第21章 二次函数与反比例函数（高效培优讲义）数学新教材沪科版九年级上册

该初中数学复习讲义以二次函数与反比例函数为核心，通过表格对比不同形式二次函数的图象特征，用关系图梳理函数与方程的联系，系统呈现定义、性质、应用等知识脉络，重点突出图象分析和性质应用，难点聚焦a、b、c符号判断及实际问题建模。 讲义设计14类分层题型，从基础定义辨析到综合几何应用，如“二次函数与销售问题”引导用数学语言表达利润关系，“抛物线型拱桥问题”培养模型意识，配套变式练习和解题技巧，帮助学生提升运算能力与推理意识，支持教师实施精准分层教学。

第二十一章 二次函数与反比例函数复习讲义 教学目标 1. 认识二次函数是常见的简单函数之一，也是刻画现实世界变量之间关系的重要数学模型.理解二次函数的概念,掌握其函数关系式以及自变量的取值范围. 2. 能正确地描述二次函数的图象，能根据图象或函数关系式说出二次函数图象的特征及函数的性质，并能运用这些性质解决问题. 3. 能根据问题中的条件确定二次函数的关系式，并运用二次函数及其性质解决简单的实际问题. 4. 了解二次函数与一元二次方程的关系，能利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解. 教学重难点 1. 重点 利用二次函数的图象复习二次函数的性质，并会解决相关问题。 2. 难点 会根据二次函数的图象判断a、b、c的取值情况。 知识点01 二次函数的定义 一般地，如果是常数，，那么y叫做x的二次函数． 注意： 如果y＝ax2＋bx＋c（a，b，c是常数，a≠0），那么y叫做x的二次函数．这里，当a＝0时就不是二次函数了，但b、c可分别为零，也可以同时都为零．a 的绝对值越大，抛物线的开口越小． 知识点02 二次函数的图象与性质 1.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式： ①；②；③；④，其中；⑤．（以上式子a≠0） 几种特殊的二次函数的图象特征如下： 函数解析式 开口方向 对称轴 顶点坐标 当时开口向上 当时 开口向下 （y轴） （0，0） （y轴） （0，k） （h，0） （h，k） （） 2.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点． （1）a的符号决定抛物线的开口方向：当时，开口向上；当时，开口向下；相等，抛物线的开口大小、形状相同． （2）平行于y轴（或重合）的直线记作．特别地，y轴记作直线． 3.抛物线中，的作用： （1）a决定开口方向及开口大小，这与中的a完全一样． （2）b和a共同决定抛物线对称轴的位置．由于抛物线的对称轴是直线， 故：①时，对称轴为y轴；②（即a、b同号）时，对称轴在y轴左侧；③（即 a、b异号）时，对称轴在y轴右侧． （3）c的大小决定抛物线与y轴交点的位置． 当时，，∴抛物线与y轴有且只有一个交点（0，c）： ①，抛物线经过原点； ②，与y轴交于正半轴；③，与y轴交于负半轴． 以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立．如抛物线的对称轴在轴右侧，则 ． 4.用待定系数法求二次函数的解析式： （1）一般式：（a≠0）．已知图象上三点或三对x、y的值，通常选择一般式． （2）顶点式：（a≠0）．已知图象的顶点或对称轴，通常选择顶点式．（可以看成的图象平移后所对应的函数．） （3）“交点式”：已知图象与轴的交点坐标x1、x2，通常选用交点式： （a≠0）．（由此得根与系数的关系：）． 注意：求抛物线（a≠0）的对称轴和顶点坐标通常用三种方法：配方法、公式法、代入法，这三种方法都有各自的优缺点，应根据实际灵活选择和运用． 5、二次函数的平移： 方法一： 在原有函数的基础上“值正右移，负左移；值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减，上加下减”． 任意抛物线y＝a(x－h)2＋k可以由抛物线y＝ax2经过平移得到，具体平移方法如下： 方法二： (1)沿轴平移:向上（下）平移个单位，变成（或） (2)沿x轴平移：向左（右）平移个单位，（或） 知识点03 二次函数与一元二次方程的关系 函数，当时，得到一元二次方程，那么一元二次方程的解就是二次函数的图象与x轴交点的横坐标，因此二次函数图象与x轴的交点情况决定一元二次方程根的情况． （1）当二次函数的图象与x轴有两个交点，这时，则方程有两个不相等实根； （2）当二次函数的图象与x轴有且只有一个交点，这时，则方程有两个相等实根； （3）当二次函数的图象与x轴没有交点，这时，则方程没有实根． 通过下面表格可以直观地观察到二次函数图象和一元二次方程的关系： 根的判别式 二次函数的图象 二次函数与x轴的交点坐标 一元二次方程根的情况 △＞0 抛物线与x轴交于，两点，且， 此时称抛物线与x轴相交 一元二次方程 有两个不相等的实数根 △＝0 抛物线与x轴交切于这一点，此时称抛物线与x轴相切 一元二次方程 有两个相等的实数根 △＜0 抛物线与x轴无交点，此时称抛物线与x轴相离 一元二次方程 在实数范围内无解（或称无实数根） 注意：二次函数图象与x轴的交点的个数由的值来确定． （1）当二次函数的图象与x轴有两个交点，这时，则方程有两个不相等实根； （2）当二次函数的图象与x轴有且只有一个交点，这时，则方程有两个相等实根； （3）当二次函数的图象与x轴没有交点，这时，则方程没有实根． 知识点04 利用二次函数解决实际问题 利用二次函数解决实际问题，要建立数学模型，即把实际问题转化为二次函数问题，利用题中存在的公式、内含的规律等相等关系，建立函数关系式，再利用函数的图象及性质去研究问题．在研究实际问题时要注意自变量的取值范围应具有实际意义． 利用二次函数解决实际问题的一般步骤是： （1）建立适当的平面直角坐标系； （2）把实际问题中的一些数据与点的坐标联系起来； （3）用待定系数法求出抛物线的关系式； （4）利用二次函数的图象及其性质去分析问题、解决问题． 注意：常见的问题：求最大（小）值（如求最大利润、最大面积、最小周长等）、桥梁、抛物线的模型问题等．解决这些实际问题关键是找等量关系，把实际问题转化为函数问题，列出相关的函数关系式． 知识点05 反比例函数的图象和性质 1.反比例函数的概念 （1）定义：形如y＝（k≠0）的函数称为反比例函数，k叫做比例系数，自变量的取值范围是非零的一切实数． （2）形式：反比例函数有以下三种基本形式： ①y=；②y=kx-1;③xy=k.（其中k为常数，且k≠0） 2.反比例函数的图象和性质 反比例函数 的符号 所在象限 一、三象限 二、四象限 大致图象 增减性 在一个支上（每一个象限内），随的增大而减小。 在一个支上（每一个象限内），随的增大而增大。 对称性 图象关于原点对称 3.k的几何意义 （1）意义：从反比例函数y＝(k≠0)图象上任意一点向x轴和y轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为|k|,以该点、一个垂足和原点为顶点的三角形的面积为. （2）常见的面积类型： 知识点06 反比例函数的实际应用 1.反比例函数与一次函数综合 （1）确定交点坐标： 方法一：已知一个交点坐标为（a,b），则根据中心对称性，可得另一个交点坐标为（-a,-b）. 方法二：联立两个函数解析式，利用方程思想求解. （2）确定函数解析式：利用待定系数法，先确定交点坐标，再分别代入两个函数解析式中求解 （3）在同一坐标系中判断函数图象：充分利用函数图象与各字母系数的关系，可采用假设法，分k＞0和k＜0两种情况讨论，看哪个选项符合要求即可.也可逐一选项判断、排除. （4）比较函数值的大小：主要通过观察图象，图象在上方的值大，图象在下方的值小，结合交点坐标，确定出解集的范围. 2.反比例函数实际应用 （1）题意找出自变量与因变量之间的乘积关系； （2）设出函数表达式； （3）依题意求解函数表达式； （4）根据反比例函数的表达式或性质解决相关问题. 题型01 根据二次函数的定义求字母的值或范围 【典例1】当 时，函数是关于x的二次函数． 【变式1】若二次函数有最小值，则 ． 【变式2】已知关于的二次函数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D．为任意实数 【变式3】已知是关于x的二次函数，则m的值为（    ） A． B．2 C． D．0 题型02 二次函数图象与系数之间的关系 【典例1】二次函数的部分图象如图所示，图象过点，对称轴为直线，抛物线与y轴交点在和之间（不与重合）．下列结论：①；②；③；④当时，；⑤a的取值范围为．其中正确结论有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式1】如图，已知二次函数的图象与x轴交于点，与y轴的交点B在和之间（不包括这两点），对称轴为直线．下列结论：①；②；③；④关于x的方程一定有两个不相等的实数根．其中正确的结论是 ．（填写序号）    【变式2】抛物线y=ax2+bx+c的顶点为D（﹣1，2），与x轴的一个交点A在点（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，其部分图象如图，则以下结论：①b2﹣4ac＜0；②a+b+c＜0；③c﹣a=2；④方程ax2+bx+c﹣2=0有两个相等的实数根，其中正确结论的个数为 个． 【变式3】如图，抛物线过点，与轴的交点在，之间（不包含端点），抛物线对称轴为直线，有以下结论： ①； ②； ③抛物线顶点的纵坐标大于4小于； 其中正确结论的个数是（   ）    A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 题型03 二次函数图象的平移 【典例1】已知二次函数，若其图象抛物线不动，把x轴、y轴分别向上、向右平移2个单位，那么在新坐标系下该抛物线的解析式是 ． 【变式1】已知二次函数． (1)请利用配方法推导出它的对称轴和顶点坐标； (2)如果将该二次函数向右平移1个单位，再向下平移2个单位，平移后的函数的对称轴为轴，求的值． 【变式2】抛物线经平移后，不可能得到的抛物线是（    ） A． B． C． D． 【变式3】如图，将函数的图象沿轴向上平移得到一条新函数的图象，其中点，平移后的对应点分别为点、．若曲线段扫过的面积为9（国中的阴影部分），则新图象的函数表达式是（    ）    A． B． C． D． 题型04 二次函数图象与其他函数图象的共存问题 【典例1】如图，二次函数的图象与一次函数的图象相交两点，则二次函数的图象可能为（    ） A．B． C． D． 【变式1】函数与的图象可能是（   ） A．   B．   C．   D．   【变式2】一次函数的图象如图所示，则二次函数的图象大致是（    ）    A。B．  C．  D．   【变式3】在同一直角坐标系中，反比例函数与二次函数的大致图象可能是（    ） A． B． C． D． 题型05 二次函数图象与坐标轴的交点问题 【典例1】若二次函数的图象与坐标轴有两个公共点，则b满足的条件是 ． 【变式1】若函数的图象与坐标轴有两个不同的交点，则m的值为 ． 【变式2】若关于的方程有两个不相等的实数根，则抛物线的顶点在第 象限． 【变式3】已知抛物线的图象与坐标轴有3个交点. (1)求k的取值范围 (2)若抛物线的图象经过点，求k值． 题型06 二次函数图象与一元二次方程的近似根 【典例1】二次函数自变量与函数值的对应关系如下表，设一元二次方程的根为，，且，则下列说法正确的是（    ） 0 0.5 1 1.5 2 2.5 0.13 0.38 0.53 0.58 0.53 0.38 0.13 A． B． C． D． 【变式1】二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）自变量x与函数y的对应值如下表： x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4 … y … m﹣4 m﹣2 m﹣ m m﹣ m﹣2 m﹣4 … 若1＜m＜1，则一元二次方程ax2+bx+c=0的两根x1,x2的取值范围是 　． 【变式2】如图是二次函数的图象，图象上有两点分别为，，则方程的一个解只可能是（   ）     A． B． C． D． 【变式3】有这样一个问题：探究函数的图象与性质． 嘉瑶根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究． 下面是嘉瑶的探究过程，请补充完整： （1）函数的图象与轴 交点；（填写“有”或“无”） （2）下表是y与x的几组对应值： x … … y … n … 则n的值为 ； （3）如图，在平面直角坐标系xOy中，嘉瑶描出各对对应值为坐标的点．请你根据描出的点，帮助嘉瑶画出该函数的大致图象； （4）请你根据探究二次函数与一元二次方程关系的经验，结合图象直接写出方程的根约为 ．（结果精确到0.1） 题型07 二次函数图象与直线的交点问题 【典例1】已知：抛物线与直线有两个不同的交点，若两个交点的横坐标是分别为、，若，则的取值范围是 ． 【变式1】如图，抛物线与x轴交于点A、B，把抛物线在x轴及其下方的部分记作，将向左平移得到，与x轴交于点B、D，若直线与、共有3个不同的交点，则m的取值范围是　　    A． B． C． D． 【变式2】如图，在平面直角坐标系中，，，且AC在x轴上，O为AC的中点．若抛物线与线段AB有两个不同的交点，则a的取值范围是 ． 【变式3】如图，将一段抛物线记为，它与轴交于点和点；将绕点旋转得，交轴于点；将绕点旋转得，交轴于点．若直线与共有3个不同的交点，则的取值范围是 ．    题型08 二次函数与销售问题 【典例1】为助推乡村经济发展，解决茶农卖茶难问题，某地政府在新茶上市天内，帮助“幸福村”茶农合作社集中销售茶叶，设第天（为整数）的售价为（元/斤），日销售额为（元）．据销售记录知： ①第天销量为斤，以后每天比前一天多卖斤； ②前天的价格一直为元/斤，后天价格每天比前一天跌元， (1)当时，写出与的关系式； (2)当为何值时日销售额最大，最大为多少？ (3)若日销售额不低于元时可以获得较大利润，当天合作社将向希望小学捐款元，用于捐资助学，若“幸福村”茶农合作社计划帮助希望小学购买元的图书，求的最小整数值． 【变式1】教师节前夕，某花店采购了一批鲜花礼盒，成本价为50元/件，物价局要求，销售该鲜花礼盒获得的利润率不得高于52%．分析教师节同期的鲜花礼盒销售情况，发现每天的销售量y（件）与销售单价x（元/件）（x为整数）近似的满足一次函数关系，数据如表：（注：利润率=利润/成本） 销售单价x（元、件） … 60 70 75 … 每天销售量y（件） … 240 180 150 … (1)求y与x的函数关系式； (2)试确定销售单价取何值时，花店销售该鲜花礼盒每天获得的利润最大？并求出最大利润； (3)花店承诺：每销售一件鲜花礼盒就捐赠n元（）给“希望工程”．若扣除捐赠后的日利润随着销售单价x的增大而增大，请直接写出n的取值范围是 ． 【变式2】习总书记强调，实行垃圾分类，关系广大人民群众生活环境，关系节约使用资源，也是社会文明水平的一个重要体现．为改善城市生态环境，某公司为配合国家垃圾分类入户的倡议，设计了一款成本为元/个的多用途垃圾桶投放市场，经试销发现，销售量（个）与销售单价（元）符合一次函数关系：当时，；当时，． (1)若该公司获得利润为元，试写出利润与销售单价之间的函数解析式； (2)若物价部门限定该产品的销售单价不得超过30元/个，那么定价为多少元时才可获得最大利润？ 【变式3】“一结千年意蕴丰，相看时对吉祥红”，“中国结”是深受国人喜爱的节庆装饰物。某款“中国结”成本为30元/件，每天销售量y（件）与销售单价x（元）之间存在一次函数关系，如图所示． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)如果规定每天该款“中国结”的销售量不低于240件，当销售单价为多少元时，每天获取的利润w最大，最大利润是多少？ 题型09 二次函数与抛物线型问题 【典例1】如图，有一座抛物线形拱桥，在正常水位时水面的宽为，如果水位上升，水面的宽是    (1)求此抛物线的函数表达式． (2)在正常水位时，有一艘宽、高的小船，它能通过这座桥吗？ (3)现有一艘以每小时的速度向此桥径直驶来，当船距此桥时，桥下水位正好在处，之后水位每小时上涨,当水位在处时，将禁止船只通行．如果该船按原来的速度行驶，能否安全通过此桥？ 【变式1】如图1为某公园的圆形喷水池，小玲学习了二次函数后，受到该图启发设计了一种新的喷水池，它的截面示意图如图2所示，为水池中心，喷头、之间的距离为米，喷射水柱呈抛物线形，水柱距水池中心处达到最高，高度为．水池中心处有一个圆柱形蓄水池，其高为米． (1)在图2中，以点为坐标原点，水平方向为轴建立直角坐标系，并求右边这条抛物线的函数解析式． (2)如图3，拟在圆柱形蓄水池中心处建一喷水装置，从点向四周喷射抛物线形水柱且满足以下四个条件：不能碰到图2中的水柱；落水点，的间距为；水柱的最高点与点的高度差为；从点向四周喷射与图2中形状相同的抛物线形水柱． ①在建立的坐标系中，求落水点的坐标； ②求出喷水装置的高度． 【变式2】鹰眼技术助力世界杯，提升球迷观赛体验，如图分别为足球比赛中某一时刻的鹰眼系统预测画面（图1）和截面示意图（如图2），攻球员位于点O，守门员位于点A，的延长线与球门线交于点B，且点A，B均在足球轨迹正下方，足球的飞行轨迹可看成抛物线．水平距离s与地高度h的鹰眼数据如表： 0 9 12 15 18 21 … 0 4.2 4.8 5 4.8 4.2 … (1)根据表中数据可得，当 m时，h达到最大值 m； (2)求h关于s的函数解析式； (3)当守门员位于足球正下方，足球离地高度不大于守门员的最大防守高度2.6m时，视为防守成功．若一次防守中，守门员位于足球正下方时，，请问这次守门员能否防守成功？试通过计算说明． 【变式3】如图，三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形，左右两个抛物线是全等的，正常水位时，大孔水面宽为，顶点距水面（即 ），小孔顶点距水面（即），建立如图所示的平面直角坐标系． (1)求出大孔抛物线的解析式； (2)航管部门设定警戒水位为正常水位上方处，汛期某天水位正好达到警戒水位，有一艘顶部高出水面，顶部宽的巡逻船要路过三孔桥，请问该巡逻船能否安全通过大孔？并说明理由； (3)当水位上涨到刚好淹没小孔时，则大孔的水面宽度 ． 题型10 二次函数与几何问题 【典例1】如图，用长为的篱笆，一面利用墙(墙的最大可用长度是)，围成中间有一道篱笆的矩形花圃，设花圃的一边长是(单位：)，面积是(单位：)．      (1)求与的函数关系式及的取值范围； (2)如何设计矩形花圃的长与宽，才能得到一个面积最大的花圃？ 【变式1】如图，学校准备在长为米，宽为米的矩形草地上规划甲、乙、丙三个区域栽种花卉，正方形和正方形面积相等，且各有两边与长方形边重合，矩形是这两个正方形的重叠部分，设为米，为米．    (1)求关于的函数表达式；（不用写出自变量的取值范围） (2)设甲、乙、丙的总面积为（），求关于的函数表达式及其最大值． 【变式2】问题情境:有一堵长为的墙，利用这堵墙和长为的篱笆围成一个矩形养鸡场，怎样围面积最大？最大面积是多少？ 题意理解:根据题意，有两种设计方案：一边靠墙（如图①）和一边“包含”墙（如图②）． 特例分析: （1）当时，若按图①的方案设计，则该方案中养鸡场的最大面积是 ；若按图②的方案设计，则该方案中养鸡场的最大面积是 ． （2）当时，解决“问题情境”中的问题． 解决问题:（3）直接写出“问题情境”中的问题的答案． 【变式3】用长为米的铝合金条制成如图窗框，已知矩形，矩形，矩形的面积均相等，设的长为米． (1)则 ； (2)若不计铝合金条的厚度，窗框透光面积为平方米，求的值； (3)窗框透光面积的最大值为 ． 题型11 二次函数的几何综合题 【典例1】如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中，．    (1)求抛物线的解析式． (2)在第二象限的抛物线上是否存在一点P，使得的面积最大．若存在，请直接写出点P坐标和的面积最大值；若不存在，请说明理由． 【变式1】如图，在平面直角坐标系中，抛物线与直线交于点，． (1)求该抛物线的函数解析式； (2)如图①，若点H是抛物线的顶点，在x轴上存在一点G，使的周长最小，求此时点G的坐标． (3)如图②，点P为直线下方抛物线上的一动点，过点P作交于点M，过点P作y轴的平行线交x轴于点N，求的最大值及此时点P的坐标． 【变式2】如图，二次函数 的图象与 x 轴交于、两点，与 y 轴交于点 C，D 为抛物线的顶点． (1)求抛物线的解析式； (2)求 的面积； (3)在抛物线对称轴上，是否存在一点P，使 P，B，C为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式3】如图，已知二次函数经过A，B两点，轴于点C，且点，，． (1)求抛物线的解析式； (2)点E是线段上一动点（不与A，B重合），过点E作x轴的垂线，交抛物线于点F，当线段的长度最大时，求点E的坐标及； (3)点P是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在这样的P点，使成为直角三角形？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由． 题型12 反比例函数的图象和性质 【典例1】在下列函数中，函数值y随自变量x的增大而减小的是（  ） A． B． C． D． 【变式1】若直线经过第二、四象限，则函数的图象在（　　） A．第一、三象限 B．第二、四象限 C．第三、四象限 D．第一、二象限 【变式2】在反比例函数的图象上有，，三点，若，则，，的大小关系是 （用“＜”连接）． 【变式3】如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于，两点，若点，的横坐标分别为，，则 ． 题型13 反比例函数中k的几何意义 【典例1】如图，两个反比例函数和在第一象限内的图象分别是和，设点在上，轴于点，交于点，则的面积为(  ) A．1 B．2 C．4 D．无法计算 【变式1】已知反比例函数与的图象如图所示，过轴正半轴上的任意一点作轴的平行线，分别与这两个函数的图象交于，两点．若点是轴上的任意一点，连接，，则等于 ．    【变式2】如图，在平面直角坐标系中，点，分别在轴、轴上，轴，与双曲线交于点，与双曲线交于点，若四边形为平行四边形，则平行四边形的面积是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式3】如图，点A，B在双曲线第一象限的分支上，若A，B的纵坐标分别是2和4，连接OA，OB，的面积是6，则k的值是（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 题型14 反比例函数的几何应用 【典例1】一次函数与反比例函数的图象相交于，两点，直线交轴于点． (1)求一次函数与反比例函数的表达式； (2)观察图象，直接写出不等式的解集； (3)过点作轴，垂足为，连接交轴于点，求的面积S． 【变式1】如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于点A、两点，与双曲线交于点C、D两点，． (1)分别求直线与双曲线的解析式； (2)连接并延长交双曲线于点E，连接、，求的面积． 【变式2】如图，已知点A是一次函数图象上一点，过点A作轴的垂线，是上一点在A上方，在的右侧以为斜边作等腰直角三角形，反比例函数的图象过点，，若的面积为，则的面积是 ． 【变式3】如图，一次函数的图象分别与轴，轴交于，两点，与反比例函数图象交于点，已知为线段的中点． (1)求的值； (2)若点是反比例函数的图象上一个动点，轴于点设四边形的面积为，探究随的变化情况． 题型11 反比例函数的实际应用 【典例1】已知某品牌电动车电池的电压为定值，某校物理小组的同学发现使用该电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：）是反比例函数关系，它的图象如图所示．    (1)求该品牌电动车电池的电流I与电阻R的函数类系式． (2)该物理小组通过询问经销商得知该电动车以最高速度行驶时，工作电压为电池的电压，工作电流在的范围，请帮该小组确定这时电阻值的范围． 【变式1】小明家饮水机中原有水的温度为，通电开机后，饮水机自动开始加热，此过程中水温y（）与开机时间x（分）满足一次函数关系，当加热到时自动停止加热，随后水温开始下降，此过程中水温y（）与开机时间x（分）成反比例关系，当水温降至时，饮水机又自动开始加热…，重复上述程序（如图所示），根据图中提供的信息，解答下列问题： (1)当时，求水温y（）与开机时间x（分）的函数关系式； (2)求图中t的值； (3)有一天，小明在上午（水温），开机通电后去上学，中午放学回到家时间刚好，请问此时饮水机内水的温度约为多少？并求：在这段时间里，水温共有几次达到？ 【变式2】越来越多的人选择骑自行车这种低碳又健康的方式出行．某日，家住东涌的李老师决定用骑行代替开车去天后宫．当路程一定时，李老师骑行的平均速度v（单位：千米/小时）是骑行时间t（单位：小时）的反比例函数．根据以往的骑行两地的经验，v、t的一些对应值如下表： t（小时） 2 1.5 1.2 1 v（千米/小时） 12 16 20 24 (1)根据表中的数据，求李老师骑行的平均速度v关于行驶时间t的函数解析式； (2)安全起见，骑行速度一般不超过30千米/小时．李老师上午8:30从家出发，请判断李老师能否在上午9:10之前到达天后宫，并说明理由； (3)据统计，汽车行驶1千米会产生约0.2千克的二氧化碳．请计算李老师从东涌骑行到天后宫的过程中二氧化碳的减排量． 【变式3】丽水某公司将“丽水山耕”农副产品运往杭州市场进行销售，记汽车行驶时间为t小时，平均速度为v千米/小时（汽车行驶速度不超过100千米/小时）．驾驶员根据平时驾车去往杭州市场的经验，得到v、t的一组对应值如下表： （千米/小时） 50 60 75 80 （小时） 6 5 4 3.75 (1)根据表中的数据，可知该公司到杭州市场的路程为___________千米； (2)求出平均速度v（千米/小时）关于行驶时间（小时）的函数表达式； (3)汽车上午7：30从丽水出发，能否在上午10：00之前到达杭州市场？请说明理由． 1.二次函数的图象开口向 ． 2.把二次函数用配方法化成的形式应为（    ） A． B． C． D． 3.下列各问题中的两个变量成反比例关系的是（　　） A．圆的面积与其周长的关系 B．王同学完成赛跑时，所用时间与他的平均速度的关系 C．一根弹簧原长，在其弹性范围内所挂物体的质量与弹簧拉伸的长度的关系 D．一个容器的容积是，该容器盛满溶液时溶液的质量与其密度的关系 4.已知反比例函数，则k的值不可能为（   ） A． B． C． D． 5.已知点在函数的图象上，则（　　） A． B． C． D． 6.反比例函数，下列说法不正确的是（   ） A．y随x的增大而增大 B．图象经过点 C．图象关于直线对称 D．图象位于第二、四象限 7.若二次函数y＝2x2+4x﹣c与x轴的一个交点是（1，0），则关于x的一元二次方程x2﹣＝﹣2x的根为 ． 8.在同一平面直角坐标系中，直线和抛物线，如图所示，，是方程的两个根，且，则函数的坐标系中的图象大致为（    ） A．B．C． D． 9.如图，是反比例函数和在第一象限的图象，直线轴，并分别交两条双曲线于A、B两点，若，则的值是（   ） A．8 B．6 C．4 D．2 10.关于的一元二次方程的两个实数根分别为，，则二次函数当时，的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 11.如图，已知二次函数的图象与x轴交于点，与y轴的交点B在和之间（不包括这两点），对称轴为直线．下列结论：①；②；③；④；⑤，其中含所有正确结论的选项是（    ） A．①③⑤ B．②③④ C．②④⑤ D．③④⑤ 12.为了预防“流感”，某学校对教室采取“药熏”消毒内每立方米的含药量（毫克）与时间（分）成正比例；药物燃烧结束后，与成反比例．这两个变量之间的关系如图所示．说法错误的是（   ） A．第8分钟后，教室内的含药量逐渐减小 B．第12分钟时，教室内的含药量为4毫克/立方米 C．第50分钟时，教室内含药量为0毫克 D．教室内含药量不低于3毫克/立方米的持续时间为12分钟 13.如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，作直线．D为直线上方抛物线上的一个动点，横坐标为m，过点D作轴于点F，交直线于点E． (1)求点A，B，C的坐标，并直接写出直线的函数表达式． (2)当时，求点D的坐标． 14.某商场经销一种儿童玩具，该种玩具的进价是每个元，经过一段时间的销售发现，该种玩具每天的销售量y（个）与每个的售价x（元）之间的函数关系如图所示．    (1)求y关于x的函数关系式，并求出当某天的销售量为个时，该玩具的销售利润； (2)每天的销售量不低于个的情况下，若要每天获得的销售利润最大，求该玩具每个的售价是多少？最大利润是多少？ (3)根据物价部门规定，这种玩具的售价每个不能高于元．该商场决定每销售一个这种玩具就捐款n元（），捐款后发现，该商场每天销售这种玩具所获利润随售价的增大而增大，求n的取值范围． 15.某农场拟建两间矩形饲养室，一面靠现有墙（墙长足够长），中间用一道墙隔开（如图1所示）．已知计划中的材料可建墙体总长米，设两间饲养室合计长（米），总占地面积为（米2）． （1）求关于的函数表达式和自变量的取值范围． （2）现需要设计这两间饲养室各开一扇门（如图2所示），每扇门宽米，门不采用计划中的材料． ①求总占地面积最大为多少米2？ ②如图3所示，离墙米外饲养室一侧准备修一条平行于墙的小路，若拟建的饲养室面积尽量大，饲养室的门口与小路的间隔为多少米？ 16.某个农场有一个花卉大棚，是利用部分墙体建造的．其横截面顶部为抛物线型，大棚的一端固定在墙体上，另一端固定在墙体上，其横截面有根支架，，相关数据如图所示，其中支架，，这个大棚用了根支架． 为增加棚内空间，农场决定将图中棚顶向上调整，支架总数不变，对应支架的长度变化，如图所示，调整后与上升相同的高度，增加的支架单价为元/米（接口忽略不计），需要增加经费元． (1)分别以和所在的直线为x轴和y轴建立平面直角坐标系． ①求出改造前的函数解析式． ②当米，求的长度． (2)只考虑经费情况下，求出的最大值． 17.如图，反比例函数的图象与一次函数的图象相交于，两点． (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)点P在线段AB上，且，直接写出点P的坐标； (3)设直线AB交y轴于点C，点是x轴正半轴上的一个动点，过点N作轴交反比例函数的图象于点M，连接CN，OM．若S四边形COMN＞3，直接写出t的取值范围． 18.【发现问题】美丽的大连星海湾跨海大桥，是大连一张亮丽的名片，晚上大桥的灯光秀璀璨夺目．小明通过查阅得知，星海湾大桥（Xinghai Bay Bridge） 是中国辽宁省大连市境内连接甘井子区与西岗区的跨海通道，位于黄海水域上．大连星海湾跨海大桥全长6千米，主桥为双塔三跨地锚式、双层通车悬索桥．主桥长820米，主桥主跨（两个主塔间的距离L）460米，边跨180米，跨径布置为180+460+180=820m． 如图是大桥的主跨，主跨悬索矢跨比（S：L）约为，悬索的最低处直接和桥梁相连，悬索和桥梁之间的吊杆间距10m，由于桥梁中间有车辆通过，灯光秀的光源放置在距桥梁上沿下方21米的桥梁中． 【提出问题】星海大桥主跨上的吊杆的高度与它距最低点的水平距离有怎样的数量关系? 【分析问题】小明了解到，大桥主跨上连接两座主塔之间的悬索可以看成是抛物线的一部分，结合二次函数相关内容和查阅到的相关数据，建立适当的坐标系，就可以求出这条抛物线表示的二次函数，便可解决问题． 【解决问题】小明利用查阅到的相关数据，为解题方便，小明以抛物线的顶点（大桥主跨上悬索的最低点）为原点，以主跨的中轴为y轴，建立平面直角坐标系（如图3）． (1)请直接写出以下问题的答案： ①右侧悬索最高点B的坐标； ②y与x的函数解析式； ③最长的吊杆的长度； (2)某游客在远处海滩正对大桥主跨的位置，看到一个由多辆彩车组成的150米的车队，车队以50米/分的速度通过大桥主跨，彩车高于桥梁部分均为6.9米．在彩车通过大桥主跨过程中，该游客在悬索上方能看到彩车的时间是否超过6分钟； (3)如图3，灯光秀中一个射灯光源C（，），位于悬索最低点左下方，即距悬索最低点的水平距离为70米的地方，它所发出的射线状光线，刚好经过右侧悬索的最高点B，现在想在这个光源的水平右侧再放置一个同样的平行光源，应该在什么范围内放置，才能保证该光源所射出的光线照到右侧悬索上? 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二十一章 二次函数与反比例函数复习讲义 教学目标 1. 认识二次函数是常见的简单函数之一，也是刻画现实世界变量之间关系的重要数学模型.理解二次函数的概念,掌握其函数关系式以及自变量的取值范围. 2. 能正确地描述二次函数的图象，能根据图象或函数关系式说出二次函数图象的特征及函数的性质，并能运用这些性质解决问题. 3. 能根据问题中的条件确定二次函数的关系式，并运用二次函数及其性质解决简单的实际问题. 4. 了解二次函数与一元二次方程的关系，能利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解. 教学重难点 1. 重点 利用二次函数的图象复习二次函数的性质，并会解决相关问题。 2. 难点 会根据二次函数的图象判断a、b、c的取值情况。 知识点01 二次函数的定义 一般地，如果是常数，，那么y叫做x的二次函数． 注意： 如果y＝ax2＋bx＋c（a，b，c是常数，a≠0），那么y叫做x的二次函数．这里，当a＝0时就不是二次函数了，但b、c可分别为零，也可以同时都为零．a 的绝对值越大，抛物线的开口越小． 知识点02 二次函数的图象与性质 1.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式： ①；②；③；④，其中；⑤．（以上式子a≠0） 几种特殊的二次函数的图象特征如下： 函数解析式 开口方向 对称轴 顶点坐标 当时开口向上 当时 开口向下 （y轴） （0，0） （y轴） （0，k） （h，0） （h，k） （） 2.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点． （1）a的符号决定抛物线的开口方向：当时，开口向上；当时，开口向下；相等，抛物线的开口大小、形状相同． （2）平行于y轴（或重合）的直线记作．特别地，y轴记作直线． 3.抛物线中，的作用： （1）a决定开口方向及开口大小，这与中的a完全一样． （2）b和a共同决定抛物线对称轴的位置．由于抛物线的对称轴是直线， 故：①时，对称轴为y轴；②（即a、b同号）时，对称轴在y轴左侧；③（即 a、b异号）时，对称轴在y轴右侧． （3）c的大小决定抛物线与y轴交点的位置． 当时，，∴抛物线与y轴有且只有一个交点（0，c）： ①，抛物线经过原点； ②，与y轴交于正半轴；③，与y轴交于负半轴． 以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立．如抛物线的对称轴在轴右侧，则 ． 4.用待定系数法求二次函数的解析式： （1）一般式：（a≠0）．已知图象上三点或三对x、y的值，通常选择一般式． （2）顶点式：（a≠0）．已知图象的顶点或对称轴，通常选择顶点式．（可以看成的图象平移后所对应的函数．） （3）“交点式”：已知图象与轴的交点坐标x1、x2，通常选用交点式： （a≠0）．（由此得根与系数的关系：）． 注意：求抛物线（a≠0）的对称轴和顶点坐标通常用三种方法：配方法、公式法、代入法，这三种方法都有各自的优缺点，应根据实际灵活选择和运用． 5、二次函数的平移： 方法一： 在原有函数的基础上“值正右移，负左移；值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减，上加下减”． 任意抛物线y＝a(x－h)2＋k可以由抛物线y＝ax2经过平移得到，具体平移方法如下： 方法二： (1)沿轴平移:向上（下）平移个单位，变成（或） (2)沿x轴平移：向左（右）平移个单位，（或） 知识点03 二次函数与一元二次方程的关系 函数，当时，得到一元二次方程，那么一元二次方程的解就是二次函数的图象与x轴交点的横坐标，因此二次函数图象与x轴的交点情况决定一元二次方程根的情况． （1）当二次函数的图象与x轴有两个交点，这时，则方程有两个不相等实根； （2）当二次函数的图象与x轴有且只有一个交点，这时，则方程有两个相等实根； （3）当二次函数的图象与x轴没有交点，这时，则方程没有实根． 通过下面表格可以直观地观察到二次函数图象和一元二次方程的关系： 根的判别式 二次函数的图象 二次函数与x轴的交点坐标 一元二次方程根的情况 △＞0 抛物线与x轴交于，两点，且， 此时称抛物线与x轴相交 一元二次方程 有两个不相等的实数根 △＝0 抛物线与x轴交切于这一点，此时称抛物线与x轴相切 一元二次方程 有两个相等的实数根 △＜0 抛物线与x轴无交点，此时称抛物线与x轴相离 一元二次方程 在实数范围内无解（或称无实数根） 注意：二次函数图象与x轴的交点的个数由的值来确定． （1）当二次函数的图象与x轴有两个交点，这时，则方程有两个不相等实根； （2）当二次函数的图象与x轴有且只有一个交点，这时，则方程有两个相等实根； （3）当二次函数的图象与x轴没有交点，这时，则方程没有实根． 知识点04 利用二次函数解决实际问题 利用二次函数解决实际问题，要建立数学模型，即把实际问题转化为二次函数问题，利用题中存在的公式、内含的规律等相等关系，建立函数关系式，再利用函数的图象及性质去研究问题．在研究实际问题时要注意自变量的取值范围应具有实际意义． 利用二次函数解决实际问题的一般步骤是： （1）建立适当的平面直角坐标系； （2）把实际问题中的一些数据与点的坐标联系起来； （3）用待定系数法求出抛物线的关系式； （4）利用二次函数的图象及其性质去分析问题、解决问题． 注意：常见的问题：求最大（小）值（如求最大利润、最大面积、最小周长等）、桥梁、抛物线的模型问题等．解决这些实际问题关键是找等量关系，把实际问题转化为函数问题，列出相关的函数关系式． 知识点05 反比例函数的图象和性质 1.反比例函数的概念 （1）定义：形如y＝（k≠0）的函数称为反比例函数，k叫做比例系数，自变量的取值范围是非零的一切实数． （2）形式：反比例函数有以下三种基本形式： ①y=；②y=kx-1;③xy=k.（其中k为常数，且k≠0） 2.反比例函数的图象和性质 反比例函数 的符号 所在象限 一、三象限 二、四象限 大致图象 增减性 在一个支上（每一个象限内），随的增大而减小。 在一个支上（每一个象限内），随的增大而增大。 对称性 图象关于原点对称 3.k的几何意义 （1）意义：从反比例函数y＝(k≠0)图象上任意一点向x轴和y轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为|k|,以该点、一个垂足和原点为顶点的三角形的面积为. （2）常见的面积类型： 知识点06 反比例函数的实际应用 1.反比例函数与一次函数综合 （1）确定交点坐标： 方法一：已知一个交点坐标为（a,b），则根据中心对称性，可得另一个交点坐标为（-a,-b）. 方法二：联立两个函数解析式，利用方程思想求解. （2）确定函数解析式：利用待定系数法，先确定交点坐标，再分别代入两个函数解析式中求解 （3）在同一坐标系中判断函数图象：充分利用函数图象与各字母系数的关系，可采用假设法，分k＞0和k＜0两种情况讨论，看哪个选项符合要求即可.也可逐一选项判断、排除. （4）比较函数值的大小：主要通过观察图象，图象在上方的值大，图象在下方的值小，结合交点坐标，确定出解集的范围. 2.反比例函数实际应用 （1）题意找出自变量与因变量之间的乘积关系； （2）设出函数表达式； （3）依题意求解函数表达式； （4）根据反比例函数的表达式或性质解决相关问题. 题型01 根据二次函数的定义求字母的值或范围 【典例1】当 时，函数是关于x的二次函数． 【答案】3 【分析】本题主要考查了二次函数的定义，根据二次函数的定义可得且，解方程即可得到答案；一般地，形如（其中a、b、c是常数，）的函数叫做二次函数． 【详解】解：∵函数是关于x的二次函数， ∴且， 解得， 故答案为：3． 【变式1】若二次函数有最小值，则 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，二次函数的定义，属于简单题，求出二次函数的顶点坐标是解题关键．根据二次函数定义求出k的值，再根据二次函数有最小值确定k的值即可． 【详解】解：∵二次函数有最小值， ∴ 解得：． 故答案为：3． 【变式2】已知关于的二次函数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D．为任意实数 【答案】C 【分析】根据二次函数定义可得，解出答案即可． 【详解】因为关于的二次函数， ， 解得：． 故选：C． 【变式3】已知是关于x的二次函数，则m的值为（    ） A． B．2 C． D．0 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的定义，根据二次函数的定义得出且，再求出答案即可． 【详解】解：，是关于x的二次函数， 且， ， 故选：B． 题型02 二次函数图象与系数之间的关系 【典例1】二次函数的部分图象如图所示，图象过点，对称轴为直线，抛物线与y轴交点在和之间（不与重合）．下列结论：①；②；③；④当时，；⑤a的取值范围为．其中正确结论有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】根据抛物线的开口方向、与轴的交点、对称轴可判断①；由抛物线与轴的交点及抛物线的对称性可判断②，对称轴为直线，即可判断③；由抛物线与轴有两个交点，且对称轴为直线，即可判断④．由抛物线与y轴交点在和之间（不与重合）．判断⑤；本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数，二次项系数决定抛物线的开口方向和大小：当时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口；一次项系数和二次项系数共同决定对称轴的位置：当与同号时（即，对称轴在轴左；当与异号时（即，对称轴在轴右；常数项决定抛物线与轴交点位置：抛物线与轴交于． 【详解】解：∵二次函数的部分图象如图所示， ∴开口向下， ∵图象过点，对称轴为直线， ∴ ∴ ∵抛物线与y轴交点在和之间（不与重合）． ∴ ∴ 故①错误； ∵ ∴ 故③正确； ∵如图： 则图象过点，抛物线开口向下 把代入 ∴ ∴ 故②错误； ∵则图象过点，对称轴为直线 ∴抛物线与轴的另一个交点为 ∵抛物线开口向下 ∴当时， 故④正确的； 把代入， 得 ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ 故⑤正确的 故选：B． 【变式1】如图，已知二次函数的图象与x轴交于点，与y轴的交点B在和之间（不包括这两点），对称轴为直线．下列结论：①；②；③；④关于x的方程一定有两个不相等的实数根．其中正确的结论是 ．（填写序号）    【答案】①②③ 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，掌握、、的值决定抛物线的位置以及二次函数与一元二次方程的关系，是正确判断的前提．根据二次函数图象的开口方向、对称轴位置、与轴的交点坐标、顶点坐标等知识，逐个判断即可． 【详解】解：抛物线轴交于点，对称轴为直线， 与轴的另一个交点为， 抛物线开口向上，对称轴为直线， ，， ， 当时，， ，所以①正确； 抛物线与轴的交点在和之间， ， ， ， ， ， ，所以②正确； 由题意可得，方程的两个根为，， ，即， ， ， ，故③正确， 当，时， 方程没有实数根或有两个相等的实数根，所以④不正确， 综上所述，正确的结论有3个：①②③， 故答案为：①②③． 【变式2】抛物线y=ax2+bx+c的顶点为D（﹣1，2），与x轴的一个交点A在点（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，其部分图象如图，则以下结论：①b2﹣4ac＜0；②a+b+c＜0；③c﹣a=2；④方程ax2+bx+c﹣2=0有两个相等的实数根，其中正确结论的个数为 个． 【答案】3 【分析】由抛物线与轴有两个交点得到；由抛物线顶点坐标得到抛物线的对称轴为直线，则根据抛物线的对称性得抛物线与轴的另一个交点在点和之间，所以当时，，则；由抛物线的顶点为得，由抛物线的对称轴为直线得，所以；根据二次函数的最大值问题，当时，二次函数有最大值为2，即只有时，，所以说方程有两个相等的实数根． 【详解】解：抛物线与轴有两个交点， ，所以①错误； 顶点为， 抛物线的对称轴为直线， 抛物线与轴的一个交点在点和之间， 抛物线与轴的另一个交点在点和之间， 当时，， ，所以②正确； 抛物线的顶点为， ， 抛物线的对称轴为直线， ， ，即，所以③正确； 当时，二次函数有最大值为2， 即只有时，， 方程有两个相等的实数根，所以④正确． 综上所述，共有3个正确结论， 故答案为：3． 【变式3】如图，抛物线过点，与轴的交点在，之间（不包含端点），抛物线对称轴为直线，有以下结论： ①； ②； ③抛物线顶点的纵坐标大于4小于； 其中正确结论的个数是（   ）    A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的图象和性质．根据所给函数图象可得出a，b，c的正负，再结合抛物线的对称性及增减性即可解决问题． 【详解】解：由所给二次函数图象开口向下，与y轴交于正半轴， ∴． 又∵对称轴是直线， ∴． ∴，故①错误． 又抛物线的对称轴为直线，且过点， ∴，即， ∴，故②正确． ∵抛物线对称轴为直线， ∴顶点坐标为， 又，， ∴，， ∴． ∵， ∴， ∴抛物线顶点的纵坐标大于4小于．故③正确． 故选：B． 题型03 二次函数图象的平移 【典例1】已知二次函数，若其图象抛物线不动，把x轴、y轴分别向上、向右平移2个单位，那么在新坐标系下该抛物线的解析式是 ． 【答案】 【分析】先确定出原抛物线的顶点坐标，再根据平移确定出新平面直角坐标系中抛物线的顶点坐标，然后根据平移只改变图形的位置不改变图形的形状与大小，根据顶点坐标写出解析式即可． 本题考查了二次函数图象与几何变换，利用顶点的变化解答抛物线的变化，准确找出新坐标系中顶点的坐标是解题的关键． 【详解】解：抛物线的顶点坐标为， ∵x轴、y轴分别向上、向右平移2个单位， ∴新平面直角坐标系中抛物线的顶点坐标为， ∴新坐标系下抛物线的解析式是． 故答案为． 【变式1】已知二次函数． (1)请利用配方法推导出它的对称轴和顶点坐标； (2)如果将该二次函数向右平移1个单位，再向下平移2个单位，平移后的函数的对称轴为轴，求的值． 【答案】(1)二次函数的对称轴为，顶点坐标为 (2) 【分析】本题主要考查了二次函数的顶点式，二次函数的性质，二次函数图象与几何变换，解题的关键是熟知二次函数的性质； （1）通过配方法将二次函数解析式化为顶点式，进而求解； （2）根据平移的性质得出新抛物线的解析式为，然后由平移后的函数的对称轴为y轴得到，最后求解即可． 【详解】（1）解：配方： ， 所以二次函数的对称轴为，顶点坐标为； （2）由题意得：平移后的二次函数表达式为， 所以对称轴为， 因为平移后的二次函数对称轴是轴， 所以， 解得． 【变式2】抛物线经平移后，不可能得到的抛物线是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，熟练通过配方法，将一般式化成顶点式是解答本题的关键． 由平移的性质可知：抛物线经过平移后，的值不变．将化成顶点式，再通过各选项比较，得到各自平移方法，最后分析出无法通过平移抛物线得到． 【详解】解：． ，抛物线向右平移，再向下平移得到抛物线，故不符合题意； ． ， 抛物线向右平移，再向下平移得到抛物线，故不符合题意； ． ，，抛物线向下平移得到抛物线，故不符合题意； ．，由平移的性质，的值变为，无法通过平移得到，故符合题意． 故选． 【变式3】如图，将函数的图象沿轴向上平移得到一条新函数的图象，其中点，平移后的对应点分别为点、．若曲线段扫过的面积为9（国中的阴影部分），则新图象的函数表达式是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】曲线段扫过的面积，则，然后根据平移规律即可求解． 【详解】解：曲线段扫过的面积， 则， 故抛物线向上平移3个单位，则 故选：D． 题型04 二次函数图象与其他函数图象的共存问题 【典例1】如图，二次函数的图象与一次函数的图象相交两点，则二次函数的图象可能为（    ） A．B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的图象，直线和抛物线的交点，交点坐标和方程的关系以及方程和二次函数的关系等，由一次函数与二次函数图象相交于两点，得出函数与轴有两个交点，两个交点为，利用对称轴即可进行判断的图象，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：由一次函数与二次函数图象相交于两点的横坐标可得： 函数与轴有两个交点，两个交点为， ， 即， ， ， ， 故二次函数的图象开口向上，对称轴在轴左边，只有A选项的图象符合条件， 故选：A． 【变式1】函数与的图象可能是（   ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】本题主要考查二次函数和一次函数的性质，解题的关键是根据a，b与0的大小关系以及交点情况进行讨论． 根据二次函数开口向上，对称轴在y轴右侧判断出a，b与0的大小关系，进而推出一次函数图象经过第一、三、四象限，再利用二次函数与一次函数交点情况即可作出判断． 【详解】解：由四个选项可知，二次函数开口均向上，对称轴在y轴右侧， ∴，， ∴一次函数图象应该经过第一、三、四象限， 当时，即，， 当时，即， 则二次函数与一次函数在x轴上有一交点，且为 A．一次函数图象经过第一、二、四象限，故本选项不符合题意． B．一次函数图象经过第一、三、四象限，且有一交点在x轴上，故本选项符合题意． C．一次函数图象经过第一、三、四象限，但交点均不在x轴上，故本选项不符合题意． D．一次函数图象经过第二、三、四象限，故本选项不符合题意． 故选：B． 【变式2】一次函数的图象如图所示，则二次函数的图象大致是（    ）    A。B．  C．  D．   【答案】D 【分析】本题主要考查了一次函数以及二次函数的图象综合判断，正确确定，的符号是解题关键．直接利用一次函数图象经过的象限得出，的符号，进而结合二次函数图象的性质得出答案． 【详解】解：一次函数的图象经过一、三、四象限， ，， ， 二次函数的图象开口方向向上，图象经过原点，对称轴在轴右侧， 故选：D． 【变式3】在同一直角坐标系中，反比例函数与二次函数的大致图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据的取值范围分当时和当时两种情况进行讨论，根据反比例函数的图象与性质以及二次函数的图象与性质进行判断即可． 【详解】解：当时，反比例函数的图象经过一、三象限，二次函数的图象开口向上，其对称轴在轴右侧，且与轴交于负半轴，故选项C、D不符合题意； 当时，反比例函数的图象经过二、四象限，二次函数的图象开口向上，其对称轴在轴左侧，且与轴交于正半轴，故选项A不符合题意，选项B符合题意． 故选：B． 题型05 二次函数图象与坐标轴的交点问题 【典例1】若二次函数的图象与坐标轴有两个公共点，则b满足的条件是 ． 【答案】或0 【分析】本题考查了二次函数的图象，二次函数与一元二次方程的关系，一元二次方程根的判别式等知识．熟练掌握二次函数的图象，二次函数与一元二次方程的关系，一元二次方程根的判别式是解题的关键． 由题意知，分①二次函数的图象与轴有1个公共点；②二次函数的图象与轴有2个公共点，但其中一个点为原点，两种情况求解作答即可． 【详解】解：∵二次函数的图象与坐标轴有两个公共点， ∴分①二次函数的图象与轴有1个公共点；②二次函数的图象与轴有2个公共点，但其中一个点为原点，两种情况求解； ①当二次函数的图象与轴有1个公共点时，， 解得； ②当二次函数的图象与轴有2个公共点，但其中一个点为原点时，， ∴，与轴有2个公共点，为或， 综上所述，b的值为或0， 故答案为：或0． 【变式1】若函数的图象与坐标轴有两个不同的交点，则m的值为 ． 【答案】-2或-1或0或1 【分析】由题意函数与坐标轴有两个交点，要分两种情况：①函数为一次函数时；②函数为二次函数，分两种情况进行讨论，即当抛物线经过原点时，此时抛物线与x轴还有一个除原点以外的交点；若抛物线不经过原点，则抛物线必与x轴有一个交点，此时Δ=0，求出m的值即可． 【详解】解：∵函数的图象与坐标轴有两个不同的交点， ①当函数为一次函数时，则m+1=0 即m=-1， 此时y=-2x-，与坐标轴有两个交点； ②当函数为二次函数时m+1≠0，即m≠-1，分两种情况： 当抛物线经过原点时，y==0，即m=0， 此时=x(x-2)， 则一个交点在原点，与x轴的另一个交点为(2，0)； 当抛物线不经过原点时，△=（-2）2-4×(m+1)×m=0， 解得：m=-2或1． 综上，m=-1或0或-2或1时，函数与坐标轴有两个交点， 故答案为：-2或-1或0或1． 【变式2】若关于的方程有两个不相等的实数根，则抛物线的顶点在第 象限． 【答案】四 【分析】根据方程有两个不相等的实数根得到a的取值范围，结合顶点判断即可得到答案； 【详解】解：∵方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得：， ∴，， ∴抛物线的顶点在第四象限， 故答案为：四； 【变式3】已知抛物线的图象与坐标轴有3个交点. (1)求k的取值范围 (2)若抛物线的图象经过点，求k值． 【答案】(1)；(2) 【分析】本题考查二次函数与坐标轴交点，待定系数法求解析式； （1）抛物线的图象与坐标轴有3个交点则与轴一个交点，与轴两个交点，据此求解即可； （2）把代入计算即可． 【详解】（1）∵抛物线的图象与坐标轴有3个交点， ∴抛物线与轴一个交点，与轴两个交点， ∴方程有两不等实数根， ∴， 解得 （2）把代入得， 解得， 由（1）可得， ∴． 题型06 二次函数图象与一元二次方程的近似根 【典例1】二次函数自变量与函数值的对应关系如下表，设一元二次方程的根为，，且，则下列说法正确的是（    ） 0 0.5 1 1.5 2 2.5 0.13 0.38 0.53 0.58 0.53 0.38 0.13 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据表格找出y的值接近0时对应的x的值的取值范围，从而分析求解． 【详解】解：由表格可得： 当时，； 当时，， 又∵一元二次方程的根为，，且， ∴，， 故选：A． 【变式1】二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）自变量x与函数y的对应值如下表： x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4 … y … m﹣4 m﹣2 m﹣ m m﹣ m﹣2 m﹣4 … 若1＜m＜1，则一元二次方程ax2+bx+c=0的两根x1,x2的取值范围是 　． 【答案】﹣1＜x1＜0，2＜x2＜3 【详解】∵1＜m＜1， ∴－1＜m－2＜－，＜m－＜1， ∴y=0在y=m－2与y=m－之间， ∴对应的x的值在－1与0之间，及2与3之间，即－1＜x1＜0，2＜x2＜3． 故答案为：－1＜x1＜0，2＜x2＜3． 【变式2】如图是二次函数的图象，图象上有两点分别为，，则方程的一个解只可能是（   ）     A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数与坐标轴交点问题，根据题意得方程的一个解，进而即可求解． 【详解】解：∵二次函数图象上有两点分别为，， ∴方程的一个解， ∴方程的解为：， 即． 故选：C． 【变式3】有这样一个问题：探究函数的图象与性质． 嘉瑶根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究． 下面是嘉瑶的探究过程，请补充完整： （1）函数的图象与轴 交点；（填写“有”或“无”） （2）下表是y与x的几组对应值： x … … y … n … 则n的值为 ； （3）如图，在平面直角坐标系xOy中，嘉瑶描出各对对应值为坐标的点．请你根据描出的点，帮助嘉瑶画出该函数的大致图象； （4）请你根据探究二次函数与一元二次方程关系的经验，结合图象直接写出方程的根约为 ．（结果精确到0.1） 【答案】（1）无；（2）-4；（3）见解析；（4），或 【分析】（1）根据函数式满足的条件判断出，所以与y轴没有交点；               （2）把x=1代入函数式即可；                     （3）根据表格坐标点描点连线即可； （4）将表示为函数的形式，找函数图象与x轴的交点即可． 【详解】由题意可得：，故与y轴无交点； 故填：无； 把x=1代入函数式，得：n=−4 ； 故填：； 根据表中数据描点连线如图： 将表示为函数的形式，即函数与x轴的交点，根据图象可得：，或； 故填：，或． 题型07 二次函数图象与直线的交点问题 【典例1】已知：抛物线与直线有两个不同的交点，若两个交点的横坐标是分别为、，若，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系和根的判别式、二次函数的性质．根据抛物线与直线有两个不同的交点，则方程中的，解出可得的取值；由根与系数的关系得：，，把变形后，得，即可得出答案，运用了恒等变换的思想．掌握一元二次方程根与系数的关系及二次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：令， ∴， ∵抛物线与直线有两个不同的交点， ∴， ∴， ∵两个交点的横坐标是分别为、， ∴，， ∴， ∴ ， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式1】如图，抛物线与x轴交于点A、B，把抛物线在x轴及其下方的部分记作，将向左平移得到，与x轴交于点B、D，若直线与、共有3个不同的交点，则m的取值范围是　　    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出点A和点B的坐标，然后再求出的解析式，分别求出直线与抛物线相切时m的值以及直线过点B时m的值，结合图形即可得到答案. 【详解】抛物线与x轴交于点A、B， ∴=0， ∴x1=5，x2=9， ， 抛物线向左平移4个单位长度后的解析式， 当直线过B点，有2个交点， ， ， 当直线与抛物线相切时，有2个交点， ， ， 相切， ， ， 如图，    若直线与、共有3个不同的交点， --， 故选C． 【变式2】如图，在平面直角坐标系中，，，且AC在x轴上，O为AC的中点．若抛物线与线段AB有两个不同的交点，则a的取值范围是 ． 【答案】3≤a＜4或a≤-5 【分析】先确定A，B的坐标，确定直线AB的解析式，联立两个函数解析式构造一元二次方程，其判别式大于零，分a＜0和a＞0，两种情形计算即可． 【详解】∵，，且AC在x轴上，O为AC的中点， ∴A（-1，0），B（1，2），∠BAC=45°， ∴直线AB与y轴的交点为（0，1）， 设直线AB的解析式为y=kx+1， ∴-k+1=0， 解得k=1， ∴直线AB的解析式为y=x+1， ∵抛物线与线段AB有两个不同的交点， ∴x+1=有两个不相等实数根， ∴有两个不相等实数根， ∴， 解得a＜4； 当a＞0时，， ∴a≥3， ∴3≤a＜4， 当a＜0时，， ∴a≤-5， ∴3≤a＜4或a≤-5， 故答案为：3≤a＜4或a≤-5． 【变式3】如图，将一段抛物线记为，它与轴交于点和点；将绕点旋转得，交轴于点；将绕点旋转得，交轴于点．若直线与共有3个不同的交点，则的取值范围是 ．    【答案】 【分析】利用二次函数的性质求得的坐标，再利用旋转的性质得到的坐标，画出图形，将直线的解析式代入二次函数解析式中，利用找出临界值，结合图形即可解答． 【详解】解：当时，，解得， ， 将绕点旋转得，将绕点旋转得， ， ； ， 当直线与共有3个不同的交点，直线的范围如图所示：    将代入，可得， ， 解得； 将代入，可得， ， 解得， 结合图形，可得当时，直线与共有3个不同的交点， 故答案为：． 题型08 二次函数与销售问题 【典例1】为助推乡村经济发展，解决茶农卖茶难问题，某地政府在新茶上市天内，帮助“幸福村”茶农合作社集中销售茶叶，设第天（为整数）的售价为（元/斤），日销售额为（元）．据销售记录知： ①第天销量为斤，以后每天比前一天多卖斤； ②前天的价格一直为元/斤，后天价格每天比前一天跌元， (1)当时，写出与的关系式； (2)当为何值时日销售额最大，最大为多少？ (3)若日销售额不低于元时可以获得较大利润，当天合作社将向希望小学捐款元，用于捐资助学，若“幸福村”茶农合作社计划帮助希望小学购买元的图书，求的最小整数值． 【答案】(1) (2)当为第天时日销售额最大，最大为元 (3)元 【分析】（1）根据前天的价格一直为元/斤，后天价格每天比前一天跌元，可求出当时，与的关系； （2）根据日销售额售价日销售量，分类讨论在的取值范围内的最大值即可得到结论； （3）根据日销售额售价日销售量，分类讨论在的取值范围内的最大值，再和作比较，从而确定能获得较大利润的天数，即可求解． 【详解】（1）解：∵前天的价格一直为元/斤，后天价格每天比前一天跌元， ∴当时，， ∴当时，写出与的关系式为：； （2）由题意得，销售量为：， 当时， ， ∵， ∴当时，取最大值为：， 当时， ， ∵， ∴当时，取最大值为， 综上所述，当时，取最大值为， 答：当为第天时日销售额最大，最大为元； （3）当时， ， 当时，取最大值为：， ∵， ∴时不可能获得较大利润． 当时，， 当时，取最大值为，得：， 当时， 解得：或， ∴当时，， ∴获得较大利润天数为天， ∴， 解得：， ∵为整数， ∴的最小值为元． 【变式1】教师节前夕，某花店采购了一批鲜花礼盒，成本价为50元/件，物价局要求，销售该鲜花礼盒获得的利润率不得高于52%．分析教师节同期的鲜花礼盒销售情况，发现每天的销售量y（件）与销售单价x（元/件）（x为整数）近似的满足一次函数关系，数据如表：（注：利润率=利润/成本） 销售单价x（元、件） … 60 70 75 … 每天销售量y（件） … 240 180 150 … (1)求y与x的函数关系式； (2)试确定销售单价取何值时，花店销售该鲜花礼盒每天获得的利润最大？并求出最大利润； (3)花店承诺：每销售一件鲜花礼盒就捐赠n元（）给“希望工程”．若扣除捐赠后的日利润随着销售单价x的增大而增大，请直接写出n的取值范围是 ． 【答案】(1) (2)当销售单价为75元/件时，利润最大为3750元 (3) 【分析】本题主要考查了求一次函数的解析式、二次函数的应用及二次函数的最值问题，正确列出解析式，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． （1）设y与x的函数关系式为，用待定系数法求函数解析式即可； （2）设每天获得的利润为w元，根据总利润=单价利润×销售量列出函数解析式，再利用二次函数的性质求解即可； （3）设表示扣除捐款后的日利润，根据题意，列出函数解析式，利用在范围内，随x的增大而增大，进而求解即可． 【详解】（1）解：设， 由题意得：当时，，当时，， ∴， 解之得， ∴； （2）解：设每天利润为w元，由题意得 ， 又∵， ∴， ∴ ∵， ∴当时，， 答：当销售单价为75元/件时，利润最大为3750元； （3）解：设表示扣除捐款后的日利润， ， ∵在（x为整数）范围内，随x的增大而增大，开口向下，对称轴是直线， ∴， 解得， ∵， ∴． 【变式2】习总书记强调，实行垃圾分类，关系广大人民群众生活环境，关系节约使用资源，也是社会文明水平的一个重要体现．为改善城市生态环境，某公司为配合国家垃圾分类入户的倡议，设计了一款成本为元/个的多用途垃圾桶投放市场，经试销发现，销售量（个）与销售单价（元）符合一次函数关系：当时，；当时，． (1)若该公司获得利润为元，试写出利润与销售单价之间的函数解析式； (2)若物价部门限定该产品的销售单价不得超过30元/个，那么定价为多少元时才可获得最大利润？ 【答案】(1) (2)当销售单价定为元时，商场可获最大利润，最大利润是元 【分析】本题考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数的性质是解题关键． （1）根据利润=销售量×（销售单价-成本）得到与之间的函数关系式， （2）利用二次函数的性质结合已知条件求解即可． 【详解】（1）解：设销售量y（个）与销售单价x（元）一次函数关系为， 当时，；当时，． ，解得 ， ∴ ， （2）解：， ，抛物线开口向下，在的左侧，随的增大而增大， 时，有最大值，最大值为元． 答：当销售单价定为元时，商场可获最大利润，最大利润是元． 【变式3】“一结千年意蕴丰，相看时对吉祥红”，“中国结”是深受国人喜爱的节庆装饰物。某款“中国结”成本为30元/件，每天销售量y（件）与销售单价x（元）之间存在一次函数关系，如图所示． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)如果规定每天该款“中国结”的销售量不低于240件，当销售单价为多少元时，每天获取的利润w最大，最大利润是多少？ 【答案】(1) (2)当销售单价为46元时，每天获取的利润最大，最大利润是3840元 【分析】本题考查一次函数，二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，能正确列出函数关系式． （1）结合已知的图象，用待定系数法可得与之间的函数关系式为； （2）由每天“中国结”的销售量不低于240件，可得，设每天获取的利润为元，可得：，由二次函数性质即得当销售单价为46元时，每天获取的利润最大，最大利润是3840元． 【详解】（1）解：设与之间的函数关系式为， 将，代入得： ， 解得， ； （2）每天“中国结”的销售量不低于240件， ， 解得， 设每天获取的利润为元， 根据题意得：， ，抛物线对称轴是直线， 时，取最大值，最大值是（元， 答：当销售单价为46元时，每天获取的利润最大，最大利润是3840元． 题型09 二次函数与抛物线型问题 【典例1】如图，有一座抛物线形拱桥，在正常水位时水面的宽为，如果水位上升，水面的宽是    (1)求此抛物线的函数表达式． (2)在正常水位时，有一艘宽、高的小船，它能通过这座桥吗？ (3)现有一艘以每小时的速度向此桥径直驶来，当船距此桥时，桥下水位正好在处，之后水位每小时上涨,当水位在处时，将禁止船只通行．如果该船按原来的速度行驶，能否安全通过此桥？ 【答案】(1) (2)在正常水位时，此船能顺利通过这座拱桥 (3)该船按原来的速度行驶，能安全通过此桥 【分析】（1）设抛物线的解析式为（a不等于0），桥拱最高点O到水面的距离为h米．则，代入抛物线的解析式解方程组即可． （2）当时，，因为，所以在正常水位时，此船能顺利通过这座拱桥． （3）求出船到桥是时间，再求出水位上升的高度即可判断． 【详解】（1）设抛物线的解析式为（a不等于0），桥拱最高点O到水面的距离为h米． 由题意得，， 代入，得： 解得，， ∴抛物线的解析式为； （2）当时，， ∵ ∴在正常水位时，此船能顺利通过这座拱桥． 答：在正常水位时，此船能顺利通过这座拱桥． （3）船行驶的时间小时．， ∴该船按原来的速度行驶，能安全通过此桥、 【变式1】如图1为某公园的圆形喷水池，小玲学习了二次函数后，受到该图启发设计了一种新的喷水池，它的截面示意图如图2所示，为水池中心，喷头、之间的距离为米，喷射水柱呈抛物线形，水柱距水池中心处达到最高，高度为．水池中心处有一个圆柱形蓄水池，其高为米． (1)在图2中，以点为坐标原点，水平方向为轴建立直角坐标系，并求右边这条抛物线的函数解析式． (2)如图3，拟在圆柱形蓄水池中心处建一喷水装置，从点向四周喷射抛物线形水柱且满足以下四个条件：不能碰到图2中的水柱；落水点，的间距为；水柱的最高点与点的高度差为；从点向四周喷射与图2中形状相同的抛物线形水柱． ①在建立的坐标系中，求落水点的坐标； ②求出喷水装置的高度． 【答案】(1)； (2)①点的坐标为：，②． 【分析】本题主要考查了二次函数在实际问题中的应用， 理清题中的数量关系、熟练掌握待定系数法及二次函数的性质是解题的关键． （1）依据题意，右侧抛物线的顶点的坐标为，点，再利用待定系数法即可求解； （2）①依据题意， 当当时，即，得到 进而求解； ②依据题意，水柱的最高点与点的高度差为， 即该抛物线的最高点 ，求出值，进而求解． 【详解】（1）解：建立如图所示坐标系， 由题意得，右侧抛物线的顶点的坐标为，点， 设抛物线的表达式为： 则将点的坐标代入上式得： 解得： 则右侧抛物线的表达式为：． （2）解：①建立如图所示坐标系，设轴交于点， 由（1）知，右侧抛物线的表达式为：， 当时，即， 解得： (不合题意，舍去)， ， 又 ， ， ∴的坐标为： ②由（1）知，右侧抛物线的表达式为： 则中间抛物线的表达式为： ∵水柱的最高点与点的高度差为， 即：该抛物线的最高点 解得： ∴抛物线的表达式为： 由①知，点 ， 将点的坐标代入抛物线表达式得： ， 解得： 即． 【变式2】鹰眼技术助力世界杯，提升球迷观赛体验，如图分别为足球比赛中某一时刻的鹰眼系统预测画面（图1）和截面示意图（如图2），攻球员位于点O，守门员位于点A，的延长线与球门线交于点B，且点A，B均在足球轨迹正下方，足球的飞行轨迹可看成抛物线．水平距离s与地高度h的鹰眼数据如表： 0 9 12 15 18 21 … 0 4.2 4.8 5 4.8 4.2 … (1)根据表中数据可得，当 m时，h达到最大值 m； (2)求h关于s的函数解析式； (3)当守门员位于足球正下方，足球离地高度不大于守门员的最大防守高度2.6m时，视为防守成功．若一次防守中，守门员位于足球正下方时，，请问这次守门员能否防守成功？试通过计算说明． 【答案】(1)， (2) (3)守门员能成功防守，见详解． 【分析】本题考查的是二次函数的实际应用，利用待定系数法求解二次函数的解析式，理解函数图象上点的横坐标与纵坐标的含义． （1）根据抛物线的对称轴可直接得出结论； （2）根据抛物线的对称性找到顶点，设出顶点式，再代入可求出参数，由此可解答； （3）把代入二次函数解析式求出h，再与最大防守高度比较即可． 【详解】（1）解：时，达到最大值； （2）由（1）知，抛物线顶点坐标，设， 把代入解析式， ， 解得， ∴． （3）当， ， ∵， ∴守门员能成功防守． 【变式3】如图，三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形，左右两个抛物线是全等的，正常水位时，大孔水面宽为，顶点距水面（即 ），小孔顶点距水面（即），建立如图所示的平面直角坐标系． (1)求出大孔抛物线的解析式； (2)航管部门设定警戒水位为正常水位上方处，汛期某天水位正好达到警戒水位，有一艘顶部高出水面，顶部宽的巡逻船要路过三孔桥，请问该巡逻船能否安全通过大孔？并说明理由； (3)当水位上涨到刚好淹没小孔时，则大孔的水面宽度 ． 【答案】(1)； (2)该巡逻船能安全通过大孔，理由见解析； (3)． 【分析】（）用待定系数法即可得大孔抛物线的解析式； （）求出时的值，与作比较即可判断； （）求出点坐标，即可得到答案； 本题了考查二次函数的应用，掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意可得，，， 设大孔抛物线的解析式为， 把点代入解析式得，， 解得, ∴大孔抛物线的解析式为； （2）解：该巡逻船能安全通过大孔，理由如下： 把代入得，， ∴该巡逻船能安全通过大孔； （3）解：∵， ∴点的纵坐标为， ∴当时，， 解得，， ∴由抛物线对称性可得，， ∴， 答：大孔的水面宽度为． 题型10 二次函数与几何问题 【典例1】如图，用长为的篱笆，一面利用墙(墙的最大可用长度是)，围成中间有一道篱笆的矩形花圃，设花圃的一边长是(单位：)，面积是(单位：)．      (1)求与的函数关系式及的取值范围； (2)如何设计矩形花圃的长与宽，才能得到一个面积最大的花圃？ 【答案】(1)； (2)当为时，面积最大为． 【分析】（）根据面积关系列函数表达式即可； （）利用（）中的函数关系式，利用二次函数的性质可得答案． 【详解】（1）根据题目数量关系得， 根据题意，解得：， ∴； （2）由（）得：， ∴， ， ∵当时，随的增大而减小，， ∴当时，有最大值为． 【变式1】如图，学校准备在长为米，宽为米的矩形草地上规划甲、乙、丙三个区域栽种花卉，正方形和正方形面积相等，且各有两边与长方形边重合，矩形是这两个正方形的重叠部分，设为米，为米．    (1)求关于的函数表达式；（不用写出自变量的取值范围） (2)设甲、乙、丙的总面积为（），求关于的函数表达式及其最大值． 【答案】(1) (2)关于的函数表达式为；最大值为56 【分析】（1）由于正方形和正方形面积相等，可得出两个正方形的边长相等，根据题意可得，，代入即可得到关于的函数表达式． （2）由（1）可知的面积，又因为，即可得到，再根据二次函数的性质，为开口向上的抛物线，在离对称轴远的点的位置取最大值，可判断出在当时，取最大值，从而可计算出最大面积． 【详解】（1）解：由题可知， ，， ∴，即， ∴． （2）解：∵正方形和正方形的面积相等， ∴， ∴， ∴， 又， ∴ 整理得关于的函数表达式为； 由， ∵， 故：当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小， 又， ∴当时，取最大值，， 即最大值为56． 【变式2】问题情境:有一堵长为的墙，利用这堵墙和长为的篱笆围成一个矩形养鸡场，怎样围面积最大？最大面积是多少？ 题意理解:根据题意，有两种设计方案：一边靠墙（如图①）和一边“包含”墙（如图②）． 特例分析: （1）当时，若按图①的方案设计，则该方案中养鸡场的最大面积是 ；若按图②的方案设计，则该方案中养鸡场的最大面积是 ． （2）当时，解决“问题情境”中的问题． 解决问题:（3）直接写出“问题情境”中的问题的答案． 【答案】（1）288，324；（2）当时，该养鸡场围成一个边长为的正方形时面积最大，最大面积是；（3）当时，当矩形的长为，宽为时，养鸡场最大面积为 【分析】（1）根据a=12,分类讨论即可,见详解,（2）表示出,根据二次函数的性质即可解题,（3）根据养鸡场的一边靠墙或包含墙分类讨论,再利用二次函数的性质求出最值即可解题. 【详解】解：（1）如图①,设矩形的长为x米,则矩形的宽为（30-）米,面积为S,依题意得： S=x·（30-）=-=-,(x12) ∴当x=12时,矩形有最大值为288 如图②, 设矩形的长为x米, 则矩形的宽为（36-x）米,依题意得： S=x·（36-x）=-, ∴当x=18时,矩形有最大值为324 综上,矩形的面积为288，324． （2）如图①，设，则． 所以． 根据题意，得． 因为， 所以当时，随的增大而减小． 即当时，有最大值，最大值是400（m2）. 如图②，设，则． 所以． 根据题意，得． 因为， 所以当时， 有最大值，最大值是. 综上，当时，该养鸡场围成一个边长为的正方形时面积最大，最大面积是． （3）当时，围成边长为的正方形面积最大，最大面积是． 当时，围成两邻边长分别为，的养鸡场面积最大，最大面积为． 当时，当矩形的长为，宽为时，养鸡场最大面积为． 【变式3】用长为米的铝合金条制成如图窗框，已知矩形，矩形，矩形的面积均相等，设的长为米． (1)则 ； (2)若不计铝合金条的厚度，窗框透光面积为平方米，求的值； (3)窗框透光面积的最大值为 ． 【答案】(1)3 (2)或 (3)2 【分析】（1）本题考查列代数式求解，根据三个矩形面积相等列式求解即可得到答案； （2）本题考查一元二次方程的实际应用，结合（1）根据面积列式求解即可得到答案； （3）本题考查二次函数的实际应用，根据题意列出面积的函数关系式结合二次函数的性质求解即可得到答案 【详解】（1）解：由题意可得， 设，由题意可得， ∵矩形，矩形，矩形的面积均相等， ∴，， ∴， 故答案为：3； （2）解：由题意可得， ∵铝合金长为米， ∴，即：， ∵窗框透光面积为平方米， ∴， 解得：或； （3）解：由题意可得， ， 且有， 解得：， ∵，， ∴当时，最大， ． 题型11 二次函数的几何综合题 【典例1】如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中，．    (1)求抛物线的解析式． (2)在第二象限的抛物线上是否存在一点P，使得的面积最大．若存在，请直接写出点P坐标和的面积最大值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，点P的坐标是，的面积最大值是 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质以及与几何综合： （1）将B，C两点坐标代入函数解析式，求出b，c的值即可； （2）过点P作轴于点E，设，且点P在第二象限，根据可得二次函数关系式，再利用二次函数的性质即可求解. 【详解】（1）解：将，代入得， 解得： （2）解：对于，令则 解得，， ∴， ∴ ∵， ∴， 过点P作轴于点E，如图， 设，且点P在第二象限， ∴ ∴ ∵， ∴有最大值， ∴当时，有最大值，最大值为，此时点P的坐标为 【变式1】如图，在平面直角坐标系中，抛物线与直线交于点，． (1)求该抛物线的函数解析式； (2)如图①，若点H是抛物线的顶点，在x轴上存在一点G，使的周长最小，求此时点G的坐标． (3)如图②，点P为直线下方抛物线上的一动点，过点P作交于点M，过点P作y轴的平行线交x轴于点N，求的最大值及此时点P的坐标． 【答案】(1) (2) (3)最大值为， 【分析】利用待定系数法求解即可； 作点A关于x轴的对称点，连接交x轴于点G，结合轴对称的性质得此时的周长最小，得点，结合抛物线解析式求得点H，利用待定系数法求得的解析式为，令即可求得点G； 结合题意可得是等腰直角三角形，利用待定系数法求得直线的解析式为，设与交于点C，则和是等腰直角三角形，则有，设，则，即可求得和，利用二次函数的性质即可求得的最大值，即此时的点P． 【详解】（1）解：根据题得，，解得， 则抛物线的解析式为； （2）作点A关于x轴的对称点，连接交x轴于点G，此时的周长最小，如下图： 则， ∵抛物线的解析式为， ∴， ∵， 设的直线解析式为，则，解得 则的解析式为， 当时，，解得， ∴； （3）∵，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 设直线的解析式为， ，解得， 则直线的解析式为， 设与交于点C，如图， ∵轴于点N， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 设，则， ∴，， ∴ ∵， ∴当时，的最大值为，此时． 【变式2】如图，二次函数 的图象与 x 轴交于、两点，与 y 轴交于点 C，D 为抛物线的顶点． (1)求抛物线的解析式； (2)求 的面积； (3)在抛物线对称轴上，是否存在一点P，使 P，B，C为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)3 (3)存在，符合条件的 P 点坐标为 【分析】本题主要考查了待定系数法、二次函数与面积的综合、二次函数与三角形的综合等知识点，掌握分类讨论和数形结合思想成为解题的关键． （1）直接运用待定系数法求解即可； （2）先求得、，再运用待定系数法求得直线的解析式为；如图：过D作x轴的垂线交于E， 垂足为F．则, 则，最后根据三角形的面积公式即可解得； （3）如图：设点， 连接,根据两点间的距离公式可得、、，然后再分、、三种情况分别解得即可． 【详解】（1）解∶ 由抛物线 经过、两点， 则，解得：， 所以抛物线的函数关系式是：． （2）解：∵， ∴， 当时，，即， 由待定系数法可得直线的解析式为． 如图：过D作x轴的垂线交于E， 垂足为F．则, ∴, ∴． （3）解：存在． 如图：设点， 连接, ,,； ①若，则，即， 解得．即 ． ②若，则 即， 解得：，即 ； ③若，则， 解得：，即． 综上， 符合条件的 P 点坐标为 ，、． 【变式3】如图，已知二次函数经过A，B两点，轴于点C，且点，，． (1)求抛物线的解析式； (2)点E是线段上一动点（不与A，B重合），过点E作x轴的垂线，交抛物线于点F，当线段的长度最大时，求点E的坐标及； (3)点P是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在这样的P点，使成为直角三角形？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)， (3)存在；点P的坐标为或或或 【分析】（1）先求出点B坐标，再利用待定系数法求出抛物线的解析式； （2）先利用待定系数法求出直线的解析式，点，则， 得出，利用二次函数求最值方法进一步求解即可； （3）根据题意，分三种情况①点B为直角顶点；②点A为直角顶点；③点P为直角顶点分别讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵点，， ∴，， ∵， ∴， 把和代入二次函数中得： ， 解得：， ∴二次函数的解析式为：； （2）解：如图1，∵直线经过点和， 设直线的解析式为， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为：， ∵二次函数， ∴设点，则， ∴， ∴当时，的最大值为， ∴点E的坐标为； ； （3）解：存在， ∵， ∴对称轴为直线， 设，分三种情况： ①点B为直角顶点时，由勾股定理得：， ∴， 解得：， ∴； ②点A为直角顶点时，由勾股定理得：， ∴， 解得：， ∴； ③点P为直角顶点时，由勾股定理得：， ∴， 解得：或， ∴或； 综上，点P的坐标为或或或． 题型12 反比例函数的图象和性质 【典例1】在下列函数中，函数值y随自变量x的增大而减小的是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一次函数、反比例函数的性质，熟练掌握函数的性质，是解题的关键． 根据一次函数和反比例函数的性质，逐项分析即可得到答案． 【详解】解：A、随的增大而增大，不符合题意； B、    ，随的增大而增大，不符合题意； C、，在每个象限内，随的增大而减小，不符合题意； D、随的增大而减小，符合题意； 故选：D． 【变式1】若直线经过第二、四象限，则函数的图象在（　　） A．第一、三象限 B．第二、四象限 C．第三、四象限 D．第一、二象限 【答案】B 【分析】本题考查一次函数和反比例函数的图象与性质，根据当时，反比例函数的图象经过第二、四象限求解即可． 【详解】解：∵一次函数的图象经过第二、四象限， ∴， ∴反比例函数的图象在第二、四象限． 故选：B． 【变式2】在反比例函数的图象上有，，三点，若，则，，的大小关系是 （用“＜”连接）． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特点．由反比例函数的可知，，函数的图象在二四象限，随的增大而增大，由此进行判断． 【详解】解：由反比例函数的可知，，当时，随的增大而增大， 当时，则， 又在第二象限，， ， 故答案为：． 【变式3】如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于，两点，若点，的横坐标分别为，，则 ． 【答案】0 【分析】根据反比例函数与正比例函数都是中心对称图形可得x1＝−x2，然后求解即可． 【详解】解：∵反比例函数与正比例函数都是中心对称图形， ∴x1＝−x2， ∴x1＋x2＝0， 故答案为：0． 题型13 反比例函数中k的几何意义 【典例1】如图，两个反比例函数和在第一象限内的图象分别是和，设点在上，轴于点，交于点，则的面积为(  ) A．1 B．2 C．4 D．无法计算 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数值的几何意义．根据反比例函数值的几何意义进行解答即可． 【详解】解：点在反比例函数的图象上， ， 点在反比例函数的图象上， ， ． 故选：A． 【变式1】已知反比例函数与的图象如图所示，过轴正半轴上的任意一点作轴的平行线，分别与这两个函数的图象交于，两点．若点是轴上的任意一点，连接，，则等于 ．    【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的几何意义，连接，根据轴可得，，进而即可求解． 【详解】解：如图所示，连接，    ∵轴 ∴ 故答案为：． 【变式2】如图，在平面直角坐标系中，点，分别在轴、轴上，轴，与双曲线交于点，与双曲线交于点，若四边形为平行四边形，则平行四边形的面积是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数图象与平行四边形综合，利用反比例函数的几何意义或利用设元法解决是关键．设，可表示出点坐标，便得和的长，即可得平行四边形的面积． 【详解】解：设， ∵轴，点在双曲线上，点在双曲线上， ∴， ∴，， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴平行四边形的面积， 故选：D． 【变式3】如图，点A，B在双曲线第一象限的分支上，若A，B的纵坐标分别是2和4，连接OA，OB，的面积是6，则k的值是（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】B 【分析】过点A作轴于点D，过点B作轴于点E，设与的交点为F，根据反比例函数性质，得到，用k表示梯形的面积计算即可． 本题考查了反比例函数的性质，梯形的面积公式，等积变形，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：过点A作轴于点D，过点B作轴于点E，设与的交点为F， 根据题意，得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵A，B的纵坐标分别是2和4， ∴，， ∵的面积是6，则k的值是 ∴， 解得， 故选B． 题型14 反比例函数的几何应用 【典例1】一次函数与反比例函数的图象相交于，两点，直线交轴于点． (1)求一次函数与反比例函数的表达式； (2)观察图象，直接写出不等式的解集； (3)过点作轴，垂足为，连接交轴于点，求的面积S． 【答案】(1)， (2)或 (3) 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题、三角形面积公式，利用待定系数法求出一次函数与反比例函数的解析式是解此题的关键． （1）把代入反比例函数可得的值，即可确定反比例函数解析式；再把代入反比例函数解析式得出的值，最后利用待定系数法求出一次函数解析式即可； （2）由函数图象即可得出答案； （3）先确定出点的坐标，求出直线的解析式，从而得出点的坐标，求出点的坐标得出的长度，再由三角形面积公式计算即可得出答案． 【详解】（1）解：把代入反比例函数得，， 所以反比例函数的解析式为； 把代入得，， 解得， 所以点坐标为， 把和代入一次函数得， ， 解得， 所以一次函数的解析式为； （2）解：观察图象，不等式的解集为或； （3）解：∵轴，垂足为，， ∴点坐标为． 设直线的解析式为， ∵，， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， 当时，，解得， ∴点坐标为， ∵直线的解析式为， ∴直线与x轴交点的坐标为， ∴， ∴的面积． 【变式1】如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于点A、两点，与双曲线交于点C、D两点，． (1)分别求直线与双曲线的解析式； (2)连接并延长交双曲线于点E，连接、，求的面积． 【答案】(1)一次函数解析式为，反比例函数解析式为； (2)8 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，交点坐标满足两个函数解析式是关键． （1）将B点坐标代入直线解析式求出b值即可得到一次函数解析式；利用相似可得长，从而得到点C坐标，继而得到反比例函数解析式； （2）联立方程组求出点D坐标，利用直线解析式求出A点坐标，根据中心对称图形性质，继而代入数据计算即可． 【详解】（1）解：∵直线与y轴交于点， ∴， ∴一次函数解析式为， 如图，作轴，垂足为E， ∵， ∴， ∵． ∴， ∵， ∴， 在函数中，当时，， ∴， ∴ ∴反比例函数解析式为； （2）解：联立方程组，解得，， ∴， 在直线中，当时，， ∴， 根据反比例函数关于原点成中心对称图形， ∴， ∴． 【变式2】如图，已知点A是一次函数图象上一点，过点A作轴的垂线，是上一点在A上方，在的右侧以为斜边作等腰直角三角形，反比例函数的图象过点，，若的面积为，则的面积是 ． 【答案】 【分析】过作轴于，交于，设，根据直角三角形斜边中线是斜边一半得：，设，则，，因为、都在反比例函数的图象上，列方程可得结论． 【详解】解：如图，过作轴于，交于． 轴， ， 是等腰直角三角形， ， 设，则， 设，则，， ，在反比例函数的图象上， ， 解得， ， ， ， ， ． 故答案为：． 【变式3】如图，一次函数的图象分别与轴，轴交于，两点，与反比例函数图象交于点，已知为线段的中点． (1)求的值； (2)若点是反比例函数的图象上一个动点，轴于点设四边形的面积为，探究随的变化情况． 【答案】(1) (2)随的增大而增大 【分析】（1）求出一次函数图象与坐标轴的交点坐标，进而求出点的坐标，待定系数法求出值即可； （2）利用梯形的面积公式求出与的关系式，再进行分析即可． 【详解】（1）解：一次函数的图象分别与轴，轴交于，两点， 当时，；当时，， ，． 为线段的中点， ， 反比例函数的图象过点， ； （2）点是反比例函数的图象上一个动点， 设， ， 设，则， 随的增大而增大， 在中，， 时，随的增大而增大， 随的增大而增大． 题型15 反比例函数的实际应用 【典例1】已知某品牌电动车电池的电压为定值，某校物理小组的同学发现使用该电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：）是反比例函数关系，它的图象如图所示．    (1)求该品牌电动车电池的电流I与电阻R的函数类系式． (2)该物理小组通过询问经销商得知该电动车以最高速度行驶时，工作电压为电池的电压，工作电流在的范围，请帮该小组确定这时电阻值的范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查反比例函数的应用，理解题意得出反比例函数的解析式是解题关键． （1）设电流I与电阻R之间的函数表达式为，将点代入求解即可； （2）把，分别代入解析式求出对应的R，然后结合函数图象即可得出结果． 【详解】（1）解：设电流I与电阻R之间的函数表达式为， 由图象知，函数图象过点， ∴，解得， ∴电流I与电阻R之间的函数表达式为； （2）解：当时，，解得， 当时，，解得， 观察图形可知：， 即该小组确定这时电阻值的范围为． 【变式1】小明家饮水机中原有水的温度为，通电开机后，饮水机自动开始加热，此过程中水温y（）与开机时间x（分）满足一次函数关系，当加热到时自动停止加热，随后水温开始下降，此过程中水温y（）与开机时间x（分）成反比例关系，当水温降至时，饮水机又自动开始加热…，重复上述程序（如图所示），根据图中提供的信息，解答下列问题： (1)当时，求水温y（）与开机时间x（分）的函数关系式； (2)求图中t的值； (3)有一天，小明在上午（水温），开机通电后去上学，中午放学回到家时间刚好，请问此时饮水机内水的温度约为多少？并求：在这段时间里，水温共有几次达到？ 【答案】(1) (2) (3)饮水机内水温约为，共有6次达到 【分析】本题考查了一次函数以及反比例函数的应用，根据题意得出正确的函数解析式是解题的关键． （1）利用待定系数法即可得出答案； （2）先求出反比例函数解析式进而得出的值即可得出答案； （3）先求出总时间，再利用每40分钟图象重复出现一次，即可得出答案． 【详解】（1）解：由图象可知，当时是一次函数， 设将代入得： ， 解得， ∴水温y（）与开机时间x（分）的函数关系式为：； （2）在水温下降过程中，设水温y（）与开机时间x（分）的函数关系式为， 依据题意得：，解得， ∴反比例函数解析式为：， 当时，， 解得：； （3）由（2），结合图象，可知每分钟图象重复出现一次， 经历时间为分钟， ， ∴当时，， 答：饮水机内水温约为，共有6次达到． 【变式2】越来越多的人选择骑自行车这种低碳又健康的方式出行．某日，家住东涌的李老师决定用骑行代替开车去天后宫．当路程一定时，李老师骑行的平均速度v（单位：千米/小时）是骑行时间t（单位：小时）的反比例函数．根据以往的骑行两地的经验，v、t的一些对应值如下表： t（小时） 2 1.5 1.2 1 v（千米/小时） 12 16 20 24 (1)根据表中的数据，求李老师骑行的平均速度v关于行驶时间t的函数解析式； (2)安全起见，骑行速度一般不超过30千米/小时．李老师上午8:30从家出发，请判断李老师能否在上午9:10之前到达天后宫，并说明理由； (3)据统计，汽车行驶1千米会产生约0.2千克的二氧化碳．请计算李老师从东涌骑行到天后宫的过程中二氧化碳的减排量． 【答案】(1) (2)李老师能不能在上午9:10之前到达天后宫，理由见解析 (3)千克 【分析】本题考查反比例函数的应用，关键是求出反比例函数解析式． （1）由表中数据可得，从而得出结论； （2）把代入（1）中解析式，求出v，从而得出结论； （3）根据得到从东涌骑行到天后宫的距离为24千米，根据汽车行驶1千米会产生约0.2千克的二氧化碳即可得到答案． 【详解】（1）解：根据表中数据可知，， ， 李老师骑行的平均速度v关于行驶时间t的函数解析式为； （2）李老师能不能在上午9:10之前到达天后宫，理由： 从上午8：30到上午9：10，李老师用时40分钟，即小时， 当时，（千米/时）， 骑行速度一般不超过30千米/小时， 李老师能不能在上午9:10之前到达天后宫； （3）∵， ∴从东涌骑行到天后宫的距离为24千米， ∴李老师从东涌骑行到天后宫的过程中二氧化碳的减排量为（千克）． 【变式3】丽水某公司将“丽水山耕”农副产品运往杭州市场进行销售，记汽车行驶时间为t小时，平均速度为v千米/小时（汽车行驶速度不超过100千米/小时）．驾驶员根据平时驾车去往杭州市场的经验，得到v、t的一组对应值如下表： （千米/小时） 50 60 75 80 （小时） 6 5 4 3.75 (1)根据表中的数据，可知该公司到杭州市场的路程为___________千米； (2)求出平均速度v（千米/小时）关于行驶时间（小时）的函数表达式； (3)汽车上午7：30从丽水出发，能否在上午10：00之前到达杭州市场？请说明理由． 【答案】(1)300 (2) (3)不能，理由见解析 【分析】（1）根据即可得s的值； （2）根据表格中数据，可知v是t的反比例函数，设，利用待定系数法求出k即可； （3）根据时间t = 2.5，求出速度，即可判断． 【详解】（1）解：根据表格中的数据，∵ ∴s = 300， ∴该公司到杭州市场的路程为300千米； 故答案为：300； （2）解：由表格中的数据可以看出每一对v与t的对应值乘积为一定值，将每一对对应值作为点的坐标在平面直角坐标系中做出对应的图象是双曲线的一部分，设， ∵v=75时，t= 4， ∴k=75×4=300， ∴； （3）解：不能． 理由如下：∵10-7.5=2.5（小时）， ∴t=2.5时，， ∵120＞100， ∴汽车上午7：30从丽水出发，不能在上午10：00之前到达杭州市场． 1.二次函数的图象开口向 ． 【答案】下 【分析】本题考查二次函数的定义及性质，先根据二次函数的定义求出解析式，再判断开口方向即可． 【详解】∵为二次函数， ∴， ∴， ∴二次函数解析式为， ∵， ∴该二次函数的图象开口向下． 故答案为：下． 2.把二次函数用配方法化成的形式应为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是二次函数的三种形式，正确利用配方法把二次函数一般式化为顶点式是解题的关键．利用配方法把二次函数一般式化为顶点式． 【详解】解： ， 故选：C． 3.下列各问题中的两个变量成反比例关系的是（　　） A．圆的面积与其周长的关系 B．王同学完成赛跑时，所用时间与他的平均速度的关系 C．一根弹簧原长，在其弹性范围内所挂物体的质量与弹簧拉伸的长度的关系 D．一个容器的容积是，该容器盛满溶液时溶液的质量与其密度的关系 【答案】B 【分析】本题考查反比例函数的定义，根据形如的形式的函数叫反比例函数逐个判断即可得到答案． 【详解】解：由题意可得， ，不是反比例关系，故A不符合题意， ，即，是反比例函数关系，故B符合题意， ，即，不是反比例关系，故C不符合题意， ，不是反比例关系，故D不符合题意， 故选：B． 4.已知反比例函数，则k的值不可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的定义，根据反比例函数的定义可得，即可求解． 【详解】解：依题意，， ∴， 故选：C． 5.已知点在函数的图象上，则（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据反比例函数解析式可知反比例函数图象经过第二、四象限，在每个象限内y随x增大而增大，由此求解即可 【详解】解：∵反比例函数解析式为，， ∴反比例函数图象经过第二、四象限，在每个象限内y随x增大而增大， ∵点在函数的图象上，， ∴， 故选D． 6.反比例函数，下列说法不正确的是（   ） A．y随x的增大而增大 B．图象经过点 C．图象关于直线对称 D．图象位于第二、四象限 【答案】A 【分析】考查反比例函数的性质，当时，在每个象限内y随x的增大而增大的性质、反比例函数的图象是轴对称图象，和是它的对称轴，同时也是中心对称图形；熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征和反比例函数图象和性质是解答此题的基础；多方面、多角度考查反比例函数的图象和性质．通过反比例图象上的点的坐标特征，可对B选项做出判断；通过反比例函数图象和性质、增减性、对称性可对其它选项做出判断，得出答案． 【详解】解：由反比例函数的性质，，在每个象限内，y随x的增大而增大，不在同一象限，不具有此性质，故A是不正确的，符合题意； 由点的坐标满足反比例函数，故B是正确的，不符合题意； 由反比例函数图象的对称性，可知反比例函数的图象关于对称是正确的，故C是正确的，不符合题意； 由，双曲线位于二、四象限，故D是正确的，不符合题意； 故选：A． 7.若二次函数y＝2x2+4x﹣c与x轴的一个交点是（1，0），则关于x的一元二次方程x2﹣＝﹣2x的根为 ． 【答案】x1＝1，x2＝﹣3． 【分析】根据抛物线对称性质得到抛物线与x轴的两个交点坐标，即得到关于x的一元二次方程x2−＝−2x的根． 【详解】解：由x2﹣＝﹣2x得到：2x2+4x﹣c＝0， ∵二次函数y＝2x2+4x﹣c的图象与x轴的一个交点为（1，0），对称轴是直线x＝﹣＝﹣1， ∴二次函数y＝2x2+4x﹣c的图象与x轴的另一个交点为（﹣3，0）， ∴关于x的一元二次方程x2﹣＝﹣2x的根为：x1＝1，x2＝﹣3． 故答案是：x1＝1，x2＝﹣3． 8.在同一平面直角坐标系中，直线和抛物线，如图所示，，是方程的两个根，且，则函数的坐标系中的图象大致为（    ） A．B．C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数、二次函数图象与系数的关系，一次函数、二次函数图象交点与一元二次方程根的关系等知识点，通过图象交点的横坐标确定，的正负是解题的关键． 根据方程的两个根和，即转化为与函数图象交点问题，通过图象交点可得，即可确定函数在坐标系中的大致图象． 【详解】解：，是方程的两个根， 与函数图象两交点横坐标为，， 由图象可得：， ，， 故函数在坐标系中的图象经过第二、三、四象限， 故选：B． 9.如图，是反比例函数和在第一象限的图象，直线轴，并分别交两条双曲线于A、B两点，若，则的值是（   ） A．8 B．6 C．4 D．2 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数比例系数k的几何意义，用反比例函数比例系数k的代数式分别表示的面积，利用求解即可． 【详解】解：如图设与y轴交于点C， 由反比例函数比例系数k的几何意义可知，，， ∵， ∴， ∴ 故选：B． 10.关于的一元二次方程的两个实数根分别为，，则二次函数当时，的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数与不等式之间的关系，二次函数与一元二次方程的关系，根据题意可得二次函数开口向上，与x轴的两个交点坐标为，据此可得答案． 【详解】解：∵二次函数解析式为，， ∴二次函数开口向上， ∵关于的一元二次方程的两个实数根分别为，， ∴二次函数与x轴的两个交点坐标为， ∴当时，的取值范围是或， 故选D． 11.如图，已知二次函数的图象与x轴交于点，与y轴的交点B在和之间（不包括这两点），对称轴为直线．下列结论：①；②；③；④；⑤，其中含所有正确结论的选项是（    ） A．①③⑤ B．②③④ C．②④⑤ D．③④⑤ 【答案】C 【分析】本题主要考查了抛物线与x轴的交点、二次函数图象与系数的关系、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征等知识点，掌握数形结合思想是解题的关键． 由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行分别推理，进而逐项判断即可． 【详解】解：①由抛物线开口向上，则， ∵点B在和之间， ∴， ∴，①错误； ②∵， ∴， ∴，故②正确； ③∵抛物线过， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故③错误； ④∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，故④正确； ⑤∵图象与y轴的交点B在和之间， ∴， ∵， ∴， ∴，故⑤正确． 故选：C． 12.为了预防“流感”，某学校对教室采取“药熏”消毒内每立方米的含药量（毫克）与时间（分）成正比例；药物燃烧结束后，与成反比例．这两个变量之间的关系如图所示．说法错误的是（   ） A．第8分钟后，教室内的含药量逐渐减小 B．第12分钟时，教室内的含药量为4毫克/立方米 C．第50分钟时，教室内含药量为0毫克 D．教室内含药量不低于3毫克/立方米的持续时间为12分钟 【答案】C 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数的应用，理解题意，结合函数图象获得所需信息是解题关键．根据图象可知，第8分钟后，教室内的含药量逐渐减小，即可判断选项A；利用待定系数法解得当时和时，关于的函数解析式，再将代入并求值，即可确定第12分钟时，教室内的含药量，即可判断选项B；将代入并求值，可知第50分钟时，教室内含药量为毫克/立方米，即可判断选项C；若，分别求得和阶段的值，可求得教室内含药量不低于3毫克/立方米的持续时间，即可判断选项D． 【详解】解：根据图象可知，第8分钟后，教室内的含药量逐渐减小， 故选项A正确，不符合题意； 当时，设直线解析式为， 将点代入，可得，解得， 所以此阶段关于的函数解析式为， 当时，设此阶段关于的函数解析式为， 将点代入，可得，解得， 所以此阶段关于的函数解析式为， 故当时，可有（毫克/立方米）， 即第12分钟时，教室内的含药量为4毫克/立方米，故选项B正确，不符合题意； 当时，可有（毫克/立方米）， 即第50分钟时，教室内含药量为毫克/立方米，故选项C错误，符合题意； 当时，若，可得，解得（分钟）， 当时，若，可得，解得（分钟）， 则教室内含药量不低于3毫克/立方米的持续时间为分钟，故选项D正确，不符合题意． 故选：C． 13.如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，作直线．D为直线上方抛物线上的一个动点，横坐标为m，过点D作轴于点F，交直线于点E． (1)求点A，B，C的坐标，并直接写出直线的函数表达式． (2)当时，求点D的坐标． 【答案】(1)，，， (2) 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、等腰三角形的三线合一等知识，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键． （1）根据二次函数的性质和待定系数法求解即可得； （2）过点作于点，先求出的长，从而可得点的坐标，再代入二次函数的解析式求解即可得． 【详解】（1）解：对于二次函数， 当时，，解得或， ∴，， 当时，， ∴， 设直线的函数表达式为， 将点，代入得：，解得， 则直线的函数表达式为． （2）解：∵， ∴， 如图，过点作于点， 则四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， 又∵， ∴， ∵为直线上方抛物线上的一个动点，横坐标为，轴于点， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 将点代入得：， 解得或（不符合题意，舍去）， ∴点的坐标为． 14.某商场经销一种儿童玩具，该种玩具的进价是每个元，经过一段时间的销售发现，该种玩具每天的销售量y（个）与每个的售价x（元）之间的函数关系如图所示．    (1)求y关于x的函数关系式，并求出当某天的销售量为个时，该玩具的销售利润； (2)每天的销售量不低于个的情况下，若要每天获得的销售利润最大，求该玩具每个的售价是多少？最大利润是多少？ (3)根据物价部门规定，这种玩具的售价每个不能高于元．该商场决定每销售一个这种玩具就捐款n元（），捐款后发现，该商场每天销售这种玩具所获利润随售价的增大而增大，求n的取值范围． 【答案】(1)当某天的销售量为个时，该玩具的销售利润元 (2)要每天获得的销售利润最大，该玩具每个的售价是元，最大利润为元 (3) 【分析】（1）设，由题意知，图象过，两点，待定系数法求得解析式为，当时，，解得，根据利润为：，计算求解即可； （2）由题意得，，即，设每天的销售利润为W（元），依题意得， ，然后根据二次函数的图象与性质求解作答即可； （3）设捐款后每天所获得的利润为Q（元），依题意得，，则抛物线的对称轴为直线，由，可知当时，Q随x的增大而增大．由物价部门规定这种玩具的售价每个不能高于元，可得，计算求解然后作答即可． 【详解】（1）解：设， 由题意知，图象过，两点， ∴， 解得， ∴， 当时，， 解得， 利润为：（元）， ∴当某天的销售量为个时，该玩具的销售利润元； （2）解：由题意得，， 解得， 设每天的销售利润为W（元）， 依题意得， ， ∵， ∴当时，W取最大值，最大值为， ∴要每天获得的销售利润最大，该玩具每个的售价是元，最大利润为元； （3）解：设捐款后每天所获得的利润为Q（元）， 依题意得，， ∵抛物线的对称轴为直线，， ∴当时，Q随x的增大而增大． ∵物价部门规定这种玩具的售价每个不能高于元， ∴， 解得， 又∵， ∴． 15.某农场拟建两间矩形饲养室，一面靠现有墙（墙长足够长），中间用一道墙隔开（如图1所示）．已知计划中的材料可建墙体总长米，设两间饲养室合计长（米），总占地面积为（米2）． （1）求关于的函数表达式和自变量的取值范围． （2）现需要设计这两间饲养室各开一扇门（如图2所示），每扇门宽米，门不采用计划中的材料． ①求总占地面积最大为多少米2？ ②如图3所示，离墙米外饲养室一侧准备修一条平行于墙的小路，若拟建的饲养室面积尽量大，饲养室的门口与小路的间隔为多少米？ 【答案】（1），；（2）①当米时，有最大值，最大值为米2，②饲养室的门口与小路的间隔为米． 【分析】（1）根据题意得出函数解析式，求出自变量取值范围即可； （2）①画二次函数解析式为顶点式，即可求解；②由题意可知，解得，再根据①的结论求解即可； 【详解】（1）由题意可知． ， 自变量的取值范围为． （2）①由题意可知 当米时，有最大值，最大值为． ②由题意可知，解得， 由①可知米时，饲养室面积最大，且满足， 当时，， 饲养室的门口与小路的间隔为米． 16.某个农场有一个花卉大棚，是利用部分墙体建造的．其横截面顶部为抛物线型，大棚的一端固定在墙体上，另一端固定在墙体上，其横截面有根支架，，相关数据如图所示，其中支架，，这个大棚用了根支架． 为增加棚内空间，农场决定将图中棚顶向上调整，支架总数不变，对应支架的长度变化，如图所示，调整后与上升相同的高度，增加的支架单价为元/米（接口忽略不计），需要增加经费元． (1)分别以和所在的直线为x轴和y轴建立平面直角坐标系． ①求出改造前的函数解析式． ②当米，求的长度． (2)只考虑经费情况下，求出的最大值． 【答案】(1)①；②米 (2)米 【分析】（1）①设改造前的函数解析式为，根据所建立的平面直角坐标系得到，，，然后代入解析式得到关于、、的方程组，求解即可； ②根据已知条件得到函数的解析式，再利用函数解析式得到、的坐标即可得到结论； （2）根据已知条件表示出、的坐标得到的不等式，进而得到的最大值． 【详解】（1）解：①如图，以为原点，分别以和所在的直线为x轴和y轴建立如图所示的平面直角坐标系， 由题意可知：，，， 设改造前的抛物线解析式为， ∴， 解得：， ∴改造前的抛物线的函数表达式为； ②如图，建立与（1）相同的平面直角坐标系， 由①知改造前抛物线的解析式为， ∴对称轴为直线， 设改造后抛物线解析式为：， ∵调整后与上升相同的高度，且， ∴对称轴为直线，则有， 当时，， ∴， ∴，， ∴改造后抛物线解析式为：， 当时， 改造前：， 改造后：， ∴（米）， ∴的长度为米； （2）如（2）题图，设改造后抛物线解析式为， ∵当时，， 当时，， ∴，， ∴， 由题意可列不等式：， 解得：， ∵， 要使最大，需最小， ∴当时，的值最大，最大值为米． 17.如图，反比例函数的图象与一次函数的图象相交于，两点． (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)点P在线段AB上，且，直接写出点P的坐标； (3)设直线AB交y轴于点C，点是x轴正半轴上的一个动点，过点N作轴交反比例函数的图象于点M，连接CN，OM．若S四边形COMN＞3，直接写出t的取值范围． 【答案】(1)反比例函数的解析式为，一次函数解析式为 (2)点P的坐标为（，） (3)t＞ 【分析】（1）将点B，点A坐标代入反比例函数的解析式，可求a和k的值，利用待定系数法可求一次函数解析式； （2）连接OA，OB，OP，求得OC的长，根据，，求得进而求得点P的坐标； （3）先求出点C坐标，由面积关系可求解． 【详解】（1）∵反比例函数的图象与一次函数的图象相交于，两点， ∴， ∴， ∴点， ∴反比例函数的解析式为， 由题意可得：， 解得：， ∴一次函数解析式为； （2）连接OA，OB，OP， 令代入， 解得， ∴一次函数与轴的交点C坐标为， ∴， ∵点P在线段AB上， ∴设点P为， ∵点A，点B， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴点P的坐标为； （3）∵直线AB交轴于点C， ∴点C， ∴， ∵， ∴， ∴． 18.【发现问题】美丽的大连星海湾跨海大桥，是大连一张亮丽的名片，晚上大桥的灯光秀璀璨夺目．小明通过查阅得知，星海湾大桥（Xinghai Bay Bridge） 是中国辽宁省大连市境内连接甘井子区与西岗区的跨海通道，位于黄海水域上．大连星海湾跨海大桥全长6千米，主桥为双塔三跨地锚式、双层通车悬索桥．主桥长820米，主桥主跨（两个主塔间的距离L）460米，边跨180米，跨径布置为180+460+180=820m． 如图是大桥的主跨，主跨悬索矢跨比（S：L）约为，悬索的最低处直接和桥梁相连，悬索和桥梁之间的吊杆间距10m，由于桥梁中间有车辆通过，灯光秀的光源放置在距桥梁上沿下方21米的桥梁中． 【提出问题】星海大桥主跨上的吊杆的高度与它距最低点的水平距离有怎样的数量关系? 【分析问题】小明了解到，大桥主跨上连接两座主塔之间的悬索可以看成是抛物线的一部分，结合二次函数相关内容和查阅到的相关数据，建立适当的坐标系，就可以求出这条抛物线表示的二次函数，便可解决问题． 【解决问题】小明利用查阅到的相关数据，为解题方便，小明以抛物线的顶点（大桥主跨上悬索的最低点）为原点，以主跨的中轴为y轴，建立平面直角坐标系（如图3）． (1)请直接写出以下问题的答案： ①右侧悬索最高点B的坐标； ②y与x的函数解析式； ③最长的吊杆的长度； (2)某游客在远处海滩正对大桥主跨的位置，看到一个由多辆彩车组成的150米的车队，车队以50米/分的速度通过大桥主跨，彩车高于桥梁部分均为6.9米．在彩车通过大桥主跨过程中，该游客在悬索上方能看到彩车的时间是否超过6分钟； (3)如图3，灯光秀中一个射灯光源C（，），位于悬索最低点左下方，即距悬索最低点的水平距离为70米的地方，它所发出的射线状光线，刚好经过右侧悬索的最高点B，现在想在这个光源的水平右侧再放置一个同样的平行光源，应该在什么范围内放置，才能保证该光源所射出的光线照到右侧悬索上? 【答案】(1)①；②；③63m (2)不超过6分钟 (3)光源应放在和之间 【分析】（1）①作轴于D点，由题意得，根据求出S的值，即可得的长，由此可得B点的坐标； ②设，将B点坐标代入，求出a的值，即可得抛物线的表达式； ③设最长的吊杆为，由题意得，代入表达式中求出y的值，即可得的长，即吊杆的长． （2）作轴，交抛物线于M、N两点，则，求出M、N两点的横坐标，进而可得的长，再求出游客在悬索上方能看到彩车的时间，即可判断结果． （3）设光源放在G点时，光线与悬索只有一个交点，先求出直线的表达式为，由可知直线与直线的k相同，设直线的表达式为，联立抛物线和直线的表达式可得，由，求出m的值为，由此可得直线的表达式为，求出G点的坐标即可得到答案． 【详解】（1）①如图，作轴于D点， 由题意得， ， ， ， ， ∴点B的坐标为； ②设， 把代入得， 解得， ∴y与x的函数解析式为：； ③如图，设最长的吊杆为EF， ∵吊杆间距10m， ∴， ， 由得，时，， ， ∴最长的吊杆的长度约为63m． （2）如图，作轴，交抛物线于M、N两点， 由题意知，代入抛物线解析式得， 解得，， ，， ， ∴游客在悬索上方能看到彩车的时间为：， ∴游客在悬索上方能看到彩车的时间不超过6分钟． （3） 设光源放在G点时，光线与悬索只有一个交点， 设直线的表达式为，则 ， 解得， ∴直线的表达式为：． ， ∴直线与直线的k相同， 设直线的表达式为， 联立， 得， 整理得， ∵直线与抛物线只有一个交点， ， 解得， ∴直线的表达式为． 当时，， 解得， ∴， ∴光源应放在和之间，才能保证该光源所射出的光线照到右侧悬索上． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $