第9讲 比例线段 优等生讲义 2026--2027学年沪科版九年级数学上册

第9讲 比例线段 优等生讲义 （精讲+典例+针对练习）2026--2027学年沪科版九年级数学上册 参考答案与试题解析 📌 思维导图 🎯 课程目标 · · 理解比例的意义，掌握比例的基本性质、合比性质与等比性质 · · 会用设k法处理连比问题，求代数式的值 · · 理解比例线段与比例中项的概念，能判断四条线段是否成比例 · · 掌握黄金分割的定义，会求黄金分割点把线段分成的两线段长 · · 掌握平行线分线段成比例定理，能求线段长与线段比 📚 知识梳理 ☆ 1.比例的基本性质 若a：b=c：d，则内项积等于外项积ad=bc 合比性质：若=，则= 等比性质：若==…=，且b+d+…+n≠0，则= 连比问题常设公比k，把a,b,c都用k表示后代入 概念辨析例题：已知==，且a+b+c=66，求a,b,c 解析：设===k，a=3k+1,b=4k+2,c=5k+3，代入得12k+6=66，k=5 ☆ 2.比例线段与比例中项 四条线段a,b,c,d中，若a：b=c：d，则称它们成比例线段 判断四线段成比例：按大小排列，看最大×最小是否等于中间两数之积 若a：b=b：c，则b叫a,c的比例中项，b2=ac 比例尺问题：图上距离：实际距离=比例尺，面积比=比例尺的平方 概念辨析例题：a：b：c=3：2：4，a+2b+c=33，且x是a,b的比例中项，求x 解析：设a=3k,b=2k,c=4k，3k+4k+4k=33得k=3，a=9,b=6；x2=ab=54，x=3 ☆ 3.黄金分割 点C把线段AB分成AC和BC（AC>BC），若=，则称C为AB的黄金分割点 黄金比=≈0.618 较长线段=全长×，较短线段=全长× 黄金矩形宽：长= 概念辨析例题：P是AB的黄金分割点（AP>BP），AB=8，求AP 解析：AP=·AB=×8=4(-1) ☆ 4.平行线分线段成比例 三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例 若l1∥l2∥l3截m,n于A,B,C,D,E,F，则= 平行于三角形一边截其他两边，所得对应线段成比例 求线段比时常用作平行线辅助线，把分散的比集中 概念辨析例题：l1∥l2∥l3，AB=6，BC=4，DF=15，求EF 解析：===，设DE=3k,EF=2k，DF=5k=15，k=3，EF=6 📋 知识总结表 核心概念 公式/结论 注意事项 比例基本性质 a：b=c：d ⇒ ad=bc 内项积=外项积 合比性质 = ⇒ = 分子加分母 等比性质 连比相等则分子和比分母和 分母和≠0 比例中项 b2=ac b= 黄金比 ≈0.618 较长段=全长×0.618 平行线分线段 = 对应线段成比例 设k法 a=mk,b=nk,c=pk 连比问题通法 ⚠️ 核心考点 【考点1】比例的性质（第1-12题） · · 基本性质：内项积=外项积 · · 连比问题设公比k · · 等比性质分母和不为0 · · 代入化简后约去k 1．（2026春•浦东新区期中）已知三个数为2、4、8，如果再添加一个数，使这四个数能组成一个比例，那么这个数可以是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【分析】根据比例的性质解答即可． 【解答】解：在三个数2，4，8中，2×8＝16，而16÷4＝4， 所以若添加一个数组成比例，这个数可以是4． 故选：B． 【点评】本题考查了比例的性质，掌握比例的性质是解题的关键． 2．（2025秋•城关区校级期末）如果，那么的值为（　　） A．4 B．﹣4 C． D． 【分析】由已知比例，设x＝5k，y＝3k（其中k≠0），再代入所求表达式计算即可． 【解答】解：由题意可得：设x＝5k，y＝3k（其中k≠0）， 则． 故选：A． 【点评】本题考查了比例的性质，正确进行计算是解题关键． 3．（2025秋•合肥期末）已知p是m，n的比例中项，那么下列等式一定正确的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据比例中项的定义得到，据此可得答案． 【解答】解：∵p是m，n的比例中项， ∴， 由条件无法得到， 故选：D． 【点评】本题考查比例的性质，关键是掌握比例中项的定义． 4．（2026春•荣成市期末）若，则的值是（　　） A． B． C． D． 【分析】利用比例性质可设a＝3k，b＝4k，然后把它们分别代入所求的代数式中进行分式的化简计算即可． 【解答】解：∵， ∴设a＝3k，b＝4k， ∴． 故选：A． 【点评】本题考查了比例的性质，灵活运用比例的性质（内项之积等于外项之积、合比性质、分比性质、合分比性质、等比性质）是解决问题关键． 5．（2026•西湖区校级模拟）如果，则（　　） A． B． C． D． 【分析】将拆分为，代入已知条件计算即可． 【解答】解：原式＝1， ∵， ∴原式＝1． 故选：C． 【点评】本题考查比例的性质，熟练掌握拆分法是解题的关键． 6．（2026春•芝罘区期末）若，则的值是　4　 ． 【分析】设k，得到x＝2k，y＝3k，z＝4k，代入，即可求值． 【解答】解：设k， ∴x＝2k，y＝3k，z＝4k， ∴4． 故答案为：4． 【点评】本题考查比例的性质，关键是设k． 7．（2025秋•梅县区期末）已知，则的值为 　　 ． 【分析】利用比例的性质进行计算，即可解答． 【解答】解：∵， ∴设a＝2k，b＝3k， ∴， 故答案为：． 【点评】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键． 8．（2026•武威二模）已知，若a+c＝5，且b+d≠0，则b+d＝ 　15　 ． 【分析】先根据等比性质得到，然后根据内项之积等于外项之积计算b+d的值． 【解答】解：∵， ∴， ∵a+c＝5， ∴b+d＝3（a+c）＝3×5＝15． 故答案为：15． 【点评】本题考查了比例的性质，灵活运用比例的性质（内项之积等于外项之积、合比性质、分比性质、合分比性质、等比性质）是解决问题关键． 9．（2026•龙凤区校级一模）已知，且b+d+f≠0，则 　　 ． 【分析】根据已知条件得出ab，cd，ef，再代入要求的式子进行计算即可得出答案． 【解答】解：∵， ∴ab，cd，ef， ∴． 故答案为：． 【点评】此题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键． 10．（2026春•浦东新区校级月考）已知3a＝4b＝5c，比较（a+b+c）2与（3b）2的大小：（a+b+c）2　≥　 （3b）2． 【分析】设3a＝4b＝5c＝k，得，计算比较求解即可； 【解答】解：设3a＝4b＝5c＝k，则， 故， ， 当k＞0时， 由得： ， 故（a+b+c）2＞（3b）2； 当k＜0时，k2＞0， ， 当k＝0时，， 故（a+b+c）2≥（3b）2； 故答案为：≥． 【点评】本题考查了比例的性质，熟练掌握该知识点是关键． 11．（2026春•浦东新区校级期中）若，且满足a+b+c＝66，求a、b、c的值． 【分析】设k，则根据比例的性质得到a﹣1＝3k，b﹣2＝4k，c﹣3＝5k，再用k分别表示a、b、c，接着把它们分别代入a+b+c＝66得到3k+1+4k+2+5k+3＝66，解关于k的方程，从而可求出a、b、c的值． 【解答】解：设k，则a﹣1＝3k，b﹣2＝4k，c﹣3＝5k， ∴a＝3k+1，b＝4k+2，c＝5k+3， ∵a+b+c＝66， ∴3k+1+4k+2+5k+3＝66， 解得k＝5， ∴a＝3×5+1＝16，b＝4×5+2＝22，c＝5×5+3＝28． 【点评】本题考查了比例的性质：熟练掌握比例的性质（内项之积等于外项之积；合比性质；分比性质；合分比性质；等比性质）是解决问题的关键． 12．（2026春•青浦区校级月考）如果，求2x：（y﹣3z）的比值． 【分析】根据比例的性质，利用设参数法进行求解即可． 【解答】解：由题意得， 设，则x＝3k，y+z＝4k，z+x＝5k， ∴z＝2k，y＝2k， ∴． 【点评】本题考查的是比例的性质，能利用设出比例系数的方法求解是解题的关键． 【考点2】比例线段（第13-19题） · · 四线段排序后看两积是否相等 · · 比例中项b2=ac · · 比例尺：长度比=比例尺 · · 面积比=比例尺平方 13．（2026春•浦东新区期末）若长度分别为2，3，x，6的四条线段是成比例线段，则x的值为（　　） A．3 B．4 C．6 D．9 【分析】根据题意得2：3＝x：6，根据比例的基本性质即可求解． 【解答】解：根据题意得2：3＝x：6， 解得x＝4． 故选：B． 【点评】本题主要考查比例线段的定义．注意根据已知条件写比例式的时候，一定要注意顺序．然后根据比例的基本性质进行求解． 14．（2024秋•六盘水期中）下列四条线段中，能成为成比例线段的是（　　） A．a＝2，b＝3，c＝4，d＝5 B．a＝2，b＝4，c＝6，d＝12 C．a＝2，b＝2，c＝3，d＝4 D．a＝1，b＝3，c＝4，d＝5 【分析】根据比例线段的定义，分别计算各选项中最小的数与最大的数的积是否等于另外两个数的积可判断四条线段成比例如下． 【解答】解：根据比例线段的定义，分别计算各选项中最小的数与最大的数的积是否等于另外两个数的积可判断四条线段成比例如下： A、2×5≠3×4，所以A选项不符合题意； B、2×12＝4×6，所以B选项符合题意； C、2×4≠2×3，所以C选项不符合题意； D、1×5≠3×4，所以D选项不符合题意； 故选：B． 【点评】本题考查了比例线段，正确记忆判定四条线段是否成比例，只要把四条线段按大小顺序排列好，判断前两条线段之比与后两条线段之比是否相等即可，求线段之比时，要先统一线段的长度单位，最后的结果与所选取的单位无关系．是解题关键． 15．（2026春•济宁期末）若线段a，b，c，d是成比例线段，且a＝1cm，b＝5cm，c＝3cm，则d为（　　）cm A．15 B． C． D． 【分析】利用比例线段的定义得到a：b＝c：d，然后根据比例性质求出d的值． 【解答】解：∵线段a，b，c，d成比例线段， ∴a：b＝c：d，即1：5＝3：d， ∴d＝15（cm）． 故选：A． 【点评】本题考查了比例线段：对于四条线段a、b、c、d满足 a：b＝c：d（即ad＝bc），我们就说a、b、c、d是成比例线段，简称比例线段． 16．（2026春•青浦区校级月考）在比例尺为80：1的工程图纸上，量得一个圆形零件的半径是4厘米，那么这个圆形零件的实际面积是　0.00785　 平方厘米．（π取3.14） 【分析】先根据比例尺的定义求出圆形零件的实际半径，再利用圆的面积公式计算实际面积，即可得到结果． 【解答】解：设该圆形零件的实际半径为r厘米， ∵在比例尺为80：1的工程图纸上，量得一个圆形零件的半径是4厘米， ∴80：1＝4：r 解得． ∴S＝3.14×（0.05）2＝3.14×0.0025＝0.00785（平方厘米）． 故答案为：0.00785． 【点评】本题考查的是比例线段，圆的面积，有关圆的应用题，熟知以上知识是解题的关键． 17．（2026春•崇明区期中）在2、3、6中添加一个数x，使得这四个数成比例，x的值为　1、4或9　 ． 【分析】根据比例的基本性质，分三种不同情况讨论计算即可． 【解答】解：当2和x为比例的两个外项时2x＝3×6，解得x＝9； 当3和x为比例的两个外项时3x＝2×6，解得x＝4； 当6和x为比例的两个外项时6x＝2×3，解得x＝1； 故答案为：1、4或9． 【点评】本题考查比例的意义与基本性质，掌握比例的基本性质是解答本题的关键． 18．（2025秋•松江区期末）已知△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，且． （1）如果△ABC的周长为60，求a的值； （2）如果△ABC的面积为60，求a的值． 【分析】（1）设k，易得a＝5k，b＝12k，c＝13k，然根据三角形周长定义得到5k+4k+6k＝60，解关于k的方程求出k，即可求解； （2）根据勾股定理的逆定理得△ABC是直角三角形，根据三角形的面积即可求解． 【解答】解：（1）设k，易得a＝5k，b＝12k，c＝13k， ∴5k+12k+13k＝60， 解得k＝2， 所以a＝10． ∴5k+12k+13k＝60， 解得k＝2， 所以a＝10； （2）设k，易得a＝5k，b＝12k，c＝13k，则a2+b2＝c2， ∴△ABC是直角三角形， ∴△ABC的面积为ab＝60， ∴5k×12k＝60，解得k（负值舍去）， 所以a＝5． 【点评】本题考查了比例线段：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，如 a：b＝c：d（即ad＝bc），我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．也考查了勾股定理的逆定理． 19．（2025秋•慈溪市校级期中）已知线段a、b、c满足a：b：c＝3：2：4，且a+2b+c＝33． （1）求a、b、c的值； （2）若线段x是线段a、b的比例中项，求x的值． 【分析】（1）设a＝3k，b＝2k，c＝4k，构建方程求解； （2）根据比例中项的定义构建方程求出x即可． 【解答】解：（1）∵a：b：c＝3：2：4， ∴可以假设a＝3k，b＝2k，c＝4k， ∵a+2b+c＝33， ∴3k+4k+4k＝33， ∴k＝3， ∴a＝9，b＝6，c＝12； （2）由题意x2＝ab＝54， ∴x＝3（负根已经舍去）． 【点评】本题考查比例线段，解题的关键是学会利用参数解决问题． 【考点3】黄金分割（第20-25题） · · 较长段=全长× · · 较短段=全长-较长段 · · 黄金矩形宽：长=0.618 · · 结果保留根号 20．（2025秋•宁夏校级期末）玻璃瓶中装入不同量的水，敲击时能发出不同的音符．实验发现，当液面高度AC与瓶高AB之比为黄金比（AC＞BC）时，可以敲击出音符“sol”的声音．若AB＝8cm，且敲击时发出音符“sol”的声音，则液面高度AC约为（　　） A． B． C． D． 【分析】根据黄金分割的定义进行计算即可． 【解答】解：由题意可得： ， 故选：B． 【点评】本题主要考查了黄金分割，熟知黄金分割的定义是解题的关键． 21．（2026•阜阳校级一模）鹦鹉螺的贝壳呈现出等角螺线，其相邻半径之比是一个常数，展现了自然界精妙的数学规律．如图，已知点P是线段AB的黄金分割点（AP＞BP），若AB的长为8，则AP的长为（　　） A． B． C． D． 【分析】根据黄金分割的定义进行计算即可． 【解答】解：由题知， 因为已知点P是线段AB的黄金分割点（AP＞BP）， 所以． 因为AB的长为8， 所以AP． 故选：D． 【点评】本题主要考查了黄金分割，熟知黄金分割的定义是解题的关键． 22．（2025秋•驻马店校级期末）已知点C是线段AB的黄金分割点，且AC＞BC，若AB＝2，则AC＝　　 ． 【分析】根据黄金分割的定义：把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项，叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点．据此列出方程计算即可． 【解答】解：设AC的长为x，则BC＝AB﹣AC＝2﹣x， 则，即， ∴x2+2x﹣4＝0， 解得，（不符合题意，舍去）， ∴AC的长为； 故答案为：． 【点评】本题考查了黄金分割的定义以及解一元二次方程，正确进行计算是解题关键． 23．（2026•南山区二模）大自然是美的设计师，即使是一个小小的盆景，经常也会产生最具美感的黄金分割比（黄金分割比．如图，B为AC的黄金分割点（AB＞BC），若AC＝20cm，则BC的长为 　　 cm．（结果保留根号） 【分析】根据黄金分割的定义进行计算，即可解答． 【解答】解：∵B为AC的黄金分割点（AB＞BC），AC＝20cm， ∴ABAC20＝（1010）cm， ∴BC＝AC﹣AB＝20﹣（1010）＝（30﹣10）cm， 故答案为：． 【点评】本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键． 24．（2026春•合阳县期末）黄金矩形给我们以协调、匀称的美感．小凡在美术课上设计了一个黄金矩形图片ABCD（即宽与长的比是），已知该黄金矩形图片的长AB＝10cm，求该黄金矩形图片的周长． 【分析】先根据黄金矩形宽与长的比值，结合已知的边长求出矩形的宽，再利用矩形周长公式计算即可得到结果． 【解答】解：设该黄金矩形的宽为xcm， 由题意得：， 2x＝10（1）， 解得：， ∴， 即该黄金矩形图片的周长为． 【点评】本题考查黄金分割，二次根式的应用，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 25．（2025秋•临汾期中）黄金分割是几何学中的瑰宝之一，给人以震撼的美感．课本第56页这样定义“黄金分割点”：如图1，点P将线段AB分成两部分（AP＞BP），若，则称点P为线段AB的黄金分割点，这个比值称为黄金比． （1）如图1，若AB＝1，求黄金比的值．（保留根号） （2）某数学兴趣小组在进行课题研究时，由黄金分割点联想到“黄金分割线”，如图2，在△ABC中，点D是BC边上一点，AD将△ABC分割成两个三角形（S△ABD＞S△ACD），当满足，则称AD为△ABC的黄金分割线． ①求证：此时点D是线段BC的黄金分割点； ②若△ABC的面积为4，请直接写出△ACD的面积． 【分析】（1）设AP＝x，则BP＝1﹣x，由题意，，即，整理得x2+x﹣1＝0，计算求出满足要求的解，然后代入求黄金分割比即可； （2）①设△ABC中AB边上的高为h，可得，即，进而可得点D是BC的黄金分割点； ②解：设△ACD的面积为s，则△ABD的面积为4﹣s，根据，可得，整理得s2﹣12s+16＝0，计算求出满足要求的解即可． 【解答】解：（1）设AP＝x，则BP＝1﹣x，根据题意可知， ∴， 整理得x2+x﹣1＝0， 解得，（不合题意，舍去）， ∴， ∴． （2）①设△ABC中AB边上的高为h， ∵， ∴， ∴， ∴点D是BC的黄金分割点． ②设△ACD的面积为s，则△ABD的面积为4﹣s， 由条件可得， 整理得s2﹣12s+16＝0， 解得，（不合题意，舍去）， ∴△ACD的面积为． 【点评】本题考查了黄金分割，解一元二次方程．熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键． 【考点4】平行线分线段成比例（第26-38题） · · 认准对应线段列比例式 · · 已知两线段和用设k法 · · 三角形内作平行线辅助 · · 同高三角形面积比=底边比 26．（2025•哈尔滨模拟）如图，直线a∥b∥c，分别交直线m，n于点A，B，C，D，E，F．若AB：BC＝3：2，EF＝4，则DE的长为（　　） A．4 B．5 C．6 D．10 【分析】利用平行线分线段成比例定理列出比例式解答即可． 【解答】解：∵a∥b∥c， ∴， ∵AB：BC＝3：2， ∴， ∴， ∴DE＝6． 故选：C． 【点评】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键． 27．（2026•兴庆区校级一模）如图，A，B均在方格纸的格点上．在方格纸内另取格点C，D，连结CD，交线段AB于点P．若要使点P把线段AB分成1：2的两条线段，则（　　） A．只有方法1对 B．只有方法2对 C．方法1，2都对 D．方法1，2都错 【分析】分别根据平行线分线段成比例即可得出答案． 【解答】解：方法1， ∵AC∥BD，BD＝2AC， ∴， ∴点P把线段AB分成1：2的两条线段； 方法2，如图，连接BC，AD， ∵BC∥AD，AD＝2BC， ∴， ∴点P把线段AB分成1：2的两条线段； ∴方法1，2都对． 故选：C． 【点评】本题考查了平行线分线段成比例，关键是熟练掌握平行线分线段成比例的应用． 28．（2026•道里区模拟）如图是一架人字梯及其侧面示意图，已知AB∥CD∥EF，AC＝50cm，CE＝30cm，BD＝45cm，则BF的长为（　　） A．27cm B．50cm C．72cm D．80cm 【分析】先根据平行线等分线段定理列比例式求得DF＝27cm．BF＝BD+DF＝72cm，再运用线段的和差求解即可． 【解答】解：已知AB∥CD∥EF，AC＝50cm，CE＝30cm，BD＝45cm， ∴， ∴， 解得：DF＝27cm． ∴BF＝BD+DF＝72cm， ∴BF＝BD+DF＝72cm， 故选：C． 【点评】本题主要考查了平行线分线段成比例，根据平行线等分定理列比例式成为解题的关键． 29．（2025秋•南京期末）如图，AB∥CD∥EF，AC＝2，AE＝5，BD＝1.5，那么BF的长为（　　） A． B． C． D．7 【分析】根据平行线分线段成比例定理判断即可． 【解答】解：∵AB∥CD∥EF，AC＝2，AE＝5，BD＝1.5， ∴， 即， 解得：， 故选：A． 【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键． 30．（2026•芜湖二模）如图，在△ABC中，D为BC上一点，E为AB的中点，CE与AD相交于点F，若，则（　　） A．3 B． C． D．4 【分析】取AD的中点G，连接EG，得到，进而得到△EGF∽△CDF，得到，进而求出的值即可． 【解答】解：取AD的中点G，连接EG，则AG＝DG，如图， ∵E为AB的中点，CE与AD相交于点F， ∴， ∴△EGF∽△CDF， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴． 故选：C． 【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理，熟知三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例是解题的关键． 31．（2025秋•浦东新区期末）如图，已知AB∥CD∥EF，它们依次交直线l1，l2于点A、D、F和点B、C、E．如果AD：DF＝3：2，BC＝21，那么CE＝　14　 ． 【分析】根据平行线分线段成比例定理即可得到结论． 【解答】解：∵AD：DF＝3：2， ∴， ∵AB∥CD∥EF， ∴， ∵AF＝AD+DF ∴， ∵BC＝21， ∴， ∴BE＝35， ∴如果AD：DF＝3：2，BC＝21，那么CE＝BE﹣BC＝35﹣21＝14， 故答案为：14． 【点评】本题考查了平行线分线段成比例，找准对应线段是解题的关键 32．（2026•漳州模拟）如图，若l1∥l2∥l3，AB＝6，BC＝4，DF＝15，则EF的长为　6　 ． 【分析】根据平行线分线段成比例得出，再代入数值计算即可． 【解答】解：∵l1∥l2∥l3， ∴， ∴， 解得：EF＝6． 故答案为：6． 【点评】此题考查平行线分线段成比例，关键是根据平行线分线段成比例得出解答． 33．白银比例是相对于黄金分割比的另一个美学比例，在建筑、绘画、雕塑等艺术领域有着广泛的应用，具体比例数值为．如图，AB∥CD，OC：OB为白银比例．已知OD＝3，则AD的长为 　　 ． 【分析】证明△OCD和△OBA相似得OD：OA＝OC：OB，再根据OD＝3可得OA，据此得AD＝OD+OA． 【解答】解：∵AB∥CD， ∴△OCD∽△OBA， ∴OD：OA＝OC：OB， ∵OC：OB为白银比例， ∴OD：OA， ∴OA， ∵OD＝3， ∴OA， ∴AD＝OD+OA． 故答案为：． 【点评】此题主要考查了相似三角形的性质，实数的运算，熟练掌握相似三角形的性质，实数的运算是解决问题的关键． 34．（2026春•济宁期末）如图，l1∥l2∥l3，DE＝3，EF＝4，AB＝2，则BC的长为 　　 ． 【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，把已知数据代入计算得到答案． 【解答】解：∵l1∥l2∥l3， ∴， ∵DE＝3，EF＝4，AB＝2， ∴， 解得：BC， 故答案为：． 【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键． 35．（2026秋•单元）如图，在△ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，AD，BE相交于点G，AG：GD＝4：1，BD：DC＝2：3．求AE：EC的值． 【分析】过D作DH∥AC交BE于H，利用平行线分线段成比例，可求出AE＝4DH，CEDH，二者作比后，即可得出结论． 【解答】解：过D作DH∥AC交BE于H， ∴，， ∴AE＝4DH，CEDH， ∴． 【点评】本题考查了平行线分线段成比例，牢记“平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例”是解题的关键． 36．（2025秋•浦东新区校级期中）如图，在△ABC中，点D为BC上一点，点P在AD上，过点P作PM∥AC交AB于点M，作PN∥AB交AC于点N． （1）若点D是BC的中点，且AP：PD＝2：1，求AM：AB的值； （2）若点D是BC上任意一点，试证明：． 【分析】（1）过点D作DE∥PM交AB于E，由点D为BC中点与AP：PD＝2：1，根据平行线分线段成比例定理，即可求得AM：AB的值； （2）过点D作DE∥PM交AB于E，即可得，又由PM∥AC，根据平行线分线段成比例定理可得，继而求得 【解答】（1）解：如图，过点D作DE∥PM交AB于E， ∵PM∥AC， ∴DE∥AC， ∴， ∵点D为BC中点， ∴点E是AB中点，且， ∴； （2）证明：如图，过点D作DE∥PM交AB于E， ∴， 又∵PM∥AC， ∴DE∥AC， ∴， ∴， 同理可得：， ∴． 【点评】本题考查平行线分线段成比例定理，掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键． 37．（2025春•长春校级期中）如图，AD∥BE∥CF，直线l1、l2与这三条平行线分别交于点A、B、C和点D、E、F．若AB＝12，BC＝24，DF＝33，求DE的长． 【分析】据平行线分线段成比例定理列出比例式，把已知数据代入计算，得到答案． 【解答】解：∵AD∥BE∥CF， ∴， ∵DF＝33，AB＝12，BC＝24， ∴， 12（33﹣DE）＝24DE， 解得：DE＝11． 【点评】此题考查了平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键． 38．如图，已知直线l1，l2，l3分别交直线l4于点A，B，C，交直线l5于点D，E，F，且l1∥l2∥l3． （1）如果AB＝4，BC＝8，EF＝12，求DF的长； （2）如果DE：EF＝2：3，AC＝15，求AB的长． 【分析】（1）根据l1∥l2∥l3，利用平行线分线段成比例，可得：，结合已知AB＝4，BC＝8，EF＝12，即可得出DE的长，最后由DF＝DE+EF即可得出答案． （2） 【解答】解：（1）∵l1∥l2∥l3， ∴， ∵AB＝4，BC＝8，EF＝12， ∴， ∴， ∴DF＝DE+EF＝6+12＝18； （2）∵l1∥l2∥l3， ∴， ∵DE：EF＝2：3， ∴． 设AB＝2k，则BC＝3k， ∵AC＝15， ∴AB+BC＝15， ∴2k+3k＝15， ∴5k＝15， 解得：k＝3， ∴AB＝2k＝2×3＝6． 【点评】本题考查了平行线分线段成比例，掌握平行线分线段成比例是解题的关键． 📝 随堂检测 【练习 1】（2025秋•绛县期末）已知x：y＝5：3，则下列等式中，正确的是（　　） A．5x＝3y B． C． D． 【分析】设x＝5k，y＝3k，再根据比例的性质求解即可． 【解答】解：∵x：y＝5：3， ∴设x＝5k，y＝3k， A．由比例的性质得到3x＝5y，故本选项不符合题意； B．，故本选项不符合题意； C．，故本选项不符合题意； D．，故本选项符合题意； 故选：D． 【点评】此题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键． 【练习 2】（2026春•龙口市期末）下列长度的四组线段中，成比例的一组是（　　） A．2cm，2.5cm，3cm，3.5cm B．，3cm，3cm， C．2cm，4cm，8cm，18cm D． 【分析】根据比例线段的概念，让最小的和最大的相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等即可得出答案． 【解答】解：A．∵2×3.5≠3×2.5，∴四条线段不成比例，故不符合题意； B．∵43×3，∴四条线段不成比例，故不符合题意； C．∵2×18≠4×8，∴四条线段不成比例，故不符合题意； D．∵2＝2，∴四条线段成比例，故符合题意； 故选：D． 【点评】此题考查了比例线段，理解成比例线段的概念，注意在线段两两相乘的时候，要让最小的和最大的相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等进行判断． 【练习 3】（2026春•芝罘区期中）如图，在△ABC中，延长BA至点D，使AD＝AB，E在BC上，连接DE交AC于点F，EG∥AC交AB于点G，已知BC＝8，DF＝5，EF＝2，则CE的长为　　 ． 【分析】根据平行线分线段成比例进行计算即可． 【解答】解：由题知， ∵EG∥AC， ∴． ∵DF＝5，EF＝2， ∴． ∵AD＝AB， ∴． ∵GE∥AC， ∴． 又∵BC＝8， ∴CE． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了平行线分线段成比例，熟知平行线分线段成比例是解题的关键． 【练习 4】（2025秋•岳池县校级期末）如图，点D、E分别在△ABC的边AB、AC上，DE∥BC，且S△ADE＝4，S△BCE＝24，则S△BDE＝　8　 ． 【分析】设S△BDE＝x，则可得出△ABE，△BCE的面积之比，由平行线分线段成比例定理可得，进而得出，再将x的值代入，即可得出答案； 【解答】解：∵DE∥BC， ∴， ∵， ∴， ∴， 设S△BDE＝x， 又∵S△BCE＝24，S△ADE＝4， ∴， ∴解方程并检验得：x1＝8，x2＝﹣12（舍）， ∴S△BDE＝8． 【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理，解一元二次方程，结合同高的三角形面积比等于底边的比，解题关键结合图形正确写出对应线段． 💯 课后巩固 复习建议 · · 比例问题首选设k法，把各量用k表示后代入化简 · · 判断四线段成比例：排序后看「最大×最小=中间两积」 · · 黄金分割记住较长段=全长×，结果保留根号 · · 平行线分线段成比例：认准「横线截得的上段比下段=另一线上对应比」 · · 三角形内求线段比，常过某点作平行线把比集中到一条线上 【作业 1】（2025秋•临泉县期末）下列四组线段中，是成比例线段的一组是（　　） A．1，2，3，4 B．2，4，6，8 C．1，2，5，10 D．2，3，5，8 【分析】计算每组中前两条线段的比值与后两条线段的比值是否相等，即可得解． 【解答】解：A、，， ∴，不成比例，不符合题意； B、，， ∴，不成比例，不符合题意； C、，， ∴，成比例，符合题意； D、，， ∴，不成比例，不符合题意． 故选：C． 【点评】本题考查了比例线段，关键掌握对于按顺序排列的四条线段a、b、c、d，如果a：b＝c：d，则它们成比例． 【作业 2】（2026春•环翠区期末）下列四组线段中，是成比例线段的一组是（　　） A．1，2，4，6 B．2，3，5，8 C．2，3，6，9 D．1，，， 【分析】由成比例线段知，证明线段a、b、c、d成比例，则需a：b＝c：d，分别求出比值是否相等即可得出答案． 【解答】解：A．，故不符合题意； B．，故不符合题意； C．，故符合题意； D．，故不符合题意； 故选：C． 【点评】本题主要考查了比例线段，熟知比例线段的定义是解题的关键． 【作业 3】（2026•哈尔滨模拟）已知l1∥l2∥l3，，DE＝9，则EF＝（　　） A．12 B．15 C．28 D．24 【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，把已知数据代入计算即可求解． 【解答】解：∵l1∥l2∥l3， ∴， ∴， ∴EF＝15， 故选：B． 【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理，掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键． 【作业 4】（2025秋•盐田区期末）如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC和DF被l1，l2，l3所截，AB＝3，BC＝4，EF＝8，则DF的长为（　　） A．9 B．3 C．5 D．14 【分析】由平行线分线段成比例定理，得，代入已知线段得长度求解即可． 【解答】解：∵直线l1∥l2∥l3，直线AC和DF被l1，l2，l3所截， ∴， ∵BC＝4，EF＝8，AB＝3， ∴即， ∴DE＝6． ∴DF＝DE+EF＝6+8＝14， 故选：D． 【点评】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，能根据平行线分线段成比例定理得出正确的比例式是解此题的关键． 【作业 5】（2026春•闵行区校级期末）一个三角形三条边长度的比是3：4：5，这个三角形的周长为24，则这个三角形中最长的一条边长是　10　 ． 【分析】根据三边长度比确定最长边对应的份数，计算总份数后，按比例分配即可求出最长边长度． 【解答】解：由条件可知：总份数为3+4+5＝12，最长边占周长的5 12， ∴最长边长度为． 故答案为：10． 【点评】本题考查了比例的性质，熟练掌握该知识点是关键． 【作业 6】（2026•高密市校级模拟）已知线段AB的长为4cm，如果点P是线段AB的黄金分割点（AP＞BP），那么AP的值是　（22）　 cm． 【分析】根据黄金分割的定义列式计算即可． 【解答】解：∵线段AB的长为4cm，点P是线段AB的黄金分割点（AP＞BP）， ∴APAB4＝（22）（cm）， 故答案为：（22）． 【点评】本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割是解题的关键． 【作业 7】（2026•碑林区校级二模）黄金分割具有比例性、和谐性，通过黄金分割比例优化笔画分布，可使字形呈现动态平衡美感．如图，“寸”字的横画与竖钩的交接处B点恰好是横画AC的黄金分割点（AB＞BC），若横画AC的长为4cm，则BC的长为　　 cm． 【分析】根据黄金分割点的定义可知较长线段是全长的倍，较短线段等于全长减去较长线段，据此计算即可． 【解答】解：根据黄金分割点的定义可知， ∵AC＝4cm， ∴， ∴， 故答案为：． 【点评】本题考查了黄金分割点的定义，熟练掌握该知识点是关键． 【作业 8】（2025•徐汇区一模）已知：． （1）求代数式的值； （2）当2a+b+3c＝44时，求a、b、c的值． 【分析】（1）设k，利用比例性质得到a＝2k，b＝3k，c＝5k，然后把它们分别代入所求的代数式值，然后进行分式的化简计算； （2）把a＝2k，b＝3k，c＝5k代入2a+b+3c＝44中得到关于k的方程，然后求出k，从而得到a、b、c的值． 【解答】解：（1）设k，则a＝2k，b＝3k，c＝5k， 所以原式； （2）把a＝2k，b＝3k，c＝5k代入2a+b+3c＝44得4k+3k+15k＝44， 解得k＝2， 所以a＝4，b＝6，c＝10． 【点评】本题考查了比例的性质：熟练掌握比例的性质（内项之积等于外项之积；合比性质；分比性质；合分比性质；等比性质）是解决问题的关键． 【作业 9】（2026春•淮南月考）如图，已知AD∥BE∥CF，它们依次交直线l1，l2于点A，B，C和点D，E，F． （1）若AB＝6，BC＝8，DE＝7，求DF的长； （2）若AB：AC＝2：5，EF＝9，求DE的长． 【分析】（1）由平行线分线段成比例定理和比例的性质得出，即可求出EF的长，得出DF的长； （2）由AB：AC＝2：5可得AB：BC＝2：3，由平行线分线段成比例定理得，代入EF＝9可得结论． 【解答】解：（1）∵AD∥BE∥CF，DE＝7，AB＝6，BC＝8， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）∵AB：AC＝2：5， ∴AB：BC＝2：3， ∵AD∥BE∥CF，EF＝9， ∴， ∴． 【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理，熟知三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例是解题的关键． 【作业 10】（2024秋•富平县期中）如图，在▱ABCD中，BD为对角线，E、F分别是边BC，CD上的点，连接AE，AF，且EF∥BD，AE、AF分别交BD于点G、H． （1）求证：HF•AG＝GE•AH； （2）若，求的值． 【分析】（1）由EF∥BD即可得到，即可求证； （2）由平行四边形得到BC∥AD，则． 【解答】（1）证明：在▱ABCD中，BD为对角线，E、F分别是边BC，CD上的点，EF∥BD， ∴， ∴HF•AG＝GE•AH； （2）解：∵， 又∵， ∴， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴BC∥AD， ∴． 【点评】本题考查了平行四边形的性质，平行线分线段成比例定理，解题的关键要明确：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 第9讲 比例线段 优等生讲义 （精讲+典例+针对练习）2026--2027学年沪科版九年级数学上册 📌 思维导图 🎯 课程目标 · · 理解比例的意义，掌握比例的基本性质、合比性质与等比性质 · · 会用设k法处理连比问题，求代数式的值 · · 理解比例线段与比例中项的概念，能判断四条线段是否成比例 · · 掌握黄金分割的定义，会求黄金分割点把线段分成的两线段长 · · 掌握平行线分线段成比例定理，能求线段长与线段比 📚 知识梳理 ☆ 1.比例的基本性质 若a：b=c：d，则内项积等于外项积ad=bc 合比性质：若=，则= 等比性质：若==…=，且b+d+…+n≠0，则= 连比问题常设公比k，把a,b,c都用k表示后代入 概念辨析例题：已知==，且a+b+c=66，求a,b,c 解析：设===k，a=3k+1,b=4k+2,c=5k+3，代入得12k+6=66，k=5 ☆ 2.比例线段与比例中项 四条线段a,b,c,d中，若a：b=c：d，则称它们成比例线段 判断四线段成比例：按大小排列，看最大×最小是否等于中间两数之积 若a：b=b：c，则b叫a,c的比例中项，b2=ac 比例尺问题：图上距离：实际距离=比例尺，面积比=比例尺的平方 概念辨析例题：a：b：c=3：2：4，a+2b+c=33，且x是a,b的比例中项，求x 解析：设a=3k,b=2k,c=4k，3k+4k+4k=33得k=3，a=9,b=6；x2=ab=54，x=3 ☆ 3.黄金分割 点C把线段AB分成AC和BC（AC>BC），若=，则称C为AB的黄金分割点 黄金比=≈0.618 较长线段=全长×，较短线段=全长× 黄金矩形宽：长= 概念辨析例题：P是AB的黄金分割点（AP>BP），AB=8，求AP 解析：AP=·AB=×8=4(-1) ☆ 4.平行线分线段成比例 三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例 若l1∥l2∥l3截m,n于A,B,C,D,E,F，则= 平行于三角形一边截其他两边，所得对应线段成比例 求线段比时常用作平行线辅助线，把分散的比集中 概念辨析例题：l1∥l2∥l3，AB=6，BC=4，DF=15，求EF 解析：===，设DE=3k,EF=2k，DF=5k=15，k=3，EF=6 📋 知识总结表 核心概念 公式/结论 注意事项 比例基本性质 a：b=c：d ⇒ ad=bc 内项积=外项积 合比性质 = ⇒ = 分子加分母 等比性质 连比相等则分子和比分母和 分母和≠0 比例中项 b2=ac b= 黄金比 ≈0.618 较长段=全长×0.618 平行线分线段 = 对应线段成比例 设k法 a=mk,b=nk,c=pk 连比问题通法 ⚠️ 核心考点 【考点1】比例的性质（第1-12题） · · 基本性质：内项积=外项积 · · 连比问题设公比k · · 等比性质分母和不为0 · · 代入化简后约去k 1．（2026春•浦东新区期中）已知三个数为2、4、8，如果再添加一个数，使这四个数能组成一个比例，那么这个数可以是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 2．（2025秋•城关区校级期末）如果，那么的值为（　　） A．4 B．﹣4 C． D． 3．（2025秋•合肥期末）已知p是m，n的比例中项，那么下列等式一定正确的是（　　） A． B． C． D． 4．（2026春•荣成市期末）若，则的值是（　　） A． B． C． D． 5．（2026•西湖区校级模拟）如果，则（　　） A． B． C． D． 6．（2026春•芝罘区期末）若，则的值是_____ ． 7．（2025秋•梅县区期末）已知，则的值为 __________________ ． 8．（2026•武威二模）已知，若a+c＝5，且b+d≠0，则b+d＝ _______ ． 9．（2026•龙凤区校级一模）已知，且b+d+f≠0，则 __________________ ． 10．（2026春•浦东新区校级月考）已知3a＝4b＝5c，比较（a+b+c）2与（3b）2的大小：（a+b+c）2_____ （3b）2． 11．（2026春•浦东新区校级期中）若，且满足a+b+c＝66，求a、b、c的值． 12．（2026春•青浦区校级月考）如果，求2x：（y﹣3z）的比值． 【考点2】比例线段（第13-19题） · · 四线段排序后看两积是否相等 · · 比例中项b2=ac · · 比例尺：长度比=比例尺 · · 面积比=比例尺平方 13．（2026春•浦东新区期末）若长度分别为2，3，x，6的四条线段是成比例线段，则x的值为（　　） A．3 B．4 C．6 D．9 14．（2024秋•六盘水期中）下列四条线段中，能成为成比例线段的是（　　） A．a＝2，b＝3，c＝4，d＝5 B．a＝2，b＝4，c＝6，d＝12 C．a＝2，b＝2，c＝3，d＝4 D．a＝1，b＝3，c＝4，d＝5 15．（2026春•济宁期末）若线段a，b，c，d是成比例线段，且a＝1cm，b＝5cm，c＝3cm，则d为（　　）cm A．15 B． C． D． 16．（2026春•青浦区校级月考）在比例尺为80：1的工程图纸上，量得一个圆形零件的半径是4厘米，那么这个圆形零件的实际面积是____________ 平方厘米．（π取3.14） 17．（2026春•崇明区期中）在2、3、6中添加一个数x，使得这四个数成比例，x的值为__________ ． 18．（2025秋•松江区期末）已知△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，且． （1）如果△ABC的周长为60，求a的值； （2）如果△ABC的面积为60，求a的值． 19．（2025秋•慈溪市校级期中）已知线段a、b、c满足a：b：c＝3：2：4，且a+2b+c＝33． （1）求a、b、c的值； （2）若线段x是线段a、b的比例中项，求x的值． 【考点3】黄金分割（第20-25题） · · 较长段=全长× · · 较短段=全长-较长段 · · 黄金矩形宽：长=0.618 · · 结果保留根号 20．（2025秋•宁夏校级期末）玻璃瓶中装入不同量的水，敲击时能发出不同的音符．实验发现，当液面高度AC与瓶高AB之比为黄金比（AC＞BC）时，可以敲击出音符“sol”的声音．若AB＝8cm，且敲击时发出音符“sol”的声音，则液面高度AC约为（　　） A． B． C． D． 21．（2026•阜阳校级一模）鹦鹉螺的贝壳呈现出等角螺线，其相邻半径之比是一个常数，展现了自然界精妙的数学规律．如图，已知点P是线段AB的黄金分割点（AP＞BP），若AB的长为8，则AP的长为（　　） A． B． C． D． 22．（2025秋•驻马店校级期末）已知点C是线段AB的黄金分割点，且AC＞BC，若AB＝2，则AC＝_________________ ． 23．（2026•南山区二模）大自然是美的设计师，即使是一个小小的盆景，经常也会产生最具美感的黄金分割比（黄金分割比．如图，B为AC的黄金分割点（AB＞BC），若AC＝20cm，则BC的长为 ____________________ cm．（结果保留根号） 24．（2026春•合阳县期末）黄金矩形给我们以协调、匀称的美感．小凡在美术课上设计了一个黄金矩形图片ABCD（即宽与长的比是），已知该黄金矩形图片的长AB＝10cm，求该黄金矩形图片的周长． 25．（2025秋•临汾期中）黄金分割是几何学中的瑰宝之一，给人以震撼的美感．课本第56页这样定义“黄金分割点”：如图1，点P将线段AB分成两部分（AP＞BP），若，则称点P为线段AB的黄金分割点，这个比值称为黄金比． （1）如图1，若AB＝1，求黄金比的值．（保留根号） （2）某数学兴趣小组在进行课题研究时，由黄金分割点联想到“黄金分割线”，如图2，在△ABC中，点D是BC边上一点，AD将△ABC分割成两个三角形（S△ABD＞S△ACD），当满足，则称AD为△ABC的黄金分割线． ①求证：此时点D是线段BC的黄金分割点； ②若△ABC的面积为4，请直接写出△ACD的面积． 【考点4】平行线分线段成比例（第26-38题） · · 认准对应线段列比例式 · · 已知两线段和用设k法 · · 三角形内作平行线辅助 · · 同高三角形面积比=底边比 26．（2025•哈尔滨模拟）如图，直线a∥b∥c，分别交直线m，n于点A，B，C，D，E，F．若AB：BC＝3：2，EF＝4，则DE的长为（　　） A．4 B．5 C．6 D．10 27．（2026•兴庆区校级一模）如图，A，B均在方格纸的格点上．在方格纸内另取格点C，D，连结CD，交线段AB于点P．若要使点P把线段AB分成1：2的两条线段，则（　　） A．只有方法1对 B．只有方法2对 C．方法1，2都对 D．方法1，2都错 28．（2026•道里区模拟）如图是一架人字梯及其侧面示意图，已知AB∥CD∥EF，AC＝50cm，CE＝30cm，BD＝45cm，则BF的长为（　　） A．27cm B．50cm C．72cm D．80cm 29．（2025秋•南京期末）如图，AB∥CD∥EF，AC＝2，AE＝5，BD＝1.5，那么BF的长为（　　） A． B． C． D．7 30．（2026•芜湖二模）如图，在△ABC中，D为BC上一点，E为AB的中点，CE与AD相交于点F，若，则（　　） A．3 B． C． D．4 31．（2025秋•浦东新区期末）如图，已知AB∥CD∥EF，它们依次交直线l1，l2于点A、D、F和点B、C、E．如果AD：DF＝3：2，BC＝21，那么CE＝_______ ． 32．（2026•漳州模拟）如图，若l1∥l2∥l3，AB＝6，BC＝4，DF＝15，则EF的长为_____ ． 33．白银比例是相对于黄金分割比的另一个美学比例，在建筑、绘画、雕塑等艺术领域有着广泛的应用，具体比例数值为．如图，AB∥CD，OC：OB为白银比例．已知OD＝3，则AD的长为 ________________ ． 34．（2026春•济宁期末）如图，l1∥l2∥l3，DE＝3，EF＝4，AB＝2，则BC的长为 __________________ ． 35．（2026秋•单元）如图，在△ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，AD，BE相交于点G，AG：GD＝4：1，BD：DC＝2：3．求AE：EC的值． 36．（2025秋•浦东新区校级期中）如图，在△ABC中，点D为BC上一点，点P在AD上，过点P作PM∥AC交AB于点M，作PN∥AB交AC于点N． （1）若点D是BC的中点，且AP：PD＝2：1，求AM：AB的值； （2）若点D是BC上任意一点，试证明：． 37．（2025春•长春校级期中）如图，AD∥BE∥CF，直线l1、l2与这三条平行线分别交于点A、B、C和点D、E、F．若AB＝12，BC＝24，DF＝33，求DE的长． 38．如图，已知直线l1，l2，l3分别交直线l4于点A，B，C，交直线l5于点D，E，F，且l1∥l2∥l3． （1）如果AB＝4，BC＝8，EF＝12，求DF的长； （2）如果DE：EF＝2：3，AC＝15，求AB的长． 📝 随堂检测 【练习 1】（2025秋•绛县期末）已知x：y＝5：3，则下列等式中，正确的是（　　） A．5x＝3y B． C． D． 【练习 2】（2026春•龙口市期末）下列长度的四组线段中，成比例的一组是（　　） A．2cm，2.5cm，3cm，3.5cm B．，3cm，3cm， C．2cm，4cm，8cm，18cm D． 【练习 3】（2026春•芝罘区期中）如图，在△ABC中，延长BA至点D，使AD＝AB，E在BC上，连接DE交AC于点F，EG∥AC交AB于点G，已知BC＝8，DF＝5，EF＝2，则CE的长为___________________ ． 【练习 4】（2025秋•岳池县校级期末）如图，点D、E分别在△ABC的边AB、AC上，DE∥BC，且S△ADE＝4，S△BCE＝24，则S△BDE＝_____ ． 💯 课后巩固 复习建议 · · 比例问题首选设k法，把各量用k表示后代入化简 · · 判断四线段成比例：排序后看「最大×最小=中间两积」 · · 黄金分割记住较长段=全长×，结果保留根号 · · 平行线分线段成比例：认准「横线截得的上段比下段=另一线上对应比」 · · 三角形内求线段比，常过某点作平行线把比集中到一条线上 【作业 1】（2025秋•临泉县期末）下列四组线段中，是成比例线段的一组是（　　） A．1，2，3，4 B．2，4，6，8 C．1，2，5，10 D．2，3，5，8 【作业 2】（2026春•环翠区期末）下列四组线段中，是成比例线段的一组是（　　） A．1，2，4，6 B．2，3，5，8 C．2，3，6，9 D．1，，， 【作业 3】（2026•哈尔滨模拟）已知l1∥l2∥l3，，DE＝9，则EF＝（　　） A．12 B．15 C．28 D．24 【作业 4】（2025秋•盐田区期末）如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC和DF被l1，l2，l3所截，AB＝3，BC＝4，EF＝8，则DF的长为（　　） A．9 B．3 C．5 D．14 【作业 5】（2026春•闵行区校级期末）一个三角形三条边长度的比是3：4：5，这个三角形的周长为24，则这个三角形中最长的一条边长是_______ ． 【作业 6】（2026•高密市校级模拟）已知线段AB的长为4cm，如果点P是线段AB的黄金分割点（AP＞BP），那么AP的值是____________________ cm． 【作业 7】（2026•碑林区校级二模）黄金分割具有比例性、和谐性，通过黄金分割比例优化笔画分布，可使字形呈现动态平衡美感．如图，“寸”字的横画与竖钩的交接处B点恰好是横画AC的黄金分割点（AB＞BC），若横画AC的长为4cm，则BC的长为____________________ cm． 【作业 8】（2025•徐汇区一模）已知：． （1）求代数式的值； （2）当2a+b+3c＝44时，求a、b、c的值． 【作业 9】（2026春•淮南月考）如图，已知AD∥BE∥CF，它们依次交直线l1，l2于点A，B，C和点D，E，F． （1）若AB＝6，BC＝8，DE＝7，求DF的长； （2）若AB：AC＝2：5，EF＝9，求DE的长． 【作业 10】（2024秋•富平县期中）如图，在▱ABCD中，BD为对角线，E、F分别是边BC，CD上的点，连接AE，AF，且EF∥BD，AE、AF分别交BD于点G、H． （1）求证：HF•AG＝GE•AH； （2）若，求的值． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $