专题03 圆与图形变换、尺规作图（举一反三专项训练）数学新教材苏科版九年级上册

专题03 圆与图形变换、尺规作图（举一反三专项训练） 【新教材苏科版】 题型归纳 【题型1 圆的翻折】 1 【题型2 圆的旋转】 1 【题型3 圆的平移】 6 【题型4 圆的覆盖】 12 【题型5 圆的截取】 16 【题型6 圆中作图构切线】 21 【题型7 作外接圆】 24 【题型8 作内切圆】 30 【题型9 追根索圆】 35 【题型1 圆的翻折】 【例1】（25-26九年级上·江苏盐城·阶段检测）如图，将⊙O沿弦AB折叠，圆弧恰好经过圆心O，点P是优弧上一点，则∠APB的度数为_____． 【答案】60° 【分析】分析：作半径OC⊥AB于D，连结OA、OB，如图，根据折叠的性质得OD=CD，则OD= OA，根据含30度的直角三角形三边的关系得到∠OAD=30°，接着根据三角形内角和定理可计算出∠AOB=120°，然后根据圆周角定理计算∠APB的度数． 【详解】如图作半径OC⊥AB于D，连结OA、OB． ∵将⊙O沿弦AB折叠，圆弧恰好经过圆心O， ∴OD=CD， ∴OD= OC= OA， ∴∠OAD=30°． ∵OA=OB， ∴∠ABO=30°， ∴∠AOB=120°， ∴∠APB= ∠AOB=60°． 故答案为60°． 【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了含30度的直角三角形三边的关系和折叠的性质，求得∠OAD=30°是解题的关键． 【变式1-1】（25-26九年级上·湖北武汉·期中）如图，AB是⊙O的直径，AB＝4，E是上一点，将沿BC翻折后E点的对称点F落在OA中点处，则BC的长为（　　） A． B．2 C． D． 【答案】D 【分析】连接OC．由△AFC∽△ACO，推出AC2＝AF•OA，可得AC＝，再利用勾股定理求出BC即可解决问题； 【详解】解：连接OC． 由翻折不变性可知：EC＝CF，∠CBE＝∠CBA， ∴， ∴AC＝CE＝CF， ∴∠A＝∠AFC， ∵OA＝OC＝2， ∴∠A＝∠ACO， ∴∠AFC＝∠ACO，∵∠A＝∠A， ∴△AFC∽△ACO， ∴AC2＝AF•OA， ∵AF＝OF＝1， ∴AC2＝2， ∵AC＞0， ∴AC＝， ∵AB是直径， ∴∠ACB＝90°， ∴BC＝＝＝， 故选D． 【点睛】本题考查翻折变换，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型． 【变式1-2】（25-26九年级上·江苏盐城·阶段检测）如图，在扇形中，点，在弧AB上，将弧CD沿弦折叠后恰好与，相切于点，．已知，，则折痕的长为 __． 【答案】 【分析】根据对称性作关于的对称点，则，连接交于，则点都在以为圆心，半径为6的圆上，再结合切线的性质和垂径定理求解即可． 【详解】作关于的对称点，则 连接交于 ∵将沿弦折叠 ∴点都在以为圆心，半径为6的圆上 ∵将沿弦折叠后恰好与，相切于点． ∴ ∴ ∵ ∴四边形MEOF中 即的度数为； ∵， ∴（） ∴ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了折叠的性质、切线的性质、垂径定理、勾股定理；熟练掌握折叠的性质作出辅助线是解题的关键． 【变式1-3】（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，是的内接三角形，将劣弧沿弦折叠后刚好经过弦中点，若，，则的半径为________． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的外接圆与外心，等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形，勾股定理，圆周角定理，翻折变换．设折叠后的所在圆的圆心为，连接，，连接，，过点作，垂足为，过点作，垂足为，根据圆周角定理可得，从而可得，然后利用等腰三角形的三线合一性质可得，从而可得，然后在中，根据含度角的直角三角形的性质以及勾股定理可求出，的长，从而求出，的长，进而求出的长，最后在中，根据含度角的直角三角形的性质以及勾股定理求出，即可解答． 【详解】解：设折叠后的所在圆的圆心为，连接，，连接，，过点作，垂足为，过点作，垂足为， ， ，， 与是等圆， ， ， ， 点是的中点， ， ， 在中，，， ， ，则 的半径为： 故答案为：． 【题型2 圆的旋转】 【例2】如图，点都在上，且，则的半径为_______． 【答案】 【分析】本题考查圆心角、弧、弦的关系，勾股定理，圆周角定理，关键是通过作辅助线构造直角三角形，应用勾股定理即可解决问题．作使，过作交延长线于，连接，得到，推出，由圆周角定理推出，由三角形外角的性质得到，由圆心角、弧、弦的关系得到，求出，，由勾股定理得到，求出． 【详解】解：作使，过作交延长线于，连接，过作交于， ， ， ， ∴ ∵， ∴， ∴， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 的半径是． 故答案为：． 【变式2-1】（25-26九年级上·浙江宁波·期末）如图，是的直径，点是的中点，将绕点逆时针旋转后得到，点落在上，若，则弦的长为___________． 【答案】 【分析】本题主要考查了圆周角定理．勾股定理，旋转的性质，熟知圆的相关知识是解题的关键． 延长交于点，设，在中，，即可求解. 【详解】解：如图；连接延长交于点 ∵点是的中点， ∴ ∵是的直径 ∴， ∴， 在中，， ∵将绕点逆时针旋转后得到，点落在上 ∴，则， ∴在中， ∵ ∴设 在中， 解得：（舍）或 故答案为：. 【变式2-2】（25-26九年级下·浙江金华·阶段检测）如图，为的直径，是弦，将弧绕着点A按逆时针方向旋转得到弧，点D恰好落在上，弧与相交于点E，若，则的长为（ ） A．4 B．3 C． D． 【答案】C 【分析】连接交于点F，连接，则，由旋转的性质得所在的圆与是等圆， ，则，依据“”判定和全等得，则，根据垂径定理得，进而得，则，进而得是等腰三角形，根据等腰三角形的性质得，则，在中由勾股定理可求出，然后在中，由勾股定理即可求出的长． 【详解】解：连接交于点F，连接，如图所示： ， ， 为的直径，是弦， ， 由旋转的性质可知：所在的圆与是等圆，， ， 是的直径， ， 在和中， ， ， ， ， 根据垂径定理得：， 所在的圆与是等圆，， ， ， ， 是等腰三角形， ， ， ， 在中，由勾股定理得：， 在中，由勾股定理得：． 故选：C． 【点睛】此题主要考查了图形的旋转变换及其性质，圆周角定理，垂径定理，全等三角形的判定与性质，理解图形的旋转变换及其性质，熟练掌握圆周角定理，垂径定理，全等三角形的判定与性质是解决问题的关键． 【变式2-3】（25-26九年级上·湖北武汉·期末）如图，是的两条弦，． (1)在图（1）中，，直接写出图中阴影部分的面积； (2)在图（2）中，E是的中点，判断与的数量关系，并证明你的结论． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）作，先证明是等边三角形，再证明，求出的长度，再求出和的面积，即可得答案； （2）延长交圆与点F，连接，先求出，再根据三角形中位线的性质，． 【详解】（1）解：作，如下图， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：延长交圆与点F，连接，如下图， ， ， ， 是的中位线， ． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质，三角函数，扇形的面积，圆，三角形的中位线，解题的关键是掌握圆的性质． 【题型3 圆的平移】 【例3】（2025·湖北武汉·模拟预测）如图，半径为的与含有角的直角三角板的边切于点，将直角三角板沿边所在的直线向左平移，当平移到与相切时，该直角三角板平移的距离为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意平移作图，如图所示，将直角三角板向左平移至，与相切与点，根据垂径定理可得点为的中线，根据切线的性质可得是等边三角形，在中，根据特殊角的三角函数值即可求解． 【详解】解：如图所示，将直角三角板向左平移至，与相切与点，    连接，过点作于点， ∴是等腰三角形，是中线， 平移前，与切于点， ∴，， 平移后，与切于点， ∴与为的切线， ∴，， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， 在中，，， ∴， ∴，   ∴，即该直角三角板平移的距离为， 故选：． 【点睛】本题主要考查圆与三角形的综合，掌握切线的性质，垂径定理，等边三角形的性质，特殊角的三角函数值的计算方法是解题的关键． 【变式3-1】（25-26九年级上·江苏无锡·期中）如图，⊙O的半径OC=5cm，直线l⊥OC，垂足为H，且l交⊙O于A、B两点，AB=8cm，则l沿OC所在直线平移后与⊙O相切，则平移的距离是（     ） A．1cm B．2cm C．8cm D．2cm或8cm 【答案】D 【详解】试题分析：连接OA，如图： ∵OH⊥AB，AB=8cm，∴AH=4cm，∵OA=OC=5cm，∴由勾股定理可得OH=3cm，∴当直线向下平移到点H与点C重合时，直线与圆相切，∴CH=OC-OH=2cm；同理：当直线向上平移到与圆相切时，平移的距离=5+3=8cm，所以直线在原有位置移动2cm或8cm后与圆相切，故选D． 考点：垂径定理、勾股定理、直线与圆的位置关系． 【变式3-2】（25-26九年级下·江苏南京·期中）如图，矩形纸片，，先沿对角线将矩形纸片剪开，再将三角形纸片沿着对角线向下适当平移，得到三角形纸片，然后剪出如图所示的最大圆形纸片，则此时圆形纸片的半径为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设最大圆圆心为O，与AD切点为M，与CD切点N，连接OM、ON，可得正方形OMDN，再利用OM∥CD得到线段比计算即可． 【详解】设最大圆半径为r，圆心为O，与AD切点为M，与CD切点N，连接OM、ON，如图： ∴OM=ON，且OM⊥AD，ON⊥CD ∵∠D=90° ∴四边形OMDN是正方形， ∴ ∵矩形纸片， ∴ ∴ ∵OM∥CD ∴ ∴ 解得 故选：A． 【点睛】本题考查切线的性质、相似三角形的性质与判定，解题的关键是确定最大圆与两个直角三角形的四条直角边都相切． 【变式3-3】（2025·江西抚州·二模）如图，边长为4的正方形中，半径为1的⊙在正方形内平移（⊙可以与该正方形的边相切），设点到⊙上的点的距离为，且是整数，则的值所有情况有（    ） A．3种 B．4种 C．5种 D．6种 【答案】C 【分析】本题主要考查了切线的性质，正方形的性质，直线和圆的位置关系，勾股定理，解题的关键是利用分类讨论的思想进行求解；当与AB，BC相切时，连接，证明出是正方形，利用性质求解；当与，相切时，切点分别为G，H，连接，，利用同样的方法进行求解即可． 【详解】解：如图1，当与，相切时，切点分别为E，F，连接． 由题意易得四边形是正方形，． 的半径为1，， ∴点到上的点的距离的最小值为． 如图2，当与，相切时，切点分别为G，H，连接，， 由题意易得四边形是正方形，．， ∴点B，O，D三点共线． 的半径为1， ∴， ， ∴点到上的点的距离的最大值为． ，， ∴x的取值可能是1，2，3，4，5，共有5种， 故选：C． 【题型4 圆的覆盖】 【例4】（25-26九年级下·湖北武汉·阶段检测）如图，矩形ABCD是由边长为1的五个小正方形拼成，O是第2个小正方形的中心，将矩形ABCD绕O点逆时针旋转90°得矩形，现用一个最小的圆覆盖这个图形，则这个圆的半径是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】线段BC、的垂直平分线的交点H即为最小覆盖圆的圆心，连接BH，BH即为圆的半径，根据勾股定理即可求解． 【详解】作线段BC、的垂直平分线MH、NH，两线的交点为H点，连接BH，如图， ∵MH、NH为线段BC、的垂直平分线， ∴BM=BC=，= =， ∴HM=-1=， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了垂径定理、勾股定理等知识，找到最小覆盖圆是解答本题的关键． 【变式4-1】（25-26九年级上·浙江杭州·阶段检测）如图是由两个正方形组成的轴对称图案，测得正方形的边长分别为和．现用一个半径为的圆形纸片将其完全覆盖，则的最小值是___________． 【答案】 【分析】本题考查圆的综合，勾股定理，得出圆形纸片半径最小时是图形的外接圆是解题的关键． 作图形的对称轴交于E，交于F，作图形的外接圆，由题意可知，点O在上，垂直平分和，连接、，设，根据勾股定理求出，再根据勾股定理求出半径即可得到答案． 【详解】解：作的垂直平分线交于E，交于F，作的垂直平分线交于O，连接、， 由题意可知： ，， ∴，，， 设，则， 在中，，即， 在中，，即， ∴， 解得， ∴， ∴r的最小值是． 故答案为：． 【变式4-2】如图，四边形中，，，，，若能将四边形覆盖（即四边形的四个顶点在圆上或圆内）则的半径最小值为_________． 【答案】 【分析】如图所示过点D作DE⊥BC于E，过点A作AF⊥BD交BD于F，先求出BF，AF的长，然后设，则，根据勾股定理得到，，则，由此求出CE=1，，然后解直角三角形求出∠DBE=45°，∠DCE=60°，从而推出A、B、C、D四点共圆，BE=DE，连接AE，设A、B、C、D所在圆的圆心为O1，连接O1B，圆O1的半径为r，证明A、E、F三点共线，且点O1在AE上，然后在Rt△O1BF中利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图所示过点D作DE⊥BC于E，过点A作AF⊥BD交BD于F， ∵AB=AD，∠BAD=120°， ∴∠ABD=∠ADB=30°，， ∴，， ∴， 设，则， 在Rt△BDE中，， 在Rt△CDE中，， ∴， 解得， ∴CE=1，， ∴，， ∴∠DBE=45°，∠DCE=60°， ∴∠BAD+∠BCD=180°，∠BDE=45°=∠DBE， ∴A、B、C、D四点共圆，BE=DE， 连接AE，设A、B、C、D所在圆的圆心为O1，连接O1B，圆O1的半径为r， ∵AB=AD，BE=DE， ∴AE垂直平分BD， ∴A、E、F三点共线， ∴点O1在AE上， 在Rt△O1BF中，， ∴， 解得， ∴的半径最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，解直角三角形，圆内接四边形，等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质等等，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． 【变式4-3】如图，在平面内，，两两外切，其中的半径为8，，的半径都为5．用一张半径为R的圆形纸片把这三个圆完全覆盖，则R的最小值为（    ） A． B．10 C．13 D．15 【答案】A 【分析】当半径为R的圆形纸片与三个圆相切时，R的值最小，根据两圆相切的性质求解即可． 【详解】解：如图，当与三个已知圆相切时，R的值最小， ∵四个圆相切，的半径为8，，的半径都为5，的半径为R． ∴O1O2= O1O3=5+8=13，OO2= OO3=R-5，O1O=R-8，O2O3=5+5=10， ∴O1O⊥O2O3，设垂足为I， ∴IO2=5， ∴， ∴， ∴，即， 解得，， 故选： A． 【点睛】本题考查了相切圆的性质和勾股定理，解题关键是明确两圆相切时，圆心距与半径的关系，根据勾股定理列出方程． 【题型5 圆的截取】 【例5】（25-26九年级上·山东淄博·期末）如图，在直角三角形材料中，，，，现用此材料裁出一个面积最大的半圆形模板，则该半圆形模板的半径是（    ） A．2 B．3 C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了圆切线的性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确画出图形． 设半圆的圆心为O，圆O与相切于点D，与相切于点E，首先根据勾股定理求出，设，然后利用代数求解即可． 【详解】如图所示，设半圆的圆心为O，圆O与相切于点D，与相切于点E， ∵，，， ∴ ∵， ∴， 设 ∴ ∴ 解得． ∴该半圆形模板的半径是． 故选：C． 【变式5-1】（25-26六年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）用一张长为分米、宽为分米的纸剪一个最大的圆，这个圆的面积是______平方分米．（结果保留） 【答案】 【分析】根据长方形纸的形状，可知圆的直径为分米，根据圆的面积公式即可求解． 【详解】解：长为分米、宽为分米的纸剪一个最大的圆，则圆的直径为分米， ∴圆的面积为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查图形的面积的计算，掌握图形面积的计算公式是解题的关键． 【变式5-2】（25-26九年级上·天津宝坻·期中）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，AB＝AD＝4，BC＝6，以A为圆心在梯形内画出一个最大的扇形（图中阴影部分）的面积是_____． 【答案】4π． 【分析】扇形面积公式：S＝,梯形的计算问题一般要转换成平行四边形和三角形的问题来解决． 【详解】过点A向BC作垂线，垂足为E， ∵AD＝CE＝4，BC＝6，所以BE＝2， ∴∠EAB＝30°，∠DAB＝120°， 根据勾股定理可知AE2＝16﹣4＝12， ∴扇形面积为＝4π． 【点睛】主要考查了扇形的面积公式和梯形中的计算问题． 【变式5-3】如图，在四边形材料中，，，，现用此材料截出一个面积最大的圆形模板，则此圆的半径为（    ）    A．10cm B．12cm C．cm D．13cm 【答案】A 【分析】当，，相切于于点，，时，的面积最大．连接，，，，，过点作于点，过点作于点．利用勾股定理法构建方程求解即可． 【详解】解：如图，当，，相切于于点，，时，的面积最大．连接，，，，，过点作于点，过点作于点．    ∵，， ∴，， ∵，，相切于于点，，， ∴，， ∴， ∴， ∴，，， ∵，， 四边形是矩形， ∴， 设 ， 则有，即， ， 故选：． 【点睛】本题考查切线的性质，直角梯形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，学会利用面积法构建方程解决问题． 【题型6 圆中作图构切线】 【例6】（2024·辽宁大连·二模）如图，在中，，以为直径作交于点，连接． (1)过点作的切线交于点；（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，延长交于点，若，，求的长． 【答案】(1) 如图1，直线即为所求．            图1 (2) 【分析】本题考查作图-复杂作图、切线的判定与性质、等腰三角形的性质、矩形的判定与性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）结合切线的判定，过点作的垂线，交于点，即可得直线． （2）连接，过点作于点，可得，四边形是矩形，则 ．设，则．在中，由勾股定理得，，代入求出的值，进而可得答案． 【详解】（1）略 （2）如图2，连接，过点作于点， 图2 ∴，． ∵是的切线， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，． ∵， ∴设，， ∴，． 在中， ∵， ∴， 解得，（舍去）， ∴， ∴． 【变式6-1】（2025·广东惠州·二模）如图，是的外接圆，直径． (1)以点C为顶点，BC为边，在的右侧作，交的延长线于点P：（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）所作的图中，求证：是的切线． 【答案】(1) 如图，即为所求； (2) 证明：连接： ∵（同圆半径相等）， ∴ ． ∴ ． ∵ ， ， ， ∴ ，即 ． ∵是的半径， ∴是的切线． 【分析】本题考查尺规作图（作一个角等于已知角）以及切线的判定．解题关键在于掌握尺规作图的基本方法完成（1）小题；对于（2）小题，要熟练运用圆的性质（同弧所对圆心角与圆周角的关系、半径相等得出角相等 ），通过计算角度来证明直线与半径垂直，从而判定切线． （1）题要求用尺规作图作出 ．需要利用尺规作图的基本方法，比如作一个角等于已知角的方法来完成．具体操作是先以点为圆心，任意长为半径画弧，交、于两点，然后以点为圆心，同样长为半径画弧，再通过一定的操作确定 ． （2）要证明是的切线，根据切线的判定定理，需证明 ．连接后，通过圆的性质求出相关角度，进而证明 ．已知，利用同弧所对圆心角是圆周角的两倍，得 ，又根据 ，在中通过角度计算得出 ． 【变式6-2】如图，在中，是钝角 (1)求作，使得圆心在边上，且经过点（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，设与的另一个交点为D，且求证：是的切线 【答案】(1) 如图，是所求作的圆： (2) 证明：如图2，连接， 图2 设，则，， ， ， ． 在中，，， ， ，即． 点在上， 是的切线． 【分析】（1）由经过点可知圆心到点的距离相等，因此线段的垂直平分线与的交点即为圆心，由此可解； （2）连接，设，则，，利用勾股定理的逆定理判断，即可证明是的切线． 【详解】（1） 略 （2）略 【点睛】本题考查线段垂直平分线的作法及性质，圆的基本性质，勾股定理的逆定理，切线的判定等，难度不大，解题的关键是正确作出辅助线，综合运用上述知识点． 【变式6-3】（2026·广东广州·二模）如图，是等腰三角形，，是的外接圆，为圆心． (1)尺规作图：以为对角线，作、为边的平行四边形（保留作图痕迹，不写作法）； (2)求证：是的切线． 【答案】(1) (2)证明：连接并延长交于点，连接、，如图： ∵，， ∴点、点都在的垂直平分线上， ∴， 即； ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线． 【分析】（1）以点为圆心，的长为半径，画弧；以点为圆心，的长为半径，画弧，两弧交于一点；连接、，即可求解； （2）连接并延长交于点，连接、，根据垂直平分线的判定定理得出，结合平行四边形的性质和平行线的性质得出，根据切线的判定定理即可证明． 【详解】（1）解：作法：以点为圆心，的长为半径，画弧； 以点为圆心，的长为半径，画弧，两弧交于一点； 连接、，则四边形即为所求的平行四边形． 证明如下：根据作法可得，， 故四边形为平行四边形． （2）略 【题型7 作外接圆】 【例7】（2026·甘肃平凉·一模）定义：我们称能完全覆盖某平面图形的圆（即该平面图形上所有的点均在圆内或圆上）为该平面图形的覆盖圆．其中，能完全覆盖平面图形的最小的圆（即直径最小）称为该平面图形的最小覆盖圆． 爱动脑筋的小明思考：任意一个三角形都能被它的外接圆覆盖，那三角形的外接圆一定是该三角形的最小覆盖圆吗？如图，在中，，，． (1)在图中，作出的外接圆（要求用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）． (2)的外接圆是它的最小覆盖圆吗？如果是，请说明理由；如果不是，请求出的最小覆盖圆的直径． 【答案】(1) 解：如图，即所求． (2)不是， 【分析】（1）作线段，的垂直平分线交于点O，连接以O为圆心，为半径作即可； （2）的外接圆不是它的最小覆盖圆，以为直径的圆是最小覆盖圆． 【详解】（1）略 （2）解：的外接圆不是它的最小覆盖圆．以为直径的是的最小覆盖圆． 如图，过点作交的延长线于点． ， ， ， ，， ， ， 的最小覆盖圆的直径为． 【变式7-1】已知：在中，，． (1)找到的外心，画出的外接圆（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写过程） (2)若的外接圆的圆心O到BC边的距离为8，，请求出的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）分别作线段和线段的中垂线，中垂线的交点即为的外心O，以O为圆心，为半径画出的外接圆即可； （2）如图，连接，利用垂径定理求出半径，即可求出的面积． 【详解】（1）解：如图即为所求． ①分别以点，点为圆心，大于的长为半径，画弧，作出线段的中垂线； ②同理作出线段的中垂线； ③两条中垂线的交点O为圆心，为半径画圆，即为所求． （2）解：如图，连接，由题意得：， ∵，， ∴， ∴， ∴圆的面积为：． 【点睛】本题考查画三角形的外接圆，以及垂径定理求半径．熟练掌握外心的定义和等腰三角形的判定与性质，以及垂径定理是解题的关键． 【变式7-2】（2024·陕西西安·一模）如图，已知，请在直线上方确定一点，连接，使．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法，画出符合条件的一种情况即可） 【答案】 如图所示，点P即为所求． 【分析】本题主要考查了作三角形外接圆，同弧所对的圆周角相等，作的外接圆，在上方的的外接圆上任取一点P，连接，点P即为所求． 【详解】解：作的外接圆，在上方的的外接圆上任取一点P，连接，由同弧所对的圆周角相等得到，则点P即为所求． 【变式7-3】（25-26九年级上·广东广州·期末）如图，在中，，点C在AE上，点B在AF上，． (1)尺规作图：作△ABC的外接圆⊙O，使它与EF相切于点D（保留作图痕迹，不需写作法）； (2)连接AD，求证：AD是∠BAC的平分线； (3)若，，求的长度．（结果保留． 【答案】(1) 如图所示，即为所求； 先作AB的垂直平分线，其与AB的交点即为圆心O，然后以O为圆心，以OA的长为半径画弧交EF于D，点D即为所求 (2) ∵EF是圆O的切线， ∴OD⊥EF， ∵∠E=90°，即AE⊥EF， ∴， ∴∠ADO=∠DAC， ∵OA=OD， ∴∠OAD=∠ODA， ∴∠OAD=∠DAC， ∴AD平分∠BAC； (3) 【分析】（1）先作AB的垂直平分线，其与AB的交点即为圆心O，然后以O为圆心，以OA的长为半径画弧交EF于D，点D即为所求； （2）先证，得到∠ADO=∠DAC，再由OA=OD，得到∠OAD=∠ODA，则∠OAD=∠DAC，即可证明AD平分∠BAC； （3）设OD与BC交于点G，先证明∠ACB=∠OGB=90°，得到，四边形CEDG是矩形，则，DF=CE=1，OD=OA=OB=2，求出∠OBG=30°，则∠BOG=60°，． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：设OD与BC交于点G， ∵， ∴， ∴∠ACB=∠OGB=90°， ∴，四边形CEDG是矩形， ∴，DF=CE=1， ∴OD=OA=OB=2， ∴， ∴∠OBG=30°， ∴∠BOG=60°， ∴． 【点睛】本题主要考查了圆切线的性质，等腰三角形的性质，平行线的性质与判定，解直角三角形，求弧长，矩形的性质与判定，作外切圆等等，熟知相关知识是解题的关键． 【题型8 作内切圆】 【例8】（25-26九年级下·福建漳州·阶段检测）如图，已知中，． (1)尺规作图：作的内切圆（保留作图痕迹，请标明字母） (2)若中，求内切圆的面积． 【答案】(1) 解：如图所示，即为所求， (2) 【分析】（1）作的角平分线交于点，过点作于点，以为圆心，的长为半径作圆，则即为所求； （2）勾股定理求得，设的半径为，根据等面积法求得，进而即可求解． 【详解】（1）略 （2）∵中， ∴, 设的半径为， 则， 解得：， ∴内切圆的面积为． 【点睛】本题考查了作三角形的内切圆，三角形内心的定义，掌握三角形内心的定义是解题的关键． 【变式8-1】（25-26九年级上·江苏南京·阶段检测）如图，已知． (1)利用直尺和圆规作出的内切圆； (2)若的周长为，面积为，求它的内切圆的半径． 【答案】(1)如图即为所求． (2) 【分析】本题考查作图—复杂作图、三角形的内切圆与内心，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）先分别作和的平分线，相交于点，再过点作于点，以点为圆心，的长为半径画圆，即可得的内切圆． （2）设的内切圆分别与相切于点，连接，由已知条件可得，由此可得的长，即可得出答案． 【详解】（1）解：如图，先分别作和的平分线，相交于点，再过点作于点，以点为圆心，的长为半径画圆； （2）解：设的内切圆分别与，相切于点，，连接，，， 的周长为， ． 的面积为，， ， ， 它的内切圆的半径为． 【变式8-2】（25-26九年级上·河南周口·阶段检测）如图，已知， (1)尺规作图：请在图中作的内切圆，使得与射线相切于点，同时与相切，切点记为． (2)在的条件下，若，，则所作的的与，所围成图形的面积和周长各是多少？（结果保留和根号） 【答案】(1)如下图所示，点就是内切圆的圆心； (2)，． 【分析】利用尺规作图作出内切圆的圆心，然后再作出的内切圆； 根据切线长定理可知，根据四边形内角和定理可以求出，的与，所围成图形的面积是四边形的面积减去扇形的面积，周长，根据扇形面积公式和弧长公式计算即可． 【详解】（1）解：分别作和的平分线，交于点； （2）解：如下图所示， 、分别是的切线， ，， ， ， ，， ， 同理可得：， 的与，所围成图形的面积为： ； 与，所围成图形的周长为： ． 【点睛】本题主要考查了尺规作图、切线的性质、弧长公式、扇形面积公式、解直角三角形．解决本题的关键是利用尺规作图作出图形，然后再利用扇形的面积公式和弧长公式进行计算． 【变式8-3】（25-26九年级下·山西吕梁·阶段检测）阅读与思考． 对几何图形的研究通常是从定义、性质、判定、应用四个方面进行的，小明借助这种研究过程与方法，在以“数学世界里的风筝筝形”为主题的数学实验课上开展了对“筝形”的探究实验活动． 【定义理解】 两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”． 如图，在四边形中，因为，，所以四边形叫做“筝形”． 【性质探究】 用测量、折纸等方法小明发现“筝形”有一组对角相等，对角线垂直，请你帮助小明用已学过的知识证明他的猜想． （1）已知：如图，在“筝形”中，，．求证：，； 【性质应用】 （2）“筝形”又称偏菱形，对照菱形的面积的探索过程，探索“筝形”的面积公式； （3）内切圆是指与一个多边形的每条边都相切的圆，请用尺规作图作出“筝形”的内切圆． 【答案】（1）证明：，， 垂直平分， ， 在与中， ， ≌， ； （2） （3）如图即为所求． 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，切线的性质，作图基本作图，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）根据线段垂直平分线的性质得到垂直平分，根据全等三角形的性质得到 （2）设与交于，由（1）知，，根据三角形的面积公式即可得到结论； （3）由题意得，内切圆分别与四边形的四条边相切．如图，作的平分线，交于点，过点作的垂线交于，以为圆心，为半径作圆，则即为所求． 【详解】（1）略 （2）解：设与交于， 由（1）知，， ，， “筝形”的面积； （3）解：由题意得，内切圆分别与四边形的四条边相切． 如图，作的平分线，交于点， 过点作的垂线交于， 以为圆心，为半径作圆，则即为所求． 【题型9 追根索圆】 【例9】（25-26九年级上·福建龙岩·阶段检测）如图在中，，． (1)尺规作图：经过点B作，使得圆心在边上，且与边相切于点D．（保留作图痕迹，不要求写出作法） (2)在（1）的条件下若，求的半径． 【答案】(1) 如图所示： (2) 【分析】（1）作的平分线交于点，过点作的垂线交于点，以点为圆心，长为半径即可作； （2）设的半径为，如图，过作于，证明四边形是矩形，利用勾股定理可得：，进一步即可求解； 【详解】（1）解：证明：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴边与相切于点D， 故即为所求作； （2）解：设的半径为， 如图，过作于， ∵， ∴四边形是矩形； 设的半径为， ∴，， ∴， ∴， 解得：， ∴的半径为． 【点睛】本题考查了尺规作图、圆的切线的判定、等腰三角形的判定，勾股定理的应用，矩形的判定与性质等知识点，根据题意作图是解题关键． 【变式9-1】（2025·福建宁德·模拟预测）如图，中，，平分交于．    (1)尺规作图：求作，使得圆心在上，且经过、两点； (2)求证：直线是的切线． 【答案】(1) 如图，    即为所求； (2) 证明：连接． 根据作答图可知点O在线段的垂直平分线上， ， ， 平分， ， ， ， ， ， 是半径， 是的切线． 【分析】（1）先作的垂直平分线交于点O，以O为圆心，为半径作圆，即可； （2）连接．根据，可得，即可得，则有，进而有，问题随之得证． 【详解】（1）略 （2）略 【点睛】本题考查了垂直平分线的尺规作图，切线的判定以及平行线的判与性质等知识，按要求作出符合要求的圆是解答本题的关键． 【变式9-2】（25-26九年级下·江苏泰州·阶段检测）如图，已知平分，点M是上的一个定点．    (1)尺规作图：请在图1中作，使得圆心O在射线上，并与射线相切于点M，切点为M，求证：射线与相切；（作图保留痕迹） (2)在（1）的条件下，设与相切于点N，若，则劣弧与所围成的图形的面积为______． 【答案】(1) 证明：如图所示，过点M作的垂线，交于O，以点O为圆心，为半径画圆，则圆O即为所求； 如图所示，过点O作于N， ∵平分，， ∴， ∴射线与相切；    (2) 【分析】（1）过点M作的垂线，交于O，以点O为圆心，为半径画圆，则圆O即为所求；过点O作于N，由角平分线的性质得到，由此即可证明射线与相切； （2）先利用切线的性质得到，，根据切线长定理得到，则和都是等腰直角三角形，由此得，即，再根据的劣弧与所围成图形的面积进行求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵和为的切线， ∴，，， ∴， ∴和都是等腰直角三角形， ∴，即， ∴的劣弧与所围成图形的面积 ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了切线的性质于判定，切线长定理，角平分线的性质，求不规则图形面积等等，熟知切线的性质与判定是解题的关键． 【变式9-3】（25-26九年级上·江苏宿迁·期中）如图，已知是锐角三角形． (1)尺规作图：作直线，使上的各点到、两点的距离相等；设直线与、分别交于点，作一个圆，使得圆心在线段上，且与边相切；（不写作法，保留作图痕迹） (2)填空：在（）的条件下，若，则的半径为___________． 【答案】(1) 圆即为所求， (2) 【分析】本题考查了尺规作图，切线的性质等内容，解题的关键是掌握线段垂直平分线、角平分线的尺规作图． ()由题意知直线为线段的垂直平分线，若圆心在线段上，且与边相切，则再作出的角平分线，与的交点即为圆心； ()过点作于，设，根据，即可求解． 【详解】（1）解：①先作的垂直平分线：分别以为圆心，大于的长为半径画弧，连接两个交点即为直线，分别交于， ②再作的角平分线：以点为圆心，任意长为半径作圆弧，与的两条边分别有一个交点，再以这两个交点为圆心，相同长度为半径作弧，连接这两条弧的交点与点，即为的角平分线，这条角平分线与线段的交点即为， ③以为圆心，为半径画圆， （2）过点作于，设， ∵，垂直平分线段， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 圆与图形变换、尺规作图（举一反三专项训练） 【新教材苏科版】 题型归纳 【题型1 圆的翻折】 1 【题型2 圆的旋转】 1 【题型3 圆的平移】 2 【题型4 圆的覆盖】 3 【题型5 圆的截取】 4 【题型6 圆中作图构切线】 6 【题型7 作外接圆】 6 【题型8 作内切圆】 8 【题型9 追根索圆】 9 【题型1 圆的翻折】 【例1】（25-26九年级上·江苏盐城·阶段检测）如图，将⊙O沿弦AB折叠，圆弧恰好经过圆心O，点P是优弧上一点，则∠APB的度数为_____． 【变式1-1】（25-26九年级上·湖北武汉·期中）如图，AB是⊙O的直径，AB＝4，E是上一点，将沿BC翻折后E点的对称点F落在OA中点处，则BC的长为（　　） A． B．2 C． D． 【变式1-2】（25-26九年级上·江苏盐城·阶段检测）如图，在扇形中，点，在弧AB上，将弧CD沿弦折叠后恰好与，相切于点，．已知，，则折痕的长为 __． 【变式1-3】（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，是的内接三角形，将劣弧沿弦折叠后刚好经过弦中点，若，，则的半径为________． 【题型2 圆的旋转】 【例2】如图，点都在上，且，则的半径为_______． 【变式2-1】（25-26九年级上·浙江宁波·期末）如图，是的直径，点是的中点，将绕点逆时针旋转后得到，点落在上，若，则弦的长为___________． 【变式2-2】（25-26九年级下·浙江金华·阶段检测）如图，为的直径，是弦，将弧绕着点A按逆时针方向旋转得到弧，点D恰好落在上，弧与相交于点E，若，则的长为（ ） A．4 B．3 C． D． 【变式2-3】（25-26九年级上·湖北武汉·期末）如图，是的两条弦，． (1)在图（1）中，，直接写出图中阴影部分的面积； (2)在图（2）中，E是的中点，判断与的数量关系，并证明你的结论． 【题型3 圆的平移】 【例3】（2025·湖北武汉·模拟预测）如图，半径为的与含有角的直角三角板的边切于点，将直角三角板沿边所在的直线向左平移，当平移到与相切时，该直角三角板平移的距离为（    ）    A． B． C． D． 【变式3-1】（25-26九年级上·江苏无锡·期中）如图，⊙O的半径OC=5cm，直线l⊥OC，垂足为H，且l交⊙O于A、B两点，AB=8cm，则l沿OC所在直线平移后与⊙O相切，则平移的距离是（     ） A．1cm B．2cm C．8cm D．2cm或8cm 【变式3-2】（25-26九年级下·江苏南京·期中）如图，矩形纸片，，先沿对角线将矩形纸片剪开，再将三角形纸片沿着对角线向下适当平移，得到三角形纸片，然后剪出如图所示的最大圆形纸片，则此时圆形纸片的半径为（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】（2025·江西抚州·二模）如图，边长为4的正方形中，半径为1的⊙在正方形内平移（⊙可以与该正方形的边相切），设点到⊙上的点的距离为，且是整数，则的值所有情况有（    ） A．3种 B．4种 C．5种 D．6种 【题型4 圆的覆盖】 【例4】（25-26九年级下·湖北武汉·阶段检测）如图，矩形ABCD是由边长为1的五个小正方形拼成，O是第2个小正方形的中心，将矩形ABCD绕O点逆时针旋转90°得矩形，现用一个最小的圆覆盖这个图形，则这个圆的半径是（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】（25-26九年级上·浙江杭州·阶段检测）如图是由两个正方形组成的轴对称图案，测得正方形的边长分别为和．现用一个半径为的圆形纸片将其完全覆盖，则的最小值是___________． 【变式4-2】如图，四边形中，，，，，若能将四边形覆盖（即四边形的四个顶点在圆上或圆内）则的半径最小值为_________． 【变式4-3】如图，在平面内，，两两外切，其中的半径为8，，的半径都为5．用一张半径为R的圆形纸片把这三个圆完全覆盖，则R的最小值为（    ） A． B．10 C．13 D．15 【题型5 圆的截取】 【例5】（25-26九年级上·山东淄博·期末）如图，在直角三角形材料中，，，，现用此材料裁出一个面积最大的半圆形模板，则该半圆形模板的半径是（    ） A．2 B．3 C． D． 【变式5-1】（25-26六年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）用一张长为分米、宽为分米的纸剪一个最大的圆，这个圆的面积是______平方分米．（结果保留） 【变式5-2】（25-26九年级上·天津宝坻·期中）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，AB＝AD＝4，BC＝6，以A为圆心在梯形内画出一个最大的扇形（图中阴影部分）的面积是_____． 【变式5-3】如图，在四边形材料中，，，，现用此材料截出一个面积最大的圆形模板，则此圆的半径为（    ）    A．10cm B．12cm C．cm D．13cm 【题型6 圆中作图构切线】 【例6】（2024·辽宁大连·二模）如图，在中，，以为直径作交于点，连接． (1)过点作的切线交于点；（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，延长交于点，若，，求的长． 【变式6-1】（2025·广东惠州·二模）如图，是的外接圆，直径． (1)以点C为顶点，BC为边，在的右侧作，交的延长线于点P：（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）所作的图中，求证：是的切线． 【变式6-2】如图，在中，是钝角 (1)求作，使得圆心在边上，且经过点（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，设与的另一个交点为D，且求证：是的切线 【变式6-3】（2026·广东广州·二模）如图，是等腰三角形，，是的外接圆，为圆心． (1)尺规作图：以为对角线，作、为边的平行四边形（保留作图痕迹，不写作法）； (2)求证：是的切线． 【题型7 作外接圆】 【例7】（2026·甘肃平凉·一模）定义：我们称能完全覆盖某平面图形的圆（即该平面图形上所有的点均在圆内或圆上）为该平面图形的覆盖圆．其中，能完全覆盖平面图形的最小的圆（即直径最小）称为该平面图形的最小覆盖圆． 爱动脑筋的小明思考：任意一个三角形都能被它的外接圆覆盖，那三角形的外接圆一定是该三角形的最小覆盖圆吗？如图，在中，，，． (1)在图中，作出的外接圆（要求用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）． (2)的外接圆是它的最小覆盖圆吗？如果是，请说明理由；如果不是，请求出的最小覆盖圆的直径． 【变式7-1】已知：在中，，． (1)找到的外心，画出的外接圆（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写过程） (2)若的外接圆的圆心O到BC边的距离为8，，请求出的面积． 【变式7-2】（2024·陕西西安·一模）如图，已知，请在直线上方确定一点，连接，使．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法，画出符合条件的一种情况即可） 【变式7-3】（25-26九年级上·广东广州·期末）如图，在中，，点C在AE上，点B在AF上，． (1)尺规作图：作△ABC的外接圆⊙O，使它与EF相切于点D（保留作图痕迹，不需写作法）； (2)连接AD，求证：AD是∠BAC的平分线； (3)若，，求的长度．（结果保留． 【题型8 作内切圆】 【例8】（25-26九年级下·福建漳州·阶段检测）如图，已知中，． (1)尺规作图：作的内切圆（保留作图痕迹，请标明字母） (2)若中，求内切圆的面积． 【变式8-1】（25-26九年级上·江苏南京·阶段检测）如图，已知． (1)利用直尺和圆规作出的内切圆； (2)若的周长为，面积为，求它的内切圆的半径． 【变式8-2】（25-26九年级上·河南周口·阶段检测）如图，已知， (1)尺规作图：请在图中作的内切圆，使得与射线相切于点，同时与相切，切点记为． (2)在的条件下，若，，则所作的的与，所围成图形的面积和周长各是多少？（结果保留和根号） 【变式8-3】（25-26九年级下·山西吕梁·阶段检测）阅读与思考． 对几何图形的研究通常是从定义、性质、判定、应用四个方面进行的，小明借助这种研究过程与方法，在以“数学世界里的风筝筝形”为主题的数学实验课上开展了对“筝形”的探究实验活动． 【定义理解】 两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”． 如图，在四边形中，因为，，所以四边形叫做“筝形”． 【性质探究】 用测量、折纸等方法小明发现“筝形”有一组对角相等，对角线垂直，请你帮助小明用已学过的知识证明他的猜想． （1）已知：如图，在“筝形”中，，．求证：，； 【性质应用】 （2）“筝形”又称偏菱形，对照菱形的面积的探索过程，探索“筝形”的面积公式； （3）内切圆是指与一个多边形的每条边都相切的圆，请用尺规作图作出“筝形”的内切圆． 【题型9 追根索圆】 【例9】（25-26九年级上·福建龙岩·阶段检测）如图在中，，． (1)尺规作图：经过点B作，使得圆心在边上，且与边相切于点D．（保留作图痕迹，不要求写出作法） (2)在（1）的条件下若，求的半径． 【变式9-1】（2025·福建宁德·模拟预测）如图，中，，平分交于．    (1)尺规作图：求作，使得圆心在上，且经过、两点； (2)求证：直线是的切线． 【变式9-2】（25-26九年级下·江苏泰州·阶段检测）如图，已知平分，点M是上的一个定点．    (1)尺规作图：请在图1中作，使得圆心O在射线上，并与射线相切于点M，切点为M，求证：射线与相切；（作图保留痕迹） (2)在（1）的条件下，设与相切于点N，若，则劣弧与所围成的图形的面积为______． 【变式9-3】（25-26九年级上·江苏宿迁·期中）如图，已知是锐角三角形． (1)尺规作图：作直线，使上的各点到、两点的距离相等；设直线与、分别交于点，作一个圆，使得圆心在线段上，且与边相切；（不写作法，保留作图痕迹） (2)填空：在（）的条件下，若，则的半径为___________． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $