第7讲 反比例函数的应用 优等生讲义 （精讲+典例+针对练习）2026--2027学年沪科版九年级数学上册

第7讲 反比例函数的应用 优等生讲义 （精讲+典例+针对练习）2026--2027学年沪科版九年级数学上册 参考答案与试题解析 📌 思维导图 🎯 课程目标 · · 能从实际问题中识别两个量成反比例关系，建立y=模型 · · 掌握行程、工程、温度变化等生活类反比例问题的解法 · · 能跨学科应用反比例函数解决压强、电流、气压等物理问题 · · 掌握几何中面积一定时底与高、矩形边长等反比例关系 · · 能综合反比例函数与一次函数解决交点、面积、存在性问题 📚 知识梳理 ☆ 1.实际生活中的反比例应用 两个量乘积为定值即成反比例：xy=k 行程问题：路程一定时v= 工程问题：工作总量一定时工作效率×时间=总量 温度变化：加热段为一次函数，降温段为反比例函数 概念辨析例题：司机以60km/h用8h到乙地，原路返回时v与t的关系式 解析：路程s=60×8=480km，返回时vt=480，故v= ☆ 2.跨学科反比例应用 物理：压力一定时压强p= 电学：电压一定时电流I= 气体：温度不变时气压pV=k 波：v=fλ，波速一定时频率与波长成反比 概念辨析例题：气球气压p是体积V的反比例函数，过点(0.8,120)，求表达式 解析：设p=，代入(0.8,120)得k=0.8×120=96 ☆ 3.几何中的反比例关系 三角形面积一定时，底a与高h成反比例：ah=2S 矩形面积一定时，相邻两边长成反比例 利用反比例函数图像交点判断「加倍矩形」是否存在 实际花圃问题：面积定值时两边长乘积为定值 概念辨析例题：三角形面积一定时底a与高h成反比例，图像过(4,3)，求解析式 解析：设h=，代入(4,3)得k=12，故h= ☆ 4.反比例函数与一次函数综合 联立两个函数解析式求交点坐标 利用k的几何意义求三角形面积 存在性问题：平行四边形、等腰三角形分类讨论 不等式解集看图像上下位置，分区间写 概念辨析例题：一次函数y=-x+4与反比例y=交于A、B，k=3时求A、B坐标 解析：联立-x+4=得x2-4x+3=0，x=1或3 📋 知识总结表 应用场景 函数关系 关键公式 行程问题 路程一定v与t成反比 vt=s 工程问题 总量一定效率与时间成反比 工作效率×时间=总量 压强问题 压力一定p与S成反比 p= 电学问题 电压一定I与R成反比 I= 气体问题 温度不变p与V成反比 pV=k 几何面积 面积一定底与高成反比 ah=2S 两函数交点 联立方程求解 不等式看图像上下 ⚠️ 核心考点 【考点1】反比例函数的应用（第1-14题） · · 先判断xy是否为定值 · · 待定系数法求k · · 注意分段函数（加热+降温） · · 由函数值求自变量范围 1．某学校对教室采用药薰消毒法进行消毒．现测得含药量y（毫克）与时间x（分）的部分数据如下表： 时间x/分 0 2 4 6 8 10 12 16 20 含药量y/毫克 0 1.5 3 4.5 6 4.8 4 3 2.4 则下列图象中，能表示y与x的函数关系的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【分析】直接利用表格中数据分别得出函数解析式，进而得出答案． 【解答】解：由表格中数据可得：0≤x＜8，数据成比例增长，是正比例函数关系，设解析式为：y＝kx， 则将（2，1.5）代入得：1.5＝2k， 解得：k， 故函数解析式为：yx（0≤x＜8）， 由表格中数据可得：8≤x，数据成反比例递减，是反比例函数关系，设解析式为：y， 则将（12，4）代入得：a＝48， 故函数解析式为：y（x≥8）． 故函数图象D正确． 故选：D． 【点评】此题主要考查了反比例函数的应用，正确得出函数关系式是解题关键． 2．（2026•高新区校级四模）如图1，区间测速是指检测机动车在两个相邻测速监控点之间的路段（测速区间）上平均速度的方法．小聪发现安全驾驶且不超过限速的条件下，汽车在某一高速路的限速区间AB段的平均行驶速度v（km/h）与行驶时间t（h）是反比例函数关系（如图2），已知高速公路上行驶的小型载客汽车最高车速不得超过120km/h，最低车速不得低于90km/h，小聪的爸爸按照此规定通过该限速区间AB段的时间可能是（　　） A．10min B．11min C．15min D．18min 【分析】根据反比例函数的图象性质和路程与速度时间之间的关系，分别求出最高车速120km/h时的时间以及最低车速90km/h的时间，即可求出答案．如图1，区间测速是指检测机动车在两个相邻测速监控点之间的路段（测速区间）上平均速度的方法．小聪发现安全驾驶且不超过限速的条件下，汽车在某一高速路的限速区间AB段的平均行驶速度v（km/h）与行驶时间t（h）是反比例函数关系（如图2），已知高速公路上行驶的小型载客汽车最高车速不得超过120km/h，最低车速不得低于90km/h，小聪的爸爸按照此规定通过该限速区间AB段的时间可能是 【解答】解：由题图②得，限速区间AB段的总路程为80×0.3＝24km， ∵最高车速为120km/h， ∴在最高车速120km/h下的行驶时间t0.2（h）， 同理可得，在最低车速90km/h下的行驶时间为t0.27（h）， ∴通过AB段限速区间的行驶时间应该在12min﹣16min之间． ∵12＜15＜16， ∴C选项符合题意． 故选：C． 【点评】本题考查了反比例函数的实际应用，解题的关键在于熟练掌握反比例函数的关系式和图象性质以及路程公式． 3．（2025秋•聊城期末）如图所示为某新款茶吧机，开机加热时每分钟上升20℃，加热到100℃，停止加热，水温开始下降，此时水温y（℃）与通电时间x（min）成反比例关系．当水温降至20℃时，饮水机再自动加热，若水温在20℃时接通电源，水温y与通电时间x之间的关系如图所示，则下列说法中错误的是（　　） A．水温从20℃加热到100℃，需要4min B．水温下降过程中，y与x的函数关系式是 C．上午10点接通电源，可以保证当天10：30能喝到不低于38℃的水 D．在一个加热周期内水温不低于40℃的时间为7min 【分析】根据水温升高的速度，即可求出水温从20℃加热到100℃所需的时间；设水温下降过程中，y与x的函数关系式为，根据待定系数法即可求解；先求出当水温下降到20℃所需时间为20min，即一个循环为20min，30﹣20＝10，将x＝10代入反比例函数解析式中求出此时水温即可判断；分别求出在加热过程和降温过程中水温为40℃时的时间，再相减即可判断． 【解答】解：∵开机加热时每分钟上升20℃， ∴水温从20℃加热到100℃，所需时间为，故A选项正确，不符合题意； 设水温下降过程中，y与x的函数关系式为， 由题意得，点（4，100）在反比例函数的图象上， ∴， 解得：k＝400， ∴水温下降过程中，y与x的函数关系式是，故B选项正确，不符合题意； 令y＝20，则， ∴x＝20， ∴从开机加热到水温降至20℃需要24min，即一个循环为24min， 设加热过程中水温y（℃）与通电时间x（min）的函数关系式为：y＝k′x+20，把（4，100）代入得：4k′+20＝100， 解得：k′＝20， ∴此时y＝20x+20， ∴水温y（℃）与通电时间x（min）的函数关系式为， ，上午10点到10：30共30分钟，30﹣20＝10， ∴当x＝10时，， 即此时的水温为40℃＞38℃，故C选项正确，不符合题意； 在加热过程中，水温为40℃时，20x+20＝40， 解得：x＝1， 在降温过程中，水温为40℃时，， 解得：x＝10， ∵10﹣1＝9， ∴一个加热周期内水温不低于40℃的时间为9min，故D选项错误，符合题意． 故选：D． 【点评】本题主要考查反比例函数和一次函数的应用、用待定系数法求反比例函数解析式，解题关键在于读懂图象，灵活运用所学知识解决问题． 4．（2025秋•老河口市期末）一名司机驾驶汽车从甲地去乙地，他以60km/h的平均速度用了8h到达目的地．当他按原路匀速返回时，汽车的速度v（单位：km/h）与时间t（单位：h）之间的函数关系式为（　　） A． B． C．v＝60+t D． 【分析】根据去程的速度和时间求出路程，返回时根据路程不变，速度与时间成反比例关系列函数关系式即可． 【解答】解：由条件可知路程 s＝v0×t0＝60×8＝480km， 返回时，路程s不变，且匀速返回， ∴v×t＝s＝480， ∴， 故选：A． 【点评】本题考查反比例函数的实际应用，掌握路程、速度、时间的数量关系是解题的关键． 5．（2026•夏邑县模拟）如图，在常温（25℃）常压时用电热水壶加热一壶水，水的温度y（℃）与时间x（分钟）近似满足一次函数关系，当水温达到100℃时停止加热，将茶叶放入热水壶，在一定时间内，茶水的温度y（℃）与时间x（分钟）近似满足反比例函数关系，已知该种茶水在30℃∼50℃时适宜饮用，在40℃时饮用口感最佳．若按照上述程序冲泡一壶该种茶水，并从开始加热时计时，下列说法错误的是（　　） A．加热6分钟时水沸腾 B．加热4分钟时水温上升了50℃ C．该种茶水适宜饮用的时间范围是第12分钟～第20分钟 D．若在口感最佳时饮用，需要等待的时间是16分钟 【分析】由函数图象可知加热4分钟时，水温上升了75﹣25＝50（℃），可判断B，设加热一壶水时，水的温度y（℃）与时间x（分钟）的一次函数表达式为y＝kx+b（k≠0），利用待定系数法求出解析式进一步即可判断A，再利用待定系数法求出反比例函数解析式，进一步即可判断选项C和D． 【解答】解：由题图可知，加热4分钟时，水温上升了75﹣25＝50（℃），故B正确，不符合题意． 设加热一壶水时，水的温度y（℃）与时间x（分钟）的一次函数表达式为y＝kx+b（k≠0）， 将（0，25）和（4，75）代入， 得，解得 故加热一壶水时，y与x的函数表达式为y＝12.5x+25． 当y＝100时，12.5x+25＝100， 解得x＝6．故A正确，不符合题意． 设将茶叶放入热水壶后y与x的函数关系式为（k为常数，且k≠0）， 将（6，100）代入， 得， 解得k＝600， ∴， 当y＝40时，， 解得x＝15， ∴若在口感最佳时饮用，需要等待的时间是15分钟，故D不正确，符合题意． 当y＝50时，，解得x＝12， 当y＝30时，，解得x＝20， ∴该种茶水适宜饮用的时间范围是第12分钟～第20分钟， 故C正确，不符合题意， 故选：D． 【点评】本题主要考查了反比例函数的应用，掌握其相关知识点是解题的关键． 6．机器狗是一种模拟真实犬只形态和部分行为的机器装置，其最快移动速度v（m/s）是载重后总质量m（kg）的反比例函数．已知一款机器狗载重后总质量m＝60kg时，它的最快移动速度v＝6m/s；当其载重后总质量m＝80kg时，它的最快移动速度v＝（　　） A．4.5m/s B．5m/s C．5.5m/s D．6m/s 【分析】利用待定系数法求出v与m之间的函数关系式，当m＝100时求出对应v的值即可． 【解答】解：由题意，设v与m之间的函数关系式为（k为常数，且k≠0）， 将m＝60，v＝6分别代入得， 解得 k＝360， ∴v与m之间的函数关系式为， ∴当m＝80时，， ∴当其载重后总质量m＝80kg时，它的最快移动速度v＝4.5m/s． 故选：A． 【点评】本题考查反比例函数的应用，掌握待定系数法求反比例函数的关系式是解题的关键． 7．（2026•临安区一模）某品牌新能源汽车搭载了一块容量为100KWh（千瓦时）的电池组．在使用“超级快充”桩充电时，充电功率P（单位：KW）与充满电所需的时间t（单位：h）满足反比例函数关系．若将充电功率提升至原来的1.5倍，则充满电所需的时间将缩短　t h（用含t的代数式表示）． 【分析】依据题意，电池总电量：W＝100kW•h，又，又功率提升至1.5P，从而新时间t'，故时间缩短量，进而可以得解． 【解答】解：由题意，电池总电量：W＝100kW•h， ∵电量＝功率×时间， ∴． ∵功率提升至1.5P， ∴新时间t'． ∴时间缩短量． ∴充满电所需的时间将缩短th． 故答案为：t． 【点评】本题主要考查了反比例函数的应用，解题时要熟练掌握并能根据题意列出关系式是关键． 8．（2025秋•梧州期末）某校开放周筹备期间，小杨接到一项任务：将一批纪念徽章分发给志愿者．他们发现，每天分发的数量与分发天数成反比例关系．已知如果每天分发50枚，则恰好按计划天数完成；如果每天分发75枚，则可以提前2天完成．则每天分发数量y（枚）与分发天数x（天）之间的函数关系式为　　 ． 【分析】由每天分发数量y与分发天数x成反比例，设总徽章数为k，根据两种分发情况列出方程，求解计划天数和k，再写出函数关系式． 【解答】解：设总徽章数为k枚，计划天数为x1天． 根据反比例关系，有k＝xy． 当y＝75时，x＝x1﹣2，即k＝75（x1﹣2）， 当y＝50时，x＝x1，即k＝50x1， 由50x1＝75（x1﹣2）， 解得x1＝6． 则k＝300． 因此y与x的函数关系式为 ． 故答案为：． 【点评】本题考查了反比例函数的应用，理解题意是解题关键． 9．（2026•科尔沁区校级模拟）在生态学中，某种濒危鸟类的有效栖息地面积S（平方千米）与其种群密度a（只/平方千米）近似满足反比例关系．研究发现，当有效栖息地为20平方千米时，密度为25只/平方千米．若该区域内的鸟类总数保持稳定（无迁入迁出），当因森林砍伐导致有效栖息地缩减至5平方千米时，种群密度a＝　100　 只/平方千米． 【分析】设函数表达式为，当S＝20时，a＝25，即可求解． 【解答】解：设函数表达式为，由条件可知k＝25×20＝500， ∴， ∴a＝100， 故答案为：100． 【点评】本题考查了反比例函数的应用，解题关键在于熟练掌握其相关知识点． 10．（2026•宝塔区一模）为建设美丽乡村，某村现要铺设一条村路，村民完成铺设所需时间y（天）与平均每天的工作量x（米/天）成反比例关系，函数图象如图所示．若村民计划用15天完成铺设，则平均每天的工作量是　40　 米/天． 【分析】依据题意，设反比例函数解析式为，结合图象上的点求出，即可求解． 【解答】解：由题意，设反比例函数解析式为， ∵图象过点（50，12）， ∴， ∴k＝50×12＝600， ∴， ∴当y＝15时，则， ∴x＝40， 答：村民计划用15天完成铺设，则平均每天的工作量是40米/天． 【点评】本题主要考查了反比例函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用待定系数法是关键． 11．（2026•雨花台区模拟）某饮水机开机后即开始烧水，当水温到时自动停止加热，随后水温逐渐下降，根据此过程绘制了水温y（单位：℃）随时间x（单位：t）变化的大致图象（由线段与双曲线一部分组成），如图所示．则该饮水机开始烧水后水温始终保持在40°以上时间为　31.5　 分钟． 【分析】用待定系数法分别求直线AB和曲线BC的解析式，分别求解当y＝40时，对应的x值，即可得该饮水机开始烧水后水温始终保持在40℃以上的时间． 【解答】解：设直线AB解析式为：y＝kx+b，则， 解得， ∴温度上升段（AB）的解析式为yx+20（0≤x＜14）， 当y＝40时，即x+20＝40， 解得x＝3.5； 设反比例函数的表达式为y（x≥14）， 将点B（14，100）的坐标代入上式得100， 解得：k＝1400， 故温度下降段（BC段）函数表达式y（x≥14）， 当y＝40时，即40， 解得x＝35； 故答案为：31.5． 【点评】本题是一次函数与反比例函数的综合，考查了待定系数法求函数解析式，已知函数值求自变量的值等知识，关键是读懂题意，列出函数关系式． 12．（2025秋•安康期末）某种玻璃原材料需在0℃环境保存，取出后匀速加热至600℃高温之后停止加热，玻璃温度会逐渐降低至室温（30℃），加热和降温过程中可以对玻璃进行加工，如图是玻璃温度y（℃）与时间x（min）的函数图象，其中降温阶段y与x成反比例函数关系，根据图象信息，回答下列问题： （1）求降温阶段y与x的函数表达式； （2）求温度从600℃降到室温30℃所需要的时间． 【分析】（1）由题可得，（4，600）在反比例函数图象上，设反比例函数解析式为，代入点（4，600）得到y与x的函数关系式是； （2）将y＝30代入得到x＝80，根据80﹣4＝76（min），于是得到结论． 【解答】解：（1）设反比例函数表达式为， 由题意可得：， 解得k＝2400， 所以所求函数表达式为； （2）把y＝30代入得，x＝80， 80﹣4＝76（min）， 答：所需要的时间为76min． 【点评】本题考查了反比例函数的应用，理解题意，结合图象求解是解题关键． 13．（2025秋•清城区期末）综合与实践：在有限的空间内检测视力问题． 具体情境：对某班学生视力进行检测的任务； 现有条件：一张测试距离为5米的视力表，一间长为3.8米，宽为3.6米的书房． （1）如图1，若将视力表挂在墙CDGH上，在墙ABEF上挂一面足够大的平面镜，根据平面镜成像原理可知：测试线应画在距离平面镜ABEF　1.2　 米处； （2）小明选择按比例制作视力表完成该任务，在制作过程中发现视力值V和该行字母E的长度a之间的关系是一种函数模型，字母E的长度a如图2所示，视力表上部分视力值V和字母E的长度a的部分对应数据如下表所示： 位置 视力值V a的值（mm） 第1行 0.1 70 第5行 0.25 28 第8行 0.5 14 第14行 2 3.5 ①根据表格数据判断，从一次函数、反比例函数中选择一个合适的函数模型拟合视力值V与字母E的长度a（说明理由），并求出视力值V与字母E长度a之间的函数关系式； ②小明在制作过程中发现某行字母E的长度a的值12.5mm，请问该行对应的视力值是多少？ 【分析】（1）由轴对称的性质即可得到答案． （2）①由视力值V与字母宽度a的乘积是定值，得到视力值V与字母宽度a成反比例函数关系，用待定系数法即可求出函数关系式． ②把a＝12.5，代入V，即可得到答案． 【解答】解：（1）5﹣3.8＝1.2（米）， ∴测试线应画在距离墙ABEF1.2米处， 故答案为：1.2． （2）①∵视力值V与字母宽度a的乘积是定值7， ∴视力值V与字母宽度a成反比例函数关系． 设V， 把a＝70，V＝0.1，代入得到k＝7， ∴视力值V与字母宽度a的函数关系是V． ②把a＝12.5，代入V，得V＝0.56， ∴该行对应的视力值是0.56． 【点评】本题考查反比例函数的应用，轴对称的性质，关键是由题意得到视力值V与字母宽度a成反比例函数关系． 14．（2026•清远一模）在环境科学领域的一定条件下，某污染区域的净化时间t（单位：小时）与净化设备的功率P（单位：千瓦）存在着某种函数关系，部分对应值如表所示： 净化设备的功率P（千瓦） … 90 60 45 36 … 净化时间t（小时） … 2 3 4 5 … （1）请根据表中给出的数据，求t与P之间的函数关系式． （2）若要求净化时间不超过10小时，则净化设备的功率至少需要多少千瓦？ 【分析】（1）由表格中的数据可知，Pt＝180，据此可得答案； （2）求出t＝10时P的值，再结合反比例函数的性质可得答案． 【解答】解：（1）由表格中的数据可知，Pt＝180， ∴； （2）当t＝10时，P＝18， 由条件可知反比例函数性质为t随P的增大而减小， ∴当t≤10时，P≥18， 答：若要求净化时间不超过10小时，则净化设备的功率至少需要18千瓦． 【点评】本题考查了反比例函数的应用，理解题意，熟练掌握反比例函数的性质是关键． 【考点2】反比例函数应用跨学科（第15-19题） · · 压强p= · · 电流I= · · 气压pV=k · · 波v=fλ 15．（2026•花溪区二模）某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压p（kPa）是气体体积V（m3）的反比例函数，其图象如图所示． （1）求该反比例函数的表达式； （2）当气球内的气压大于140kPa时，气球将爆炸．为了安全起见，气体的体积应不小于多少？ 【分析】（1）设出反比例函数解析式，把点A的坐标代入即可求得比例系数； （2）易得气球内的气压应不超过140kPa，列出不等式，求得相应的解集即可． 【解答】解：（1）设p， ∵点A（0.8，120）在反比例函数解析式上， ∴k＝0.8×120＝96， ∴反比例函数的表达式为p； （2）由题意得：140， 140V≥96， 解得：V． 答：气体的体积应不小于m3． 【点评】本题考查二次函数的应用．用待定系数法求得二次函数的解析式是解决本题的关键． 16．（2026秋•同步）阅读以下素材，探索完成任务． 极地探索，冰面行走是否安全 素材1 如图所示是我国自主研发的四轮长航程极地漫游机器人，某台该种机器人质量为500kg 素材2 重力（G）＝ 质量（m）×重力系数（g）；压强（p）＝ ；重力系数g≈10N/kg 备注：机器人对冰面的压力与自身重力相等 素材3 南极某处冰面能承受的最大压强为1×104Pa 解决问题 任务1 直接写出该机器人对冰面的压强p（Pa）关于受力面积S（m2）的函数表达式 任务2 为适应极地的不同应用环境，现将该机器人改装，使其可更换A、B、C三种型号的履带（更换不同型号履带时，该机器人整体质量保持不变，每个轮胎都需更换履带），A、B、C三种型号对应的每条履带的接地面积分别为1000cm2、1200cm2、1500cm2，利用函数的性质判断，极地机器人应更换哪种型号的履带方可安全通过该冰面 任务3 综合学科知识，当科考人员在行走过程中遇到冰面破裂等危险时，请你写出一条建议帮助科考队员安全离开危险区 【分析】任务1、根据公式算出重力，即为压力，根据压强公式可得P与S之间的关系式； 任务2、取P为1×104Pa，代入任务1中得到的函数关系式，求得S的值，除以4，算出每条履带与地面的接触的最小面积，即可选出合适的型号． 任务3、可减轻负重，减小压力，或匍匐前进，增大受力面积． 【解答】解：任务1、G＝500×10＝5000（N）． ∵压强（p），极地机器人在冰面上的压力与重力相等． ∴P； 任务2、当P＝1×104Pa时， S0.5（m2）＝5000（cm2）． ∵是四轮长航程极地机器人， ∴每条履带的接触面积为：1250（cm2）， ∵A、B、C三种型号对应的每条履带的接触面积分别为1000cm2、1200cm2、1500cm2， ∴极地机器人应更换C型号的履带方可安全通过该冰面； 任务3、丢弃不重要的装备．（答案不唯一）． 【点评】本题考查反比例函数的应用．理解并应用物理中重力和压强的公式，是解决本题的关键．难点是根据压强公式得到每条履带与地面的接触的最小面积． 17．（2026•禹城市二模）阅读下列材料，认真思考并回答相关的问题． 材料一：在﹣20℃到40℃范围内，声音（声波）在空气中的传播速度（声速）v（单位：m/s）与气温t（单位：℃）的关系如下表： 气温（℃） ﹣10 0 10 20 30 声速（m/s） 325 331 337 343 349 材料二：声音的频率（f）是指声波每秒振动的次数，单位为赫兹（Hz）．人能听到的声音频率有一定的范围，多数人能听到的频率范围是20～20000Hz． 材料三：声音的波长（λ）是指声波在传播的过程中，相邻的两个波峰（或波谷）的距离，单位为米（m）．声音的频率f和波长λ与声音的传播速度（v）（单位：m/s）满足公式：v＝f•λ． （1）当气温为20℃时，声速为 　343　 m/s； （2）根据材料一表格中的数据，从你所学的函数中选择一个函数，使它能近似地反映声速（v）与气温（t）的函数关系，并求出这个函数的解析式（不要求写出t的取值范围）； （3）目前国际通用的钢琴标准音A4频率为440Hz，在室温为25℃的情况下，求钢琴标准音A4的波长． 【分析】（1）依据题意，结合表格数据可得，当气温为20℃时，声速为343m/s，进而可以得解； （2）依据题意，结合表格数据，声速（v）与气温（t）是一个一次函数的关系，故可设函数的关系式为V＝kt+b，从而，进而计算可以得解； （3）依据题意，由t＝25℃，结合（2）v＝0.6t+331，可得v＝0.6×25+331＝346，结合v＝f•λ，f＝440Hz，可得λ，进而计算可以得解． 【解答】解：（1）由题意，结合表格数据可得，当气温为20℃时，声速为343m/s． 故答案为：343． （2）由题意，结合表格数据，声速（v）与气温（t）是一个一次函数的关系． 设函数的关系式为V＝kt+b， ∴． ∴． ∴v＝0.6t+331． （3）由题意，t＝25℃，结合（2）v＝0.6t+331， ∴v＝0.6×25+331＝346． 又∵v＝f•λ，f＝440Hz， ∴λ0.78（m）． 【点评】本题主要考查了反比例函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用反比例函数的性质是关键． 18．（2025秋•府谷县期末）笑笑同学通过学习数学和物理知识，知道了电磁波的波长λ（单位：m）与电磁波的频率f（单位：MHz）之间为反比例函数的关系，已知当波长λ＝30m时，频率f＝10MHz． （1）求电磁波的频率f关于电磁波的波长λ的函数表达式； （2）当f＝75MHz时，求此电磁波的波长λ． 【分析】（1）设解析式为，用待定系数法求解即可； （2）把f＝75MHz代入（1）所求得的解析式中，即可求得此电磁波的波长λ． 【解答】解：（1）设频率f关于电磁波的波长λ的函数解析式为， 把点（30，10）代入得：， 解得：k＝300， ∴电磁波的频率f关于电磁波的波长λ的函数表达式； （2）当f＝75MHz时，， 解得λ＝4． 答：当f＝75MHz时，此电磁波的波长λ为4m． 【点评】本题考查了反比例函数的应用，利用待定系数法求得反比例函数解析式是解题的关键． 19．（2025秋•浔阳区校级月考）【背景】在一次物理实验中，小冉同学用一固定电压为12V的蓄电池，通过调节滑动变阻器来改变电流大小，完成控制灯泡L（灯丝的阻值RL＝2Ω）亮度的实验（如图），已知串联电路中，电流与电阻R、RL之间关系为，通过实验得出如下数据： R/Ω … 1 a 3 4 6 … I/A … 4 3 2.4 2 b … （1）a＝　2　 ，b＝　　 ； （2）【探究】根据以上实验，构建出函数，结合表格信息，探究函数的图象与性质． ①在平面直角坐标系中画出对应函数的图象． ②随着自变量x的不断增大，函数值y的变化趋势是　逐渐减小　 ． （3）【拓展】根据（2）中函数图象，可考虑利用“数形结合”进行分析，当x≥0时，的解集为x≥4或x＝0　 ． 【分析】（1）根据解析式求解即可； （2）①根据表格数据，描点连线画出函数图象；②根据图象可得出结论； （3）作函数y＝﹣x+6的图象，根据图象，即可求解， 【解答】解：（1）由题意，， 当I＝3时，由得a＝2， 当R＝6时，， 故答案为：2，； （2）①根据表格数据，描点、连线得到函数的图象如图： ②由图象可知，随着自变量x的不断增大，函数值y逐渐减小， 故答案为：逐渐减小； （3）作函数y＝﹣x+6 的图象，如上图， 由函数图象可知，当x≥4或x＝0时，， ∴即， 12+x2+2x﹣6x﹣12≥0， 解集为：x≥4或x＝0， 故答案为：x≥4或x＝0． 【点评】本题考查反比例函数的图象与性质、描点法画函数图象、两个函数图象的交点问题，根据表格画出函数的图象，并利用数形结合思想探究函数性质是解答的关键． 【考点3】反比例函数的应用_几何问题（第20-23题） · · 面积一定底高成反比 · · 矩形面积一定边长成反比 · · 图像交点判断存在性 · · 花圃问题列代数式 20．（2026•石家庄二模）当三角形面积一定时，它的底边长a（cm）与底边上的高h（cm）成反比例函数关系，其图象如图所示，则当底边长a（cm）满足1.2＜a＜2.4时，底边上的高h（cm）的可能是（　　） A．4 B．6 C．12 D．13 【分析】根据图象求出反比例函数的解析式结合性质直接求解即可得到答案． 【解答】解：设反比例函数解析式为：， 由图象得过点（4，3），代入得，， ∴k＝12，则， ∵1.2＜a＜2.4， ∴，即5＜h＜10， ∴对照选项符合题意的是B，ACD均不符合题意． 故选：B． 【点评】本题考查求反比例函数的解析式及反比例函数的性质，解题的关键是根据图象得到必过点求出解析式． 21．（2026•夏县二模）山西是中国“面食之乡”，以“一面百样、一面百味”著称．其中，龙须面因面条细若须发、形似龙须而得名．某数学兴趣小组研究发现，当面团一定时，面条长度y（单位：m）是面条的平均横截面积x（单位：mm2）的反比例函数．观察图象，当该面团拉出的龙须面的面条长度为80m时，该龙须面的面条的平均横截面积约为　1.6　 mm2． 【分析】利用待定系数法求出反比例函数的解析式，再求出当y＝80时，此时x的值即可． 【解答】解：设反比例函数的表达式为， 由条件可得：， ∴k＝128， ∴反比例函数的表达式为， 当y＝80时，， 解得：x＝1.6， ∴当该面团拉出的龙须面的面条长度为80m时，该龙须面的面条的平均横截面积约为1.6mm2． 故答案为：1.6． 【点评】本题考查了反比例函数的应用，熟练掌握反比例函数性质是关键． 22．（2025秋•禅城区期末）综合探究 【问题提出】如图1，现有一个长为2，宽为1的矩形M，是否存在一个周长与面积均为它的2倍的“加倍”矩形N？ 【追根溯源】用数形结合的方式解决这个问题，思路如下： ①设“加倍”矩形的长为x，宽为y，由题意得． ②两方程对应的函数y＝﹣x+6与在同一坐标系中的图象如图2所示． ③两图象存在交点，相当于存在条件的x、y的值，即存在满足条件的“加倍”矩形N． 【举一反三】 （1）对于矩形M，是否存在一个面积为它的2倍，周长为它的a倍的“加倍”矩形K？如果存在，求a的最小值；如果不存在，说明理由． （2）将“矩形M”换成满足条件“∠B＝60°，AB＝2，BC＝4”的▱ABCD（如图3所示），在角度不变的情况下，是否存在一个周长与面积均为它的2倍的“加倍”平行四边形？ 【融会贯通】 （3）定义：较短边与较长边的比值为的平行四边形是黄金平行四边形．已知周长为2，面积为的▱ABCD（如图4所示），AB＜BC，∠B＝45°．在角度不变的情况下，周长为它的2倍、面积为它的4倍的“加倍”平行四边形的边长分别是多长？是否为黄金平行四边形？ 【分析】（1）设“加倍”矩形的长为x，宽为y，由题意得，当﹣x+3a时，Δ＝9a2﹣16＝0时，a的值最小； （2）设“加倍”矩形的长为x，宽为y，由题意得，分别求出边长即可； （3）设“加倍”矩形的长为x，宽为y，由题意得，求出较短边为3，较长边为1，再判断是为黄金平行四边形． 【解答】解：（1）存在，理由如下： 设“加倍”矩形的长为x，宽为y，由题意得， ∴， 当﹣x+3a时，x2﹣3ax+4＝0， Δ＝9a2﹣16＝0时，a或a（舍）， ∴a的最小值为； （2）存在，理由如下： 过点A作AH⊥BC交于H， ∵AB＝2， ∴AH＝2， 设“加倍”矩形的长为x，宽为y，由题意得， ∴， 当﹣x+12时，x2+12x+16＝0， 解得x＝6﹣2或x＝6+2， ∴x＝6+2，y＝6﹣2或y＝6+2，x＝6﹣2， ∴边长分别为6+2，6﹣2； （3）是为黄金平行四边形，理由如下： 设“加倍”矩形的长为x，宽为y，由题意得， ∴， 当﹣x+2时，解得x1或x＝3， ∴较短边为3，较长边为1， ∵， ∴是为黄金平行四边形． 【点评】本题考查反比例函数的图象及性质，熟练掌握反比例函数的图象及性质，平行四边形的性质是解题的关键． 23．（2025秋•如皋市期中）综合与实践：学校数学兴趣小组围绕“校园花圃方案设计”开展主题学习活动．若花圃一边靠墙（墙的长度不限），其余部分用栅栏围成．兴趣小组设计了以下两种方案： 方案一 方案二 如图1，围成的四边形ABCD是一个长方形花圃． 如图2，围成长方形花圃EFHG时，中间用栅栏（栅栏宽度忽略不计）将该花圃分隔为两个小长方形区域，用来种植不同花卉，并在花圃两侧各留一个宽为3m的进出口．（进出口不用栅栏） （1）方案一中，若围成一个面积为450m2的长方形花圃．设与墙垂直的栅栏AB的长度为xm，与墙平行的栅栏BC的长度为ym，则y＝　　 （用含x的式子表示），y与x成　反　 （填“正”或“反”）比例关系； （2）方案一中，若栅栏AB的长为（2a+3b）m，栅栏BC的长比它多（a+b）m．求方案一中所需栅栏的总长度； （3）方案二中，若所需栅栏的总长度为60m，设中间栅栏MN的长度为（2a+3b）m，用含a，b的代数式表示与墙平行的栅栏FH的长度，并求当a＝1，b＝3时方案二中花圃的面积． 【分析】（1）依据题意，由与墙垂直的栅栏AB的长度为xm，与墙平行的栅栏BC的长度为ym，则xy＝450，从而y，则y与x成反比例关系，即可得解； （2）依据题意，由栅栏AB的长为（2a+3b）m，栅栏BC的长比它多（a+b）m，从而BC＝2a+3b+a+b＝3a+4b，故所需栅栏的总长度＝2AB+BC＝7a+10b，进而可以判断得解； （3）依据题意，由所需栅栏的总长度为60m，中间栅栏MN的长度为（2a+3b）m，则与墙平行的栅栏FH的长度为：60﹣3（2a+3b）+6＝66﹣6a﹣9b，从而当a＝1，b＝3时，方案二的面积＝MN•FH＝（2+9）（66﹣6﹣27），进而计算可以得解． 【解答】解：（1）由题意，∵与墙垂直的栅栏AB的长度为xm，与墙平行的栅栏BC的长度为ym， ∴xy＝450． ∴y，则y与x成反比例关系； 故答案为：；反； （2）由题意，∵栅栏AB的长为（2a+3b）m，栅栏BC的长比它多（a+b）m， ∴BC＝2a+3b+a+b＝3a+4b． ∴所需栅栏的总长度＝2AB+BC ＝2（2a+3b）+3a+4b ＝4a+6b+3a+4b ＝7a+10b． ∴方案一中所需栅栏的总长度为（7a+10b）m． （3）由题意，∵所需栅栏的总长度为60m，中间栅栏MN的长度为（2a+3b）m， ∴与墙平行的栅栏FH的长度为：60﹣3（2a+3b）+6＝66﹣6a﹣9b． ∴当a＝1，b＝3时，方案二的面积＝MN•FH ＝（2+9）（66﹣6﹣27） ＝11×33 ＝363（m2）． 答：与墙平行的栅栏FH的长度（66﹣6a﹣9b）m；当a＝1，b＝3时方案二中花圃的面积为363m2． 【点评】本题考查了反比例函数的应用、列代数式以及代数式求值， 【考点4】反比例函数综合（第24-33题） · · 联立方程求交点 · · k几何意义求面积 · · 平行四边形分类讨论 · · 不等式看图像上下位置 24．（2025秋•吉安县期末）小明在学习了反比例函数的图象与性质后，进一步研究函数的图象与性质．类比反比例函数的研究方法，过程如下： （1）列表：如表是x与y的几组对应值，其中m＝ 　4　 ； x … ﹣6 ﹣4 ﹣3 ﹣2 2 3 4 6 … y … 2 3 m 6 6 4 3 2 … 描点：根据表中各组对应值（x，y），在平面直角坐标系中描出各点； 连线：用平滑的曲线顺次连接各点，如图画出了部分图象，请你把图象补充完整； （2）下列关于函数的说法，正确的有 　③④　 ． ①函数图象分别位于一、三象限；②当x＜0时，y随x的增大而减小； ③函数图象关于y轴对称；④函数值始终大于0； （3）已知直线y＝x+4与图象的交点坐标为 　（2，6）　 ，则不等式的解集为 x＜0或0＜x＜2　 ． 【分析】（1）m4，描点连线绘制函数图象即可； （2）从函数图象看：①函数图象分别位于二、四象限，故①错误；②当x＜0时，y随x的增大而增大，故②错误；③函数图象关于y轴对称，故③正确；④函数值始终大于0，故④正确，即可求解； （3）①绘制函数y＝x+4的图象，从图象看，交点坐标为（2，6）；②观察函数图象即可求解． 【解答】解：（1）m4， 描点连线绘制函数图象如下： 故答案为：4； （2）从函数图象看：①函数图象分别位于二、四象限，故①错误；②当x＜0时，y随x的增大而增大，故②错误； ③函数图象关于y轴对称，故③正确；④函数值始终大于0，故④正确， 故答案为：③④； （3）①绘制函数y＝x+4的图象，从图象看，交点坐标为（2，6）； ②从函数图象看，不等式的解集为x＜0或0＜x＜2， 故答案为：①（2，6）；②x＜0或0＜x＜2． 【点评】本题通过反比例函数的知识，考查学生的猜想探究能力，正确理解题意，作出函数图象是解题的关键． 25．（2026•南岸区模拟）如图，点E为矩形ABCD边AD的中点，连接BE，AB＝8，AD＝12．动点P从B出发沿B→E→A的路线以每秒2个单位长度的速度运动，到达A点时停止运动；同时动点Q从C出发沿C→D的路线以每秒1个单位长度的速度运动，到达D点时停止运动．点M是射线CB上一动点，连接QM，运动过程中△CQM的面积始终等于4．设点P，Q的运动时间为x秒（0＜x＜8），点P到AB的距离为y1，CM的长度为y2． （1）请直接写出y1，y2分别关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中画出函数y1，y2的图象，并分别写出函数y1，y2的一条性质； （3）结合函数的图象，请直接写出y1＞y2时，x的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2）． 【分析】（1）先求出，AE+BE＝16，分类讨论：当点P在BE上时（包括点E），当点P在AE上时（不包括点E）时，5＜x＜8，求出，根据三角形的面积，得到，即，即可解答； （2）根据列表，描点，连接作图即可，根据图像的性质解答即可； （3）根据图像进行求解即可． 【解答】解：（1）∵点E为矩形ABCD边AD的中点，AB＝8，AD＝12， ∴，∠A＝∠C＝90°， ∴BE10， ∴AE+BE＝16， 当点P在BE上时（包括点E），有，即0＜x≤5$， 过点P作PF⊥AB于点F，如图， ∴∠A＝∠BFP＝90°，BP＝2x，y1＝PF， ∵∠ABE＝∠FBP， ∴△FBP∽△ABE， ∴$\frac{PF}{AE}＝\frac{BP}{BE}$， 即$\frac{y_{1}}{6}＝\frac{2x}{10}$， ∴$y_{1}＝\frac{6}{5}x（0＜x≤5）$； 当点P在AE上时（不包括点E）时，5＜x＜8，如图， ∴PE+BE＝2x，y1＝AP，即PE＝2x﹣10， ∴y＝AP＝AE﹣PE＝6﹣（2x﹣10）＝16﹣2x， 即y1＝16﹣2x（5＜x＜8）， ∴$y_{1}＝\left\{\begin{array}{l}\frac{6}{5}x（0＜x≤5）\\ 16﹣2x（5＜x＜8）\end{array}\right.$， ∴$S_{△CQM}＝\frac{1}{2}MC•CQ＝4$，CQ＝x，y2＝CM， ∴$y_{2}＝\frac{8}{CQ}＝\frac{8}{x}$， 即$y_{2}＝\frac{8}{x}（0＜x＜8）$； （2）列表如下 x … 3 5 6 7 … y1 … 3.6 6 4 2 描点并连线，如图列表如下： x … 0.5 1 2 4 5 … y2 … 16 8 4 2 1.6 … 描点并连线，如图，图像即为所求； 由图可知，y1在0＜x≤5时，随着x的增大而增大；y2在0＜x＜8时随着x的增大而减小； （3）由图可知， 当2.6＜x＜7.5时，y1＞y2． 【点评】本题考查反比例函数的综合应用，主要考查反比例函数与一次函数的交点问题，相似三角形的判定与性质，矩形的性质，勾股定理，一次函数的性质，反比例函数的性质，掌握以上知识点是解题的关键． 26．（2026春•玄武区校级期末）利用反比例函数的图象能将一个角三等分，也能将一条线段三等分． （1）如图①，EH是∠MEN的三等分线，∠MEH＝2∠HEN，点D在EH上，过点D作DA∥EN，交EM于点A，分别过点A、点D作AB⊥EN、DC⊥EN，垂足为B、C，AB交EH于点F，点O是DF的中点，连接AO并延长交CD于点G．猜想AG与AE的数量关系，并说明理由． （2）古希腊数学家帕普斯借助反比例函数的图象成功将锐角三等分，作法如下： 1．如图②，建立平面直角坐标系，将已知∠AOB的顶点与原点O重合，角的一边OB与x轴正方向重合； 2．在平面直角坐标系里，绘制函数y的图象，图象与已知角的另一边OA交于点P； 3．以P为圆心，以2OP为半径作弧，交函数的图象于点R； 4．分别过点P和R作x轴和y轴的平行线，两线相交于点T； 5．连接OT，得到∠TOB． 请根据以上作法，证明∠TOB∠AOB． （3）如图③，在平面直角坐标系中，点A在x轴上，请你利用反比例函数的图象作出线段OA的三等分点．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，写出必要说明．） 【分析】（1）先根据垂直的定义和平行线的性质，可得△ADF和△ADG是直角三角形，再根据“直角三角形斜边上的中线是斜边的一半”，得OA＝OD，最后利用角之间的关系和等量代换，易得∠MEH＝∠AOE，∠AGD＝∠GDO，从而AE＝AO，OG＝OD，进而可得OG＝OA，AG＝OG+OA＝2OA＝2AE； （2）分别过点P和R作y轴和x轴的平行线，两线相交于点Q，PR和QT相交于点K，设，，则，，求直线OT的解析式，可证点Q在直线OT上，再证四边形PQRT是矩形，从而根据矩形的性质，可证，进而可证∠KPT＝∠KTP，PK＝OP，∠AOT＝∠PKO＝2∠KTP＝2∠TOB，∠AOB＝∠AOT+∠TOB＝3∠TOB，即可求证； （3）根据“过一个点作已知直线的垂线”尺规作图的方法，作AB⊥x轴，交函数的图象于点B，作矩形OABC，在y轴上顺次截取CD＝DE＝OC，过点E作y轴的垂线，交函数的图象于点F，作矩形OEFM，根据反比例函数k的几何意义，即可得到，在x轴上截取MN＝OM，即可求解． 【解答】（1）解：AG＝2AE；理由如下： ∵AB⊥EN，DC⊥EN， ∴AB∥CD，∠ABC＝∠BCD＝90°， ∵DA∥EN， ∴∠ADE＝∠HEN，∠DAB+∠ABC＝180°，∠ADC+∠BCD＝180°， ∴∠DAB＝∠ADC＝90°，即△ADF和△ADG是直角三角形， ∵点O是DF的中点， ∴， ∴∠ADE＝∠DAO， ∴∠AOE＝∠ADE+∠DAO＝2∠ADE＝2∠HEN， ∵∠MEH＝2∠HEN， ∴∠MEH＝∠AOE， ∴AE＝AO， ∵∠DAO+∠AGD＝90°，∠ADE+∠GDO＝90°， ∴∠AGD＝∠GDO， ∴OG＝OD， ∴OG＝OA ∴AG＝OG+OA＝2OA＝2AE， 则AG＝2AE； （2）证明：如图②，分别过点P和R作y轴和x轴的平行线，两线相交于点Q，PR和QT相交于点K， 设，，则，， 设直线OT的解析式为y＝kx（k≠0）， ∴， 解得：， ∴， 当x＝a时，， 即点Q在直线OT上， ∵PT∥x轴，TR∥y轴，QR∥x轴，PQ∥y轴，x轴⊥y轴， ∴∠PQR＝∠QRT＝∠PTR＝90°， ∴四边形PQRT是矩形， ∴对角线PR，QT相等且互相平分， ∴， ∴∠KPT＝∠KTP， ∵PT∥x轴， ∴∠KTP＝∠TOB， ∴∠PKO＝∠KPT+∠KTP＝2∠KTP， ∵PR＝2OP，即， ∴PK＝OP， ∴∠AOT＝∠PKO＝2∠KTP＝2∠TOB， ∴∠AOB＝∠AOT+∠TOB＝2∠TOB+∠TOB＝3∠TOB， 则； （3）解：如图③，点M，N即为线段OA的三等分点； 过点A作x轴的垂线，交函数（k＞0，x＞0）的图象于点B，过点B作y轴的垂线于点C，在y轴上顺次截取CD＝DE＝OC，过点E作y轴的垂线，交函数的图象于点F，过点F作x轴的垂线于点M，在x轴上截取MN＝OM，点M，N即为线段OA的三等分点． ∵点B，F在函数（k＞0，x＞0）的图象上， ∴S矩形OABC＝OA×OC＝k，S矩形OEFM＝OM×OE＝k， ∴OA•OC＝OM•OE， ∵OE＝3OC， ∴， ∵MN＝OM， ∴， 则点M，N为线段OA的三等分点． 【点评】本题属于反比例函数综合题，主要考查了垂直的定义，平行线的性质，直角三角形斜边上的中线，矩形的判定与性质，待定系数法求函数解析式，反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数的性质是解答本题的关键． 27．（2024秋•武侯区校级期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线与反比例函数相交于A，B（点A在点B左侧），与x轴交于点C，D为y轴上一动点． （1）当k＝3时，求A，B两点的坐标； （2）在（1）的条件下，E为反比例函数图象上一点，当以A，B，D，E为顶点的四边形是平行四边形时，求点D的坐标； （3）取AC中点F，连接DF．若有且只有一点D，使得AC＝2DF，求k的值． 【分析】（1）当k＝3时，联立方程组求解即可求得答案； （2）设E（e，），D（0，d），分三种情况：当AB、DE为对角线时，AB与DE的中点重合，当AD、BE为对角线时，AD与BE的中点重合，当AE、BD为对角线时，AE与BD的中点重合，分别列方程组求解即可； （3）由点F是AC的中点，可得AF＝CF，结合AC＝2DF，可推出AF＝CF＝DF，即A，C，D在以点F为圆心，DF为半径的圆上，有且只有一点D，得出⊙F与y轴相切，即FD⊥y轴，得出AC＝2DF＝5，运用勾股定理建立方程求解即可得出答案． 【解答】解：（1）当k＝3时，直线AB的解析式为y＝﹣x+4，反比例函数的解析式为y， 联立得：， 解得：，， ∴A（1，3），B（3，1）； （2）设E（e，），D（0，d）， 当AB、DE为对角线时，AB与DE的中点重合， ∴， 解得：， ∴D（0，）； 当AD、BE为对角线时，AD与BE的中点重合， ∴， 解得：， ∴D（0，）； 当AE、BD为对角线时，AE与BD的中点重合， ∴， 解得：， ∴D（0，）； 综上所述，点D的坐标为（0，）或（0，）或（0，）； （3）∵点F是AC的中点， ∴AF＝CF， ∵AC＝2DF， ∴AF＝CF＝DF， 即A，C，D在以点F为圆心，DF为半径的圆上，如图， ∵有且只有一点D，使得AC＝2DF， ∴⊙F与y轴相切， ∴FD⊥y轴， 联立得， 解得：或， ∴A（1，k），B（3，）， ∵直线yx与x轴交于点C， ∴C（4，0）， ∴F（，）， ∴DF， ∴AC＝2DF＝5， 过点A作AG⊥x轴于点G， 则AG＝k，CG＝4﹣1＝3， 在Rt△ACG中，AG2+CG2＝AC2， ∴k2+32＝25， 解得：k＝±4， ∵k＞0， ∴k＝4． 【点评】本题是反比例函数综合题，考查了反比例函数的图象和性质，平行四边形的性质，运用数形结合和分类讨论的数学思想是解题关键． 28．（2026•长清区二模）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数与直线相交于点、点C两点，点A在x轴的正半轴上，OA＝2，连接CA并延长与反比例函数的图象在第一象限交于点D． （1）求反比例函数的解析式； （2）求点D的坐标及△OAD的面积； （3）在x轴上是否存在点Q，使得以点A，D，Q为顶点的三角形与△ABC相似，若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）把B（m，）代入得，得到B（1，），再利用待定系数法求解即可； （2）根据题意得到点C与点B关于原点对称，求得点C的坐标为（﹣1，），利用待定系数法求得直线AC的解析式，联立求得点D的坐标，再利用三角形面积公式求解即可； （3）先求得∠ACB＝30°，∠BAC＝90°，分当DQ⊥x轴和当DQ⊥AD时两种情况讨论，据此求解即可． 【解答】解：（1）把B（m，）代入得， ∴m＝1， ∴B（1，）， 把B（1，）代入得， ∴k， ∴反比例函数的解析式为y； （2）∵反比例函数与直线相交于点、点C两点， ∴点C与点B关于原点对称， ∴点C的坐标为（﹣1，）， ∵OA＝2， ∴点A的坐标为（2，0）， 设直线AC的解析式为y＝k'x+b， ∴， 解得， ∴直线AC的解析式为yx， 联立得x， 解得x＝3或x＝﹣1（舍去）， 经检验，x＝3是原方程的解， ∴点D的坐标为（3，）， S△OADOA×|yD|； （3）是，理由如下： ∵△OBA为等边三角形，点C与点B关于原点对称， ∴OA＝OB＝OC，∠BOA＝∠BAO＝60°， ∴∠OAC＝∠OCA∠BOA＝30°， ∴∠BAC＝90°， 当DQ⊥x轴时， ∠DAQ＝∠OAC＝30°＝∠BCA，∠DQA＝∠BAC＝90°， ∴△DQA∽△BAC， ∵点D的坐标为（3，）， ∴点Q的坐标为（3，0）； 当DQ⊥AD时， ∠DAQ＝∠OAC＝30°＝∠BCA，∠QDA＝∠BAC＝90°， ∴△QDA∽△BAC， ∵点D的坐标为（3，），点A的坐标为（2，0）， ∴AD， ∴AQ， ∴oq＝2， ∴点Q的坐标为（，0）， 综上，点Q的坐标为（3，0）或（，0）． 【点评】本题是反比例函数综合题，考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解直角三角形，相似三角形的性质，等边三角形的性质，第3问分情况讨论是解题的关键． 29．（2024•连南县二模）如图，一次函数y＝﹣2x﹣3的图象交x轴于点A，交y轴于点B，反比例函数的图象相交于两点，动点P在线段AB上（不与点A，B重合），过点P作PC⊥x轴于点C，连接OP． （1）点P在何处时，△OPC的面积为？ （2）在（1）的前提下，反比例函数的图象刚好与一次函数图象交于点P，求出反比例函数解析式； （3）当△OPC的面积最大时，求出点P的坐标和最大面积． 【分析】（1）设点P的坐标为（a，﹣2a﹣3），根据△OPC 的面积为列出方程求解即可； （2）将点P代入k＝xy求解即可；（也可以使用△OPC 的面积为求解）； （3）设点P的坐标为（m，﹣2m﹣3），列出△OPC的面积S关于m的解析式，再化为顶点式即可得解． 【解答】解：（1）一次函数y＝﹣2x﹣3的图象交x轴于点A，交y轴于点B，动点P在线段AB上（不与点A，B重合）， ∴设点P的坐标为（a，﹣2a﹣3），则a＜0，﹣2a﹣3＜0， ∵△OPC的面积为， ∴， 解得：a＝﹣1或， ∴点P的坐标为（﹣1，﹣1）或； （2）由（1）知点P的坐标为（﹣1，﹣1）或， ∵点P在反比例函数图象上，代入得：k＝（﹣1）×（﹣1）＝1， ∴反比例函数解析式为； （3）设点P的坐标为（m，﹣2m﹣3），△OPC的面积为S，则， 且当时，， ∴此时点P的坐标为，最大面积为． 【点评】本题属于反比例函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，反比例函数的图象与性质，三角形的面积，解答本题的关键是熟练掌握反比例函数的性质． 30．（2026•金水区校级一模）如图，反比例函数的图象经过线段OA的端点A（2，4），把线段OA沿x轴正方向平移3个单位得到线段CB，CB与上述反比例函数的图象相交于点D，点D的横坐标为4． （1）求k的值和直线OA的解析式； （2）若P为函数的图象上一动点，过点P作直线l⊥x轴于点M，直线l与四边形OABC在x轴上方的一边交于点N，设P点的横坐标为m，且0＜m＜3，当，求出m的值． （3）已知点Q是反比例函数上的一个动点，设点Q的横坐标为n，2＜n＜4，当n为何值时，△ADQ面积最大，并求出最大面积． 【分析】（1）根据题意结合待定系数法可进行求解； （2）分两种情况，设出点P，N的坐标，从而得到MN，PM的表达式，根据即可得到m的值． （3）过点Q作QE⊥x轴交AD于点E，先求得直线AD的解析式，进而设E（n，﹣n+6），则，2＜n＜4，表示出△ADQ的面积，根据不等式得出最小值，即可求解． 【解答】解：（1）反比例函数的图象经过线段OA的端点A（2，4），将点A的坐标代入得： 4， 解得：k＝8， ∴反比例函数解析式为， 设直线OA的解析式为y＝ax，将点A的坐标代入得： 4＝2a， 解得：a＝2， ∴直线OA的解析式为y＝2x； （2）①当N在P的上方时，如图1， ∴，N（m，4）， ∴，， ∴， 解得：（经检验，是分式方程的解，且符合题意）； ②当P在N的上方时，如图2， ∴，N（m，2m）， ∴，， ∴， 解得：（经检验，是分式方程的解，负值已舍去）， 综上所述：或． （3）如图3，D的横坐标为4，过点Q作QE⊥x轴交AD于点E， ∵OA沿x轴正方向平移3个单位得到线段CB， ∴直线CB的解析式为y＝2x﹣6，将x＝4代入得：y＝2， 即D（4，2）， 设DA的表达式为y＝k1x+b1，将点A，点D的坐标分别代入得： ， 解得：， ∴DA的表达式为y＝﹣x+6， 设E（n，﹣n+6），则，2＜n＜4， ∴， ∵A（2，4），D（4，2）， ∴|xD﹣xA|＝2， ∵， ∴， ∴， ∴当时，即（负值舍去）， ∴当时，△ADQ面积最大，最大面积为． 【点评】本题属于反比例函数综合题，考查了反比例函数综合，待定系数法求一次函数解析式，三角形的面积公式，完全平方公式，解一元二次方程等知识点，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键． 31．（2026•东海县二模）小红将一块含45°角的三角板按着如图所示的方式摆放在平面直角坐标系xOy中，已知三角板的直角顶点A恰好在反比例函数的图象上，三角板的顶点B在x轴上，且B点坐标为（8，0），三角板的另一个顶点与原点O重合，线段AB所在直线的表达式为y2＝mx+n． （1）则k＝　16　 ，m＝　﹣1　 ，n＝　8　 ； （2）当时，直接写出x的取值范围； （3）把△OAB沿着x轴向右平移a个单位，对应得到△O1A1B1，当反比例函数的图象经过一边的中点时，请直接写出a的值． 【分析】（1）根据B点坐标为（8，0），得到OB＝8，过A作AH⊥OB于H，根据等腰直角三角形的性质得到AH＝OH＝BHOB＝4，求得A（4，4），得到k＝4×4＝16，把A（4，4），B（8，0）代入y2＝mx+n得，解方程组即可得到结论； （2）根据函数图象的交点即可得到结论； （3）分两种情况讨论：①当边A1B1的中点C在y的图象上，②当边O1A1的中点E在y的图象上，过点A1作A1D⊥x轴于点D，即可分别求出a的值． 【解答】解：（1）∵B点坐标为（8，0）， ∴OB＝8， 过A作AH⊥OB于H， ∵OA＝AB，∠OAB＝90°， ∴AH＝OH＝BHOB＝4， ∴A（4，4）， ∵三角板的直角顶点A恰好在反比例函数的图象上， ∴k＝4×4＝16， 把A（4，4），B（8，0）代入y2＝mx+n得， ∴； 故答案为：16，﹣1，8； （2）由（1）知反比例函数y1的图象与直线y2＝﹣x+8交于A（4，4）， ∴当时，x的取值范围为x≥0； （3）如图， ①当边A1B1的中点C在y的图象上，如图2， ∵∠OAB＝90°，AO＝ABOB＝4， ∴A1（4+a，4），B1（8+a，0）， ∴C（6+a，2） ∴（6+a）×2＝16， ∴a＝2； ②当边A1O1的中点E在y的图象上， 过点A1作A1D1⊥x轴于点D1，如图， ∵O1（a，0），A1（a+4，4）， ∴中点E（a+2，2） ∴（a+2）×2＝16， ∴a＝6， 综上所述：符合条件的a的值有2或6． 【点评】本题是反比例函数综合题，等腰直角三角形的性质，待定系数法求函数的解析式，考查了反比例函数图象上点的坐标特征，解决本题的关键是分情况讨论． 32．（2025秋•桥西区期末）如图，在矩形OABC中，AB＝2，BC＝4，点D是AB边上的中点，反比例函数（k≠0）的图象经过点D，交BC边于点E，直线DE的解析式为y2＝mx+n（m≠0）． （1）求反比例函数的解析式和直线DE的解析式； （2）连接DO，EO，求△DOE的面积； （3）过点E作DE的垂线与反比例函数的另一支图象交于点F，直接写出点F的坐标． 【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可； （2）过点D作DG⊥x轴交于G，则△DOE的面积＝四边形DGCE的面积，求解即可； （3）设直线EF与x轴交于M点，推导出∠EMC＝∠OHE，再由tan∠OHE，求出M点坐标，直线EF与反比例函数图象的交点即为F． 【解答】解：（1）∵AB＝2，BC＝4， ∴B（2，4）， ∵点D是AB边上的中点， ∴D（1，4）， ∴k＝4， ∴y， ∵BC⊥x轴， ∴E点横坐标为2， ∴E（2，2）， 将D、E代入y2＝mx+n中， ， 解得， ∴y＝﹣2x+6； （2）过点D作DG⊥x轴交于G， ∴△DOE的面积＝四边形DGCE的面积（2+4）×1＝3； （3）设直线EF与x轴交于M点， ∵EF⊥DE， ∴∠EMC＝∠OHE， ∴tan∠OHE， ∴CM＝4， ∴M（﹣2，0）， ∴直线EF的解析式为yx+1， 当x+1时，解得x＝2或x＝﹣4， ∴F（﹣4，﹣1）． 【点评】本题考查反比例函数的图象及性质，熟练掌握反比例函数的图象及性质，三角形面积的转化是解题的关键． 33．（2026•眉山模拟）如图，平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数的图象交于A（﹣6，1），B（1，n）两点． （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）若，请直接写出关于x的不等式的解． （3）若过点（﹣2，0）且平行于y轴的直线上有一动点P，当△PAB的面积为21时，求点P的坐标． 【分析】（1）将点A的坐标代入反比例函数解析式中即可求得m的值，从而可得反比例函数的解析式，将点B的坐标代入反比例函数解析式中，即可求得点B的坐标，再将点A、B的坐标代入一次函数解析式中即可得解； （2）确定一次函数的图象在反比例函数图象的下方时x的取值范围即可得解； （3）设直线y＝﹣x﹣5与 直线x＝﹣2的交点为C，求出点C的坐标，设P（﹣2，a），根据三角形的面积公式表示出S△ABP，列方程求解即可． 【解答】解：（1）一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数的图象交于A（﹣6，1），B（1，n）两点．将点A的坐标代入反比例函数得： 1， 解得：m＝﹣6， ∴反比例函数解析式为， 将点B的坐标代入，得：n＝﹣6， ∴B（1，﹣6）． 将点A，点B的坐标分别代入y＝kx+b，得： ， 解得：， ∴一次函数解析式为y＝﹣x﹣5； （2）不等式的解集为﹣6≤x＜0或x≥1．理由如下： 观察图象可知，当﹣6≤x＜0或x≥1时，一次函数的图象在反比例函数图象的下方， ∴不等式的解集为﹣6≤x＜0或x≥1； （3）如图，设直线y＝﹣x﹣5与 直线x＝﹣2的交点为C， 把x＝﹣2代入y＝﹣x﹣5得，y＝﹣3， ∴C（﹣2，﹣3）， 设P（﹣2，a）， ∵△PAB的面积为21， ∴， ∴|a+3|＝6， 解得：a＝3或a＝﹣9， ∴点P的坐标为（﹣2，3）或 （﹣2，﹣9）． 【点评】本题是反比例函数的综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，反比例函数的图象与性质，一次函数的图象与性质，三角形的面积，熟练掌握并灵活运用反比例函数的性质是解答本题的关键． 💯 课后巩固 复习建议 · · 判断反比例关系的关键：两个量的乘积是否为定值 · · 实际问题优先用待定系数法，由图像上一点求k · · 分段问题（加热+降温）要分别求两段函数再合并 · · 跨学科问题牢记物理公式：p=、I=、pV=k · · 两函数综合问题：联立求交点，面积用k几何意义或坐标差 【作业 1】（2026•南通）在某闭合电路中，经过电路的电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）的数据如表所示． I/A … 4 5 6 … R/Ω … 30 a 20 … 已知I是R的反比例函数，则表格中a的值为（　　） A．24 B．25 C．26 D．28 【分析】根据待定系数法求解函数解析式后求解． 【解答】解：∵I是R的反比例函数，设函数解析式为R， 把（4，30）代入，得30， 解得U＝120， 故R， 把I＝5，代入，得R24（Ω）， 即a＝24， 故选：A． 【点评】本题考查反比例函数的应用，解题的关键是正确求解反比例函数解析式． 【作业 2】（2026•宜宾模拟）已知甲醛检测仪的核心部件为如图①所示的气体传感器，R1的阻值随空气中甲醛质量浓度c的变化而变化（如图②）．当甲醛质量浓度c＞0.1mg/m3时，甲醛检测仪会报警，则下列说法错误的是（　　） A．空气中甲醛的质量浓度逐渐减小时，R1的阻值逐渐增大 B．当R1＝300Ω时，甲醛检测仪会报警 C．当c＝0.8mg/m3时，R1的阻值为25Ω D．当房间内甲醛质量浓度低于0.1mg/m3时，R1的阻值高于200Ω 【分析】依据题意，观察函数图象，结合已知逐项判断即可． 【解答】解：由图②可知，R1的阻值与甲醛质量浓度c成反比例关系， 设反比例关系式为， ∴k＝100×0.2＝20， ∴反比例关系式为． A、由图②可知，空气中甲醛的质量浓度逐渐减小时，R1的阻值逐渐增大，故A正确，不符合题意； B、当R1＝300Ω时，，甲醛检测仪不会报警，故B错误，符合题意； C、由图②可知，当c＝0.8mg/m3时，R1的阻值为，故C正确，不符合题意； D、当该房间甲醛质量浓度等于0.1mg/m3时，R1的阻值等于， 由图②可知，当该房间甲醛质量浓度低于0.1mg/m3时，R1的阻值高于200Ω，故D正确，不符合题意． 故选：B． 【点评】本题考查反比例函数的应用，解题的关键是读懂题意，能数形结合，从函数图象中获取有用的信息． 【作业 3】（2026•道外区一模）已知某蓄电池的电压为定值，电流I与电阻R满足反比例函数关系，它的图象如图所示，则该蓄电池的电压是（　　） A．24V B． C．11V D．38V 【分析】根据题意，先设出电流I与电阻R的函数关系式，再根据图象中的数据，即可计算出U的值． 【解答】解：设I， 由图象可得，当R＝3时，I＝8， ∴8， 解得U＝24， 故选：A． 【点评】本题考查反比例函数的应用，解答本题的关键是明确题意，求出相应的函数解析式． 【作业 4】（2025秋•花都区期末）图1是一盏亮度可调节的台灯，通过调节总电阻R来控制电流I实现灯光亮度的变化．电流I（A）与电阻R（Ω）满足反比例函数关系，其图象如图2所示．当电阻R为25Ω时，该台灯的电流I是（　　） A．8.8A B．5.5A C．4.4A D．4A 【分析】设电流I（A）与电阻R（Ω）之间的函数关系根据待定系数法求得，将R＝25Ω代入函数关系式中，求出I即可． 【解答】解：由图象可知，电流I（A）与电阻R（Ω）之间满足反比例函数关系， 设电流I（A）与电阻R（Ω）之间的函数关系为， ∵点（50，4.4）在函数的图象上， ∴， 解得：k＝220， ∴电流I（A）与电阻R（Ω）之间的函数关系为， 当R＝25Ω时，， ∴I＝8.8． 故选：A． 【点评】本题主要考查反比例函数的应用、用待定系数法求反比例函数解析式、反比例函数的图象与性质．要熟练掌握物理或化学学科中的一些具有反比例函数关系的公式．同时体会数学中的转化思想是解答本题的关键． 【作业 5】（2026•桂林模拟）如图，△ABC的三个顶点分别为A（﹣1，2），B（﹣2，4），C（﹣4，3）．若函数在第二象限内的图象与△ABC有交点，则k的取值范围是（　　） A． B．﹣12≤k≤﹣2 C． D．﹣8≤k≤﹣2 【分析】依据题意，由反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数和三角形有交点的临界条件分别是交点为A、与线段BC有交点，由此求解即可． 【解答】解：反比例函数和三角形有交点的第一个临界点是交点为A， ∵过点A（﹣1，2）的反比例函数解析式为y， ∴k≤﹣2． 随着k值的减小，反比例函数的图象必须和线段BC有交点才能满足题意， 又∵经过B（﹣2，4），C（﹣4，3）的直线解析式为yx+5， ∴联立方程组，得x2+10x﹣2k＝0． 又∵△≥0，得k12.5， 又因为反比例函数经过点B时，k＝﹣8，经过点C时，k＝﹣12， 综上可知．﹣12≤k≤﹣2． 故选：B． 【点评】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，两函数交点坐标的求法，有一定难度．注意自变量的取值范围． 【作业 6】（2025秋•任城区期末）根据物理学知识可知，在压力不变的情况下，物体承受的压强p（Pa）是它的受力面积S（m2）的反比例函数．已知一个长方体石块如图1放置在水平地面时，石块对地面的压强为15000Pa，若将其如图2放置，则石块对地面的压强为　12000　 Pa． 【分析】设，由图1得S＝0.4×0.5＝0.2m2，把（0.2，15000）代入解析式可得k＝3000，进而得，再根据图2把S＝0.25代入计算即可求解． 【解答】解：设， 由图1得，S＝0.4×0.5＝0.2m2， 由题意可得：， ∴k＝3000， ∴， 由图2得，S＝0.5×0.5＝0.25（m2）． 把S＝0.25代入，得， 故答案为：12000． 【点评】本题考查了反比例函数的应用，利用待定系数法求出反比例函数解析式是解题的关键． 【作业 7】（2026•南岗区四模）如图，密闭容器内有一定质量的二氧化碳，当容器的体积V（单位：m3）变化时，气体的密度ρ（单位：kg/m3）随之变化．已知密度ρ与体积V是反比例函数关系．当V＝9m3时，则二氧化碳的密度ρ为　1.1　 kg/m3． 【分析】直接利用反比例函数解析式求法得出ρ，再把V＝9m3代入求出答案． 【解答】解：设ρ，把（3，3.3）代入得： k＝3×3.3＝9.9， 故ρ， 则当V＝9m3时，相应的体积ρ1.1（kg/m3）． 故答案为：1.1． 【点评】此题主要考查了反比例函数的应用，正确求出反比例函数解析式是解题关键． 【作业 8】（2026•定远县模拟）如图是8个台阶在平面直角坐标系内的示意图，每个台阶的高和宽分别是1和2，每个台阶凸拐角处的顶点记作Tm（m为1～8的整数）．记函数的图象为曲线L． （1）若曲线L过点T3，则它必定还过另一点Tm，则m＝　6　 ； （2）若曲线L使得T1～T8这些点分布在它的两侧，每侧各有4个点，当k为整数时，曲线L离原点最近的k的值为　﹣29　 ． 【分析】（1）将点的坐标代入解析式可求k的值，将点T6代入，可求解； （2）找到曲线L经过这些点时的k值，然后由点分布在曲线L的两侧，每侧各4个点，可得k的范围，进而找到k的整数点，再由|k|越小反比例函数图象离原点越近，即可求解． 【解答】解：（1）∵每个台阶的高和宽分别是1和2， ∴T1（﹣16，1），T2（﹣14，2），T3（﹣12，3），T4（﹣10，4），T5（﹣8，5），T6（﹣6，6），T7（﹣4，7），T8（﹣2，8）， ∵L过点T3， ∴k＝﹣12×3＝﹣36， ∴反比例函数解析式为：， 当x＝﹣6时，y＝6， ∴T6在反比例函数图象上， ∴m＝6． 故答案为：6； （2）∵若曲线L过点T1（﹣16，1）、T8（﹣2，8）时，k＝﹣16， 若曲线L过点T2（﹣14，2）、T7（﹣4，7）时，k＝﹣28， 若曲线L过点T3（﹣12，3）、T6（﹣6，6）时，k＝﹣36， 若曲线L过点T4（﹣10，4）、T5（﹣8，5）时，k＝﹣40， ∵曲线L使得T1～T8这些点分布在它的两侧，每侧各4个点， ∴﹣36＜k＜﹣28， ∴整数k＝﹣35、﹣34、﹣33、﹣32、﹣31、﹣30、﹣29共7个， ∵|k|越小反比例函数图象离原点越近， ∴曲线 L 离原点最近的k 的值为﹣29． 故答案为：﹣29． 【点评】本题考查了反比例函数的应用，求出各点的坐标是本题的关键． 【作业 9】（2026•建邺区三模）某市举行中学生党史知识竞赛，如图，用四个点分别描述甲、乙、丙、丁四所学校竞赛成绩的优秀率（该校优秀人数与该校参加竞赛人数的比值）y与该校参加竞赛人数x的情况，其中描述乙、丁两所学校情况的点恰好在同一个反比例函数的图象上，则这四所学校在这次竞赛中成绩优秀的人数最多的是　丙　 （填“甲”“乙”“丙”或“丁”）． 【分析】根据反比例函数图象与性质求解即可得到结论． 【解答】解：用四个点分别描述甲、乙、丙、丁四所学校竞赛成绩的优秀率（该校优秀人数与该校参加竞赛人数的比值）y与该校参加竞赛人数x的情况，则： 描述乙、丁两所学校情况的点恰好在同一个反比例函数的图象上，设反比例函数表达式为，甲（x1，y1）、乙（x2，y2）、丙（x3，y3）、丁（x4，y4）， 过甲点作y轴平行线交反比例函数于（x1，y′1），过丙点作y轴平行线交反比例函数于（x3，y′3），如图所示： 由图可知y′1＞y1，y′3＜y3， ∴（x1，y′1）、乙（x2，y2）、（x3，y′3）、丁（x4，y4）在反比例函数图象上， 根据题意可知xy＝优秀人数， ①x2y2＝k＝x4y4，即乙、丁两所学校优秀人数相同； ②x1y1＜x1y′1＝k，即甲学校优秀人数比乙、丁两所学校优秀人数少； ③x3y3＞x3y′3＝k，即丙学校优秀人数比乙、丁两所学校优秀人数多； 综上所述：甲学校优秀人数＜乙学校优秀人数＝丁学校优秀人数＜丙学校优秀人数， ∴在这次党史知识竞赛中成绩优秀人数最多的是丙学校， 故答案为：丙． 【点评】本题考查了求反比例函数解析式，实际问题与反比例函数，用反比例函数描述数量关系，比较反比例函数值或自变量的大小等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 【作业 10】（2026•铁东区三模）如图，取一根长100cm的匀质木杆，用细绳绑在木杆的中点O并将其吊起来．在中点O的左侧距离中点O25cm（L1＝25cm）处挂一个重9.8N（F1＝9.8N）的物体，在中点O右侧用一个弹簧秤向下拉，使木杆处于水平状态，弹簧秤与中点O的距离L（单位：cm）及弹簧秤的示数F（单位：N）满足FL＝F1L1，若弹簧秤的示数F不超过7N，则L的值至少为 　35　 cm． 【分析】根据弹簧秤平衡的结论FL＝F1L1，以及F≤7，解不等式即可． 【解答】解：由于弹簧秤在木杆的中点O的右侧， ∴L≤50， 又∵FL＝F1L1， 即：F7， 解得：L≥35， ∴35≤L≤50． 故答案为：35． 【点评】本题考查两点间的距离，理解“杠杆平衡的条件”以及F不超过7N的意义，列不等式进行解答解答即可． 【作业 11】厨师将一定质量的面团做成拉面时，面条的总长度y（m）是面条横截面面积S（mm2）的反比例函数，其图象经过A（4，32），B（m，80）两点（如图）． （1）求y关于S的函数解析式． （2）求m的值，并解释点B的实际意义． （3）某厨师拉出的面条最细时的横截面面积S＜0.8mm2，求这根面条的总长度的范围． 【分析】（1）运用待定系数法求反比例函数解析式即可； （2）将点（m，80）代入反比例函数中即可得到m，结合题意解释点B的实际意义； （3）根据厨师做出的面条横截面面积不超过0.8mm2，得出． 【解答】解：（1）设y与S之间的函数表达式为， 将点（4，32）代入可得k＝128， ∴y与S之间的函数表达式为； （2）将点（m，80）代入， 解得：m＝1.6， 实际意义：当面条的横截面积为1.6mm2时，面条长度为80m； （3）∵厨师做出的面条横截面面积不超过0.8mm2， ∴． 【点评】本题考查的知识点是反比例函数的应用，解题关键是熟练掌握反比例函数性质． 【作业 12】（2025秋•莱芜区期中）为了预防冬季流感，某学校对教室采用药薰消毒法进行消毒，已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间x（分钟）成正比例，药物燃烧后，y与x成反比例（如图），现测药物8分钟燃毕，此时空气中每立方米含药量为10毫克，请根据题中所提供的信息，回答下列问题． （1）药物燃烧时，y关于x的函数关系式为 yx ；自变量x的取值范围是 　0≤x≤8　 ；药物燃烧完后，y与x的函数关系式为 y　 ；自变量x的取值范围是 x＞8　 ； （2）研究表明，当空气中的每立方米的含药量低于1.6毫克时学生方可进教室，那么从消毒开始，至少需要经过几分钟后，学生才能回到教室； （3）研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于2.5毫克且持续时间不低于30分钟时，才能有效地杀灭空气中的病菌，那么此次消毒是否有效？为什么？ 【分析】（1）根据待定系数法即可求出两个函数解析式，从图上可读出x的取值范围； （2）把y＝1.6代入反比例函数解析式，求出相应的x； （3）把y＝2.5代入正比例函数解析式和反比例函数解析式，求出相应的x，两数之差与30进行比较，＞等于10就有效． 【解答】解：（1）yx，0≤x≤8；y，x＞8； （2）结合实际，令y中y≤1.6得x≥50， 答：即从消毒开始，至少需要50分钟后员工才能回到办公室； （3）把y＝2.5代入yx，得：x＝2， 把y＝2.5代入y，得：x＝32， ∵32﹣2＝30， 所以这次消毒有效． 【点评】本题考查了反比例函数的应用，现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式． 【作业 13】（2026•潮阳区三模）最近DeepSeek火爆全网，说明人工智能已经逐渐融入我们的生活．小明家餐厅为了跟上时代的步伐，购买了一个送餐机器人，这种机器人与地面的接触面积是可以调整的．在水平地面上，当机器人对地面的压力一定时，地面所受压强与接触面积之间的关系如表： 地面所受压强p（Pa） … 4×104 6×104 8×104 1×105 … 接触面积S（m2） … 1.2×10﹣2 8×10﹣3 6×10﹣3 4.8×10﹣3 … （1）求地面所受压强p（Pa）关于接触面积S（m2）的函数表达式； （2）若送餐机器人要经过一段水平玻璃通道，且这段玻璃通道能承受的最大压强为5×104Pa，问这种机器人与玻璃通道的接触面积至少为多少平方米？ 【分析】（1）由表格的数据可知，当机器人对地面的压力一定时，地面所受压强与接触面积之间成反比例函数的关系，设地面所受压强p（Pa）关于接触面积S（m2）的函数表达式为p，将一对数据代入即可求出F的值． （2）将p＝5×104Pa代入（1）中所求函数表达式中，即可求出这种机器人与玻璃通道的最小接触面积． 【解答】解：（1）由表格的数据可知，当机器人对地面的压力一定时，地面所受压强与接触面积之间成反比例函数的关系． 设地面所受压强p（Pa）关于接触面积S（m2）的函数表达式为p． 将（4×104，1.2×10﹣2）代入p，得F＝4×104×1.2×10﹣2＝4.8×102， ∴地面所受压强p（Pa）关于接触面积S（m2）的函数表达式为p． （2）将p＝5×104Pa代入，p时，S＝9.6×10﹣3， ∴当这段玻璃通道能承受的最大压强为5×104Pa时，这种机器人与玻璃通道的接触面积至少为9.6×10﹣3平方米． 【点评】本题主要考查了以物理知识为情境的反比例函数的应用相关知识，知道物理学中压力、压强与接触面积三者之间的关系是解题的关键．计算时需要仔细． 【作业 14】（2026•永宁县一模）阅读与思考 阅读材料：在一次物理实验中，小冉同学用一固定电压为U＝12（V）的蓄电池，通过调节滑动变阻器R（Ω）来改变电流大小，完成控制灯泡L（灯丝的阻值RL＝2Ω）亮度的实验（如图1，假设灯泡的电阻不随温度的变化而变化），已知串联电路中，电流I与电阻R，RL之间的关系为，通过实验得出如下数据（表格数据不完整）： R/Ω … 1 a 4 6 … I/A … 4 3 2 b … （1）a＝　2　 ，b＝　1.5　 ； （2）根据以上实验，构建函数，结合表格信息，探究函数的图象与性质． ①在图2中画出函数的图象； ②随着自变量x的不断增大，函数值y的变化趋势是　不断减小　 ． 【分析】（1）由已知列出方程，即可求解； （2）①用描点法，画出图象；②根据表格里函数的图象性质，即可求解． 【解答】解：（1）当R＝a，I＝3时， 3（a+2）＝12， 解得a＝2． 当R＝6，I＝b时，（6+2）b＝12， 解得b＝1.5； 故答案为：2，1.5； （2）①由表格数据，描点，连线，画图如下： ②由图象可知：随着自变量x的不断增大，函数值y的变化趋势是不断减小． 故答案为：不断减小． 【点评】本题考查了反比例函数的应用，解题的关键是：画出函数图象，应用数形结合的思想． 【作业 15】（2026•金山区二模）如图1是一种测量油箱内油量的装置“油位传感器”示意图，其中滑动变阻器的滑片跟滑杆连接．滑杆可以绕固定轴O转动，滑杆的一端固定着一个浮子．油箱中的油量减少时，油面下降，浮子随油面落下，带动滑杆使滑动变阻器的滑片向上移动，从而改变电路中电流表的示数，因此电流表上一定的示数对应者油面一定的高度．如果把电流表刻度盘上的数值改为相应的油量体积，就可以直接读出油箱中的油量．电流I（单位：A）与总电阻R（单位：Ω）成反比例，其中R＝R0+R1，已知R0＝20Ω． 可变电阻R1（单位：Ω）与油量体积V（单位：L）之间的关系如图2所示，R1≥0．当油箱内油量体积为35L时，电流表显示为0.1A． （1）当油箱内油量体积为35L时，求总电阻R的值； （2）求I关于总电阻R的函数解析式； （3）当油箱中油量体积满足5≤V≤55时，求电流表显示电流的取值范围． 【分析】（1）依据题意，设R1＝kV+b（k≠0），结合图象（0，240），（60，0），从而，可得R1＝﹣4V+240，进而当V＝35L时，R1＝﹣4×35+240＝100（Ω），故R＝R0+R1＝20+100＝120（Ω），即可得解； （2）依据题意，由电流I与总电阻R成反比例，则I，又当油箱内油量体积为35L时，电流表显示为0.1A，故结合（1）R＝120Ω，进而可得k＝120×0.1＝12，从而可以得解； （3）依据题意，由5≤V≤55，则20≤﹣4V+240＝R1≤220，从而40≤R0+R1＝R≤240，进而0.05I≤0.3，即0.05≤I≤0.3，故可得解． 【解答】解：（1）由题意，设R1＝kV+b（k≠0）， 结合图象（0，240），（60，0）， ∴． ∴k＝﹣4，b＝240． ∴R1＝﹣4V+240． ∴当V＝35L时，R1＝﹣4×35+240＝100（Ω）． ∴R＝R0+R1＝20+100＝120（Ω）． 答：当油箱内油量体积为35L时，总电阻R的值为120Ω； （2）由题意，∵电流I与总电阻R成反比例， ∴I， 又∵当油箱内油量体积为35L时，电流表显示为0.1A， ∴结合（1）R＝120Ω， ∴k＝120×0.1＝12． ∴I关于总电阻R的函数解析式为I； （3）由题意，∵5≤V≤55， ∴20≤﹣4V+240＝R1≤220． ∴40≤R0+R1＝R≤240． ∴0.05I≤0.3，即0.05≤I≤0.3． 【点评】本题主要考查了反比例函数的应用、一次函数的应用，解题时要熟练掌握并能根据题意列出关系式是关键． 【作业 16】（2025秋•济南期末）如图，一次函数y＝kx+b与反比例函数y的图象交于A（﹣3，2），B（n，﹣3）． （1）求反比例函数的解析式； （2）求△AOB的面积； （3）点P为在y轴上一动点，连接AP，若△AOP是等腰三角形，直接写出点P的坐标． 【分析】（1）待定系数法求出反比例函数解析式即可； （2）先利用待定系数法求出直线解析式，继而求出直线与y轴的交点坐标，根据S△AOB＝S△AOC+S△BOC代入数据计算即可； （3）分四种情况讨论，分别求出满足条件的P点坐标即可． 【解答】解：（1）已知A（﹣3，2），B（n，﹣3）是一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y的图象的两个交点，将点A的坐标代入反比例函数解析式得： 2， 解得：m＝﹣6， ∴反比例函数的解析式为y； （2）将点B的坐标代入反比例解析式得： ﹣3＝﹣， 解得：n＝2， ∴B（2，﹣3）， ∵A（﹣3，2），B（2，﹣3）在一次函数y＝kx+b图象上，将点A，点B的坐标分别代入得， 解得， ∴一次函数解析式为y＝﹣x﹣1， 设一次函数与y轴交点为C，则C（0，﹣1），OC＝1， ∴S△AOB＝S△AOC+S△BOC1×31×2； （3）P1（0，），P2（0，4），P3（0，，P4（0，）．理由如下： 在y轴上存在点P，使△AOP是等腰三角形， 设点P（0，t）， ∵A（﹣3，2）， ∴OA， 分四种情况考虑，如图所示： 当AP1＝P1O时，△AP1O为等腰三角形， 则，即（﹣3）2+（2﹣t）2＝t2， 解得t， ∴P1（0，）， 当OA＝OP3时， 则OP3＝OA， 此时P3（0，， 当OA＝AP2时，OP2＝4， 此时P2（0，4）； 当OA＝OP4时， 则OP4＝OA， 此时P4（0，）． 综上所述，满足题意坐标为P1（0，），P2（0，4），P3（0，，P4（0，）． 【点评】本题属于反比例函数综合题，主要考查了反比例函数与一次函数的综合应用，等腰三角形的性质，熟练掌握分类讨论是解答本题的关键． 【作业 17】（2026•莱芜区模拟）如图，反比例函数与一次函数y＝mx+n的图象相交于A（a，1）和B（﹣1，4）两点． （1）求这两个函数的解析式； （2）如图，直线OA与反比例函数的图象的另一个交点为点C，点M是第四象限反比例函数图象上的一点，当△ACM的面积为6时，求点M的坐标； （3）在第（2）问的条件下，若点P为x轴上的点，则在反比例函数的图象上是否存在点Q，使得以点A、C、P、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）将点B（﹣1，4）代入，可求函数解析式，从而求出A（﹣4，1），将点A、B代入y＝mx+n，可求一次函数解析式； （2）连接OM，由O是AC的中点，可得△OCM的面积＝4，设M（t，），根据△COM的面积＝4，求出t的值即可求M点坐标； （3）设P（x，0），Q（b，），根据平行四边形对角线情况分三种情况讨论即可求解． 【解答】解：（1）将点B（﹣1，4）代入，得， ∴k＝﹣4， ∴y， 将A（a，1）代入，得， ∴a＝﹣4， ∴A（﹣4，1）， 将点A（﹣4，1）、B（﹣1，4）代入 y＝mx+n，得 ∴， 解得， ∴y＝x+5； （2）连接OM，过M作y轴的平行线交直线AC于点D， ∵直线OA与反比例函数交于C点， ∴A、C关于原点对称， ∴C（4，﹣1）， ∴O是AC的中点， ∵△ACM的面积为6， ∴△OCM 的面积为3， ∵C（4，﹣1），A（﹣4，1）， ∴直线AC的表达式为：， 设，则， ∵S△COM＝3， ∴， ∴， ∴， 当时， 解得t＝8或t＝﹣2（舍去）， ∴， 当时， 解得t＝2或t＝﹣8（舍去）， ∴M（2，﹣2）， 综上所述M点的坐标为（2，﹣2）或； （3）存在点Q，理由如下： 设P（x，0），， 当AP为对角线时，1+0＝﹣1， 解得b＝﹣2， ∴Q（﹣2，2）； 当AQ为对角线时，﹣1+0＝1， 解得b＝2， ∴Q（2，﹣2）， 综上所述：Q点坐标为：（﹣2，2）或（2，﹣2）． 【点评】本题考查反比例函数的图象及性质，熟练掌握反比例函数的图象及性质，平行四边形的性质是解题的关键． 【作业 18】（2026•新会区校级一模）如图，M是四边形ABCD对角线的交点，AC⊥x轴于点C，BD⊥y轴于点B．反比例函数C1：y的图象经过点M，M是AC的中点． （1）求经过点A的反比例函数C2的表达式； （2）若点D恰好也在图象C2上，证明：四边形ABCD是菱形． 【分析】（1）设点M的坐标为（a，b），根据点M在反比例函数上，求出AB，根据AC⊥x轴，M是AC的中点，求出点A的坐标，设经过点A的反比例函数C2的表达式为，代入点A的坐标即可解答； （2）根据题意证明AC与BD互相垂直平分即可得证． 【解答】（1）解：设点M的坐标为（a，b）， ∵点M在反比例函数上， ∴ab＝2， ∵AC⊥x轴，M是AC的中点， ∴点A的坐标为（a，2b）， 设经过点A的反比例函数C2的表达式为， 把A（a，2b）代入可得， 即k＝2ab， 又∵ab＝2， ∴k＝4， 则反比例函数C2的表达式为； （2）证明：设点M的坐标为（a，b）， ∵BD⊥y轴， ∴点D的纵坐标与点M的纵坐标相同， ∵点D在图象C2上， ∴xb＝4，即x． ∴点D的坐标为（，b）， 由（1）知A（a，2b），ab＝2，即a， ∴点M的坐标为（，b）， ∴BM＝DM， ∵M是AC的中点， ∴AM＝CM； ∵AC⊥x轴，BD⊥y轴， ∴AC∥y轴，BD∥x轴， 即AC⊥BD， ∴四边形ABCD是菱形． 【点评】本题将反比例函数与四边形的性质结合，解题关键是利用反比例函数的性质和中点坐标求出相关点的坐标关系，再结合菱形的判定定理进行证明，考查了知识的综合运用能力． 【作业 19】（2026•槐荫区二模）如图1，一次函数图象与反比例函数的图象交于A、B两点，点A的横坐标为2，点B的坐标为（﹣3，﹣2）． （1）求反比例函数的表达式及点A的坐标； （2）如图2，直线AB与x轴交于点C，若点M为y轴正半轴上一点，并且S△MAB＝2S△AOC，求点M的坐标； （3）点P是x轴上一点，点Q为平面内一点，当以点A、B、P、Q为顶点的四边形是以AB为一边的矩形时，请求出点P的坐标． 【分析】（1）将 B （﹣3，﹣2）代入反比例函数表达式得到，解方程得到反比例函数表达式为，把x＝2代入得y＝3，于是得到A（2，3）； （2）设直线AB的函数表达式是 y＝kx+b，把 A（2，3）、B（﹣3，﹣2）代入y＝kx+b 得解方程组得到直线AB的函数表达式是 y＝x+1，求得C（﹣1，0），得到CO＝1，根据三角形的面积公式得到S△MAB＝2S△AOC＝3，设直线AB与y轴交于点D，得到D（0，1）．求得，于是得到结论； （3）设点P（m，0），求得AB2＝（2+3）2+（3+2）2＝50，①当四边形ABPQ为矩形时，如图1，∠ABP＝90°，根据勾股定理得到P（﹣5，0），②当四边形ABQP为矩形时，如图2，∠BAP＝90°根据勾股定理得到P（5，0）． 【解答】解：（1）将 B （﹣3，﹣2）代入反比例函数表达式得：， ∴k＝﹣2×（﹣3）＝6， ∴反比例函数表达式为， 把x＝2代入得y＝3， ∴A（2，3）； （2）设直线AB的函数表达式是 y＝kx+b， 把 A（2，3）、B（﹣3，﹣2）代入y＝kx+b 得： ， ∴5k＝5， ∴k＝1， ∴b＝1， ∴直线AB的函数表达式是 y＝x+1， 当y＝0时，x+1＝0， ∴x＝﹣1， ∴C（﹣1，0）， ∴CO＝1， ∴， ∴S△MAB＝2S△AOC＝3， 设直线AB与y轴交于点D， ∴D（0，1）． ∴S ＝3， ∴， ∵DO＝1， ∴MO＝DO+MD， ∴； （3）设点P（m，0）， ∵A（2，3）、B（﹣3，﹣2） ∴：AB2＝（2+3）2+（3+2）2＝50， P2＝（m+3）2+22＝（m+3）2+4 4P2＝（m﹣2）2+32＝（m﹣2）2+9， ①当四边形ABPQ为矩形时，如图1，∠ABP＝90°， ∴AB2+BP2＝AP2， ∴50+（m+3）2+4＝（m﹣2）2+9， ∴m＝﹣5， ∴P（﹣5，0）， ②当四边形ABQP为矩形时，如图2，∠BAP＝90° ∴AB2+AP2＝BP2， ∴50+（m﹣2）2+9＝（m+3）2+4， ∴m＝5， ∴P（5，0）， 综上所述，点P的坐标为 （﹣5，0）或（5，0）． 【点评】本题是反比例函数的综合题，考查了待定系数法求函数解析式，反比例函数的性质，勾股定理，矩形的性质，分类讨论是解题的关键． 【作业 20】（2026•上蔡县一模）如图，一次函数y＝ax+b（a≠0）的图象与反比例函数的图象交于点A（1，4）、B（n，﹣1）． （1）求反比例函数和一次函数的表达式； （2）利用图象，直接写出不等式的解集； （3）在平面内是否存在一点P，使以点O，B，A，P为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）观察函数图象即可求解； （3）设点P的坐标为（m，n），当AB为对角线时，由中点坐标公式得m，n，即可求解；当AO或BO为对角线时，同理可解． 【解答】解：（1）将点A、B的坐标代入反比例函数表达式得：k＝4×1＝﹣n， 解得：k＝4，n＝﹣4， 即反比例函数的表达式为：y，点B（﹣4，﹣1）； 将点A、B的坐标代入一次函数表达式得：， 解得， 则一次函数表达式为：y＝x+3； （2）观察函数图象知，当0＜x＜1或x＜﹣4时，ax+b成立； （3）设点P的坐标为（m，n）， 当AB为对角线时， 由中点坐标公式得，， 解得， 则点P（﹣3，3）； 当AO和BO为对角线时， 同理可得或， 解得或， 则点P（﹣5，﹣5）或（5，5）， 综上，点P的坐标为：（﹣3，3）或（﹣5，﹣5）或（5，5）． 【点评】本题属于反比例函数综合题，考查了反比例函数的性质，待定系数法，解不等式等知识，解题的关键是掌握待定系数法，学会构建方程组确定交点坐标，属于中考常考题型． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 第7讲 反比例函数的应用 优等生讲义 （精讲+典例+针对练习）2026--2027学年沪科版九年级数学上册 📌 思维导图 🎯 课程目标 · · 能从实际问题中识别两个量成反比例关系，建立y=模型 · · 掌握行程、工程、温度变化等生活类反比例问题的解法 · · 能跨学科应用反比例函数解决压强、电流、气压等物理问题 · · 掌握几何中面积一定时底与高、矩形边长等反比例关系 · · 能综合反比例函数与一次函数解决交点、面积、存在性问题 📚 知识梳理 ☆ 1.实际生活中的反比例应用 两个量乘积为定值即成反比例：xy=k 行程问题：路程一定时v= 工程问题：工作总量一定时工作效率×时间=总量 温度变化：加热段为一次函数，降温段为反比例函数 概念辨析例题：司机以60km/h用8h到乙地，原路返回时v与t的关系式 解析：路程s=60×8=480km，返回时vt=480，故v= ☆ 2.跨学科反比例应用 物理：压力一定时压强p= 电学：电压一定时电流I= 气体：温度不变时气压pV=k 波：v=fλ，波速一定时频率与波长成反比 概念辨析例题：气球气压p是体积V的反比例函数，过点(0.8,120)，求表达式 解析：设p=，代入(0.8,120)得k=0.8×120=96 ☆ 3.几何中的反比例关系 三角形面积一定时，底a与高h成反比例：ah=2S 矩形面积一定时，相邻两边长成反比例 利用反比例函数图像交点判断「加倍矩形」是否存在 实际花圃问题：面积定值时两边长乘积为定值 概念辨析例题：三角形面积一定时底a与高h成反比例，图像过(4,3)，求解析式 解析：设h=，代入(4,3)得k=12，故h= ☆ 4.反比例函数与一次函数综合 联立两个函数解析式求交点坐标 利用k的几何意义求三角形面积 存在性问题：平行四边形、等腰三角形分类讨论 不等式解集看图像上下位置，分区间写 概念辨析例题：一次函数y=-x+4与反比例y=交于A、B，k=3时求A、B坐标 解析：联立-x+4=得x2-4x+3=0，x=1或3 📋 知识总结表 应用场景 函数关系 关键公式 行程问题 路程一定v与t成反比 vt=s 工程问题 总量一定效率与时间成反比 工作效率×时间=总量 压强问题 压力一定p与S成反比 p= 电学问题 电压一定I与R成反比 I= 气体问题 温度不变p与V成反比 pV=k 几何面积 面积一定底与高成反比 ah=2S 两函数交点 联立方程求解 不等式看图像上下 ⚠️ 核心考点 【考点1】反比例函数的应用（第1-14题） · · 先判断xy是否为定值 · · 待定系数法求k · · 注意分段函数（加热+降温） · · 由函数值求自变量范围 1．某学校对教室采用药薰消毒法进行消毒．现测得含药量y（毫克）与时间x（分）的部分数据如下表： 时间x/分 0 2 4 6 8 10 12 16 20 含药量y/毫克 0 1.5 3 4.5 6 4.8 4 3 2.4 则下列图象中，能表示y与x的函数关系的图象可能是（　　） A． B． C． D． 2．（2026•高新区校级四模）如图1，区间测速是指检测机动车在两个相邻测速监控点之间的路段（测速区间）上平均速度的方法．小聪发现安全驾驶且不超过限速的条件下，汽车在某一高速路的限速区间AB段的平均行驶速度v（km/h）与行驶时间t（h）是反比例函数关系（如图2），已知高速公路上行驶的小型载客汽车最高车速不得超过120km/h，最低车速不得低于90km/h，小聪的爸爸按照此规定通过该限速区间AB段的时间可能是（　　） A．10min B．11min C．15min D．18min 3．（2025秋•聊城期末）如图所示为某新款茶吧机，开机加热时每分钟上升20℃，加热到100℃，停止加热，水温开始下降，此时水温y（℃）与通电时间x（min）成反比例关系．当水温降至20℃时，饮水机再自动加热，若水温在20℃时接通电源，水温y与通电时间x之间的关系如图所示，则下列说法中错误的是（　　） A．水温从20℃加热到100℃，需要4min B．水温下降过程中，y与x的函数关系式是 C．上午10点接通电源，可以保证当天10：30能喝到不低于38℃的水 D．在一个加热周期内水温不低于40℃的时间为7min 4．（2025秋•老河口市期末）一名司机驾驶汽车从甲地去乙地，他以60km/h的平均速度用了8h到达目的地．当他按原路匀速返回时，汽车的速度v（单位：km/h）与时间t（单位：h）之间的函数关系式为（　　） A． B． C．v＝60+t D． 5．（2026•夏邑县模拟）如图，在常温（25℃）常压时用电热水壶加热一壶水，水的温度y（℃）与时间x（分钟）近似满足一次函数关系，当水温达到100℃时停止加热，将茶叶放入热水壶，在一定时间内，茶水的温度y（℃）与时间x（分钟）近似满足反比例函数关系，已知该种茶水在30℃∼50℃时适宜饮用，在40℃时饮用口感最佳．若按照上述程序冲泡一壶该种茶水，并从开始加热时计时，下列说法错误的是（　　） A．加热6分钟时水沸腾 B．加热4分钟时水温上升了50℃ C．该种茶水适宜饮用的时间范围是第12分钟～第20分钟 D．若在口感最佳时饮用，需要等待的时间是16分钟 6．机器狗是一种模拟真实犬只形态和部分行为的机器装置，其最快移动速度v（m/s）是载重后总质量m（kg）的反比例函数．已知一款机器狗载重后总质量m＝60kg时，它的最快移动速度v＝6m/s；当其载重后总质量m＝80kg时，它的最快移动速度v＝（　　） A．4.5m/s B．5m/s C．5.5m/s D．6m/s 7．（2026•临安区一模）某品牌新能源汽车搭载了一块容量为100KWh（千瓦时）的电池组．在使用“超级快充”桩充电时，充电功率P（单位：KW）与充满电所需的时间t（单位：h）满足反比例函数关系．若将充电功率提升至原来的1.5倍，则充满电所需的时间将缩短___________________ h（用含t的代数式表示）． 8．（2025秋•梧州期末）某校开放周筹备期间，小杨接到一项任务：将一批纪念徽章分发给志愿者．他们发现，每天分发的数量与分发天数成反比例关系．已知如果每天分发50枚，则恰好按计划天数完成；如果每天分发75枚，则可以提前2天完成．则每天分发数量y（枚）与分发天数x（天）之间的函数关系式为____________________ ． 9．（2026•科尔沁区校级模拟）在生态学中，某种濒危鸟类的有效栖息地面积S（平方千米）与其种群密度a（只/平方千米）近似满足反比例关系．研究发现，当有效栖息地为20平方千米时，密度为25只/平方千米．若该区域内的鸟类总数保持稳定（无迁入迁出），当因森林砍伐导致有效栖息地缩减至5平方千米时，种群密度a＝________ 只/平方千米． 10．（2026•宝塔区一模）为建设美丽乡村，某村现要铺设一条村路，村民完成铺设所需时间y（天）与平均每天的工作量x（米/天）成反比例关系，函数图象如图所示．若村民计划用15天完成铺设，则平均每天的工作量是_______ 米/天． 11．（2026•雨花台区模拟）某饮水机开机后即开始烧水，当水温到时自动停止加热，随后水温逐渐下降，根据此过程绘制了水温y（单位：℃）随时间x（单位：t）变化的大致图象（由线段与双曲线一部分组成），如图所示．则该饮水机开始烧水后水温始终保持在40°以上时间为_________ 分钟． 12．（2025秋•安康期末）某种玻璃原材料需在0℃环境保存，取出后匀速加热至600℃高温之后停止加热，玻璃温度会逐渐降低至室温（30℃），加热和降温过程中可以对玻璃进行加工，如图是玻璃温度y（℃）与时间x（min）的函数图象，其中降温阶段y与x成反比例函数关系，根据图象信息，回答下列问题： （1）求降温阶段y与x的函数表达式； （2）求温度从600℃降到室温30℃所需要的时间． 13．（2025秋•清城区期末）综合与实践：在有限的空间内检测视力问题． 具体情境：对某班学生视力进行检测的任务； 现有条件：一张测试距离为5米的视力表，一间长为3.8米，宽为3.6米的书房． （1）如图1，若将视力表挂在墙CDGH上，在墙ABEF上挂一面足够大的平面镜，根据平面镜成像原理可知：测试线应画在距离平面镜ABEF________ 米处； （2）小明选择按比例制作视力表完成该任务，在制作过程中发现视力值V和该行字母E的长度a之间的关系是一种函数模型，字母E的长度a如图2所示，视力表上部分视力值V和字母E的长度a的部分对应数据如下表所示： 位置 视力值V a的值（mm） 第1行 0.1 70 第5行 0.25 28 第8行 0.5 14 第14行 2 3.5 ①根据表格数据判断，从一次函数、反比例函数中选择一个合适的函数模型拟合视力值V与字母E的长度a（说明理由），并求出视力值V与字母E长度a之间的函数关系式； ②小明在制作过程中发现某行字母E的长度a的值12.5mm，请问该行对应的视力值是多少？ 14．（2026•清远一模）在环境科学领域的一定条件下，某污染区域的净化时间t（单位：小时）与净化设备的功率P（单位：千瓦）存在着某种函数关系，部分对应值如表所示： 净化设备的功率P（千瓦） … 90 60 45 36 … 净化时间t（小时） … 2 3 4 5 … （1）请根据表中给出的数据，求t与P之间的函数关系式． （2）若要求净化时间不超过10小时，则净化设备的功率至少需要多少千瓦？ 【考点2】反比例函数应用跨学科（第15-19题） · · 压强p= · · 电流I= · · 气压pV=k · · 波v=fλ 15．（2026•花溪区二模）某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压p（kPa）是气体体积V（m3）的反比例函数，其图象如图所示． （1）求该反比例函数的表达式； （2）当气球内的气压大于140kPa时，气球将爆炸．为了安全起见，气体的体积应不小于多少？ 16．（2026秋•同步）阅读以下素材，探索完成任务． 极地探索，冰面行走是否安全 素材1 如图所示是我国自主研发的四轮长航程极地漫游机器人，某台该种机器人质量为500kg 素材2 重力（G）＝ 质量（m）×重力系数（g）；压强（p）＝ ；重力系数g≈10N/kg 备注：机器人对冰面的压力与自身重力相等 素材3 南极某处冰面能承受的最大压强为1×104Pa 解决问题 任务1 直接写出该机器人对冰面的压强p（Pa）关于受力面积S（m2）的函数表达式 任务2 为适应极地的不同应用环境，现将该机器人改装，使其可更换A、B、C三种型号的履带（更换不同型号履带时，该机器人整体质量保持不变，每个轮胎都需更换履带），A、B、C三种型号对应的每条履带的接地面积分别为1000cm2、1200cm2、1500cm2，利用函数的性质判断，极地机器人应更换哪种型号的履带方可安全通过该冰面 任务3 综合学科知识，当科考人员在行走过程中遇到冰面破裂等危险时，请你写出一条建议帮助科考队员安全离开危险区 17．（2026•禹城市二模）阅读下列材料，认真思考并回答相关的问题． 材料一：在﹣20℃到40℃范围内，声音（声波）在空气中的传播速度（声速）v（单位：m/s）与气温t（单位：℃）的关系如下表： 气温（℃） ﹣10 0 10 20 30 声速（m/s） 325 331 337 343 349 材料二：声音的频率（f）是指声波每秒振动的次数，单位为赫兹（Hz）．人能听到的声音频率有一定的范围，多数人能听到的频率范围是20～20000Hz． 材料三：声音的波长（λ）是指声波在传播的过程中，相邻的两个波峰（或波谷）的距离，单位为米（m）．声音的频率f和波长λ与声音的传播速度（v）（单位：m/s）满足公式：v＝f•λ． （1）当气温为20℃时，声速为 ________ m/s； （2）根据材料一表格中的数据，从你所学的函数中选择一个函数，使它能近似地反映声速（v）与气温（t）的函数关系，并求出这个函数的解析式（不要求写出t的取值范围）； （3）目前国际通用的钢琴标准音A4频率为440Hz，在室温为25℃的情况下，求钢琴标准音A4的波长． 18．（2025秋•府谷县期末）笑笑同学通过学习数学和物理知识，知道了电磁波的波长λ（单位：m）与电磁波的频率f（单位：MHz）之间为反比例函数的关系，已知当波长λ＝30m时，频率f＝10MHz． （1）求电磁波的频率f关于电磁波的波长λ的函数表达式； （2）当f＝75MHz时，求此电磁波的波长λ． 19．（2025秋•浔阳区校级月考）【背景】在一次物理实验中，小冉同学用一固定电压为12V的蓄电池，通过调节滑动变阻器来改变电流大小，完成控制灯泡L（灯丝的阻值RL＝2Ω）亮度的实验（如图），已知串联电路中，电流与电阻R、RL之间关系为，通过实验得出如下数据： R/Ω … 1 a 3 4 6 … I/A … 4 3 2.4 2 b … （1）a＝_____ ，b＝__________________ ； （2）【探究】根据以上实验，构建出函数，结合表格信息，探究函数的图象与性质． ①在平面直角坐标系中画出对应函数的图象． ②随着自变量x的不断增大，函数值y的变化趋势是_________ ． （3）【拓展】根据（2）中函数图象，可考虑利用“数形结合”进行分析，当x≥0时，的解集为____________ ． 【考点3】反比例函数的应用_几何问题（第20-23题） · · 面积一定底高成反比 · · 矩形面积一定边长成反比 · · 图像交点判断存在性 · · 花圃问题列代数式 20．（2026•石家庄二模）当三角形面积一定时，它的底边长a（cm）与底边上的高h（cm）成反比例函数关系，其图象如图所示，则当底边长a（cm）满足1.2＜a＜2.4时，底边上的高h（cm）的可能是（　　） A．4 B．6 C．12 D．13 21．（2026•夏县二模）山西是中国“面食之乡”，以“一面百样、一面百味”著称．其中，龙须面因面条细若须发、形似龙须而得名．某数学兴趣小组研究发现，当面团一定时，面条长度y（单位：m）是面条的平均横截面积x（单位：mm2）的反比例函数．观察图象，当该面团拉出的龙须面的面条长度为80m时，该龙须面的面条的平均横截面积约为________ mm2． 22．（2025秋•禅城区期末）综合探究 【问题提出】如图1，现有一个长为2，宽为1的矩形M，是否存在一个周长与面积均为它的2倍的“加倍”矩形N？ 【追根溯源】用数形结合的方式解决这个问题，思路如下： ①设“加倍”矩形的长为x，宽为y，由题意得． ②两方程对应的函数y＝﹣x+6与在同一坐标系中的图象如图2所示． ③两图象存在交点，相当于存在条件的x、y的值，即存在满足条件的“加倍”矩形N． 【举一反三】 （1）对于矩形M，是否存在一个面积为它的2倍，周长为它的a倍的“加倍”矩形K？如果存在，求a的最小值；如果不存在，说明理由． （2）将“矩形M”换成满足条件“∠B＝60°，AB＝2，BC＝4”的▱ABCD（如图3所示），在角度不变的情况下，是否存在一个周长与面积均为它的2倍的“加倍”平行四边形？ 【融会贯通】 （3）定义：较短边与较长边的比值为的平行四边形是黄金平行四边形．已知周长为2，面积为的▱ABCD（如图4所示），AB＜BC，∠B＝45°．在角度不变的情况下，周长为它的2倍、面积为它的4倍的“加倍”平行四边形的边长分别是多长？是否为黄金平行四边形？ 23．（2025秋•如皋市期中）综合与实践：学校数学兴趣小组围绕“校园花圃方案设计”开展主题学习活动．若花圃一边靠墙（墙的长度不限），其余部分用栅栏围成．兴趣小组设计了以下两种方案： 方案一 方案二 如图1，围成的四边形ABCD是一个长方形花圃． 如图2，围成长方形花圃EFHG时，中间用栅栏（栅栏宽度忽略不计）将该花圃分隔为两个小长方形区域，用来种植不同花卉，并在花圃两侧各留一个宽为3m的进出口．（进出口不用栅栏） （1）方案一中，若围成一个面积为450m2的长方形花圃．设与墙垂直的栅栏AB的长度为xm，与墙平行的栅栏BC的长度为ym，则y＝____________________ （用含x的式子表示），y与x成_____ （填“正”或“反”）比例关系； （2）方案一中，若栅栏AB的长为（2a+3b）m，栅栏BC的长比它多（a+b）m．求方案一中所需栅栏的总长度； （3）方案二中，若所需栅栏的总长度为60m，设中间栅栏MN的长度为（2a+3b）m，用含a，b的代数式表示与墙平行的栅栏FH的长度，并求当a＝1，b＝3时方案二中花圃的面积． 【考点4】反比例函数综合（第24-33题） · · 联立方程求交点 · · k几何意义求面积 · · 平行四边形分类讨论 · · 不等式看图像上下位置 24．（2025秋•吉安县期末）小明在学习了反比例函数的图象与性质后，进一步研究函数的图象与性质．类比反比例函数的研究方法，过程如下： （1）列表：如表是x与y的几组对应值，其中m＝ _____ ； x … ﹣6 ﹣4 ﹣3 ﹣2 2 3 4 6 … y … 2 3 m 6 6 4 3 2 … 描点：根据表中各组对应值（x，y），在平面直角坐标系中描出各点； 连线：用平滑的曲线顺次连接各点，如图画出了部分图象，请你把图象补充完整； （2）下列关于函数的说法，正确的有 _______ ． ①函数图象分别位于一、三象限；②当x＜0时，y随x的增大而减小； ③函数图象关于y轴对称；④函数值始终大于0； （3）已知直线y＝x+4与图象的交点坐标为 __________ ，则不等式的解集为 ______________ ． 25．（2026•南岸区模拟）如图，点E为矩形ABCD边AD的中点，连接BE，AB＝8，AD＝12．动点P从B出发沿B→E→A的路线以每秒2个单位长度的速度运动，到达A点时停止运动；同时动点Q从C出发沿C→D的路线以每秒1个单位长度的速度运动，到达D点时停止运动．点M是射线CB上一动点，连接QM，运动过程中△CQM的面积始终等于4．设点P，Q的运动时间为x秒（0＜x＜8），点P到AB的距离为y1，CM的长度为y2． （1）请直接写出y1，y2分别关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中画出函数y1，y2的图象，并分别写出函数y1，y2的一条性质； （3）结合函数的图象，请直接写出y1＞y2时，x的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2）． 26．（2026春•玄武区校级期末）利用反比例函数的图象能将一个角三等分，也能将一条线段三等分． （1）如图①，EH是∠MEN的三等分线，∠MEH＝2∠HEN，点D在EH上，过点D作DA∥EN，交EM于点A，分别过点A、点D作AB⊥EN、DC⊥EN，垂足为B、C，AB交EH于点F，点O是DF的中点，连接AO并延长交CD于点G．猜想AG与AE的数量关系，并说明理由． （2）古希腊数学家帕普斯借助反比例函数的图象成功将锐角三等分，作法如下： 1．如图②，建立平面直角坐标系，将已知∠AOB的顶点与原点O重合，角的一边OB与x轴正方向重合； 2．在平面直角坐标系里，绘制函数y的图象，图象与已知角的另一边OA交于点P； 3．以P为圆心，以2OP为半径作弧，交函数的图象于点R； 4．分别过点P和R作x轴和y轴的平行线，两线相交于点T； 5．连接OT，得到∠TOB． 请根据以上作法，证明∠TOB∠AOB． （3）如图③，在平面直角坐标系中，点A在x轴上，请你利用反比例函数的图象作出线段OA的三等分点．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，写出必要说明．） 27．（2024秋•武侯区校级期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线与反比例函数相交于A，B（点A在点B左侧），与x轴交于点C，D为y轴上一动点． （1）当k＝3时，求A，B两点的坐标； （2）在（1）的条件下，E为反比例函数图象上一点，当以A，B，D，E为顶点的四边形是平行四边形时，求点D的坐标； （3）取AC中点F，连接DF．若有且只有一点D，使得AC＝2DF，求k的值． 28．（2026•长清区二模）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数与直线相交于点、点C两点，点A在x轴的正半轴上，OA＝2，连接CA并延长与反比例函数的图象在第一象限交于点D． （1）求反比例函数的解析式； （2）求点D的坐标及△OAD的面积； （3）在x轴上是否存在点Q，使得以点A，D，Q为顶点的三角形与△ABC相似，若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 29．（2024•连南县二模）如图，一次函数y＝﹣2x﹣3的图象交x轴于点A，交y轴于点B，反比例函数的图象相交于两点，动点P在线段AB上（不与点A，B重合），过点P作PC⊥x轴于点C，连接OP． （1）点P在何处时，△OPC的面积为？ （2）在（1）的前提下，反比例函数的图象刚好与一次函数图象交于点P，求出反比例函数解析式； （3）当△OPC的面积最大时，求出点P的坐标和最大面积． 30．（2026•金水区校级一模）如图，反比例函数的图象经过线段OA的端点A（2，4），把线段OA沿x轴正方向平移3个单位得到线段CB，CB与上述反比例函数的图象相交于点D，点D的横坐标为4． （1）求k的值和直线OA的解析式； （2）若P为函数的图象上一动点，过点P作直线l⊥x轴于点M，直线l与四边形OABC在x轴上方的一边交于点N，设P点的横坐标为m，且0＜m＜3，当，求出m的值． （3）已知点Q是反比例函数上的一个动点，设点Q的横坐标为n，2＜n＜4，当n为何值时，△ADQ面积最大，并求出最大面积． 31．（2026•东海县二模）小红将一块含45°角的三角板按着如图所示的方式摆放在平面直角坐标系xOy中，已知三角板的直角顶点A恰好在反比例函数的图象上，三角板的顶点B在x轴上，且B点坐标为（8，0），三角板的另一个顶点与原点O重合，线段AB所在直线的表达式为y2＝mx+n． （1）则k＝_______ ，m＝_______ ，n＝_____ ； （2）当时，直接写出x的取值范围； （3）把△OAB沿着x轴向右平移a个单位，对应得到△O1A1B1，当反比例函数的图象经过一边的中点时，请直接写出a的值． 32．（2025秋•桥西区期末）如图，在矩形OABC中，AB＝2，BC＝4，点D是AB边上的中点，反比例函数（k≠0）的图象经过点D，交BC边于点E，直线DE的解析式为y2＝mx+n（m≠0）． （1）求反比例函数的解析式和直线DE的解析式； （2）连接DO，EO，求△DOE的面积； （3）过点E作DE的垂线与反比例函数的另一支图象交于点F，直接写出点F的坐标． 33．（2026•眉山模拟）如图，平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数的图象交于A（﹣6，1），B（1，n）两点． （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）若，请直接写出关于x的不等式的解． （3）若过点（﹣2，0）且平行于y轴的直线上有一动点P，当△PAB的面积为21时，求点P的坐标． 💯 课后巩固 复习建议 · · 判断反比例关系的关键：两个量的乘积是否为定值 · · 实际问题优先用待定系数法，由图像上一点求k · · 分段问题（加热+降温）要分别求两段函数再合并 · · 跨学科问题牢记物理公式：p=、I=、pV=k · · 两函数综合问题：联立求交点，面积用k几何意义或坐标差 【作业 1】（2026•南通）在某闭合电路中，经过电路的电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）的数据如表所示． I/A … 4 5 6 … R/Ω … 30 a 20 … 已知I是R的反比例函数，则表格中a的值为（　　） A．24 B．25 C．26 D．28 【作业 2】（2026•宜宾模拟）已知甲醛检测仪的核心部件为如图①所示的气体传感器，R1的阻值随空气中甲醛质量浓度c的变化而变化（如图②）．当甲醛质量浓度c＞0.1mg/m3时，甲醛检测仪会报警，则下列说法错误的是（　　） A．空气中甲醛的质量浓度逐渐减小时，R1的阻值逐渐增大 B．当R1＝300Ω时，甲醛检测仪会报警 C．当c＝0.8mg/m3时，R1的阻值为25Ω D．当房间内甲醛质量浓度低于0.1mg/m3时，R1的阻值高于200Ω 【作业 3】（2026•道外区一模）已知某蓄电池的电压为定值，电流I与电阻R满足反比例函数关系，它的图象如图所示，则该蓄电池的电压是（　　） A．24V B． C．11V D．38V 【作业 4】（2025秋•花都区期末）图1是一盏亮度可调节的台灯，通过调节总电阻R来控制电流I实现灯光亮度的变化．电流I（A）与电阻R（Ω）满足反比例函数关系，其图象如图2所示．当电阻R为25Ω时，该台灯的电流I是（　　） A．8.8A B．5.5A C．4.4A D．4A 【作业 5】（2026•桂林模拟）如图，△ABC的三个顶点分别为A（﹣1，2），B（﹣2，4），C（﹣4，3）．若函数在第二象限内的图象与△ABC有交点，则k的取值范围是（　　） A． B．﹣12≤k≤﹣2 C． D．﹣8≤k≤﹣2 【作业 6】（2025秋•任城区期末）根据物理学知识可知，在压力不变的情况下，物体承受的压强p（Pa）是它的受力面积S（m2）的反比例函数．已知一个长方体石块如图1放置在水平地面时，石块对地面的压强为15000Pa，若将其如图2放置，则石块对地面的压强为__________ Pa． 【作业 7】（2026•南岗区四模）如图，密闭容器内有一定质量的二氧化碳，当容器的体积V（单位：m3）变化时，气体的密度ρ（单位：kg/m3）随之变化．已知密度ρ与体积V是反比例函数关系．当V＝9m3时，则二氧化碳的密度ρ为________ kg/m3． 【作业 8】（2026•定远县模拟）如图是8个台阶在平面直角坐标系内的示意图，每个台阶的高和宽分别是1和2，每个台阶凸拐角处的顶点记作Tm（m为1～8的整数）．记函数的图象为曲线L． （1）若曲线L过点T3，则它必定还过另一点Tm，则m＝_____ ； （2）若曲线L使得T1～T8这些点分布在它的两侧，每侧各有4个点，当k为整数时，曲线L离原点最近的k的值为________ ． 【作业 9】（2026•建邺区三模）某市举行中学生党史知识竞赛，如图，用四个点分别描述甲、乙、丙、丁四所学校竞赛成绩的优秀率（该校优秀人数与该校参加竞赛人数的比值）y与该校参加竞赛人数x的情况，其中描述乙、丁两所学校情况的点恰好在同一个反比例函数的图象上，则这四所学校在这次竞赛中成绩优秀的人数最多的是_____ （填“甲”“乙”“丙”或“丁”）． 【作业 10】（2026•铁东区三模）如图，取一根长100cm的匀质木杆，用细绳绑在木杆的中点O并将其吊起来．在中点O的左侧距离中点O25cm（L1＝25cm）处挂一个重9.8N（F1＝9.8N）的物体，在中点O右侧用一个弹簧秤向下拉，使木杆处于水平状态，弹簧秤与中点O的距离L（单位：cm）及弹簧秤的示数F（单位：N）满足FL＝F1L1，若弹簧秤的示数F不超过7N，则L的值至少为 _______ cm． 【作业 11】厨师将一定质量的面团做成拉面时，面条的总长度y（m）是面条横截面面积S（mm2）的反比例函数，其图象经过A（4，32），B（m，80）两点（如图）． （1）求y关于S的函数解析式． （2）求m的值，并解释点B的实际意义． （3）某厨师拉出的面条最细时的横截面面积S＜0.8mm2，求这根面条的总长度的范围． 【作业 12】（2025秋•莱芜区期中）为了预防冬季流感，某学校对教室采用药薰消毒法进行消毒，已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间x（分钟）成正比例，药物燃烧后，y与x成反比例（如图），现测药物8分钟燃毕，此时空气中每立方米含药量为10毫克，请根据题中所提供的信息，回答下列问题． （1）药物燃烧时，y关于x的函数关系式为 ____________________ ；自变量x的取值范围是 __________ ；药物燃烧完后，y与x的函数关系式为 ____________________ ；自变量x的取值范围是 ________ ； （2）研究表明，当空气中的每立方米的含药量低于1.6毫克时学生方可进教室，那么从消毒开始，至少需要经过几分钟后，学生才能回到教室； （3）研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于2.5毫克且持续时间不低于30分钟时，才能有效地杀灭空气中的病菌，那么此次消毒是否有效？为什么？ 【作业 13】（2026•潮阳区三模）最近DeepSeek火爆全网，说明人工智能已经逐渐融入我们的生活．小明家餐厅为了跟上时代的步伐，购买了一个送餐机器人，这种机器人与地面的接触面积是可以调整的．在水平地面上，当机器人对地面的压力一定时，地面所受压强与接触面积之间的关系如表： 地面所受压强p（Pa） … 4×104 6×104 8×104 1×105 … 接触面积S（m2） … 1.2×10﹣2 8×10﹣3 6×10﹣3 4.8×10﹣3 … （1）求地面所受压强p（Pa）关于接触面积S（m2）的函数表达式； （2）若送餐机器人要经过一段水平玻璃通道，且这段玻璃通道能承受的最大压强为5×104Pa，问这种机器人与玻璃通道的接触面积至少为多少平方米？ 【作业 14】（2026•永宁县一模）阅读与思考 阅读材料：在一次物理实验中，小冉同学用一固定电压为U＝12（V）的蓄电池，通过调节滑动变阻器R（Ω）来改变电流大小，完成控制灯泡L（灯丝的阻值RL＝2Ω）亮度的实验（如图1，假设灯泡的电阻不随温度的变化而变化），已知串联电路中，电流I与电阻R，RL之间的关系为，通过实验得出如下数据（表格数据不完整）： R/Ω … 1 a 4 6 … I/A … 4 3 2 b … （1）a＝_____ ，b＝________ ； （2）根据以上实验，构建函数，结合表格信息，探究函数的图象与性质． ①在图2中画出函数的图象； ②随着自变量x的不断增大，函数值y的变化趋势是_________ ． 【作业 15】（2026•金山区二模）如图1是一种测量油箱内油量的装置“油位传感器”示意图，其中滑动变阻器的滑片跟滑杆连接．滑杆可以绕固定轴O转动，滑杆的一端固定着一个浮子．油箱中的油量减少时，油面下降，浮子随油面落下，带动滑杆使滑动变阻器的滑片向上移动，从而改变电路中电流表的示数，因此电流表上一定的示数对应者油面一定的高度．如果把电流表刻度盘上的数值改为相应的油量体积，就可以直接读出油箱中的油量．电流I（单位：A）与总电阻R（单位：Ω）成反比例，其中R＝R0+R1，已知R0＝20Ω． 可变电阻R1（单位：Ω）与油量体积V（单位：L）之间的关系如图2所示，R1≥0．当油箱内油量体积为35L时，电流表显示为0.1A． （1）当油箱内油量体积为35L时，求总电阻R的值； （2）求I关于总电阻R的函数解析式； （3）当油箱中油量体积满足5≤V≤55时，求电流表显示电流的取值范围． 【作业 16】（2025秋•济南期末）如图，一次函数y＝kx+b与反比例函数y的图象交于A（﹣3，2），B（n，﹣3）． （1）求反比例函数的解析式； （2）求△AOB的面积； （3）点P为在y轴上一动点，连接AP，若△AOP是等腰三角形，直接写出点P的坐标． 【作业 17】（2026•莱芜区模拟）如图，反比例函数与一次函数y＝mx+n的图象相交于A（a，1）和B（﹣1，4）两点． （1）求这两个函数的解析式； （2）如图，直线OA与反比例函数的图象的另一个交点为点C，点M是第四象限反比例函数图象上的一点，当△ACM的面积为6时，求点M的坐标； （3）在第（2）问的条件下，若点P为x轴上的点，则在反比例函数的图象上是否存在点Q，使得以点A、C、P、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【作业 18】（2026•新会区校级一模）如图，M是四边形ABCD对角线的交点，AC⊥x轴于点C，BD⊥y轴于点B．反比例函数C1：y的图象经过点M，M是AC的中点． （1）求经过点A的反比例函数C2的表达式； （2）若点D恰好也在图象C2上，证明：四边形ABCD是菱形． 【作业 19】（2026•槐荫区二模）如图1，一次函数图象与反比例函数的图象交于A、B两点，点A的横坐标为2，点B的坐标为（﹣3，﹣2）． （1）求反比例函数的表达式及点A的坐标； （2）如图2，直线AB与x轴交于点C，若点M为y轴正半轴上一点，并且S△MAB＝2S△AOC，求点M的坐标； （3）点P是x轴上一点，点Q为平面内一点，当以点A、B、P、Q为顶点的四边形是以AB为一边的矩形时，请求出点P的坐标． 【作业 20】（2026•上蔡县一模）如图，一次函数y＝ax+b（a≠0）的图象与反比例函数的图象交于点A（1，4）、B（n，﹣1）． （1）求反比例函数和一次函数的表达式； （2）利用图象，直接写出不等式的解集； （3）在平面内是否存在一点P，使以点O，B，A，P为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $