周周练07 3.1～3.3 圆的相关概念、圆的对称性（数学新教材苏科版九年级上册）

**基本信息** 聚焦圆的相关概念与对称性，通过基础辨析、情境应用及综合证明，分层考查几何直观、推理能力与空间观念，适配九年级周测学情。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/16|圆的基本概念（如第1题直径与弦关系）、圆心角识别（第2题）|结合图形辨析易混概念，强化抽象能力| |填空题|10/20|垂径定理应用（第12题CD长计算）、外接圆半径（第9题直角三角形）|设置网格与坐标系背景（第11题圆心坐标），发展空间观念| |解答题|8/64|旋转中圆性质证明（第19题）、内接三角形综合（第24题）|融入实际情境（第18题隧道高度），考查推理能力与模型意识|

2026-2027学年九年级上学期数学周周测07 3.1～3.3 圆的相关概念、圆的对称性 时间：45分钟 分值：70分 一．选择题（共6小题，满分18分，每小题3分） 1．下列说法错误的是（　　） A．直径是圆中最长的弦 B．半圆是弧 C．长度相等的两段弧是等弧 D．圆上各点到圆心的距离相等 【分析】根据圆的定义、弦、弧及等弧的定义，逐项判断即可． 【解答】解：A、直径是圆中最长的弦，正确，不符合题意； B、半圆属于弧，正确，不符合题意； C、等弧需在同圆或等圆中长度相等且能够重合，仅长度相等不一定是等弧，原说法错误，符合题意； D、圆上各点到圆心的距离都相等，正确，不符合题意； 故选：C． 【点评】本题考查的是圆的认识，熟练掌握有关圆的相关概念是解题的关键． 2．下列图形中的角是圆心角的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据圆心角的概念解答． 【解答】解：A、顶点没在圆心，不是圆心角，故选项不符合题意； B、是圆心角，故选项符合题意； C、顶点没在圆心，不是圆心角，故选项不符合题意； D、顶点没在圆心，不是圆心角，故选项不符合题意； 故选：B． 【点评】本题考查的是圆心角的概念，掌握顶点在圆心的角是圆心角是解题的关键． 3．下列说法正确的是（　　） A．三角形的外心到三角形的三边的距离相等 B．垂直于弦的直径平分弦 C．在同圆或等圆中，相等的弦所对的弧相等 D．长度相等的弧是等弧 【分析】根据三角形的外接圆与外心、垂径定理、圆心角、弧、弦的关系定理、等弧的定义判断即可． 【解答】解：A、三角形的内心到三角形的三边的距离相等，故本选项说法错误，不符合题意； B、垂直于弦的直径平分弦，说法正确，符合题意； C、在同圆或等圆中，相等的弦所对的优弧（或劣弧）相等，故本选项说法错误，不符合题意； D、能够重合的弧是等弧，长度相等的弧不一定是等弧，故本选项说法错误，不符合题意； 故选：B． 【点评】本题考查的是三角形的外接圆与外心、垂径定理、圆心角、弧、弦的关系定理、等弧的定义，熟记相关的概念、定理、定义是解题的关键． 4．如图，AB是⊙O的弦，若⊙O的半径OA＝10，圆心O到弦AB的距离OC＝6，则弦AB的长为（　　） A．8 B．12 C．16 D．20 【分析】由垂径定理得到AB＝2AC，由勾股定理求出AC8，即可得到AB的长． 【解答】解：∵OC⊥AB， ∴AB＝2AC， ∵OA＝10，OC＝6， ∴AC8， ∴AB＝2×8＝16． 故选：C． 【点评】本题考查垂径定理，勾股定理，关键是由垂径定理得到AB＝2AC，由勾股定理求出AC的长． 5．如图，⊙O是△ABC的外接圆，外角∠CBE的度数为50°，则∠AOC的度数为（　　） A．50° B．80° C．100° D．130° 【分析】在优弧ADC上取一点D，连接AD，CD，根据圆周角定理即可得到结论． 【解答】解：在优弧ADC上取一点D，连接AD，CD， ∵∠D+∠ABC＝180°，ABC+CBE＝180°， ∴∠D＝∠CBE＝50°， ∴∠AOC＝2∠D＝100°， 故选：C． 【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键． 6．如图，已知AB、CD是⊙O的弦，且AB＝CD，如果∠BOD＝84°，则∠ACO的度数是（　　） A．48° B．42° C．44° D．46° 【分析】连接OA，根据圆心角、弧、弦的关系证明∠AOC＝∠BOD，再由等腰三角形的性质计算∠ACO的度数即可． 【解答】解：如图，连接OA． ∵AB＝CD， ∴∠AOB＝∠COD，即∠BOD+∠AOD＝∠AOC+∠AOD， ∵∠BOD＝84°， ∴∠AOC＝∠BOD＝84°， ∵OA＝OC， ∴∠ACO（180°﹣∠AOC）（180°﹣84°）＝48°． 故选：A． 【点评】本题考查圆心角、弧、弦的关系，掌握圆心角、弧、弦的关系和等腰三角形的性质是解题的关键． 二．填空题（共8小题，满分32分，每小题4分） 7．直角三角形ABC的两条直角边长是3cm、4cm，则它的外接圆的半径是 　　 cm． 【分析】根据勾股定理可得斜边长，再根据直角三角形外接圆的性质解答即可． 【解答】解：∵直角三角形ABC的两条直角边长是3cm、4cm， ∴斜边长为， ∴它的外接圆的半径是． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了勾股定理，直角三角形外接圆的性质，掌握其相关知识点是解题的关键． 8．如图，A、B、C、D在⊙O上，AB＝BC＝DA，AD、BC的延长线交于点P，且∠P＝40°，则弧CD的度数为 　30°　 ． 【分析】连接BD，根据AB＝BC＝DA得到，得到∠ABD＝∠ADB＝∠BAC，根据三角形的内角和列式计算即可． 【解答】解：连接BD、AC， ∵AB＝BC＝AD， ∴， ∴∠ABD＝∠ADB＝∠BAC， ∵∠ADB＝∠DBP+∠P＝∠DBP+40°，∠ABC+∠ACB+∠BAC＝180°， ∴∠DBP+40°+∠DBP+∠DBP+40°+∠DBP+40°＝180°， 解得，∠DBP＝15°． ∴的度数为30°， 故答案为：30°． 【点评】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形的内角和，熟练掌握圆周角定理是解题的关键． 9．如图，在平面直角坐标系xOy中，所在圆的圆心坐标是　（﹣3，2）　 ． 【分析】连接AB，BC，根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，可以作弦AB和BC的垂直平分线，交点即为圆心． 【解答】解：连接AB，BC，根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心， 可以作弦AB和BC的垂直平分线，交点即为所在圆的圆心， 如图所示，则圆心是（﹣3，2）， 故答案为：（﹣3，2）． 【点评】此题考查了垂径定理，坐标与图形性质，解题的关键是熟知“弦的垂直平分线必过圆心”． 10．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，CD⊥AB，垂足为D，已知CD＝4，OD＝3，求AB的长是　10　 ． 【分析】先连接OC，在Rt△ODC中，根据勾股定理得出OC的长，即可求出AB的长． 【解答】解：连接OC， ∵CD＝4，OD＝3， 在Rt△ODC中， ∴OC5， ∴AB＝2OC＝10， 故答案为：10． 【点评】此题考查了圆的认识，解题的关键是根据勾股定理求出圆的半径，此题较简单． 11．如图，CD是圆O的弦，直径AB⊥CD，垂足为E，若AB＝12，BE＝3，则CD的长为　　 ． 【分析】连接OC，首先根据题意可求得OB＝OC＝6，OE＝3，根据勾股定理即可求得CE的长，再根据垂径定理即可求得CD的长． 【解答】解：如图，连接OC， ∵AB＝12， ∴OB＝OC＝6， ∵BE＝3， ∴OE＝3， ∵AB⊥CD， ∴， ∴． 故答案为：． 【点评】本题考查了勾股定理，垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解题的关键． 12．如图，在⊙O中，AB是直径，弦CD⊥AB于点E，若AB＝6cm，OE＝2EB，则CD＝　2　 cm． 【分析】AB是直径，弦CD⊥AB于点E，得∠OEC＝90°，CE＝DECD，因为AB＝6cm，所以OC＝OB＝3cm，由OE＝2EB，得EBOE，因为OBOE＝3cm，所以OE＝2cm，求得CEcm，则CD＝2CE＝2cm，于是得到问题的答案． 【解答】解：∵AB是直径，弦CD⊥AB于点E， ∴∠OEC＝90°，CE＝DECD， ∵AB＝6cm， ∴OC＝OBAB＝3cm， ∵OE＝2EB， ∴EBOE， ∵OB＝OE+EB＝OEOEOE＝3cm， ∴OE＝2cm， ∴CE（cm）， ∴CD＝2CE＝2cm， 故答案为：2． 【点评】此题重点考查垂径定理、勾股定理等知识，推导出∠OEC＝90°及CE＝DECD是解题的关键． 13．如图，AB是⊙O的直径，点C、D在AB的异侧，连接AD、OD、OC，若∠AOC＝70°，且AD∥OC，则∠AOD的度数为　40°　 ． 【分析】首先由AD∥OC可以得到∠AOC＝∠DAO，又由OD＝OA得到∠ADO＝∠DAO，由此即可求出∠AOD的度数． 【解答】解：∵AD∥OC， ∴∠AOC＝∠DAO＝70°， 又∵OD＝OA， ∴∠ADO＝∠DAO＝70°， ∴∠AOD＝180﹣70°﹣70°＝40°． 故答案为：40°． 【点评】此题比较简单，主要考查了平行线的性质、等腰三角形的性质，综合利用它们即可解决问题． 14．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB＝AC，直径CD与AB边交于点E，B是的中点．若CE＝2，则⊙O的半径为 　　 ． 【分析】连接OB，设⊙O的半径是R，依题意得，则OB⊥CD，OC＝OB＝OD＝R，进而得∠OCB＝∠OBC＝∠A＝45°，再根据AB＝AC得∠ABC＝∠ACB＝67.5°，由此可求出∠CEB＝67.5°，则CB＝CE＝2，然后在Rt△BOC中，由勾股定理即可求出半径R的长． 【解答】解：连接OB，设⊙O的半径是R，如图所示： ∵点B是弧CD的中点，CD是⊙O的直径， ∴， ∴OB⊥CD， ∵OC＝OB＝OD＝R， ∴△BOC是等腰直角三角形， ∴∠OCB＝∠OBC＝45°，∠BOC＝90°， ∴∠A∠BOC＝45°， ∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB（180°﹣∠A）（180°﹣45°）＝67.5°， 在△BCE中，∠CEB＝180°﹣（∠OCB+∠ABC）＝180°﹣（45°+67.5°）＝67.5°， ∴∠CEB＝∠ABC＝67.5°， ∴CB＝CE＝2， 在Rt△BOC中，OC＝OB＝R， 由勾股定理得：BC， ∴， ∴． 即⊙O的半径为． 故答案为：． 【点评】此题主要考查了三角形的外接圆与外心，圆心角、弧、弦的关系，理解三角形的外接圆与外心，熟练掌握圆心角、弧、弦的关系是解决问题的关键． 三．解答题（共2小题，满分20分，每小题10分） 15．（10分）如图，A，B，C，D是半径为5的⊙O上的点，∠AOB＝∠COD，BD＝8． （1）求证：； （2）若E为AC的中点，求BE的长． 【分析】（1）根据在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等证明； （2）根据垂径定理的推论得到OB⊥AC，再根据勾股定理计算即可． 【解答】（1）证明：∵∠AOB＝∠COD， ∴∠AOB+∠BOC＝∠COD+∠BOC，即∠AOC＝∠BOD， ∴； （2）解：∵BD＝8， ∴AC＝8， ∵E为AC的中点， ∴OB⊥AC，AEAC＝4， ∴OE3， ∴BE＝OB﹣OE＝5﹣3＝2． 【点评】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系定理，在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等． 16．（10分）如图，点A在直线l外，点B在直线l上． （1）在l上求作一点C，在l外求作一点D，使得以A、B、C、D为顶点的四边形是菱形；（要求：用直尺和圆规作出所有大小不同的菱形） （2）连接AB，若AB＝5，且点A到直线l的距离为4，则（1）中菱形的面积为　20或24或　 （直接写出所有答案）． 【分析】（1）以AB、BC为边作菱形得到如图①的菱形ABCD；以AB为边，BC为对角线作菱形得到如图②的菱形ABDC；以AB为对角线、BC为边作菱形得到如图③的菱形ACBD； （2）分别进行三个菱形的面积公式计算即可求解． 【解答】解：（1）如图①②③； ； （2）图①中，菱形ABCD的面积＝5×4＝20； 图②中，AB＝5，AO＝4，则， ∴BC＝6，AD＝8，菱形ABDC的面积； 图③中，作AH⊥BC于H， 设菱形的边长为x， ∵AH＝4，AB＝5， ∴， ∴CH＝x﹣3， ∴42+（x﹣3）2＝x2， 解得， ∴菱形ACBD的面积， 故答案为：20或24或． 【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．也考查了菱形的判定与性质，勾股定理，菱形的面积． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级上学期数学周周测07 3.1～3.3 圆的相关概念、圆的对称性 时间：45分钟 分值：70分 一．选择题（共6小题，满分18分，每小题3分） 1．下列说法错误的是（　　） A．直径是圆中最长的弦 B．半圆是弧 C．长度相等的两段弧是等弧 D．圆上各点到圆心的距离相等 2．下列图形中的角是圆心角的是（　　） A． B． C． D． 3．下列说法正确的是（　　） A．三角形的外心到三角形的三边的距离相等 B．垂直于弦的直径平分弦 C．在同圆或等圆中，相等的弦所对的弧相等 D．长度相等的弧是等弧 4．如图，AB是⊙O的弦，若⊙O的半径OA＝10，圆心O到弦AB的距离OC＝6，则弦AB的长为（　　） A．8 B．12 C．16 D．20 5．如图，⊙O是△ABC的外接圆，外角∠CBE的度数为50°，则∠AOC的度数为（　　） A．50° B．80° C．100° D．130° 6．如图，已知AB、CD是⊙O的弦，且AB＝CD，如果∠BOD＝84°，则∠ACO的度数是（　　） A．48° B．42° C．44° D．46° 二．填空题（共8小题，满分32分，每小题4分） 7．直角三角形ABC的两条直角边长是3cm、4cm，则它的外接圆的半径是 　 　 cm． 8．如图，A、B、C、D在⊙O上，AB＝BC＝DA，AD、BC的延长线交于点P，且∠P＝40°，则弧CD的度数为 　 　 ． 9．如图，在平面直角坐标系xOy中，所在圆的圆心坐标是　 　 ． 10．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，CD⊥AB，垂足为D，已知CD＝4，OD＝3，求AB的长是　 　 ． 11．如图，CD是圆O的弦，直径AB⊥CD，垂足为E，若AB＝12，BE＝3，则CD的长为　 　 ． 12．如图，在⊙O中，AB是直径，弦CD⊥AB于点E，若AB＝6cm，OE＝2EB，则CD＝　 　 cm． 13．如图，AB是⊙O的直径，点C、D在AB的异侧，连接AD、OD、OC，若∠AOC＝70°，且AD∥OC，则∠AOD的度数为　 　 ． 14．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB＝AC，直径CD与AB边交于点E，B是的中点．若CE＝2，则⊙O的半径为 　 　 ． 三．解答题（共2小题，满分20分，每小题10分） 15．（10分）如图，A，B，C，D是半径为5的⊙O上的点，∠AOB＝∠COD，BD＝8． （1）求证：； （2）若E为AC的中点，求BE的长． 16．（10分）如图，点A在直线l外，点B在直线l上． （1）在l上求作一点C，在l外求作一点D，使得以A、B、C、D为顶点的四边形是菱形；（要求：用直尺和圆规作出所有大小不同的菱形） （2）连接AB，若AB＝5，且点A到直线l的距离为4，则（1）中菱形的面积为　 　 （直接写出所有答案）． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级上学期数学周周测07 3.1～3.3 圆的相关概念、圆的对称性 一．选择题（共8小题，满分16分，每小题2分） 1．下列说法错误的是（　　） A．直径是圆中最长的弦 B．半圆是弧 C．长度相等的两段弧是等弧 D．圆上各点到圆心的距离相等 【分析】根据圆的定义、弦、弧及等弧的定义，逐项判断即可． 【解答】解：A、直径是圆中最长的弦，正确，不符合题意； B、半圆属于弧，正确，不符合题意； C、等弧需在同圆或等圆中长度相等且能够重合，仅长度相等不一定是等弧，原说法错误，符合题意； D、圆上各点到圆心的距离都相等，正确，不符合题意； 故选：C． 【点评】本题考查的是圆的认识，熟练掌握有关圆的相关概念是解题的关键． 2．下列图形中的角是圆心角的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据圆心角的概念解答． 【解答】解：A、顶点没在圆心，不是圆心角，故选项不符合题意； B、是圆心角，故选项符合题意； C、顶点没在圆心，不是圆心角，故选项不符合题意； D、顶点没在圆心，不是圆心角，故选项不符合题意； 故选：B． 【点评】本题考查的是圆心角的概念，掌握顶点在圆心的角是圆心角是解题的关键． 3．下列说法正确的是（　　） A．三角形的外心到三角形的三边的距离相等 B．垂直于弦的直径平分弦 C．在同圆或等圆中，相等的弦所对的弧相等 D．长度相等的弧是等弧 【分析】根据三角形的外接圆与外心、垂径定理、圆心角、弧、弦的关系定理、等弧的定义判断即可． 【解答】解：A、三角形的内心到三角形的三边的距离相等，故本选项说法错误，不符合题意； B、垂直于弦的直径平分弦，说法正确，符合题意； C、在同圆或等圆中，相等的弦所对的优弧（或劣弧）相等，故本选项说法错误，不符合题意； D、能够重合的弧是等弧，长度相等的弧不一定是等弧，故本选项说法错误，不符合题意； 故选：B． 【点评】本题考查的是三角形的外接圆与外心、垂径定理、圆心角、弧、弦的关系定理、等弧的定义，熟记相关的概念、定理、定义是解题的关键． 4．如图，AB是⊙O的弦，若⊙O的半径OA＝10，圆心O到弦AB的距离OC＝6，则弦AB的长为（　　） A．8 B．12 C．16 D．20 【分析】由垂径定理得到AB＝2AC，由勾股定理求出AC8，即可得到AB的长． 【解答】解：∵OC⊥AB， ∴AB＝2AC， ∵OA＝10，OC＝6， ∴AC8， ∴AB＝2×8＝16． 故选：C． 【点评】本题考查垂径定理，勾股定理，关键是由垂径定理得到AB＝2AC，由勾股定理求出AC的长． 5．如图，⊙O是△ABC的外接圆，外角∠CBE的度数为50°，则∠AOC的度数为（　　） A．50° B．80° C．100° D．130° 【分析】在优弧ADC上取一点D，连接AD，CD，根据圆周角定理即可得到结论． 【解答】解：在优弧ADC上取一点D，连接AD，CD， ∵∠D+∠ABC＝180°，ABC+CBE＝180°， ∴∠D＝∠CBE＝50°， ∴∠AOC＝2∠D＝100°， 故选：C． 【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键． 6．如图，已知AB、CD是⊙O的弦，且AB＝CD，如果∠BOD＝84°，则∠ACO的度数是（　　） A．48° B．42° C．44° D．46° 【分析】连接OA，根据圆心角、弧、弦的关系证明∠AOC＝∠BOD，再由等腰三角形的性质计算∠ACO的度数即可． 【解答】解：如图，连接OA． ∵AB＝CD， ∴∠AOB＝∠COD，即∠BOD+∠AOD＝∠AOC+∠AOD， ∵∠BOD＝84°， ∴∠AOC＝∠BOD＝84°， ∵OA＝OC， ∴∠ACO（180°﹣∠AOC）（180°﹣84°）＝48°． 故选：A． 【点评】本题考查圆心角、弧、弦的关系，掌握圆心角、弧、弦的关系和等腰三角形的性质是解题的关键． 7．如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点A、B、C、D、E、F、G在小正方形的顶点上，则△ABC的外心是（　　） A．点D B．点E C．点F D．点G 【分析】根据三角形三边的垂直平分线相交于一点，这一点叫做它的外心，据此解答即可． 【解答】解：由图可知，， ∴FA＝FB＝FC， ∴F点在AB，AC，BC三边的垂直平分线上， ∴点F是△ABC外心， 故选：C． 【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，勾股定理等知识点，解答本题的关键是明确三角形的外心是三角形三边的垂直平分线的交点． 8．小明同学在平行四边形ABCD中用尺规作图作等腰△ABE，下列作图不正确的是（　　） A． B． C． D． 【分析】分析每个选项的尺规作图，进一步判断△ABE是否等腰三角形即可． 【解答】解：A．根据作图痕迹可知，BE为∠ABC的角平分线，故∠ABE＝∠EBC，根据平行线的性质可得，∠EBC＝∠AEB，即∠ABE＝∠AEB，故△ABE为等腰三角形，选项不符合题意； B．根据作图痕迹可知，点B，E在以A为圆心，AB的长为半径的圆上，故AB＝AE，即△ABE为等腰三角形，选项不符合题意； C．根据作图痕迹可知，∠BAD的角平分线与BM交于点F，如图， 则∠EAF＝∠FAB，由作图可知，BE⊥AF，BE平分AF，设AF与BE相交于点M， 则∠AME＝∠AMB＝90°，又由AM＝AM，则△AME≌△AMB（ASA），得到AB＝AE， 故△ABE为等腰三角形，选项不符合题意； D．作图痕迹是作的AD的垂直平分线，没法证明ABE是等腰三角形，选项符合题意． 故选：D． 【点评】本题考查尺规作图——角平分线，等腰三角形的判定和性质、平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质等，解题的关键是根据做图痕迹进行判断． 二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分） 9．直角三角形ABC的两条直角边长是3cm、4cm，则它的外接圆的半径是 　　 cm． 【分析】根据勾股定理可得斜边长，再根据直角三角形外接圆的性质解答即可． 【解答】解：∵直角三角形ABC的两条直角边长是3cm、4cm， ∴斜边长为， ∴它的外接圆的半径是． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了勾股定理，直角三角形外接圆的性质，掌握其相关知识点是解题的关键． 10．如图，A、B、C、D在⊙O上，AB＝BC＝DA，AD、BC的延长线交于点P，且∠P＝40°，则弧CD的度数为 　30°　 ． 【分析】连接BD，根据AB＝BC＝DA得到，得到∠ABD＝∠ADB＝∠BAC，根据三角形的内角和列式计算即可． 【解答】解：连接BD、AC， ∵AB＝BC＝AD， ∴， ∴∠ABD＝∠ADB＝∠BAC， ∵∠ADB＝∠DBP+∠P＝∠DBP+40°，∠ABC+∠ACB+∠BAC＝180°， ∴∠DBP+40°+∠DBP+∠DBP+40°+∠DBP+40°＝180°， 解得，∠DBP＝15°． ∴的度数为30°， 故答案为：30°． 【点评】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形的内角和，熟练掌握圆周角定理是解题的关键． 11．如图，在平面直角坐标系xOy中，所在圆的圆心坐标是　（﹣3，2）　 ． 【分析】连接AB，BC，根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，可以作弦AB和BC的垂直平分线，交点即为圆心． 【解答】解：连接AB，BC，根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心， 可以作弦AB和BC的垂直平分线，交点即为所在圆的圆心， 如图所示，则圆心是（﹣3，2）， 故答案为：（﹣3，2）． 【点评】此题考查了垂径定理，坐标与图形性质，解题的关键是熟知“弦的垂直平分线必过圆心”． 12．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，CD⊥AB，垂足为D，已知CD＝4，OD＝3，求AB的长是　10　 ． 【分析】先连接OC，在Rt△ODC中，根据勾股定理得出OC的长，即可求出AB的长． 【解答】解：连接OC， ∵CD＝4，OD＝3， 在Rt△ODC中， ∴OC5， ∴AB＝2OC＝10， 故答案为：10． 【点评】此题考查了圆的认识，解题的关键是根据勾股定理求出圆的半径，此题较简单． 13．如图，CD是圆O的弦，直径AB⊥CD，垂足为E，若AB＝12，BE＝3，则CD的长为　　 ． 【分析】连接OC，首先根据题意可求得OB＝OC＝6，OE＝3，根据勾股定理即可求得CE的长，再根据垂径定理即可求得CD的长． 【解答】解：如图，连接OC， ∵AB＝12， ∴OB＝OC＝6， ∵BE＝3， ∴OE＝3， ∵AB⊥CD， ∴， ∴． 故答案为：． 【点评】本题考查了勾股定理，垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解题的关键． 14．如图，在⊙O中，AB是直径，弦CD⊥AB于点E，若AB＝6cm，OE＝2EB，则CD＝　2　 cm． 【分析】AB是直径，弦CD⊥AB于点E，得∠OEC＝90°，CE＝DECD，因为AB＝6cm，所以OC＝OB＝3cm，由OE＝2EB，得EBOE，因为OBOE＝3cm，所以OE＝2cm，求得CEcm，则CD＝2CE＝2cm，于是得到问题的答案． 【解答】解：∵AB是直径，弦CD⊥AB于点E， ∴∠OEC＝90°，CE＝DECD， ∵AB＝6cm， ∴OC＝OBAB＝3cm， ∵OE＝2EB， ∴EBOE， ∵OB＝OE+EB＝OEOEOE＝3cm， ∴OE＝2cm， ∴CE（cm）， ∴CD＝2CE＝2cm， 故答案为：2． 【点评】此题重点考查垂径定理、勾股定理等知识，推导出∠OEC＝90°及CE＝DECD是解题的关键． 15．如图，AB是⊙O的直径，点C、D在AB的异侧，连接AD、OD、OC，若∠AOC＝70°，且AD∥OC，则∠AOD的度数为　40°　 ． 【分析】首先由AD∥OC可以得到∠AOC＝∠DAO，又由OD＝OA得到∠ADO＝∠DAO，由此即可求出∠AOD的度数． 【解答】解：∵AD∥OC， ∴∠AOC＝∠DAO＝70°， 又∵OD＝OA， ∴∠ADO＝∠DAO＝70°， ∴∠AOD＝180﹣70°﹣70°＝40°． 故答案为：40°． 【点评】此题比较简单，主要考查了平行线的性质、等腰三角形的性质，综合利用它们即可解决问题． 16．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB＝AC，直径CD与AB边交于点E，B是的中点．若CE＝2，则⊙O的半径为 　　 ． 【分析】连接OB，设⊙O的半径是R，依题意得，则OB⊥CD，OC＝OB＝OD＝R，进而得∠OCB＝∠OBC＝∠A＝45°，再根据AB＝AC得∠ABC＝∠ACB＝67.5°，由此可求出∠CEB＝67.5°，则CB＝CE＝2，然后在Rt△BOC中，由勾股定理即可求出半径R的长． 【解答】解：连接OB，设⊙O的半径是R，如图所示： ∵点B是弧CD的中点，CD是⊙O的直径， ∴， ∴OB⊥CD， ∵OC＝OB＝OD＝R， ∴△BOC是等腰直角三角形， ∴∠OCB＝∠OBC＝45°，∠BOC＝90°， ∴∠A∠BOC＝45°， ∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB（180°﹣∠A）（180°﹣45°）＝67.5°， 在△BCE中，∠CEB＝180°﹣（∠OCB+∠ABC）＝180°﹣（45°+67.5°）＝67.5°， ∴∠CEB＝∠ABC＝67.5°， ∴CB＝CE＝2， 在Rt△BOC中，OC＝OB＝R， 由勾股定理得：BC， ∴， ∴． 即⊙O的半径为． 故答案为：． 【点评】此题主要考查了三角形的外接圆与外心，圆心角、弧、弦的关系，理解三角形的外接圆与外心，熟练掌握圆心角、弧、弦的关系是解决问题的关键． 17．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A坐标为（6，1），点B坐标为（4，1），点C坐标为（2，3）．则能完全覆盖△ABC的最小圆的半径为　　 ． 【分析】作线段AB、BC的垂直平分线，交于点P，再根据勾股定理计算，根据勾股定理求出AC，比较大小，得到答案． 【解答】解：如图，作线段AB、BC的垂直平分线，交于点P（5，4）， 则点P为能完全覆盖△ABC的最小圆的圆心， ∴能完全覆盖△ABC的最小圆的半径为：， 由勾股定理得：AC2， 以AC为直径画圆，可以把△ABC覆盖，此时，圆的半径为， ∵， ∴能完全覆盖△ABC的最小圆的半径为， 故答案为：． 【点评】本题考查的是三角形的外接圆与外心，掌握三角形的外心的确定方法是解题的关键． 18．如图，是一个隧道的横截面，它的形状是以O为圆心的圆的一部分，CO⊥AB，垂足为M，路面AB宽为6m，若圆的半径为5m，则隧道的最大高度CM＝ 　9　 m． 【分析】连接OA，由垂径定理求出AM，在Rt△AMO中利用勾股定理求出OM，根据CM＝OC+OM计算即可． 【解答】解：如图，连接OA，则OA＝OC＝5m． ∵CO⊥AB，AB＝6m， ∴AMAB＝3m， 在Rt△AMO中利用勾股定理，得OM4（m）， ∴CM＝OC+OM＝5+4＝9（m）， ∴隧道的最大高度CM＝9m． 故答案为：9． 【点评】本题考查垂径定理、勾股定理的应用，掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键． 三．解答题（共8小题，满分64分，每小题8分） 19．（8分）如图，已知AB为⊙O直径，∠DOC＝90°，∠DOC绕点O旋转，D、C两点不与A、B重合． （1）求证：； （2）AD+BC＝CD成立吗？为什么？ 【分析】（1）直接利用弧度与圆心角的关系得出答案； （2）利用三角形三边关系以及圆心角、弧、弦的关系得出即可． 【解答】解：（1）∵AB为⊙O直径，∠DOC＝90°， ∴∠AOD+∠BOC＝∠DOC＝90°， ∴； （2）AD+BC＞CD， 理由：在上截取， 故， 则DE＝AD，BC＝EC， 在△DEC中 DE+EC＞DC， 故AD+BC＞CD． 【点评】此题主要考查了圆心角、弧、弦的关系以及三角形三边关系，正确把握圆心角、弧、弦的关系是解题关键． 20．（8分）如图，A，B，C，D是半径为5的⊙O上的点，∠AOB＝∠COD，BD＝8． （1）求证：； （2）若E为AC的中点，求BE的长． 【分析】（1）根据在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等证明； （2）根据垂径定理的推论得到OB⊥AC，再根据勾股定理计算即可． 【解答】（1）证明：∵∠AOB＝∠COD， ∴∠AOB+∠BOC＝∠COD+∠BOC，即∠AOC＝∠BOD， ∴； （2）解：∵BD＝8， ∴AC＝8， ∵E为AC的中点， ∴OB⊥AC，AEAC＝4， ∴OE3， ∴BE＝OB﹣OE＝5﹣3＝2． 【点评】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系定理，在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等． 21．（8分）如图，P是∠AOB的边OB上的一点． （1）过点M画OB的平行线MN； （2）过点P画OA的垂线，垂足为H； （3）过点P画OB的垂线，交OA于点C，PC，PH，OC这三条线段的大小关系是PH＜PC＜OC （用“＜”号连接），理由是　垂线段最短　 ． 【分析】（1）取格点N，连接MN，根据格点特点可得MN∥OB； （2）根据题意作图即可； （3）取格点D，连接PD，交OA于点C，由网格线的特征易得DP⊥OB，即可得到CP⊥OB；根据过直线外一点作已知直线的垂线，这条垂线段的长度就做点到直线的距离；点到直线的所有连线中，垂线段最短即可解答． 【解答】解：（1）取格点N，连接MN，根据格点特点可得MN∥OB，如图，MN即为所求； （2）如图，PH即为所求； （3）如图，PC即为所求作的OB的垂线； ∵垂线段最短， ∴PC＜OC，PH＜PC， ∴PH＜PC＜OC． 故答案为：PH＜PC＜OC；垂线段最短． 【点评】本题主要考查了格点作图，会过已知点作已知直线的垂线以及掌握垂线段最短是解题的关键． 22．（8分）已知点A，B，C的位置如图所示，若它们分别是一个圆的内接三角形的三边的中点，用两种不同的方法求作该圆． 要求：①用直尺和圆规作图；②保留作图痕迹，写出必要的文字说明． 【分析】方法一：①连接AB，BC，AC；②分别过A，B，C作BC，AC，AB的平行线交于点D，E，F；③作线段DE，DF的垂直平分线检验点O，连接OD；④以O为圆心，OD为半径作⊙O即可； 方法二：①②步骤同上；③过点A作AN⊥BC于点N；过点B作BM⊥AC于点M，AN，BM交于点O，连接OD；④以O为圆心，OD为半径作⊙O即可． 【解答】解：如图⊙O即为所求． 方法一：①连接AB，BC，AC； ②分别过A，B，C作BC，AC，AB的平行线交于点D，E，F； ③作线段DE，DF的垂直平分线检验点O，连接OD； ④以O为圆心，OD为半径作⊙O即可； 方法二：①②步骤同上； ③过点A作AN⊥BC于点N；过点B作BM⊥AC于点M，AN，BM交于点O，连接OD； ④以O为圆心，OD为半径作⊙O即可； 【点评】本题考查三角形的外接圆与外心，解题的关键是理解题意，正确作出图形． 23．（8分）如图，点A在直线l外，点B在直线l上． （1）在l上求作一点C，在l外求作一点D，使得以A、B、C、D为顶点的四边形是菱形；（要求：用直尺和圆规作出所有大小不同的菱形） （2）连接AB，若AB＝5，且点A到直线l的距离为4，则（1）中菱形的面积为　20或24或　 （直接写出所有答案）． 【分析】（1）以AB、BC为边作菱形得到如图①的菱形ABCD；以AB为边，BC为对角线作菱形得到如图②的菱形ABDC；以AB为对角线、BC为边作菱形得到如图③的菱形ACBD； （2）分别进行三个菱形的面积公式计算即可求解． 【解答】解：（1）如图①②③； ； （2）图①中，菱形ABCD的面积＝5×4＝20； 图②中，AB＝5，AO＝4，则， ∴BC＝6，AD＝8，菱形ABDC的面积； 图③中，作AH⊥BC于H， 设菱形的边长为x， ∵AH＝4，AB＝5， ∴， ∴CH＝x﹣3， ∴42+（x﹣3）2＝x2， 解得， ∴菱形ACBD的面积， 故答案为：20或24或． 【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．也考查了菱形的判定与性质，勾股定理，菱形的面积． 24．（8分）如图所示，在△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圆，BO的延长线交边AC于点D． （1）若∠ACB＝60°，BC＝8，求⊙O的半径； （2）当△BCD是等腰三角形时，求∠BCD的大小． 【分析】（1）连接OA并延长AO交BC于E，证明∠BAC＝2∠BAE和∠ABD＝∠BAE即可得结论； （2）设∠ABD为x，用x表示出有关的角，再列方程即得答案． 【解答】解：（1）连接OA并延长AO交BC于E， ∵AB＝AC， ∴， ∵AE过圆心O， ∴AE垂直平分BC， ∴AE平分∠BAC，BEBC＝4， ∴∠BAC＝2∠BAE， ∵OA＝OB， ∴∠ABD＝∠BAE， ∵AB＝AC，∠ACB＝60°， ∴∠ABC＝∠ACB＝∠BAC＝60°， ∴∠ABDBAC＝30°， ∴∠CBD＝30°， ∴OB＝8， 故⊙O的半径为8； （2）设∠ABD＝x， 由（1）知∠BAC＝2∠ABD＝2x， ∴∠BDC＝3x， △BCD是等腰三角形， ①若BD＝BC， 则∠C＝∠BDC＝3x， ∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠C＝3x， 在△ABC中，∠ABC+∠C+∠BAC＝180°， ∴3x+3x+2x＝180°， 解得x＝22.5°， ∴∠BCD＝3x＝67.5°， ②若BC＝CD，则∠BDC＝∠CBD＝3x， ∴∠ABC＝∠ACB＝4x， 在△ABC中，∠ABC+∠C+∠BAC＝180°， ∴4x+4x+2x＝180°， ∴x＝18°， ∴∠BCD＝4x＝72°， 综上所述，△BCD是等腰三角形，∠BCD为67.5°或72°． 【点评】本题考查三角形的外接圆与外心，关键是垂径定理及等腰三角形性质的应用． 25．（8分）如图，在半径为5的⊙O中，弦AB＝8，点C在优弧上，弦CD⊥AB于点G．连接BC，过点A作弦AE⊥BC于点H，AE交CD于点F． （1）求证：DG＝FG； （2）若点C在优弧上运动，判断线段CF的长是否为定值？若是，求出其长度． 【分析】（1）根据所给条件进行证明即可； （2）根据垂径定理及勾股定理进行计算即可． 【解答】（1）证明：连接AD， ∵AE⊥BC，CD⊥AB， ∴∠AGF＝∠AHB＝90°， ∴∠FAG+∠AFG＝∠FAG+∠B＝90°， ∴∠AFG＝∠B． ∵， ∴∠B＝∠D， ∴∠AFG＝∠D， ∴AD＝AF． ∵AB⊥CD， ∴DG＝FG； （2）解：CF的长为定值6，理由如下： 过点O分别作AB和CD的垂线，垂足分别为M和N，连接OB， ∵OM⊥AB，AB＝8， ∴BM． 又∵⊙O得半径为5， ∴OB＝5， ∴OM． ∵∠NGM＝∠ONG＝∠OMG＝90°， ∴四边形ONGM是矩形， ∴NG＝OM＝3． 令DG＝FG＝m， ∴ND＝x+3， ∴CD＝2ND＝2x+6， ∴CF＝CD﹣GD﹣GF＝2x+6﹣x﹣x＝6， ∴CF的长为定值6． 【点评】本题主要考查了垂径定理及勾股定理，熟知垂径定理及勾股定理是解题的关键． 26．（8分）仅用无刻度直尺完成下列作图：（保留作图痕迹，写结论，不要求写作法） （1）如图1，E为平行四边形ABCD的边AB的中点，点G为BC上一点． ①画出CD的中点F； ②在AD上画出点H，使得AH＝CG． （2）如图2，在正方形ABCD中，E为AB上一点，在AD上画点M，使得AE＝AM． 【分析】（1）①连接平行四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，连接EO延长交CD于点F，点F即为所求CD中点； ②连接GO延长交AD于点H，点H即为所求，满足AH＝CG； （2）连接正方形ABCD的对角线AC、BD交于点O，连接DE交AC于点P，连接BP并延长交AD于M，点M即为所求，满足AE＝AM． 【解答】解：（1）①连接平行四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，连接EO延长交CD于点F，点F即为所求CD中点，如图，点F即为所求； ②连接GO延长交AD于点H，点H即为所求，如图，点H即为所求； 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AO＝CO、AD∥BC， ∴∠HAO＝∠GCO， 在△AHO和△CGO中， ， ∴△AHO≌△CGO（ASA）， ∴AH＝CG； （2）连接正方形ABCD的对角线AC、BD交于点O，连接DE交AC于点P，连接BP并延长交AD于M，如图，点M即为所求； 证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴AC垂直平分BD、AB＝AD、∠BAD＝90°， ∴PB＝PD， ∴∠PBD＝∠PDB， ∵AB＝AD， ∴∠ABD＝∠ADB， ∴∠ABD﹣∠PBD＝∠ADB﹣∠PDB， ∴∠ABM＝∠ADE， 在△AMB和△ADE中， ， ∴△ABM≌△ADE（ASA）， ∴AM＝AE． 【点评】本题考查作图—复杂作图，线段垂直平分线的性质，平行四边形的性质，正方形的性质，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级上学期数学周周测07 3.1～3.3 圆的相关概念、圆的对称性 一．选择题（共8小题，满分16分，每小题2分） 1．下列说法错误的是（　　） A．直径是圆中最长的弦 B．半圆是弧 C．长度相等的两段弧是等弧 D．圆上各点到圆心的距离相等 2．下列图形中的角是圆心角的是（　　） A． B． C． D． 3．下列说法正确的是（　　） A．三角形的外心到三角形的三边的距离相等 B．垂直于弦的直径平分弦 C．在同圆或等圆中，相等的弦所对的弧相等 D．长度相等的弧是等弧 4．如图，AB是⊙O的弦，若⊙O的半径OA＝10，圆心O到弦AB的距离OC＝6，则弦AB的长为（　　） A．8 B．12 C．16 D．20 5．如图，⊙O是△ABC的外接圆，外角∠CBE的度数为50°，则∠AOC的度数为（　　） A．50° B．80° C．100° D．130° 6．如图，已知AB、CD是⊙O的弦，且AB＝CD，如果∠BOD＝84°，则∠ACO的度数是（　　） A．48° B．42° C．44° D．46° 7．如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点A、B、C、D、E、F、G在小正方形的顶点上，则△ABC的外心是（　　） A．点D B．点E C．点F D．点G 8．小明同学在平行四边形ABCD中用尺规作图作等腰△ABE，下列作图不正确的是（　　） A． B． C． D． 二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分） 9．直角三角形ABC的两条直角边长是3cm、4cm，则它的外接圆的半径是 　 　 cm． 10．如图，A、B、C、D在⊙O上，AB＝BC＝DA，AD、BC的延长线交于点P，且∠P＝40°，则弧CD的度数为 　 　 ． 11．如图，在平面直角坐标系xOy中，所在圆的圆心坐标是　 　 ． 12．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，CD⊥AB，垂足为D，已知CD＝4，OD＝3，求AB的长是　 　 ． 13．如图，CD是圆O的弦，直径AB⊥CD，垂足为E，若AB＝12，BE＝3，则CD的长为　 　 ． 14．如图，在⊙O中，AB是直径，弦CD⊥AB于点E，若AB＝6cm，OE＝2EB，则CD＝　 　 cm． 15．如图，AB是⊙O的直径，点C、D在AB的异侧，连接AD、OD、OC，若∠AOC＝70°，且AD∥OC，则∠AOD的度数为　 　 ． 16．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB＝AC，直径CD与AB边交于点E，B是的中点．若CE＝2，则⊙O的半径为 　 　 ． 17．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A坐标为（6，1），点B坐标为（4，1），点C坐标为（2，3）．则能完全覆盖△ABC的最小圆的半径为　 　 ． 18．如图，是一个隧道的横截面，它的形状是以O为圆心的圆的一部分，CO⊥AB，垂足为M，路面AB宽为6m，若圆的半径为5m，则隧道的最大高度CM＝ 　 　 m． 三．解答题（共8小题，满分64分，每小题8分） 19．（8分）如图，已知AB为⊙O直径，∠DOC＝90°，∠DOC绕点O旋转，D、C两点不与A、B重合． （1）求证：； （2）AD+BC＝CD成立吗？为什么？ 20．（8分）如图，A，B，C，D是半径为5的⊙O上的点，∠AOB＝∠COD，BD＝8． （1）求证：； （2）若E为AC的中点，求BE的长． 21．（8分）如图，P是∠AOB的边OB上的一点． （1）过点M画OB的平行线MN； （2）过点P画OA的垂线，垂足为H； （3）过点P画OB的垂线，交OA于点C，PC，PH，OC这三条线段的大小关系是　 　 （用“＜”号连接），理由是　 　 ． 22．（8分）已知点A，B，C的位置如图所示，若它们分别是一个圆的内接三角形的三边的中点，用两种不同的方法求作该圆． 要求：①用直尺和圆规作图；②保留作图痕迹，写出必要的文字说明． 23．（8分）如图，点A在直线l外，点B在直线l上． （1）在l上求作一点C，在l外求作一点D，使得以A、B、C、D为顶点的四边形是菱形；（要求：用直尺和圆规作出所有大小不同的菱形） （2）连接AB，若AB＝5，且点A到直线l的距离为4，则（1）中菱形的面积为　 　 （直接写出所有答案）． 24．（8分）如图所示，在△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圆，BO的延长线交边AC于点D． （1）若∠ACB＝60°，BC＝8，求⊙O的半径； （2）当△BCD是等腰三角形时，求∠BCD的大小． 25．（8分）如图，在半径为5的⊙O中，弦AB＝8，点C在优弧上，弦CD⊥AB于点G．连接BC，过点A作弦AE⊥BC于点H，AE交CD于点F． （1）求证：DG＝FG； （2）若点C在优弧上运动，判断线段CF的长是否为定值？若是，求出其长度． 26．（8分）仅用无刻度直尺完成下列作图：（保留作图痕迹，写结论，不要求写作法） （1）如图1，E为平行四边形ABCD的边AB的中点，点G为BC上一点． ①画出CD的中点F； ②在AD上画出点H，使得AH＝CG． （2）如图2，在正方形ABCD中，E为AB上一点，在AD上画点M，使得AE＝AM． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $