第14章 全等三角形（单元自测卷）数学新教材沪科版八年级上册

2026-2027学年八年级上册数学单元自测 第14章 全等三角形 建议用时：120分钟，满分：150分 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．（本题4分）下列各组图形中，属于全等图形的是（     ） A．两个面积相等的长方形 B．两个周长相等的等腰三角形 C．能够完全重合的两个图形 D．两个大小相近的正方形 2．（本题4分）如图，点、、在同一直线上，若，，，则等于（     ） A． B． C． D． 3．（本题4分）如图，能直接用“”判定的条件是（   ） A．， B．， C．， D．， 4．（本题4分）如图，把两根钢条，的中点连在一起，可以做成一个测量工件内槽宽的工具．这样可以利用三角形全等，通过量出的长度，就可知工件内径是否符合标准．其中说明的依据是（     ） A． B． C． D． 5．（本题4分）如图所示的网格是由9个相同的小正方形拼成的，图形的各个顶点均为格点，则的度数为（   ） A． B． C． D． 6．（本题4分）调皮的小明不小心把一块三角形玻璃打碎成如图所示的三部分，认识到错误的他想去配制一块与原来相同的三角形玻璃，那么应带下列选项中哪片碎玻璃（    ） A．① B．①② C．③ D．①②或者③都可以 7．（本题4分）如图，在中，，是上一点．，，垂足分别为，，，连接，则的度数为（     ） A． B． C． D． 8．（本题4分）根据下列条件，能画出唯一的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 9．（本题4分）如图，的面积为，平分，于点P，连接，则的面积为（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 10．（本题4分）已知的边长为4，边长为8，则边上的中线的长度的取值范围（   ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分） 11．（本题5分）如图，小明的桌子坏了，于是他给桌子加了两根木条，这样桌子就比较牢固了．小明这样做的数学原理是利用了三角形的__________（选填“稳定性”或“不稳定性”）． 12．（本题5分）如图，，要使，只需添加的一个条件是_______．（填一个即可） 13．（本题5分）如图，下列矩形中，按虚线剪开后，既能拼出平行四边形，又能拼出三角形的是图形（请填图形下面的代号）______． 14．（本题5分）如图，将沿经过点A 的直线折叠，使边所在的直线与边所在的直线重合，点C落在边上的E处．若，，则_________ 三、解答题：本题共9小题，共90分。其中：15-18每题8分，19-20题每题10分，21-22题每题12分，23题14分 15．（本题8分）已知，，线段a如图所示．请你利用尺规作出（其中，，）（要求：保留作图痕迹，标注字母，不写作法）； 16．（本题8分）如图，，与为对应角，与为对应边． (1)写出其他对应边及对应角； (2)若，，求的长． 17．（本题8分）如图所示，已知，其中． (1)求证：． (2)求的长． 18．（本题8分）如图，E为上一点，，．求证： (1)； (2)． 19．（本题10分）如图， ，直线与交于点，连接． (1)求证：； (2)若，求证：平分． 20．（本题10分）如图，已知：点、分别在线段、上，，． (1)求证：； (2)不添加任何字母，请你连接图中两点，得到一组全等的三角形是：________并给出证明． 21．（本题12分）如图1，，，，垂足分别为，，．点在线段上以的速度由点向点运动，同时点在射线上运动．它们运动的时间为（当点运动结束时，点运动随之结束）． (1)若点的运动速度与点的运动速度相等，当时，与是否全等，并判断此时线段和线段的位置关系，请分别说明理由； (2)如图2，若“，”改为“”，点的运动速度为，其他条件不变，当点，运动到何处时，有与全等？求出相应的的值． 22．（本题12分）如图1、2所示，小颖与爸爸、妈妈在操场上荡秋千，小颖坐在秋千上的起始位置点处，且起始位置的延长线与地面垂直，垂足为点．小颖两脚在地面上用力一蹬，小颖妈妈在距离地面高为米的点处接住小颖，小颖的妈妈到秋千起始位置的水平距离米；小颖的妈妈用力一推，小颖的爸爸在距离地面高为米的点处接住小颖，小颖的爸爸到秋千起始位置的水平距离为米，秋千的长度保持不变．解答下列问题： (1)当时，判断与是否相等，若相等，请证明；若不相等，请说明理由； (2)当，米，米，米时，求的值； (3)若考虑到安全和体感，点、点分别在的左边和右边，秋千摆动的夹角（即）始终保持，请直接写出，，，这四个变量之间的关系． 23．（本题14分）在中，，点E为上一动点，过点A作于D，连接．    (1)【观察发现】 如图①，与的数量关系是 ； (2)【尝试探究】 点E在运动过程中，的大小是否改变，若改变，请说明理由，若不变，求的度数； (3)【深入思考】 如图②，若E为中点，探索与的数量关系． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2026-2027学年八年级上册数学单元自测 第14章全等三角形（参考答案） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合 题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑) 2 6 7 8 9 10 C D A A A D B 二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分) 11.稳定性 12.AB=DC(答案不唯一) 13.②③/③② 14.32° 三、解答题：本题共9小题，共90分。其中：15-18每题8分，19-20题每题10分，21-22题每题12分， 23题14分 15.(8分)解：如图，△ABC即为所求， (8分) 16.(8分) 【详解】(I)解：其他对应边：AB和CD,DE和BF;对应角：∠B和∠D,∠AFB和∠CED;(4 分) (2),△ABF≌aCDE, .DE=BF, ∴.DE-FE=BF-FE,即DF=BE .DF+BE+FE BD, .2BE BD-FE=5, .BE=2.5(8分) 1/8 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 17.(8分) 【详解】(I)证明：：△ABC≌aFED, ∴.∠DEF=∠CBA ∴.DE BC (3分) (2)△ABC≌AFED ..AB=EF, :AB-EB=EF-EB, ..AE=BF, AF=16,BE=4 .AE+BF=16-4=12, .AE=6 AB=AE+BE=6+4=10.(8分) 18.(8分)(1) 证明：在△BCE和△DCE中 CB=CD,EB=ED,CE=CE, 、△BCE2aDCE(SSS) ，3分) (2) 证明：如图， 由(1)知△BCE2aDCE, .∠1=∠2 在△ABC和△ADC中， B 0 CB=CD,I=∠2，CA=CA, ∴.△ABC≌△ADC(SAS) 2/8 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .AB=AD.(8分) 19.(10分)》 【详解】(1)证明：：∠ACB=∠DCE=90°， .∠ACD+∠ACE=∠BCE+∠ACE=90°， ∴.∠ACD=∠BCE. 又AC=BC,DC=EC ∴.△ACD≌△BCE(SAS) ；(5分) (2)证明：△ACD≌aBCE,∠ADC=90°， ∠BEC=∠ADC=90°，CD=CE, .∠FEC=∠CDF=90°， .CF=CF, .RLACEF≌RLACDF(HL) .LEFC=∠DFC, .FC平分∠BFD.(10分) 20.(10分)(1)证明：在△ADE和△ABC中， [∠D=∠B ∠A=∠A AE=AC' AMDE≌ABC(AAS)(3分) (2)方法一：如图，连接BD,得到△BCD≌aDEB, D 证明：，△ADE≌△ABC, .AB=AD,BC=DE,(5分) 3/8 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 又：AE=AC, :AB-AE=AD-AC,即BE=CD,(7分) 在△BCD和△DEB中， CD=BE BC=DE BD=DB' △BCD≌ADEB(SSS) :(10分) 方法二：如图，连接EC,得到△BEC≌△DCE, E D ,△ADE≌△ABC, .AB=AD,BC=DE. 又，AE=AC, AB-AE=AD-AC,即BE=CD,(7分) 在△BEC和△DCE中， BE=CD ∠B=∠D BC=DE' △BEC≌ADCE(SAS) 10分) △ACP≌△BPO PC⊥P9 21.(12分)(1)解： ,理由如下： :AC⊥AB,BD⊥AB .∠A=∠B=90°， ,点Q与点P的运动速度相等，且t=1, 4/8 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .AP=BO=2, .BP=5, :BP=AC, .∴△ACP≌aBPQ(SAS) .∠C=∠BPQ :∠C+∠APC=90°， ∴.∠APC+∠BP9=90° .∠CP9=90° .PC⊥P9 ;(6分) △ACP≌△BPQ (2)解：① ∴.AC=BP,AP=BQ. 又，点Q的运动速度为xcm/s, .5=7-21,21=xt, 解得x=2,1=1;(9分) ②：△ACP≌△BOP, :AC=BO,AP=BP, 同理可得，5=xt,21=7-2t, 207 解得x=7,1=4: 20 综上所述，当ACP与△BP0全等时，x的值为2或7，(12分) 22.(12分)()∠B0F=∠0CG,理由如下： :CG⊥OA于点G, 5/8 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠CG0=90°. ∠C0G+∠0CG=90°， .∠COB=90° .∠C0G+LB0F=90°， .∠OCG=∠BOF.(4分) (2)解：据题可知OC=OB,据(1)可知∠BOF=∠OCG, :在△OCG和△BOF中， [∠BOF=∠OCG ∠OGC=∠OFB OC=OB :△OCG≌aBOF(AAS) .CG=OF=2米，OG=FB=b, h=1h=1.5 .FG=h-h=0.5 米， 0G=0F-FG=2-0.5=1.5米， .b=1.5.(9分) (3)解：据(2)可知aOCG≌△BOF, 则CG=OF=a米，OG=FB=b米， .FG=ha-h OF-0G=FG a-b=么内，即0+=h+.d2分) 23.(14分) 【详解】(1)·∠ACB=90°，AD⊥BE .∠ACB=∠ADB=90°. .∠DAC+∠AED=90°，∠DBC+∠BEC=90° :∠AED=∠BEC, .∠DAC=∠DBC. 6/8 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 故答案为：∠DAC=∠DBC.(2分) (2)∠CDB的大小不改变， 如图①，作CF⊥CD交BD于点F,则∠DCF=90°， 图① .∠ACD=∠BCF=90°-∠ACF, 由(I)得∠DAC=∠FBC, ·.AC=BC ADAC≌AFBC(ASA) ..CD=CF, ∴.∠CDB=∠CFD=45°， ∠CDB的大小不改变，∠CDB=45°.(7分) (3)BE=5DE, 理由：如图②，作CG⊥CD交BD于点G,作CH⊥BD于点H,则∠CHE=9O, C D G 图② .∠CHE=∠ADE. E为AC中点， .CE=AE, .∠CEH=∠AED 、△CHE≌AADE(AAS) .'HE=DE,CH=AD, 7/8 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 由(2)得△DAC≌aGBC, .AD=BG, ∴.CH=BG, .CG=CD,CH⊥DG. .DH=GH, ÷CH=DH=GH-Dc, .'.BG=DH=GH =2DE, .BE=BG+GH+HE=2DE+2DE+DE=5DE.(14 8/8 2026-2027学年八年级上册数学单元自测 第14章 全等三角形 建议用时：120分钟，满分：150分 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．（本题4分）下列各组图形中，属于全等图形的是（     ） A．两个面积相等的长方形 B．两个周长相等的等腰三角形 C．能够完全重合的两个图形 D．两个大小相近的正方形 【答案】C 【详解】解：A.两个面积相等的长方形不一定是全等图形； B.两个周长相等的等腰三角形不一定是全等图形； C.能够完全重合的两个图形是全等图形； D.两个大小相近的正方形不一定是全等图形. 2．（本题4分）如图，点、、在同一直线上，若，，，则等于（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：， ， ． 3．（本题4分）如图，能直接用“”判定的条件是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【详解】解：根据题意，当，时，，故选项A符合题意． 故选：A． 4．（本题4分）如图，把两根钢条，的中点连在一起，可以做成一个测量工件内槽宽的工具．这样可以利用三角形全等，通过量出的长度，就可知工件内径是否符合标准．其中说明的依据是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：由题意可知，点为，的中点， ，． 又， ． 5．（本题4分）如图所示的网格是由9个相同的小正方形拼成的，图形的各个顶点均为格点，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如图，则，，， ∴， 故选：C． 6．（本题4分）调皮的小明不小心把一块三角形玻璃打碎成如图所示的三部分，认识到错误的他想去配制一块与原来相同的三角形玻璃，那么应带下列选项中哪片碎玻璃（    ） A．① B．①② C．③ D．①②或者③都可以 【答案】C 【详解】解：①只保留了一个角及部分边，不能配成和原来一样的三角形玻璃； ①②只保留了一个角及部分边，不能配成和原来一样的三角形玻璃； ③不但保留了一个完整的边还保留了两个角，根据全等三角形判定“角边角”可以配出一块和原来一样的三角形玻璃，所以应该带去③． 7．（本题4分）如图，在中，，是上一点．，，垂足分别为，，，连接，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：，，且知，， ， 在和中， ， ， ， ． 8．（本题4分）根据下列条件，能画出唯一的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【详解】解：A．∵，不满足三角形三边关系，无法构成三角形，故不符合题意． B．∵，，，为两边及其中一边的对角，不能唯一确定三角形，故不符合题意． C．∵，，，为两边及其夹角，满足SAS全等判定条件，可唯一确定，故符合题意． D．∵仅已知三个内角度数，无边长条件，只能确定三角形形状，不能确定大小，无法唯一确定三角形，故不符合题意． 9．（本题4分）如图，的面积为，平分，于点P，连接，则的面积为（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【详解】解：如图所示，延长交于点． ∵平分， ∴, ∵于点P， ∴, ∵, ∴, ∴， ∵与等底同高， ∴, ∵与等底同高， ∴, ∵， ∴． 10．（本题4分）已知的边长为4，边长为8，则边上的中线的长度的取值范围（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：延长到点E，使得，连接，则， ∵点D是的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴，即， 故选：B． 二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分） 11．（本题5分）如图，小明的桌子坏了，于是他给桌子加了两根木条，这样桌子就比较牢固了．小明这样做的数学原理是利用了三角形的__________（选填“稳定性”或“不稳定性”）． 【答案】稳定性 【详解】解：小明的桌子坏了，于是他给桌子加了两根木条，这样桌子就比较牢固了．小明这样做的数学原理是利用了三角形的稳定性． 12．（本题5分）如图，，要使，只需添加的一个条件是_______．（填一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【详解】解：由题意可知： 是两个三角形公共边， ， 又已知， 添加条件： 在和中： ， ； 添加条件： 在和中： ， ， 综上，可填：（答案不唯一）． 13．（本题5分）如图，下列矩形中，按虚线剪开后，既能拼出平行四边形，又能拼出三角形的是图形（请填图形下面的代号）______． 【答案】 ②③/③② 【详解】解：①剪开后是两个直角梯形，能拼出平行四边形，但无法拼出三角形，不符合题意； ②剪开后是一个直角三角形和一个直角梯形，且右侧边被平分，将剪下的三角形绕中点旋转可拼成一个大三角形，将剪下的三角形平移可拼成平行四边形，符合题意； ③剪开后是两个全等的直角三角形，能拼成平行四边形和三角形，符合题意； ④剪开后是两个矩形，只能拼出平行四边形，无法拼出三角形，不符合题意； ⑤剪开后是一个直角三角形和一个直角梯形，但剪痕未经过中点，无法拼出三角形，不符合题意， ∴符合条件的图形为②③． 14．（本题5分）如图，将沿经过点A 的直线折叠，使边所在的直线与边所在的直线重合，点C落在边上的E处．若，，则_________ 【答案】 【详解】解：根据折叠可知， ，， ， ， ， ，， ， ． 三、解答题：本题共9小题，共90分。其中：15-18每题8分，19-20题每题10分，21-22题每题12分，23题14分 15．（本题8分）已知，，线段a如图所示．请你利用尺规作出（其中，，）（要求：保留作图痕迹，标注字母，不写作法）； 【答案】解：如图，即为所求. 【详解】略 16．（本题8分）如图，，与为对应角，与为对应边． (1)写出其他对应边及对应角； (2)若，，求的长． 【答案】(1)其他对应边：和，和；对应角：和，和； (2) 【详解】（1）解：其他对应边：和，和；对应角：和，和； （2）∵， ∴， ∴，即 ∵， ∴， ∴ 【点睛】本题考查了全等三角形的对应边相等，对应角相等，掌握全等三角形的概念是关键． 17．（本题8分）如图所示，已知，其中． (1)求证：． (2)求的长． 【答案】(1)证明：， ， ． (2) 【详解】（1）略 （2）， ， ， ， ， ， ． ． 18．（本题8分）如图，E为上一点，，．求证： (1)； (2)． 【答案】(1) 证明：在和中 ，，， ∴． (2) 证明：如图， 由（1）知， 在和中， ，，， ． 【详解】（1）略 （2）略 19．（本题10分）如图， ，直线与交于点，连接． (1)求证：； (2)若，求证：平分． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【详解】（1）证明：， ， ， 又， ； （2）证明：，， ∴，， ∴ ， ， ， ， ∴平分． 20．（本题10分）如图，已知：点、分别在线段、上，，． (1)求证：； (2)不添加任何字母，请你连接图中两点，得到一组全等的三角形是：________并给出证明． 【答案】(1)证明：在和中， ， ∴ (2)方法一：如图，连接，得到， 证明：∵， ∴，， 又∵， ∴，即， 在和中， ， ∴； 方法二：如图，连接，得到， ∵， ∴，， 又∵， ∴，即， 在和中， ， ∴ 【详解】（1）略 （2）略 21．（本题12分）如图1，，，，垂足分别为，，．点在线段上以的速度由点向点运动，同时点在射线上运动．它们运动的时间为（当点运动结束时，点运动随之结束）． (1)若点的运动速度与点的运动速度相等，当时，与是否全等，并判断此时线段和线段的位置关系，请分别说明理由； (2)如图2，若“，”改为“”，点的运动速度为，其他条件不变，当点，运动到何处时，有与全等？求出相应的的值． 【答案】(1)解：，，理由如下： ， ， ∵点与点的运动速度相等，且， ∴， ， ， ； ， ， ， ， ； (2)的值为或 【详解】（1）略 （2）解：①∵， ∴，， 又∵点的运动速度为， ∴，， 解得，； ②∵， ∴，， 同理可得，，， 解得，． 综上所述，当与全等时，的值为或． 22．（本题12分）如图1、2所示，小颖与爸爸、妈妈在操场上荡秋千，小颖坐在秋千上的起始位置点处，且起始位置的延长线与地面垂直，垂足为点．小颖两脚在地面上用力一蹬，小颖妈妈在距离地面高为米的点处接住小颖，小颖的妈妈到秋千起始位置的水平距离米；小颖的妈妈用力一推，小颖的爸爸在距离地面高为米的点处接住小颖，小颖的爸爸到秋千起始位置的水平距离为米，秋千的长度保持不变．解答下列问题： (1)当时，判断与是否相等，若相等，请证明；若不相等，请说明理由； (2)当，米，米，米时，求的值； (3)若考虑到安全和体感，点、点分别在的左边和右边，秋千摆动的夹角（即）始终保持，请直接写出，，，这四个变量之间的关系． 【答案】(1)，理由如下： 于点， ， ，     ， ，     ． (2) (3) 【详解】（1）略 （2）解：据题可知，据（1）可知， 在和中， ， ， 米，， ，， 米， 米， ． （3）解：据（2）可知， 则米，米， ，， ，即． 23．（本题14分）在中，，点E为上一动点，过点A作于D，连接．    (1)【观察发现】 如图①，与的数量关系是 ； (2)【尝试探究】 点E在运动过程中，的大小是否改变，若改变，请说明理由，若不变，求的度数； (3)【深入思考】 如图②，若E为中点，探索与的数量关系． 【答案】(1) (2)的大小不变， (3) 【详解】（1）∵ ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． （2）的大小不改变， 如图①，作交于点F，则，    ∴， 由（1）得， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴的大小不改变，． （3）， 理由：如图②，作交于点G，作于点H，则    ∴， ∵E为中点， ∴， ∵， ∴， ∴， 由（2）得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年八年级上册数学单元自测 第14章 全等三角形 建议用时：120分钟，满分：150分 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．（本题4分）下列各组图形中，属于全等图形的是（     ） A．两个面积相等的长方形 B．两个周长相等的等腰三角形 C．能够完全重合的两个图形 D．两个大小相近的正方形 2．（本题4分）如图，点、、在同一直线上，若，，，则等于（     ） A． B． C． D． 3．（本题4分）如图，能直接用“”判定的条件是（   ） A．， B．， C．， D．， 4．（本题4分）如图，把两根钢条，的中点连在一起，可以做成一个测量工件内槽宽的工具．这样可以利用三角形全等，通过量出的长度，就可知工件内径是否符合标准．其中说明的依据是（     ） A． B． C． D． 5．（本题4分）如图所示的网格是由9个相同的小正方形拼成的，图形的各个顶点均为格点，则的度数为（   ） A． B． C． D． 6．（本题4分）调皮的小明不小心把一块三角形玻璃打碎成如图所示的三部分，认识到错误的他想去配制一块与原来相同的三角形玻璃，那么应带下列选项中哪片碎玻璃（    ） A．① B．①② C．③ D．①②或者③都可以 7．（本题4分）如图，在中，，是上一点．，，垂足分别为，，，连接，则的度数为（     ） A． B． C． D． 8．（本题4分）根据下列条件，能画出唯一的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 9．（本题4分）如图，的面积为，平分，于点P，连接，则的面积为（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 10．（本题4分）已知的边长为4，边长为8，则边上的中线的长度的取值范围（   ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分） 11．（本题5分）如图，小明的桌子坏了，于是他给桌子加了两根木条，这样桌子就比较牢固了．小明这样做的数学原理是利用了三角形的__________（选填“稳定性”或“不稳定性”）． 12．（本题5分）如图，，要使，只需添加的一个条件是_______．（填一个即可） 13．（本题5分）如图，下列矩形中，按虚线剪开后，既能拼出平行四边形，又能拼出三角形的是图形（请填图形下面的代号）______． 14．（本题5分）如图，将沿经过点A 的直线折叠，使边所在的直线与边所在的直线重合，点C落在边上的E处．若，，则_________ 三、解答题：本题共9小题，共90分。其中：15-18每题8分，19-20题每题10分，21-22题每题12分，23题14分 15．（本题8分）已知，，线段a如图所示．请你利用尺规作出（其中，，）（要求：保留作图痕迹，标注字母，不写作法）； 16．（本题8分）如图，，与为对应角，与为对应边． (1)写出其他对应边及对应角； (2)若，，求的长． 17．（本题8分）如图所示，已知，其中． (1)求证：． (2)求的长． 18．（本题8分）如图，E为上一点，，．求证： (1)； (2)． 19．（本题10分）如图， ，直线与交于点，连接． (1)求证：； (2)若，求证：平分． 20．（本题10分）如图，已知：点、分别在线段、上，，． (1)求证：； (2)不添加任何字母，请你连接图中两点，得到一组全等的三角形是：________并给出证明． 21．（本题12分）如图1，，，，垂足分别为，，．点在线段上以的速度由点向点运动，同时点在射线上运动．它们运动的时间为（当点运动结束时，点运动随之结束）． (1)若点的运动速度与点的运动速度相等，当时，与是否全等，并判断此时线段和线段的位置关系，请分别说明理由； (2)如图2，若“，”改为“”，点的运动速度为，其他条件不变，当点，运动到何处时，有与全等？求出相应的的值． 22．（本题12分）如图1、2所示，小颖与爸爸、妈妈在操场上荡秋千，小颖坐在秋千上的起始位置点处，且起始位置的延长线与地面垂直，垂足为点．小颖两脚在地面上用力一蹬，小颖妈妈在距离地面高为米的点处接住小颖，小颖的妈妈到秋千起始位置的水平距离米；小颖的妈妈用力一推，小颖的爸爸在距离地面高为米的点处接住小颖，小颖的爸爸到秋千起始位置的水平距离为米，秋千的长度保持不变．解答下列问题： (1)当时，判断与是否相等，若相等，请证明；若不相等，请说明理由； (2)当，米，米，米时，求的值； (3)若考虑到安全和体感，点、点分别在的左边和右边，秋千摆动的夹角（即）始终保持，请直接写出，，，这四个变量之间的关系． 23．（本题14分）在中，，点E为上一动点，过点A作于D，连接．    (1)【观察发现】 如图①，与的数量关系是 ； (2)【尝试探究】 点E在运动过程中，的大小是否改变，若改变，请说明理由，若不变，求的度数； (3)【深入思考】 如图②，若E为中点，探索与的数量关系． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $