专题12 圆的相关概念与确定圆的条件的九类综合题型（压轴题专项训练）数学新教材苏科版九年级上册

**基本信息** 以“概念-条件-应用”为逻辑主线，通过通法总结、题型归纳与压轴挑战，系统构建圆的概念理解与确定条件应用能力，培养几何直观与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |解题通法|1表格|梳理圆的概念（弦、弧等）与确定条件（过点情况、外心），总结易错点（如等弧前提、外心位置）|从概念内涵到确定条件，建立知识框架| |题型归纳|9题型（典例+变式）|概念辨析法、位置关系判定法、外心性质应用法、尺规作图法|从基础概念到性质计算，再到坐标与作图应用| |压轴挑战|15题|综合运用圆的性质与几何变换，提升复杂问题解决能力|衔接中考压轴趋势，深化知识综合应用|

专题12 圆的相关概念与确定圆的条件 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、圆的有关概念 题型二、点与圆的位置关系及求参 题型三、弦的个数 题型四、根据圆的性质求角度 题型五、根据圆的性质求长度 题型六、求外心的坐标 题型七、求三角形外接圆的半径 题型八、外心的性质求解 题型九、尺规作图—三角形的外接圆 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 通法通法—明晰核心解法，助力能力迁移 类别 知识点 易错点 圆的相关概念 1. 圆：平面内到定点（圆心）的距离等于定长（半径）的所有点组成的图形 2. 弦与直径：连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦是直径，直径是圆中最长的弦 3. 弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，分为优弧（大于半圆）、劣弧（小于半圆）和半圆 4. 等圆/同圆：能够重合的两个圆叫做等圆，圆心相同的圆叫做同心圆，同圆或等圆的半径相等 5. 等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧 1. 误认为“直径是弦，弦就是直径”，实际上弦不一定经过圆心，只有过圆心的弦才是直径 2. 忽略等弧的前提条件“同圆或等圆中”，误认为长度相等的弧就是等弧 3. 误将半圆当成“周长”，混淆半圆既是弧也是特殊圆弧，不是封闭图形 确定圆的条件 1. 过一点：无数个圆，圆心为该点外任意一点，半径为该点与圆心的距离 2. 过两点：无数个圆，圆心都在两点连线的垂直平分线上 3. 过不在同一直线上的三点：有且只有一个圆，圆心是这三点构成三角形三边垂直平分线的交点（外心），这个圆叫做三角形的外接圆，这个三角形叫做圆的内接三角形 1. 直接说“三点确定一个圆”，漏掉“不在同一直线上”的前提条件 2. 混淆外心位置：误认为外心一定在三角形内部，实际锐角三角形外心在内部，直角三角形外心在斜边中点，钝角三角形外心在三角形外部 3. 过两点确定圆时，误认为圆心唯一，实际上圆心在垂直平分线上，有无数种可能 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、圆的有关概念 典例1 下列说法中，不正确的是（     ） A．圆是中心对称图形 B．圆绕着它的圆心旋转任意角度，都能与自身重合 C．圆的对称中心只有一个 D．圆的对称中心有无数个 变式1-1下列说法正确的个数是（     ）． ①弦是直径； ②半径相等的两个半圆是等弧； ③长度相等的两条弧是等弧； ④优弧一定大于劣弧． A． B． C． D． 变式1-2平面上到点的距离为的点的轨迹是______________． 变式1-3如图，在中，弦有________，直径有________，劣弧有________，优弧有________． 类型二、点与圆的位置关系及求参 典例2 已知的半径为，点P到圆心O的距离为，则点P与的位置关系是（   ） A．点P在圆上 B．点P在圆内 C．点P在圆外 D．无法确定 变式2-1点是外一点，的半径是，则的长可能是（    ） A． B． C． D． 变式2-2若点到上的点的最小距离是4，最大距离是6，则的半径为________ ． 变式2-3如图，在中，，，，，且，当以点C为圆心、长为半径的圆C与以点E为圆心的圆相交且点A在圆E外，则圆E的半径的取值范围是_______________． 题型三、弦的个数 典例3 如图，四点在上，点，点分别共线，则图中弦的条数为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 变式3-1如图，在中，弦的条数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．以上均不正确 变式3-2如图，在中，点A、O、D和点B、O、C分别在一条直线上，图中共有_______条弦，它们分别是_____________． 变式3-3如图，⊙O 中，点 A、O、D 以及点 B、O、C 分别在一条直线上，图中弦的条数有______条． 题型四、根据圆的性质求角度 典例4 如图，为的弦，，则所对的圆心角等于（     ）． A． B． C． D． 变式4-1如图，扇形，点C在上．若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 变式4-2如图，直角中，，，将点放至量角器左侧刻度位置．斜边经过量角器的中心点，边与量角器的交点为，连接，则_________度． 变式4-3如图，是的直径，E是上一点，A为延长线上一点，连接与交于点B，且，若，则的度数是________． 题型五、根据圆的性质求长度 典例5 如图，在半径为4的中，圆心角，则弦的长为（     ） A． B． C．4 D．8 变式5-1如图，在中，，以点为圆心，长为半径画弧交于点．以点为圆心，长为半径画弧，以点为圆心，长为半径画弧，两弧在直线下方交于点，连接交于点．若，，，则长为（     ） A． B． C． D． 变式5-2如图，A为上一点，按以下步骤作图：①连接，②以点A为圆心，长为半径作弧，交于点B；③在射线上截取；④连接．若，则的长为______． 变式5-3如图，是的弦，，若，则的长为__________． 题型六、求外心的坐标 典例6 如图，顶点都在网格格点上，外接圆的圆心是（   ） A． B． C． D． 变式6-1如图，在平面直角坐标系中，点，，，则的外心坐标是（    ） A． B． C． D． 变式6-2如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，写出的外接圆的圆心坐标为___________．    变式6-3如图，在平面直角坐标系中，点，点，点，则经画图操作可知，的外心坐标应是________． 题型七、求三角形外接圆的半径 典例7 边长为的等边三角形的外接圆的半径为（    ） A． B． C． D． 变式7-1已知一个直角三角形两条直角边的长分别为6和8，它的外接圆的半径是（   ） A．5 B．4 C．5或 D．4或5 变式7-2如图，在中，，能够将完全覆盖的最小圆形纸片的面积是 _________． 变式7-3如图，在正方形中，，点为边上的一个动点，连接，，点为外接圆的圆心．在点从点运动到点的过程中，下列说法正确的是________．（填序号） ①在点运动的过程中，的面积不发生变化； ②外接圆的最大半径为； ③外接圆的最小半径为； ④点运动的路径长为． 题型八、外心的性质求解 典例8 如图，中，，则它的外心与顶点C的距离为（    ） A． B． C． D． 变式8-1如图，为的外心，为正三角形，与相交于点，连接．若，，则为（    ） A．110° B．90° C．85° D．80° 变式8-2若点O是等腰的外心，且，底边，则的面积为____________________． 变式8-3如图，E是的外心，P，Q分别是，的中点，连接，，交于F，D两点．若，，，则的周长为______． 题型九、尺规作图—三角形的外接圆 典例9 如图，在中，，． (1)作的外接圆（只需作出图形，并保留作图痕迹）； (2)求它的外接圆半径． 变式9-1如图，在中，请用尺规作图法求作，使得圆心在边上，且，在上．（保留作图痕迹，不写作法） 变式9-2有一破损的水管，截面如图．请用直尺和圆规补全这个图（不写作法，保留作图痕迹） 变式9-3如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的顶点均为格点（网格线的交点）． (1)用直尺和圆规作出的外接圆，保留作图痕迹． (2)以边的中点O为旋转中心，将按逆时针方向旋转，得到，请画出． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．平面上有及一点P，P到上一点的距离最长为，最短为，则的半径为（     ）． A．4 B．2或4 C．3或2 D．4或3 2．如图，已知是的直径，为的弦，，连接，．分别以点，为圆心，以大于的长为半径作弧，并使两弧交于一点．直线交于点，连接．若，则的度数为（     ）    A． B． C． D． 3．如图，锐角三角形中，点O为中点．甲、乙二人想在上找一点P，使得的外心为点O，其作法分别如下．对于甲、乙二人的作法，下列判断正确的是（     ） 甲的作法 过点B作与垂直的直线，交于点P，则P即为所求 乙的作法 以O为圆心，长为半径画弧，交于点P，则P即为所求 A．两人都正确 B．两人都错误 C．甲正确，乙错误 D．甲错误，乙正确 4．如图，在中，，，按下列步骤作图：①以点A为圆心，适当的长度为半径作弧，分别交于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于的长为半径作弧相交于点H，作射线；②分别以点A，B为圆心，大于的长为半径作弧相交于点M、N，作直线，交射线于点O；③以点O为圆心，线段长为半径作圆，则的半径为（    ）    A．1.5 B．2 C．2.5 D．3 5．如图，在矩形中，，，为矩形的边上的一动点，点P从点B运动到点C，的外接圆的圆心运动的路径长为（ ） A． B． C． D． 6．如图，是⊙的一条弦，A为圆上一点，，，则的度数为____________． 7．如图，把圆形茶杯垫片沿直径剪开，得到两个近似的三角形，再拼成平行四边形，如下图所示．已知平行四边形的底是，那么圆形茶杯垫片的面积是_______．（ 取） 8．如图，在平面直角坐标系中，，为轴上两个动点，且坐标原点为线段的中点，点在以为圆心，1为半径的上运动，且始终满足，连接，当线段的长为整数时，线段的长为______． 9．如图，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别是、、是的外接圆，则的半径为_____． 10．如图，边长为的正方形外有一点，，为的中点，连接，则的最大值为________． 11．如图，在菱形中，点E，F，G，H分别为各边的中点．求证：E，F，G，H四点在同一个圆上． 12．如图，点是半圆的圆心，是半圆的直径，请用尺规作图法分别在半圆上取点和点（点在点右侧），连接、、，使得四边形是菱形．（不写作法，保留作图痕迹） 13．如图，在中，为直径，点为圆内一点，连接． (1)请用无刻度的直尺和圆规作出的平分线，交于点（保留作图痕迹，不写作法）． (2)若，连接，，求证：四边形是菱形． 14．【问题原型】如图①，在中，，，．点是边上一点，，连结，试探究线段长度的最小值． 【问题探究】 如图②，小明发现点的轨迹是以的中点为圆心，半径为的圆的一部分，因为，所以点的变化会导致点的变化，于是将问题进一步转化为探究点的轨迹问题：小明过点作，使点和点在直线同侧，且，连结，则，可知恒为直角，又因为点和点均为定点，可确定点的轨迹． 以下是小明证明的部分过程： 证明：过点作，使点和点在直线同侧，且，连结． 证明过程缺失 … 又，， ， ． (1)请你补全缺失的证明过程． 【解决问题】 (2)在图③中，点是线段的中点，请结合上述探究过程，用圆规和无刻度的直尺，在图③中作出【问题原型】中的点，使线段长度的最小，此时线段长度的最小值是________．（保留作图痕迹） 15．19世纪英国著名文学家和历史学家托马斯卡莱尔在平面解析几何的基础上发展了一元二次方程的几何解法．如图，关于一元二次方程的解法是使用一个特殊的圆与轴的交点，这个特殊的圆是以和为直径的端点的圆，若方程有两个实数根，则这个圆与轴就有两个交点，这两个交点的横坐标就是方程的根，即和是的根，假如方程有两个相等的实数解，则这个圆与轴相切，切点的横坐标为方程的根；假如方程无实数解，则这个圆与轴无交点．现我们用尺规作图的方法作出一元二次方程的根．如图，在轴上作出以方程两根为横坐标的点，（点在点的左边）．作法如下： ①分别以点，为圆心，大于长为半径画弧，两弧分别交于点，； ②连接，，交于点； ③以点为圆心，长为半径画圆，与轴交于点，； 则方程的两个根即为点，的横坐标． 请你依据以上步骤，用尺规作图的方法在图中作出以方程两根为横坐标的点，（保留作图痕迹，不写作法）． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题12 圆的相关概念与确定圆的条件 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、圆的有关概念 题型二、点与圆的位置关系及求参 题型三、弦的个数 题型四、根据圆的性质求角度 题型五、根据圆的性质求长度 题型六、求外心的坐标 题型七、求三角形外接圆的半径 题型八、外心的性质求解 题型九、尺规作图—三角形的外接圆 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 通法通法—明晰核心解法，助力能力迁移 类别 知识点 易错点 圆的相关概念 1. 圆：平面内到定点（圆心）的距离等于定长（半径）的所有点组成的图形 2. 弦与直径：连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦是直径，直径是圆中最长的弦 3. 弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，分为优弧（大于半圆）、劣弧（小于半圆）和半圆 4. 等圆/同圆：能够重合的两个圆叫做等圆，圆心相同的圆叫做同心圆，同圆或等圆的半径相等 5. 等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧 1. 误认为“直径是弦，弦就是直径”，实际上弦不一定经过圆心，只有过圆心的弦才是直径 2. 忽略等弧的前提条件“同圆或等圆中”，误认为长度相等的弧就是等弧 3. 误将半圆当成“周长”，混淆半圆既是弧也是特殊圆弧，不是封闭图形 确定圆的条件 1. 过一点：无数个圆，圆心为该点外任意一点，半径为该点与圆心的距离 2. 过两点：无数个圆，圆心都在两点连线的垂直平分线上 3. 过不在同一直线上的三点：有且只有一个圆，圆心是这三点构成三角形三边垂直平分线的交点（外心），这个圆叫做三角形的外接圆，这个三角形叫做圆的内接三角形 1. 直接说“三点确定一个圆”，漏掉“不在同一直线上”的前提条件 2. 混淆外心位置：误认为外心一定在三角形内部，实际锐角三角形外心在内部，直角三角形外心在斜边中点，钝角三角形外心在三角形外部 3. 过两点确定圆时，误认为圆心唯一，实际上圆心在垂直平分线上，有无数种可能 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、圆的有关概念 典例1 下列说法中，不正确的是（     ） A．圆是中心对称图形 B．圆绕着它的圆心旋转任意角度，都能与自身重合 C．圆的对称中心只有一个 D．圆的对称中心有无数个 【答案】D 【分析】C、D选项表述矛盾，可优先结合圆的中心对称性质判断对称中心数量． 【详解】解：圆是中心对称图形，对称中心为圆心且仅有1个，故A、C正确，D错误， 圆绕圆心旋转任意角度都能与自身重合，故B正确． 变式1-1下列说法正确的个数是（     ）． ①弦是直径； ②半径相等的两个半圆是等弧； ③长度相等的两条弧是等弧； ④优弧一定大于劣弧． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据圆的基本概念：直径是过圆心的弦，但弦不一定是直径；半径相等的半圆属于等弧；只长度相等，半径不同的不是等弧；只有在同圆或等圆中，优弧才一定大于劣弧，逐一分析各项即可． 【详解】解：∵弦是连接圆上任意两点的线段，直径是经过圆心的特殊弦， ∴弦不一定是直径，故①错误； ∵半径相等的两个半圆能够完全重合，是等弧， ∴②正确； ∵长度相等，半径相同的是等弧， ∴只有长度相等的两条弧不一定是等弧，故③错误； ∵只有在同圆或等圆中，优弧才一定大于劣弧， ∴不在同圆或等圆中，优弧不一定大于劣弧，故④错误． 综上所述，正确的说法有个． 变式1-2平面上到点的距离为的点的轨迹是______________． 【答案】以点为圆心，为半径的圆 【分析】本题考查了轨迹，圆的认识，解题的关键是理解圆的定义． 利用圆的定义进行回答． 【详解】解：平面上到点的距离为的点的轨迹是以为圆心，为半径的圆． 故答案为：以为圆心，为半径的圆． 变式1-3如图，在中，弦有________，直径有________，劣弧有________，优弧有________． 【答案】 AB，AC AC ， ， 【分析】本题考查了圆的弦、直径、劣弧、优弧，掌握这些定义是解题的关键． 本题根据弦的定义：连接圆上任意两点的线段；直径的定义：经过圆心的弦；劣弧的定义：小于半圆的弧；优弧的定义：大于半圆的弧即可解决问题． 【详解】解：∵弦是连接圆上任意两点的线段， ∴图中的弦有：； ∵直径是经过圆心的弦， ∴图中的直径有：； ∵劣弧是小于半圆的弧， ∴图中的劣弧有：， ∵优弧是大于半圆的弧， ∴图中的优弧有：，． 故答案为：；；，；，． 类型二、点与圆的位置关系及求参 典例2 已知的半径为，点P到圆心O的距离为，则点P与的位置关系是（   ） A．点P在圆上 B．点P在圆内 C．点P在圆外 D．无法确定 【答案】B 【分析】此题主要考查了对点与圆的位置关系的判断．关键要记住若半径为r，点到圆心的距离为d，则有：当时，点在圆外；当时，点在圆上，当时，点在圆内．据此解答即可． 【详解】解：∵的半径为，点P到圆心O的距离为， ∴， ∴点P与的位置关系是：P在内． 故选：B． 变式2-1点是外一点，的半径是，则的长可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查点与圆的位置关系，根据点在外的性质，可知的长度大于圆的半径，结合选项即可得出答案． 【详解】解：的半径是，点是外一点， ， 只有满足， 故选：D． 变式2-2若点到上的点的最小距离是4，最大距离是6，则的半径为________ ． 【答案】5或1 【分析】本题考查的是点与圆的位置关系，利用分类讨论的思想求解是解题的关键，根据点与圆的位置关系解答即可． 【详解】解：点到上的点的最小距离是4，最大距离是6， 当点在圆内时，的半径； 当点在圆外时，的半径， 综上所述，的半径为5或1． 故答案为：5或1． 变式2-3如图，在中，，，，，且，当以点C为圆心、长为半径的圆C与以点E为圆心的圆相交且点A在圆E外，则圆E的半径的取值范围是_______________． 【答案】 【详解】，，， ， ， △△， ， ， ， ，，， ， 要使得以点C为圆心、长为半径的圆C与以点E为圆心的圆相交， 则圆E的半径的范围为：， 又要使得点A在圆E外，则圆E的半径：， 又， ． 题型三、弦的个数 典例3 如图，四点在上，点，点分别共线，则图中弦的条数为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题考查圆的认识，理解弦的定义是解决本题的关键．根据弦的定义进行分析，从而得到答案． 【详解】解：图中的弦有共三条， 故选：B． 变式3-1如图，在中，弦的条数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．以上均不正确 【答案】C 【分析】本题主要考查了圆的弦．熟练掌握弦的定义是解决问题的关键．弦的定义：连接圆上任意两点的线段叫做弦． 根据圆的弦的定义解答． 【详解】在中，有弦、弦、弦、弦， 共有4条弦． 故选：C． 变式3-2如图，在中，点A、O、D和点B、O、C分别在一条直线上，图中共有_______条弦，它们分别是_____________． 【答案】 三/3 ，， 【分析】根据连接圆上任意两点的线段叫弦回答即可． 【详解】解：图中的弦有，，共三条． 故答案为：三；，，． 【点睛】本题主要考查圆的基本性质，熟练掌握弦的概念是解题的关键． 变式3-3如图，⊙O 中，点 A、O、D 以及点 B、O、C 分别在一条直线上，图中弦的条数有______条． 【答案】三/3 【分析】根据弦的定义（连接圆上任意两点的线段叫做弦）进行分析，即可得出结论． 【详解】解：根据弦的定义可得： 图中的弦有AB，BC，CE共三条， 故答案为：三． 【点睛】本题考查了弦的定义：连接圆上任意两点的线段叫弦，充分理解其定义是解题关键． 题型四、根据圆的性质求角度 典例4 如图，为的弦，，则所对的圆心角等于（     ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先根据圆的半径相等确定的度数，然后根据三角形内角和定理求出的度数． 【详解】解：，都是的半径， ， ， ， 所对的圆心角等于． 变式4-1如图，扇形，点C在上．若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，则，根据等边对等角与三角形内角和定理得到，，根据即可求出的度数． 【详解】解：连接，则， ∴， ， ∴． 变式4-2如图，直角中，，，将点放至量角器左侧刻度位置．斜边经过量角器的中心点，边与量角器的交点为，连接，则_________度． 【答案】 【分析】根据题意可知为圆心，、为圆上的点，利用等边对等角及三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：∵， ， ，即， ， ． 变式4-3如图，是的直径，E是上一点，A为延长线上一点，连接与交于点B，且，若，则的度数是________． 【答案】 【分析】连接，利用等腰三角形的性质得到，以及三角形外角的性质求出，结合即可求解． 【详解】解：连接， ，， ， ， 而， ， ， ， ． 题型五、根据圆的性质求长度 典例5 如图，在半径为4的中，圆心角，则弦的长为（     ） A． B． C．4 D．8 【答案】A 【分析】根据，的半径为4，可得，是直角三角形，再根据勾股定理即可计算出弦的长． 【详解】解：∵ ，的半径为4， ∴，是直角三角形， ∴， ∴弦的长为． 变式5-1如图，在中，，以点为圆心，长为半径画弧交于点．以点为圆心，长为半径画弧，以点为圆心，长为半径画弧，两弧在直线下方交于点，连接交于点．若，，，则长为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】如图，过点A作于点H，求出，，再利用勾股定理求解． 【详解】解∶如图，过点A作于点H， ，， ． ． 以点为圆心，长为半径画弧交于点， ． ． ． ． ． 变式5-2如图，A为上一点，按以下步骤作图：①连接，②以点A为圆心，长为半径作弧，交于点B；③在射线上截取；④连接．若，则的长为______． 【答案】 【分析】连接，证明，再利用勾股定理求解． 【详解】解：连接， 由题意得，， ∴为等边三角形， ， ， ， ， ， ， ． 变式5-3如图，是的弦，，若，则的长为__________． 【答案】 【分析】由题意得是等腰直角三角形，根据勾股定理求解即可． 【详解】解：由题意得，， ， 是等腰直角三角形， ． 题型六、求外心的坐标 典例6 如图，顶点都在网格格点上，外接圆的圆心是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角形的外接圆的圆心为三角形三边中垂线的交点，然后根据两点之间的距离公式可知每段线段的大小，根据线段的等量关系求解． 本题考查了三角形的外接圆，平面直角坐标系以及两点之间的距离公式，知道三角形的外接圆的圆心为三角形三边中垂线的交点是解题关键． 【详解】 解： 设外接圆的圆心为点, 外接圆的圆心为三角形三条边中垂线的交点， 由题可知，,, 则作的中垂线交于, 作的中垂线交于, , 设点的坐标为， , ， ， ， 则点的坐标为． 故选: ． 变式6-1如图，在平面直角坐标系中，点，，，则的外心坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查三角形的外心，熟练掌握三角形的外心是解题的关键；根据三角形的外心可分别作出线段的垂直平分线，它们的交点即为三角形的外心，进而问题可求解． 【详解】解：如图， 由图可知：的外心坐标是； 故选B． 变式6-2如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，写出的外接圆的圆心坐标为___________．    【答案】 【分析】本题主要考查三角形外接圆的相关知识点，熟练掌握三角形的外心是解题的关键；因此此题可分别作出线段的垂直平分线，然后问题可求解． 【详解】解：分别作线段的垂直平分线，如图所示：      ∴由坐标系可知：的外接圆的圆心坐标为； 故答案为． 变式6-3如图，在平面直角坐标系中，点，点，点，则经画图操作可知，的外心坐标应是________． 【答案】 【分析】本题考查了求三角形外心坐标，解题关键是掌握三角形的外心即是三角形三边垂直平分线的交点． 先由的外心即是三角形三边垂直平分线的交点，所以在平面直角坐标系中作与的垂线，两垂线的交点即为的外心. 【详解】解：∵的外心即是三角形三边垂直平分线的交点， ∴作图得： ∴与的交点即为所求的的外心， ∴的外心坐标是， 故答案为：． 题型七、求三角形外接圆的半径 典例7 边长为的等边三角形的外接圆的半径为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用等边三角形外心的性质，结合勾股定理即可求解. 【详解】解：设等边边长为，为其外接圆圆心，连接，过作于点， ∵是等边三角形，外接圆圆心在三角形的高上， ∴，. 设外接圆半径，在中，. ∵， ∴， 由勾股定理得 ， 代入得 ， 整理得 ， ， ∵， ∴. 变式7-1已知一个直角三角形两条直角边的长分别为6和8，它的外接圆的半径是（   ） A．5 B．4 C．5或 D．4或5 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理，外接圆．直角三角形的外接圆半径等于斜边的一半，因此先利用勾股定理求出斜边长，即可求出外接圆的半径． 【详解】解：∵直角三角形两条直角边长分别为6和8， ∴斜边， ∴外接圆半径， 因此，外接圆半径为5， 故选：A． 变式7-2如图，在中，，能够将完全覆盖的最小圆形纸片的面积是 _________． 【答案】 【分析】根据题意作出合适的辅助线，然后根据圆的相关知识即可求得△ABC外接圆的直径，本题得以解决． 【详解】解：设圆的圆心为点，能够将完全覆盖的最小圆是的外接圆，作于点，连接，，如下图所示： ∵在中，，， ∴， ∵，， ∴为等腰三角形的角平分线和中线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 由勾股定理得， 得方程， 解得或（舍去）， ∴圆的面积为． 【点睛】本题考查三角形的外接圆和外心，解答本题的关键是明确题意，作出合适的辅助线，利用数形结合的思想解答． 变式7-3如图，在正方形中，，点为边上的一个动点，连接，，点为外接圆的圆心．在点从点运动到点的过程中，下列说法正确的是________．（填序号） ①在点运动的过程中，的面积不发生变化； ②外接圆的最大半径为； ③外接圆的最小半径为； ④点运动的路径长为． 【答案】①②④ 【分析】利用三角形面积公式计算可判断说法①正确；当点与点或点重合时，外接圆的半径最大，据此计算可判断说法②正确；作于点，作于点，当共线时，外接圆的半径最小，据此计算可判断说法③错误；连接交于点，则点在点和点之间运动，则运动路径长为，据此计算可判断说法④正确． 【详解】解：∵， ∴在点运动的过程中，的面积不发生变化，说法①正确； 当点与点或点重合时，外接圆的半径最大，此时直径为， ∴外接圆的最大半径为，说法②正确； ∵外接圆的圆心在线段的垂线平分线上，作于点，作于点，如图， ∴， ∴当共线时，外接圆的半径最小， 如图，此时设，，， 在中，由勾股定理得， 解得，即外接圆的最小半径为，说法③错误； 连接交于点， ∴点在点和点之间运动，则运动路径长为， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点运动的路径长为，说法④正确． 题型八、外心的性质求解 典例8 如图，中，，则它的外心与顶点C的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了直角三角形的外接圆半径的求法，熟记直角三角形的外接圆是以斜边中点为圆心，以斜边的一半为半径的圆是解题关键．直角三角形的外心与斜边中点重合，因此外心到直角顶点的距离正好是斜边的一半；由勾股定理易求得斜边的长，进而可求出外心到直角顶点C的距离． 【详解】解：∵中，， ， 斜边上的中线长， 因而外心到直角顶点C的距离等于斜边的中线长. 故选：B． 变式8-1如图，为的外心，为正三角形，与相交于点，连接．若，，则为（    ） A．110° B．90° C．85° D．80° 【答案】C 【分析】由三角形的外心可知，结合，先求出，再利用是正三角形以及外角的性质即可求解的度数． 【详解】解：是的外心， 是正三角形 故选C． 【点睛】本题主要考查外心的性质，等边三角形的性质及三角形外角性质，熟练掌握外心的性质及外角的性质是解决本题的关键． 变式8-2若点O是等腰的外心，且，底边，则的面积为____________________． 【答案】或 【分析】本题考查三角形的外接圆与外心、等腰三角形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题．分两种情形讨论：①当圆心O在内部时．②当点O在外时．分别求解即可． 【详解】解：①当圆心O在内部时，作于E． ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ． ②当点O在外时，连接交于E． ， 故答案为：或． 变式8-3如图，E是的外心，P，Q分别是，的中点，连接，，交于F，D两点．若，，，则的周长为______． 【答案】12 【分析】本题考查三角形的外心，垂直平分线的性质，三线合一，先根据已知条件证明垂直平分，垂直平分，进而得出，，等量代换即可求解． 【详解】解：如图，连接，， E是的外心， ， P，Q分别是，的中点， ，， 垂直平分，垂直平分， ，， 的周长， 故答案为：12． 题型九、尺规作图—三角形的外接圆 典例9 如图，在中，，． (1)作的外接圆（只需作出图形，并保留作图痕迹）； (2)求它的外接圆半径． 【答案】(1)如图所示，即为所求的的外接圆； (2)它的外接圆半径为． 【分析】（1）分别作出、的垂直平分线，交点即为圆心，再以为半径画圆即可； （2）证明是等边三角形，即可得出结果． 【详解】（1）略； （2）解：连接，， ，， ∴ ， ， ， 是等边三角形， ，即它的外接圆半径为． 变式9-1如图，在中，请用尺规作图法求作，使得圆心在边上，且，在上．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】 【分析】作的线段垂直平分线，交于点，再以点为圆心、长为半径画圆即可． 【详解】解：略． 变式9-2有一破损的水管，截面如图．请用直尺和圆规补全这个图（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】 作图如图，即为所作． 【分析】作的垂直平分线，交于C，交圆于D，连接，作的垂直平分线交于O，以O为圆心，长为半径作圆即可； 【详解】略 变式9-3如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的顶点均为格点（网格线的交点）． (1)用直尺和圆规作出的外接圆，保留作图痕迹． (2)以边的中点O为旋转中心，将按逆时针方向旋转，得到，请画出． 【答案】(1) 如图所示，即为所求； (2) 如图所示，即为所求． 【分析】本题主要考查了画圆，画旋转图形． （1）作的垂直平分线，交的垂直平分线于，以为圆心，为半径作圆即可； （2）连接并延长到使得，同理作出，再顺次连接即可． 【详解】（1）略 （2）略 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．平面上有及一点P，P到上一点的距离最长为，最短为，则的半径为（     ）． A．4 B．2或4 C．3或2 D．4或3 【答案】B 【分析】根据点P在内或外分类讨论，由最长最短距离与圆直径的关系计算半径即可． 【详解】当点P在外时， ∵ 点P到上点的最长距离为，最短距离为， ∴ 的直径为 ，半径为 ． 当点P在内时， ∵ 点P到上点的最长距离为，最短距离为， ∴的直径为 ，半径为 ． 因此的半径为或． 2．如图，已知是的直径，为的弦，，连接，．分别以点，为圆心，以大于的长为半径作弧，并使两弧交于一点．直线交于点，连接．若，则的度数为（     ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由等边对等角得，由平行线的性质得，，即可求解． 【详解】解：∵， ∴． ∵， ∴，． ∴． 3．如图，锐角三角形中，点O为中点．甲、乙二人想在上找一点P，使得的外心为点O，其作法分别如下．对于甲、乙二人的作法，下列判断正确的是（     ） 甲的作法 过点B作与垂直的直线，交于点P，则P即为所求 乙的作法 以O为圆心，长为半径画弧，交于点P，则P即为所求 A．两人都正确 B．两人都错误 C．甲正确，乙错误 D．甲错误，乙正确 【答案】A 【分析】甲的作法：先连接，再利用直角三角形斜边上的中线的性质得出，再根据三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等，即可判断甲的作法正确；乙的作法：先连接，再利用中点的性质和作法得出，再根据三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等，即可判断乙的作法正确． 【详解】解：甲的作法： 如图，连接， ， ． 点O为中点， ， 点O是的外心， 甲的作法正确； 乙的作法： 如图，连接， 点O为中点， ． 由作法可知，， ， 点O是的外心， 乙的作法正确． 4．如图，在中，，，按下列步骤作图：①以点A为圆心，适当的长度为半径作弧，分别交于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于的长为半径作弧相交于点H，作射线；②分别以点A，B为圆心，大于的长为半径作弧相交于点M、N，作直线，交射线于点O；③以点O为圆心，线段长为半径作圆，则的半径为（    ）    A．1.5 B．2 C．2.5 D．3 【答案】C 【分析】利用基本作图得到平分，垂直平分，利用等腰三角形的性质得到，，连接，如图，设的半径为，利用勾股定理计算出，则，再利用勾股定理得到，然后解方程即可． 【详解】解：由作法得平分，垂直平分， 设交于， ， ，， 连接，如图，设的半径为， 在中，， 在中，，， ， 解得， 即的半径为2.5．    5．如图，在矩形中，，，为矩形的边上的一动点，点P从点B运动到点C，的外接圆的圆心运动的路径长为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，交于点，当点为的中点，即时，连接，并延长交于点，设此时的外接圆的圆心为点，先求出点从点运动到点，的外接圆的圆心运动的路径是从点运动到点，再从点运动到点，其路径长是，再利用勾股定理求出，的长，由此即可得． 【详解】解：如图，连接，交于点， ∵四边形是矩形，，， ∴，，，， ∴点在的边的垂直平分线上， 当点与点或重合时，的外接圆的圆心为点， 当点为的中点，即时，连接，并延长交于点，设此时的外接圆的圆心为点，则， 在和中， ， ∴， ∴， ∴此时点在的边的垂直平分线上， ∴垂直平分， ∵的外接圆的圆心一定在边的垂直平分线上， ∴点一定在上， ∴点从点运动到点，的外接圆的圆心运动的路径是从点运动到点，再从点运动到点，其路径长是， 在中，， ， ∴， 又∵垂直平分， ∴， ∴， ∵，垂直平分， ∴四边形是矩形， ∴， 设，则， 在中，，即， 解得， ∴， 即点从点运动到点，的外接圆的圆心运动的路径长为， 故选：B． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、三角形全等的判定与性质、三角形的外接圆、线段垂直平分线的判定与性质、勾股定理等知识，正确找出外接圆的圆心运动的路径是解题关键． 6．如图，是⊙的一条弦，A为圆上一点，，，则的度数为____________． 【答案】 【分析】根据题意可得为等边三角形，进而可得，再求即可． 【详解】解：，， ，则， 为等边三角形， ， ， ． 7．如图，把圆形茶杯垫片沿直径剪开，得到两个近似的三角形，再拼成平行四边形，如下图所示．已知平行四边形的底是，那么圆形茶杯垫片的面积是_______．（ 取） 【答案】 【分析】先求出圆的直径，再根据圆的面积公式求解即可． 【详解】解：根据题意可得，圆的直径为：， ∴圆的半径为， ∴圆形茶杯垫片的面积为． 8．如图，在平面直角坐标系中，，为轴上两个动点，且坐标原点为线段的中点，点在以为圆心，1为半径的上运动，且始终满足，连接，当线段的长为整数时，线段的长为______． 【答案】或或 【分析】根据点到圆上一点的最值，求出线段的最小值和最大值，即可求出线段的整数值，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求出线段的长． 【详解】解：如图，连接交于点，， ∵点在以为圆心，1为半径的上运动， 的最小值为线段的长，的最大值为线段的长． ∵， ， ，， ∴． ∵线段的长为整数， ∴或或． ∵，为线段的中点， ， ∴或10或12． 9．如图，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别是、、是的外接圆，则的半径为_____． 【答案】 【分析】本题考查三角形的外心，正方形的性质，一次函数解析式，熟练掌握三角形外心的概念是解题的关键．过点作于，作于，连接，作的垂直平分线，垂足为，交于，则，即点的横坐标为1，再证四边形为正方形，则垂直平分，则点是的外心，求出直线的解析式为，把代入求得，即可求解． 【详解】解：如图，过点作于，作于，连接，作的垂直平分线，垂足为，交于，连接． ∴四边形为正方形， ∴垂直平分， 又∵垂直平分， ∴和的交点即为的外心M， ， ， 设直线的解析式为， 则，解得， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴， ∴的半径为， 故答案为：． 10．如图，边长为的正方形外有一点，，为的中点，连接，则的最大值为________． 【答案】 【分析】如图，以为直径作，延长至，使，连接，过点作于，由题意易得是的中位线，然后根据三角形三边不等关系可得，当且仅当点三点共线时取等号，进而问题可求解． 【详解】解：如图，以为直径作， ∵， ∴点在这个上， 延长至，使，连接，过点作于， ∵为的中点， ∴是的中位线， ∴， 在正方形中，，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， 根据三角形三边不等关系可得：，当且仅当点三点共线时取等号， ∴，即的最大值为， ∴的最大值为． 11．如图，在菱形中，点E，F，G，H分别为各边的中点．求证：E，F，G，H四点在同一个圆上． 【答案】证明：∵四边形是菱形， ∴，即，． ∵是的中点， ∴． 同理可得：，，． ∴． ∴，，，四点在以点为圆心，为半径的圆上， 即，，，四点在同一个圆上． 【分析】先根据菱形的性质，结合直角三角形斜边上中线的性质证得，同理可证得，，，再根据点与圆的位置关系求解． 【详解】略 12．如图，点是半圆的圆心，是半圆的直径，请用尺规作图法分别在半圆上取点和点（点在点右侧），连接、、，使得四边形是菱形．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】 【分析】根据菱形的四条边都相等，以点和点为圆心，的长为半径画弧，与半圆交于点、，连接即可完成作图． 【详解】解：①以为圆心，为半径作弧，交半圆于点，②以为圆心，为半径作弧，交半圆于点，③连接、、，从而得到菱形． 13．如图，在中，为直径，点为圆内一点，连接． (1)请用无刻度的直尺和圆规作出的平分线，交于点（保留作图痕迹，不写作法）． (2)若，连接，，求证：四边形是菱形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交、于点，再分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点C，则是的平分线； （2）先证明四边形是平行四边形，再根据可证明四边形是菱形． 【详解】（1）解：如图，即为所求： （2）证明：由作图得：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又， ∴四边形是菱形． 14．【问题原型】如图①，在中，，，．点是边上一点，，连结，试探究线段长度的最小值． 【问题探究】 如图②，小明发现点的轨迹是以的中点为圆心，半径为的圆的一部分，因为，所以点的变化会导致点的变化，于是将问题进一步转化为探究点的轨迹问题：小明过点作，使点和点在直线同侧，且，连结，则，可知恒为直角，又因为点和点均为定点，可确定点的轨迹． 以下是小明证明的部分过程： 证明：过点作，使点和点在直线同侧，且，连结． 证明过程缺失 … 又，， ， ． (1)请你补全缺失的证明过程． 【解决问题】 (2)在图③中，点是线段的中点，请结合上述探究过程，用圆规和无刻度的直尺，在图③中作出【问题原型】中的点，使线段长度的最小，此时线段长度的最小值是________．（保留作图痕迹） 【答案】(1)∴； ∵， ∴， ∴； (2)作图如下： 的最小值为 【分析】（1）由证明过程知，只要补充即可；由辅助线作法知，再由已知得，则有，由此即可完成补充证明； （2）以O为圆心，为半径作；连接，则当点D在线段上时，最小，利用勾股定理求出的长，即可求出的最小值． 【详解】（1）证明：过点作，使点和点在直线同侧，且，连结． ∴； ∵， ∴， ∴； 又，， ， ． （2）解：以O为圆心，为半径作； 连接，，则， ∴当点D在线段上时，最小，最小值为， ∵在中，， ， ∴ 即的最小值为． 15．19世纪英国著名文学家和历史学家托马斯卡莱尔在平面解析几何的基础上发展了一元二次方程的几何解法．如图，关于一元二次方程的解法是使用一个特殊的圆与轴的交点，这个特殊的圆是以和为直径的端点的圆，若方程有两个实数根，则这个圆与轴就有两个交点，这两个交点的横坐标就是方程的根，即和是的根，假如方程有两个相等的实数解，则这个圆与轴相切，切点的横坐标为方程的根；假如方程无实数解，则这个圆与轴无交点．现我们用尺规作图的方法作出一元二次方程的根．如图，在轴上作出以方程两根为横坐标的点，（点在点的左边）．作法如下： ①分别以点，为圆心，大于长为半径画弧，两弧分别交于点，； ②连接，，交于点； ③以点为圆心，长为半径画圆，与轴交于点，； 则方程的两个根即为点，的横坐标． 请你依据以上步骤，用尺规作图的方法在图中作出以方程两根为横坐标的点，（保留作图痕迹，不写作法）． 【答案】 【详解】由题意可知，作图略 2 / 42 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $