专题10 二次函数中的新定义型问题的四类综合题型（压轴题专项训练）数学新教材人教版九年级上册

**基本信息** 以“定义转化-代数建模-数形结合”为主线，系统构建二次函数新定义问题的解题框架，通过四类题型的典例与变式训练，培养抽象能力与模型观念。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |解题通法|1|定义翻译→代数转化→设参求解→图象辅助|从新定义本质出发，建立“文字语言-符号语言-图形语言”转化链条| |题型归纳|4类（每类含典例+2变式）|点坐标问题：坐标关系代入；伴随问题：关联代数式表示；一次函数问题：方程联立；对称问题：对称变换法则|按“单点→函数关联→跨函数→图形变换”梯度递进，覆盖新定义问题核心考法| |压轴挑战|10道综合题|多定义融合+参数分类讨论|整合四类基础题型，强化复杂情境下的推理能力与运算能力|

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题10二次函数中的新定义型问题的四类综合题型 目 录 解题通法一明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳一精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、 二次函数中点坐标的新定义型问题 题型二 二次函数中伴随问题的新定义型问题 题型三、 二次函数与一次函数的新定义型问题 题型四、二次函数中对称问题的新定义型问题 压轴挑战一攻克高难压轴，突破思维上限 ◆◆ 解题通法一明晰核心解法，助力能力迁移 题型特征：现场定义与二次函数相关的新概念（如“关联点”“友好抛物线”“倍值点”)，要求解析 式、交点或参数范围。 -解题方法：逐句翻译定义，转化为代数条件（方程或不等式）；联立新定义与函数解析式，设参代入求 解：结合图象辅助理解范围。 -易错提醒：未理解定义即套用常规方法，忽略新定义中隐藏的约束（如“异侧”“非零点”)；参数讨 论时漏解或范围边界处理不当。 刁题型归纳一—精讲典型题法，奔尖解题报基 题型一、二次函数中点坐标的新定义型问题 典例1：(25-26九年级上河南驻马店期末)在学习抛物线的过程中，我们积累了一定的经验，请运用已 有经验，对抛物线的“阶梯点”进行研究. 定义：若抛物线上存在一点P,且点P的横、纵坐标之和为n,则称点P为此抛物线的“阶梯点”. 1/58 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 P(0,I 例如：点 在抛物线少=r+3x+1 上，且点P的横、纵坐标之和为1，则，点P就叫做此抛物线的 “阶梯1点”. 根据以上定义，解决下列问题： (Q)若点P是抛物线》=x+3x+1 的“阶梯6点”，求点P的坐标. x,y 设点P的坐标为 ,由定义可知y=+3x+1,且x+y=6,所以y=6-x 所以x+x2+3x+1=6 x=1x2=-5 解得 所以点P的坐标为 y=x2-3x-2 (2)若点P是抛物线 的“阶梯1点”，求点P的坐标. y=x2+x+c (3)若抛物线 上存在“阶梯3点”P,请直接写出c的取值范围. 【答案】5)（←51） 或 ②B-2)或2) (3)c≤4 【分析】本题主要考查了二次函数与一元二次方程的关系，理解题意是解决本题的关键. (1)根据新定义可得到关于x的方程，解出方程，即可： x,y) (2)设点P的坐标为 根据新定义可得到关于x的方程，解出方程，即可： (x,y) (3)设点P的坐标为 ,根据新定义可得到关于x的方程，利用根的判别式解答即可. 1,5)（-5,11) 【详解】(1)解：由题意得，点P的坐标为 可或 (1,5)（-5,11) 故答案为： 或 (x,y) (2)解：设点P的坐标为 2/58 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 =x2-3x-2 +y=1 由定义可知 且 y=1-x, ∴x+x2-3x-2=1, x=3x2=-1 解得 点P的坐标为 ,-2到或12) (3)解：设点P的坐标为 (x,y) y=x2+x+c +y=3 由定义可知 且 y=3-x, 3-x=x2+x+C x2+2x+c-3=0 由题意得，△=4-4×1×(c-3)≥0 .c≤4 题型模版 1.特征：给出点坐标的新运算（如“倍点”“对称点”），在抛物线上按规则求点或范围。 2方法：将新定义转化为坐标关系式，代入抛物线方程，转化为二次方程或不等式求解并验证。 变式1-1(2425九年级上湖南永州期末)【定义】在平面直角坐标系中，对“纵横值”给出如下定义： 点4(x八是函数图象上任意一点，纵坐标'与横坐标*的差“)-”称为点A的“纵横值”，函数图象上 所有点的“纵横值”中的最大值称为函数的“最优纵横值”。例如：已知点4(2,4)在西 ）在函数y=3x-2的图 象上，点A的“纵横值”可以表示为y-x=3x-2-x=2x-2,当1≤x≤5时，2x-2的最大值为 2×5-2=8 y=3x-21≤x≤5 ，因此，函数 )的“最优纵横值”为8. 【问题】根据定义，解决下列问题： 3/58 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 P(3,6) (1)①点 的“纵横值”为 2025 ②求出函数y=+x(5≤x≤9)的“最优纵横值”： 1 【应用】(2)已知二次函数y=一2+x+C的对称轴为直线x=2,且“最优纵横值”为3，求6，c的 值； (3)求二次函数'=+-21≤x≤1+1 )的“最优纵横值”是多少？（用的代数式表示） r-2,1≤-1 【答案】(1)①3；②81(2) (3)最优纵横值为 b=2 c= 2 2+21-1t>- 【分析】本题主要考查了新定义下的运算，二次函数的图象和性质 (1)根据题干中的“纵横值”的值定义和“最优纵横值”的定义计算即可； 1 (②)先求出二次函数y=一)r+2x+c,再根据“最优纵横值”的定义可知2+c=3,求出c的值即可： 21 1 (3)根据“最优纵横值”的定义可知y-x=X+x-2-x=x2-2,分类讨论：当≤一2时，当>-2时， 逐一求解即可 【详解】解：(1)①.6-3=3， (3,6) ∴点 的“纵横值”为3： 故答案为：3. ②·y= 2025 x2+x y-x=2025 x2+x-x=2025 2025 .当5≤x≤9时，x随x的增大而减小 ·当x=5时，y-x取得最大值81 2025 函数y= +x(5≤x≤9)的“最优纵横值”是81： 4/58 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (②)二次函数)=-2+x+C的对称轴为直线x=2 2 b =2 1 22》 ，解得 b=2 2x+2x+c 1 .y= ..y-x=- x+2x+c-x- “最优纵横值”为3， 1 2+c=3, 5 :.c=2 y=x2+x-2 (3) ∴y-x=x2+x-2-x=x2-2 ."t≤x≤t+1 2时，一2随x=时取最大值，即最大值为 2-2 “最优纵横值”是 1 当>2时，X-2随x=1+1时取最大值， 即最大值为+-2=2+21- ∴.“最优纵横值”是2+21-1 2-2,1s-1 2 综上所述，最优纵横值为 P+21-1,1>-1 2 变式1-2(2025辽宁阜新一模)在数学活动课上，小明兴趣小组对二次函数的图象进行了深入的探究，如 果将二次函数： y=ax2+bx+c(a≠0) 图象上的点 (x,八的横坐标不变，纵坐标变为A点的横、纵坐标之 5/58 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A(xx+y) 和，就会得到的一个新的点 他们把这个点A:定义为点A的“和点”.他们发现：二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0) 所有和点构成的图象也是一条抛物线，于是把这条抛物线定义为 y=ax2+bx+c(a≠0 的“和抛物线”.例如，二次函数y=x+x+ 的“和抛物线”就是 y=x2+x+1+x=x2+2x+1 ，请按照定义完成： 四点P2)的“和”点是 ②咖果抛物线"+伽+3≠0)经过点M- ,求该抛物线的“和抛物线”； ()已知抛物线y=+x+C图象上的 B(x》的“和点”是 (-1,1 ，若该抛物线的顶点坐标为，q) (m,n) 该抛物线的“和抛物线”的顶点坐标为 ①当0≤c≤5时，求n的取值范围. ②小明发现，当c取不同值时，所有的顶点，9 组成一条新的抛物线，设为'”，所有的顶点 m,n) 也组成 ym 一条新的抛物线，设为，请直接写出这两条新抛物线顶点之间的距离. 【答案】3) ②y=r2-6x+3 ③)n:1 【分析】(1)根据题目中给出的信息解答即可； (2)先将点M的坐标代入抛物线的解析式，求出b=一7，得出抛物线解析式，然后根据题意写出抛物线 的“和抛物线”即可： B(-l1 (3)先根据点 ,求出点B的坐标，把点B代入抛物线关系式得出b、C的关系式，然后把b、C的 6/58 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 关系式代入抛物线的关系式，得出'=r+(c-小x+ ,写出其“和抛物线”的关系式为：y=+cx+c, 并求出化为顶点式，得出n=c-C。- -4=一4c-2+1,将n看作c的函数，求出当0≤c≤5时，n的取值范围 即可；根据题意确定原函数的顶点坐标，得出相应的二次函数解析式，确定顶点坐标即可得出结果 【详解】山)解：根据题意可知，点（刀的“和”点是 A(x,x+y) 点P2 的“和”点的纵坐标为1+2=3，即，3) (1,3) 故答案为： M(1,-3) (2)将点 代入抛物线”=r++3a≠0得：1+b+3=-3. 解得：b=-7, y=x2-7x+3 即抛物线的解析式为 =x2-7x+3+x ∴抛物线的“和抛物线”为 即y=r-6r+3 (3)根据题意可知，点 B (-11)B(x,y) 是点 的“和”点， x=-1 [x=-1 .x+y=1,解得：y=2,即B(-l,2), 将点B(-12 代入抛物线y=r+r+C得：1-b+c=2,则b=c-1, y=x2+(c-1)x+c ∴抛物线为 三抛物线的“和抛物线”为：y=r+(c-)x+c+x c 即y=x2+cx+C x+ \+c-4 2 7/58 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 m,n ,其项点坐标为 ns、c 2 c2, n=c- 4 将n看作c的函数， n=c- .c=2时，n有最大值，且最大值为1， 当0≤c≤5时：c=5,n有最小值，且最小值为×5-2+1= 4 5 m的取值范围是一4≤n≤1： y=x2+(c-1)x+c 由得：原抛物线为 p=1-c 2 9=-c2+6c-1, 4 将p 2变形为c=1-2p代入9=-心+6c- 4 得出q=-p2-2p+1' P,9) ,所有的顶点 组成一条新的抛物线，设为， :,=-r-2x+1=-(x+1}+2 (-1,2) ∴.顶点坐标为： (m,n 同理：，所有的顶点 也组成一条新的抛物线，设为少， =-r-2x=-(x+1+1 (-1,1) ∴顶点坐标为： .距离为：2-1=1 8/58 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型二、二次函数中伴随问题的新定义型问题 典例2 (2026江西模拟预测)定义：已知二次函数y=+br+c,则称二次函数 y=a(x-+b(x-)+c是二次函数y=am+br+C的件随二次函数，t是件随值. 定义理解 y=x2+x+2 (1)下列二次函数中，是二次函数 的伴随二次函数的是() A.y=(x-y+x+3B.y=(x++x+1 c.y=(x-2}+x D.y=(x+22+x+2 深入探究 位已斑二成两黄”-父2如的两不头行位三流两数为=-6 ①伴随值为_； ②在同一平面直角坐标系中直接画出伴随二次函数的图象； ③当m≤r≤m+2 2 ，记二次函数与的图象为W,若W的最高点的纵坐标为12，求W的最低点的坐 标. 6 124567力 【答案】(1)C: 9/58 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)①2： ②画图如图所示： 3 (1,-4)(3,-4) ③或 【分析】本题主要考查了新定义下二次函数的图像与性质，理解新定义，准确计算是正确解答此题的关键 (1)根据伴随二次函数的定义逐一判断即可： (2)①将为=-6r+5 形即可求解：②根据画函数图像的步骤即可画出伴随二次函数的图像；③结合 取值范围及二次函数的性质分情况求解即可， 【详解】解：(1)对于二次函数 y=x2+x+2, 当伴随值为1时，其件随二次函数是y=(x-+(x-+2=(x-+x+1。 当件随值为-1时，其件随二次函数是y=(x++(x+)+2=(x++x+3， 当件随值为2时，其件随二次函数是y=(x-2少+(x-2)+2=(x-2+x， 当件随值为2时，其件随二次函数是)=(x+2+(+2)+2=(x+2+x+4, 故选：C (2)①设伴随值为， 则为=x--2(x-)-3=2-2〔+1)x+P+21-3=-6x+5 10/58 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.2(1+1)=6 “.t=2 故答案为：2： ②列表： 0 2 3 4 6 52=x2-6x+5 -3 -3 .. 5 5 0,5)(2,-3)(3,-4)(6,5)(4,-3) 依次描出点 04为=-2x-3=12得*=5或3， 令为=-6x+5=12得=7或1 结合函数图象可知，只能是m=-1或m+2=5, ∴m=-1或3. 当m=-1 时，-1≤x≤1，此时为>”且”随x的增大而减小， :当=时，片有最小值，为 12-2×1-3=-4, (1,4) ∴此时W的最低点的坐标为 当m= 时，3sxs5 此时>”且”随x的增大而增大， :当=3时，乃有最小值，为 32-6×3+5=-4, （3,-4) ∴.此时W的最低点的坐标为 (1,4)(3,-4) 综上，W的最低点的坐标为或 题型模版 1.特征：定义“伴随点”“伴随函数”等新概念，关联两个函数或点，求参数或关系式。 11/58 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2方法：理解新定义，将伴随关系用代数式表示（如坐标互换），与二次函数联立，转化方程或不等式求 解。 变式2-1(24-25九年级上江苏泰州阶段检测)【定义与性质】 定义：如图，记二次函数 y=ax-'+c和'=-ax-pP+9a≠0) C C 的图象分别为抛物线和，若抛物 线的顶点(D9) 在抛物线C上，则称C是C的件抛物线， 备用图 性质：①一条抛物线有无数条伴随抛物线： ②考C是C的件随抛物线，则C也是C的件随抛物线，即C的顶点 在 【理解与运用】 (1)证明性质②： (2若二次西数y=c-+m和y=x-+3的图象都是抛物线y=的件随抛物线，则m三 n= 【思考与探究】 (3)设函数'=r-2x+2k+3 的图象为抛物线 C ①若函数'=-x+k+ 的图象为抛物线C,且S始终是C的件随抛物线，求.©的值。 C ②在(3)①的条件下，若抛物线9与轴有两个不同的交点 x,0)(x,0(x<五 ,请直接写出的取 值范围. 【答案】 12/58 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (山证明：：9是 的伴随抛物线， C (p,q) C 即抛物线的顶点 在抛物线上， :9=a-b2+ 成立， C:y=a(x-b)2+c P(b,c) 抛物线 的顶点坐标为 (b,c),、C:y=-a(x-p)2+q(a≠0) 将点 代入 中 c=-a(b-p)2+g 则有 即9=-a6-pj2-c 9=a(p-b)2+c 整理可得， :抛物线C的顶点 (b,c) C 在抛物线上， C :C也是C的件随抛物线： (2)2:±6： (3)04=2e=3 3:②5<-1t1<<3 或 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数顶点式)=(：-+(a≠0)的性质，结合“件随抛物线 的定义”求出抛物线的顶点坐标是解决本题的关键。 (山由S是C的件随抛物线，可将点8 (p,q 代入抛物线C中可得9=aD-b+c C 成立，再将点 b,c代 入抛物线S中可 、x9=a(p-b)2+c 成立，即可得证： (2)根据“伴随抛物线”的定义，将二次函数的顶点代入y=)x中即可求解： 2 13/58 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (3)①先将抛物线C化为顶点式，再求出抛物线C的顶点，由。C始终是C°的件随抛物线”可令k的值， C 再将k的值代入抛物线中，即可求解： C ②先求出抛物线“的顶点坐标和与x轴的交点，再根据抛物线的运动过程即可求解. 【详解】(1)略 (2)解：由“伴随抛物线”的定义可知， 者二次西数y=x-+m和y=x-+3的图象部是抛物线y式的件随抛物线， 则有顶点（L网和顶点)在抛物线=方式上， ..m= 3=0,即W=6:解得ntN6, 故答案为：2；+6， C2:y=x2-2kx+2k+3 (3)①解：抛物线 C2:y=x2-2kx+k2+2k+3-k2=(x-k)2+2k+3-k2 化为顶点式可得， “抛物线C2的顶点坐标为 k,-k2+2k+3 :C始终 C 的伴随抛物线， :令k=0 0,3) 则顶点坐标为 令=1，则顶点坐标为 1,4 3=e e=3 ∴.4=-12+d+e,解得d=2, ∴.d的值为2，e的值为3 14/58 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ②解：由(1)可知， Gy=-+2x+3=(（-+4,顶点为4) C :C始终是C的件随抛物线， ÷抛物线C的顶点 k,-k2+2k+3 在抛物线S上运动。 令-t+2x+3=0 解得=-1戈=3 ∴抛物线C与x轴的交点为1,0)，(80， :抛物线C与轴有两个不同的交点 x,0)(x2,0x<x2) 当抛物线C2的顶点在 -1,0) 下方时，则<一1 C2 Co 始终是 的伴随抛物线， Co 则也是的伴随抛物线， 1,4) 顶点 也在G上， 当抛物线9的顶点在(8, 下方时，则1<<3 <-11<x<3 ∴的取值范围为 或 变式2-2(2026辽宁抚顺模拟预测)【定义与性质】 记二次函数'=ax-+k(a≠0 的图象为抛物线，其顶点为 P(h.k) 定义：若存在另一条抛物线L,其解析式为'=-ax-m+”,且顶点 Q(m,n 在抛物线乙上，则称抛物线 L'是抛物线L的“镜像抛物线”. 山【理解与运用】：已知抛物线4y写，若抛物线4：y=x-3+1是抛物线L的“镜像抛物线”， 求t的值： 15/58 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)【思考与探究】：设抛物线 y=-2m+2m+4m为任意实数)，抛物线：y=-++ ,且 抛物线是抛物线的“镜像抛物线”· ①若抛物线4与辅交于1(，0），8（名，0叭两点伍<），且满足5=4 ,求m的值： ②设是“镜像抛物线”的顶点，M是抛物线的顶点，当点W在点M的右侧，且0°<∠M0N<45° N 时，求m的取值范围. 【答案】(1)t=3, 2+2V10 1<m< (2)①m=-2或m=4；② 3 【分析】(1)将抛物线的顶点代入抛物线的解析式即可求解： (2②①今抛物线二的解析式为◇结合条件5-方一4即可得到”的值：②用配方法求出“镜像抛物线” 0 的顶点V的表达式，将其代入抛物线凸的解析式可得抛物线马：y=-+2x+4=-(:-+5,故M,5) 当∠MON=45°时，过点M作ME⊥OM,交ON的延长线于点E,作MP⊥y轴于点P,过点E作 BD1PM,交PM的延长线于点0，利用△OPM≌M0E(MS)可得E(6),设直线OE的解折武为 可得 y=:(k≠0，将E(6,4)代入，得直线OE的解析式为y=,把N(m,-m2+2m+4)代入y=亏x得 +2x+4-大，解方程后可得到点的横坐标，即m=2+20 3-，结合0°<∠MON<450且点N在点 M的右侧即可得到m的取值范围. 3,t) 【详解】(1)根据题意可得，抛物线的顶点 在抛物线1上， 16/58 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 将点(3，)代入=3，得=写×32=3， 3 y=x2-2mx+2m+4 (2)①在 中，令少 0,得t-2mx+2m+4=0 解得*=m±Vm2-2m-4 ..x<x2 x=m-Vm2-2m-4x2=m+Vm2-2m-4 X2-x=4 ∴.2√m2-2m-4=4 .m2-2m-4=4 解得m=-2或m=4, ②y=-2mx+2m+4=(x-m2-m2+2m+4 抛物线2的顶点为 N(m,-m2+2m+4 L “抛物线是抛物线的“镜像抛物线”， 点在抛物线上， .-m2+2m+4=-m2+bm+c m 且此式对任意”均成立， .b=2,C=4, ÷抛物线马y=+2x+4=-(x-+5 M 为抛物线的顶点， :M(1,5) 17/58 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 当∠MON=45°时，过点M作ME⊥OM,交ON的延长线于点E,作MP⊥y轴于点P,过点E作 E0⊥PM,交PM的延长线于点O, 6 M1,5) P5 E 32123456789 ∴∠OME=∠MPO=∠Q=909 ∠M0N=45°， ∴.∠OEM=90°-∠MON=45°=∠MON, ..OM=ME, :∠MOP+∠OMP=90°∠OMP+∠EMQ=90° ∴.∠MOP=∠EMg 在aOPM和△MQE中， ∠MPO=∠EQM ∠MOP=∠EMQ OM=ME ∴.△OPM≌△MQE(AAS) ∴.OP=MgPM=QE M(1,5) ∴.MQ=OP=5QE=PM=1 ∴.PQ=PM+Mg=1+5=6,E 5-1=4 ,点的纵坐标为 18/58 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴E(6,4) 设直线OE的解析式 y=kax(k≠0) 将E6代入得位=4：解箱=号， 2 :直线0B的解析式为=5x, 把w(m-m+2m+4到代入y-子得+2x+4 2 3t, 解得x= 2+2W10 2-2V10 3 ,x2= 3一，（不符合题意，舍去） 2+2W10 :点N的横坐标为3一， Nm,-m2+2m+4) :m=2+2i0 3· :0<∠MON<45°，且点N在点M的右侧， 2+2W10 .1<m< 3 题型三、二次函数与一次函数的新定义型问题 典例3(25-26九年级上江苏苏州期末)定义：若直线y=x+m(m是常数)经过抛物线的顶点，则称 直线y=x+m是该抛物线的“最美直线”. (①四若直线'=x+ 是抛物线=-2r- 的“最美直线”，求m的值： (2)平移抛物线 C:y=x2 得到抛物线，若直线)=x-是抛物线9的“最美直线”，直线"=x-与'轴 的交点为A,抛物线C2与y轴的交点为B,点A与点B关于原点对称，求抛物线C2对应的函数表达式 【答案】(1)m=-3 19/58 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ②y=r+4x+1y=2-2x+1 或 【分析】(1)求出抛物线的顶点坐标，再代入一次函数解析式解答即可求解： (2)求出点小B坐标，设抛物线C的顶点坐标为（伍，）， 则抛物线9的解折式为=(-广+大，可得 k=h-1,h2+k=1,进而得到h2+h-1=1,求出h,k的值即可求解： 本题考查了求一次函数解析式，二次函数与一次函数的综合应用，理解新定义是解题的关键. 【详解】(1)解：：抛物线y=r-2x-1=(x--2 (1,-2) ∴抛物线的顶点坐标为 :直线x+ 是抛物线少=-2x- 的“最美直线”， .-2=1+m, 解得m=-3; (2)解：把x=0代入直线y=x-1,得y=l, :4(0-) :点A与点B关于原点对称， B(0,1) 设抛物线C的顶点垒标为么)。则琳物线S的解折式为=(：-+长。 ,直线y=x-1是抛物线C2的“最美直线”， ∴直线y=x- h,k) 经过点 ∴k=h-1, :抛物线C与》轴的交点为 (0,I) :1=(0-)}+k ∴h2+k=1, 20/58 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 将k=h-1代入h2+k=1,得h2+h-1=1, 即h2+h-2=0, 解得h=-2或h=1, 当h=-2时，k=h-1=-2-1=-3: 当h=l时，k=h-1=1-1=0: 抛物线9的函数表达式为=(x+2-3或=(x-少.即y=+4x+1或y=2-2x+1 题型模版 1.特征：定义两函数间的新运算（如“交点数”“距离”），按规则求参数或范围。 2方法：联立解析式将定义转化为方程或不等式，利用判别式或根与系数关系求解，注意实际意义。 变式31(2026江西上饶三模)【定义】若二次函数 =arx2+bx+c(a≠0) 的顶点在直线'=&上，则称 二次函数叫做直线'=的开心函数.例：二次函数'=-2x+2的顶点为 (1,1) 在直线'=x上，所以 二次函数=X-2x+2 是直线"= 的开心函数. 【应用】 (0)若二次函数=r+4x-3。 y=kx 是直线 的开心函数，求k的值： y=x2-2mx+n (2)若二次函数 是直线'= 的开心函数 1 ①求证：n之- 4: ②若m-3≤x≤3时，y的最小值为-1，求m的值. 【答案】(0k=2 (2)0证明： y=x2-2mx+n=(x-m)2-m2+n m,-m2+m 顶点为 y=x2-2mx+n ,二次函数 是直线“的开心函数， 21/58 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .-m2+n=-m, n=m2-m=(m--之-1 244； ② m的值为1或5 【分折】山由函数的表达式知，顶点坐标为：（2-7），将2-)代入=：，即可求解： (2)①由函数的表达式知，顶点坐标为： m-+),将m-m+川代入'=一即可求解 ②当m≥3时，则抛物线在x=3时，取得最小值，即9-6m+m2-m=-1,则m=5；当m≤3时，求解即可. 【详解】(1) 解：y=r+4-3=(x+2}-7 -2,-7) 顶点为 =次函数少=r+4r-3 y=kx 直线 的开心函数， ∴-2k=-7, 解阳4=名。 (2) ①略： ②'=r-2mr+ 的对称轴为直线=m 当m≥3时，x=3,y有最小值9-6m+m2-m=-1, 解得m=2(舍)或m=5: 当m≤3时，x=m,y有最小值-m=-1, 解得m=1; 综上所述：的值为1或5. 变式3-2(2024江西九江·一模)定义概念：在平面直角坐标系中，我们定义直线y=-a为抛物线 22/58 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 y=ax+bx+c 的“衍生直线”.如图1，抛物线 =-r+x+C与其“衍生直线”交于A,B两点（点B在 C(-3,0) x轴上，点A在点B的左侧)，与x轴负半轴交于点 图1 图2 (1)求抛物线和“衍生直线”的表达式及点A的坐标： ②如图2，抛物线y=-t+x+C的“衍生直线”与y轴交于点D,依次作正方形D0,正方形 D,E,F,,正方形 ,EF,Fn为正整数)，使得点D,D,D,,D在“衍生直线”上，点 FF FF ,…,在x轴负半轴上. E E E ①直接写出下列点的坐标： E E2 ②试判断点，，…， “是否在同一条直线上？若是，请求出这条直线的解析式：若不是，请说明理 由. 【答案】抛物线的表达式为)-X-2x+3,“衍生直线”的表达式为)-+1，点A的坐标为 -2,3) 1.1 20(-1,1),（3,2),（-7,4),(1-2”,2）:②是，这条直线的解析式为=-2x+2 【分析】(1)由题意可知a=-1,再根据“衍生直线”的定义可知“衍生直线”的表达式为y=-x+1. 进而可求出点B的坐标。由抛物线)=t+x+C与x轴交于点B (1,0)C(-3,0) 即可直接得出抛物线的 23/58 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 表达式为'=-(x-x+3)-2-2x+3 联立y=-x+1、y=-?-2x+3,解之即可求出点A的坐标 D(0,1) OD=1 DE =OD=1 (2)①根据题意可求出 ,即得出 ,结合正方形的性质可得出 ,即可求出 (10.再根据点D,D.D,,D在直线=-+1上，可求出D2),从面可求出(32列， 同 理得出(-7,4，，E.-2,2) ②由-2,2），令x=1-2,y=2',结合帮的运算法则即可得出这条直线的表达式。 【详解】()解：“抛物线为 y=-x2+bx+c ∴.a=-l, ,“衍生直线”的表达式为y=-x+1。 “衍生直线”=-*+ 与x轴交于点B, 一点B的坐标为 ,0) 抛物线y=-+c+C与轴交于点 B(1,0)C(-3,0) 抛物线的表达式为》=-(x-(x+3)=-x2-2x+3 令-x2-2x+3=-x+1,解得x=1或x=-2, 把x=-2代入y=-x+1,得y=3, -2,3)） ·点A的坐标为 (2)解：①对于y=-x+1,令x=0,则y=1, .D(0,1) OD =1 24/58 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 四边形 DEFO 为正方形， DE=OD=1 E(-1,1) 点，， ,,“在“衍生直线”上，即在直线=-+ D D2 DD 上， D1,2) 6(32) 同理可求出(-7,4)，，E.(1-2,2) 故答案为： （1)（-3,2).(-7,4)-2”,2) ②点， 三，，8在同一条直线上. E E2 令x=1-2”y=2 2”=1-x, y=2-2”-1-x11 22=2x+2 :这条直线的表达式为=0-=之+月 2 题型四、二次函数中对称问题的新定义型问题 典例4(2425九年级上江西吉安期末)定义：如果两个二次函数的图像的开口大小相同，方向相反且 顶点的横、纵坐标都互为相反数，则称其中一个二次函数为另一个二次函数的件随函数。如”=(《+2》-1 与少=-(x-2}+1 互为伴随函数. 25/58 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 y1=x2+2x-1 PIM y2=(-h)2+k ()）y=-2x2-4x 的伴随函数的表达式为： (2)若片=x+2x- 的图像的项点为P,且过它的件随函数片=-(-+ 的图像顶点」 P、Q 求证：这两个函数图像的交点为 如图。点M是=+2x-一在八0之间的图像的动点，MW1x销交为=-(-+ ② 的图像于点N, 求MN长度的最大值. 【答案】(0)=2x-2-2 ②0证明：片=r+2x-1=(x+1-2 “顶点P-2) 它的伴随抛物线片=-(x-h)+ 的项点为1,2) :5=-6-102+2 当x=-1时，为=-(-1-)°+2=-2 六点P-2）在为=--+2图象上. 当x=1时，片=(+)°-2=2 ÷点01,2)在=(6x+-2图象上. 26/58 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴这两个函数图像的交点为P,Q: ②最大值为2， 【分析】(1)根据“伴随函数”的定义和二次函数的定义即可求解； (2)①由=r+2x-1=(x+-2,则顶点P1,-2）,求出它的件随抛物线解析式为=-(x-少+2 然后当0=时.为=-+2=2，则点P-1-2到在为=-x-+2图象上，当=1时. 片=(x+1)2-2=2 ,从而求证： ②设(mm+2m-,则m-m+2m+,故有N=(m+2m+小-m+2m-）-2m+2 然 后根据二次函数的性质即可求解； 本题考查了二次函数的图像与性质，熟练掌握二次函数的图像与性质是解题的关键. 【详解】（4)解：y=-2-4红=-2(x+2x+)+2=-2x+y+2 -1,2) 顶点为 5件随抛物线的顶点为亿一2) y=2x-1)2-2 ∴伴随抛物线的解析式 (2)①略 ②解：由0可知：片=x+-2,为=x-+2,P(-1,-2）.(1,2) 设M(m,m+2m-) :N1轴交片=在+的图像于点N, ..N(m.-m+2m+1) :MN=(m2+2m+1-(m2+2m-1)=-2m2+2 27/58 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ,点M在P,Q之间， .-1≤m≤1， 当m=0时，MN值最大，最大值为2 题型模版 1特征：定义关于点或线的“对称函数”，求新函数解析式或图象性质，需灵活转化。 2方法：利用对称变换法则（如关于x轴、y轴、原点或直线）确定坐标关系，代入原函数得新解析式。 变式4-1(2026河南平顶山三模)定义：若抛物线上存在两点关于原点中心对称，则称这两点互为“抛物 中心对称点”.点 A(2,4) 在抛物线'=四+c-4上，点A的“抛物中心对称点”为点B, (1)求这个抛物线的表达式及顶点坐标。 (2)①在给出的平面直角坐标系中画出该抛物线和直线AB. ②将直线AB向下平移3个单位长度得到直线I,则直线I上 互为“抛物中心对称点”的两个 点.（填“存在”或“不存在”） ③将抛物线y=r+bx-4 (k>0) 向上平移 个单位长度，若平移后的抛物线上仍存在互为“抛物中心对 称点”的两个点，请直接写出k的取值范围， 【答案10四=+2x-4:←1，-5 28/58 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 VA (2)① x;②不存在：③ 0<k<4 【分析】(1)求出点A的“抛物中心对称点”为点B的坐标，再运用待定系数法求出抛物线的解析式， 运用配方求出顶点坐标即可： (2)①画出的抛物线和直线AB即可： ②求出直线4B的解析式为’=2，平移后的解析式为)=2x-3, （x,2x-3（-x,-2x+3) 假设存在两点 判断七-2x+3 是否在抛物线'=+2x-4上即可： ③平移后的抛物线的表达式为'=r+2x-4+ ,设平移后的抛物线上互为“抛物中心对称点”的两个点 M(,N(）,根据-为=0 可得k<4,结合k>0可得结论. 【详解】（①解：由题意，可知点1么4），点-2)，且点4B 均在抛物线上。 「4=4a+2b-4 把4(2,4)，B(-2,4)代入y=a2+bx-4,得-4=4a-2b-4, [a=1 解得b=2, 六抛物线的表达式为'=r+2x-4=(x+-5 六抛物线的顶点坐标是-5列 (2)解：①略 29/58 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ②设直线AB的解析式为y=C, 把24 代入得4=2 k=2, 直线AB的解析式为y=2x, 将直线AB向下平移3个单位长度得到直线：y=2x-3, （x,2x-3)（-x,-2x+3) 假设存在两点 关于原点对称， -x,-2x+3 把点 的横坐标代入y=+2x-4得：)=-2x-4≠-2x+3 x,2x-3)小(-x,-2x+3) 故不存在两点 互为“抛物中心对称点”： y=x2+2x-4+k ③由题意，得平移后的抛物线的表达式为 设平移后的抛物线上互为“抛物中心对称点”的两个点为 M(,),N(-x,-y) y1=x+2x-4+k,-y1=-x+2×-X小-4+k=-2x-4+k +2x-4+k+(32-2x-4+)=0 整理，得=4- 4-k>0. k<4, k>0, .0<k<4 =x2-2x-3 变式42(2026辽宁抚顺·一模)如图，在平面直角坐标系中，二次函数 为=++e交于有6两点，已知与的图象与y相交于点90引 且关于直线=-1对称。 30/58 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 备用图 y2 (1)求二次函数的函数解析式： (2直线=m(1≤m≤2 分别与片和片的图象交于M,N两点，与轴交于点P.若PM=2PW,求m的 值： O定义：M纠为较小西数，即M)-5) 凸（仍>），直线y=1与M()的图象交于D:E,F,G四点 (D,E,F,G从左到右依次排布)，若DG=4EF,求出的值. 【密案】0为- ,3 +2 (②m=5或m=0 或 -号 【分析】(1)根据待定系数法即可解答； 3 则可得 解方程即可； EF=2vt+4 DG=24-21 (3)解方程可得 列方程即可. 【详解】少解：⅓=++e过c0引 对称轴x=-1' b b 3, 2a 1 2× 2 2 ∴.b=-1, 31/58 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .二次函数y,的函数解析式= -x+ 2 2: Nm-m+ (2)解：设M(mm-2m-3列，则” ,P(m,0) SPM-t-m-. 由PM=2PN, 可得-2m-2斗m-+引 @2m=3m=-N3或m=0 或 .-1≤m≤2， m=V3或m=0】 (3)解：如图， y y2 D 备用图 令1=x2-2x-3, 可得x2-2x-3-t=0, 解得x=2±V4+16 2 片EF=2+4+16_2-v4+6=2+4. 2 2 1 3 令1=-5x2-x+3 2 2 32/58 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 可得x2+2x-3+21=0, 解得x=2±v16-8 2 DG=-2+16-80-2-16-80=2N4-24, 2 .DG=4EF 2√4-2t=8Vt+4 w=9 ◆◆ 同压轴桃战一支克高难压轴，突孩思维上很 一、解答题 1.(25-26九年级上江西南昌期中)定义：由两条与x轴有相同的交点，并且开口方向相同的抛物线所 1 围成的封闭曲线称为“笑口线”.抛物线片=(--2与抛物线=+x+ca>2)组成一个如图所 示的“笑口线” YA M (1)求出点M,N的坐标： a (②)求c的值。 【答案】() M(-1,0)N(3,0) 1 (2)3 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，求抛物线与x轴的交点坐标抛物线与x轴的交点问 33/58 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解. 4少解方程(--2=0可得到MV的坐标； (②)利用抛物线与x轴的交点问题得一元二次方程+x+c=0 =-1x2=3 两根为， ,则根据根与 系数的关系得x七=-。-3，从而得到的值. a 【详解】（山解：当%=0时：2x--2=0 解得-15=3 .M(-1,0)N(3,0) (2):抛物线乃=r+x+c(a>2与x轴的交点为M(-1.0),N(3,0), ·一元三次方程+r+C=0的两根为 =-1x2=3 x5=-9 -C=-1x3 a C=3 a C3· 2,(2026河南开封一模)新定义：我们把二次函数片=+r+c 与二次函数 y2=ax2+cx+b (其中 abc≠0，且a,b,c均为常数)称之为“相关二次函数”.己知二次函数 :y=mx2-3mx+2m+1 的图像 与轴交于点10， .二次函数凸的“相关二次函数”为 ①)m的值为 的解析式为。 34/58 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (②当x=‘时，二次函数上的点P与二次函数上的点之间的距离为5，求'的值 【答案】①)1.y=-2-x+3 9 1 (②)4或4 【分析】山)将0-作上 代入得到关于m的方程求解即可；根据“相关二次函数”的定义写出的解析 式即可； (2)先分别用t表示点P、点Q的坐标，再根据两点间距离为5列绝对值方程求解即可. 【详解】（解：：=次函数y=mr2-3mx+2m+ A(0,-1) 的图像与》轴交于点A ∴.-1=m×0-3m0+2m+l,即2m+1=-l,解得：m=-1: y=-x2+3x-1 ∴二次函数 三次函数的“相关二次函数”为y=--x+3 (2)解：由(1)可得y=-+3x-与y=2-x+3 ÷当x=1时.Pk-+3-)Q,-2-t+3) ,点P与点Q之间的距离为5， 1 5+3-1(-1+3到=5.即4-4=5：解得：1号或4 3.（2026九年级上河南信阳专题练习)【定义】若二次函数'=+x+ 的顶点在直线'= 一上，则 此二次函数叫微直线'=“的开心函数.例如：二次函数'=r-2x+2 的顶点为 ，)在直线’=上，所 以二次函数'=-2x+ 是直线'=的开心函数。 0g二次属数=+-3是百我”=的开心话数，求的位。 35/58 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ②若二次函数y=r-4mx+n 直线 y=一x 的开心函数. ①求n(用含m的代数式表示)； ②若当-2≤x≤4时，y的最小值为-2，则n的值为 【答案】①k=2 (2)①n=4m2-2m②2或30 【分析】(1)由函数的表达式知，顶点坐标为：(2，)，将(2，)代入y=:,即可求解： (2)①由函数的表达式知，顶点坐标为： (2m4m+川，将2mm+n小代入y=-得： -4m2+n=-2m,即可求解： ②分类讨论当2m≥4时，则在x=4时，函数取最小值-2；当-2≤2m<4时，函数最小值取在顶点处，即顶 点纵坐标为-2：当2m<-2时，则在x=-2时，函数取最小值-2：分别代入求解即可. 【详解】(1解：y=-r+4r-3=-(x-2}+1 ∴顶点坐标为(2，)， 将(2，)代入y=&得： 1=2k, 1 则k=2 (2解：0y=r-4r+n=(x-2m)2-4m2+n 2m,-4m2+n ∴顶点坐标为 将(2m,4m+m）代入y=-x得4m2+n=-2m. 则n=4m2-2m; ②由①知，抛物线的表达式为：y=r-4mx+4m2-2m=(x-2m)}-2m (2m,-2m) ∴顶点坐标为： 36/58 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 当s4 y=x2-4mx+4m2-2m=4m2-18m+16 时， r=-2 y=x2-4mx+4m2-2m=4m2+6m+4 当 时， 当2m≥4即m≥2时，则在x=4时函数取最小值-2， 即4m2-18m+16=-2, 3 解得m=2（舍去)或3， 即m=3, 此时n=4m2-2m=30: 当-2≤2m<4即-1≤m<2时， 函数最小值取在抛物线顶点处， 即-2m=-2, 解得m=1, 此时n=4m2-2m=2: 当2m<-2即m<1时， 则当x=-2时函数取得最小值-2， 即4m2+6m+4=-2, 此方程无解： 综上，n=2或30 xOy P(a,b) 4.(25-26九年级上江西南昌·阶段检测)定义：在平面直角坐标系中，对于 和抛物线 y=x2+ax+b .P(a,b) y=x2+ax+b y=x2+ar+baP(a,b) ,我们称 是抛物线 的关联点，抛物线 是点 的关联抛 A(-4,4)B(8,-4)C(2,8) 物线.已知点 (1)点A的关联抛物线的解析式为 (②)求过A,B y=x+ax+b 两点的抛物线 的关联点坐标： P(a,b) P(a,b) (3)设点 AC 在直线心上运动，点 的关联抛物线的顶点都在同一条抛物线Q上，求抛物线P的解 37/58 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 析式 【答案】（①）P=r-4x-4 24-36) 3)=-x2-4x+4 【分析】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质等，这种新定义类题目，通常按照题设 的顺序逐次求解。 (1)根据题意可得a=b=-4即可求解： (②)将点A、B坐标代入y=r+x+ 求出a,b的值，即可求解： (3)先求出直线AC的表达式可得设点 (m,2m+4) ,可得抛物线的表达式再求出抛物线的顶点坐标，即 可求解 【详解】(1)解：，点 (-4,-4) .a=b=4, y=x2-4x-4 故抛物线的表达式为： y=x2-4x-4 故答案为： 23解：将点(4，），B(84)代入=++b得： [16-4a+b=-4 64+8a+b=-4, a=-4 解得：b=-36, :过A,B两点的抛物线)=子++b -4,-36) 的关联点坐标为 (3)解：设直线AC的表达式为y=kc+n, 38/58 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (4,4)C2,8)代入得： 把点 -4k+n=-4 2k+n=8, k=2 解得：n=4, ∴直线AC的表达式为：y=2x+4, P(m,2m+4) 设点 ∴.抛物线的顶点坐标为 令x- 2m,则m=-2x 则y=~ m2+2m+4=-x2-4x+4 4 即抛物线2 y=-x2-4x+4 的解析式为： y=ax2+bx+c 5.(25-26九年级上江苏扬州期末)定义：把抛物线 (其中ab≠0、 )与抛物线 y=bx2+ax+c y=4x2+3x+ 称为“李生抛物线”，例如，抛物线 的“李生抛物线”为)=3x+4x+5 C:y=4ax2+ax+4a-3(a>0) 己知抛物线 的“李生抛物线”为C,G与y轴交于点五， (I)直接写出抛物线C2的表达式一： ②若点B的坐标为0-) ,求抛物线C的解析式。 (3)设C2的顶点为F,若OE=EF,求点E的坐标； (4)记C2在a-4≤x≤a-2时的最大值为M,最小值为m,且M-m=2a,则a=一 39/58 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【答案】() y=ax2+4r+4a-3 (2) 1 y=2x2+x-1 2 (3) (4) 2-2成5 【分析】本题主要考查二次函数图象的性质，掌握二次函数图象的开口，最值，对称轴直线的计算是关键 (1)根据“李生抛物线”的定义求解即可： (2)运用待定系数法求解即可： (3)根据二次函数与坐标轴的交点的计算得到 (Q,4如-3)，根据顶点坐标的计算得到F(-2,-3 ,根据两 0E2=(4a-3',EF2=4+16a2 点之间距离的计算得到 由此即可求解： (4)根据二次函数解析式得到顶点坐标，结合a-4≤x≤a-2于对称轴直线的位置，分类讨论即可求解 C y=x2+4ax+4a-3 【详解】(1)解：根据题意，抛物线的表达式 (2)解：G与y轴交于点 E(0,-1) .4a-3=-1, 解得，a=。 2 =4x++4x3=2r 2 2 2-1 (3)解：抛物线C的表达式'=+4r+4a-3。 4a ∴顶点的横坐标为：x= 2=-2,顶点的纵坐标为：y=4a-8a+4a-3=-3, 2a 40/58 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :F2-3) ,Gy=4a+m+a-3a>0)与y轴交于点E。 .当x=0时，y=4a-3, .E(0,4a-3) :0E=(4a-3,EF2=(0+2+4a-3+3=4+16d :(4a-3y=4+16a 5 解得，a=24: 、4a-3=4×24-3=13 6 :y=a2+4+4a-3, （-2,-3) (4)解：抛物线 顶点坐标为 a>0, .a-4>-4,a-2>-2,二次函数图象开口向上， a-4+a-2=a-3, 2 ∴当a-3≤-2时，即a≤1，x=a-4取最大值M=a(a-4+4a(a-4)+4a-3=a-4d+4a-3,m=-3 .M-m=a3-4a2+4a-3-(-3)=a3-4a2+4a=a(a2-4a+4） a(a-4a+4)=2a 整理得，(a-2}-2 :a=2±V2 41/58 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :a=2-V2 当a-3>-2,a-4<-2时，即l<a<2, x=a-2取得最大值M=a(a-2+4a(a-2)+4a-3=d-3,最小值为3， a3-3-(-3)=2a 整理得，a2=2, 解得， a=tv2 :02 当a-4>-2时，即a>2, 最大值M=a(a-2+4a(a-2)+4a-3=a-3 最小值为m=a(a-4+4a(a-4)+4a-3=d2-4d2+4a-3 ,d3-3-a3-4a2+4a-3=2a 整理得，2a2-3a=0, 3 解得，4=042<2，不符合题意，合去： 2-2V2 综上所述 0的值为 或 6.(25-26九年级上江苏苏州阶段检测)新定义：我们把抛物 y=ax2+hx(ab≠0）与y=bm+a成为 ~友好弛物线”，例如：抛物线+2的“发好的线为=2+ (0四抛物线'=6r2-x 的友好抛物线的解析式为，“友好抛物线”的顶点坐标为一， M:y=ax2+bx(a<0) (2)若抛物线 和其“友好抛物线”的图象形状相同，开口方向不同，且抛物线M上有 且只有三个点到x轴的距离为2，求抛物线M的解析式. 42/58 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 C:y=ax2+bx (3)已知抛物线 (其中a≠b、 )经过其“友好抛物线”的顶点， ①求抛物线C的对称轴： ②当-1≤x≤1时，y的最大值是4，求a的值. 【答案】（①）y=-x+6x(3,9) ②"=-8r2+8x 8 (3)0抛物线C的对称轴为直线x=4:②当-1≤x≤1时，y的最大值是4时，a的值为3或64： 【分析】本题考查的是二次函数的图象与性质。 y=6x-x y=-x+6x (1)由新定义可得抛物线' 的友好抛物线的解析式为 ，再进一步求解即可. M:y=ax+bx(a<o (2)由抛物线 和其“友好抛物线”的图象形状相同，开口方向不同，可得+b=0 由抛物线M上有且只有三个点到x轴的距离为2，可得抛物线的顶点纵坐标为2，再进一步求解即可. (3)①白y=d+m的顶点横华标为：X=元，顶点纵坐标为： Abc-a2 a2 4b 一4b,结合抛物线 C:y=ax2+bx (其中a ”)经过其“友好抛物线”的顶点，可得0=-2办，进一步求解即可；②分0>0 a<0,结合函数图象可得答案。 y=6x2-x =-x2+6x 【详解】(1)解：抛物线 的友好抛物线的解析式为 y=-r2+6x=-(x2-6x+9列+9=-(x-3}+9 3,9) ∴.“友好抛物线”的顶点坐标为 故答案为：y=-x+6x(3,9) M:y=ax2+bx(a<0) (2)解：抛物线 和其“友好抛物线”的图象形状相同，开口方向不同， .a+b=0 ,抛物线M上有且只有三个点到x轴的距离为2， 43/58 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .抛物线的顶点纵坐标为2， 4ac-b2 b2 -=2 4a a=- b+b=0 8 解得：b=0(不符合题意，舍去)，b=8, .a=8, y=-8x2+8x ∴，抛物线M的解析式为： C:y=ax2+bx (3)解：①：抛物线 (其中a*b、 y=bx2+ax )的“友好抛物线”为 a 而y=bx2+ax的顶点横坐标为x=一2b, Abc-a2 a2 ·.顶点纵坐标为4b一46” C:y=ax+bx ,抛物线 (其中a≠b )经过其“友好抛物线”的顶点， 解得：b -2或号1（舍去）， a .a=-2b, b b 1 ÷抛物线c的对称轴为直线=。2×”2万4. ②a=-2b, ·抛物线C:y=ar2-1a ax 2 44/58 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 当a>0时，如图， :4()>1- 1 4 “.当x=-1时，函数取最大值4， 204 ..a 8 解得：a= 3, 当a<0时，如图， 1 “当x=4时，函数取最大值4， 1 1 16-8a=4, 解得：a=64, 8 综上：当-1≤x≤1时，y的最大值是4时，a的值为3或64 P(m,n) 7.(2026江西南昌一模)己知点 是抛物线y=+x+C上一点，若n=2m,则我们把点P称为 45/58 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 该抛物线的“二倍点”. (1)【定义理解】 ①若点P是抛物线'r 上的“二倍点”，则点P的坐标为 ②下列抛物线，没有“二倍点”的是 A.y=2(x-4+8B.y=4x2+2xc.y=-(x-lx-3) (2)【深入探究】 己知抛物线”=心+x+C与x轴只有1个公共点 (-2,0 ,且与y轴相交于 C(0,2) ①求该抛物线的解析式： ②将该抛物线向下平移k个单位得到新的抛物线，若新抛物线恰好只存在1个“二倍点”，求k的值及该 “二倍点”的坐标 (0,0)(2,4) 【答案】(1)① 或 ,②C 20y72+2x+2,②=2：三倍点”的坐标为0,0 【分析】（山.①根据“二倍点”的定义可得，=，且，=2，据此解方程即可得到答案，②根据题 意可得当抛物线上有“三倍点”时，该抛物线与直线y=2x一定有交点，故联立对应的抛物线的解析式和 直线y=2x的解析式，看方程是否有解即可得到答案： y=ax+bx+c (2)①抛物线 与x轴只有1个公共点可得判别式的值为0，再结合点B和点C的坐标列式 求解即可：②求出平移后的抛物线解析式，根据新抛物线恰好只存在1个“二倍点”可得新抛物线与直线 y=2x只有一个交点，据此求解即可. 【详解】(1)解：①由题意得，抛物线上的一点满足其纵坐标是横坐标的两倍时，则该点为该抛物线的 “二倍点”， ·点P是抛物线少=r 上的“二倍点”， =， Yp=2xp 46/58 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2x。=x,2 解得，=2或0， 当步2 2时，2，=4：当，=0时.=2，=0 时， (0,0).(2,4) 综上所述，点P的坐标为 或 ②由题意得，抛物线上的一点满足其纵坐标是横坐标的两倍时，则该点为该抛物线的“二倍点”， ∴.所有的抛物线的“二倍点”都在直线y=2x上， ·当抛物线上有“二倍点”时，该抛物线与直线y=2x一定有交点； y=2(x-4)+8 联立y=2x 得2(x-4)2+8=2x,即x2-9x+20=0 .4=(9y°-4x1×20=1>0 ÷二次函数=2(x-4+8与直线y=2x有两个不同的交点， 二次函数’=2(x-4+8上有“三倍点”： y=-4x2+2x 联立y=2x 得-4x2+2x=2x,即-4x2=0: =x2=0 解得 次函数少=-4x2+2 与直线少2x ”只有一个交点， 二次函数少=-42+2x 有“二倍点”： y=-(x-1)(x-3) 联立y=2x 得-(x-1)(x-3)=2x,即x2-2x+3=0, :4=(-2-4×1×3=-8<0 47/58 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ÷二次函数'=-(x-x-3) 与直线)=2x没有交点， ÷二次函数少=-(x-x-3) 上没有“二倍点”： B(-2,0 (2)解：①：抛物线'=r+r+C与x轴只有1个公共点B ,且与y轴相交于 C(0,2) △=b2-4ac=0 4a-2b+c=0 c=2 1 a= 2 b=2 c=2 ∴抛物线的解析式为少= +2*2, ,平移后的抛物线的解析式为少=一x。 V= x2+2x+2-k 联立 x+2x+2-k=2x,即)2+2-k=0 得1 y=2x 2 :平移后的抛物线上恰好只存在1个“二倍点”， :A=02-4x22-)=0, ∴k=2 ÷22+2-2=0 1 解得古戈0 0,0) “二倍点”的坐标为 8.(2026辽宁抚顺一模)定义：对于二次项系数之和为1，对称轴相同，且图象与y轴的交点也相同的 两个二次函数，我们称这两个函数互为“和谐二次函数”， 48/58 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 y=2x2+4x-5 y=-x2-2x-5 例如： 的“和谐二次函数”为 (四函数少=-32+3r+ 的对称轴为一，其“和谐二次函数”为一 ； C:y=2x2-8x+ (2)已知二次函数 4,其“和谐二次函数”记为C 若函数C的图象与函数C的图象交于A,B两点（点A的横坐标小于点B的横坐标），动点P在点A, ① C B之间的函数的图象上，当 SPAR =12 P 时，求点的横坐标： ② C(0≤x≤4) C2（x≥4) 函数 的图象与函数 的图象组成新函数S,当0≤x≤”时，函数C的最大值与最 小值的差为8，求n的取值范围. 1 【答案】(0)x=2,y=42-4x+ ②01或3，②2≤m≤2+25 1 【分析】(1)先求出函数y=-3x+3x+1的对称轴为直线x=2,然后通过“和谐二次函数”定义设 a+(-3)=1 得出b一1，再求出，的值即可； y=ax2+bx+1 2a2 a b y=-x2+4x+4 (2)①由题意知，C2:y=-x2+4x+4,联立y=2x2-8x+4,从而得出点A(0,4),B(4,4),所以 MB∥x轴，4B=4,过点P作PD1B于点D,然后根据 MB=12a山p=-2 得出 ，对于 G:y=2x2-8x+4y=-2 4,当’=-2时，2-8x+4-2,然后求出产的值即可 由题意，得函数的图象如图所示，当之0时 ② 0时，C3的最大值为4，又函数的最大值与最小值的差 49/58 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 为8，所以最小值应为4，过点M作Mx轴交Gy-+红+4(x之刊的图象于有N,将=4 代入 C2:y=-2+4x+4,从而可得点N的坐标 2+25,-4),由图象可知，当2≤n≤2+25时，函数C的 最大值与最小值的差为8，从而求解. 31 【详解】（山解：西数y=-3x2+3x+1的对称精为直线=2x)之。 设其“和谐二次函数”为'=+x+1 a+(-3)=1 六b-1, (2a2 a=4 解得：b=-4, ·其“和谐二次函数”为'=4-4红+1 故答案为：x=2,y=4x2-4+1: ① (2)解：设其“和谐二次函数”为 y=ax+bx+4 a+2=1 b-8, 2a2x2 a=-1 解得：b=4, C2:y=-x2+4x+4 y=-x2+4x+4 x=0x2=4 联立y=2x2-8x+4,解得y=4,2=4, ,点A的横坐标小于点B的横坐标， 50/58 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A(0,4)B(4,4) 点 .AB∥x轴，AB=4, 如图1，过点P作PD⊥AB于点D, 图1 S.PAR=12 AB·PD=12 2 ∴PD=6, %2 C:y=2x2-8x+4 对于 当y=-2时，2x2-8x+4=-2, 解得x=1或x=3 点P的横坐标为1或3： ⊙由题意，得函数的图象如图己所示， 51/58 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 VA 图2 :点04) :当≥0 时， 的最大值为4， “函数的最大值与最小值的差为8， .最小值应为4， G:y=2x2-8x+4=2(x-2}-4 :C的顶点M的坐标为24) 过点M作N/x轴交Gy=-+4x+4(x≥4) 的图象于点N, 将=-4代入Gy=-+4r+4 解得=2+25或=2-25 (不合题意，舍去) “点N的坐标为2+25，-4列 ∴由图象可知，当 ≤n≤2+2W5 时，函数C的最大值与最小值的差为8。 2≤n≤2+2V3 9.(2026广西一模)在二次函数的研究领域中，对称轴是决定函数图象特征的关键要素之一.当两个二 次函数的图象对称轴相同时，便有了“同轴二次函数”这一特殊关系定义.它为我们剖析二次函数间的联 系搭建了新的桥梁，引领我们从对称轴的相同性深入探究函数表达式，图象以及取最值等内在规律与逻辑 52/58 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 关联， (0已知二次函数'=2r+4r-3 请写出一个与它是“同轴二次函数”且开口方向不同的二次函数： ②尼知二次函数=3-6r+7和为=+伽-1a0,若片+少与为“同箱二次函数” ①求的函数表达式（用含“的代数式表示）： y=x ②若与直线“恰好只有一个交点，求“的值； ③当1sxs 时 ”的最小值为3，求的值。 【答案】(0y=-2r2-4x (答案不唯一) (2) ①得为=r2-2am-1 ②2±5 ③a的值为2或3 【分析】)先求已知二次函数'=2+4x-3 对称轴术=-】 ,再构造二次项系数与原函数符号相反且对 称轴为x=-1的二次函数： (20先求二次函数1=3r-6x+7 对称轴=1，再求+乃对称轴表达式，根据“同轴”列等式求出 6与a关系，得乃表达式：@联立为与y=x得方程，利用判别式△-[-(2a+门4xax-)=0求解a: @先求”对称抽，分0>0和0<0。颗据对将精与区同15x52 V> 时，位置关系判断单调性求最小值. y=2x2+4x-3 a=2,b=4 【详解】(1)解：，二次函数 ，其中 b 4 ∴.对称轴x= =-1 2a2×2 53/58 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ,“同轴二次函数”需对称轴相同，开口方向不同， 设新函数为'=+hr+c(a<0) 由对称轴x=-1得，2a -b=-1,即b=2a 取0=-2，则 =2×(-2)=-4 C取任意值：C=0.得=-2x-4r (答案不唯一)： (②解：①：二次函数4=3r-6rx+7 ，其中a=3b=6 b-6 ·对称轴=2a2X31, 当=3x-6x+7.⅓=am2+bx-1(a≠0) :+y=(3r-6x+7+(a2+x-)=(3+a)r2+(6+b)x+6 :片+”与”为“同轴二次函数”， x=- -6+b=1 “对称轴2×(3+a), 即：b=-2a, 将6=-20代入为=+x-1， 得片=2-2ar-1 ②”与直线= y=x 恰好只有一个交点， y =ax2-2ax-1 联立y=x 整理，得 x2-(2a+1)x-1=0 54/58 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 方程有唯一解时，判别式△=0， .A=[-(2a+]-4xax-)=(2a+1+4a=0 展开得：4a2+8a+1=0, a=8±v8-4x4x1-2±5 2×4 2, -2±V3 故的值为2一： ③4=mr2-2ar- 的对称轴为=1，区间为1≤x≤2，对称轴在区间内， 当a>0时（开口向上）最小值在对称轴x=1处取得， y2=a×12-2a×1-1=-a-1 代入得： :”的最小值为3， -3 .-a-1=-3,解得a=2; 当a<0时（开口向下）最小值在区间端点处取得， 计算端点值：x=-l时，为=a×(°-2ax(-1)-1=3a-1 x=2时，为=ax2-2ax2-1=-1 a<0,3a-1<-1, 故最小值为3a-1, :”的最小值为3， -3 六30-1=3，解得0=- 3 综上可得：当-1≤x≤2时，的最小值为-3，a的值为2或3 10.(25-26九年级上江苏苏州期中)新定义：若二次商数为=+x+C(a40么C是格数)， 55/58 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 则称片=-r2+bx- 为”的“关联”二次函数，称这两个函数互为“关联”二次函数。 )写出y=r-4x+ 的“关联”二次函数的表达式： y= (②)若(1)中的互为“关联”二次函数的两个图像与正比例函数 =kc(k≠0) 的图像有且只有两个交点， 求k的值： )加图，二次函数”与片互为“关联”二次函数，A,B分别是互为“关联”的两个二次函数少与”的 y1.y2 图像的顶点，点C是”的图像与箱正半转的交点，连接44CBC,若点A为3，别且△1BC为直 角三角形，求点C的坐标. 【答案】（①）少=-x2-4x-1 (2)-2或6 6a,vio)或0.10) 【分析】(1)根据“关联”二次函数的定义即可求解： (2)由“关联”二次函数的图像与正比例函数y=的图像都关于原点成中心对称，且题(1)中的互为 “关联”二次函数的图像与正比例函数的图像只有两个交点，可得'=： y=x2-4x+1 “的图像与 的图像只 有一个交点，即得关于x的方程x2-4x+1=c有两个相等的实数根，据此解答即可求解： (3)根据“关联”二次函数的对称性求得点B、C坐标，再分∠ACB=90°和LBAC=90° 本题考查了二次函数的几何应用，二次函数与一元二次方程，直角三角形的定义及性质等，理解题意是解 题的关键。 56/58 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 y=-x2-4x-1 【详解】(1)解：由题意得， y=x2-4x+1 的“关联”二次函数的表达式为 y=-x2-4x-1 故答案为： (2)解：由“关联”二次函数的定义可知，互为“关联”二次函数的图像关于原点成中心对称， y=x(k≠0) ,正比例函数 的图像也关于原点成中心对称，且题()中的互为“关联”二次函数的图像与 =c(k≠0) 正比例函数 的图像只有两个交点， y=ar(k≠0 的图象与y=r-4x+ 的图像只有一个交点， ∴，关于x的方程x2-4x+1=a有两个相等的实数根， x2-(4+k)x+1=0 方程整理得， :△=(4+}-4=0 解得k=-2或k=6, “k的值为-2或6： (3)解：：二次函数”与片互为“关联”三次函数， :二次函数少与”的图像关于原点成中心对称。 :么B分别是互为“关联”的两个二次函数片与”的图像的顶点，点1(-3，刃 :点B(3-）,点0为B的中点， 设为=a(x-3-1l则=-a(x+3+1 当x=0时=9如-1 时， C(0,9a-1) 点 57/58 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :C是片的图像与'轴正半轴的交点， ∴.若△ABC为直角三角形，则∠ACB=90°或∠BAC=90°， 当∠ACB=90°时，，点O为AB的中点， AB :.0C=2 :AB=0A+0B=V32+P+V32+P=210 OC=)AB=可 ÷点C的坐标为(0i0), 当∠BAC=90°时，AB2+AC2=BC2, (210+0+3}2+(9a-1-}=(0-3)2+(9a-1+12, 11 解得a= 9 ÷a-1=9x1=10 9 点C的坐标为 0,10) 综上所述，点C的坐标为0，Vi0或Q,10). 58/58函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题10二次函数中的新定义型问题的四类综合题型 目 录 解题通法一明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳一精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、 二次函数中点坐标的新定义型问题 题型二 二次函数中伴随问题的新定义型问题 题型三、 二次函数与一次函数的新定义型问题 题型四、二次函数中对称问题的新定义型问题 压轴挑战一攻克高难压轴，突破思维上限 ◆◆ 解题通法一明晰核心解法，助力能力迁移 题型特征：现场定义与二次函数相关的新概念（如“关联点”“友好抛物线”“倍值点”)，要求解析 式、交点或参数范围。 -解题方法：逐句翻译定义，转化为代数条件（方程或不等式）；联立新定义与函数解析式，设参代入求 解：结合图象辅助理解范围。 -易错提醒：未理解定义即套用常规方法，忽略新定义中隐藏的约束（如“异侧”“非零点”)；参数讨 论时漏解或范围边界处理不当。 刁题型归纳一—精讲典型题法，奔尖解题报基 题型一、二次函数中点坐标的新定义型问题 典例1：(25-26九年级上河南驻马店期末)在学习抛物线的过程中，我们积累了一定的经验，请运用已 有经验，对抛物线的“阶梯点”进行研究. 定义：若抛物线上存在一点P,且点P的横、纵坐标之和为n,则称点P为此抛物线的“阶梯点”. 1/14 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 P(0,I 例如：点 在抛物线y=x+3x+1 ，且点P的横、纵坐标之和为1，则，点P就叫做此抛物线的 “阶梯1点”. 根据以上定义，解决下列问题： (Q)若点P是抛物线少=+3x+ 的“阶梯6点”，求点P的坐标. x,y 设点P的坐标为 ,由定义可知'=父+3x+1,且+y=6,所以'=6-x, 所以+r+3x+1=6 x=1x2=-5 解得 所以点P的坐标为 y=x2-3x-2 (2)若点P是抛物 的“阶梯1点”，求点P的坐标. y=x+x+c (3)若抛物线 上存在“阶梯3点”P,请直接写出C的取值范围. 题型模版 1特征：给出点坐标的新运算（如“倍点”“对称点”），在抛物线上按规则求点或范围。 2方法：将新定义转化为坐标关系式，代入抛物线方程，转化为二次方程或不等式求解并验证。 变式1-1(2425九年级上湖南永州期末)【定义】在平面直角坐标系中，对“纵横值”给出如下定义： 点 A(x,y 是函数图象上任意一点，纵坐标》与横坐标x的差“’-x”称为点A的“纵横值”，函数图象上 所有点的“纵横值”中的最大值称为函数的“最优纵横值”，例如：己知点1(24)在面数”=3江-2的图 象上，点A的“纵横值”可以表示为y-x=3x-2-x=2x-2,当1≤x≤5时，2x-2的最大值为 2×5-2=8 y=3x-21≤x≤5 ，因此，函数 )的“最优纵横值”为8。 【问题】根据定义，解决下列问题： P(3,6) (1)①点 的“纵横值”为， 2025 ②求出函数y= +x(5≤x<9)的“最优纵横值”： 2/14 画学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【应用】(2)己知二次函数y= 2+r+C的对称轴为直线x=2:且“最优纵横值”为3，求b,c的 值： ()求二次函数'=+K-2(1≤x≤1+)的“最优纵横值”是多少？（用'的代数式表示） 变式1-2(2025辽宁阜新·一模)在数学活动课上，小明兴趣小组对二次函数的图象进行了深入的探究，如 果将二次函数：y=+hr+c(a≠0) 图象上的点 (x》的横坐标不变，纵坐标变为4点的横、纵坐标之 和，就会得到的一个新的点 A(xxx+y) 他们把这个点A:定义为点A的“和点”，他们发现：二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0) 所有和点构成的图象也是一条抛物线，于是把这条抛物线定义为 y=ax2+bx+c(a≠0) 的“和抛物线”.例如，二次函数'=x+x+l1 的“和抛物线”就是 y=x2+x+1+x=x2+2x+1 请按照定义完成： 点P2)的“和”点是 (2如果抛物线'=+r+3(a≠0y经计点M,-3) 经过点 求该抛物线的“和抛物线”； (3)已知抛物线y=r+r+C图象上的 B武x八的“和点”是 (-1,1) 若该抛物线的顶点坐标为P,q), m,n) 该抛物线的“和抛物线”的顶点坐标为 ①当0≤c≤5时，求n的取值范围. (P,9) ②小明发现，当c取不同值时，所有的顶点P,9组成一条新的抛物线，设为”，所有的顶点 m,n）也组成 一条新的抛物线，设为，请直接写出这两条新抛物线顶点之间的距离， 3/14 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型二、二次函数中伴随问题的新定义型问题 典例2(2026江西模拟预测)定义：已知二次函数y=心+bx+C,则称二次函数 y=a(x-)+b(x-)+ 是二次函数y=+br+C的伴随二次函数，t是伴随值. 定义理解 (山)下列二次函数中，是二次函数”=+x+2 的伴随二次函数的是() A.y=(x-I0'+x+3 B.y=(x+I)+x+1 C.y=(x-2}'+x D.y=(x+2)}2+x+2 深入探究 网次同数青-式-2一了台国要知两防际，北件板次是致定片=F-6红习 ①伴随值为_： ②在同一平面直角坐标系中直接画出伴随二次函数的图象； ③当m≤x≤m+2时，记=次函数”与”的图象为取，若甲的最高点的纵坐标为12，求W的最低点的坐 标 6街 3 56 比 0 6 4/14 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2=x2-6x+5 5 -3 -4 -3 题型棋版 1特征：定义“伴随点”“伴随函数”等新概念，关联两个函数或点，求参数或关系式。 2方法：理解新定义，将伴随关系用代数式表示（如坐标互换），与二次函数联立，转化方程或不等式求 解。 变式2-1(2425九年级上江苏泰州阶段检测)【定义与性质】 定义：如图，记二次函数'=ax-+c和'=-a(x-p+9a≠0 的图象分别为抛物线C和C,若抛物 C C (p,9) 在抛物线C上，则称是C的件随抛物线. C 线的顶点 0 备用图 性质：①一条抛物线有无数条伴随抛物线； ②若S是C的件随抛物线，则C也是C的件随抛物线，即C的顶点 C (b,c)C 在 【理解与运用】 (1)证明性质②： (2)若二次函数y=2x-+m和y=一2x-m+3的图象都是抛物线y=2”的件随抛物线，则m=- ,n= 【思考与探究】 (3)设函数'=r-2c+2+3 C 的图象为抛物线 5/14 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ①若函数'=-r+c+e 图象为抛物线C,且C始终是C的件随抛物线，求，©的值： ②在(3)①的条件下，若抛物线与x轴有两个不同的交点 x,0)(x2,0x<x3) 请直接写出的取 值范围 变式2-2(2026辽宁抚顺模拟预测)【定义与性质】 记二次函数'=a-+(a≠0 P(h,k) 的图象为抛物线乙，其顶点为 定义：若存在另一条抛物线L,其解析式为'=-ax-m+”,且顶点 (m”)在抛物线上，则称抛物线 L'是抛物线L的“镜像抛物线”. 0)【理解与运用】：已知揽物线4y-式，若抛物线马：y=(x-3+是抛物线L的“镜像抛物线”， 求t的值： (2)【思考与探究】：设抛物线 y=-2mx+2m+4m为任意实数)，抛物线：y-+6x+C, ,且 抛物线是抛物线的“镜像抛物线”. ①若抛物线凸与'轴交于4(，0)，B(,0)两点任<）.且满足5=4 ,求m的值： ②设N是“镜像抛物线”b的顶点，M是抛物线的顶点，当点V在点M的右侧，且<∠M0N<45° 时，求m的取值范围. 题型三、二次函数与一次函数的新定义型问题 典例3(25-26九年级上：江苏苏州期末)定义：若直线y=x+m(m是常数)经过抛物线的顶点，则称 直线y=x+m是该抛物线的“最美直线”， ()若直线少=+m y=x2-2x-1 m 是抛物线 的“最美直线”，求的值： (2)平移抛物线 C:y=x2 得到抛物线9，若直线=x一是抛物线9的“最美直线”，直线”=x-与'轴 6/14 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 的交点为A,抛物线C2与y轴的交点为B,点A与点B关于原点对称，求抛物线C2对应的函数表达式 题型模版 1特征：定义两函数间的新运算（如“交点数”“距离”），按规则求参数或范围。 2方法：联立解析式将定义转化为方程或不等式，利用判别式或根与系数关系求解，注意实际意义。 变式3-1(2026江西上饶三模)【定义】若二次函数'=+c+c(a≠0 的顶点在直线’=上，则称 二次函数叫做直线'=的开心函数.例如：二次函数)=r-2x+2 1,1) 的顶点为 在直线’=x上，所以 二次函数"=r2-2x+2 y=x 是直线 的开心函数. 【应用】 y=x2+4x-3 (1)若二次函数 是直线少=」 的开心函数，求k的值： ②若二次函数y=-2mx+ 是直线少x “的开心函数. 1 ①求证：n≥- 4； ②若m-3≤x≤3时，y的最小值为-1，求m的值. 变式3-2(2024江西九江·一模)定义概念：在平面直角坐标系中，我们定义直线y=心-a为抛物线 y=ax2+bx+c y=-x2+bx+c 的“衍生直线”.如图1，抛物线 与其“衍生直线”交于A,B两点（点B在 C(-3,0) x轴上，点A在点B的左侧)，与x轴负半轴交于点 图1 图2 (1)求抛物线和“衍生直线”的表达式及点A的坐标： 7/14 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (②如图2，抛物线y=-+x+C的“衍生直线”与y轴交于点D,依次作正方形D0 正方形 DE2E ,,正方形DE,F(为正g数)，使得点A,D,B,,D在“生直线”上，点 FFF F ,…,在x轴负半轴上. E E ①直接写出下列点的坐标： ②试判断点，，…， 是否在同一条直线上？若是，请求出这条直线的解析式；若不是，请说明理 由 题型四、二次函数中对称问题的新定义型问题 典例4(2425九年级上·江西吉安期末)定义：如果两个二次函数的图像的开口大小相同，方向相反且 y=(x+2)2-1 项点的横、纵坐标都互为相反数，则称其中一个二次函数为另一个二次函数的伴随函数.如 与少=(x-2}+1 为伴随函数. y1=x2+2x-1 2=(x-h)2+k (0）少=-2x2-4x 的伴随函数的表达式为_： (2)若片=r2+2.x- 的图像的顶点为P,且过它的件随函数为=-+ 的图像顶点e, 8/14 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ① 、Q 求证：这两个函数图像的交点为 如图，点M是片=r+2x-1在R 在 之间的图像的动点， W上产轴交=--+的图像于点N。 求MN长度的最大值 题型模版 1.特征：定义关于点或线的“对称函数”，求新函数解析式或图象性质，需灵活转化。 2方法：利用对称变换法则（如关于x轴、y轴、原点或直线）确定坐标关系，代入原函数得新解析式。 变式41(2026河南平顶山·三模)定义：若抛物线上存在两点关于原点中心对称，则称这两点互为“抛物 A(2,4) 中心对称点”.点 在抛物线'=+c-4上，点A的“抛物中心对称点”为点B, (1)求这个抛物线的表达式及顶点坐标. (②)①在给出的平面直角坐标系中画出该抛物线和直线AB, ②将直线AB向下平移3个单位长度得到直线1，则直线1上 互为“抛物中心对称点”的两个 点。（填“存在”或“不存在”） ③将抛物线y=r'+bx-4 向上平移k>0 个单位长度，若平移后的抛物线上仍存在互为“抛物中心对 称点”的两个点，请直接写出k的取值范围. 空式42(2026辽宁抚顺一模)如图，在平面直角坐标系中，二次函数=-2x-3与 +x+e交于有B两点，已知为的图象与y轴交于点C0,引， 2 且关于直线x=-1对称. 9/14 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 备用图 (1)求二次函数的函数解析式： (2直线=m(1≤m≤2 分别与片和”的图象交于M,N两点，与轴交于点P.若PM=2PN,求m的 值： 3定义：M(倒为较小函数即M-5) (>),直线y=1与M(x)的图象交于D:E:F,G四点 (D,E,F,G从左到右依次排布)，若DG=4EF,求出的值. ◆◆ 同压轴挑战一支克离障压轴，突破思维上保 一、解答题 1.(25-26九年级上江西南昌·期中)定义：由两条与x轴有相同的交点，并且开口方向相同的抛物线所 用成的封闭面线称为“笑口线”.抛物线片=-了-2与抛物线⅓=a+x+Q>)组成一个如图所 1 示的“笑口线”， (1)求出点M,N的坐标： a (2)求c的值. 10/14 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2026河南开封一模)新定义：我们把二次函数 =+r+C与二次函数为=r+6+b (其中 bc≠0，且a,b,c均为常数)称之为“相关二次函数”.己知二次函数 y=mx2-3mx+2m+1 的图像 与》轴交于点 (0,-1) 二次函数的“相关二次函数”为 (①m的值为 L 的解析式为 ②当=‘时，二次函数上的点P与二次函数上的点2之间的距离为5，求的值。 n 3.(2026九年级上河南信阳专思练习)【定义】若二次函数”=+r+ 的顶点在直线'=血 上，则 此二次函数叫做直线'=“的开心函数.例如：二次函数'=r-2x+2的顶点为0在直线’=x上，所 (1,1) 以二次函数少=”-2x+2 直线'=的开心函数。 四法一次面数+-3是直线=“的开心商敬，果的值 y=x2-4mx+n y=一x (2)若二次函数 是直线的开心函数 ①求n(用含m的代数式表示)； ②若当-2≤x≤4时，y的最小值为-2，则的值为 xOy P(a,b) 4.(25-26九年级上江西南昌阶段检测)定义：在平面直角坐标系中，对于 、和抛物线 y=x2+ax+b P(a,b 我们称 是抛物线少产+a+ 的关联点，抛物线”=r++b息点P(a.), 是点 的关联抛 A(-4,4)B(8,-4)C(2,8) 物线.已知点 (1)点A的关联抛物线的解析式为 (②求过，B y=x+ax+b 两点的抛物线 的关联点坐标： 11/14 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 P(a,b) AC P(a,b) 的关联抛物线的项点都在同一条抛物线2 2 (3)设点 在直线 上运动，点 上，求抛物线的解 析式 5。(25-26九年级上江苏扬州期末)定义：把抛物线'=公+r+c (其中ab≠0 与抛物线 y=bx2+ax+c y=4x2+3x+5 y=3x2+4x+5 称为“李生抛物线”，例如，抛物 的“孪生抛物线”为 C:y=4ar2+ax+4a-3(a>0） 已知抛物线 的“李生抛物线”为C,G与y轴交于点豆 (I)直接写出抛物线C2的表达式 (②四若点五的坐标为0， ,求抛物线的解析式； (3)设C2的顶点为F,若OE=EF,求点E的坐标： (4)记C2在a-4≤x≤a-2时的最大值为M,最小值为L,且M-m=2a,则a= 6.(25-26九年级上江苏苏州阶段检测)新定义：我们把抛物线 y=am+bx(ah≠0)与y=hx+ 成为 “友好抛物线”，例如：抛物线'=r+2x y=2x2+x “友好抛物线”为 y=6x2-x (1)抛物线1 的友好抛物线的解析式为一， “友好抛物线”的顶点坐标为 M:y=ax2+bx(a<0) (2)若抛物线 和其“友好抛物线”的图象形状相同，开口方向不同，且抛物线M上有 且只有三个点到x轴的距离为2，求抛物线M的解析式. C:y=ax2+bx (3)已知抛物线 (其中a≠b )经过其“友好抛物线”的顶点， ①求抛物线C的对称轴： ②当-1≤x≤1时，y的最大值是4，求a的值. P(m,n 7.(2026江西南昌·一模)已知点 是抛物线'=+x+C上一点，若”=2m,则我们把点P称为 该抛物线的“二倍点”. (1)【定义理解】 12/14 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 y=x2 ①若点P是抛物线上的“二倍点”，则点P的坐标为 ②下列抛物线，没有“二倍点”的是」 A.y=2(x-4+8B.y=-4x2+2xC.y=-(x-lx-3) (2)【深入探究】 己知抛物线y=+br+c与x轴只有1个公共点 B(-2,0 ,且与y轴相交于点C(0,2列 ①求该抛物线的解析式： ②将该抛物线向下平移k个单位得到新的抛物线，若新抛物线恰好只存在1个“二倍点”，求k的值及该 “二倍点”的坐标 8.(2026辽宁抚顺：一模)定义：对于二次项系数之和为1，对称轴相同，且图象与y轴的交点也相同的 两个二次函数，我们称这两个函数互为“和谐二次函数” y=2x2+4x-5 =-x2-2x-5 例如： 的“和谐二次函数”为 函数y=-3x2+3r+ 的对称轴为一，其“和谐二次函数”为'一 (2)已知二次函数 C:y=2x2-8x+4 其“和谐二次函数”记为】 ① C 若函数的图象与函数C的图象交于A,B两点（点的横坐标小于点B的横坐标），动点P在点A, B之间的函数的图象上，当 S.PAB=12 时，求点P的横坐标 ②函数G(0≤x≤4 的图象与函数G(x之4 4)的图象组成新函数S,当0≤x≤n时，函数S的最大值与最 小值的差为8，求n的取值范围. 9.(2026广西·一模)在二次函数的研究领域中，对称轴是决定函数图象特征的关键要素之一.当两个二 次函数的图象对称轴相同时，便有了“同轴二次函数”这一特殊关系定义.它为我们剖析二次函数间的联 系搭建了新的桥梁，引领我们从对称轴的相同性深入探究函数表达式，图象以及取最值等内在规律与逻辑 关联 =2x2+4x-3 (1)已知二次函数 ,请写出一个与它是“同轴二次函数”且开口方向不同的二次函数； 13/14 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ②尼知二次函数%=3x-6r+7和为=+r-1a0),若为+为与”为“同拍二次函数”. ①求”的函数表达式（用含”的代数式表示）： y2 y=x ②若2与直线恰好只有一个交点，求“的值； @当1≤x≤2时，乃的最小值为3，求“的值。 10.(25-26九年级上江苏苏州明中)新定义：若二次西数为=++0(040，a么C是常数)， 则称片=-+-c 为的“关联”二次函数，称这两个函数互为“关联”二次函数 0)写出少=r2-4x+1 “关联”二次函数的表达式： y= ②若（小中的互为“关联”二次函数的两个图像与正比例函数'=(k≠0 的图像有且只有两个交点， 求k的值： )如图，二次函数”与”互为“关联”二次函数，4，B分别是互为“关联”的两个二次函数》与”的 图像的顶点，点C是”的图像与'轴正半轴的交点，连接AB,4C,BC,若点A为-3，)，且△MBC为直 角三角形，求点C的坐标. 14/14