专题14 几何图形中的旋转问题的五类综合题型（压轴题专项训练）数学新教材人教版九年级上册

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题14几何图形中的旋转问题的五类综合题型 目 录 解题通法一明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳一精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、线段绕某点旋转综合问题 题型二、特殊三角形绕点旋转综合问题 题型三、矩形绕点旋转综合问题 题型四、菱形绕点旋转综合问题 题型五、正方形绕点旋转综合问题 压轴挑战一攻克高难压轴，突破思维上限 ◆◆ 解题通法一明晰核心解法，助力能力迁移 题型特征：涉及旋转中心、方向、角度三要素，常与等腰、等边、正方形结合，考查对应边角、线段长 及角度计算。 解题方法：利用旋转前后图形全等，找对应边角相等；旋转角等于对应点与旋转中心连线夹角；常构造 “手拉手”全等或相似，结合勾股定理列方程。 -易错提醒：混淆旋转角与图形内角：找错对应点导致边角错配：忽略旋转方向或多解；旋转后点落在特 殊位置时未分类讨论。 夙题型归纳精讲臭型题法，奔实解题根基 题型一、线段绕某点旋转综合问题 典例1(26-27九年级上四川达州开学考试)【问题背景】如图，P是等边三角形ABC内一点，将线段 AP绕点A顺时针旋转60°得到线段AQ,连接BQ,PB,PC. 1/17 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B (①)【发现问题】猜想线段CP与B之间的数量关系，并说明理由： (2)【拓展应用】若AP=6,BP=8,CP=10,求四边形APBO的面积. 题型模版 1.特征：线段绕定点旋转，求旋转后端点坐标或线段扫过面积，涉及旋转角与坐标变化。 2方法：利用旋转性质（对应点到旋转中心距离相等，对应边夹角等于旋转角），结合勾股定理或坐标变 换列方程求解。 变式1-1(26-27八年级上江苏南京·单元测试)在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=a,点D在射线BC上， 连接AD,将线段AD绕点A逆时针旋转I80°-2a得到线段AE(点E不在直线AB上)，过点E作 EFIAB,交直线BC于点F. E B C(D) B 图1 图2 图3 (I)如图1，a=45°，点D与点C重合，求证：BF=AC: (2)如图2，a=45°，点D在线段BC的延长线上，点F在线段CB的延长线上，连接BE,求证：BE⊥BC: (3)如图3，点D,F都在BC的延长线上，用等式表示DF与BC的数量关系，并证明. 变式1-2(26-27九年级上四川达州·开学考试)在△ABC中，AB=BC,点D在边AC上，连接BD,将 BD绕点B逆时针旋转a(0°<a<180°)，得线段BE. 2/17 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 图1 图2 图3 (1)如图1，若a=∠ABC,连接AE,求证：∠E+∠ADB=180°； (②)如图2，若a+∠ABC=180°，连接CE,作△BCE的中线BM,用等式表示线段BM,AC,CD之间的数量 关系，并证明你的结论： (3)如图3，在(2)的条件下，若∠ABC=120°，AC=6,∠DBM=15°，求BM的长， 变式1-3(26-27九年级上四川达州开学考试)在菱形4BCD中，∠B=a(90°≤a<180） 点E是边BC 上一点，连接AE,将线段AE绕点E顺时针旋转α得到线段EF,连接CF, 图1 图2 图3 (1)如图1，a=90°，求∠DCF的度数： (2)如图2,90°<a<180°，求∠DCF的度数（含a的代数式表示）： (3)如图3，a=120°，AB=2,点M是DC边上一动点，连接MF,若MF=AB,N是CM延长线上一点， 且MN=CF,连接FN,请直接写出FN的最大值， 题型二、特殊三角形绕点旋转综合问题 典例2(25-26七年级下·陕西汉中~期末)如图，在△ABC中，∠ACB=90°，将△ABC绕点C按顺时针方 向旋转得到△DEC,点A的对应点D在BC的延长线上，点B的对应点E恰好落在AC边上，延长DE交 AB边于点F,BD=1I0,AE=2. 3/17 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (I)求BC的长： (2)AB与DF垂直吗？请说明理由， 题型模版 1.特征：等腰、等边或含30°角的直角三角形绕定点旋转，求线段长、角度或重叠面积。 2方法：利用旋转前后对应边角相等，结合特殊三角形边角关系（如1：√3：2），构造全等或相似，列方程 求解。 变式2-1(26-27九年级上福建莆田·阶段检测)如图，将△ABC绕点A顺时针旋转得到△4WM,点B,C 的对应点分别为N,M H 图1 图2 (I)如图1，当点N落在BC的延长线上，且∠ACB=90°，AB=10,AC=6,求BN的长： (2)如图2，△ABC绕点A顺时针旋60°得到△ANM,延长BC交AW于点D,连接BN并延长BN至点F, 使得FN=AD,连接DF,连接AF交MN于点H,且∠ACB=9O°，猜想线段HN,M,CD之间存在 的数量关系，并证明你的猜想： 变式2-2(25-26八年级下内蒙古包头期末)如图1，已知△ABC为等边三角形，取△ABC的边AB,BC 中点D,E,连接DE,易证△DBE为等边三角形，将△DBE绕点B顺时针旋转，设旋转角∠ABD=a,其 中0<a<180° 4/17 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 图1 图2 ☒3 (1)如图2，当a=29°时， ①BC与DE交于点O,求∠COE的度数： ②连接AD,CE,求证：AD=CE (2)在△DBE旋转过程中，当α超过一定角度时，如图3，连接AD,CE会交于一点，记交点为点F,AD 交BC于点P,CE交BD于点O,连接BF,求证：FB平分∠AFE 变式2-3(25-26七年级下·吉林长春·期末)【教材习题呈现】以下是华师大版七年级下册数学教材第143 页的部分内容：如图1，△ACD、△AEB都是等腰直角三角形，∠CAD=∠EAB=90°，作出△ACE以点A为 旋转中心，逆时针旋转90°后的三角形， B D 图1 图2 图3 (1)【习题解决】 在图1中画出△ACE以点A为旋转中心，逆时针旋转90°后的三角形. (2)【习题延伸】 如图2，将△ACE绕点A逆时针旋转9O°得到△ADB,设CE、AC分别与BD交于点F、G,试判断CE与 BD的数量关系和位置关系，并说明理由； (3)【习题拓展】 如图3，将△ABC绕点A逆时针旋转40°得到△ADE,点D恰好落在BC上，DE与CA交于点F,若△ABD 与△AFD关于直线AD对称，且BC=9,BD=3,则 ①∠DAE= 5/17 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ②线段EF的长是」 题型三、矩形绕点旋转综合问题 典例3(25-26九年级下·浙江湖州阶段检测)在学习“图形的旋转”时，有这样一道例题： 图1 图2 如图1，己知矩形ABC"D'是矩形ABCD以点A为旋转中心，按逆时针方向旋转90°所得的图形. 求证：对角线BD与对角线B'D'所在的直线互相垂直. (1)完成该“例题”的解答过程； (2②)王老师对例题进行了改编：如图2，己知AD>AB,BD所在的直线恰好经过点C,若AB=1,求AD的 长 题型模版 1特征：矩形绕某点旋转，求旋转后顶点坐标、重叠面积或线段长度，常结合全等与勾股。 2方法：利用旋转前后对应边角相等，结合矩形对边平行且相等，构造直角三角形用勾股定理列方程求解。 变式3-1(25-26八年级下·福建泉州·期末)如图1，将矩形ABCD绕点A按逆时针方向旋转得到矩形 AEFG,使得点E落在CD上，连接BE, H 图1 图2 图3 (I)求证：∠BAE=2∠CBE, (2如图2，连接BG交AE于点H,如果AB=5,BC=3,求BG的长. (3)如图3，连接BG交AE于点H,取BE的中点I,连接Ⅲ，AF，,探究HⅢ和AF的数量关系，说明理由； 6/17 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 变式3-2(2026湖北咸宁·模拟预测)在矩形ABCD中，AB=8,AD=6,将矩形ABCD绕点A顺时针旋 转得到矩形AEFG,其中点E,F分别是点B,C的对应点. D C D G G E G E E 图1 图2 备用图 DG (I)如图1，连接DG,BE,求BE的值： (②)如图2，当点E恰好落在边CD上，连接BG交AE于点O,连接BE,求证：OG=OB: (3)在旋转过程中，当BE=8时，直线EB,DG交于点H,请直接写出BH的长 变式3-3(26-27九年级上全国·单元复习)数学综合实践课上，王老师和同学们一起以“矩形的旋转”为 主题开展探究活动.如图1，矩形EFGH和矩形EF'GH'重合，EH=6,GH=10.矩形EFGH保持不动， 将矩形EFGH'绕点B逆时针方向旋转. FF)E GG)HO) 图1 图2 图3 图4 (I)【问题初探】如图2，创新小组同学将矩形EFGH'的顶点F'旋转至边GH上，求GF'的长度： (②)【问题再探】如图3，创新小组同学继续旋转矩形EFGH',发现：当点F'落在FH的延长线上时，点 G、H、G在同一条直线上，你认为创新小组同学的发现正确吗？请说明理由： (3)【深度探究】在(2)的条件下，如图4，连接FG交EH于点M,延长G'F交EH的延长线于点N,请 直接写出MW的长， 7/17 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型四、菱形绕点旋转综合问题 典例4(25-26八年级下浙江金华期末)如图，在菱形ABCD中，∠DAB=60°，对角线AC,BD交于点 O.将△COB绕点B逆时针旋转Q°得到△COB(0<a<120),且CO',C"B分别交AC于点E,F, 连结AO D (I)连结OC',求证：△C"OB≌aAOB (2)当OE=OF时，求a的值. AE (3)在旋转过程中，当边C'B与菱形其中一条边垂直时，请直接写出CE的值。 题型模版 1.特征：菱形绕某点旋转，求旋转后顶点坐标、重叠面积或线段长，常结合对角线性质。 2方法：利用旋转前后对应边角相等，结合菱形四边相等、对角线垂直平分，构造全等或直角三角形列方 程求解。 变式4-1(25-26八年级下山东济南期末)综合与实践： 问题情境：在一次综合实践活动课上，同学们以菱形为对象，研究菱形旋转中的问题：己知，在菱形 ABCD中，BD为对角线，∠BAD=60°，AB=4,将菱形ABCD绕顶点A顺时针旋转，旋转角为Q(单位： °)，旋转后的菱形为ABCD,在旋转探究活动中提出下列问题，请你帮他们解决. D D B B 图1 图2 图3 观察证明： (I)如图1，若旋转角Q<60°，AD'与BD相交于点M,AB与B'D'相交于点N,请写出DM与B'N的数量关 系，并说明理由； 8/17 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 操作计算： (2)如图2，连接CD',菱形ABCD旋转的过程中，当B'D'与AB互相垂直时，CD'的长为_： (3)如图3，若旋转角a<60°，分别连接DD',BD',过点A分别作AE⊥DD',AF⊥BD',连接EF,菱 形ABCD旋转的过程中，发现在△AEF中存在长度不变的线段EF，请求出EF长度。 变式42(2026江苏泰州：三模)综合与实践： 已知菱形48CD的边长为2，∠A=60°，将该菱形绕顶点A按顺时针方向在平面内旋转a(0≤a<360）至 菱形AB'C'D' D D D D B 图1 图2 图3 备用图 (1)若旋转后B'C'与CD垂直如图1，则旋转角α为 (2)将AD旋转至与AC重合时，请求出旋转后的图形与原图形重叠部分的面积；（请在图2中构图） (3)菱形ABCD在旋转过程中如图3，连接BB',B'D',BD',△BB'D'为等腰三角形时，请直接写出BB的 长 变式4-3(2026河南中考真题)在菱形ABCD中，∠BAD=120°，AB=4.将边AB绕点A逆时针旋转至 AE,记旋转角为C.作射线DE,在射线DE上取一点H,使BH=BE,连接CH, 图1 图2 (1)【观察猜想】 当a=30°时，如图1，∠BEH的度数为 CH的长为 (2)【探究证明】 9/17 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 当0°<α<120°时，(1)中的两个结论是否仍然成立？若成立，请仅就图2的情形进行证明：若不成立， 请说明理由. (3)【拓展延伸】 当0°<a<120 时若aDCH 4v2 的面积为 ，请直接写出此时旋转角的度数， 题型五、正方形绕点旋转综合问题 典例5(26-27八年级下全国课后作业)如图，有两个边长均为α的正方形ABCD与正方形EFGH,且 正方形EFGH的顶点E为正方形ABCD两条对角线的交点， E (I)试判断AF与BH的大小关系.当正方形EFGH绕点E旋转变化时，这种关系是否保持不变？ (2)如果正方形EFGH的边长为 b(b>a) (1)中的结论是否仍然成立？请作出判断并给出证明. 题型模版 1特征：正方形绕某点旋转，求旋转后顶点坐标、重叠面积或线段长，常结合对称与全等。 2方法：利用旋转前后对应边角相等，结合正方形四边相等、对角线垂直平分，构造全等或直角三角形列 方程求解。 变式5-1(25-26七年级下广东佛山期末)如图，边长为3的正方形ABCD绕点A逆时针旋转得到正方形 AEFG,旋转角为 (0<a<90）,边4G与对角线BD交于点W,在边1E上截取线段4M,使 AM=AN 10/17 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 E M B N D (1)当a=45°时，∠MBN= (2)在旋转过程中，∠MBN的大小是否发生变化？若不变，请求出∠MBN的度数；若有变化，请用含α的 式子表示∠MBN: (3)令AM=AN=m,请用含有m的式子表示△MBN的面积. 变式5-2(25-26八年级下·河北承德期末)己知正方形ABCD和正方形CEFG. 图1 图2 图3 (I)如图I,当正方形CEFG在正方形ABCD的外部时，连接BG,DE.求证：△BCG≌△DCE; (2)如图2，将(1)中正方形CEFG绕点C旋转，使点G落在DE上. AB=√10EF=√2 ①若 求线段BC的长， ②如图3，连接AC,若O是AC的中点，连接OG.判断线段OG与AB的数量关系并说明理由. 变式5-3(25-26九年级上：陕西安康期中)综合与实践：在数学兴趣小组活动中，小明进行数学探究活动， 将边长为的正方形 BCD与边长为6的正方形MBF 按如图1所示的位置放置，4D与4E在同一条 直线上，AB与AG在同一条直线上.连接DG,BE,易得DG=BE且DG⊥BE(不需要说明理由)· G G B 图1 图2 图3 图4 11/17 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (I)如图2，小明将正方形ABCD绕点A逆时针旋转，旋转角 a15°<a<165) ①连接DG,BE，判断DG与BE之间的数量关系和位置关系，并说明理由； ②在旋转过程中，如图3，连接BG,GE,ED,DB,求四边形BGED面积的最大值. (2②)如图4，分别取BG,GE,ED,DB的中点M,N,P,,连接MN,NP,P吧，OM,则四边形 MNPO MNPO 的形状为一，四边形 面积的最大值是 同压轴桃战一攻克高难压轴，突骏思维上很 一、单选题 1.(26-27九年级上云南期中)如图，把△ABC绕点C顺时针旋转35°，得到△4'B'C,AB交AC于点 D,若∠ACB=105°，则∠ACB'度数为( B A.45° B.30° C.35° D.70° 2.(26-27九年级上广东深圳开学考试)把一副三角板如图①放置，其中 ∠ACB=∠DEC=90°，∠A=45°，∠D=30°，斜边AB=6,CD=8,把三角板DCE绕点C顺时针旋转15°得到 △DCE, (如图@)，此时4B与D交于点0，则线段4D的长度为() AD 12/17 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B E ① ② 2V7 B.5 C.v34 D.38 3.(26-27九年级上浙江温州开学考试)如图1，矩形纸片的宽A0与菱形纸片的边C0贴合.已知 ∠Q=60° AB ,现将矩形绕点O顺时针旋转，旋转过程中（某一时刻如图2所示），矩形的边与菱形的边 交于点P,当AB⊥C9时停止运动.设AP的长度为x(cm),运动过程中矩形和菱形的重合部分面积为 y(cm2）. 若y关于x的函数图象如图3所示，则图3中的值为() 珠 m 5 2 B 图1 图2 图3 2 4品g c46 45 D. 二、填空题 4.(26-27九年级上福建福州开学考试)如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=5,BC=12,点M是 边AC的中点.将△ABC绕着点A逆时针旋转到△ADE的位置，点D恰好在边AC上，点M'是点M的对应 点，则M、M'两点间的距离为 13/17 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 E M M C 5.(2026九年级上全国专题练习)如图，菱形ABCD的对角线AC,BD交于点O,菱形A'B'CD'的顶 点A与点O重合，AD=2AD=4,∠DAB=∠DA'B'=60°，连接AD',取其中点M,连接B'M,将菱形 A'B'C"D'绕点A旋转一周，则BM的最小值为一· B 6.(26-27九年级上湖南衡阳开学考试)如图，正方形ABCD,对角线相交于点O,以O为顶点作与正 方形ABCD同样大小的正方形OMPN,∠DON=a(0°<a<90°)，ON与CD交于点F,OM与BC交于 点E,连接EF.给出下面四个结论：①FN=EM;②∠EFC=a;③四边形OECF的面积等于正方形 ABCD面积的四分之一；④当a≠45°时，OC<EF.上述结论中，所有正确结论的序号是 E 力 M 三、解答题 7.(25-26八年级下河北保定期末)如图，AB=4,过点A作CA1AB(点C在直线AB上方)，将线 段CB绕点C顺时针旋转9O°到线段CD,连接DB,DA,过D作DE⊥CA延长线于点E,连接EB. 14/17 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D E (1)求证：△ABC≌△ECD: ②当CM=3时，DB=:S= (3)直接写出线段AC,AB,AD的数量关系； (4)四边形ADEB能否为平行四边形？若能，直接写出AC长度；若不能，请说明理由： (5)直接写出AD+DB的最小值， 8.(25-26七年级下吉林长春·期末)【教材呈现】以下是华师大版七年级下册数学教材第143页的部分 内容： 如图1，△ACD、△AEB都是等腰直角三角形，∠CAD=∠EAB=90°，作出△ACE以点A为旋转中心，逆 时针旋转90°后的三角形. R D 409 D 图1 图2 图3 【操作发现】 (1)在图1中画出△ACE以点A为旋转中心，逆时针旋转90°后的三角形，并写出旋转前后CE与其对应线 段的数量关系和位置关系： (用符号语言表达)， 【探究理由】 (2)如图2，将△ABC绕点A顺时针旋转90°得到△ADE,设DE、AD分别与BC交于点F、G,求证： BC⊥DE 【问题解决】 (3)如图3，将△ABC绕点A逆时针旋转40°得到△ADE,点D恰好落在BC上，DE与CA交于点F.若 △ABD与△AFD关于直线AD对称，且BC=9,BD=3,则 15/17 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ①∠DAE= ②线段EF的长是」 9.(25-26七年级下山西临汾期末)阅读与思考 请阅读下列材料，并完成相应的问题！ 新定义：把长方形ABCD绕着一个顶点旋转，使一边落在对角线上，把这样的旋转称为“对角旋转”，这 个旋转角称为“对角旋转角”，如图1，在长方形ABCD中，AB<AD,AC是对角线， D B 图1 图2 备用图 (I)如图2，把长方形ABCD绕点A逆时针做“对角旋转”，使边AB落在对角线AC上，此时点B的对应点 为点8.点C的对应点为点S,点D的对应点为点9，连接4C,如果∠CD度数为“，则“对角旋转 C AC 角”的度数=一（用含有“的代数式表示)· ②在(4的条件下，如果C0=40°， ①∠DAC= 一：②若再把长方形ABCD绕点A顺时针做 B2 “对角旋转”，使边1D落在对角线1C上，点B的对应点为点8，点C的对应点为点C,点D的对应点 D, AC, ,∠C2AD= 为点，连接2，则 (3)在长方形ABCD中，若BC-AB=7,在第(1)(2)的条件下，经两次“对角旋转”后，点C的对应 点分别为点S和点S,连接CC,且5-24，请求出此时长方形BCD 的面积. 10.(25-26八年级下，宁夏银川期末)【实践探究】数学实践课上，活动小组的同学将两个正方形纸片按 照图1所示的方式放置，如图1，正方形ABCD； ABCO 的对角线相交于点O,点O又是正方形 的一个顶点， 16/17 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 且这两个正方形的边长相等，四边 OBBF为这两个正方形的重叠部分，正方形 ABCO 可绕点O旋转. B 图1 图2 图3 备用图 (1)【问题发现】 ①线段AE,BF之间的数量关系是 ②在①的基础上，连接EF,则线段AE,CF,EF之间的数量关系是 (2)【类比迁移】 如图2，矩形ABCD ABCO AO 中心O是矩形 的一个顶点， 40与边4B相交于点：，G0与边BC相交于点 R,连接F,延长C0交4D于点P,连接即，MC ABCO ,矩形 可绕点0旋转.判断线段4E,CF EF之间的数量关系并证明. (3)【拓展应用】 如图3，在Rt△ABC中，∠B=90°；AB=3,CB=4,直角∠EDF的顶点D在边AC的中点处，它的两条 边DE和DF分别与直线AB,BC相交于点E,F,∠EDF可绕点D旋转.当AE=2时，请求出线段CF的 长 17/17函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题14几何图形中的旋转问题的五类综合题型 目 录 解题通法一明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳一精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、线段绕某点旋转综合问题 题型二、特殊三角形绕点旋转综合问题 题型三、矩形绕点旋转综合问题 题型四、菱形绕点旋转综合问题 题型五、正方形绕点旋转综合问题 压轴挑战一攻克高难压轴，突破思维上限 ◆◆ 解题通法一明晰核心解法，助力能力迁移 题型特征：涉及旋转中心、方向、角度三要素，常与等腰、等边、正方形结合，考查对应边角、线段长 及角度计算。 解题方法：利用旋转前后图形全等，找对应边角相等；旋转角等于对应点与旋转中心连线夹角；常构造 “手拉手”全等或相似，结合勾股定理列方程。 -易错提醒：混淆旋转角与图形内角：找错对应点导致边角错配：忽略旋转方向或多解；旋转后点落在特 殊位置时未分类讨论。 夙题型归纳精讲臭型题法，奔实解题根基 题型一、线段绕某点旋转综合问题 典例1(26-27九年级上四川达州开学考试)【问题背景】如图，P是等边三角形ABC内一点，将线段 AP绕点A顺时针旋转60°得到线段AQ,连接BQ,PB,PC. 1/81 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B (①)【发现问题】猜想线段CP与B之间的数量关系，并说明理由： (2)【拓展应用】若AP=6,BP=8,CP=10,求四边形APBO的面积. 【答案】()CP=BO,理由如下： 根据题意可知AP=AQ,∠PAQ=60°，即∠PAB+∠BAQ=60°， :三角形ABC为等边三角形， .AC=AB,∠BAC=60°，即∠PAC+∠PAB=60°， .∠PAC=∠BAQ :在△APC和△AQB中， AC=AB ∠PAC=∠BAQ AP=AO :△APC≌△AQB(SAS) .CP=BO (②24+9V5 【分析】(1)利用旋转得AP=A0、∠PA犯=60°，结合等边三角形的性质，用SAS证明△APC≌△AQB 进而证得CP=B0: (2)连接P№，过点A作AG1P№，先推出△AP№为等边三角形，算出其面积，再利用(1)的结论推出 BO=10,通过勾股逆定理证明△BP№是直角三角形，算出它的面积，两个三角形面积相加得到四边形 APBQ面积. 2/81 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【详解】(1)略 (2)解：如图，连接P吧，过点A作4G1PO, 据(1)可知CP=BQ=10 ·AP=A9.∠PAQ=60°. .△APO为等边三角形， PO=AP=6 AG⊥P9. ∴.PG=3, ..AG=AP2-PG2 =33 1 SMm=)×PQxAG-=9V3】 2 BP=8, :.BP2+Pg2-100BQ=100 △BPQ. BO2=BP2+PO2 中 ∴.△BPP为直角三角形，∠BPO=90°， S.wo-xBPxPQ-24. ∴ 边形Hr8e=S.Arm+S.e=24+9V3 题型模版 1.特征：线段绕定点旋转，求旋转后端点坐标或线段扫过面积，涉及旋转角与坐标变化。 3/81 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2方法：利用旋转性质（对应点到旋转中心距离相等，对应边夹角等于旋转角），结合勾股定理或坐标变 换列方程求解。 变式1-1(26-27八年级上江苏南京单元测试)在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=a,点D在射线BC上， 连接AD,将线段AD绕点A逆时针旋转I80°-2a得到线段AE(点E不在直线AB上)，过点E作 EFIAB,交直线BC于点F 图1 图2 图3 ()如图1，a=45°，点D与点C重合，求证：BF=AC: (②)如图2，=45°，点D在线段BC的延长线上，点F在线段CB的延长线上，连接BE,求证：BE⊥BC (3)如图3，点D,F都在BC的延长线上，用等式表示DF与BC的数量关系，并证明. 【答案】（①）证明：由旋转知，AE=AD,∠DAE=180°-2a=180°-2×45°=90°， ,∠ACB=90° ∴.∠DAE+∠ACB=180°， ∴AEIIBC, .∠AEB=∠EBF, EFIlAB ∴.∠FEB=∠EBA, BE =EB, △AEB≌AFBE(ASA) .BF=AE, ∴BF=AD ,点D与点C重合， ∴AD=AC, :.BF=AC: (②)证明：如图2，在BC的延长线上取一点H,使CH=CB 4/81 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 H D B 图1 ·∠ACB=90°， .AC⊥BC, .AH AB, ∠AHC=∠ABC=a=45°， ∴.∠BAH=180°-∠AHC-∠ABC=90° 由旋转知，AD=AE,∠DAE=90°， ∴.∠HAB-∠DAB=∠DAE-∠DAB, ∴.∠DAH=∠EAB △ADH≌AAEB(SAS) .∠ABE=∠AHC=45, .∠EBC=∠ABE+∠ABC=90°， .BE⊥BC: (3)DF=2BC,证明： 如图3，在BC的延长线上取一点G,使CG=BC,则BG=2BC, D 图3 ,∠ACB=90°， .AC⊥BC, ..AG=AB, ∠AGC=∠ABC=a. .∠BAG=180°-∠AGC-∠ABC=180°-2a 5/81 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 由旋转知，AD=AE,∠DAE=180°-2a, ∴.∠DAG=∠EAB. △ADG≌△AEB(SAS) .DG=BE,∠AGD=∠ABE=180°-a, ∴.∠FBE=∠ABE-∠ABC=180°-2a, .EF AB ·∠BFE=∠ABC=&, .∠BEF=180°-∠FBE-∠BFE=a&, ∴.∠BFE=∠BEF, ∴BF=BE, .'BF =DG. .DF=BD-BF BD-DG=BG=2BC, 即DF=2BC. 【分析】(1)因为线段AD旋转得到AE,所以AD=AE,结合a=45°得∠DAE=180°-2a=90°，得 AE∥BC,由EFlB证明 MEB≌，FBE(ASA),得BF=ME,由D与点C重合，可得BF=MC (2)在BC的延长线上取一点H,使CH=CB,可得∠AHC=∠ABC=a=45°，证明△ABE与△ADH全等， 得到∠ABE的度数，结合∠ABC=45°计算∠EBC的度数即可完成垂直的证明， (3)在BC的延长线上取一点G.使CG=BC,证 AMDG2AEB(SMS),得到 DG=BE,∠AGD=∠ABE=I80°-a,可得∠BFE=∠BEF,得到BE=BF,最后结合线段和差关系推导 DF与BC的数量关系. 【详解】(1)略 (2)略 (3)略 变式1-2(26-27九年级上：四川达州开学考试)在△ABC中，AB=BC,点D在边AC上，连接BD,将 BD绕点B逆时针旋转a(O°<a<180°)，得线段BE. 6/81 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 图1 图2 图3 (I)如图1，若a=∠ABC,连接AE,求证：∠E+∠ADB=180°； (②)如图2，若a+∠ABC=180°，连接CE,作△BCE的中线BM,用等式表示线段BM,AC,CD之间的数量 关系，并证明你的结论： (3)如图3，在(2)的条件下，若∠ABC=120°，AC=6,∠DBM=15°，求BM的长. 【答案】（①）证明：：将BD绕点B逆时针旋转(0°<a<180)得线段BE, .BE=BD,∠DBE=C, 又：a=∠ABC, :∠DBE=∠ABC, ∴·∠DBE-∠ABD=∠ABC-∠ABD,即∠ABE=∠CBD, 在△ABE和△CBD中， AB=CB ∠ABE=∠CBD BE=BD AABE≌ △CBD(SAS) ∴∠E=∠BDC 又：∠BDC+∠ADB=180°， .∠E+∠ADB=180°： O解：BM=C-CD),证明如下 B 如图，延长CB使BF=CB,连接FE, 7/81 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :BM是△BCE的中线， ..CM=ME, ∴BM是aCEF的中位线， G.BM-FE BD a(0°<a<180) BE 将绕点B逆时针旋转 得线段， ∴.BE=BD,∠DBE=a, a+∠ABC=180°，即∠DBE+∠ABC=180°， 又：∠ABF+∠ABC=180°， .∠ABF=∠DBE, ∴∠ABF-∠ABE=∠DBE-∠ABE,即∠FBE=∠ABD, .CB=FB,CB=AB, :FB=AB, 在△FBE和△ABD中， BE=BD ∠FBE=∠ABD FB=AB △FBEE≌△MBD(SAS) ..FE=AD. (C-CD), BM=3+3 3 2或V3 【分析】（①先证明△ABE。△CBD(SAS),再由全等三角形的性质证明即可： 2)延长CB使BF=CB,则BM是ACEF的中位线，那么BM三)FE,然后证明AFBE≌△ABD(SAS 8/81 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 则E=AD:即时证明8M-号0-(4C-(D), (3)分两种情况讨论，BM在BD左侧时，以及BM在BD右侧时，利用(2)的辅助线，分类讨论求解即 可 【详解】(1)略 (2)略 (3)解：情况一：当BM在BD左侧时，设AB与FE的交点为G,过B点作BH⊥AC于H点. C.'AB=BC∠ABC=120° ∠A=∠BCA=2×(180°-120)=30°， 又：AC=6,BH⊥AC, AH-CH=3:BH=4B 2 设BH=x,则 B=2x,则2-=3 x=V3 解得 (负值舍)， :AB=23, BF=BA, BF=23, :∠ABC=120°， ∴.∠ABF=60°，由(2)知△FBE≌△ABD, .∠BFE=∠BAD=30°， ∴.∠FGB=90°.∠BGE=90°. BG=-)BF=5,FG=23y-(W3=3, :∠DBE=a,a+∠ABC=180° ∴∠DBE=60°， ∠DBM=15°， .∠EBM=60°-15°=45°， 9/81 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ,BM是aCEF的中位线， ∴.BM∥FE, ∴.∠MBC=∠F=30」 ∴.∠ABM=∠ABC-∠MBC=90°， ∴.∠GBE=∠ABM-∠EBM=45°. ∴.∠GEB=90°-∠GBE=45°， .GE=GB=3 FE=FG+GE=3+3 由(2)知 w3 ； 情况二：当BM在BD右侧时，延长CB使BT=CB,连接TE, D 同理可得∠DBE=60°， ∴.∠EBM=∠DBE+∠DBM=75° 同上有∠ABM=∠ABC-∠MBC=∠ABC-∠T=∠ABC-∠A=90°， .∠ABE=∠ABM-∠EBM=15°， 同上可得AB⊥ET, :.∠TEB=90°-15°=75°，∠TBE=∠TBA+∠ABE=180°-120°+15°=75°， 则∠TEB=∠EBT=75°， :.TE =TB=23 ∵M是CE中点， :.BM=ITB-3 综上，BM=3+V5 2或5 10/81 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 变式1-3(26-27九年级上四川达州开学考试)在菱形ABCD中， ∠B=a(90°≤a<180) 点E是边BC 上一点，连接AE,将线段AE绕点E顺时针旋转α得到线段EF,连接CF. 图1 图2 图3 (1)如图1，a=90°，求∠DCF的度数： (2)如图2,90°<a<180°，求∠DCF的度数（含a的代数式表示）； (3)如图3，a=120°，AB=2,点M是DC边上一动点，连接MF,若MF=AB,N是CM延长线上一点， 且MN=CF,连接FN,请直接写出FN的最大值. 【答案】(1)45° 四r-a-w ③)1+V5 【分析】(I)过点F作FG⊥BC,交BC延长线于点G,先证出△GEF≌△BAE,根据全等三角形的性质 可得EG=AB,GF=BE,从而可得CG=GF,再根据等腰三角形的性质可得∠FCG=∠CFG=45°，由 此即可得： (2)延长BC到点G,使CG=BE,连接FG,先根据菱形的性质、平行线的性质可得∠DCG=∠B=a, 再证出△GEF≌△BAE,根据全等三角形的性质可得FG=BE,∠G=∠B=a,然后根据等腰三角形的性质 可得∠FCG=∠CFG=180°-a 2一，由此即可得； 3)由2)知当。20P时，ZDC=a-90=90°，过点N作NP1CN于点N,且使NP=CM:连玉 PM,构造出△PMN≌△MFC,得出PM=MF=AB=2,∠PMN=∠MFC,再得出∠PMF=9O°，取PM 中点瓦，连接M:H得出NH=M-PM=L,H那=5，由两点之间线段最短得F≤阳+FH, 11/81 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 即可求解 【详解】(I)解：如图，过点F作FG⊥BC,交BC延长线于点G, 在菱形 中， 7 B E G ABCD ∠B=u=90° ∴四边形ABCD是正方形，∠BAE+∠AEB=90°， ∴.AB=BC,CD⊥BC, 由旋转的性质得AE=EF,∠AEF=a=90°， .∠GEF+∠AEB=90°， ∴.∠GEF=∠BAE, 在△GEF和△BAE中， ∠G=∠B=90° ∠GEF=∠BAE EF=AE ∴.△GEF2△BAE(AAS) ..EG=AB,GF=BE, ..EG=BC, ..EG-EC=BC-EC, 即CG=BE, ..CG=GF, .∠FCG=∠CFG=45°， 又CD⊥BC, ∴.∠DCF=90°-∠FCG=45°： (2)解：如图，延长BC到点G,使CG=BE,连接FG, 12/81 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D 四边形 是菱形， B G ABCD ∠B=a AB=BC ABICD∠BAE+∠AEB=18O°-a ∴.∠DCG=∠B=a, .CG=BE .CG+CE=BE+CE 即EG=BC, ∴.EG=AB 由旋转的性质得AE=EF,∠AEF=a, ∴.∠GEF+∠AEB=180°-a, ∴.∠GEF=∠BAE, 在△GEF和△BAE中， EG=AB ∠GEF=∠BAE EF=AE ∴.△GEF≌△BAE(SAS) .FG=BE,∠G=∠B=a, ∴.CG=FG .∠FCG=∠CFG=180°-∠G180°-a 2 2 ∠DCF=∠DCG-∠FCG=a-180°-a-3 22 a-90°： (3)解：由（②知当a=10时，∠DCF=3a-90°=0e 如图，过点N作NP⊥CN于点N,且使NP=CM,连接PM, 13/81 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 P N H D E .∠PNM=∠MCF=90° 又：NP=CM,MN=CF, ∴.aPMW≌aMFC(SAS) ∴.∠PMN=∠MFC,PM=MF, .MF=AB,AB=2, .PM=MF=AB=2. ∠MCF=90°， .∴∠MFC+∠CMF=90° ∴.∠PMN+∠CMF=90° ∴.∠PMF=180°-（∠PMN+∠CMF)=90° 取PM中点H,连接NH,FH, ∠PNM=90°，PM=MF=2, :.NI-MH-7PM-1. :..HF=MH2+MF2=+22=5 NF≤NH+HF=1+V5 由两点之间线段最短得 ,且当NH、F共线时， NF NH+HF=1+5 取得最大值为 题型二、特殊三角形绕点旋转综合问题 典例2 (25-26七年级下陕西汉中期末)如图，在△ABC中，∠ACB=90°，将△ABC绕点C按顺时针方 14/81 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 向旋转得到△DEC,点A的对应点D在BC的延长线上，点B的对应点E恰好落在AC边上，延长DE交 AB边于点F,BD=10,AE=2. B (1)求BC的长； (2)AB与DF垂直吗？请说明理由. 【答案】(1)4 (2)AB与DF垂直.理由如下： ,将△ABC绕点C按顺时针方向旋转得到△DEC, .∠B=∠CED, ∠AEF=∠CED, ∠AEF=∠B, ∴.∠A+∠AEF=∠A+∠B=180°-∠ACB=90°， ∠AFE=180°-（∠A+∠AEF)=90° 即AB与DF垂直 【分析】(1)根据旋转的性质和线段的和差关系即可得到答案： (2)根据旋转的性质和等量代换得到∠A+∠AEF=90°，再由三角形内角和定理即可求出∠AFE=90°，证 明结论成立 【详解】(1)解：：将△ABC绕点C按顺时针方向旋转得到△DEC, .BC=CE,AC=DC .BD=BC+CD=CE+CD=CE+AC=CE+CE+AE. 即l0=CE+CE+2. 解得CE=4, .BC=4 15/81 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)略 题型模版 1.特征：等腰、等边或含30°角的直角三角形绕定点旋转，求线段长、角度或重叠面积。 2方法：利用旋转前后对应边角相等，结合特殊三角形边角关系（如1：√3：2），构造全等或相似，列方程 求解。 变式2-1(26-27九年级上·福建莆田·阶段检测)如图，将△ABC绕点A顺时针旋转得到△AWM,点B,C 的对应点分别为N,M, 图1 图2 ()如图1，当点N落在BC的延长线上，且∠ACB=90°，AB=I0,AC=6,求BN的长： (2)如图2，△ABC绕点A顺时针旋60°得到△ANM,延长BC交AN于点D,连接BN并延长BN至点F, 使得FN=AD,连接DF,连接AF交MN于点H,且∠ACB=9O°，猜想线段HN,MH,CD之间存在 的数量关系，并证明你的猜想； 【答案】(1)16 (2)线段HN,MH,CD之间存在的数量关系：HN=MH+CD: 证明： 由△ABC旋转可知，AM=AC,∠AMN=∠ACB=∠ACD=90°，旋转角∠CAM=60°， 如图，将△ACD绕点A顺时针旋转60°，可使AC与AM重合，得到△AME. :∠AME=∠ACD=90°，即∠AMN+∠AME=180°， .N,M,E三点共线， 16/81 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 F H M 9:E 由△ABC旋转可知：AB=AN,旋转角∠BAN=60°， .△ABN是等边三角形， .∠ANB=60° 由△ACD旋转可知，旋转角∠DAE=60°，AD=AE,ME=CD, ∴.∠ANB=∠DAE .FN II AE ∴.∠FNH=∠AEH, FN =AD,AD=AE, :FN=AE, 在△FNH和△AEH中， [∠FHN=∠AHE ∠FNH=∠AEH FN=AE :.△FNH≌aAEH(AAS) .HN=EH,即HN=MH+ME, ME=CD ∴.HN=MH+CD 【分析】(I)利用勾股定理分别在△ABC和△ACN中求出BC和CN的长，最后根据线段的和差关系求出 BN的长 (2)将△ACD绕点A顺时针旋转60°，得到△AME,利用旋转得出△ABN是等边三角形，进而证明 FN‖AE且FN=AE;最后通过证明△FNH≌aAEH,将IHN转化为MH+ME,再结合ME=CD得出最终 结论 17/81 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【详解】(I)解：~将△ABC绕点A顺时针旋转得到△ANM, .AB=AN=10 :∠ACB=90°，点N落在BC的延长线上， ∴.∠ACN=90°， ,AC=6, .BC=V√AB2-AC2=102-62=8CN=VAW2-AC2=V102-62=8 .BN=BC+CN=16: 即BN的长为l6: (2)略 变式2-2(25-26八年级下内蒙古包头期末)如图1，已知△ABC为等边三角形，取△ABC的边AB,BC 中点D,E,连接DE,易证△DBE为等边三角形，将△DBE绕点B顺时针旋转，设旋转角∠ABD=a,其 中0<a<180° 图1 图2 图3 ()如图2，当a=29°时， ①BC与DE交于点O,求∠COE的度数： ②连接AD,CE,求证：AD=CE (2)在△DBE旋转过程中，当C超过一定角度时，如图3，连接AD,CE会交于一点，记交点为点F,AD 交BC于点P,CE交BD于点Q,连接BF,求证：FB平分∠AFE, 【答案】(1)①89°： ②证明：“△ABC和△DBE分别为等边三角形， ∴.AB=BC,BD=BE, 由旋转知：∠ABD=∠CBE, .∴AABD≌ACBE(SAS) 18/81 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .AD=CE (②)证明：如图，过点B分别作BN⊥AD于点N,BH⊥CE于点H, D 和 分别为等边三角形， .ABC DBE .AB=BC,BD=BE, 由旋转知：∠ABD=∠CBE, ∴△ABD≌ACBE(SAS) .AD=CE S.AMD=S.CBE 1 3AD:BN=2CEB脚 :BN =BH, ∴.FB平分∠AFE 【分析】(1)①由旋转可得∠ABD=∠CBE=29°，再根据等边三角形性质求出∠BED=60°，即可求出结 论：②证明△ABD≌aCBE，即可得出结论： 2先证明AMBD2aCBE,得出4D=CE,Sm=8m,过点B分别作BN LAD于点N,BH1CE于 点H,得出BN=BH,即可证明结论： 【详解】(1)①解：如图， 由旋转可得，∠ABD=∠CBE=29°. :△DBE是等边三角形， ∴.∠BED=60° 19/81 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.∠COE=∠CBE+∠BED=29°+60°=89° ②略 (2)略 变式2-3(25-26七年级下·吉林长春·期末)【教材习题呈现】以下是华师大版七年级下册数学教材第143 页的部分内容：如图1，△ACD、△AEB都是等腰直角三角形，∠CAD=∠EAB=90°，作出△ACE以点A为 旋转中心，逆时针旋转90°后的三角形， B D 图1 图2 图3 (1)【习题解决】 在图1中画出△ACE以点A为旋转中心，逆时针旋转90°后的三角形. (②)【习题延伸】 如图2，将△ACE绕点A逆时针旋转90°得到△ADB,设CE、AC分别与BD交于点F、G,试判断CE与 BD的数量关系和位置关系，并说明理由： (3)【习题拓展】 如图3，将△ABC绕点A逆时针旋转40°得到△ADE,点D恰好落在BC上，DE与CA交于点F若△ABD 与△AFD关于直线AD对称，且BC=9,BD=3,则 ①∠DAE= ②线段EF的长是 【答案】(I)如图，△ABD即为所求， E B 20/81 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)解：CE=DB,CE⊥DB: 理由：，△ACE绕点A逆时针旋转90°得到△ADB, .△ADB≌△ACE, .CE=DB,∠EAB=∠CAD=90°，∠ACE=∠ADB, 在△ADG和△FCG中，∠AGD=∠FGC, .∠CFG=LCAD=90°， .CE⊥DB, 综上，CE=DB,CE⊥DB, (3)①80°：②6 【分析】(I)连接BD,根据SMS证明△ADB≌△ACE,即可解决问题； (2)由旋转的性质得出△ADB≌△ACE,利用全等三角形的性质解决问题即可； (3)①利用轴对称的性质求出∠DAF,然后根据旋转的性质得出答案： ②利用旋转的性质和轴对称的性质求出DE和DF即可解决问题. 【详解】(1)略 (2)略 (3)解：①：△ADF与△ADB关于AD对称， ∴.∠DAF=∠DAB=40°. ∴.∠BAC=80°. 由旋转的性质可知，∠DAE=∠BAC=80°： ②由旋转的性质可知，BC=DE=9, △ADF与△ADB关于AD对称， .'BD=DF=3. .EF=DE-DF=9-3=6 题型三、矩形绕点旋转综合问题 典例3(25-26九年级下·浙江湖州阶段检测)在学习“图形的旋转”时，有这样一道例题： 21/81 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D B E 图1 图2 如图1，已知矩形AB'CD'是矩形ABCD以点A为旋转中心，按逆时针方向旋转9O°所得的图形. 求证：对角线BD与对角线BD'所在的直线互相垂直. (1)完成该“例题”的解答过程； (2)王老师对例题进行了改编：如图2，己知AD>AB,B'D'所在的直线恰好经过点C,若AB=1,求AD的 长。 【答案】(I)证明：在矩形ABCD中，∠DAB=90°， 由旋转，得∠DAD=90°，△ADB'≌△ADB, .∠D'AB=180°， ·点D,A,B在同一条直线上， △AD'B'≌△ADB, ∴.∠AD'B=∠ADB ∴.∠AD'B+∠ABD=∠ADB+∠ABD=90 在△DBE中， ∠D'EB=180°-（∠AD'B'+∠ABD)=90° ∴.D'B⊥DB,即对角线BD与对角线B'D'所在的直线互相垂直. (②5+1 2 【分析】(1)先证明点DA,B在同一条直线上，再求出∠AD'B'+∠ABD=90°，在△DBE中，求出 ∠D'EB=90°即可证明对角线BD与对角线B'D'所在的直线互相垂直. (2)由矩形AB'CD'是矩形ABCD旋转90°所得的图形得AB=AB=CD=1,AB‖CD.设AD=x,则 AD'=AD=x,DB=AD-AB=x-1,证明△DCB'∽△AD'B,然后利用相似三角形的性质即可求解. 【详解】(1)略： 22/81 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)解：：矩形AB'CD是矩形ABCD旋转90°所得的图形，AB=1, .AB=AB'=CD=1.ABIICD 设AD=x,则AD'=AD=x,DB=AD-AB=x-1, DC∥DA, ∴.∠DCB'=∠AD'B',∠CDB'=∠D'AB', .△DCB'∽△AD'B', DC DB'1x-1 DA=BA,即x=1, 解得=55：l上5 25 2一（舍去）， 4D的长为 5+1 2· 题型模版 1.特征：矩形绕某点旋转，求旋转后顶点坐标、重叠面积或线段长度，常结合全等与勾股。 2方法：利用旋转前后对应边角相等，结合矩形对边平行且相等，构造直角三角形用勾股定理列方程求解。 变式3-1(25-26八年级下·福建泉州：期末)如图1，将矩形ABCD绕点A按逆时针方向旋转得到矩形 AEFG,使得点E落在CD上，连接BE, 图1 图2 图3 (I)求证：∠BAE=2∠CBE: (2)如图2，连接BG交AE于点H,如果AB=5,BC=3,求BG的长. (3)如图3，连接BG交AE于点H,取BE的中点I,连接Ⅲ，AF,探究HⅢ和AF的数量关系，说明理由： 【答案】(I)证明：：将矩形ABCD绕点A按逆时针方向旋转得到矩形AEFG, AE=AB,∠ABC=90°， :∠ABB=∠ABE-=080-∠B10=90-3BAB,∠ABE=90-∠CBE: 23/81 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴2∠BAE=∠CBE,即∠BAB=2∠CBE g2g ③)解：Ⅲ2AF,理由如下 如图，连接GE, :四边形AEFG是矩形， .AF=GE, 由(2)可知，BH=GH, 点I是BE的中点， .HⅢ是△BGE的中位线， :.H-1GE-1AF 2 2 【分析】(1)根据矩形及旋转的性质得出AE=AB,∠ABC=90°，根据等腰三角形的性质得出 ∠ABE=90°-1∠BAE 2 ∠ABE=90°-∠CBE,即可得出结论： (2)过点B作BM⊥AE于M,根据角的和差关系，结合(1)中结论得出∠CBE=∠MBE,进而证明 △BME≌aBCE(AAS),得出BM=BC=AG=3,利用勾股定理求出AM=4,利用AAS证明 △GAH≌aBM,得出GH=BH,MM=2,利用勾股定理求出 BH=V13 ,即可得出答案： (3)根据矩形的性质得出AF=GE,根据点I是BE的中点，结合(2)中结论得出HI是△BGE的中位线， 根据中位线的性质即可得出1一弓心。 【详解】(1)证明：略 (2)解：如图，过点B作BM⊥AE于M, 24/81 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ,将矩形ABCD绕点A按逆时针方向旋转得到矩形AEFG, .EF=AG=BC=3,∠GAE=∠DAB=∠C=90° ,∠BAE+∠ABM=90°，∠CBM+∠ABM=90°， .∠BAM=∠CBM, 由(1)可知，∠BAE=2∠CBE, ·∠CBM=2LCBE, .∠CBE=∠MBE, ∠BME=∠C=909 ∠MBE=∠CBE 和 中， △BME'ABCE BE=BE :.△BME≌aBCE(AAS) .'BM=BC=AG=3. AM=VAB2-BM2=V53-32=4 [∠GHA=∠BHM ∠GAH=∠BMH=90° 在 和 中， GAH'△BMH AG=BM .△GAH≌aBMH(AAS). 六GH=BH, MH-AH-1AM-2. BH=VMHP +BM2-3 BG=2BH=213 (3)解：略 变式3-2(2026湖北咸宁·模拟预测)在矩形ABCD中，AB=8,AD=6,将矩形ABCD绕点A顺时针旋 25/81 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 转得到矩形AEFG,其中点E,F分别是点B,C的对应点. D D F G D E C F G E 图1 图2 备用图 DG (I)如图1，连接DG,BE,求BE的值： (②)如图2，当点E恰好落在边CD上，连接BG交AE于点O,连接BE,求证：OG=OB: (3)在旋转过程中，当BE=8时，直线EB,DG交于点H,请直接写出BH的长. 3 【答案】()4： (2)证明：如图，过点B作BM⊥AE于点M, F D M 由旋转可知，AB=AE, ∴.∠ABE=∠AEB, .AB∥CD ∴.∠ABE=∠CEB ∴.∠AEB=∠CEB. BE平分∠AEC, 又：BC⊥CD,BM⊥AE, .BC=BM, 由旋转的性质及矩形的性质可知，AG=AD=BC, 26/81 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴AG=BM, :∠GAO=∠BM0=90°.∠AOG=∠MOB. .∴△AOG≌aMOB(AAS) :.0G=OB: 635-43V3+4 或 AD_AG6_3 【分析】(1)由旋转的性质得到AD=AG=6:AB=AE=8,∠DAG=∠BAE,求得ABAE84, DG AG 3 根据相似三角形的性质得到BEAE4: (2)由旋转的性质得到AB=AE,可知∠ABE=∠AEB,进而得到BE平分∠AEC,根据角平分线的性质 定理得到BC=BM,进而得到AG=BM,证明△AOG≌aMOB,可知OG=OB, (3)根据旋转的性质得到AD=AG,AB=AE,∠DAG=∠BAE,求得∠ADH+∠ABH=180°，得到 ∠DHB=90°，得到△ABE为等边三角形，同理△ADG为等边三角形.如图，令DH与BC的交点为I,根 BH=Bl·sin60 据三角函数的定义得到 【详解】(1)解：由旋转的性质知AD=AG=6,AB=AE=8,∠DAG=∠BAE, AD AG 6 3 AB AE 84' ∴.△DAG∽△BAE, DG AG 3 BE AE 4: (2)略 (3解：B册的长为35-4或33+4 或 ,理由如下： 由旋转得AD=AG,AB=AE,∠DAG=∠BAE, .∠ADG=∠AGD=∠ABE=∠AEB. :∠ABE+∠ABH=180°， .∠ADH+∠ABH=180° 27/81 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 在四边形ADHB中，∠DAB=90°， .∠DHB=90° AB=AE=BE=8. ∴△ABE为等边三角形， 同理△ADG为等边三角形. .∠ADG=60°， 如图，令DH与BC的交点为I, D B ∴.∠IDC=30°∠D1C=∠BIH=60° .CI=tan30°.DC=8 3,B1=6- 3, ∴.BH=B.sin60° 85x5-5-4 6 3广2 如图，令DH与EF的交点为J, E D G B EH=3V3-4 同理可 :BH=8+33-4=3W5+4 35-43V3+4 综上所述， BH的长为 或 28/81 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 变式3-3(26-27九年级上·全国单元复习)数学综合实践课上，王老师和同学们一起以“矩形的旋转”为 主题开展探究活动.如图1，矩形EFGH和矩形EF'GH'重合，EH=6,GH=I0.矩形EFGH保持不动， 将矩形EFG'H'绕点E逆时针方向旋转， F(F)E GG)HH) 图1 图2 图3 图4 ()【问题初探】如图2，创新小组同学将矩形EF'GH'的顶点F'旋转至边GH上，求GF'的长度： (②)【问题再探】如图3，创新小组同学继续旋转矩形EFG',发现：当点F'落在FH的延长线上时，点 G、H、G在同一条直线上，你认为创新小组同学的发现正确吗？请说明理由： (3)【深度探究】在(2)的条件下，如图4，连接FG交EH于点M,延长GF交EH的延长线于点N,请 直接写出MN的长。 【答案】(1)2 (2)正确，理由如下： 连接EG',HG, ,矩形EFGH和矩形EFGH'全等， .△F'EG'≌aEFH,EG'=FH,HG∥EF, ∴.∠F'EG'=∠EFH,EF=EF', ∴.∠FEG'=∠EFF'=∠EF'F, .EG'∥FH EG'=FH, ∴四边形EFHG是平行四边形， ∴.G'H∥EF 29/81 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :HG∥EF, :G,H,G在同一条直线上： 25 (3)3 【分折】（山利用勾服定理求出PH=FE-H=8,进而求解即可： (2)连接EG,HG,证明四边形EFHG是平行四边形，得到GH∥EF,然后结合HG∥EF即可求解： (③连接EG、G,求出M=EM=号H=3,GH=r=10:设HN=MP=x:利用勾胶定理求解 2 即可 【详解】(1)解：~矩形EFGH和矩形EFGH'重合， .EF=EF'=GH=10,∠H=90°， ∴F'H=VF'E2-EH2=8 .GF'=HG-HF'=10-8=2: (2)略 (3)解：连接EG、HG', 由(2)得四边形EFHG是平行四边形， .HMEM-EH-3.GH-EF-10 EF=EF', .∠EFH=∠EF'H. :∠NHF'=∠FHE=90°-∠EFH,∠NF'H=∠NF'E-∠EF'H=90°-∠EF'H, .∠NF'H=∠NHF', .HN NF' 30/81 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 设HN=NF'=x, ∴.G、H、G在同一条直线上， .∠GHN=90° 在RtaG'HN中，利用勾股定理得，GN2=G'H2+HN2, :(6+=102+r 16 解得X= 3 :MN=HN+HM=16+3=25 3 3· 题型四、菱形绕点旋转综合问题 典例4(25-26八年级下浙江金华期末)如图，在菱形ABCD中，∠DAB=60°，对角线AC,BD交于点 O.将△COB绕点B逆时针旋转°得到△CO'B(0<a<120),且CO',CB分别交AC于点E,F, 连结AO D (1)连结OC',求证：aCOB≌△AOB (2)当OE=OF时，求a的值. AE (3)在旋转过程中，当边C'B与菱形其中一条边垂直时，请直接写出CE的值. 【答案】(1)证明：根据旋转的性质可知， CB=C"B,OB=O'B,∠CBO=∠C"BO', 菱形ABCD ∴.AB=CB,∠CBO=∠ABO, ∴C'B=AB.∠CBO'=∠ABO ∴.∠C'BO=∠ABO', 31/81 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴△C'OB≌△AOB(SAS) (2)40° AE CE =5-l或2-5 【分析】(1)先证明∠C"BO=∠ABO',再根据SAS即可证明△COB≌△AOB; (2)连结EB,证明 EO'B≌AEOB(HL) 得∠EBO=∠EBO',进而得出∠FBO=∠EBO=∠EBO=∠ABO 设∠EB0=x,根据3x=60°求出x=20°即可求解： (3)分当CB⊥DC时和当C"B⊥AD时两种情况，画出图形求解即可. 【详解】(1)略： (2)解：如图1，连结EB, 菱形 图1 ABCD ∴.AC⊥BD 又OE=OF, ∴.BD垂直平分EF, ∴.BE=BF,∠FBO=∠EBO OB=OB,∠EOB=∠EOB=90°，EB=EB, ∴.Rt△EO'B≌Rt△EOB(HL) .∠EBO=∠EBO', 又：∠C'BO=∠ABO ∴.∠FBO=∠EBO=∠EBO'=∠ABO', :菱形ABCD中，∠DAB=60°， ∠ABC=120°， 32/81 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∠ABD= -∠ABC=60° 设∠EB0=x,则3x=60°， 解得x=20°， ∴.∠DBO'=u=40° (3)解：①如图2，当CB⊥DC时，连结EB, E VB H 图2 ABII CD CB⊥AB, ∠ABC=90° 由(1)知，∠C'B0=∠AB0,由(2)知，∠EB0=∠EB0, .∠C'BO'-∠EBO'=∠ABO-∠EBO 片∠ABE=∠C'BE=)∠ABC=450, 作EH⊥AB于点H,则∠ABE=∠BEH=45°， ∴.EH=BH, 设EH=BH=a, ,菱形ABCD中，∠DAB=60°. :∠B4C=D18=30, ∴.AE=2a, 、AH=√AE2-EH=Ba .AB-Va+a=(+1)a 33/81 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 0B=B=5+1 2 :10=VAB-08-3+5 2 :4C=240=3+3)加 :CE=4C-AE=3+5)a-2a=(+5)a AE2a=5-1 .CE(1+5)a ②如图3，当CB⊥AD时，连结EB, D 同理可求，∠0BE=45°，∠BAC=30°， 设OB=b. ∴OE=b,AB=2b, OA=OC=3b E=(3-1)b CE=OC+OE=(+1)b 4E 3-1)6 =2-5 CE 3+1b 综上所述：CE 4E=5-1或2-3 题型模版 1特征：菱形绕某点旋转，求旋转后顶点坐标、重叠面积或线段长，常结合对角线性质。 34/81 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2方法：利用旋转前后对应边角相等，结合菱形四边相等、对角线垂直平分，构造全等或直角三角形列方 程求解。 变式41(25-26八年级下山东济南期末)综合与实践： 问题情境：在一次综合实践活动课上，同学们以菱形为对象，研究菱形旋转中的问题：己知，在菱形 ABCD中，BD为对角线，∠BAD=60°，AB=4,将菱形ABCD绕顶点A顺时针旋转，旋转角为Q(单位： °)，旋转后的菱形为AB'CD',在旋转探究活动中提出下列问题，请你帮他们解决。 D D B B 图1 图2 图3 观察证明： (I)如图1，若旋转角a<60°，AD'与BD相交于点M,AB与B'D'相交于点N,请写出DM与B'N的数量关 系，并说明理由： 操作计算： (2)如图2，连接CD',菱形ABCD旋转的过程中，当B'D'与AB互相垂直时，CD'的长为： (3)如图3，若旋转角a<6O°，分别连接DD,BD',过点A分别作AE⊥DD',AF⊥BD',连接EF,菱 形ABCD旋转的过程中，发现在△AEF中存在长度不变的线段EF,请求出EF长度. 【答案】(I)解：DM=B'N,理由如下： 图1 ,四边形ABCD是菱形， .AB=AD, .∠ADB=∠ABD, 由旋转的性质可得：AB'=AB,∠ABD=∠AB'D',∠BAD=∠B'AD 35/81 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AD=AB',∠ADM=∠AB'N, 又，∠BAD-∠BAD'=∠B'AD'-∠BAD', .∠DAM=∠BAN, △DAM≌△B'AN(ASA) ∴.DM=B'N ②434 (3)2 【分析】(I)由菱形的性质得到AB=AD,则∠ADB=∠ABD,由旋转的性质可得AB'=AB, ∠ABD=∠AB'D,∠BAD=∠B'AD',证明△DAM≌△B'AN,即可得到DM=BM: (2)连接BD交1C于点O,证明△MBD是等边三角形， ∠DAC=∠BAC=30° 0A=2N3 可求出 ,得到 AC=43 :证明∠BMD=30°=∠B1C,得到小八C三点共线，则可得到C '=AC-AD'=43-4 (3)连接BD,证明△ABD是等边三角形，得到BD=AB=4;可证明AD'=AD,AD'=AB,由三线合 定理得到DE=D0,DP-D,则Er为ABDD的中位战，据比可得BF-D-2. 2 【详解】(1)略 (2)解：如图2所示，连接BD交AC于点O, D O D 图2 四边形ABCD是菱形， :.0B-BD,AC-20A.ACLBD.AB=AD .∠BAD=60° 36/81 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴△ABD是等边三角形，∠DAC=∠BAC=30°， .BD=AB=4,∠ADB=60°， 0B=2, 0A=√AB2-0B2=2V3 AC=4V3 ； 由旋转的性质可得∠AD'B'=∠ADB=60°，AD=AD=AB=4, B'D'⊥AB, ∴.∠BAD'=30°=∠BAC, 、小D八C三点共线， .CD'=AC-AD=4-4 (3)解：如图3所示，连接BD, 图3 四边形ABCD是菱形， ∴AB=AD, ∠BAD=60°， ∴，△ABD是等边三角形， ∴.BD=AB=4: 由旋转的性质可得AD'=AD, .AD'=AB, :AE⊥DD',AF⊥BD DE-DD.DF-B 37/81 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴，EF为△BDD'的中位线， EF-BD=2 2 变式42(2026江苏泰州三模)综合与实践： 已知菱形ABCD 的边长为2，∠A=60°，将该菱形绕顶点4按顺时针方向在平面内旋转 (0°≤&<360°)）」 菱形AB'C"D D D B 图1 图2 图3 备用图 (1)若旋转后B'C与CD垂直如图1，则旋转角x为 (2)将AD旋转至与AC重合时，请求出旋转后的图形与原图形重叠部分的面积；（请在图2中构图） (3)菱形ABCD在旋转过程中如图3，连接BB',B'D',BD',△BBD'为等腰三角形时，请直接写出BB的 长 【答案】(1)330 ②3v5 同2欧6+5或6-5或25 “或 【分析】(1)先根据菱形性质及已知角度，确定相关角的度数并设交点O,再由旋转后垂直关系，利用 四边形内角和求出∠DAB',从而得C; (2)先作辅助线，依据菱形性质求相关线段长与三角形面积，再利用旋转性质推出角度与边长关系，算 出另一三角形面积，进而得重叠部分面积： (3)根据题图分情况讨论即可. 【详解】(1)解：：四边形ABCD是菱形，∠DAB=60° ∴.∠D=120°，∠B=∠B=120°， 设交点B'C与CD交点为O, 38/81 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 C D D ,旋转后B'C与CD垂直， .∠DOB=90°， ,∠DAB=360°-∠B-∠D-∠D0B=30°， 、∠B'AB=∠DAB-∠DAB'=30°. .a=360°-∠BAB=330° (2)解：如图：连接AC、BD交于点O,延长AB至点C,连接DB,BC与DC交于点E, D ,四边形ABCD是菱形， .AC平分∠DAB,AC⊥BD, :∠CMB=)∠D1B=30°， 2 AB=2, .OB=1, AD'=2, Sn=2 ×2×1=1 :四边形ABCD是菱形，四边形AB'CD由四边形ABCD旋转得到， ∴AB=AD'=2,∠AD'C'=∠ABC=120° .∠ABD'=∠AD'B=75°，∠D'BE=∠ED'B=45° ∴，∠D'EB=90° 39/81 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .BC⊥D'C', .∠CAB=30°，∠ABC=120°， ∴.∠ACB=30° AB=2,OB=1,AC⊥BD. :40-4c-5, :CD=4C-AD=25-2 :D=V5-1 5m5-5-刂=2-5， S四边形HBD=S。MB+S,BD=3-V3 (3)解：本题分多种情况讨论： ①当BB=DB,如图，连接BD, D(B') B :四边形ABCD是菱形， ∴，AB=AD,△ABD是等腰三角形， .∠DAB=60°， ∴，△ABD是等边三角形， .'BD=AD=AB=2, .BB'=B'D'=BD=2: ②当BB=BD',如图，延长BA至点C”, 40/81 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B 当B'D'在AD左侧；连接AC'、DB',设AC与D'B交于M, 在△BB'D'中， :四边形AB'CD是菱形， M为AC、D'B中点， :MB-3DR-1DB-1 2 .AB'=AB=2, .AM-VAB-MB=5 .MB-MA+4B-2+5 BB=MB2+MB2 =22+3=6+2 当B'D'在AD右侧，连接AC、D'B',设AC'与D'B交于N, 根据上一情况可得： B'N=B'M=1 AN=AM=3 AB=2 NB=AB-AN=2-3 :BB'=VNB+BW=22-5=6-2】 ③当BD'=BD'时，如图， 41/81 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D y B 由①可知△ABD是等边三角形， ,四边形AB'CD'由四边形ABCD旋转得到， ∴.△ABB是等边三角形， .AB'=BB', AB=AB',B'D'=BD. ∴四边形AB'D'B是菱形， AD⊥BB,交于点O, :B0=)BB,A0=4D=1 2 2 AB'=AB=2, ,B'O'=5 BB'=2B'O=2√3 综上 BB=2或成V6+5t6-V225 或 或 变式43(2026河南中考真题)在菱形ABCD中，∠BAD=120°，AB=4,将边AB绕点A逆时针旋转至 AE,记旋转角为C.作射线DE,在射线DE上取一点H,使BH=BE,连接CH. 42/81 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 图1 图2 (1)【观察猜想】 当a=30°时，如图1，∠BEH的度数为. CH的长为 (2)【探究证明】 当0°<α<120°时，(1)中的两个结论是否仍然成立？若成立，请仅就图2的情形进行证明；若不成立， 请说明理由、 (3)【拓展延伸】 当0°<a<120 ，若aDCH 的面积为 v2 请直接写出此时旋转角的度数。 【答案】(1)60°；4 (2)两个结论仍然成立.证明如下： ~四边形ABCD是菱形，∠BAD=120°，AB=4, AB=AD=BC=4,AD∥BC, ∠ABC=180°-∠BAD=60°， AB=AE. .AD=AE=AB. '∠BAE=a,则∠EAD=∠BAD-∠BAE=120°-a, ∠AEB=080-∠B4E)=0-号.∠ABD-080-∠EMD)-580-20-a]=30+号. B5H=180-A8-4D=1s0-(0-分30+9}=60. BE BH, 为等边三角形， 43/81 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠EBH=60°， ∴.∠ABC=∠EBH,则∠ABC-∠CBE=∠EBH-∠CBE, ∠ABE=∠CBH, BE=BH,AB=CB, ∴.△ABE≌ACBH(SAS) .AE=CH, .CH=4 (3)15°或105°. 【分析】(I)根据菱形的性质得到AB=BC=CD=AD=4,AD川BC,由旋转的性质，三角形内角和定理 得到∠AEB=75°，△ADE是等腰直角三角形，根据平角得到∠BEH=60°，结合题意得到△BEH是等边三 角形，再证 △MBE≌ACBH(SMS)得到CH=AE=4。 (②根据菱形的性质，能转的性质得到∠4BE=90一受，∠AD=30+分，根据平角得到∠BH=60 结合避意得到ABEH是等边三角形，再证明△MBE≌aCBH(SMS) 得到CH=AE=4. (3)结合(1)，(2)的解析分类讨论：当点H在CD左边时，过点H作HG⊥CD延长线于点G,由面 HG=2V2 积公式得到 根据解直角三角形的计算得到∠1CG=45° 由平角的定义即可求解：当点H在 CD右边时，同理得到∠HCG=45°，由a=∠BCG+∠HCG即可求解. 【详解】(1)解：：四边形ABCD是菱形，∠BAD=120°，AB=4, .AB=BC=CD=AD=4,ADIl BC, ∠ABC=180°-∠BAD=60° ,将边AB绕点A逆时针旋转至AE,旋转角a=30°， .AB=AE=AD,∠BAE=30°， ÷∠AB6=∠AB=2080-∠B4)=×80-30)=75°， 44/81 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠CBE=∠ABE-∠ABC=75°-60°=15°， .∠CBE+∠AEB=15°+75°=90°，即AE⊥BC, 设AE,BC交于点M, D M H .ADl/BC. .∠DAE=∠CME=90°， ∴.△ADE是等腰直角三角形， :.∠ADE=∠AED=45°， ∴.∠BEH=180°-∠AEB-∠AED=180°-75°-45°=60° BE =BH, .∠BEH=∠BHE=60°，则△BEH是等边三角形， :∠ABE=759,LCBH=∠CBE+∠EBH=15°+60°=75°， .∠ABE=∠CBH, :AB=CB,∠ABE=∠CBH,BE=BH, △ABE≌ACBH(SAS) ..CH=AE=4: (2)略 (3)解：由上述证明得到∠BCD=∠BAD=120°，AB=BC=CD=AD=AE=CH=4,△ABE≌ACBH ∴.∠BAE=∠BCH=a,∠DCH=∠BCD+∠BCH=l20°+a, 第一种情况，当点H在CD左边时，如图所示，过点H作HG⊥CD延长线于点G, 45/81 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B G CG4 ÷HG-2a-85-22. CD 4 在RICHG中，sim∠HcG=HC-22-2 CH4-21 ∠HCG=45°， ,∠DCH+∠HCG=180°， .120°+a+45°=180°， 解得：a=15°： 第二种情况，当点H在CD右边时，如图所示，过点H作HG⊥CD延长线于点G, D B G H HG=22 同理可得， sin∠HcG= HG2 CH 4 2 :.∠HCG=45°， ,∠BCG=180°-∠BCD=180°-120°=60°， 46/81 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠BAE=a=∠BCH=∠BCG+∠HCG=60°+45°=105° 题型五、正方形绕点旋转综合问题 典例5(26-27八年级下·全国·课后作业)如图，有两个边长均为a的正方形ABCD与正方形EFGH,且 正方形EFGH的顶点E为正方形ABCD两条对角线的交点. D E A G ()试判断AF与BH的大小关系.当正方形EFGH绕点E旋转变化时，这种关系是否保持不变？ (2)如果正方形EFGH的边长为 (b>a) (1)中的结论是否仍然成立？请作出判断并给出证明. 【答案】()AF=BH,保持不变 (2)解：(1)中的结论仍然成立，证明如下： :四边形ABCD与四边形EFGH都是正方形， ∴.EF=EH,EA=EB,∠FEH=∠AEB=90°， ∴.∠FEA+∠AEH=∠AEH+∠HEB. .∠FEA=∠HEB, 在△FEA和△HEB中， EF=EH ∠FEA=∠HEB EA=EB ∴.△FEA≌△HEB(SAS) .AF=BH, ,当正方形EFGH绕点E旋转变化时， 47/81 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴虽然∠FEA、∠HEB的大小发生了变化，但始终∠FEA=∠HEB, 各正方形的边长，对角线始终没有变， △FEA≌△HEB(SAS) 仍然成立， ∴，AF=BH保持不变. 【分析】（④)根据正方形的性质可得<PE1=∠HB,然后利用“边角边”正明△E2,B(SAS),根 据全等三角形对应边相等即可得证，利用旋转的性质即可得出它们保持不变： (②根据正方形的性质可得∠FEA=∠EB,然后利用“边角边”证明△FE≌aEB(SAS)】 根据全等三 角形对应边相等即可得证，利用旋转的性质即可得出它们保持不变. 【详解】(I)解：AF=BH,保持不变 :四边形ABCD与四边形EFGH都是正方形， ∴.EF=EH,EA=EB,∠FEH=∠AEB=90°， .∴·∠FEA+∠AEH=∠AEH+∠HEB, ∴.∠FEA=∠HEB., 在△FEA和△HEB中， EF EH, ∠FEA=∠HEB, EA=EB, '△FEA≌△HEB(SAS) .AF BH; :当正方形EFGH绕点E旋转变化时， ∴虽然∠FEA、∠HEB的大小发生了变化，但始终∠FEA=∠HEB, 各正方形的边长，对角线始终没有变， △FEA≌△HEB(SAS) 仍然成立， .AF=BH保持不变 (2)略. 48/81 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型模版 1特征：正方形绕某点旋转，求旋转后顶点坐标、重叠面积或线段长，常结合对称与全等。 2方法：利用旋转前后对应边角相等，结合正方形四边相等、对角线垂直平分，构造全等或直角三角形列 方程求解。 变式5-1(25-26七年级下广东佛山期末)如图，边长为3的正方形ABCD绕点A逆时针旋转得到正方形 AEFG. 旋转角为 (0°<a<90）,边AG与对角线BD交于点N,在边ME上截取线段M,使 AM=AN M B G D (1)当a=45°时，∠MBN= (2)在旋转过程中，∠MBN的大小是否发生变化？若不变，请求出∠MBN的度数；若有变化，请用含a的 式子表示∠MBN: (3)令AM=AW=m,请用含有m的式子表示△MBN的面积. 【答案】(1)90° (2)不变，90° 、9-m2 32 【分析】(1)利用旋转和矩形的性质证明四边形AMBN是平行四边形，再由∠MAW=90°得四边形 AMBN是矩形，则∠MBN=90°： (2)证明 MND2MMB(SAS),得到∠ABM=∠ADN=45°，从而 ∠MBN=∠ABM+∠ABN=45°+45°=90° AND≌AAMB(SAS) (3)由 可知它们面积相等，则四边形AMB 的面积可转化为△ABD的面积，再减去 △AMN的面积即可得到△MBN的面积。 49/81 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【详解】(1)解：由正方形性质得∠DAB=∠ABC=90°，∠ADN=∠ABN=45°。 由旋转性质得∠NAM=∠DAB=90°， .a=∠BAM=45° ∴.∠BAN=90°-∠BAM=45°， ∴.∠ANB=180°-∠BAN-∠ABN=90°. :△ABN是等腰直角三角形，AN=BN, 又：AM=AN, .AM BN, ∠NAM+∠ANB=180°， .AM‖BN 四边形AMBN是平行四边形， :∠AWB=90° .四边形AMBN是矩形， ∴∠MBN=90° (2)解：由正方形性质得AB=AD, ∴.∠DAB-∠NAB=∠DAN=90°-∠NAB=∠NAM-∠NAB=∠BAM, 在△AWD和△AMB中， AN=AM ∠DAN=∠BAM 由 AD=AB ∴.△AND≌AAMB(SAS) ∴.∠ADN=∠ABM=45°， ∴.∠MBN=∠ABM+∠ABN=90°. (3)解：由(2)知△AND2△ABM, .SI边形AMN=S△AMB+S△MBN=S△ADN+S△MBN=S△MBD 0m=)×3x3=9 1 2 2 50/81 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 m2 2 ×m×m= 2 SAMRN=S四边形HMBN-SAN= 9m29-m2 222· 变式5-2(25-26八年级下河北承德期末)已知正方形ABCD和正方形CEFG. 图1 图2 图3 (1)如图1，当正方形CEFG在正方形ABCD的外部时，连接BG,DE.求证：△BCG≌△DCE: (②)如图2，将(1)中正方形CEFG绕点C旋转，使点G落在DE上. 0B=0,你=点，求袋段G的K ②如图3，连接AC,若O是AC的中点，连接OG.判断线段OG与AB的数量关系并说明理由， 【答案】()证明：，正方形ABCD和正方形CEFG, ∴∠BCD=∠ECG=90°，BC=DC,CG=CE, ∴.∠BCD+∠DCG=∠ECG+∠DCG,即LBCG=LDCE ∴.△BCG≌aDCE(SAS) (2)① BG=4② G、 -AB ,理由如下： 如图，连接BD, :正方形ABCD和正方形CEFG 51/81 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠CGE=∠CEG=∠ABD=∠ADB=45°，AB=AD, ..BD=AB2+AD2=24B :O是AC的中点， .O是BD的中点， 由①可知△BCG≌△DCE, ∴.∠CGB=∠CEG=45°. ∴.∠BGE=∠CGB+∠CGE=90°」 ∴.∠BGD=180°-∠BGE=90°， :.OG=1BD 2 BD=BC+DC-BC+BC-BC-AB 2 ∴.0G= AB 【分析】(I)利用正方形的性质以及SAS即可证明结论： (2)①如图，作CP⊥DE于点P,利用正方形的性质以及勾股定理可得EG=2、PC=PE=PG=1、 PD=3,即DE=4;最后结合△BCG≌△DCE以及全等三角形的性质即可解答： ②如图，连接BD,利用正方形的性质以及勾股定理可得BD=V2AB,由①可知△BCG2△DCE以及直角 1 三角形的性质可得OG=2BD,利用正方形的性质、勾股定理可得BD=2AB”进而证明结论. 【详解】(1)略 (2)解：①如图，作CP⊥DE于点P, ,正方形ABCD和正方形CEFG, 52/81 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 CD=AB=10 CE=CG=EF=2 ∴.EG=VCE2+CG=V2CE=2 :CP⊥DECE=CG=V2 PC-PE-PG-EG1 ZCPD- PD=CD-PC-(o)-P-3. ∴.DE=PD+PE=4, 由(1)可知△BCG≌△DCE, ∴.BG=DE=4: 0G -AB ,理由略. 变式5-3(25-26九年级上·陕西安康期中)综合与实践：在数学兴趣小组活动中，小明进行数学探究活动， BCD与边长为V6的正方形4BFG按如图1所示的位置放置，D与ME在同一条 6 将边长为的正方形 直线上，AB与AG在同一条直线上.连接DG,BE,易得DG=BE且DG⊥BE(不需要说明理由)· G 图1 图2 图3 图4 (①四如图2，小明将正方形1BCD绕点4逆时针旋转，旋转角为a5<a<165) ①连接DG,BE,判断DG与BE之间的数量关系和位置关系，并说明理由： ②在旋转过程中，如图3，连接BG,GE,ED,DB,求四边形BGED面积的最大值. (②)如图4，分别取BG,GE,ED,DB的中点M,N,P,,连接MN,NP,PO,M,则四边形 53/81 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 MNPO MNPO 的形状为一，四边形 面积的最大值是 【答案】(IODG=BE,DG⊥BE.理由如下：设BE分别交AG,DG于点H,I, 图2 ,四边形ABCD与四边形AEFG均为正方形， ∴AB=AD,AG=AE,∠DAB=∠EAG=90° .∠DAB+∠BAG=∠EAG+∠BAG,即∠DAG=∠BAE, ∴.△DAG≌△BAE(SAS) ∴.DG=BE,∠AEB=∠AGD .∠AEB+∠AHE=90°，∠AHE=∠IHG ∴.∠IHG+∠AGD=90° ∴.∠GIH=90°， DG⊥BE. +3v2 9 9+22 (2)正方形：42 【分析】(1)①由“SAS”可证△BAE≌△DAG,可得∠AEB=∠AGD,BE=DG,可证BE⊥DG: ②由“AAS”可证△ABH≌aADN,可得DN=BH,由面积和差关系可求解； (2)根据正方形的判定可判断四边形MNPO是正方形，其面积最大为AB⊥AG时，根据三角形的中位线 定理可求出其边长，进一步求出其最大面积。 【详解】(I)①略；②如图3，过点B作BH⊥AG于H,过点D作DN⊥直线AE于N, 54/81 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 G 图3 ∴.∠AHB=∠AND=90°=∠BAD=∠GAN .∠DAN=∠BAG 又：AB=AD, .△ABH≌△ADN(AAS), :DN BH, am=8e+5m+Sm+8m号x6x6+60v+分x5x5+x6BH=}+6Bn。 ∴.当BH有最大值时，四边形BGED面积有最大值， 3 即当4BLAG时，B阴有最大值为 9 :四边形BGED面积的最大值为2+35， (2)解：如图4，连接BE,DG, G 点，， 分别是，， 的中点， 图4 .·MNPQ BG GE ED DB NN NCD.NP-GD-MQCDMO-GD 2 由(1)知，DG=BE, :MN NP=PO=OM, ∴四边形MNPO为菱形， 由(I)知DG⊥BE, .MN∥BE,Mg∥DG 55/81 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .MN⊥Mg,即∠QMN=90° ∴菱形MNP吧为正方形： 如图5，当G,A,D三点在同一条直线上时，B,A,E三点也在同一条直线上， 此时正方形MNPO的面积最大， G D D=3+6 1 图5 ∴.Mg= SE方形me=M02-9+3V2 42· ◆ 同压轴挑战一文克离难压轴，炎政思缘上保 一、单选题 1.(26-27九年级上·云南期中)如图，把△ABC绕点C顺时针旋转35°，得到△ABC,A'B交AC于点 D,若∠A'CB=105°，则∠ACB度数为() A B4 A.45° B.30° C.35° D.70 【答案】C 【分析】由旋转性质，数形结合表示出∠ACB求解即可. 【详解】解：~把△ABC绕点C顺时针旋转35°，得到△ABC, 由旋转的定义得∠BCB和∠ACA均为旋转角， :.∠BCB=∠ACA=35° ∠ACB=105°， 56/81 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.∠ACB=∠ACB-∠BCB'-∠ACA'=35° 2.(26-27九年级上广东深圳开学考试)把一副三角板如图①放置，其中 ∠ACB=∠DEC=90°，∠A=45°，∠D=30°，斜边AB=6,CD=8,把三角板DCE绕点C顺时针旋转15°得到 △D,CE (如图②)，此时1B与CD AD 交于点O,则线段的长度为() A ① ② A.2万 B.5 D.V38 【答案】C 【分析】本题综合考查图形旋转的性质，等腰三角形的性质与判定以及勾股定理，先分析两块三角板的角 度关系，根据等腰直角三角形的特点，利用勾股定理求出直角边AC的长，再根据旋转的性质，计算三角 板DCE ∠ACD CD 绕点旋转后 的大小，由此判定MB与CD互相垂直，△1OC 等腰直角三角形，接着利用 AO,CO OD △AOD AD 勾股定理求出 的长度，从而求得的长，最后在 中利用勾股定理求出的长。 【详解】解：△ACB为等腰直角三角形， ∴.∠ACB=90°，∠A=45°，AC=BC, 由勾股定理，AB2=AC2+BC2=62, ∴.2AC2=36 .AC=BC=32 ∠DEC=90°.∠D=30°， ∴.∠DCE=60° 57/81 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.∠ACD=∠ACB-∠DCE=90°-60°=30° ∠BCE=15°CD=CD=8 由旋转性质可知， ∴.∠ACD=∠ACD+∠BCE=30°+15°=45 ∠CA0=45°， ∴.∠AOC=180°-∠CA0-∠ACD=180°-45°-45°=90° △AOC为等腰直角三角形， ∴.A0=CO 由勾股定理， AC2=A02+C02=(32, .2A02=18 ∴.A0=C0=3 ∴OD=CD-C0=8-3=5 ∴在Rta10D中，AD=VA02+0D=V32+-34 3.(26-27九年级上浙江温州开学考试)如图1，矩形纸片的宽A0与菱形纸片的边C0贴合.已知 ∠Q=60° 现将矩形绕点0顺时针旋转，旋转过程中（某一时刻如图2所示），矩形的边MB与菱形的边 交于点P,当AB⊥CQ时停止运动.设AP的长度为x(cm),运动过程中矩形和菱形的重合部分面积为 y(cm2) 若y关于x的函数图象如图3所示，则图3中m的值为() 58/81 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 m 5 2 1 图1 图2 图3 A.3⑤ 2 为品0 c.45 【答案】A 【分析】首先求出10=5 利用勾股定理得到C0=A0+4C=2,当P=x=V5时，AB1C0,证 CEAP CP=AE=3-1 明四边形 是矩形，得到 ,进而求解即可. 【详解】解：，矩形的边AB与菱形的边交于点P,设AP的长度为Cm, ∴.∠A=90°， 由图象可得，当x=1时，矩形和菱形的重合部分面积'=2，此时点P和点C重合，如图。 B (P)C .'.y=SMAco 24C-40-1 ×140= 2 A0=V3 :C0=A02+4C=3+P=2 59/81 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 当P=x=V5 AB⊥CQ 时 ∴AP=AO,如图，过点C作CE⊥AO, B :∠0=60°，且四边形C0D0是菱形， .∠C0E=∠Q=60°， ∴.∠0CE=90°-60°=30°， 0E=0C=1 2 :1E=4A0-0E=5-1 :AB⊥C9,CE⊥AO,∠BA0=90°， ∴四边形CEAP是矩形， ,CP=AE=5-1 六矩形和菱形的重合部分面积)=m-CP+40)4P-(5-1+同)xv5-=3-5 二、填空题 4.(26-27九年级上福建福州开学考试)如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=5,BC=12,点M是 边AC的中点，将△ABC绕着点A逆时针旋转到△ADE的位置，点D恰好在边AC上，点M'是点M的对应 点，则M、M'两点间的距离为 60/81 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 E M M 213 【答案】 【分析】连接EC,根据旋转可知△ABC≌△ADE,可求DE,DC的长，在Rt△CDE中，由勾股定理可 求EC长，再根据中位线定理可求MM',即M、M'两点间的距离. 【详解】解：连接EC, E M M D C 在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=5,BC=12, .AC=VAB2+BC2=V5+122=13 根据旋转可得△ABC≌△ADE, .AD=AB=5,DE=BC=12,∠ADE=∠B=90°， .DC=AC-AD=13-5=8,∠EDC=90°， 在Rt△CDE中，∠EDC=90°，DC=8,DE=12, .EC=VCD2+DE2=V82+122=4√13 ~点M是边AC的中点， ∴点M'是边AE的中点， ÷MM'=EC=2WI3 2 即M、M'两点间的距离为 2V13 61/81 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 5.(2026九年级上·全国专题练习)如图，菱形ABCD的对角线AC,BD交于点O,菱形A'B'CD'的顶 点A与点O重合，A'D'=2AD=4,∠DAB=∠D'AB=60°，连接AD',取其中点M,连接B'M,将菱形 A'B'CD绕点A旋转一周，则B'M的最小值为— B D 【答案】 535 22 【分析】过点B'作B'N⊥AD'于点N,根据菱形的性质可证△A'B'D'是等边三角形，根据等腰三角形的三 定理可正心为奶的中位线根据三角形的中位线定理可知NP4 2 利用勾股定理 B'N=23 可以求出 根据三角形三边关系可得当点B、M、V三点共线时，BM取最小值，录小值为 BM=B'N-MN=3 2 【详解】解：如下图所示，过点B作B'N⊥A'D'于点N, B 四边形 是菱形， D' A'BCD ..A'B'=B'C=CD'=A'D' 又：∠D'AB=60° ∴△AB'D'是等边三角形， :.A'B'=B'D', ∴点N是A'D'的中点， 又点M是AD'的中点， 62/81 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.MN为△AD'O的中位线， :.MN-10A 2 D'=2AD=4, .AD=AB=BC=CD=2, ∠DAB=60°， .△ABD是等边三角形， .AB=BD=AD=2. ~四边形ABCD是菱形， :B0=D0=2 BD=1 .AO⊥BD, A0=VAB2-B0=V2-1P=5 ∴w=)40= 2 :△ABD'是等边三角形， ∴.AB=B'D'=D'=4,A'N=D'N=2, B'N=√BD2-DW2=V42-2=23 :B'M≥B'N-MN, :当点g~M°N三点共线时，BM取最小值，最小值为BM=BN-MN=25-5-35 22 6.(2627九年级上湖南衡阳开学考试)如图，正方形ABCD,对角线相交于点O,以O为顶点作与正 方形ABCD同样大小的正方形OMPN,∠DON=a(O°<a<90°)，ON与CD交于点F,OM与BC交于 点E,连接EF.给出下面四个结论：①FN=EM;②∠EFC=a;③四边形OECF的面积等于正方形 ABCD面积的四分之一；④当a≠45°时，OC<EF.上述结论中，所有正确结论的序号是 63/81 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D O B E M 【答案】①②③④ 【详解】：①：四边形ABCD是正方形 ∴.OD=OC.OD⊥OC.∠ODF=∠0CE=∠0CD=45°， ∴.∠DOF+∠FOC=90°」 ,四边形OMPN是正方形， ∴.ON=OM,∠NOM=90°， ∴.∠COE+∠FOC=90°， ∴.∠DOF=∠COE 在△DOF和△COE中， [∠ODF=∠OCE OD=OC ∠DOF=∠COE' ∴.△DOF2aCOE(ASA) ∴.OF=OE, :.ON-OF =OM-OE, ∴.FN=EM,故结论①正确： ②设OC与EF相交于点T,如图所示： 64/81 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D O B E M .OF==OE ∠NOM=90° ∴△OEF是等腰直角三角形， .∠0EF=45°， .∠DOF=∠COE=&. .∴在aOET中，∠COE+∠OEF+∠OTE=180°， a+45°+∠0TE=180°， ∠0TE=135°-a, .∠CTF=∠0TE=135°-a, 在△CFT中，∠EFC+∠OCD+∠CTF=180, :∠EFC+45°+135°-a=180°， ·LEFC=a,故结论②正确： ③：aDOF2aCOE, S.DOF =S.COE S四边形OsCr=S.COE+SaoC=SDOF+Saor=Sa0cD 1 S△0CD=4SE方形D, 4 ÷8边形00一4SE为彩Cn, 故结论③正确： ④过点O作OH⊥BC于点H,如图所示： 65/81 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D 是等腰直角三角形， HE C M ,△OEF “由勾股定理得： EF=VOE2+OF2=√20E ∠DOF=∠COE=a,a≠45°，OF=OE. :.OE >OH, ∴EF>V2OH ∠OCE=45°，OH⊥BC, :△OCH是等腰直角三角形， :.OH=CH, 在Rt△OCH中，由勾股定理得： OC=OH2+CH2=20H .EF>OC,即OC<EF, 故结论④正确， 综上所述：正确结论的序号是①②③④， 三、解答题 7.(25-26八年级下河北保定期末)如图，AB=4,过点A作CA1AB(点C在直线AB上方)，将线 段CB绕点C顺时针旋转9O°到线段CD,连接DB,DA,过D作DE⊥CA延长线于点E,连接EB, D E (I)求证：△ABC≌△ECD: ②当C=3时，DB=,Sm (3)直接写出线段AC,AB,AD的数量关系： 66/81 面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (4)四边形ADEB能否为平行四边形？若能，直接写出AC长度；若不能，请说明理由； (5)直接写出AD+DB的最小值 【答案】(I)证明：由旋转可知CB=CD,∠BCD=90, DE⊥CA ∴.∠CED=90° ∠BCA+∠DCE=90°，∠CDE+∠DCE=90° ∴.∠BCA=∠CDE 在△ABC和△ECD中， [∠CAB=∠CED=90° ∠BCA=∠CDE CB=CD △ABC≌AECD(AAS) ②522 (34D=AC+(4B-AC) (④)不能： 理由：若四边形ADEB为平行四边形， 则AB∥DE,AB=DE 由(1)可知△ABC≌△ECD, ∴.AC=DE .'AB=AC ∴△ABC是等腰直角三角形， .∠BCA=45°， :∠BCD=90° ∴.△CDB是等腰直角三角形， .∠DCA=45 .∠CAD=∠CAB=90°， 67/81 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 则D,A,B三点共线，与原命题矛盾： .四边形ADEB不能为平行四边形： ⑨45 【分析】(1)根据同角的余角关系即可∠BCA=∠CDE,进而即可求证三角形全等： (2)根据勾股定理可知DB的长度，再根据面积公式即可求解： (3)根据勾股定理即可求解； (4)假设边形ADEB为平行四边形，即可知△ABC,△CDB是等腰直角三角形，根据等腰三角形三线合一 可知D,A,B三点共线： (5)延长BA,使得AM=AB,连接CM,DM,延长MD,CE交于点N,过点N作HN⊥CN,过点M作 HM⊥AM,连接HD,证明△ABC≌△AMC,通过等腰直角三角形的角度转化可知∠ANM=45°，进而可 知点D的运动轨迹，进而得到四边形MHNA为正方形，当H,D,B三点共线时，取最小值，根据勾股定理 即可求解 【详解】(1)略 (2)解：，CA=3,AB=4, .BC=AB2+C=5 ∴.CD=BC=5 DB=CD2+BC2=52 由(I)可知△ABC≌△ECD, ∴.CE=AB=4 .AE=CE-CA=1 28m4x1=2 (3)由(1)可知△ABC≌△ECD, .AC=DE,AE=CE-AC=AB-AC 在Rt△ADE中，AD=DE2+AE2, .AD-AC+(AB-AC) 68/81 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (4)略 (5)解：延长BA,使得AM=AB,连接CM,DM,延长MD,CE交于点N,过点N作HN⊥CN,过点M 作HM⊥AM,连接HD, M--- D 在△ABC和△AMC中， AB=AM ∠CAB=∠CAM=90° AC=AC :△1BC≌*AMC(SAS) CB=CM,∠MCA=∠ACB 设∠ABC=∠CMA=a, .∠ACB=90°-a, .∠BCD=90° ∠DCE=90°-(90°-a)=a ∴.∠MCD=∠MCA-∠DCA=90°-2a ∴.CD=CM :∠CMD=∠CDM=180°-∠MCD-a+45 2 ∴.∠AMD=∠CMD-∠CMB=45o ∴.点D在直线MN上运动，且MN与AB的夹角为45°， .'∠MAN=90° ∴.∠AWM=45o 69/81 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 “.△AMN是等腰直角三角形， ∴.AM=AW .:∠AMH=∠MAN=∠ANH=90° ∴.四边形MHNA正方形， ∴.AN=AM=MH=HN 在△HND和△AND中， AN =HN ∠AND=∠HND=45° DN=DN △HND≌△AND(SAS) .AD=DH ∴.AD+DB=DH+DB 当H,D,B三点共线时，取最小值， M. B D H:3 N ∴.AD+DB=DH+DB=HB MB=MA+AB=8,MH=4 :HB-VMIP+MB =45 8. (25-26七年级下·吉林长春·期末)【教材呈现】以下是华师大版七年级下册数学教材第143页的部分 内容： 如图1，△ACD、△AEB都是等腰直角三角形，∠CAD=∠EAB=90°，作出△ACE以点A为旋转中心，逆 时针旋转90°后的三角形. 70/81 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 40 图1 图2 图3 【操作发现】 (1)在图1中画出△ACE以点A为旋转中心，逆时针旋转90°后的三角形，并写出旋转前后CE与其对应线 段的数量关系和位置关系： (用符号语言表达). 【探究理由】 (②)如图2，将△ABC绕点A顺时针旋转90°得到△ADE,设DE、AD分别与BC交于点F、G,求证： BC⊥DE 【问题解决】 (3)如图3，将△ABC绕点A逆时针旋转4O°得到△ADE,点D恰好落在BC上，DE与CA交于点F.若 △ABD与△AFD关于直线AD对称，且BC=9,BD=3,则 ①∠DAE= ②线段EF的长是 【答案】(I)如图，△ABD即为所求，CE=BD,CE⊥BD: (2)证明：：△ABC绕点A顺时针旋转90°得到△ADE, ∴.△ABC兰△AED ∴∠C=∠D 在△ACG和△FDG中，∠AGC=∠DGF, ∴.∠GFD=∠CAD=90° 71/81 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴BC⊥DE (3)80,6. 【分析】(1)根据要求画出图形，然后根据旋转的性质得出△ADB兰△ACE,利用全等三角形的性质解 决问题即可： (2)由旋转的性质得出△ABC兰△AED,利用全等三角形的性质解决问题即可； (3)①利用轴对称的性质求出∠DAF,然后根据旋转的性质得出答案： ②利用旋转的性质和轴对称的性质求出DE和DF即可解决问题。 【详解】(I)解：如图，△ABD即为所求， 设CE,AC分别与BD交于点F,G 由旋转性质可知△ADB兰△ACE】 ∴.CE=BD,∠EAB=∠CAD=90°，∠ACE=∠ADB 在△ADG和△FCG中，∠AGD=∠FGC, ∴.∠CFG=∠CAD=90° ∴.CE⊥BD (2)略. (3)解：△ABD与△AFD关于直线AD对称， ∴.∠DAF=∠BAD=40°，DF=BD=3 ∴.∠BAC=80° 根据旋转可知△ABC三△ADE, ∴.∠DAE=∠BAC=80°，DE=BC=9 ∴.EF=DE-DF=9-3=6 72/81 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 即∠DAE=80°，EF=6 9.(25-26七年级下山西临汾期末)阅读与思考 请阅读下列材料，并完成相应的问题， 新定义：把长方形ABCD绕着一个顶点旋转，使一边落在对角线上，把这样的旋转称为“对角旋转”，这 个旋转角称为“对角旋转角”，如图1，在长方形ABCD中，AB<AD,AC是对角线. D 图1 图2 备用图 (I)如图2，把长方形ABCD绕点A逆时针做“对角旋转”，使边AB落在对角线AC上，此时点B的对应点 为点B,点C的对应点为点C,点D的对应点为点D,连接4G,如果∠CM C D AC 度数为2，则“对角旋转 角”的度数= 一（用含有的代数式表示）. ②在(1)的条件下，如果∠C4D=40 ,①∠DAC= ； ②若再把长方形ABCD绕点A顺时针做 “对角旋转”，使边D落在对角线AC上，点B的对应点为点，点C的对应点为点C,点D的对应点 为点D,连接4G,则 ∠C,AD= (3)在长方形ABCD中，若BC-AB=7,在第(1)(2)的条件下，经两次“对角旋转”后，点C的对应 点分别为点S和点S,连接GC,且=245，心，诗求出北时长方形4BCD 的面积. 【答案】(1)90°-a (2)①25°：②50°： 3)60 【分析】(1)根据对角旋转角的定义解答即可： (2)根据旋转的性质和角的关系解答即可： 73/81 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (3)根据三角形的面积公式和关系得出BC=2.4AB,结合BC-AB=7,进而解答即可. 【详解】(1)解：由题意可知：“对角旋转角”为∠BAC,∠BAC+∠CAD=90° ∴.∠BAC=90°-a, ∴对角旋转角为：90°-a, (2)解：如图， D D B(B D2 图2 :∠GAD=400 ∠DAC=∠DAC 由旋转可知， :∠DAC+∠CAD+∠DAC=900 :ZD4C+∠D4C=90°-40°=50 .2∠DAC=50° .①∠DAC=25 由旋转可知， ∠DAC=∠D2AC2 :D,AC,+∠D4C=50 :∠GD=∠CAD,+∠CAD gC4D=50° (3)解：如图 74/81 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B B C S.CG =2.4S.AcC 4C.BG=2.4x)4C-D,C, 1 BC=BC,D,C2=AB 由旋转可得： .·.BC=2.4AB :BC-AB=7, .2.4AB-AB=7, .AB=5,BC=12 ∴.S长方形ABD=AB×BC=60 10.(25-26八年级下·宁夏银川期末)【实践探究】数学实践课上，活动小组的同学将两个正方形纸片按 ABCD ABCO 照图1所示的方式放置，如图1，正方形 的对角线相交于点O,点O又是正方形 的一个顶点， OEBF ABCO 且这两个正方形的边长相等，四边形 为这两个正方形的重叠部分，正方形 可绕点O旋转。 E B BL 图1 图2 图3 备用图 (1)【问题发现】 ①线段AE,BF之间的数量关系是 75/81 面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ②在①的基础上，连接EF,则线段AE,CF,EF之间的数量关系是 (2)【类比迁移】 如图2，矩形MBCD ABCO 中心O是矩形 的一个顶点，40与边4相交于点互，C0与边C相交于点 长C0交 F,连接EF,延长9 于点P,连接EP,AC AB,C0 ,矩形 可绕点0旋转.判断线段E,CF】 EF之间的数量关系并证明. (3)【拓展应用】 如图3，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=3,CB=4,直角∠EDF的顶点D在边AC的中点处，它的两条 边DE和DF分别与直线AB,BC相交于点E,F,∠EDF可绕点D旋转.当AE=2时，请求出线段CF的 长 【答案】(1)①AE=BF②CF2+AE2=EF2 (2)证明：线段AE,CF,EF之间的数量关系是AE2+CF2=EF2,理由如下： ·矩形ABCD ABCO ,矩形 :OA=OC,AD‖BC,∠EOF=∠EAD=90° ∴.∠APO=∠CFO,∠PA0=∠FCO,∠EOP=90°， 「∠APO=∠CFO ∠PAO=∠FCO A0=CO △OCF2AOAP(ASA) ..AP=CF:OP=OF, B B ∴OE垂直平分PF: 76/81 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .'PE=EF: ,矩形ABCD, .∠EAP=90° ∴.AP2+AE2=EP2, ..CF2+AE2=EF2 1337 (3)8或8 △OBF≌AOAE(ASA) 【分析】(1)①根据正方形的性质，证明 即可 △OBF≌AOAE(ASA) ②根据正方形的性质，证明 ，再利用勾股定理，等量代换解答即可。 (2)首先 a0 CFO1r(ASA),得到4P=CF,OP=0F,证明OE垂直平分PF,得到PE=BF:再利 用勾股定理证明即可. (3)当点E在线段AB上时，延长ED到点G:使DG=ED,连接CG,FG,设CF=x,则 BF=BC-(F=4-x,根据勾服定理，得CF2+AE=BE2+BF,+2=+(4-,求解即可；当点 E在线段AB的反向延长线上时，延长ED到点O:使DO=ED,连接C9,F吧，设CF=x,则 BF=CF-BC=x-4,根据勾股定理，得BE2+BF2=EF2,继而得到CF2+AE2=BE2+BF2, 2+2=5+(x-4,求解即可。 【详解】(I)①解：线段AE,BF之间的数量关系是AE=BF,理由如下： ABCD ABCO ,正方形 ,正方形 :.OA=OB=OC=OD,∠EOF=∠AOB=90° 77/81 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B B C ∠OAE=∠OBF=45° .∠AOE=90°-∠BOE=∠BOF, [∠AOE=∠BOF A0=BO ∠OAE=∠OBF' △OBF≌AOAE(ASA) ∴.AE=BF ②解：线段AE,CF,EF之间的数量关系是AE2+CF2=EF2,理由如下： 正方形MBCD,正方形 ABCO ·AB=BC=CD=DA,OA=OB=OC=OD,∠EOF=∠AOB=90°. ∠OAE=∠OBF=45°， ∴.∠AOE=90°-∠BOE=∠BOF, ∠AOE=∠BOF AO=BO ∠OAE=∠OBF· △OBF≌aOAE(ASA) ∴.AE=BF: ∴AB-AE=BC-BF: 、BE=CF: 正方形ABCD, ∴.∠ABC=90°， 、BF2+BE2=EF2, 78/81 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .CF2+AE2=EF2. (2)略 (③)解：当点E在线段AB上时， AE=2,AB=3, :BE=AB-AE=1, 延长ED到点G:使DG=ED,连接CG,FG, D是边AC的中点， ∴DC=DA, E F ED=DG ∠ADE=∠CDG AD=CD △ADE2ACDG(SAS) ∴.CG=AE,∠A=∠ACG, AB∥CG, ∴.∠B+∠BCG=180°， ∠B=90° ·.∠BCG=90°， ..CF2+CG2=FG2, CF2+AE2=FG2, .ED=DG,∠EDF=90°， ∴DF垂直平分EG: ..GF=EF: 79/81 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .CF2+AE2 EF2, 设CF=x,则BF=BC-CF=4-x, 根据勾股定理，得BE2+BF2=EF2, .'CF2+AE2=BE2+BF2, +2=P+4-x 解得3 8: 当点E在线段AB的反向延长线上时， AE=2,AB=3, .BE=AB+AE=5, 延长ED到点O:使D0=ED,连接CO,FO, ,D是边AC的中点， .DC=DA, ED=DO ∠ADE=∠CDQ AD=CD △ADE≌aCDQ(SAS) CQ=AE=2∠EAD=∠ACQ 80/81 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .ABlI Co. ∠ABC=∠BC9, ∠ABC=90° .∠BCQ=90° CF2+CO2=FO2 CF2+AE2=FO2 ED=DQ,∠EDF=90°， ∴.DF垂直平分EQ； ..OF=EF: ..CF2+AE2=EF2, 设CF=x,则BF=CF-BC=x-4, 根据勾股定理，得BE2+BF2=EF2, .'CF2+AE2=BE2+BF2, +2=5+(x-4 解得r37 8 1337 综上所述，CF的长为8或8： 81/81