专题10 反比例函数的图象与性质专项训练（13大题型）2026-2027学年苏科版九年级数学上册

专题10 反比例函数的图象与性质 题型01 判断反比例函数的图象 题型02 已知反比例函数的图象判断其解析式 题型03 画反比例函数的图象 题型04 判断反比例函数所在象限 题型05 反比例函数的增减性比较大小 题型06 由增减性求参数 题型07 由双曲线所在象限求参数 题型08 由反比例函数的对称性求解 题型09 反比例函数与一次函数的图象 题型10 K的几何意义 题型11 反比例函数中的找规律 题型12 反比例函数与不等式 题型13 反比例函数中的面积 ▌题型01 判断反比例函数的图象 【典例1】反比例函数的图象大致是（     ） A． B． C． D． 【变式1-1】反比例函数的大致图象是（　　） A． B． C． D． 【变式1-2】李明需要制作一个底面积为的长方体无盖纸盒，底面矩形的一边长y（单位：）与其邻边长x（单位：）之间的关系可以用图象大致表示为（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】函数的大致图像为（     ） A． B． C． D． ▌题型02 已知反比例函数的图象判断其解析式 【典例1】如图所示的图象对应的函数解析式为（     ） A． B． C． D． 【变式1-1】如图点P是反比例函数图象上的一点，且点P到x轴的距离为3，到y轴的距离为2，则该反比例函数的解析式是（     ） A． B． C． D． 【变式1-2】（2025•铜梁区模拟）如图所示，函数图象对应的函数解析式可能是（　　） A． B． C． D． 【变式1-3】反比例函数的图象如图所示，则这个反比例函数的解析式可能是（　　） A． B． C． D． ▌题型03 画反比例函数的图象 【典例1】已知y是x的反比例函数，且当时，． (1)求该反比例函数的表达式； (2)补全表格并描点，画出该反比例函数的图象； x 1 2 3 6 … y … (3)当时，利用函数图象直接写出函数y的最大值为___________． 【变式1-1】已知反比例函数的图象经过点． (1)求这个反比例函数的表达式． (2)画出这个反比例函数的图象． 【变式1-2】如图，已知点，反比例函数的图象经过点． (1)求反比例函数的解析式，并在图中画出该反比例函数的图象； (2)当时，求函数值y的取值范围； (3)若关于x的一次函数的图象经过点B，且与图中的反比例函数的图象交于点P，当时，直接写出点P的横坐标的取值范围． 【变式1-3】小军用四根硬纸条和钉子制作了一个矩形，按如图方式摆放在平面直角坐标系中，矩形的边落在轴上，边落在轴上，点的坐标为（网格图中每个小正方形的边长均为1）．若将矩形向右平移1个单位长度，则点恰好落在反比例函数（）的图象上． (1)求反比例函数的表达式； (2)请先描出这个反比例函数图象上的四个格点，再画出反比例函数的图象； (3)若固定矩形边，向右“推”矩形，得到如图所示的平行四边形，当时，边交反比例函数图象于点，直接写出点的坐标． ▌题型04 判断反比例函数所在象限 【典例1】已知关于的函数的图象位于第二、四象限，则反比例函数的图象位于（     ） A．第二、四象限 B．第一、三象限 C．第一、二象限 D．第三、四象限 【变式1-1】反比例函数的图象位于（　　） A．第一，第三象限 B．第一，第四象限 C．第二，第三象限 D．第二，第四象限 【变式1-2】关于反比例函数的图象，下列说法中正确的是（     ） A．点在它的图象上 B．图象位于第二、四象限 C．y随x的增大而增大 D．图象的两个分支关于原点对称 【变式1-3】反比例函数①；②；③；④的图象中，在第一、三象限的是 ，在第二、四象限的是 ． ▌题型05 反比例函数的增减性比较大小 【典例1】已知反比例函数的图象上有两点，，当时，与的大小关系为（     ） A． B． C． D．无法确定 【变式1-1】若点，都在反比例函数的图象上，则与的大小关系是（     ） A． B． C． D．无法确定 【变式1-2】若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【变式1-3】若，，三点均在反比例函数的图象上，则下列结论中正确的是（    ）． A． B． C． D． ▌题型06 由增减性求参数 【典例1】已知，在双曲线上，且，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【变式1-1】已知反比例函数，当时，y随x增大而减小，则m的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【变式1-2】已知反比例函数（为常数）的图象，在每个象限内，随的增大而增大，则的取值范围是_______________． 【变式1-3】已知反比例函数，当时，y随x的增大而增大，那么m的取值范围是________． ▌题型07 由双曲线所在象限求参数 【典例1】已知是关于的反比例函数，且该函数图象的两个分支分布在第一、三象限． (1)求m的值； (2)当时，求的值； 【变式1-1】如果反比例函数的图象位于第二、四象限，那么k的取值范围是（　　） A．k≠0 B．k≠1 C．k＜1 D．k＞1 【变式1-2】函数的图象在第一、三象限内，则的取值范围是________． 【变式1-3】已知是关于x的反比例函数，且该函数图象的两个分支分布在第一、三象限，求m的值． ▌题型08 由反比例函数的对称性求解 【典例1】已知直线与反比例函数的图象的一个交点坐标为，则它们的另一个交点坐标为__________． 【变式1-1】如图，过原点的直线与反比例函数的图像交于A，B两点，若点，则点B的坐标为（     ） A． B． C． D． 【变式1-2】如图，正比例函数的图象与反比例函数，的图象分别交于点A，B，过点A，B分别向轴、轴作垂线，两垂线交于点，则的面积为_________________． 【变式1-3】如图，边长为8的正方形的对称中心是坐标原点O，轴，轴，反比例函数与的图象均与正方形的边相交，则图中阴影部分的面积之和为________． ▌题型09 反比例函数与一次函数的图象 【典例1】已知反比例函数，当时，随的增大而增大，则一次函数的图象大致是（     ） A． B． C． D． 【变式1-1】在同一直角坐标系中，函数与的图象可能是（     ） A． B． C． D． 【变式1-2】一次函数经过第一、二、三象限，则函数的图像大致为（     ） A． B． C． D． 【变式1-3】在同一平面直角坐标系中，函数与 的图象大致是（     ） A． B． C． D． ▌题型10 K的几何意义 【典例1】如图是反比例函数（）的一部分图象，已知该图象过点，点是图象上任意一点，过点作轴，垂足为，则的面积是（     ） A．6 B．4 C．3 D．2 【变式1-1】如图，在反比例函数的图象上任取一点A，过点A作轴交反比例函数的图象于点B，O是原点，连接，则的面积为（     ） A．4 B．5 C．7 D．8 【变式1-2】如图，在平面直角坐标系中，过点分别作轴、轴的垂线并延长与反比例函数的图象交于、两点，连接、，则四边形的面积为（     ） A．10 B．11 C．12 D．13 【变式1-3】如图，点A、B落在第二象限内双曲线y（k≠0）上，过A、B两点分别作x轴的垂线段，垂足为C，D，连接OA、OB，若S1+S2＝2且S阴影＝1，则k的值为（　　） A．4 B．﹣4 C．2 D．﹣2 ▌题型11 反比例函数中的找规律 【典例1】如图，已知反比例函数的图象上有一组点、、、，它们的横坐标依次增加1，且点横坐标为1．“①、②、③、…”分别表示如图所示的三角形的面积，记，，…，则_________ 【变式1-1】如图，一组反比例函数y，y，y，…，y，其中x＞0，k1＝1，kn＞kn﹣1，n为大于1的整数．这组反比例函数的图象与正比例函数y＝x的图象相交，交点依次记为A1，A2，A3，…，An．若A1A2＝A2A3＝…＝An﹣1An，则k6＝　　 ． 【变式1-2】如图，在x轴的正半轴上依次截取OA1＝A1A2＝A2A3＝A3A4＝A4A5，过A1，A2，A3，A4，A5分别作x轴的垂线，与双曲线相交于P1，P2，P3，P4，P5，得△OP1A1，△A1P2A2，△A3P4A4，△A4P5A5，设它们的面积从左到右依次为S1，S2，S3，S4，S5按此规律，则S2025＝　 ． 【变式1-3】如图，在轴的正半轴上依次截取 ，过，，，，，分别作轴的垂线，与反比例函数的图象交于点，，，，，，并设，，，的面积分别为，，，，按此作法进行下去，则的值为_____________________． ▌题型12 反比例函数与不等式 【典例1】如图，一次函数y1＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数（m为常数且m≠0）的图象都经过A（﹣1，2），B（2，﹣1），结合图象，则不等式的解集是（　　） A．x＜﹣1或0＜x＜2 B．﹣1＜x＜0或x＞2 C．0＜x＜2 D．x＞2 【变式1-1】如图，正比例函数y1＝k1x的图象与反比例函数的图象相交于A，B两点，其中点A的横坐标为2．当y1＞y2时，x的取值范围是（　　） A．x＜﹣2或x＞2 B．x＜﹣2或0＜x＜2 C．﹣2＜x＜0或0＜x＜2 D．﹣2＜x＜0或x＞2 【变式1-2】直线y＝k1x+b与双曲线y在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于x的不等式k1x+b的解集为　 ． 【变式1-3】如图，一次函数y＝kx+b（k≠0）与反比例函数的图象相交于A、B两点，与y轴交于点C，点A的坐标为（﹣6，2），点B的坐标为（1，n）． （1）分别求出反比例函数和一次函数的表达式； （2）连接AO、BO，求△AOB的面积； （3）观察图象，不等式的解集为　 　 ． ▌题型13 反比例函数中的面积 【典例1】如图，点B在反比例函数的图象上，点C在反比例函数的图象上，且轴，，垂足为C，交y轴于点A，求的面积． 【变式1-1】如图，在平面直角坐标系中，A，B两点的坐标分别是，，过A，B两点的直线（）与x轴，轴分别交于点C，D，双曲线与该直线交于A，B两点． (1)求直线和双曲线的函数表达式； (2)根据图象直接写出不等式的解集； (3)在反比例函数图象上有一点P，满足，求点的坐标． 【变式1-2】如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于点，与x轴交于点B，与y轴交于点C． (1)求反比例函数的表达式； (2)当时，求x的取值范围； (3)已知点P为第三象限内反比例函数图像上一点，，求点P的坐标． 【变式1-3】如图，在平面直角坐标系中，直线：与反比例函数的图象交于A、B两点，与轴相交于点C，已知点B的坐标为． (1)求反比例函数的解析式及点A的坐标； (2)观察图象，不等式的解集为______； (3)点为反比例函数图象上任意一点，若，求点的坐标． 1 / 12 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题10 反比例函数的图象与性质 题型01 判断反比例函数的图象 题型02 已知反比例函数的图象判断其解析式 题型03 画反比例函数的图象 题型04 判断反比例函数所在象限 题型05 反比例函数的增减性比较大小 题型06 由增减性求参数 题型07 由双曲线所在象限求参数 题型08 由反比例函数的对称性求解 题型09 反比例函数与一次函数的图象 题型10 K的几何意义 题型11 反比例函数中的找规律 题型12 反比例函数与不等式 题型13 反比例函数中的面积 ▌题型01 判断反比例函数的图象 【典例1】反比例函数的图象大致是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：反比例函数中， 该反比例函数的图象在二、四象限， 故选：C． 【变式1-1】反比例函数的大致图象是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据反比例函数的k=8＞0，可知反比例函数的图象是双曲线且在第一、三象限，根据各选项的图象和图象所在的象限判断即可． 【解答】解：反比例函数的大致图象是双曲线，且在第一、三象限， A、是正比例函数图象，故A选项不符合题意； B、是正比例函数图象，故B选项不符合题意； C、是双曲线，且在第一、三象限，故C选项符合题意； D、是双曲线，但是在第二、四象限，故D选项不符合题意． 故选：C． 【变式1-2】李明需要制作一个底面积为的长方体无盖纸盒，底面矩形的一边长y（单位：）与其邻边长x（单位：）之间的关系可以用图象大致表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据矩形面积公式列出与的函数关系式，结合自变量的取值范围确定图象． 【详解】解：由题意得， ． 表示矩形的边长， ， 该函数图象是位于第一象限的双曲线的一支． 【变式1-3】函数的大致图像为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据分母不为0得出，再结合函数的图像与y轴交点位置解答即可； 【详解】解：根据分式有意义得分母不为0，即，解得， 因此函数的图像无限接近直线，但不与直线相交，排除选项B、D； 判断y轴交点符号： 代入，得，说明函数与y轴交于正半轴，选项C中时，排除C； 当时，，因此，图像在x轴上方； 当时，，因此，图像在x轴下方，完全符合选项A的图像特征． ▌题型02 已知反比例函数的图象判断其解析式 【典例1】如图所示的图象对应的函数解析式为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由图可知，该函数图象为过一、三象限的反比例函数，即， 故选：C． 【变式1-1】如图点P是反比例函数图象上的一点，且点P到x轴的距离为3，到y轴的距离为2，则该反比例函数的解析式是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出，再代入表达式求出即可． 【详解】解：∵点P是反比例函数图象上的一点，且点P到x轴的距离为3，到y轴的距离为2， ， 把代入，则， ∴． 【变式1-2】（2025•铜梁区模拟）如图所示，函数图象对应的函数解析式可能是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据函数的图象的形状和所处的位置选择即可． 【解答】解：函数的图象为双曲线，所以为反比例函数的图象， ∵图象位于第二、四象限， ∴对应的函数的解析式可能是 ． 故选：C． 【变式1-3】反比例函数的图象如图所示，则这个反比例函数的解析式可能是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据点A、B的坐标结合函数图象以及反比例函数图象上点的坐标特征，即可得出6＜k＜9，再对照四个选项即可得出结论． 【解答】解：观察函数图象可知：（-2）×（-3）＜k＜3×3， 即6＜k＜9． 故选：C． ▌题型03 画反比例函数的图象 【典例1】已知y是x的反比例函数，且当时，． (1)求该反比例函数的表达式； (2)补全表格并描点，画出该反比例函数的图象； x 1 2 3 6 … y … (3)当时，利用函数图象直接写出函数y的最大值为___________． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用待定系数法可求得反比例函数的解析式； （2）先完成表格，再描点、连线即可； （3）结合图象即可得到y的最大值． 【详解】（1）解：∵y是x的反比例函数， ∴设， ∵当时，， ∴，解得：， ∴该反比例函数的表达式为； （2）略 （3）解：根据函数图象可知函数y的最大值为：当时，． 【变式1-1】已知反比例函数的图象经过点． (1)求这个反比例函数的表达式． (2)画出这个反比例函数的图象． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用待定系数法求解反比例函数表达式，将已知点A的坐标代入函数式求出参数k即可得到结果； （2）按照列表、描点、连线的步骤画反比例函数图象，该函数，图象分布在第二、四象限． 【详解】（1）解：已知反比例函数的图象经过点， 将代入，得， 解得， 因此这个反比例函数的表达式为； （2）解：列表： x 1 2 5 y 2 5 10 描点，连线，得到反比例函数的图象，图略． 【变式1-2】如图，已知点，反比例函数的图象经过点． (1)求反比例函数的解析式，并在图中画出该反比例函数的图象； (2)当时，求函数值y的取值范围； (3)若关于x的一次函数的图象经过点B，且与图中的反比例函数的图象交于点P，当时，直接写出点P的横坐标的取值范围． 【答案】(1) ，图象如图： (2) (3) 【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质、一次函数图象和性质； （1）用待定系数法即可求解出反比例函数解析式，再画出图象即可； （2）根据反比例函数图象的性质，采用数形结合的方法，即可判断出函数值的取值范围； （3）根据一次函数和反比例函数的性质，过点B分别作坐标轴的垂线，即可求出的取值范围． 【详解】（1）解：反比例函数图象过， 将点A代入得：， ， 反比例函数解析式为：； （2）解：， 反比例函数从左往右下降，随的增大而减小， 当时，最大值为当时，， 当时，函数值的取值范围为：； （3）解：如图，过点B分别作轴，轴的垂线，分别交反比例函数图象于点E，F， 把代入，得， 把代入，得， ，， ， 在一次函数中，随的增大而增大， 点P的横坐标的取值范围为：． 【变式1-3】小军用四根硬纸条和钉子制作了一个矩形，按如图方式摆放在平面直角坐标系中，矩形的边落在轴上，边落在轴上，点的坐标为（网格图中每个小正方形的边长均为1）．若将矩形向右平移1个单位长度，则点恰好落在反比例函数（）的图象上． (1)求反比例函数的表达式； (2)请先描出这个反比例函数图象上的四个格点，再画出反比例函数的图象； (3)若固定矩形边，向右“推”矩形，得到如图所示的平行四边形，当时，边交反比例函数图象于点，直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题意得点C平移后的坐标为，再根据待定系数法把该点坐标代入即可求解； （2）由（1）知反比例函数的表达式得到反比例函数图象上的四个格点的坐标，然后，顺次描点并画反比例函数图象即可； （3）过点作于点E，由，得，再把点D的纵坐标代入反比例函数的表达式即可求得点D的坐标． 【详解】（1）解：由题意得，点平移后落在反比例函数图象上的坐标为， ∴，解得． ∴反比例函数的表达式为； （2）解：由（1）知反比例函数的表达式为，且， ∴这个反比例函数图象上的四个格点分别为， 画出的反比例函数的图象见答案； （3）解：过点作于点E，如图所示， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴，代入，得， ∴． ▌题型04 判断反比例函数所在象限 【典例1】已知关于的函数的图象位于第二、四象限，则反比例函数的图象位于（     ） A．第二、四象限 B．第一、三象限 C．第一、二象限 D．第三、四象限 【答案】B 【分析】根据反比例函数的性质，先由已知反比例函数的象限位置得到k的取值范围，再判断所求反比例函数比例系数的正负，即可确定其图象所在象限． 【详解】解：∵函数的图象位于第二､四象限， ∴， 解得， ∴， 根据反比例函数性质，当比例系数大于0时，反比例函数图象位于第一､三象限， ∴反比例函数的图象位于第一､三象限． 【变式1-1】反比例函数的图象位于（　　） A．第一，第三象限 B．第一，第四象限 C．第二，第三象限 D．第二，第四象限 【分析】根据反比例函数的图象与系数的关系解答即可． 【解答】解：∵k＝﹣8＜0， ∴函数图象位于第二、第四象限． 故选：D． 【变式1-2】关于反比例函数的图象，下列说法中正确的是（     ） A．点在它的图象上 B．图象位于第二、四象限 C．y随x的增大而增大 D．图象的两个分支关于原点对称 【答案】D 【分析】根据反比例函数的解析式，将点的坐标代入解析式中，可判断A； 根据反比例函数的解析式，可得出其图象的位置，可判断B； 根据反比例函数的解析式，结合增减性，可判断C； 根据反比例函数的解析式，可判断其对称性，可判断D． 【详解】解：反比例函数， 当时，， ∴点不在它的图象上， 故A错误； ∵， ∴反比例函数的图象位于第一、三象限，在每个象限内随的增大反而减小， 故B错误，C错误； 由反比例函数的对称性可知，图象的两个分支关于原点对称，故D正确． 【变式1-3】反比例函数①；②；③；④的图象中，在第一、三象限的是 ，在第二、四象限的是 ． 【分析】根据反比例函数的性质对各小题进行逐一分析即可． 【解答】解：①∵k=2＞0，∴此函数的图象在一三象限； ②∵k=＞0，∴此函数的图象在一三象限； ③∵k=-10＜0，∴此函数的图象在二四象限； ④∵k=＞0，∴此函数的图象在一三象限． ∴在第一、三象限的是①②④；在第二、四象限的是③． ▌题型05 反比例函数的增减性比较大小 【典例1】已知反比例函数的图象上有两点，，当时，与的大小关系为（     ） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【分析】根据反比例函数的解析式可判断该反比例函数图象分布的象限以及在每个象限内的增减性，结合两个点的横坐标可得答案． 【详解】解：∵， ∴该反比例函数的图象分布在第二、四象限，且在每个象限内随的增大而增大， ∵反比例函数的图象上有两点，，且， ∴这两点都在第二象限， ∴． 【变式1-1】若点，都在反比例函数的图象上，则与的大小关系是（     ） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【分析】根据反比例函数的解析式可判断该反比例函数图象分布的象限以及在每个象限内的增减性，结合两个点的横坐标可得答案． 【详解】解：∵在反比例函数中，， ∴该反比例函数的图象分布在第二、四象限，且在每个象限内随的增大而增大， ∵点，都在反比例函数的图象上，且， ∴点，都在第四象限， ∴． 【变式1-2】若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将三点横坐标分别代入反比例函数解析式，求出，，的值后比较大小. 【详解】解：将代入，得， 将代入，得， 将代入，得， ∵， ∴． 【变式1-3】若，，三点均在反比例函数的图象上，则下列结论中正确的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用的非负性确定反比例函数比例系数的符号，再结合图象的象限分布与增减性比较函数值大小． 【详解】解：∵，且， ∴， ∴反比例函数的图象在第二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大． ∵， ∴点在第二象限，． ∵，， ∴点、在第四象限，，． ∵第四象限内y随x的增大而增大，， ∴， ∴． ▌题型06 由增减性求参数 【典例1】已知，在双曲线上，且，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查反比例函数的增减性和一元一次不等式的解法．由点，点的横坐标特点及已知条件可以判断两点分别位于第二、四象限，从而根据反比例函数的增减性推出比例系数小于，求得的取值范围． 【详解】解：点的横坐标为，点的横坐标为， ，在y轴的两侧， 又 ，点，点在上， 点，点分别位于第二、四象限， 根据反比例函数的增减性，的比例系数小于，即， 解得． 【变式1-1】已知反比例函数，当时，y随x增大而减小，则m的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】当反比例函数比例系数大于0时，在的区间内，y随x的增大而减小，据此列出不等式即可得到m的取值范围． 【详解】解：∵当时，随的增大而减小， ∴反比例函数的比例系数大于0，即， 解得． 【变式1-2】已知反比例函数（为常数）的图象，在每个象限内，随的增大而增大，则的取值范围是_______________． 【答案】 【分析】根据反比例函数的增减性确定比例系数的范围，列不等式求解即可． 【详解】解：∵ 反比例函数的图象在每个象限内，随的增大而增大， ∴ 比例系数， ∴ 解得． 【变式1-3】已知反比例函数，当时，y随x的增大而增大，那么m的取值范围是________． 【答案】 【分析】根据反比例函数的性质，当时，随增大而增大，说明反比例函数的比例系数小于0，据此列不等式求解即可． 【详解】解：反比例函数 中，比例系数， ∵当时，随的增大而增大， ∴，即，解得 ． ▌题型07 由双曲线所在象限求参数 【典例1】已知是关于的反比例函数，且该函数图象的两个分支分布在第一、三象限． (1)求m的值； (2)当时，求的值； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先明确反比例函数的定义，因为反比例函数的一般形式为（），所以x的指数需等于，且系数不能为0，据此列方程和不等式求解m的可能取值．再结合函数图象的分布特征，因为反比例函数图象在第一、三象限，比例系数大于0，所以针对第一步得到的m的可能值，验证系数的正负，筛选出符合条件的m值． （2）把代入（1）中的解析式即可得到答案. 【详解】（1）解：∵是关于的反比例函数， ∴， 解得或； ∵， ∴， ∵反比例函数图象的两个分支分布在第一、三象限时， ∴， 解得． ∴． （2）解：当时，函数为， 当时，. 【变式1-1】如果反比例函数的图象位于第二、四象限，那么k的取值范围是（　　） A．k≠0 B．k≠1 C．k＜1 D．k＞1 【分析】根据反比例函数图象所在象限判断比例系数的符号，解不等式即可得到k的取值范围． 【解答】解：∵反比例函数的图象位于第二、四象限， ∴k﹣1＜0， 解得k＜1． 故选：C． 【变式1-2】函数的图象在第一、三象限内，则的取值范围是________． 【答案】 【详解】解：∵函数的图象在第一、三象限内， ∴， 解得：． 【变式1-3】已知是关于x的反比例函数，且该函数图象的两个分支分布在第一、三象限，求m的值． 【答案】 【分析】先明确反比例函数的定义，因为反比例函数的一般形式为（），所以x的指数需等于，且x的系数不能为0，据此列方程和不等式求解m的可能取值．再结合函数图象的分布特征，因为反比例函数图象在第一、三象限时，比例系数大于0，所以针对第一步得到的m的可能值，验证系数的正负，筛选出符合条件的m值． 【详解】解：反比例函数的形式为（），也就是的次数必须为，同时比例系数不能为0： 令，解得，即或； 要求比例系数不为0： ，即，上述两个候选值都满足该条件． 反比例函数图象的两个分支分布在第一、三象限时，比例系数， 也就是：，解得． 在和中，只有符合的要求． ∴最终的值为2． ▌题型08 由反比例函数的对称性求解 【典例1】已知直线与反比例函数的图象的一个交点坐标为，则它们的另一个交点坐标为__________． 【答案】 【分析】根据正比例函数与反比例函数的交点关于原点对称进行解答即可． 【详解】解：∵正比例函数和反比例函数均关于原点对称， ∴两函数的交点关于原点对称， ∵一个交点的坐标是（3，4）， ∴另一个交点的坐标是（-3，-4）． 故填（-3，-4）． 【变式1-1】如图，过原点的直线与反比例函数的图像交于A，B两点，若点，则点B的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据反比例函数图像的对称性求解即可． 【详解】解：∵过原点的直线与反比例函数的图像交于A，B两点，， ∴A，B两点关于原点对称， ∵点A的坐标是， 点B的坐标为． 【变式1-2】如图，正比例函数的图象与反比例函数，的图象分别交于点A，B，过点A，B分别向轴、轴作垂线，两垂线交于点，则的面积为_________________． 【答案】 【分析】设，利用正比例函数和反比例函数的性质得到坐标之间的倍数关系，确定点C的坐标，进而表示出的直角边长，利用三角形面积公式进行解答即可． 【详解】解：设， ∵正比例函数的图象经过点A，B， ∴，， ∵正比例函数的图象与反比例函数，的图象分别交于点A，B， ∴，， ∴， ∵点A在第一象限，点B在第三象限， ∴异号， ∴， 同理可得，， ∵过点A，B分别向轴、轴作垂线，两垂线交于点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ 【变式1-3】如图，边长为8的正方形的对称中心是坐标原点O，轴，轴，反比例函数与的图象均与正方形的边相交，则图中阴影部分的面积之和为________． 【答案】32 【分析】根据题意，观察图形可得图中的阴影部分的面积是图中正方形面积的一半，而正方形面积为64，由此可以求出阴影部分的面积． 【详解】解：∵正方形的对称中心是坐标原点，轴，轴， ∴正方形的面积， 根据题意：观察图形可得，图中以B、D为顶点的小阴影部分，绕点O顺时针旋转，正好和以A、C为顶点的小空白部分重合， ∴阴影的面积是图中正方形面积的一半， ∴阴影部分的面积． ▌题型09 反比例函数与一次函数的图象 【典例1】已知反比例函数，当时，随的增大而增大，则一次函数的图象大致是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】对于反比例函数：当时，在第一象限内（），随的增大而减小；当时，在第四象限内（），随的增大而增大，据此可确定的符号，进而判断一次函数的大致图象． 【详解】解：反比例函数，当时，随的增大而增大， ， ， 一次函数的图象经过第一、二、四象限，从左上到右下，与轴交于正半轴， 只有C选项满足题意． 【变式1-1】在同一直角坐标系中，函数与的图象可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据k的正负性，分别判断反比例函数图象所在的象限以及一次函数图象经过的象限，从而确定正确选项． 【详解】解：当 时，， ∴反比例函数的图象在第一、三象限， 一次函数的图象经过第一、三、四象限，选项B符合题意； 当 时，， ∴反比例函数的图象在第二、四象限， 一次函数的图象经过第一、二、四象限， 选项A、C、D均不符合题意． 【变式1-2】一次函数经过第一、二、三象限，则函数的图像大致为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一次函数经过的象限确定 、 的符号，进而确定反比例函数型的图像分布区域； 【详解】解：一次函数 的图像经过第一、二、三象限， ，， 函数的图像经过第一、三象限，且无限接近轴， 函数的图像向左平移个单位得到函数的图像，其无限接近直线，排除B、C选项； 当时，，当时，，排除D选项；A选项符合题意． 【变式1-3】在同一平面直角坐标系中，函数与 的图象大致是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分类讨论，当时，故经过第一、二、四象限，经过第一、三象限，或当时，经过第一、二、三象限，且进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：依题意，当时，则， ∴经过第一、二、四象限， 此时得经过第一、三象限， 故A选项符合题意，B、D选项都不符合题意； 当时，则， ∴经过第一、二、三象限， 故C选项不符合题意； 综上，只有选项A符合题意． ▌题型10 K的几何意义 【典例1】如图是反比例函数（）的一部分图象，已知该图象过点，点是图象上任意一点，过点作轴，垂足为，则的面积是（     ） A．6 B．4 C．3 D．2 【答案】C 【分析】先根据图象过点求出的值，再利用反比例函数的几何意义求解的面积． 【详解】解：∵反比例函数的图象过点， ∴， ∵点是图象上任意一点，轴， ∴． 【变式1-1】如图，在反比例函数的图象上任取一点A，过点A作轴交反比例函数的图象于点B，O是原点，连接，则的面积为（     ） A．4 B．5 C．7 D．8 【答案】A 【分析】设与y轴交于点，根据轴可得，再结合反比例函数的系数k的几何意义即可求解． 【详解】解：如图，设与轴交于点， 轴， ， ∵点在上，点在上， ，， ． 【变式1-2】如图，在平面直角坐标系中，过点分别作轴、轴的垂线并延长与反比例函数的图象交于、两点，连接、，则四边形的面积为（     ） A．10 B．11 C．12 D．13 【答案】A 【分析】根据反比例函数中的几何意义分别求出的面积和的面积，根据坐标特征求出四边形的面积，结合图形计算即可． 【详解】解：如图，设交轴于，交轴于， ∵、两点在反比例函数的图象上， ∴， ∵， ∴， ∴四边形的面积为． 【变式1-3】如图，点A、B落在第二象限内双曲线y（k≠0）上，过A、B两点分别作x轴的垂线段，垂足为C，D，连接OA、OB，若S1+S2＝2且S阴影＝1，则k的值为（　　） A．4 B．﹣4 C．2 D．﹣2 【分析】根据题意得出相关三角形面积之间的关系：S1+S阴影＝S△BOD，S2+S阴影＝S△AOC，再根据反比例函数中系数k的几何意义推出|k|＝S△BOD+S△AOC，从而推出|k|＝4，结合图象可得k＝﹣4． 【解答】解：由题意可知S1+S阴影＝S△BOD，S2+S阴影＝S△AOC， ∵S△BOD＝S△AOC， ∴|k|＝S△BOD+S△AOC＝S1+S阴影+S2+S阴影＝S1+S2+2S阴影＝2+2＝4， ∵函数图象经过第二象限， ∴k＜0， ∴k＝﹣4， 故选：B． ▌题型11 反比例函数中的找规律 【典例1】如图，已知反比例函数的图象上有一组点、、、，它们的横坐标依次增加1，且点横坐标为1．“①、②、③、…”分别表示如图所示的三角形的面积，记，，…，则_________ 【答案】 【分析】由反比例函数系数的几何意义可知，……的面积都等于，得出，进而即可求解． 【详解】解：如图，连接、、……，记三角形①的直角顶点为，记三角形②的直角顶点为，记三角形③的直角顶点为，记三角形④的直角顶点为，……， 由反比例函数系数的几何意义可知，……的面积都等于， 又∵点，，……，，它们的横坐标依次增加，且点横坐标为， ∴， ， ， ， …… ∴，,……， ∴ . 【变式1-1】如图，一组反比例函数y，y，y，…，y，其中x＞0，k1＝1，kn＞kn﹣1，n为大于1的整数．这组反比例函数的图象与正比例函数y＝x的图象相交，交点依次记为A1，A2，A3，…，An．若A1A2＝A2A3＝…＝An﹣1An，则k6＝　　 ． 【分析】根据题意，依次求出k2，k3，k4，…，发现规律即可解决问题． 【解答】解：由x得， x（舍负）， 所以点A1坐标为（）， 则， 同理可得，，…， 所以． 因为A1A2＝A2A3＝…＝An﹣1An， 则， 所以． 因为k1＝1， 所以． 当n＝6时，k6＝36． 故答案为：36． 【变式1-2】如图，在x轴的正半轴上依次截取OA1＝A1A2＝A2A3＝A3A4＝A4A5，过A1，A2，A3，A4，A5分别作x轴的垂线，与双曲线相交于P1，P2，P3，P4，P5，得△OP1A1，△A1P2A2，△A3P4A4，△A4P5A5，设它们的面积从左到右依次为S1，S2，S3，S4，S5按此规律，则S2025＝　 ． 【分析】过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得三角形面积为，结合图形找到规律进行解答即可． 【解答】解：由反比例函数k值的几何意义可知， ∴S1＝S＝2，，， ∵OA1＝A1A2， ∴， ∵OA1＝A1A2＝A2A3， ∴， 同理可得 以此类推，． ∴， 故答案为：． 【变式1-3】如图，在轴的正半轴上依次截取 ，过，，，，，分别作轴的垂线，与反比例函数的图象交于点，，，，，，并设，，，的面积分别为，，，，按此作法进行下去，则的值为_____________________． 【答案】 【分析】根据反比例函数的系数k的几何意义解答． 【详解】解：∵在反比例函数的图象上，轴于 ∴， 连接，， ， 同理， ∵ ， ∴， ， … ∴， ∴当时，． ▌题型12 反比例函数与不等式 【典例1】如图，一次函数y1＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数（m为常数且m≠0）的图象都经过A（﹣1，2），B（2，﹣1），结合图象，则不等式的解集是（　　） A．x＜﹣1或0＜x＜2 B．﹣1＜x＜0或x＞2 C．0＜x＜2 D．x＞2 【分析】根据一次函数图象在反比例函数图象下方的x的取值范围便是不等式的解集． 【解答】解：由函数图象可知不等式的解集是﹣1＜x＜0或x＞2． 故选：B． 【变式1-1】如图，正比例函数y1＝k1x的图象与反比例函数的图象相交于A，B两点，其中点A的横坐标为2．当y1＞y2时，x的取值范围是（　　） A．x＜﹣2或x＞2 B．x＜﹣2或0＜x＜2 C．﹣2＜x＜0或0＜x＜2 D．﹣2＜x＜0或x＞2 【分析】先根据反比例函数与正比例函数的性质求出B点横坐标，再由函数图象即可得出结论． 【解答】解：由条件可知A、B两点关于原点对称， ∵点A的横坐标为2， ∴点B的横坐标为﹣2， ∵由函数图象可知，当﹣2＜x＜0或x＞2时函数y1＝k1x的图象在的上方， ∴当y1＞y2时，x的取值范围是﹣2＜x＜0或x＞2． 故选：D． 【变式1-2】直线y＝k1x+b与双曲线y在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于x的不等式k1x+b的解集为　 ． 【分析】先根据图象得出两函数的交点的横坐标，根据交点的横坐标结合图象即可得出答案． 【解答】解：∵直线y＝k1x+b与双曲线y在同一平面直角坐标系中的图象的交点的横坐标是﹣2和3， ∴关于x的不等式k1x+b的解集是x＜﹣2或0＜x＜3， 故答案为：x＜﹣2或0＜x＜3． 【变式1-3】如图，一次函数y＝kx+b（k≠0）与反比例函数的图象相交于A、B两点，与y轴交于点C，点A的坐标为（﹣6，2），点B的坐标为（1，n）． （1）分别求出反比例函数和一次函数的表达式； （2）连接AO、BO，求△AOB的面积； （3）观察图象，不等式的解集为　﹣6＜x＜0或x＞1　 ． 【分析】（1）先把点A的坐标代入反比例函数的表达式中求出m的值，从而得到反比例函数的表达式，进而求出点B的坐标，再把点A和点B的坐标代入一次函数的表达式中求出k和b的值即可得到一次函数的表达式； （2）求出点C的坐标，再根据S△AOB＝S△AOC+S△BOC列式求解即可； （3）根据函数图象找到反比例函数的图象在一次函数的图象上方时自变量的取值范围即可得到答案． 【解答】解：（1）由条件可得，解得m＝﹣12， ∴反比例函数的表达式为， 在中，当x＝1时，y＝﹣12， ∴点B的坐标为（1，﹣12）， 把点A和点B的坐标代入y＝kx+b（k≠0）得， ∴， ∴一次函数的表达式为y＝﹣2x﹣10； （2）如图所示，连接OA、OB， 由条件可知点C的坐标为（0，﹣10）， ∴OC＝10， ∴S△AOB＝S△AOC+S△BOC ＝35； （3）由函数图象可知，不等式的解集为﹣6＜x＜0或x＞1． 故答案为：﹣6＜x＜0或x＞1． ▌题型13 反比例函数中的面积 【典例1】如图，点B在反比例函数的图象上，点C在反比例函数的图象上，且轴，，垂足为C，交y轴于点A，求的面积． 【答案】的面积为5 【分析】过点作轴于点，则四边形为矩形，根据反比例函数值的几何意义，得到矩形的面积等于，再根据的面积是矩形面积的一半即可得解． 【详解】解：过点作轴于点， ∵轴，， ， ∴四边形为矩形， 设与轴的交点为，则四边形和四边形均为矩形， ∵点在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上， ∴矩形的面积， ∵为矩形的对角线， ∴的面积等于矩形的面积的一半，即：的面积等于5． 【变式1-1】如图，在平面直角坐标系中，A，B两点的坐标分别是，，过A，B两点的直线（）与x轴，轴分别交于点C，D，双曲线与该直线交于A，B两点． (1)求直线和双曲线的函数表达式； (2)根据图象直接写出不等式的解集； (3)在反比例函数图象上有一点P，满足，求点的坐标． 【答案】(1)， (2)或 (3)或 【分析】（1）将点A坐标代入反比例函数解析式，求出k，再将点B坐标代入反比例函数解析式，求出点B坐标，最后将A，B两点坐标代入一次函数解析式即可求解； （2）利用反比例函数以及一次函数图象即可求解； （3）根据与的面积关系，可求出点P的纵坐标，进而求解． 【详解】（1）解：将代入得，， ∴， 反比例函数的解析式为． 将代入得，，则， 点B的坐标为． 将点A和点B的坐标代入得， ， 解得， 一次函数的解析式为； （2）解：根据所给函数图象可知， 当或时，一次函数的图象在反比例函数图象的下方，即， 不等式的解集为：或． （3）解：将代入得，， 点D的坐标为，则， ， ． 将代入，得， 点的坐标为，则， ， 解得． ∴， 将代入得，， 点P坐标为． 将代入得，， 点P坐标为． 综上所述，点P的坐标为或． 【变式1-2】如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于点，与x轴交于点B，与y轴交于点C． (1)求反比例函数的表达式； (2)当时，求x的取值范围； (3)已知点P为第三象限内反比例函数图像上一点，，求点P的坐标． 【答案】(1)反比例函数的表达式为 (2) 或 (3) 【分析】（1）先把点代入，求出m的值，再用待定系数法求出k的值即可； （2）首先求出一次函数的图像和反比例函数的图像的交点为，，然后根据图像求解即可； （3）先求出和长，过点A作轴于点H，过点P作轴于点D，连接，利用得到等量关系，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：∵一次函数的图像与反比例函数的图像交于点， ∴， ∴， ∴， 将代入反比例函数， ∴， ∴反比例函数的解析式为； （2）解：联立和得： ， 整理得， 解得或， 当时，， ∴一次函数的图像和反比例函数的图像的交点为，， 由图像可得，当一次函数的图像在反比例函数的图像下方时，或， ∴当时，x的取值范围为或． （3）解：对于，当时，， 解得， 当时，， ∴，， ∴，， 过点A作轴于点H，过点P作轴于点D，连接， ∵， ∴， 即， 解得， ∵点P在第三象限， ∴点P的纵坐标为， 将代入得， ∴点P的坐标为． 【变式1-3】如图，在平面直角坐标系中，直线：与反比例函数的图象交于A、B两点，与轴相交于点C，已知点B的坐标为． (1)求反比例函数的解析式及点A的坐标； (2)观察图象，不等式的解集为______； (3)点为反比例函数图象上任意一点，若，求点的坐标． 【答案】(1)； (2)或 (3)点P的坐标为或． 【分析】（1）先将点B的纵坐标代入直线中，得到点B的完整坐标；其次将点B坐标代入反比例函数中，推出k的值，得到反比例函数解析式；最后联立两个函数的方程，求出交点A的坐标． （2）首先明确不等式的几何意义，对应图象中一次函数图象在反比例函数图象上方的部分，然后结合两个交点确定解集． （3）首先根据直线与x轴交点求出点C坐标，得到的长度，即两个三角形的底边均为的长；然后结合点A纵坐标计算出，从而得到；设出点P坐标，根据反推出点P纵坐标，代入反比例函数解析式，即可得到点P坐标． 【详解】（1）解：将点B的坐标代入中，得 解得，即点． 将代入到中，得 解得 ∴反比例函数的解析式为． 联立， 得 解得，． 当时，代入，得 ∴点A的坐标为． （2）解:不等式表示一次函数的函数值大于反比例函数的函数值． 两个函数的交点为和，反比例函数自变量取值范围为，观察图象可得：当或时，一次函数的值大于反比例函数的值， 因此不等式的解集为或． （3）解:将代入直线中，得，即点，． ∵点A纵坐标为2， ∴， ∴． 设点，则，得． 当时，代入反比例函数得，解得； 当时，点P与点B重合，为． ∴点P的坐标为或． 1 / 12 学科网（北京）股份有限公司 $