第三单元 分数除法（期中知识清单）数学人教版六年级上册（新教材）

人教版·新教材六年级数学上册 第三单元：分数除法（期中复习讲义） 知识点01：倒数的认识 1．倒数的意义：乘积是1的两个数互为倒数。 2．倒数的性质 （1）1的倒数是1； （2）0没有倒数； （3）真分数的倒数大于1； （4）假分数的倒数小于或等于1； （5）带分数的倒数小于1。 3．求倒数的方法 （1）分数的倒数：交换分子和分母的位置。 （2）整数（0 除外）的倒数：先把整数看成分母是1的分数，再交换分子和分母。 （3）小数的倒数：先把小数化成分数，再求倒数。 【易错点】 （1）避免混淆“互为倒数”的表述，强调“互为”，即若a×b=1，则a是b的倒数，b也是a的倒数，不能单独说“某数是倒数”。 （2）0 没有倒数，这是高频易错点，需重点记忆；1的倒数容易误写成其他数，要明确1的倒数是自身。 （3）求带分数的倒数时，必须先把带分数化成假分数，再交换分子分母，不能直接对带分数的整数部分和分数部分颠倒。 知识点02：分数除法运算 1．一个数除以整数 （1）分数的平均分：把一个数平均分成整数份，求其中的几份就是求这个数的几分之几是多少。 （2）一个数除以整数的计算方法 方法一（平均分思路）：用分子除以整数，分母不变（仅适用于分子能被整数整除的情况）。 方法二（通用思路）：转化为乘法，即分数除以整数（0除外），等于分数乘这个整数的倒数。 【易错点】 （1）整数必须不为0，因为0不能作除数，这是除法的基本规则，需始终牢记。 （2）方法一有局限性，当分子不能被整数整除时，必须用方法二，因此优先掌握 “乘倒数” 的通用方法。 （3）计算时要注意约分时机：可先约分再计算，避免计算后分子分母过大导致结果不是最简分数。 2．一个数除以分数 （1）定义：一个数除以分数，表示已知一个数的几分之几是多少，求这个数；或表示求一个数里包含几个另一个分数。 （2）计算法则：一个数除以一个不为0的分数，等于这个数乘该分数的倒数。 【易错点】 （1）必须确保除数（分数）不为0，且转化为乘法时，是“乘除数的倒数”，不是“乘被除数的倒数”。 （2）计算过程中，能约分的要先约分，最后结果需化为最简分数或整数。 （3）小数除以分数时，若小数能和分数的分母直接约分，也可直接计算，但优先推荐将小数化成分数，避免小数与分数约分出错。 3．商与被除数的大小关系 （1）一个数（0除外）除以小于1的数，商大于被除数； （2）一个数（0除外）除以1，商等于被除数； （3）一个数（0除外）除以大于1的数，商小于被除数。 【易错点】前提是“除数不为 0”。 知识点03：分数四则混合运算 1．运算顺序：与整数四则混合运算顺序一致，遵循 “先算乘除，后算加减；有括号的先算括号里的，再算括号外的；同级运算（只有乘除或只有加减）从左往右依次计算”。 2．简便运算：整数的运算定律（加法交换律、结合律，乘法交换律、结合律、分配律）同样适用于分数四则混合运算。 【易错点】 （1）严格遵循运算顺序，不可随意颠倒“先乘除后加减”的规则。 （2）运用运算定律简便计算时，要注意符号和数字的对应。 （3）计算过程中，分数的加减需先通分，乘除需注意约分，最后结果要化为最简分数，避免出现“假分数未化带分数”“分数未约分”等问题。 知识点04：解决问题 类型1：已知一个数的几分之几是多少，求这个数 1．计算公式：已知量÷已知量占单位“1”的几分之几＝单位“1”的量 2．解题思路 （1）先找单位“1”（未知，通常是“的”字前面的量）； （2）确定已知量（即已知的具体数量）； （3）找已知量对应分率（即已知量占单位“1”的几分之几）； （4）用公式求单位“1”。 【易错点】 （1）找单位“1”是关键，常见的单位“1” 标志词有“是”“占”“比”“相当于” 等，其后的量通常是单位“1”。 （2）避免将“已知量”与“几分之几”的位置颠倒。 类型2：已知比一个数多（或少）几分之几的数是多少，求这个数 1．计算公式 （1）已知比一个数多几分之几的数是多少，求这个数：已知量 ÷（1+几分之几）＝单位‘1’的量； （2）已知比一个数少几分之几的数是多少，求这个数：已知量÷（1－几分之几）＝单位‘1’的量。 2．解题思路：先确定单位“1”（“比” 后面的量），明确“多（或少）几分之几”是“比单位‘1’多（或少）单位‘1’的几分之几”，即已知量对应的分率是“1 +几分之几”（多）或“1－几分之几”（少），再用方程或算术法求解。 【易错点】 （1）区分“多（或少）几分之几”与“多（或少）具体数量”：前者是分率（无单位），需用“1±分率”找对应关系；后者是具体量（有单位），直接用“已知量±具体量”计算，避免混淆。 （2）列方程时，需明确“单位‘1’的量×（1 ±分率）=已知量”，不可漏“1”。 类型3：已知一部分量占总量的几分之几及另一部分量，求总量 1．计算公式：另一部分量÷（1－已知部分量占总量的分率）＝总量 2．解题思路：总量是单位“1”，先求出“另一部分量”占总量的对应分率（用单位“1”减去“已知部分量的分率”），再根据 “分数除法的意义”——“已知一个数的几分之几是多少，求这个数用除法”，用“另一部分量的具体值÷对应分率=总量”。 【易错点】 （1）找准单位“1”：单位“1”一定是“总量”（如绳子原长、总人数、工程总长），不能将“部分量”当作单位“1”。 （2）分率与具体量必须对应：必须确保“另一部分量的具体值”和“它对应的分率” 匹配。 类型4：两人合作的工程问题 （1）基本模型：工程问题通常将工作总量看作单位“1”，工作效率表示为“单位时间内完成工作总量的几分之几”。 （2）核心公式： ①单人效率：工作效率=1÷单独用时 ②合作效率：效率和=甲工作效率+乙工作效率 ③合作时间：合作时间=1÷效率和 【易错点】 （1）效率是分数，对应每天完成几分之一； （2）不可把天数直接相加减，必须先求效率； （3）多个人合作同理，全部效率相加再除1； （4）有休息、分段施工题目，分段计算工作量再合并。 考点01：倒数的认识 【典型例题】已知均为自然数，如果互为倒数，那么2024＋2mn＝（ ）；如果没有倒数，那么（ ）。 【答案】 2026 2024 【分析】互为倒数的两个数乘积为1，如果互为倒数，那么mn＝1，代入计算得出2024＋2mn的值；0为自然数且没有倒数，如果没有倒数，那么n＝0，代入计算得2024＋2n的值。 【详解】如果互为倒数，那么mn＝1； 2024＋2mn ＝2024＋2×1 ＝2026 如果没有倒数，那么n＝0； 2024＋2n ＝2024＋2×0 ＝2024 已知均为自然数，如果互为倒数，那么2024＋2mn＝2026；如果没有倒数，那么2024。 【练习1】0.8的倒数是（ ）；的倒数是（ ）。 【答案】 1.25// 【分析】先把小数化为分数，再把带分数化成假分数，然后颠倒分子分母就能得到对应数的倒数。 【详解】①0.8＝，0.8的倒数是； ②，的倒数是。 【练习2】如果x、y互为倒数，那么（ ），（ ）。 【答案】 72 【分析】题目明确说明x、y互为倒数，根据倒数的定义，互为倒数的两个数乘积为1，也就是可以直接得到隐含条件。 ①利用分数乘法的计算规则：分数相乘时分子相乘的积作为新分子、分母相乘的积作为新分母，把算式变形为和相关的形式，再代入就能算出结果。 ②同样按照分数乘法的计算规则变形，结合的条件代入计算即可。 【详解】①，把代入，； ②，把代入，。 考点02：分数除以整数 【典型例题】为践行“以劳育人，勤以养正”理念，某校开展采茶劳动教育活动。笑笑共采茶小时，平均每小时采茶千克，她要将采的茶叶平均分给三个好朋友，每个好朋友分得多少千克茶叶？ 【答案】千克 【分析】平均每小时采茶×采茶时间＝茶叶总质量，茶叶总质量÷人数＝每个好朋友分得质量。 【详解】 （千克） 答：每个好朋友分得千克茶叶。 【练习1】就是把平均分成（ ）份，求每份是多少，也就是求的（ ）是多少，用乘法算式表示为（ ）。 【答案】 2 【分析】中，除数是2，表示把平均分成2份，求每份是多少；把平均分成2份，求其中的1份，也就是求的是多少；求一个数的几分之几是多少，用乘法计算。 【详解】就是把平均分成2份，求每份是多少，也就是求的是多少，用乘法算式表示为。 【练习2】想一想，（    ）里能填整数几？ ； 。 【答案】； 【分析】根据分数除法的计算规则，除以一个不为0的整数等于乘这个整数的倒数，先把除法转化成乘法；再根据分数乘分数，分子相乘的积作分子，分母相乘的积作分母，能约分的先约分再计算，进而确定被除数的分母和商的分子。 【详解】（1）由可得，即 因为被除数的分母×5＝45，45÷5＝9，所以被除数的分母为9；7×1＝7，所以商的分子为7，即。 （2）由可得，即，约分得。 因为被除数的分母×2＝14，14÷2＝7，所以被除数的分母为7；商的分子为1，即。 考点03：一个数除以分数 【典型例题】（填小数）。 【答案】16；9；21；0.75 【分析】除数＝被除数÷商，据此计算出除数； 被除数＝商×除数，据此计算出被除数； 利用分数的基本性质，分子分母同时乘同一个不为0的数，分数的大小不变，据此计算出分子； 用分子除以分母，结果用小数表示。 【详解】； ； ； 。 【练习1】如果（a、b≠0），那么a（     ）b。 A．＞ B．＝ C．＜ 【答案】B 【分析】先将分数除法转化为分数乘法，再根据等式的性质化简等式，推导a和b的关系。 【详解】1．根据分数除法的计算法则，把等式右侧的除法转化为乘法： 2．原等式可改写为： 3．等式两边同时除以，得： 4．因为（a、b≠0），本题默认a、b均为正数（小学阶段分数的分子与分母均取正值），所以等式两边同时乘以ab得：，即。 综上所述，应选B。 【练习2】直接写出得数。                                                 【答案】；；；； ；；；； ；；； 考点04：商与被除数的大小关系 【典型例题】在（    ）里填上“＞”“＜”或“＝”。 （ ）         （ ） （ ）         （ ） 【答案】 ＝ ＜ ＞ ＞ 【分析】（1）利用分数除法法则，除以一个数等于乘它的倒数进行比较。 （2）一个不为0的数，除以大于1的数，商小于被除数。 （3）一个不为0的数，除以小于1（0除外）的数，商大于被除数。 （4）把除法转化成乘法，比较两个不同乘数的大小，判断结果大小。 【详解】（1）3的倒数是，所以＝。 （2）因为6＞1，所以＜。 （3）因为＜1，所以＞。 （4）＝，，所以＞。 【练习1】不计算，判断下面四道算式的结果，其中最大的是（     ）。 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】一个非零正数乘大于1的数，结果大于它本身；乘小于1的数，结果小于它本身。同一个数乘的数越大，乘积越大。 【详解】将所有除法转化为乘法： A． B．，，结果小于888，排除。 C． D．，，结果小于888，排除。 通分比较和： ， ，即，所以A的结果最大。 【练习2】已知，那么的结果（     ）。 A．大于 B．小于 C．等于 【答案】B 【分析】一个不为0的数乘一个数，如果积大于它本身，说明这个乘数大于1；再根据“一个不为0的数除以大于1的数，商小于原数”来判断结果大小。 【详解】已知，可得a＞1 所以 考点05：分数四则混合运算与简便运算 【典型例题】某工程队修了一条长1000米的路，6天修了全长的。照这样的速度，剩下的还需要修多少天？ 小乐画了线段图理解数量关系，列出式子，其中表示_______________；表示________________。 【答案】 未修部分占全长的分数 每天修的路占全长的分数 【分析】6天修了全长的，全长为单位“1”，用已修全长的分数除以时间，可以得到每天修全长的分数，所以（÷6）表示每天修的路占全长的分数。 这条路的长度是单位“1”，剩余全长的分数用“1”减去已修全长的分数，所以（1－）表示未修部分占全长的分数。 【详解】6天修了全长的，全长为单位“1”，1－＝，则未修部分占全长的。 则每天修的路占全长的。 （天） 则剩下的还需要修4天。 由此可得，小乐画了线段图理解数量关系，列出式子，其中（1－）表示未修部分占全长的分数；（÷6）表示每天修的路占全长的分数。 【练习1】计算时，要先算（ ）法，再算（ ）法，最后算（ ）法，结果是（ ）。 【答案】 加 除 乘 【分析】根据分数四则运算的规则：有括号要先算括号里面的，括号外的同级运算（除法和乘法属于同一级运算）要从左到右依次计算。 【详解】 ＝ ＝ ＝ ＝ 【练习2】计算下面各题，能简算的要简算。            【答案】；； 【分析】（1）先把除法转化为乘法，再利用乘法分配律，提取相同因数，简化计算。 （2）利用乘法分配律，把括号外的数分别乘括号里的两个加数，再相加，简化计算。 （3）先把除法转化为乘法，观察发现后面两个分数互为倒数，相乘等于1，利用乘法结合律先算后两个的乘积，简化运算。 【详解】（1） ＝ ＝ ＝ ＝ （2） ＝ ＝ ＝ （3） ＝ ＝ ＝ ＝ 考点06：已知一个数的几分之几是多少，求这个数 【典型例题】妈妈买来一袋面粉，吃了15千克，正好吃了这袋面粉的。这袋面粉重多少千克？ 【答案】25千克 【分析】把这袋面粉的重量看作单位“1”，正好吃了15千克占这袋面粉的，单位“1”未知，用吃了的重量除以，求出这袋面粉的重量。 【详解】15÷ ＝15× ＝25（千克） 答：这袋面粉重25千克。 【练习1】六（3）班男生有24人，___________，六（3）班女生有多少人？列式为即可解答。横线上应该补充的条件是（     ）。 A．女生人数是男生人数的 B．女生人数是全班人数的 C．男生人数是金班人数的 D．男生人数是女生人数的 【答案】D 【分析】已知一个数的几分之几是多少，求这个数时，用除法计算，其中被除数是已知的对应数量，除数是已知数量占单位“1”的分率，计算结果为单位“1”的未知量。根据题目给出的列式为，其中24是男生人数，说明男生人数是占单位“1”的，且单位“1”的量是未知的，也就是所求的女生人数。逐一验证选项，选出正确的选项即可。 【详解】A．求女生人数，列式为：，与原题列式不符，因此A选项不正确。 B．结合该条件求女生人数，列式为：，与原题列式不符，因此B选项不正确。 C．求全班的人数，列式为：，与原题所求不符，因此C选项不正确。 D．求女生人数，列式为：，与原题相符，因此D选项正确。 【练习2】种植场种西红柿公顷，相当于种黄瓜面积的，种黄瓜（ ）。 A．公顷 B．公顷 C．公顷 【答案】B 【分析】把黄瓜的面积看作单位“1”，黄瓜面积的等于西红柿的面积公顷，单位“1”未知，已知对应量和对应分率，求单位“1”用除法计算。 【详解】÷ ＝× ＝（公顷） 考点07：已知比一个数多（或少）几分之几的数是多少，求这个数 【典型例题】李阿姨要做440个布娃娃，第一周做了一部分，比剩下的多，李阿姨第一周做了多少个布娃娃？ 【答案】240个 【分析】已知第一周做了一部分，比剩下的多，把剩下的布娃娃数量看作单位“1”，则第一周做的布娃娃数量是剩下的（1＋），那么要做的布娃娃总数量占剩下的（1＋＋1），单位“1”未知，用要做的布娃娃总数量除以（1＋＋1），求出剩下的布娃娃数量；最后用布娃娃总数量减去剩下的数量，求出第一周做布娃娃的数量。 【详解】剩下布娃娃的数量： 440÷（1＋＋1） ＝440÷ ＝440× ＝200（个） 第一周做了：440－200＝240（个） 答：李阿姨第一周做了240个布娃娃。 【练习1】下面图（     ）的问题可以用来解答。 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】算式表示求比48少的数是多少，据此逐项分析得出结论。 【详解】A．表示实际是48万元，比计划少，求计划是多少万元。正确列式：。 B．表示计划是48万元，实际比计划少，求实际是多少万元。正确列式：。 C．表示实际是48万元，比计划多，求计划是多少万元。正确列式： D．表示计划是48万元，实际比计划多，求实际是多少万元。正确列式：。 因此的问题可以用来解答。 【练习2】兵马俑博物馆是陕西省西安市的著名景点，每年的3月到11月实行旺季票价120元/人，比淡季票价高，兵马俑博物馆的淡季票价是（ ）元/人。 【答案】90 【分析】已知旺季票价比淡季票价高，把淡季票价看作单位“1”，则旺季票价是淡季票价的（1＋），单位“1”未知，用旺季票价除以（1＋），求出淡季票价。 【详解】120÷（1＋） ＝120÷ ＝120× ＝90（元/人） 考点08：已知一部分量占总量的几分之几及另一部分量，求总量 【典型例题】要制作一些彩旗，已经做了，还剩30面没做完。一共要制作多少面彩旗？ （先写出等量关系式再解答。） 【答案】等量关系式：一共要制作的彩旗总面数×（1－）＝还剩的彩旗面数；180面 【分析】把彩旗总面数看作单位“1”，已做的占，剩下的占总面数的（1－），对应剩下30面，用剩余数量除以对应分率即可求出总面数。 【详解】等量关系式：一共要制作的彩旗总面数×（1－）＝还剩的彩旗面数 30÷（1－） ＝30÷ ＝30×6 ＝180（面） 答：一共要制作180面彩旗。 【练习1】小明网购一箱芒果，吃掉它的后，还剩1千克，这箱芒果重（ ）千克。 【答案】4 【分析】把这箱芒果的总重量看作单位1，吃掉了它的，还剩，已知还剩1千克，已知一个数的几分之几是多少，求这个数用除法。 【详解】（千克） 【练习2】有一个大木桶装满了水，第一次倒出了，第二次倒出了12千克，还剩下18千克，这桶水原来有（ ）千克。 【答案】50 【分析】第二次倒出的12千克加上最后剩下的18千克，一共是12＋18＝30千克。把整桶水看作单位“1”，这30千克对应的是整桶水倒出之后剩下的部分，也就是整桶水的。那么整桶水的总重量就是用30除以。 【详解】12＋18＝30（千克） 30÷（） ＝30÷ ＝30× ＝50（千克） 考点09：两人合作的工程问题 【典型例题】欣欣工厂计划生产一批防护服，1号车间单独做需要10天完成，2号车间单独做需要12天完成，3号车间单独做需要15天完成。1号车间先做2天，剩下的由2号车间和3号车间合作生产，几天可以完成？ 【答案】天 【分析】把这批防护服的总工作量看作单位“1”，先求出各车间的工作效率，算出1号车间2天的工作量后得到剩余工作量，用剩余工作量除以2号、3号车间的效率和，即可求出合作时间。 【详解】将工作总量看作单位“1”。 1号车间工作效率： 2号车间工作效率： 3号车间工作效率： 1号车间2天完成的工作量： 剩余工作量： 2、3号车间合作效率和： 合作所需时间： （天） 答：天可以完成。 【练习1】一批货物，甲车单独运需6小时运完，乙车单独运需要9小时运完。 （1）如果甲、乙两车合运这批货物的，那么需要运几小时？ （2）如果甲、乙两车合运3小时，那么还剩下这批货物的几分之几？ 【答案】（1）2小时 （2） 【分析】（1）把这批货物的总工作量看作单位“1”，根据“工作效率＝工作总量÷工作时间”，分别求出甲车和乙车的工作效率，将两个工作效率相加得到两车合作的工作效率，再根据“工作时间＝工作总量÷工作效率”，用要运的工作量除以合作的工作效率，即可求出需要运的时间。 （2）根据“工作总量＝工作效率×工作时间”，求出两车合运3小时完成的工作量，最后用单位“1”减去已经完成的工作量，即可求出剩下这批货物的几分之几。 【详解】（1）甲车工作效率：1÷6＝ 乙车工作效率：1÷9＝ 合作效率：＋ ＝＋ ＝ ÷ ＝× ＝2（小时） 答：需要运2小时。 （2）3小时完成：×3＝ 剩下：1－＝ 答：还剩下这批货物的。 【练习2】加工一批零件，甲单独加工需要4小时，乙单独加工需要5小时。如果两人合作，多长时间能完成这批零件的？ 【答案】小时 【分析】把这批零件的总量看作单位“1”，根据工作效率＝工作量÷工作时间，用1÷4，1÷5，先分别求出甲、乙的工作效率，再根据工作时间＝工作量÷工作效率，用需要完成的工作量除以甲、乙的工作效率和，即可解答。 【详解】1÷4＝；1÷5＝ ÷（＋） ＝÷（＋） ＝÷ ＝× ＝（小时） 答：小时能完成这批零件的。 一、选择题 1．下面的各组数中，互为倒数的一组是（     ）。 A．和 B．和 C．0.4和 【答案】A 【分析】乘积是1的两个数互为倒数。计算各选项中两个数的乘积，判断是否等于1即可。 【详解】A．，，符合互为倒数的要求。 B．，，不符合要求。 C．，，不符合要求。 2．在解释“除以一个不为零的数等于乘它的倒数”时，同学们举了不同的例子，其中解释合理的有（     ）。 ① ② ③ 分数除以整数 整数除以分数 整数除以整数 A．只有①② B．只有③ C．①②③ 【答案】C 【分析】分数是将整体平均分成若干份，取其中的1份或几份的数，运用正方形格子，小长方形，圆被平均分，通过不同的方法判断除以一个不为零的数等于乘它的倒数是否成立。 【详解】①分数除以整数，把大长方形平均分成3列，取其中的2列，对应数值，再把取出的这部分平均分成4份，求每份是多少，等价于求这个数的是多少，÷4＝×，这个解释，完全符合。 ②整数除以分数，图中表示1里包含3个，也就是1÷＝3，那么4里面就有4个这样的3个，因此，4÷＝4×3，这个推导符合规律。 ③整数除以整数，把每个圆都平均分成4份。每一小份是，把5个圆各自的1小份取出，总共就得到5个，也就是5×，因此，5÷4＝5×，这个解释同样正确。 ①②③正确。 3．如果（a、b≠0），那么a（     ）b。 A．大于 B．小于 C．等于 【答案】B 【分析】先把除法转化为乘法，两道乘法算式有相同因数，根据积的大小，比较另外两个因数，判断a、b大小。 【详解】把右边除法换成乘法： 因为＞ 又因为与都有一个因数相同的因数，所以＞。 说明大于1，所以b＞a，即a小于b。 4．已知甲绳的长度比乙绳多，以下说法错误的是（     ）。 A．甲绳比乙绳长 B．多的部分是乙绳的 C．乙绳比甲绳短 【答案】C 【分析】根据题意可知，甲绳的长度比乙绳多，即将乙绳长度看作单位“1”，平均分成5份，甲绳比乙绳多的部分占3份，因此甲绳总长度为5＋3＝8（份）；根据甲绳的份数与乙绳的份数，比较甲绳与乙绳的长度；再用甲绳比乙绳多的份数除以乙绳份数，求出甲绳多的部分是乙绳的几分之几；用乙绳比甲绳少的份数，除以甲绳的份数，求出乙绳比甲绳短几分之几，进而解答。 【详解】把乙绳长度平均分成5份，甲绳的长度比乙绳多，甲绳比乙绳长3份，则甲绳长度为5＋3＝8（份）。 A．8＞5，甲绳比乙绳长，原说法正确。 B．3÷5＝，多的部分是乙绳的，原说法正确。 C．3÷8＝，乙绳比甲绳短，原说法错误。 说法错误的是乙绳比甲绳短。 5．下面问题不能用算式来解决的是（    ）。 A． B． C． 【答案】B 【分析】算式的含义：总量是24，去掉总量的，求剩下的部分。由此逐一分析选项即可。 【详解】A．女生24人，男生比女生少，求男生人数。男生人数＝，可以用这个算式，不符合题意； B．全长24米，还剩没有修，问号求剩下没修的长度。剩下长度＝，不能用，符合题意； C．一桶油24千克，用了，求还剩多少千克。剩下质量＝，可以用这个算式，不符合题意。 二、填空题 6．吨的是（ ）吨；（ ）米的是米；千克的是（ ）千克；平方米的（ ）是平方米。 【答案】 /0.125 /0.125 【分析】①求一个数的几分之几是多少，用乘法计算，用乘即可； ②已知一个数的几分之几是多少，求这个数，用除法计算，用除以即可； ③求一个数的几分之几是多少，用乘法计算，用乘即可； ④求一个数是另一个数的几分之几，用除法计算，用除以即可。 【详解】（吨） （米） （千克） （平方米） 7．一个直角三角形的两条直角边分别是和，这个直角三角形的面积是（ ）cm2。 【答案】 【分析】直角三角形的两条直角边互为底和高，可以使用三角形面积公式进行计算；代入后列出分数乘法算式，按照分数乘法的运算法则计算算式得到结果。 【详解】 这个直角三角形的面积是cm2。 8．如果a、b互为倒数，则（ ）；（ ）；（ ）；（ ）。 【答案】 【分析】（）因为a、b互为倒数，所以根据倒数的定义可得，这是解题的突破口。 （）对于分数乘法运算，按照分数乘法法则，分子相乘的积作分子、分母相乘的积作分母，整理式子后将代入计算。 （）对于分数除法运算，先根据除以一个数等于乘它的倒数，把除法转化为乘法，再按照分数乘法法则整理式子，最后将代入计算。 【详解】已知;、互为倒数，即 ① ② ③ ④ 9．苹果的质量比西瓜多，苹果的质量相当于西瓜的。如果苹果有30kg，那么西瓜有（     ）kg。 【答案】；24 【分析】已知苹果的质量比西瓜多，则把西瓜的质量看作单位“1”，苹果的质量是西瓜的（1＋），已知比较量和分率，求单位“1”的量用除法计算，用30÷（1＋）即可求出西瓜的质量。 【详解】1＋＝ 30÷＝30×＝6×4＝24（千克） 因此苹果的质量相当于西瓜的。如果苹果有30千克，那么西瓜有24千克。 10．“人生得意须尽欢，莫使金樽空对月”出自诗仙李白的《将进酒》。“樽”是古代盛酒用的器具。已知一个酒壶内有6升酒，若每樽能装升酒，则这壶酒可以倒满（ ）樽。 【答案】9 【分析】确定题目是求总量里包含多少个单份容量的问题，因为是求6升里有多少个升，所以用除法计算。 整数除以分数，等于整数乘这个分数的倒数。 【详解】（樽） 11．24的是16；（     ）的是12。 【答案】；18 【分析】求24的几分之几是16，就是求16占24的几分之几，用除法计算；求多少的是12，已知一个数的几分之几是多少，求这个数，用除法计算。 【详解】16÷24＝ 12÷＝12×＝18 12．计算时，应先算（ ）法，再算（ ）法，结果是（ ）。 【答案】 除 乘 【分析】同级混合运算，从左往右依次计算即可。 【详解】 计算时，应先算除法，再算乘法，结果是。 13．在算式中，当a（ ）时，商大于；当a（ ）时，商等于；当a（ ）时，商小于。（填“大于1”“小于1”或“等于1”） 【答案】 小于1 等于1 大于1 【分析】一个不为0的数除以小于1的非零数，商会比原来的数大，除以1，商和它本身相等，除以大于1的数，商会比原来的数小。 【详解】根据分析： 当a小于1时，商大于；当a等于1时，商等于；当a大于1时，商小于。 14．水果店运来三种水果，运来的梨是苹果的，橘子是苹果的。如果运来的橘子有160kg，那么运来的梨有（ ）kg。 【答案】180 【分析】已知一个数的几分之几是多少，求这个数用除法；求一个数的几分之几用乘法。根据橘子与苹果的关系，先用除法求出苹果的重量，再用乘法计算梨的重量。 【详解】160÷ ＝160× ＝200（kg） 200×＝180（kg） 因此运来的梨有180kg。 15．中国天文科技发展日新月异，“中国天眼”是全球最大且最灵敏的射电望远镜，超越了美国著名的天文望远镜阿雷西博。“中国天眼”的口径长是500米，是阿雷西博的，则阿雷西博的口径长（ ）米。 【答案】350 【分析】已知“中国天眼”的口径长是500米，是阿雷西博的，把阿雷西博的口径看作单位“1”，单位“1”未知，用“中国天眼”的口径除以，求出阿雷西博的口径。 【详解】500÷ ＝500× ＝350（米） 16．一辆自行车小时可以行驶，这辆自行车每小时行驶（ ）km，行驶1km需要（ ）小时。 【答案】 12 【分析】求每小时行驶的路程，即求速度，速度＝路程÷时间。 求行驶1km需要的时间，用已知的行驶时间除以对应的行驶路程即可。 【详解】（km） （小时） 17．甲小时做了18个零件，乙小时做了15个零件，他们二人中，（ ）的工作效率更高。 【答案】甲 【分析】工作总量÷工作时间＝工作效率，代入数据分别算出甲、乙两人的工作效率。再比较即可。 【详解】18÷＝18×＝27（个） 15÷＝15×＝25（个） 27＞25，那么甲的工作效率更高。 18．甲数是240，乙数比甲数多，乙数是（ ）；乙数是150，比甲数多，甲数是（ ）。 【答案】 384 105 【分析】①确定甲数是单位“1”，因为乙数比甲数多，所以乙数对应的分率是，用甲数乘对应分率即可得到乙数。 ②确定甲数是单位“1”，因为乙数比甲数多，所以乙数对应的分率是，用乙数除以对应分率即可得到甲数。 【详解】① ② 19．某果园在一个网购平台上直播销售，收到不少订单。现在需要工人们去打包，甲单独打包要10小时完成，乙单独打包要15小时完成，丙单独打包要6小时完成，（ ）的工作效率最快，三人一起打包要（ ）小时完成。 【答案】 丙 3 【分析】时间越短，工作效率越快；把总工作量看作单位“1”，根据，分别求出三人的工作效率，再根据，代入数据计算。 【详解】 （小时） 丙的工作效率最快，三人一起打包要3小时完成。 三、计算题 20．直接写出得数。                                 【答案】；；；；    12；；； 21．计算下面各题，能简算的要简算。            【答案】210；； 【分析】（1）先算括号里面的除法，再算括号外面的除法； （2）从左往右按顺序计算，先算除法，再算乘法； （3）除以一个不为0的数等于乘它的倒数，把×＋÷3转化为×＋×，发现前后两项都有相同因数，再利用乘法分配律提取相同因数，简化计算。 【详解】49÷（÷） ＝49÷（×） ＝49÷ ＝49× ＝210 ÷× ＝×× ＝× ＝ ×＋÷3 ＝×＋× ＝（＋）× ＝1× ＝ 四、解答题 22．4个橘子重千克，平均每个橘子重多少千克？ 【答案】千克 【分析】求平均每个橘子的重量，是把总重量平均分成4份，求每份的量，用总重量除以橘子个数计算。 【详解】÷4 ＝× ＝（千克） 答：平均每个橘子重千克。 23．修路队修一条路用了54天，所用的时间比原计划少。原计划多少天修完？ 【答案】60天 【分析】已知实际修路用了54天，比原计划少，把原计划修路用的天数看作单位“1”，实际修路的天数是原计划的（1－），单位“1”未知，用实际修路的天数除以（1－），求出原计划修路的天数。 【详解】54÷（1－） ＝54÷ ＝54× ＝60（天） 答：原计划60天修完。 24．小云带一些钱去买零食，用了18元后还剩这些钱的。 （1）小云带了多少钱？ （2）小云买零食后还剩多少钱？ 【答案】（1）108元 （2）90元 【分析】（1）把小云带的总钱数看作单位“1”，还剩这些钱的，则用掉的钱占总钱数的（1－）；已知用掉18元，单位“1”未知，用对应数量除以对应的分率，求出总钱数。 （2）单位“1”还是小云带的总钱数，剩下的钱占总钱数的，单位“1”已知，用总钱数乘剩下钱对应的分率，求出还剩的钱。 【详解】（1）18÷（1－） ＝18÷ ＝18×6 ＝108（元） 答：小云带了108元。 （2）108×＝90（元） 答：买零食后还剩90元。 25．小青的妈妈今年36岁，妈妈的年龄是爸爸年龄的，小青的年龄是妈妈年龄的。小青和爸爸今年各多少岁？ 【答案】小青今年6岁，爸爸今年40岁。 【分析】求小青年龄时，把妈妈的年龄看作单位“1”，单位“1”已知，用单位“1”的量乘对应分率求出小青年龄；求爸爸年龄时，把爸爸的年龄看作单位“1”，单位“1”未知，用对应量除以对应分率求出爸爸的年龄。 【详解】小青：36×＝6（岁） 爸爸：36÷ ＝36× ＝40（岁） 答：小青今年6岁，爸爸今年40岁。 26．一台播种机小时播种公顷。照这样的速度，这台播种机小时播种多少公顷？ 【答案】公顷 【分析】先用播种的面积除以播种的时间，求出播种机每小时的播种面积；再用每小时播种面积乘播种时间，求出总播种面积。 【详解】÷× ＝×4× ＝× ＝（公顷） 答：这台播种机小时播种公顷。 27．一项工程，甲队独做需要20天完成，乙队独做需要30天完成。甲队工作一段时间后，乙队再加入一起做，这项工程一共用了15天完成，甲、乙两队合作了多少天？ 【答案】7.5天 【分析】把这项工程看作单位“1”，根据工作效率＝工作总量÷工作时间，分别求出甲、乙两队的工作效率；甲从头到尾一共做了15天，用甲的工作效率乘15求出甲15天的工作量，再用工作总量1减去甲完成的工作量，求出乙要完成的工作量，再用乙的工作量除以乙的工作效率，求出乙工作的天数，也就是两队合作的天数。 【详解】甲队每天的工作效率：1÷20＝ 乙队每天的工作效率：1÷30＝ 甲队15天完成的工作量：×15＝ 乙队需要完成的工作量：1－＝ 两队合作的天数：÷ ＝×30 ＝7.5（天） 答：甲、乙两队合作了7.5天。 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 人教版·新教材六年级数学上册 第三单元：分数除法（期中复习讲义） 知识点01：倒数的认识 1．倒数的意义：乘积是1的两个数互为倒数。 2．倒数的性质 （1）1的倒数是1； （2）0没有倒数； （3）真分数的倒数大于1； （4）假分数的倒数小于或等于1； （5）带分数的倒数小于1。 3．求倒数的方法 （1）分数的倒数：交换分子和分母的位置。 （2）整数（0 除外）的倒数：先把整数看成分母是1的分数，再交换分子和分母。 （3）小数的倒数：先把小数化成分数，再求倒数。 【易错点】 （1）避免混淆“互为倒数”的表述，强调“互为”，即若a×b=1，则a是b的倒数，b也是a的倒数，不能单独说“某数是倒数”。 （2）0 没有倒数，这是高频易错点，需重点记忆；1的倒数容易误写成其他数，要明确1的倒数是自身。 （3）求带分数的倒数时，必须先把带分数化成假分数，再交换分子分母，不能直接对带分数的整数部分和分数部分颠倒。 知识点02：分数除法运算 1．一个数除以整数 （1）分数的平均分：把一个数平均分成整数份，求其中的几份就是求这个数的几分之几是多少。 （2）一个数除以整数的计算方法 方法一（平均分思路）：用分子除以整数，分母不变（仅适用于分子能被整数整除的情况）。 方法二（通用思路）：转化为乘法，即分数除以整数（0除外），等于分数乘这个整数的倒数。 【易错点】 （1）整数必须不为0，因为0不能作除数，这是除法的基本规则，需始终牢记。 （2）方法一有局限性，当分子不能被整数整除时，必须用方法二，因此优先掌握 “乘倒数” 的通用方法。 （3）计算时要注意约分时机：可先约分再计算，避免计算后分子分母过大导致结果不是最简分数。 2．一个数除以分数 （1）定义：一个数除以分数，表示已知一个数的几分之几是多少，求这个数；或表示求一个数里包含几个另一个分数。 （2）计算法则：一个数除以一个不为0的分数，等于这个数乘该分数的倒数。 【易错点】 （1）必须确保除数（分数）不为0，且转化为乘法时，是“乘除数的倒数”，不是“乘被除数的倒数”。 （2）计算过程中，能约分的要先约分，最后结果需化为最简分数或整数。 （3）小数除以分数时，若小数能和分数的分母直接约分，也可直接计算，但优先推荐将小数化成分数，避免小数与分数约分出错。 3．商与被除数的大小关系 （1）一个数（0除外）除以小于1的数，商大于被除数； （2）一个数（0除外）除以1，商等于被除数； （3）一个数（0除外）除以大于1的数，商小于被除数。 【易错点】前提是“除数不为 0”。 知识点03：分数四则混合运算 1．运算顺序：与整数四则混合运算顺序一致，遵循 “先算乘除，后算加减；有括号的先算括号里的，再算括号外的；同级运算（只有乘除或只有加减）从左往右依次计算”。 2．简便运算：整数的运算定律（加法交换律、结合律，乘法交换律、结合律、分配律）同样适用于分数四则混合运算。 【易错点】 （1）严格遵循运算顺序，不可随意颠倒“先乘除后加减”的规则。 （2）运用运算定律简便计算时，要注意符号和数字的对应。 （3）计算过程中，分数的加减需先通分，乘除需注意约分，最后结果要化为最简分数，避免出现“假分数未化带分数”“分数未约分”等问题。 知识点04：解决问题 类型1：已知一个数的几分之几是多少，求这个数 1．计算公式：已知量÷已知量占单位“1”的几分之几＝单位“1”的量 2．解题思路 （1）先找单位“1”（未知，通常是“的”字前面的量）； （2）确定已知量（即已知的具体数量）； （3）找已知量对应分率（即已知量占单位“1”的几分之几）； （4）用公式求单位“1”。 【易错点】 （1）找单位“1”是关键，常见的单位“1” 标志词有“是”“占”“比”“相当于” 等，其后的量通常是单位“1”。 （2）避免将“已知量”与“几分之几”的位置颠倒。 类型2：已知比一个数多（或少）几分之几的数是多少，求这个数 1．计算公式 （1）已知比一个数多几分之几的数是多少，求这个数：已知量 ÷（1+几分之几）＝单位‘1’的量； （2）已知比一个数少几分之几的数是多少，求这个数：已知量÷（1－几分之几）＝单位‘1’的量。 2．解题思路：先确定单位“1”（“比” 后面的量），明确“多（或少）几分之几”是“比单位‘1’多（或少）单位‘1’的几分之几”，即已知量对应的分率是“1 +几分之几”（多）或“1－几分之几”（少），再用方程或算术法求解。 【易错点】 （1）区分“多（或少）几分之几”与“多（或少）具体数量”：前者是分率（无单位），需用“1±分率”找对应关系；后者是具体量（有单位），直接用“已知量±具体量”计算，避免混淆。 （2）列方程时，需明确“单位‘1’的量×（1 ±分率）=已知量”，不可漏“1”。 类型3：已知一部分量占总量的几分之几及另一部分量，求总量 1．计算公式：另一部分量÷（1－已知部分量占总量的分率）＝总量 2．解题思路：总量是单位“1”，先求出“另一部分量”占总量的对应分率（用单位“1”减去“已知部分量的分率”），再根据 “分数除法的意义”——“已知一个数的几分之几是多少，求这个数用除法”，用“另一部分量的具体值÷对应分率=总量”。 【易错点】 （1）找准单位“1”：单位“1”一定是“总量”（如绳子原长、总人数、工程总长），不能将“部分量”当作单位“1”。 （2）分率与具体量必须对应：必须确保“另一部分量的具体值”和“它对应的分率” 匹配。 类型4：两人合作的工程问题 （1）基本模型：工程问题通常将工作总量看作单位“1”，工作效率表示为“单位时间内完成工作总量的几分之几”。 （2）核心公式： ①单人效率：工作效率=1÷单独用时 ②合作效率：效率和=甲工作效率+乙工作效率 ③合作时间：合作时间=1÷效率和 【易错点】 （1）效率是分数，对应每天完成几分之一； （2）不可把天数直接相加减，必须先求效率； （3）多个人合作同理，全部效率相加再除1； （4）有休息、分段施工题目，分段计算工作量再合并。 考点01：倒数的认识 【典型例题】已知均为自然数，如果互为倒数，那么2024＋2mn＝（ ）；如果没有倒数，那么（ ）。 【练习1】0.8的倒数是（ ）；的倒数是（ ）。 【练习2】如果x、y互为倒数，那么（ ），（ ）。 考点02：分数除以整数 【典型例题】为践行“以劳育人，勤以养正”理念，某校开展采茶劳动教育活动。笑笑共采茶小时，平均每小时采茶千克，她要将采的茶叶平均分给三个好朋友，每个好朋友分得多少千克茶叶？ 【练习1】就是把平均分成（ ）份，求每份是多少，也就是求的（ ）是多少，用乘法算式表示为（ ）。 【练习2】想一想，（    ）里能填整数几？ ； 。 考点03：一个数除以分数 【典型例题】（填小数）。 【练习1】如果（a、b≠0），那么a（     ）b。 A．＞ B．＝ C．＜ 【练习2】直接写出得数。                                                 考点04：商与被除数的大小关系 【典型例题】在（    ）里填上“＞”“＜”或“＝”。 （ ）         （ ） （ ）         （ ） 【练习1】不计算，判断下面四道算式的结果，其中最大的是（     ）。 A． B． C． D． 【练习2】已知，那么的结果（     ）。 A．大于 B．小于 C．等于 考点05：分数四则混合运算与简便运算 【典型例题】某工程队修了一条长1000米的路，6天修了全长的。照这样的速度，剩下的还需要修多少天？ 小乐画了线段图理解数量关系，列出式子，其中表示_______________；表示________________。 【练习1】计算时，要先算（ ）法，再算（ ）法，最后算（ ）法，结果是（ ）。 【练习2】计算下面各题，能简算的要简算。            考点06：已知一个数的几分之几是多少，求这个数 【典型例题】妈妈买来一袋面粉，吃了15千克，正好吃了这袋面粉的。这袋面粉重多少千克？ 【练习1】六（3）班男生有24人，___________，六（3）班女生有多少人？列式为即可解答。横线上应该补充的条件是（     ）。 A．女生人数是男生人数的 B．女生人数是全班人数的 C．男生人数是金班人数的 D．男生人数是女生人数的 【练习2】种植场种西红柿公顷，相当于种黄瓜面积的，种黄瓜（ ）。 A．公顷 B．公顷 C．公顷 考点07：已知比一个数多（或少）几分之几的数是多少，求这个数 【典型例题】李阿姨要做440个布娃娃，第一周做了一部分，比剩下的多，李阿姨第一周做了多少个布娃娃？ 【练习1】下面图（     ）的问题可以用来解答。 A． B． C． D． 【练习2】兵马俑博物馆是陕西省西安市的著名景点，每年的3月到11月实行旺季票价120元/人，比淡季票价高，兵马俑博物馆的淡季票价是（ ）元/人。 考点08：已知一部分量占总量的几分之几及另一部分量，求总量 【典型例题】要制作一些彩旗，已经做了，还剩30面没做完。一共要制作多少面彩旗？ （先写出等量关系式再解答。） 【练习1】小明网购一箱芒果，吃掉它的后，还剩1千克，这箱芒果重（ ）千克。 【练习2】有一个大木桶装满了水，第一次倒出了，第二次倒出了12千克，还剩下18千克，这桶水原来有（ ）千克。 考点09：两人合作的工程问题 【典型例题】欣欣工厂计划生产一批防护服，1号车间单独做需要10天完成，2号车间单独做需要12天完成，3号车间单独做需要15天完成。1号车间先做2天，剩下的由2号车间和3号车间合作生产，几天可以完成？ 【练习1】一批货物，甲车单独运需6小时运完，乙车单独运需要9小时运完。 （1）如果甲、乙两车合运这批货物的，那么需要运几小时？ （2）如果甲、乙两车合运3小时，那么还剩下这批货物的几分之几？ 【练习2】加工一批零件，甲单独加工需要4小时，乙单独加工需要5小时。如果两人合作，多长时间能完成这批零件的？ 一、选择题 1．下面的各组数中，互为倒数的一组是（     ）。 A．和 B．和 C．0.4和 2．在解释“除以一个不为零的数等于乘它的倒数”时，同学们举了不同的例子，其中解释合理的有（     ）。 ① ② ③ 分数除以整数 整数除以分数 整数除以整数 A．只有①② B．只有③ C．①②③ 3．如果（a、b≠0），那么a（     ）b。 A．大于 B．小于 C．等于 4．已知甲绳的长度比乙绳多，以下说法错误的是（     ）。 A．甲绳比乙绳长 B．多的部分是乙绳的 C．乙绳比甲绳短 5．下面问题不能用算式来解决的是（    ）。 A． B． C． 二、填空题 6．吨的是（ ）吨；（ ）米的是米；千克的是（ ）千克；平方米的（ ）是平方米。 7．一个直角三角形的两条直角边分别是和，这个直角三角形的面积是（ ）cm2。 8．如果a、b互为倒数，则（ ）；（ ）；（ ）；（ ）。 9．苹果的质量比西瓜多，苹果的质量相当于西瓜的。如果苹果有30kg，那么西瓜有（     ）kg。 10．“人生得意须尽欢，莫使金樽空对月”出自诗仙李白的《将进酒》。“樽”是古代盛酒用的器具。已知一个酒壶内有6升酒，若每樽能装升酒，则这壶酒可以倒满（ ）樽。 11．24的是16；（     ）的是12。 12．计算时，应先算（ ）法，再算（ ）法，结果是（ ）。 13．在算式中，当a（ ）时，商大于；当a（ ）时，商等于；当a（ ）时，商小于。（填“大于1”“小于1”或“等于1”） 14．水果店运来三种水果，运来的梨是苹果的，橘子是苹果的。如果运来的橘子有160kg，那么运来的梨有（ ）kg。 15．中国天文科技发展日新月异，“中国天眼”是全球最大且最灵敏的射电望远镜，超越了美国著名的天文望远镜阿雷西博。“中国天眼”的口径长是500米，是阿雷西博的，则阿雷西博的口径长（ ）米。 16．一辆自行车小时可以行驶，这辆自行车每小时行驶（ ）km，行驶1km需要（ ）小时。 17．甲小时做了18个零件，乙小时做了15个零件，他们二人中，（ ）的工作效率更高。 18．甲数是240，乙数比甲数多，乙数是（ ）；乙数是150，比甲数多，甲数是（ ）。 19．某果园在一个网购平台上直播销售，收到不少订单。现在需要工人们去打包，甲单独打包要10小时完成，乙单独打包要15小时完成，丙单独打包要6小时完成，（ ）的工作效率最快，三人一起打包要（ ）小时完成。 三、计算题 20．直接写出得数。                                 21．计算下面各题，能简算的要简算。            四、解答题 22．4个橘子重千克，平均每个橘子重多少千克？ 23．修路队修一条路用了54天，所用的时间比原计划少。原计划多少天修完？ 24．小云带一些钱去买零食，用了18元后还剩这些钱的。 （1）小云带了多少钱？ （2）小云买零食后还剩多少钱？ 25．小青的妈妈今年36岁，妈妈的年龄是爸爸年龄的，小青的年龄是妈妈年龄的。小青和爸爸今年各多少岁？ 26．一台播种机小时播种公顷。照这样的速度，这台播种机小时播种多少公顷？ 27．一项工程，甲队独做需要20天完成，乙队独做需要30天完成。甲队工作一段时间后，乙队再加入一起做，这项工程一共用了15天完成，甲、乙两队合作了多少天？ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $