接OD,OB, 0 AB=10, ∴.BE=AE-5,DE=5-2=3, 在Rt△OBE和Rt△ODE中，由勾股定理，得： OE=OD2-DE,OE=OB-BE2, ∴.0D2-DE2=0B2-BE2, 即52-32=0B2-52, 解得：OB=√41 ∴大圆的半径为V41 【点睛】本题考查了垂径定理，以及勾股定理，熟练掌握垂径定理和勾股定理进行计算是解题的关键 题型08垂径定理分类讨论问题 典例精析 7118 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【典例8】【答案】A 举一反三 【变式1-1】【答案】c. 【变式1-2】【答案】2cm或8cm. 【变式1-3】【答案】2cm或8cm. 题型09 垂径定理与证明 典例精析 【典例9】 【答案】见解析 【分析】延长AD交⊙O于H,如图，利用AB=AF得到AB=AF,再根据垂径定理得AB=BH,所以 BH=AF,则根据圆周角定理得到∠BAH=∠ABF,然后根据等腰三角形的判定可得到结论， 【详解】证明：延长AD交⊙O于H,如图， .AB=AF, ∴.AB=AF, .AD⊥BC, ∴.AB=BH, ∴.BH=AF, ∴.∠BAH=∠ABF, ∴.AE=BE」 8/18 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【点睛】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.也考查了圆周角 定理。 举一反王 【变式1-1】 F B D E 【答案】 证明：，OE⊥AB,CD为⊙O的弦， ∴CF=DF, .OA=OB,OE⊥AB, ∴.AF=BF, ∴AF-CF=BF-DF, ∴.AC=BD 【分析】本题考查垂径定理.由垂径定理得CF=DF,根据等腰三角形的性质可得AF=BF,再根据线段 的和差关系可得结论。 【详解】略 【变式1-2】 9/18 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B E 【答案】 证明：，OA=OB,OE⊥AB于点E, :趣=号AB, 同理可证：CF= .AB=CD .BE=CF ,OE⊥AB于E点，OF⊥CD于点F ∴.∠OEB=∠OFC=90° 在Rt△OEB与Rt△OFC中 OB=OC BE=CF ∴.△OEB≌△OFC HL, ..OE=OF. 【分析】本题考查垂径定理，全等三角形的判定和性质，掌握相关知识点是解题的关键. 先根据垂径定理得出BE=CF,再证明△OEB≌△OFC HL即可得出OE=OF 【详解】略 【变式13】 ⊙ D口 A 【答案】 10/18 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 证明：，AB=AC, ..AB=AC. :OD⊥AB,OE⊥AC, AD-号AB.AE=AC,∠0DA=∠0EA=90. ..AD=AE, .AB⊥AC, .∠DAE=90°， ,∠ODA=∠OEA=∠DAE=90°， ∴四边形AEOD是矩形， .AD=AE, ∴，四边形AEOD是正方形， ∴.OD=OE 【分析】本题考查了弧弦圆心角的关系，垂径定理，正方形的判定和性质，由弧弦圆心角的关系得 AB=AC,进而由垂径定理可得AD=AE,再证明四边形AEOD是正方形即可求证，掌握以上知识点是解 题的关键. 【详解】略 题型10利用垂径定理解决实际问题 典例精析 【典例10】【答案】c E 举一反三 【变式1-1】【答案】A 【变式12】【答案】D 11/18 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【变式1-3】 【答案】(1)10m (2) 解：不需要采取紧急措施，理由如下： 如图，连接OD, C D M 4 N B .CO⊥DE, DM-=号DE=3×12=6m, ∴.0M=0D2-DM2=V102-62=8m, .'CM=0C-OM=10-8=2m, .2m>1.5m, ∴.不需要采取紧急措施。 【分析】本题考查勾股定理，垂径定理，关键是由勾股定理，垂径定理列出关于圆半径的方程， (1)设桥拱的半径是rm,由垂径定理求出AN=AB=8m,而ON=(r-4)m,由勾股定理得到 r2=(r-42+82,求出r=10 (2)由垂径定理求出DM的长，由勾股定理求出OM的长，即可求出CM的长即可得解。 【详解】(1)解：如图半径OC⊥AB,OC⊥DE, 设桥拱的半径是rm, .OC⊥AB, AN-AB-×16=8m. 2 .拱高CN为4m, .∴.ON=(r-4)m, .OA2=0N2+AN2, .r2=(r-42+82, 12/18 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∴.r=10, ∴.桥拱的半径是10m; (2)略 题型11垂径定理与平面直角坐标系的综合应用 典例精析 【典例11】【答案】3,2 举一反三 【变式1-1】【答案】3 【变式12】【答案】(-4,7) 【变式1-3】【答案】(3,2) 题型12垂径定理综合应用问题 E 典例精析 【典例12】 13/18 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【答案】(1) ,AB为直径，CF⊥AB ∴.AB平分CF :C为BD的中点 ..CD=CB=BF ..CD=BF ,∠1=∠2，∠3=∠F .△CDG≌△BFG D B E (2)BE=5V10-5 【分析】(1)利用AAS证明△BFG≌△CDG: (2)连接OF,根据CF=BD得到BD=CF,利用勾股定理解题即可. 【详解】(1)略 (2)连接OF CD=CB=BF .'CF=BD ..BD=CF=2EF=30 :AD=10,∠ADB=90° .AB=10V10 .0F=5/10 CF⊥AB OE=5,BE=510-5 【点睛】本题考查圆的相关知识、垂径定理以及全等三角形的判定和勾股定理，解一元二次方程等知识，解 决问题的关键在圆内通过等弧进行角或边的转换， 14/18 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 举一反三 【变式11】 【答案】(1)证明见解析： (25. 【分析】(1)根据圆心角、弧、弦的关系定理得AD=CD,根据垂径定理的推论得OD⊥AC,然后再根 据圆周角定理的推论得出∠ACB=90°，再利用平行线的判定得证； (2)根据垂径定理得AE的长，再根据勾股定理即可求解. 【详解】(1)证明：AD=CD, .'.AD=CD. .OD⊥AC, .∠AE0=90° :AB是⊙O的直径， .∠ACB=90°， .∠AEO=∠ACB, ∴OD‖BC (2)解：，OD⊥AC,AC=24, ∴AE=CE=12 设OA=OD=r,则OE=r-8, 在Rt△AOE中，OA2=AE2+OE2, r2=122+(r-82, 解得r=13, .0E=13-8=5. 【点睛】此题是圆的综合题，主要考查了圆心角、弧、弦的关系定理、垂径定理及其推论、圆周角定理的 推论、勾股定理、平行线的判定等知识，熟练掌握圆的相关定理是解答此题的关键 【变式1-2】 【答案】(1)证明见解析 (2)10 【分析】本题考查了垂径定理，弧、弦及圆心角间的关系，勾股定理，掌握垂径定理是解决本题的关键 (1)证明AD=BE=BD,可得DE=AB,即可证明DE=AB: 15/18 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (2)由垂径定理可得AC=6,然后设⊙O的半径为r,由勾股定理即可列出方程，解方程即可求得答案 【详解】(1)证明：，OD⊥AB, .'.AD=BD. :点B是DE的中点， .'BE=BD, ∴AD=BE=BD, .DE=AB. .'.DE=AB: (2)解：连接OA, D 设⊙O的半径为r,CD=2, 则OC=OD-CD=r-2 OD⊥AB,AB=12, ∴AC=BC=AB=6, 在Rt△AOC中，OA2=AC2+OC2, r2=62+r-22, 解得r=10, ∴.⊙0的半径为10 【变式13】 【答案】(1)见解析 (2)⊙0的半径为3V2 【分析】本题主要考查对圆的认识，垂径定理和勾股定理等知识，连接OC,证明△AOF≌△COF是解 答本题的关键， (1)连接OC,证明△AOF≌△COF SAS得∠AFO=∠CFO=90°，可得结论： 16/18 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (2)由AE=3CE=6,求出AF=4,FE=CE=2,证明△DFE≌△BCE ASA得BC=DF,由三角形中位 线得OF=号BC=DF-专0D再由勾服定理可得结论。 【详解】(1)证明：连接OC,如图， 则OA=OC, D为弧AC的中点， ∴.∠AOD=∠COD,即∠AOF=∠COF, 在△AOF和△COF中， OA=OC ∠AOF=∠COF OF=OF ∴.△AOF≌△COF SAS, ∴.∠AFO=∠CFO, ,∠AF0+∠CFO=180, ∴.∠AFO=∠CFO=90, .OF⊥AC: (2)解：，AE=3CE=6, ∴CE=2, ∴.AC=AE+CE=6+2=8, OD⊥AC, AF=CF=号AC=4, ..CE=FE, :AB是⊙O的直径， .∠ACB=90°， 在△BCE和△DFE中， 17/18 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∠DFE=∠BCE=90° FE=CE ∠g=∠BEC .△DFE≌△BCE ASA, ∴.BC=DE, O为AB的中点，F为AC的中点， ,OF为△ABC的中位线， .OF-C.-20F, ..DF=2OF ..OA=OD=30F, 在Rt△AOF中，AF2+OF2=AO, .42+0F2=30F, ∴OF=V2 ∴.A0=32,即⊙0的半径为32. 18/18