第一章 三角形 单元测试题 2026-2027学年苏科版八年级数学上册

八年级数学上册 第一章 三角形 单元测试题 苏科版 一．选择题（共10小题，每小题3分，满分30分） 1．下列各图中，正确画出△ABC的AB边上的高的是（　　） A． B． C． D． 2．三条公路将A、B、C三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是（　　） A．三条高线的交点 B．三条中线的交点 C．三条角平分线的交点 D．三边垂直平分线的交点 3．一个三角形的两边长分别为4厘米和7厘米，则此三角形的第三边的长可能是（　　） A．3cm B．2cm C．8cm D．12cm 4．如图所示，亮亮书上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他就根据所学知识画出一个与书上完全一样的三角形，那么这两个三角形完全一样的依据是（　　） A．ASA B．SAS C．AAS D．SSS 5．如图，BE＝CF，AE⊥BC，DF⊥BC，要根据“HL”证明Rt△ABE≌Rt△DCF，则还需要添加一个条件是（　　） A．AE＝DF B．∠A＝∠D C．∠B＝∠C D．AB＝DC 6．若一个等腰三角形的两条边的长度分别为2和5，则这个等腰三角形的腰长为（　　） A．5 B．2 C．2或5 D．3 7．如图，△ABC≌△DEC，点E在线段AB上，∠B＝75°，则∠ACD的度数为（　　） A．20° B．25° C．30° D．40° 8．如图，点B，E，C，F在同一直线上，AB＝DE，∠B＝∠DEF，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△DEF的是（　　） A．AC＝DF B．∠A＝∠D C．BE＝CF D．∠ACB＝∠F 9．根据下列已知条件，能画出唯一的△ABC的是（　　） A．∠C＝90°，AB＝6 B．AB＝4，BC＝3，∠A＝30° C．∠A＝60°，∠B＝45°，AB＝4 D．AB＝3，BC＝4，CA＝8 10．如图，已知∠MON＝30°，点A1，A2，A3，…在射线ON上，点B1，B2，B3，…在射线OM上，△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4，…均为等边三角形，若OA1＝2，则△A6B6A7的边长为（　　） A．16 B．32 C．64 D．128 二．填空题（共8小题，每小题3分，满分24分） 11．如图，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝8，AB的垂直平分线交BC于点D，交AB于点E，连接AD，若CD：BD＝3：5，则△ACD的周长为_______ ． 12．一个三角形的两边长分别是2和5，另一边长a为偶数，则这个三角形的周长为__________ ． 13．如图，已知△ABC≌△AED，AB＝6，AC＝2，则CE＝_____ ． 14．如图，已知∠ABC＝∠DCB，要证△ABC≌△DCB，还需添加的条件是__________ ． 15．一个等腰三角形的两边长分别是米和米，这个三角形的周长是____________________ 米． 16．△ABC中，AB＝AC＝12厘米，∠B＝∠C，BC＝8厘米，点D为AB的中点．如果点P在线段BC上以2厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．若点Q的运动速度为v厘米/秒，则当△BPD与△CQP全等时，v的值为________ ． 17．如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，AD与BE相交于点F，若BF＝AC，则∠ABC＝_______ 度． 18．如图，某市地铁站入口的闸机双翼展开时，双翼边缘的端点A与B之间的距离为10cm，双翼的边缘AC＝BD＝52cm，且与闸机侧立面夹角∠PCA＝∠BDQ＝30°，那么两机箱之间的距离CD为_______ cm． 三．解答题（共7小题，满分66分） 19．（8分）已知：如图，点B，E，C，F在同一直线上，AB∥DE，且AB＝DE，BE＝CF． 求证：△ABC≌△DEF． 20．（8分）已知△ABC三边AB＝5，AC＝7，AD是BC边上的中线． （1）求BC的取值范围； （2）若BC＝6，求BD的长度． 21．（8分）如图，△ABC≌△ADE，AC和AE，AB和AD是对应边，点E在边BC上，AB与DE交于点F． （1）求证：∠CAE＝∠BAD； （2）若∠BAD＝35°，求∠BED的度数． 22．（10分）如图，已知：在△ABC中，AM是△ABC的中线，MP平分∠AMB，MQ平分∠AMC，且BP⊥MP于点P，CQ⊥MQ于点Q． （1）求证：MP⊥MQ； （2）求证：△BMP≌△MCQ． 23．（10分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，点P在AC上运动，点D在AB上，PD始终保持与PA相等，BD的垂直平分线交BC于点E，交BD于点F，连接DE． （1）判断DE与DP的位置关系，并说明理由； （2）若AC＝6，BC＝8，PA＝2，求线段DE的长． 24．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠CAB的平分线AD交BC于点D，过点D作DE⊥AB，垂足为E，此时点E恰为AB的中点． （1）求∠B的大小； （2）若BC＝12，求DE的长． 25．（12分）如图，△ABC中，AB＝BC＝AC＝12cm，现有两点M、N分别从点A、点B同时出发，沿三角形的边运动，已知点M的速度为1cm/s，点N的速度为2cm/s．当点N第一次到达B点时，M、N同时停止运动． （1）点M、N运动几秒时，M、N两点重合？ （2）点M、N运动几秒时，可得到等边三角形AMN？ （3）当点M、N在BC边上运动时，能否得到以MN为底边的等腰三角形AMN？如存在，请求出此时M、N运动的时间． 参考答案 一．选择题（共10小题，每小题3分，满分30分） 1．解：根据题意， 是符合题意的， 故选：D． 2．解：在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等， 根据角平分线的性质，集贸市场应建在∠A、∠B、∠C的角平分线的交点处． 故选：C． 3．解：∵7﹣4＝3cm，7+4＝11cm， ∴3cm＜第三边＜11cm， 观察各选项只有8cm在范围内， 故选：C． 4．解：画一个三角形A′B′C′，使∠A′＝∠A，A′B′＝AB，∠B′＝∠B， 符合全等三角形的判定定理ASA， 故选：A． 5．解：条件是AB＝CD， 理由是：∵AE⊥BC，DF⊥BC， ∴∠CFD＝∠AEB＝90°， 在Rt△ABE和Rt△DCF中， ， ∴Rt△ABE≌Rt△DCF（HL）， 故选：D． 6．解：∵一个等腰三角形的两条边的长度分别为2和5， 当腰长为2时，三边长为2，2，5， ∵2+2＜5， ∴不能构成三角形，舍去； 当腰长为5时，三边长为5，5，2， ∵2+5＞5， ∴能构成三角形． 故选：A． 7．解：∵△ABC≌△DEC， ∴∠ACB＝∠DCE，BC＝EC， ∴∠ACB﹣∠ACE＝∠DCE﹣∠ACE， 即∠BCE＝∠ACD， ∠BEC＝∠B＝75°， ∴∠BCE＝180°﹣∠B﹣∠BEC＝30°， ∴∠ACD＝30°． 故选：C． 8．解：对于选项A， 当添加条件AC＝DF时，不能判定△ABC≌△DEF， 在△ABC和△DEF中， ∵AB＝DE，AC＝DF，∠B＝∠DEF不符合全等三角形的判定条件， ∴当添加条件AC＝DF时，不能判定△ABC≌△DEF， 故选项A符合题意； 对于选项B， 当添加条件∠A＝∠D时，能判定△ABC≌△DEF，证明如下： 在△ABC和△DEF中， ， ∴△ABC≌△DEF（ASA）， 故选项B不符合题意； 对于选项C， 当添加条件BE＝CF时，能判定△ABC≌△DEF，证明如下： ∵点B，E，C，F在同一直线上，BE＝CF， ∴BE+EC＝CF+EC， ∴BC＝EF， 在△ABC和△DEF中， ， ∴△ABC≌△DEF（SAS）； 故选项C不符合题意； 对于选项D， 当添加条件∠ACB＝∠F时，能判定△ABC≌△DEF，证明如下： 在△ABC和△DEF中， ， ∴△ABC≌△DEF（AAS）； 故选项D不符合题意； 故选：A． 9．解：A．如图Rt△ACB和Rt△ADB的斜边都是AB，但是两三角形不一定全等，故本选项不符合题意； B．AB＝4，BC＝3，∠A＝30°，不符合全等三角形的判定定理，不能画出唯一的三角形，故本选项不符合题意； C．∠A＝60°，∠B＝45°，AB＝4，符合全等三角形的判定定理ASA，能画出唯一的三角形，故本选项符合题意； D．3+4＜8，不符合三角形的三边关系定理，不能画出三角形，故本选项不符合题意； 故选：C． 10．解：∵△A1B1A2为等边三角形， ∴∠B1A1A2＝60°，A1B1＝A1A2， ∴∠A1B1O＝∠B1A1A2﹣∠MON＝60°﹣30°＝30°， ∴∠A1B1O＝∠MON， ∴A1B1＝OA1， ∴A1B1＝A1A2＝OA1， 同理可得A2B2＝A2A3＝OA2＝2OA1， ∴A3B3＝A3A4＝OA3＝2OA2＝22•OA1， A4B4＝A4A5＝OA4＝2OA3＝23•OA1， … ∴AnBn＝AnAn+1＝2n﹣1•OA1＝2n， ∴△A6B6A7的边长：A6B6＝26＝64， 故选：C． 二．填空题（共8小题，每小题3分，满分24分） 11．解：∵DE垂直平分AB，∴DA＝DB， ∵BC＝8，CD：BD＝3：5， ∴CD＝3，BD＝5， ∴DA＝DB＝5， 在△ABC中，∠C＝90°， ∴AC＝＝4， ∴△ACD的周长＝AC+CD+AD＝4+3+5＝12． 故答案为：12． 12．解：∵一个三角形的两边长分别是2和5，另一边长为a， ∴5﹣2＜a＜5+2，即3＜a＜7， ∵a为偶数， ∴a＝4或a＝6， ∴当a＝4时，三角形的周长为2+5+4＝11， 当a＝6时，三角形的周长为2+5+6＝13， 故答案为：11或13． 13．解：∵△ABC≌△AED，AB＝6，AC＝2， ∴AE＝AB＝6， ∴CE＝6﹣2＝4， 故答案为：4． 14．解：添加条件是AB＝DC， 理由是：∵在△ABC和△DCB中 ∴△ABC≌△DCB（SAS）， 故答案为：AB＝DC． 15．解：分两种情况讨论： ①当腰长为米，底边长为米时， ∵，，不满足三角形两边之和大于第三边， ∴不能构成三角形，舍去； ②当腰长为米，底边长为米时， ∵，，满足任意两边之和大于第三边， ∴可以构成三角形， 其周长为（米）； 综上所述，这个三角形的周长是米， 故答案为：． 16．解：当BD＝PC时，△BPD与△CQP全等， ∵点D为AB的中点， ∴BD＝AB＝6cm， ∵BD＝PC， ∴BP＝8﹣6＝2（cm）， ∵点P在线段BC上以2厘米/秒的速度由B点向C点运动， ∴运动时间时1s， ∵△DBP≌△PCQ， ∴BP＝CQ＝2cm， ∴v＝2÷1＝2； 当BD＝CQ时，△BDP≌△CQP， ∵BD＝6cm，PB＝PC， ∴QC＝6cm， ∵BC＝8cm， ∴BP＝4cm， ∴运动时间为4÷2＝2（s）， ∴v＝6÷2＝3（m/s）， 故答案为：2或3． 17．解：∵AD⊥BC于D，BE⊥AC于E ∴∠EAF+∠AFE＝90°，∠DBF+∠BFD＝90°， 又∵∠BFD＝∠AFE（对顶角相等） ∴∠EAF＝∠DBF， 在Rt△ADC和Rt△BDF中， ， ∴△ADC≌△BDF（AAS）， ∴BD＝AD， 即∠ABC＝∠BAD＝45°． 故答案为：45． 18．解：过点A作AE⊥PC于点E，过点B作BF⊥QD于点F， ∵AC＝BD＝52cm，∠PCA＝∠BDQ＝30°， ∴AE＝AC＝＝26（cm），BF＝BD＝＝26（cm）， ∴两机箱之间的最大宽度为 AE+AB+BF＝26+10+26＝62（cm）． 故答案为：62． 三．解答题（共7小题，满分66分） 19．证明：∵AB∥DE， ∴∠B＝∠DEF ∵BE＝FC， ∴BC＝EF， 在△ABC和△DEF中 ， ∴△ABC≌△DEF（SAS）． 20．解：（1）由三角形三边关系可知，7﹣5＜BC＜7+5， 即2＜BC＜12； （2）∵AD是BC边上的中线， ∴． 21．（1）证明：∵△ABC≌△ADE， ∴∠BAC＝∠DAE， ∴∠BAC﹣∠BAE＝∠DAE﹣∠BAE， ∴∠CAE＝∠BAD； （2）解：∵△ABC≌△ADE， ∴∠D＝∠B， ∵∠AFD＝∠EFB，∠D+∠BAD+∠AFD＝180°，∠B+∠EFB+∠BED＝180°， ∴∠BED＝∠BAD， ∵∠BAD＝35°， ∴∠BED＝35°． 22．证明：（1）∵MP平分∠AMB，MQ平分∠AMC， ∴∠AMP＝∠AMB，∠AMQ＝∠AMC， ∴∠PMQ＝∠AMP+∠AMQ＝∠AMB+∠AMC ＝（∠AMB+∠AMC） ＝×180° ＝90°， ∴MP⊥MQ； （2）由（1）知，MP⊥MQ， ∵BP⊥MP， ∴BP∥QM，∠BPM＝90°，∠CQM＝90°， ∴∠PBM＝∠QMC， ∵AM是△ABC的中线， ∴BM＝MC， 在△BMP和△MCQ中 ， ∴△BMP≌△MCQ（AAS）． 23．解：（1）DE⊥DP， 理由如下：∵PD＝PA， ∴∠A＝∠PDA， ∵EF是BD的垂直平分线， ∴EB＝ED， ∴∠B＝∠EDB， ∵∠C＝90°， ∴∠A+∠B＝90°， ∴∠PDA+∠EDB＝90°， ∴∠PDE＝180°﹣90°＝90°， ∴DE⊥DP； （2）连接PE，设DE＝x，则EB＝ED＝x，CE＝8﹣x， ∵∠C＝∠PDE＝90°， ∴PC2+CE2＝PE2＝PD2+DE2， ∴42+（8﹣x）2＝22+x2， 解得：x＝4.75， 则DE＝4.75． 24．解：（1）∵DE⊥AB，且E为AB的中点， ∴DE垂直平分AB， ∴AD＝BD（线段垂直平分线的性质）， ∴∠B＝∠BAD， ∵AD是∠CAB的平分线， ∴∠CAD＝∠BAD（角平分线的性质）， ∵∠C＝90°， ∴∠B+∠BAC＝90°， ∴3∠B＝90°， ∴∠B＝30°； （2）∵AD是∠CAB的平分线，DC⊥AC，DE⊥AB， ∴DC＝DE， ∵∠B＝30°， ∴BD＝2DE， ∴BD＝2DC， ∵BC＝12， ∴BD+CD＝3DE＝12， ∴DE＝4． 25．解：（1）设点M、N运动x秒时，M、N两点重合， x×1+12＝2x， 解得：x＝12； （2）设点M、N运动t秒时，可得到等边三角形AMN，如图①， AM＝t×1＝t，AN＝AB﹣BN＝12﹣2t， ∵三角形AMN是等边三角形， ∴t＝12﹣2t， 解得t＝4， ∴点M、N运动4秒时，可得到等边三角形AMN． （3）当点M、N在BC边上运动时，可以得到以MN为底边的等腰三角形， 由（1）知12秒时M、N两点重合，恰好在C处， 如图②，假设△AMN是等腰三角形， ∴AN＝AM， ∴∠AMN＝∠ANM， ∴∠AMC＝∠ANB， ∵AB＝BC＝AC， ∴△ACB是等边三角形， ∴∠C＝∠B， 在△ACM和△ABN中， ∵， ∴△ACM≌△ABN（AAS）， ∴CM＝BN， 设当点M、N在BC边上运动时，M、N运动的时间y秒时，△AMN是等腰三角形， ∴CM＝y﹣12，NB＝36﹣2y，CM＝NB， y﹣12＝36﹣2y， 解得：y＝16．故假设成立． ∴当点M、N在BC边上运动时，能得到以MN为底边的等腰三角形AMN，此时M、N运动的时间为16秒． 学科网（北京）股份有限公司 $