专题16 确定圆的条件专项训练（9大题型）2026-2027学年苏科版九年级数学上册

专题16 确定圆的条件 题型01 确定圆心（尺规作图） 题型02 求能确定圆的个数 题型03 三角形外接圆的概念辨析 题型04 求三角形外心坐标 题型05 碎圆还原问题 题型06 求三角形外接圆的半径 题型07 外心的位置与三角形的形状 题型08 确定圆的条件与坐标系 题型09 最小覆盖圆问题 题型10 三角形的外接圆（尺规作图） ▌题型01 确定圆心（尺规作图） 【典例1】张华不小心把家里的一块圆形玻璃镜打碎了，为了定制一块同样大小的玻璃镜，需要确定原玻璃镜的半径．工人师傅在如图所示的玻璃镜残片的边缘描出了点，给出，你能找到这块圆形玻璃镜的半径吗？作图说明． 【变式1-1】大家元摩天轮建在屋顶，建筑面积约1万，高101米，共48只轿厢，可同时容纳384人，现今是全国第二大摩天轮，也是国内最大的屋顶摩天轮，坐落在石角镇美林湖社区湖岸西路，距广清纺织园仅几分钟车程，作为清远的地标建筑之一，这里也是很多旅客的打卡圣地．如图1，是夜幕下的摩天轮，灯光璀璨，绽放异彩，图2是其示意图，虚线部分被屋顶遮住了．在图2中画出摩天轮的圆心O（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）． 【变式1-2】如图，在中，，，，P是的中点，用无刻度直尺和圆规作图并解答问题．以为直径作，与交于点Q，连接（不写作法，保留作图痕迹）． 【变式1-3】如图1和图2，是等边三角形． (1)请用无刻度的直尺和圆规在图1中作出的外接圆．（保留作图痕迹，不写作法） (2)点P在上（点P不与点A、C重合），在图2中连接、、，求证：． ▌题型02 求能确定圆的个数 【典例1】已知线段，经过、两点且半径为5的圆有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．无数个 【变式1-1】如图，已知点，和线段，．用直尺和圆规作，使过点，，且半径为，则这样的圆可以作（   ） A．1个 B．2个 C．4个 D．无数个 【变式1-2】已知为平面内不重合的四个点，且这四点不在同一直线上，它们可以确定圆的个数不可能是（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】如图，点A，B，C均在直线l上，点P在直线l外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 ▌题型03 三角形外接圆的概念辨析 【典例1】下列关于三角形外心的说法中，错误的是（     ） A．三角形的外心到三个顶点的距离相等 B．三角形的外心是三条边的垂直平分线的交点 C．等腰三角形的外心在三角形内 D．任何一个三角形有且只有一个外接圆 【变式1-1】对于三角形的外心，下列说法错误的是（     ） A．它到三角形三个顶点的距离相等 B．它到三角形三个顶点的连线平分三内角 C．它到任意一顶点的距离等于这三角形的外接圆的半径 D．以它为圆心，它到三角形一顶点的距离为半径作圆，必通过另外两个顶点 【变式1-2】下列说法正确的是（     ） A．三点确定一个圆 B．到三角形三个顶点距离相等的点是三角形的内心 C．三角形三条高的交点是三角形的重心 D．直角三角形的外心在斜边上 【变式1-3】下列说法：①直径是圆中最长的弦；②长度相等的两条弧是等弧；③相等的圆心角所对的弧相等；④三角形的外心是三角形三个内角平分线的交点．其中是真命题的有（   ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 ▌题型04 求三角形外心坐标 【典例1】如图，顶点都在网格格点上，外接圆的圆心是（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，写出的外接圆的圆心坐标为___________．    【变式1-2】如图，在平面直角坐标系中 ，每个小正方形网格的边长为1 ，点A ，B，C都在格点上． (1)的外接圆的圆心坐标为_____，该外接圆的面积为_____ (2)点D在格点上，画出使得 ． 【变式1-3】如图，在平面直角坐标系中，点、、，    (1)利用网格线画出经过A，B，C三点的圆弧所在圆的圆心D（保留作图痕迹）；D点的坐标为________； (2)的半径为________，的度数为________； (3)点M是第一象限网格中的一个格点，当时，点M的坐标为________． ▌题型05 碎圆还原问题 【典例1】一块圆形的玻璃打碎了，三块碎片如图所示，为了配一块一样的玻璃带哪一块去？（     ） A．① B．② C．③ D．都可以 【变式1-1】如图是一块被打碎的圆形玻璃，若想要去店里配到一块与原来大小一样的圆形玻璃，应该带去店里的碎片是（   ） A．① B．② C．③ D．④ 【变式1-2】如图是一块被打碎的圆形玻璃，若想要去店里配到一块与原来大小一样的圆形玻璃，应该带去店里的碎片是_____ ． 【变式1-3】小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，带如图的玻璃碎片到商店配到与原来大小一样的圆形玻璃，以下是工作人员排列的操作步骤： ①连接AB和BC； ②在玻璃碎片上任意找不在同一直线上的三点A、B、C； ③以点O为圆心，OA为半径作⊙O； ④分别作出AB和BC的垂直平分线，并且相交于点O； 正确的操作步骤是 　 　 ． ▌题型06 求三角形外接圆的半径 【典例1】在中，，，，则它的外心与顶点的距离为（   ）． A． B． C． D． 【变式1-1】已知一个三角形的三边长分别为、、，则其外接圆的半径为_________． 【变式1-2】中，，，则的外接圆的半径为______． 【变式1-3】已知直角三角形的两条直角边的长分别为和，求这个直角三角形的外接圆半径． ▌题型07 外心的位置与三角形的形状 【典例1】如果一个三角形的外心在三角形的外部，那么这个三角形一定是（　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定 【变式1-1】的外心在三角形的一边上，则是（　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法判断 【变式1-2】下列三角形的外心一定在该三角形外部的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】若一个三角形的外心在这个三角形的外部，那么这个三角形的形状是________． ▌题型08 确定圆的条件与坐标系 【典例1】在平面直角坐标系中，若，，三点可以确定一个圆，则n的取值范围是(   ) A． B． C． D． 【变式1-1】已知：A点坐标为，B点坐标为，若过A、B、C三点不能确定一个圆，写出一个满足要求的C点坐标_________．（写出一个就行） 【变式1-2】若在平面直角坐标系中的点，，不能确定一个圆，则的值是______． 【变式1-3】若过平面直角坐标系中的三个点、、能确定一个圆，则_________． ▌题型09 最小覆盖圆问题 【典例1】如图，在中，，能够将完全覆盖的最小圆形纸片的面积是 _________． 【变式1-1】如图，在中，，用一个圆面去覆盖，能够完全覆盖这个三角形的最小圆面的半径是________． 【变式1-2】定义：我们称能完全覆盖某平面图形的圆（即该平面图形上所有的点均在圆内或圆上）为该平面图形的覆盖圆．其中，能完全覆盖平面图形的最小的圆（即直径最小）称为该平面图形的最小覆盖圆． 爱动脑筋的小明思考：任意一个三角形都能被它的外接圆覆盖，那三角形的外接圆一定是该三角形的最小覆盖圆吗？如图，在中，，，． (1)在图中，作出的外接圆（要求用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）． (2)的外接圆是它的最小覆盖圆吗？如果是，请说明理由；如果不是，请求出的最小覆盖圆的直径． 【变式1-3】【给出定义】 若一个平面图形的所有点都位于某圆的内部或圆周上，则称该圆为该平面图形的覆盖圆．在所有覆盖圆中，直径最小的一个圆，称为该平面图形的最小覆盖圆． 【观察发现】 如图，小莹同学发现：“任意一个三角形都能被它的外接圆覆盖”．从而，得出“三角形的外接圆就是覆盖该三角形的最小覆盖圆”的结论． 【问题解决】 （1）你同意小莹的观点吗？若不同意，请你写出一条自己的发现； （2）在矩形中，，，则该矩形的最小覆盖圆的直径为______； （3）如图4，在平面直角坐标系中，已知点，，点C是y轴正半轴上的一个点，且． ①求的最小覆盖圆的半径； ②求点C的坐标． 【综合应用】 （4）如图5，在四边形中，，，，且，，．若点E是四边形最小覆盖圆圆周上一点，则DE的最小值为．（注：直接写出答案即可） ▌题型10 三角形的外接圆（尺规作图） 【典例1】如图，在中，请用尺规作图法求作，使得圆心在边上，且，在上．（保留作图痕迹，不写作法） 【变式1-1】如图，已知直线l和直线外的两点A，B（直线与l不垂直），求作经过点A，B的圆，并使它的圆心在直线l上． 【变式1-2】如图，是边长为2的等边三角形，作出它的外接圆，并求外接圆的半径长． 【变式1-3】如图，在四点A，B，C，D中，任意三点都不在同一条直线上．作过A，B，C三点的圆，并判断这个圆是否过点D． 1 / 12 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题16 确定圆的条件 题型01 确定圆心（尺规作图） 题型02 求能确定圆的个数 题型03 三角形外接圆的概念辨析 题型04 求三角形外心坐标 题型05 碎圆还原问题 题型06 求三角形外接圆的半径 题型07 外心的位置与三角形的形状 题型08 确定圆的条件与坐标系 题型09 最小覆盖圆问题 题型10 三角形的外接圆（尺规作图） ▌题型01 确定圆心（尺规作图） 【典例1】张华不小心把家里的一块圆形玻璃镜打碎了，为了定制一块同样大小的玻璃镜，需要确定原玻璃镜的半径．工人师傅在如图所示的玻璃镜残片的边缘描出了点，给出，你能找到这块圆形玻璃镜的半径吗？作图说明． 【答案】如图所示，即为所求半径， 【分析】根据不在同一直线上的三个点确定一个圆，垂直平分线上的点到线段两端距离相等，三角形三边垂直平分线的交点就是外接圆的圆心，圆心到顶点的距离就是半径，作的垂直平分线，它们的交点就是圆心，圆心到点任意一点的距离就是半径． 【详解】解：分别作线段和的垂直平分线，两条垂直平分线交于一点，记为点，以点为圆心，连接就是原玻璃镜的半径． 【变式1-1】大家元摩天轮建在屋顶，建筑面积约1万，高101米，共48只轿厢，可同时容纳384人，现今是全国第二大摩天轮，也是国内最大的屋顶摩天轮，坐落在石角镇美林湖社区湖岸西路，距广清纺织园仅几分钟车程，作为清远的地标建筑之一，这里也是很多旅客的打卡圣地．如图1，是夜幕下的摩天轮，灯光璀璨，绽放异彩，图2是其示意图，虚线部分被屋顶遮住了．在图2中画出摩天轮的圆心O（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）． 【答案】如图，点O即为所求 【分析】在圆弧上任取一点，作和的垂直平分线，交点即可为圆心O； 【详解】（1）略 【变式1-2】如图，在中，，，，P是的中点，用无刻度直尺和圆规作图并解答问题．以为直径作，与交于点Q，连接（不写作法，保留作图痕迹）． 【答案】如图所示，即为所求 【分析】作的垂直平分线交于点O，再以O为圆心，为半径作圆，与交于点Q，连接． 【详解】解：略 【变式1-3】如图1和图2，是等边三角形． (1)请用无刻度的直尺和圆规在图1中作出的外接圆．（保留作图痕迹，不写作法） (2)点P在上（点P不与点A、C重合），在图2中连接、、，求证：． 【答案】(1) 如图1所示，即为所求 (2) 证明：如图2，延长至点E，使，连接， ∵四边形是的内接四边形， ∴． ∵， ∴． ∵是等边三角形， ∴， ∴ ∴，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴ 【分析】（1）分别作的垂直平分线交于点，以为半径作即可； （2）延长至点E，使，连接，证明，进而证明是等边三角形，根据线段的和差关系，即可求解． 【详解】（1）略 （2）略 ▌题型02 求能确定圆的个数 【典例1】已知线段，经过、两点且半径为5的圆有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．无数个 【答案】C 【分析】本题考查的是确定圆的条件，熟记圆心的确定方法是解题的关键． 经过两点、的圆的圆心在线段的垂直平分线上，且圆心到、的距离等于半径，利用勾股定理计算圆心到中点的距离，判断是否存在这样的圆． 【详解】解：如图， 分别以、为圆心、5为半径作圆，两圆相交于点C、D， 然后分别以C、D为圆心，5为半径作圆，则和为所求． 故选：C． 【变式1-1】如图，已知点，和线段，．用直尺和圆规作，使过点，，且半径为，则这样的圆可以作（   ） A．1个 B．2个 C．4个 D．无数个 【答案】B 【分析】本题考查作图-复杂作图、确定圆的条件，熟练掌握与圆有关的性质是解答本题的关键．连接，作线段的垂直平分线，以点（或）为圆心，线段的长为半径画弧，交线段的垂直平分线于点，分别以为圆心，线段的长为半径画圆即可． 【详解】解：如图，满足题意． 这样的圆可以作2个． 故选：B． 【变式1-2】已知为平面内不重合的四个点，且这四点不在同一直线上，它们可以确定圆的个数不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了确定圆的条件，根据题意分两种情况讨论（）有三点共线；（）任意三点不共线，解题的关键是了解不在同一直线上的三点确定一个圆． 【详解】解：∵四点不在同一直线上， ∴根据题意分两种情况讨论：（）若有三点共线，则过其中三点作圆，可作个圆； （）若任意三点不共线，则过其中三点作圆，可作或个圆； ∴确定圆的个数为、或，不可能为， 故选：． 【变式1-3】如图，点A，B，C均在直线l上，点P在直线l外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题主要考查了确定圆的条件，根据不共线的三点可以确定一个圆进行求解即可． 【详解】解：∵不共线的三点可以确定一个圆， ∴取点P，再取A、B、C中的任意两点，都可以确定一个圆， ∴最多可以确定3个圆（过P、A、B三点，过P、A、C三点，过P、B、C三点）， 故选B． ▌题型03 三角形外接圆的概念辨析 【典例1】下列关于三角形外心的说法中，错误的是（     ） A．三角形的外心到三个顶点的距离相等 B．三角形的外心是三条边的垂直平分线的交点 C．等腰三角形的外心在三角形内 D．任何一个三角形有且只有一个外接圆 【答案】C 【分析】可通过外心位置与三角形形状的对应关系判断错误选项． 【详解】解：A选项，符合三角形外心的定义与性质，说法正确． B选项，符合三角形外心的定义与性质，说法正确． C选项，等腰三角形若为钝角三角形，外心在三角形外部；若为直角三角形，外心在斜边中点， 故等腰三角形的外心不一定在三角形内，说法错误． D选项，任何一个三角形有且只有一个外接圆，说法正确． 【变式1-1】对于三角形的外心，下列说法错误的是（     ） A．它到三角形三个顶点的距离相等 B．它到三角形三个顶点的连线平分三内角 C．它到任意一顶点的距离等于这三角形的外接圆的半径 D．以它为圆心，它到三角形一顶点的距离为半径作圆，必通过另外两个顶点 【答案】B 【分析】根据三角形外心的定义和其性质逐一判断即可． 【详解】解：A、三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点，所以外心到三角形三个顶点的距离相等，故选项A正确，该选项不符合题意； B、到三角形三个顶点的连线平分三内角的是内心，不是外心，故选项B错误，该选项符合题意； C、三角形的外心即外接圆的圆心，三角形三个顶点都在外接圆上，所以外心到任一顶点的距离等于这个三角形的外接圆的半径，故选项C正确，该选项不符合题意； D、三角形的外心是三边垂直平分线的交点，所以它到三角形三个顶点的距离相等，则以它为圆心，它到三角形一顶点的距离为半径作圆，必通过另外两个顶点，故选项D正确，该选项不符合题意． 【变式1-2】下列说法正确的是（     ） A．三点确定一个圆 B．到三角形三个顶点距离相等的点是三角形的内心 C．三角形三条高的交点是三角形的重心 D．直角三角形的外心在斜边上 【答案】D 【详解】选项A：只有不在同一直线上的三点才能确定一个圆，选项A错误，不符合题意； 选项B：到三角形三个顶点距离相等的点是三角形的外心，到三角形三边距离相等的点才是三角形的内心，所以B错误，不符合题意； 选项C：三角形三条高的交点是三角形的垂心，三角形三条中线的交点才是三角形的重心，所以C错误，不符合题意； 选项D：直角三角形的外心是其斜边的中点，因此直角三角形的外心在斜边上，所以D正确． 【变式1-3】下列说法：①直径是圆中最长的弦；②长度相等的两条弧是等弧；③相等的圆心角所对的弧相等；④三角形的外心是三角形三个内角平分线的交点．其中是真命题的有（   ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】根据弦的定义，等弧的定义，圆心角与弧的关系，三角形外心的定义，逐一判断命题真假即可得到结果． 【详解】解：①直径是圆中最长的弦，该命题为真； ②等弧的定义是同圆或等圆中能够完全重合的弧，仅长度相等的两条弧不一定是等弧，该命题为假； ③只有在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧才相等，缺少前提条件，该命题为假； ④三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点，三角形内角平分线的交点是内心，该命题为假； 综上，真命题共1个． ▌题型04 求三角形外心坐标 【典例1】如图，顶点都在网格格点上，外接圆的圆心是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角形的外接圆的圆心为三角形三边中垂线的交点，然后根据两点之间的距离公式可知每段线段的大小，根据线段的等量关系求解． 本题考查了三角形的外接圆，平面直角坐标系以及两点之间的距离公式，知道三角形的外接圆的圆心为三角形三边中垂线的交点是解题关键． 【详解】 解： 设外接圆的圆心为点, 外接圆的圆心为三角形三条边中垂线的交点， 由题可知，,, 则作的中垂线交于, 作的中垂线交于, , 设点的坐标为， , ， ， ， 则点的坐标为． 故选: ． 【变式1-1】如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，写出的外接圆的圆心坐标为___________．    【答案】 【分析】本题主要考查三角形外接圆的相关知识点，熟练掌握三角形的外心是解题的关键；因此此题可分别作出线段的垂直平分线，然后问题可求解． 【详解】解：分别作线段的垂直平分线，如图所示：      ∴由坐标系可知：的外接圆的圆心坐标为； 故答案为． 【变式1-2】如图，在平面直角坐标系中 ，每个小正方形网格的边长为1 ，点A ，B，C都在格点上． (1)的外接圆的圆心坐标为_____，该外接圆的面积为_____ (2)点D在格点上，画出使得 ． 【答案】(1)； (2) 解：如图所示，和即为所求． 【分析】本题主要考查了确定三角形外接圆的圆心的位置，圆内接四边形的性质，熟知三角形外接圆的定义是解题的关键． （1）三角形外接圆的圆心为其三边垂直平分线的交点，据此作出三角形外接圆的圆心位置，即可得到对应的坐标，再利用两点距离计算公式求出对应的半径，即可求出对应的面积； （2）以点为圆心，的长为半径画弧，与格线的交点（在下方）即为点D的位置，根据圆内接四边形对角互补可证明； 【详解】（1）解：如图所示，作线段的垂直平分线，二者交于点，则点即为的外接圆的圆心，由图可知点的坐标为， ∵， ∴， ∴该外接圆的面积为； （2）略 【变式1-3】如图，在平面直角坐标系中，点、、，    (1)利用网格线画出经过A，B，C三点的圆弧所在圆的圆心D（保留作图痕迹）；D点的坐标为________； (2)的半径为________，的度数为________； (3)点M是第一象限网格中的一个格点，当时，点M的坐标为________． 【答案】(1)如图，    (2)， (3)（答案不唯一） 【分析】（1）如图，连接，，，作，的垂直平分线，交于点，再进一步可得答案； （2）利用勾股定理分别求解圆的半径，再判断为直角三角形即可； （3）分别求解直线，的解析式，再进一步解答即可． 【详解】（1）解：连接，，，作，的垂直平分线，交于点， ∴即为所求，； （2）解：∵，，， ∴；，， ∴， ∴； （3）解：∵，， ∴设直线为， ∴， 解得：， ∴直线为， ∵， ∴设直线为， ∵， ∴， ∴， ∴直线为， 当时，， 当时，， ∴当点M是第一象限网格中的一个格点时，或（答案不唯一）． ▌题型05 碎圆还原问题 【典例1】一块圆形的玻璃打碎了，三块碎片如图所示，为了配一块一样的玻璃带哪一块去？（     ） A．① B．② C．③ D．都可以 【答案】A 【分析】要确定圆的大小需知道其半径．根据垂径定理知第①块可确定半径的大小． 【详解】解：第①块出现两条完整的弦，作出这两条弦的垂直平分线，两条垂直平分线的交点就是圆心，进而可得到半径的长． 【变式1-1】如图是一块被打碎的圆形玻璃，若想要去店里配到一块与原来大小一样的圆形玻璃，应该带去店里的碎片是（   ） A．① B．② C．③ D．④ 【分析】要确定圆的大小需知道其半径．根据垂径定理知第①③④块均可确定半径的大小． 【解答】解：第①④块出现一段完整的弧，可在这段弧上任做两条弦，作出这两条弦的垂直平分线，两条垂直平分线的交点就是圆心，进而可得到半径的长． 第③块有三点在圆上，作出这两条弦的垂直平分线，两条垂直平分线的交点就是圆心，进而可得到半径的长， 故选：B． 【变式1-2】如图是一块被打碎的圆形玻璃，若想要去店里配到一块与原来大小一样的圆形玻璃，应该带去店里的碎片是_____ ． 【答案】② 【分析】本题考查了垂径定理的应用，确定圆的条件，解题的关键是熟练掌握：圆上任意两弦的垂直平分线的交点即为该圆的圆心． 根据不在一条直线上三点确定一个圆即可解得． 【详解】解：根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心．只要有一段弧． 所以带到店去的一块玻璃碎片应该是②． 故答案为：②． 【变式1-3】小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，带如图的玻璃碎片到商店配到与原来大小一样的圆形玻璃，以下是工作人员排列的操作步骤： ①连接AB和BC； ②在玻璃碎片上任意找不在同一直线上的三点A、B、C； ③以点O为圆心，OA为半径作⊙O； ④分别作出AB和BC的垂直平分线，并且相交于点O； 正确的操作步骤是 　 　 ． 【分析】根据垂径定理解决问题即可． 【详解】解：由题意正确的操作步骤：②①④③． ▌题型06 求三角形外接圆的半径 【典例1】在中，，，，则它的外心与顶点的距离为（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查直角三角形外心的性质、勾股定理以及直角三角形斜边上的中线性质等，熟练掌握直角三角形外心在斜边中点，外接圆半径等于斜边的一半是解题的关键．先运用勾股定理求出的值，再通过外心为斜边的中点，求出外接圆半径，即得外心与顶点的距离． 【详解】解：∵，，，， ∴． ∵ 外心为斜边的中点， ∴ 外接圆半径． ∴ 外心与顶点的距离为． 故选：D． 【变式1-1】已知一个三角形的三边长分别为、、，则其外接圆的半径为_________． 【答案】 【分析】在 中， ， ，过点 作 于点 ，根据等腰三角形“三线合一”的性质得出，利用勾股定理求出，利用三角形外接圆圆心在各边的垂直平分线上，可知圆心在底边的高所在直线上，设半径后利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：如图，在 中， ， ，过点 作 于点 ， ∵ ， ， ∴ ， 垂直平分 ， ∴ ， ∵三角形外接圆圆心在三角形任意一边的垂直平分线上， ∴外接圆圆心 在射线上，连接，设外接圆半径为 ，则 ， ∴ ， 在 中， ， ∴， 解得：．即外接圆的半径为． 【变式1-2】中，，，则的外接圆的半径为______． 【答案】5 【分析】本题考查的是直角三角形的外接圆半径，重点在于理解直角三角形的外接圆是以斜边中点为圆心，斜边长是圆的直径．已知中，，，斜边是外接圆的直径，因而外接圆的半径等于5． 【详解】解：，， 外接圆的半径等于5． 故答案为5. 【变式1-3】已知直角三角形的两条直角边的长分别为和，求这个直角三角形的外接圆半径． 【答案】这个直角三角形的外接圆半径为 【分析】先由勾股定理求出直角三角形的斜边长，再根据直角三角形的外接圆直径等于斜边长即可求出答案． 【详解】解：∵直角三角形的两条直角边的长分别为和， ∴这个直角三角形的斜边长为， ∵直角三角形的外接圆直径等于斜边长， ∴这个直角三角形的外接圆半径为． ▌题型07 外心的位置与三角形的形状 【典例1】如果一个三角形的外心在三角形的外部，那么这个三角形一定是（　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查三角形的外心，根据外心的形成和性质直接判断即可． 【详解】解：三角形的外心是三条边的垂直平分线的交点，该点是到三角形三个顶点的距离相等， 如果一个三角形的外心在三角形的外部，说明有一个圆周角大于． 故选：C 【变式1-1】的外心在三角形的一边上，则是（　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法判断 【答案】B 【分析】根据三角形外心与三角形的位置关系可判断三角形的形状，因此可得到答案． 【详解】解：当的外心在的内部时，则是锐角三角形； 当的外心在的外部时，则是钝角三角形； 当的外心在的一边时，则是直角三角形，且这边是斜边． 故选B． 【点睛】本题考查了三角形的外心，解决本题的关键是经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆，三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心． 【变式1-2】下列三角形的外心一定在该三角形外部的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形的外心，掌握相关知识是解题的关键．根据锐角三角形的外心在三角形内部，如果一个三角形的外心在它的一边的中点上，则该三角形是直角三角形，如果一个三角形的外心在它的外部，则该三角形是钝角三角形，即可判断． 【详解】解：因为钝角三角形的外心在它的外部， 由题意得知，只有D选项为钝角， 故选：D． 【变式1-3】若一个三角形的外心在这个三角形的外部，那么这个三角形的形状是________． 【答案】钝角三角形 【分析】根据三角形外心的性质“锐角三角形的外心在三角形内；直角三角形的外心在斜边上，与斜边中点重合；钝角三角形的外心在三角形外”即可得． 【详解】解：由三角形外心的性质可得： 钝角三角形的外心在其外部， 故答案为：钝角三角形． ▌题型08 确定圆的条件与坐标系 【典例1】在平面直角坐标系中，若，，三点可以确定一个圆，则n的取值范围是(   ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是确定圆的条件、待定系数法求一次函数解析式，利用待定系数法求出直线的解析式，再根据不在同一直线上的三个点确定一个圆解答． 【详解】解：设直线的解析式为： 则， 解得：， 直线的解析式为， 当时，， 点在直线上， ，， 三点可以确定一个圆时，， 故选：D． 【变式1-1】已知：A点坐标为，B点坐标为，若过A、B、C三点不能确定一个圆，写出一个满足要求的C点坐标_________．（写出一个就行） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查一次函数的图象与性质及圆的基本性质，熟练掌握圆的基本性质及一次函数的图象与性质是解题的关键；设直线的解析式为，则根据待定系数法得出函数解析式，然后根据A、B、C三点不能确定一个圆可知：A、B、C三点共线，进而问题可求解． 【详解】解：设直线的解析式为，由题意得： ，解得：， ∴直线的解析式为， ∵A、B、C三点不能确定一个圆， ∴A、B、C三点共线， ∴点C的坐标只需满足在直线上即可，例如：，等等； 故答案为（答案不唯一）． 【变式1-2】若在平面直角坐标系中的点，，不能确定一个圆，则的值是______． 【答案】3 【分析】本题考查一次函数与几何的综合应用．熟练掌握待定系数法求一次函数的解析式，一次函数的图象和性质，确定圆的条件，是解题的关键． 根据不在同一直线的三个点确定一个圆，得到当点C在直线上，三个点不能确定一个圆，进行求解即可． 【详解】解：设直线的解析式为， 把，代入， 得， 解得， ∴， ∴代入， 得， ∴当时， 平面直角坐标系中的三个点，，不能确定一个圆． 故答案为：3． 【变式1-3】若过平面直角坐标系中的三个点、、能确定一个圆，则_________． 【答案】4或 【分析】本题考查了不共线三点确定一个圆，求一次函数解析式，解一元二次方程等知识；根据题意求出直线的解析式，把点C的坐标代入函数解析式中，求得m的值，则当m不取这些值时，三点不共线，能确定一个圆． 【详解】解：直线的解析式为， 则有， 解得：， ∴直线的解析式为， 把点C的坐标代入得：， 即， 解得：， ∴当或时，A、B、C三点能确定一个圆； 故答案为：4或． ▌题型09 最小覆盖圆问题 【典例1】如图，在中，，能够将完全覆盖的最小圆形纸片的面积是 _________． 【答案】 【分析】根据题意作出合适的辅助线，然后根据圆的相关知识即可求得△ABC外接圆的直径，本题得以解决． 【详解】解：设圆的圆心为点，能够将完全覆盖的最小圆是的外接圆，作于点，连接，，如下图所示： ∵在中，，， ∴， ∵，， ∴为等腰三角形的角平分线和中线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 由勾股定理得， 得方程， 解得或（舍去）， ∴圆的面积为． 【变式1-1】如图，在中，，用一个圆面去覆盖，能够完全覆盖这个三角形的最小圆面的半径是________． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的外接圆与外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．找一个三角形的外心，就是找一个三角形的两条边的垂直平分线的交点．也考查了等腰三角形的性质和勾股定理．求出的外接圆半径即可． 【详解】解：作于D，如图， ∵， ∴， ∴， ∵垂直平分， ∴的外心O在上， 连接，设的外接圆的半径为r，则 在中，，解得， ∵能够完全覆盖这个三角形的最小圆为的外接圆， ∴能够完全覆盖这个三角形的最小圆面的半径为． 故答案为：． 【变式1-2】定义：我们称能完全覆盖某平面图形的圆（即该平面图形上所有的点均在圆内或圆上）为该平面图形的覆盖圆．其中，能完全覆盖平面图形的最小的圆（即直径最小）称为该平面图形的最小覆盖圆． 爱动脑筋的小明思考：任意一个三角形都能被它的外接圆覆盖，那三角形的外接圆一定是该三角形的最小覆盖圆吗？如图，在中，，，． (1)在图中，作出的外接圆（要求用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）． (2)的外接圆是它的最小覆盖圆吗？如果是，请说明理由；如果不是，请求出的最小覆盖圆的直径． 【答案】(1) 解：如图，即所求． (2)不是， 【分析】（1）作线段，的垂直平分线交于点O，连接以O为圆心，为半径作即可； （2）的外接圆不是它的最小覆盖圆，以为直径的圆是最小覆盖圆． 【详解】（1）略 （2）解：的外接圆不是它的最小覆盖圆．以为直径的是的最小覆盖圆． 如图，过点作交的延长线于点． ， ， ， ，， ， ， 的最小覆盖圆的直径为． 【变式1-3】【给出定义】 若一个平面图形的所有点都位于某圆的内部或圆周上，则称该圆为该平面图形的覆盖圆．在所有覆盖圆中，直径最小的一个圆，称为该平面图形的最小覆盖圆． 【观察发现】 如图，小莹同学发现：“任意一个三角形都能被它的外接圆覆盖”．从而，得出“三角形的外接圆就是覆盖该三角形的最小覆盖圆”的结论． 【问题解决】 （1）你同意小莹的观点吗？若不同意，请你写出一条自己的发现； （2）在矩形中，，，则该矩形的最小覆盖圆的直径为______； （3）如图4，在平面直角坐标系中，已知点，，点C是y轴正半轴上的一个点，且． ①求的最小覆盖圆的半径； ②求点C的坐标． 【综合应用】 （4）如图5，在四边形中，，，，且，，．若点E是四边形最小覆盖圆圆周上一点，则DE的最小值为．（注：直接写出答案即可） 【答案】（1）不同意小莹的观点，发现一：锐角三角形、直角三角形的外接圆是覆盖三角形的最小覆盖圆，钝角三角形的外接圆不是覆盖三角形的最小覆盖圆；发现二：钝角三角形的最小覆盖圆是以最长边为直径的圆； （2）； （3）①的最小覆盖圆的半径为；②点C的坐标是； （4） 【分析】（1）根据外接圆的性质，分别证明即可； （2）连接，交于点，由矩形的性质得到四边形是矩形，点、、、四点共圆，由勾股定理求出即可； （3）①取外接圆的圆心，连接，，根据圆周角定理和勾股定理求解； ②过点作轴，轴，则四边形是矩形，由等腰直角三角形的性质和勾股定理求出，即可得到点C的坐标； （4）四边形的最小覆盖圆是以为直径的圆，最小的点需在连线上，过点作于点，由勾股定理求解作差即可． 【详解】解：（1）不同意小莹的观点，在图1中设锐角外接圆圆心为点， 连接，，， 锐角的外接圆是该三角形的最小覆盖圆， 如图，设直角外接圆圆心为点，连接， 则，且为外接圆的直径， 直角的外接圆是该三角形的最小覆盖圆， 在图3中设钝角中， 作以最长边为直径的圆，则由下图可知，点在此圆内， 故钝角三角形的外接圆不是覆盖该三角形的最小覆盖圆，以最长边为直径的圆是钝角三角形的最小覆盖圆； 综上所述，若三角形是锐角三角形或直角三角形，则其最小覆盖圆为其外接圆，若钝角三角形，则其最小覆盖圆是以三角形最长边为直径的圆，故小莹的说法不正确． （2）如图所示，连接，交于点， 四边形是矩形， ，， 点、、、四点共圆， ， 该矩形的最小覆盖圆的直径为； （3）①取外接圆的圆心，连接，， ，， ， ， ， ， 的最小覆盖圆的半径是； ②过点作轴，轴， 则四边形是矩形， 由①知是等腰直角三角形， ， ，， ， ， ， （4）由（1）知，钝角三角形的最小覆盖圆是以三角形最长边为直径的圆， ， 故四边形的最小覆盖圆是以为直径的圆，如图所示，即， 此时，点在圆内，要使最小，点需在连线上，即延长线与圆周的交点， 由于，，， 根据勾股定理求得， 则， 过点作于点， ，， ， ， 则， ▌题型10 三角形的外接圆（尺规作图） 【典例1】如图，在中，请用尺规作图法求作，使得圆心在边上，且，在上．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】 【分析】作的线段垂直平分线，交于点，再以点为圆心、长为半径画圆即可． 【详解】解：略． 【变式1-1】如图，已知直线l和直线外的两点A，B（直线与l不垂直），求作经过点A，B的圆，并使它的圆心在直线l上． 【答案】如图，圆O即为所求： 【分析】连接，作出的垂直平分线交直线l于O点，以O为圆心，为半径作圆即可． 【详解】略 【变式1-2】如图，是边长为2的等边三角形，作出它的外接圆，并求外接圆的半径长． 【答案】， 【分析】先作线段，的垂直平分线，两条垂直平分线交于点，再以点为圆心、长为半径画圆即为的外接圆；设的垂直平分线交于点，先求出的长、的度数，再根据直角三角形的性质和勾股定理求解即可． 【详解】解：作出的外接圆：略． 如图，设的垂直平分线交于点， ∵是边长为2的等边三角形， ∴，，的垂直平分线经过点，的垂直平分线经过点， 即是的垂直平分线，是的垂直平分线， ∴，，， ∴在中，， ∴， ∴， ∴， 即外接圆的半径长为． 【变式1-3】如图，在四点A，B，C，D中，任意三点都不在同一条直线上．作过A，B，C三点的圆，并判断这个圆是否过点D． 【答案】如图，即为所求， 不经过点D 【分析】分别连接，、，分别作、的垂直平分线，交于点O，分别连接，再以点O为圆心，为半径作，由图形可以判断不过点D． 【详解】解：由作图可知，，故经过A，B，C三点， 由图形可知，到圆心的距离不等于半径， ∴不经过点D． 1 / 12 学科网（北京）股份有限公司 $