1.3 矩形的性质与判定 同步训练 2026-2027学年 北师大版数学九年级上册

**基本信息** 聚焦矩形性质与判定，分层设计从基础概念到综合应用，梯度合理，强化几何直观与推理能力，适配新授课巩固需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|矩形性质与判定直接应用|概念辨析（如第4题对角线性质）、简单证明（如第17题证线段相等）| |中档|折叠/中点连线等综合应用|图形变换推理（如第1题纸带折叠求角度）、性质与全等结合（如第19题证平行四边形）| |拔高|多知识点动态综合|动态问题探究（如第21题旋转对角线）、跨知识整合（如第22题矩形与等腰直角三角形）|

1.3 矩形的性质与判定 同步训练 一、单选题 1．如图， 为一长条形纸带， ，将 沿 折叠， 、 两点分别与 、 对应，若 ，则 的度数为（　　） A．60° B．65° C．72° D．75° 2．如图，将直角三角板放置在矩形纸片上，若 ，则 的度数为（　　） A．42° B．48° C．52° D．60° 3．如图，将矩形纸片 沿 折叠后，点D、C分别落在点 、 的位置， 的延长线交 于点G，若 ，则 等于（　　） A． B． C． D． 4．对角线互相垂直平分但不相等的四边形是（　　） A．正方形 B．菱形 C．矩形 D．平行四边形 5．如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，DF∥BC，∠ABC的平分线BE交DF于点G，GH⊥DF，点E恰好为DH的中点，若AE＝3，CD＝2，则GH＝（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 6．将三角尺按如图所示放置在一张矩形纸片上，∠EGF＝90°，∠FEG＝30°，∠1＝125°，则∠BFG的大小为（　　） A．125° B．115° C．110° D．120° 7．如果顺次连接四边形的各边中点得到的四边形是矩形，那么原来四边形的对角线一定满足的条件是（　　） A．互相平分 B．相等 C．互相垂直 D．互相垂直平分 8．在矩形 中， 、 相交于点O，若 的面积为2，则矩形 的面积为（　　） A．4 B．6 C．8 D．10 9．如图，矩形 的对角线 ， 交于点 ， ， ，过点 作 ，交 于点 ，过点 作 ，垂足为 ，则 的值为（　　） A． B． C． D． 10．如图，矩形 中， 相交于点O，过点B作 交 于点F，交 于点M，过点D作 交 于点E，交 于点N，连接 ．则下列结论： ① ；② ；③ ；④当 时，四边形 是菱形．其中，正确结论的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题 11．如图所示，线段 为等腰 的底边，矩形 的对角线 与 交于点 ，若 ，则 　 　. 12．如图，在矩形 中， ，点 和点 分别为 上的点，将 沿 翻折，使点 落在 上的点 处，过点 作 交 于点 ，过点 作 交 于点 .若四边形 与四边形 的面积相等，则 的长为　 　. 13．如图，在矩形 中， ．分别以点 为圆心，以大于 的长为半径画弧，两弧相交于点 和 ．作直线 分别与 交于点 ，则 　 　． 14．如图，在边长为 的正方形 中，点 分别是边 的中点，连接 点 分别是 的中点，连接 ，则 的长度为　 　. 15．在矩形 中， 2cm，将矩形 沿某直线折叠，使点B与点D重合，折痕与直线 交于点E，且 3cm，则矩形 的面积为　 　cm2． 16．如图，在矩形ABCD中， ， ，若点M、N分别是线段DB、AB上的两个动点，则 的最小值为　 　． 三、解答题 17．如图，在矩形ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点.求证：DE＝BF. 18．如图，在矩形 ABCD中，点 E，F 在对角线BD．请添加一个条件，使得结论“AE=CF”成立，并加以证明． 19．如图，△ABC中，D是BC边上一点，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于F，且AF=CD，连接CF． （1）求证：△AEF≌△DEB； （2）若AB=AC，试判断四边形ADCF的形状，并证明你的结论． 20．如图，在矩形 中，点 在 上， ，且 ，垂足为 . （1）求证： ； （2）若 ，求四边形 的面积. 21．如图，在矩形 中，对角线 与 相交于点 ， ，对角线 所在的直线绕点 顺时针旋转角 ，所得的直线 分别交 ， 于点 . （1）求证： ； （2）当旋转角 为多少度时，四边形 为菱形？试说明理由. 22．四边形ABCD为矩形，E是AB延长线上的一点． （1）若AC＝EC，如图1，求证：四边形BECD为平行四边形； （2）若AB＝AD，点F是AB上的点，AF＝BE，EG⊥AC于点G，如图2，求证：△DGF是等腰直角三角形． 答案解析部分 1．【答案】A 【解析】【解答】解：由翻折的性质可知：∠AEF=∠FEA′， ∵AB∥CD， ∴∠AEF=∠1， ∵∠1=∠2，设∠2=x，则∠AEF=∠1=∠FEA′=x， ∴3x=180°， ∴x=60°， ∴∠AEF=x=60°， 故答案为：A. 【分析】利用折叠的性质可证得∠AEF=∠FEA′，利用平行线的性质可得到∠AEF=∠1，结合已知条件设∠2=x，则∠AEF=∠1=∠FEA′=x，由此可得到关于x的方程，解方程求出x的值，即可得到∠AEF的度数. 2．【答案】A 【解析】【解答】解：如图，延长该直角三角形一边，与该矩形纸片一边的交点记为点D， 由矩形对边平行，可得∠1=∠BAC， 因为BC⊥AB， ∴∠BAC+∠2=90°， ∴∠1+∠2=90°， 因为∠1=48°， ∴∠2=42°； 故答案为：A. 【分析】延长该直角三角形一边，与该矩形纸片一边的交点记为点D，根据平行线的性质得出∠1=∠BAC，然后根据直角三角形的性质求出∠2即可. 3．【答案】A 【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴AD//BC， ∵矩形纸片 沿 折叠， ∴∠DEF=∠GEF， 又∵AD//BC， ∴∠DEF=∠EFG， ∴∠DEF=∠GEF=∠EFG=64︒， ∵ 是△EFG的外角， ∴ =∠GEF+∠EFG=128︒ 故答案为：A. 【分析】根据矩形的性质求出∠DEF=∠EFG，由折叠可得∠DEF=∠GEF，从而求出∠DEF=∠GEF=∠EFG=64︒，根据三角形的外角可得 =∠GEF+∠EFG，据此计算即可. 4．【答案】B 【解析】【解答】对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，故A不符合题意； 对角线互相垂直且平分的四边形是菱形，故B符合题意； 对角线互相平分且相等的是矩形，故C不符合题意； 对角线互相平分的四边形是平行四边形，故D不符合题意. 故答案为：B. 【分析】根据正方形、菱形、矩形、平行四边形的判定条件即可选择. 5．【答案】B 【解析】【解答】解：过 作 ，交 于点 ， ， ， ， ， 为 中点， ， ，即 ， ， 四边形 为矩形， ， 平分 ， ， ， ， ， 则 ． 故答案为：B． 【分析】过 作 ，交 于点 ，可得 ，得到 与 平行，再由 为 中点，得到 ，同时得到四边形 为矩形，再由角平分线定理得到 ，进而求出 的长，得到 的长． 6．【答案】B 【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC， ∴∠1+∠BFE＝180°， ∵∠1＝125°， ∴∠BFE＝55°， ∵在△EGF中，∠EGF＝90°，∠FEG＝30°， ∴∠EFG＝180°﹣∠EGF﹣∠FEG＝60°， ∴∠BFG＝∠BFE+∠EFG＝55°+60°＝115°， 故答案为：B． 【分析】根据矩形得出AD∥BC，根据平行线的性质得出∠1+∠BFE＝180°，求出∠BFE，根据三角形内角和定理求出∠EFG，即可求出答案． 7．【答案】C 【解析】【解答】根据题意画出图形如下： 答：AC与BD 的位置关系是互相垂直． 证明：∵四边形EFGH是矩形， ∴∠FEH=90°， 又∵点E、F、分别是AD、AB、各边的中点， ∴EF是三角形ABD的中位线， ∴EF∥BD， ∴∠FEH=∠OMH=90°， 又∵点E、H分别是AD、CD各边的中点， ∴EH是三角形ACD的中位线， ∴EH∥AC， ∴∠OMH=∠COB=90°， 即AC⊥BD． 故答案为：C． 【分析】由于顺次连接四边形各边中点得到的四边形是平行四边形，再由矩形的判定可知，依次连接对角线互相垂直的四边形各边的中点所得四边形是矩形． 8．【答案】C 【解析】【解答】∵四边形ABCD是矩形，对角线 、 相交于点O， ∴AC=BD，且OA=OB=OC=OD， ∴ ， ∴矩形 的面积为 ， 故答案为：C. 【分析】根据矩形的性质得到OA=OB=OC=OD，推出 ，即可求出矩形ABCD的面积. 9．【答案】C 【解析】【解答】∵四边形ABCD是矩形， ， ， ， ， ， ， ， ， 又 ， ， ， ， ， ， ， 同理可证， ， ， ， ， ， 故答案为：C． 【分析】根据勾股定理求出AC=BD=10，由矩形的性质得出AO=5，证明 得到OE的长，再证明 可得到EF的长，从而可得到结论． 10．【答案】D 【解析】【解答】∵BF⊥AC ∴∠BMC=90° 又∵ ∴∠EDO=∠MBO，DE⊥AC ∴∠DNA=∠BMC=90° ∵四边形ABCD为矩形 ∴AD=BC，AD∥BC，DC∥AB ∴∠ADB=∠CBD ∴∠ADB-∠EDO=∠CBD-∠MBO即∠AND=∠CBM 在△AND与△CMB ∵ ∴△AND≌△CMB(AAS) ∴AN=CM，DN=BM，故①符合题意． ∵AB∥CD ∴∠NAE=∠MCF 又∵∠DNA=∠BMC=90° ∴∠ANE=∠CMF=90° 在△ANE与△CMF中 ∵ ∴△ANE≌△CMF（ASA） ∴NE=FM，AE=CF，故③符合题意． 在△NFM与△MEN中 ∵ ∴△NFM≌△MEN（SAS） ∴∠FNM=∠EMN ∴NF∥EM，故②符合题意． ∵AE=CF ∴DC-FC=AB-AE，即DF=EB 又根据矩形性质可知DF∥EB ∴四边形DEBF为平行四边 根据矩形性质可知OD=AO， 当AO=AD时，即三角形DAO为等边三角形 ∴∠ADO=60° 又∵DN⊥AC 根据三线合一可知∠NDO=30° 又根据三角形内角和可知∠ABD=180°-∠DAB-∠ADB=30° 故DE=EB ∴四边形DEBF为菱形，故④符合题意． 故①②③④符合题意 故答案为：D． 【分析】通过判断△AND≌△CMB即可证明①，再判断出△ANE≌△CMF证明出③，再证明出△NFM≌△MEN，得到∠FNM=∠EMN，进而判断出②，通过 DF与EB先证明出四边形为平行四边形，再通过三线合一以及内角和定理得到∠NDO=∠ABD=30°，进而得到DE=BE，即可知四边形为菱形． 11．【答案】4 【解析】【解答】解：∵矩形 ADBE 的对角线 AB 与 DE 交于点 O ， ∴AB=DE，OE=OD， ∴AB=DE=2OD=4， ∵线段 BC 为等腰 △ABC 的底边， ∴AC=AB=4， 故答案为：4. 【分析】由矩形的性质和等腰三角形的性质可求解. 12．【答案】 【解析】【解答】解： 四边形ABCD为矩形 设 ，则 ， 又 四边形ABHE是矩形，同理可得四边形 是矩形 矩形 的面积 ，矩形ABHE的面积 ，且 四边形 与四边形 的面积相等 由翻折得 ， ， 在 中，由勾股定理得 又 ，即 ，化简得 解得 所以 的长为 . 故答案为： . 【分析】设 ，则 ，根据矩形的性质易知四边形ABHE和 是矩形，由其面积相等可得AE长，由翻折的性质可知ME、MF长，由勾股定理可知MC长，利用 的性质可求得x值，即CF长. 13．【答案】2 ． 【解析】【解答】如图，连接DN， 在矩形ABCD中，AD=4，AB=8， ∴BD= ， 根据作图过程可知： MN是BD的垂直平分线， ∴DN=BN，OB=OD=2 ， ∴AN=AB-BN=AB-DN=8-DN， 在Rt△ADN中，根据勾股定理，得 DN2=AN2+AD2， ∴DN2=（8-DN）2+42， 解得DN=5， 在Rt△DON中，根据勾股定理，得 ON= ， ∵CD∥AB， ∴∠MDO=∠NBO， ∠DMO=∠BNO， ∵OD=OB， ∴△DMO≌△BNO（AAS）， ∴OM=ON= ， ∴MN=2 ． 故答案为：2 ． 【分析】连接DN，在矩形ABCD中，AD=4，AB=8，根据勾股定理可得BD的长，根据作图过程可得，MN是BD的垂直平分线，所以DN=BN，在Rt△ADN中，根据勾股定理得DN的长，在Rt△DON中，根据勾股定理得ON的长，进而可得MN的长． 14．【答案】1 【解析】【解答】过E作 ，过G作 ，过H作 ，垂足分别为P，R，R， 与 相交于I，如图， ∵四边形ABCD是正方形， ∴ ， ， ∴四边形AEPD是矩形， ∴ ， ∵点E，F分别是AB，BC边的中点， ∴ ， ， ， ∵点G是EC的中点， 是 的中位线， ， 同理可求： ， 由作图可知四边形HIQP是矩形， 又HP= FC，HI= HR= PC， 而FC=PC， ∴ ， ∴四边形HIQP是正方形， ∴ ， ∴ 是等腰直角三角形， 故答案为：1. 【分析】过E作 ，过G作 ，过H作 ， 与 相交于I，分别求出HI和GI的长，利用勾股定理即可求解. 15．【答案】 或 【解析】【解答】解：∵四边形 是矩形， ∴ ， ①当点E在线段AD上时，如图所示： 由折叠的性质可得 ， ∵ 3cm， ∴在 中， ， ∴ ， ∴ ； ②当点E在线段AD外时，如图所示： 由轴对称的性质可得 ， ∴在Rt△EAB中， ， ∴ ， ∴ ； 综上所述：矩形ABCD的面积为 或 ； 故答案为 或 ． 【分析】先求出 ，再分类讨论，利用勾股定理和矩形的面积公式计算求解即可。 16．【答案】 【解析】【解答】解：如图，过A作 于 ，延长 ，使 ，过 作 于 ，交 于 ，则 最短， 四边形 为矩形， ， ， 即 的最小值为 故答案为： 【分析】如图，过A作 于 ，延长 ，使 ，过 作 于 ，交 于 ，则 最短，再利用矩形的性质与锐角三角函数求解 即可得到答案． 17．【答案】∵四边形ABCD是矩形， ∴AB∥CD，AB=CD， 又E、F分别是边AB、CD的中点， ∴DF=BE， 又AB∥CD， ∴四边形DEBF是平行四边形， ∴DE=BF. 【解析】【分析】利用矩形的性质可得 AB∥CD，AB=CD， 再利用线段中点的定义去证明DF=BE，然后利用有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可证得四边形DEBF是平行四边形，利用平行四边形的性质，可证得结论. 18．【答案】解：添加条件：BE=DF或DE=BF或 AE∥CF或∠AEB=∠DFC或∠DAE=∠BCF或∠AED-∠CFB或∠BAE-∠DCF或∠DCF+∠DAE=90°等. 若选择BE=DF. 证明：在矩形ABCD中，AB∥CD，AB=CD， ∴∠ABE=∠CDF. ∵BE=DF， ∴△ABE≌△CDF(SAS). ∴AE=CF. 【解析】【分析】利用矩形的性质和平行线的性质，易证AB=CD，∠ABE=∠CDE，添加条件要使AE=CF，可证△ABE≌△CDF，因此若利用SAS，则可添加BE=DF或DE=BF，若利用AAS或ASA，可添加另外两组角中的一组角相等，或添加AE∥CF，或添加AE⊥BD，CF⊥BD，证明即可。 19．【答案】（1）解：∵E是AD的中点，∴AE=DE，∵AF∥BC， ∴∠AFE=∠DBE，∠EAF=∠EDB， ∴△AEF≌△DEB（AAS） （2）解：连接DF，∵AF∥CD，AF=CD，∴四边形ADCF是平行四边形，∵△AEF≌△DEB，∴BE=FE， ∵AE=DE， ∴四边形ABDF是平行四边形， ∴DF=AB， ∵AB=AC， ∴DF=AC， ∴四边形ADCF是矩形 【解析】【分析】（1）利用线段中点的定义，可得出AE=DE，再根据平行线的性质可得出∠AFE=∠DBE，∠EAF=∠EDB，然后利用全等三角形的判定定理，可证得结论。 （2）先证明四边形ADCF是平行四边形，再根据平行四边形的性质及全等三角形的性质，证得AE=DE，就可得出四边形ABDF是平行四边形，得出DF=AB，由AB=AC，可得出DF=AC，然后根据对角线相等的平行四边形是矩形。 20．【答案】（1）证明：∵在矩形 中， ∴∠D=90°，AB∥CD， ∴∠BAN=∠AMD， ∵ ， ∴∠ANB=90°，即：∠D=∠ANB， 又∵ ， ∴ （AAS） （2）解：∵ ， ∴AN=DM=4， ∵ ， ∴ ， ∴AB= ， ∴矩形 的面积= ×2=4 ， 又∵ ， ∴四边形 的面积=4 -4-4=4 -8 【解析】【分析】（1）利用矩形的性质及垂直的定义可得∠D=∠ANB=90°，∠BAN=∠AMD，根据AAS可证 ； （2） 由 ，可得AN=DM=4，利用勾股定理求出AM，即得AB，由四边形 的面积=矩形ABCD的面积-△ABN的面积-△MAD的面积，据此计算即可. 21．【答案】（1）证明：∵四边形 是矩形， ∴ ， ∴ ， 又∵ ， ∴ . （2）解：当 时四边形 为菱形， 理由：∵ ， ∴ ， 又∵ ， ∴四边形 为平行四边形， 又∵ ， ∴四边形 为菱形. 【解析】【分析】（1）根据矩形的性质可得 ，利用平行线的性质得出∠AEO=∠CFO，根据AAS可证△AOE≌△COF； （2）当时四边形 为菱形，理由：先证明四边形 为平行四边，由，可证四边形 为菱形. 22．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD为矩形， ∴AB∥CD，AB＝CD，CB⊥AE， 又∵AC＝EC， ∴AB＝BE， ∴BE＝CD，BE∥CD， ∴四边形BECD为平行四边形 （2）证明：∵AB＝AD， ∴矩形ABCD是正方形， ∵EG⊥AC， ∴∠E＝∠GAE＝45°， ∴GE＝GA， 又∵AF＝BE， ∴AB＝FE， ∴FE＝AD， 在△EGF和△AGD中， ， ∴△EGF≌△AGD(SAS)， ∴GF＝GD，∠DGA＝∠FGE， ∠DGF＝∠DGA+∠AGF＝∠EGF+∠AGF＝∠AGE＝90°， ∴△DGF是等腰直角三角形 【解析】【分析】（1）根据矩形的性质，证明四边形BECD为平行四边形； （2）根据题意，由正方形的判定和性质，证明△EGF≌△AGD，继而由全等三角形的性质证明△DGF为等腰直角三角形即可。 1 学科网（北京）股份有限公司 $