专题09 等腰三角形 同步培优讲义 2026-2027学年人教版数学八年级上上册

专题09等腰三角形同步培优讲义 ✺知识框架 本节围绕等腰三角形展开，研究其定义、性质、判定，并运用相关结论解决角度、线段的计算与证明问题。 1.三角形、轴对称、等腰三角形 2.等腰三角形定义、性质定理、判定定理 3.角度计算、线段证明、分类讨论问题 ✅等腰三角形是两边相等的特殊三角形，具有轴对称性。本节学习等腰三角形的性质与判定，解题常结合三角形内角和定理，重点体会分类讨论思想。 ✺学习目标 1.掌握等腰三角形的定义，理解等腰三角形的性质定理与判定定理，区分性质与判定的逻辑差异。 2.能利用等腰三角形性质求解角度、证明线段相等；能规范书写几何证明过程；对等腰三角形边长、角度问题进行分类讨论。 3.感受轴对称的几何思想，养成严谨审题、检验结果的解题习惯。 ✺题型归纳 题型1.等边对等角 题型2.三线合一 题型3.根据等角对等边证明等腰三角形 题型4.根据等角对等边证明边相等 题型5.根据等角对等边求边长 题型6.含30度角的直角三角形 题型7.格点图中画等腰三角形 题型8.找出图中的等腰三角形 题型9.求与图形中任意两点构成等腰三角形的点 题型10.等腰三角形的性质和判定 题型11.课堂小练 ✺知识清单 知识点一、等腰三角形的定义 ▲有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。相等的两边叫做腰，第三边叫做底边；两腰的夹角叫做顶角，腰与底边的夹角叫做底角。 补充说明：等腰三角形是轴对称图形。 知识点二、等腰三角形的性质 性质1：等边对等角，即等腰三角形的两个底角相等。 几何语言：在△ABC 中，AB=AC，则∠B=∠C。（等腰三角形的两个底角相等） 性质2：三线合一，等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。 几何语言：在△ABC 中，AB=AC。 ① 若 AD 平分∠BAC，则 AD⊥BC，BD=DC； ② 若 AD 是 BC 边上的中线，则 AD 平分∠BAC，AD⊥BC； ③ 若 AD 是 BC 边上的高，则 AD 平分∠BAC，BD=DC。 性质3：轴对称性，等腰三角形的对称轴是底边上的高（或顶角平分线、底边中线）所在直线，仅有1条对称轴。 知识点三、等腰三角形的判定 判定定理：等角对等边，即如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等。 几何语言：在△ABC 中，∠B=∠C，则 AB=AC。 定义判定：有两条边相等的三角形是等腰三角形。 【计算常用依据】等腰三角形计算常结合三角形内角和定理、三角形三边关系；已知边、角，未说明该边为腰或底边、该角为顶角或底角时，需要分类讨论，并检验能否构成三角形。 【易错点警示】 （1） “等边对等角”“等角对等边” 仅适用于同一个三角形，不能跨三角形使用。 （2）三线合一仅指顶角平分线、底边上中线、底边上的高重合；腰上的中线、腰上的高一般不满足三线合一。 （3）题目未指明边是腰还是底边、角是顶角还是底角，必须分类讨论，最后利用三边关系、内角和检验结果。 （4）分清性质与判定：性质是由边相等推角相等；判定是由角相等推边相等。 ✺题型精讲 题型1.等边对等角 1．如图，在中，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据等边对等角、三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：∵， ∴． 2．如图，中，的垂直平分线交于点，垂足为，若，，则的度数是______ ． 【答案】/度 【分析】根据线段垂直平分线的性质可得，进而得到，结合，即可求解． 【详解】解：的垂直平分线交于点，垂足为， ， ， ， ． 3．如图，是的边上的一点，，，．求的度数． 【答案】 【分析】根据等边对等角和三角形外角的性质可得，再根据三角形内角和定理可得的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴． 题型2.三线合一 1．如图，屋顶钢架外框是等腰三角形，其中，工人师傅在焊接立柱时，只需找到的中点，就可以说明竖梁垂直于横梁了，工人师傅这种操作方法的依据是（     ） A．等边对等角 B．等角对等边 C．垂直平分线的性质 D．等腰三角形的“三线合一” 【答案】D 【分析】根据等腰三角形的性质：等腰三角形的“三线合一”，即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴是等腰三角形， ∵点D是的中点， ∴， ∴工人师傅这种操作方法的依据是等腰三角形的“三线合一”． 2．如图，在四边形中，对角线与相交于点，若平分，且，则与的位置关系是________． 【答案】（或垂直） 【分析】根据等腰三角形三线合一即可求解． 【详解】解：∵，平分， ∴． 3．如图，在等腰三角形中，，是的高，边的垂直平分线分别交，于点，，连接，． (1)若，求的长度； (2)若，则___________°． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先利用等腰三角形三线合一得到是的垂直平分线，推出，再结合是的垂直平分线得，通过等量代换求出结果． （2）先根据等腰三角形三线合一得到，结合第（1）问，用等边对等角求出的度数． 【详解】（1）解：，， ，（等腰三角形三线合一） 垂直平分， ．（垂直平分线上的点到线段两端的距离相等） 又垂直平分， ，（垂直平分线上的点到线段两端的距离相等） ．（等量代换） （2），， ，（等腰三角形三线合一） ， ， ．（等边对等角） 题型3.根据等角对等边证明等腰三角形 1．如图，在中，点D在边上，连接，若，则图中的等腰三角形共有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】根据等角对等边进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴和都是等腰三角形， ∵， ， ∴， ∴， ∴为等腰三角形； 综上，等腰三角形共有3个． 2．在△ABC中，，，则△ABC是______三角形． 【答案】等腰 【分析】本题考查了三角形内角和，等腰三角形的判定．根据三角形内角和求出的度数即可判断三角形的形状． 【详解】解：在中，，， ， ∴， 故， 所以的形状是等腰三角形； 故答案为：等腰． 3．如图，在中，点为边上一点，连接，过点分别作于点，于点，交于点，且． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，求的度数． 【答案】(1)证明：∵，，且， ∴平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； (2) 【分析】（1）由角平分线的判定定理可得平分，再由角平分线的定义和平行线的性质可 证明，得到，则可证明是等腰三角形； （2）证明，得到，求出的度数，可得到，据此可得答案． 【详解】（1）略 （2）解：∵，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， 由（1）得， ∴． 题型4.根据等角对等边证明边相等 1．如图，在中，点D在边上，．若，，则的周长为（     ） A．10 B．11 C．15 D．16 【答案】B 【分析】先根据三角形的外角的性质得，再根据等腰三角形的判定可得，然后根据的周长得出答案． 【详解】解：∵是的外角， ∴． ∵， ∴， 即， ∴． ∵， ∴的周长为． 2．如图，在中，，和的平分线相交于点D，过点D作的平行线交于点E，交于点F，若的周长为14，则的周长是________． 【答案】 【分析】本题考查角平分线的性质、等腰三角形的性质，熟练掌握相关性质是解题的关键． 根据角平分线的性质得到、，根据平行线的性质得到、，进而得到、，根据的周长为14，得到，进而得到的周长． 【详解】解：和的平分线相交于点D， 、， ， 、， 、， 、， 的周长为14， ， ， ， ， 的周长为， 故答案为：21． 3．如图，在中，，，点D在边上，连接，过点C作，连接，且，求证：． 【答案】证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴在和中， ， ∴， ∴． 【分析】由等角对等边得出，再证明，由全等三角形的性质即可得出． 【详解】证明：略； 题型5.根据等角对等边求边长 1．如图，在中，，点在的延长线上，于点，交于点，若，，则的长度为（   ） A．7 B．7.5 C．8 D．8.25 【答案】A 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，解题的关键是证明，注意等边对等角，以及等角对等边的使用． 根据等边对等角得出，再根据，得出，，从而得出，再根据对顶角相等得出，最后根据等角对等边得到，，进而求解即可． 【详解】解：在中，， ， ， ，， ， 又， ， ， ∵， ， ． 故选：A． 2．如图，为的边上一点，且，平分，与相交于点，．若，，则的长为_________________． 【答案】1 【分析】由等腰三角形的性质得，再由，可得，则，即可求解． 【详解】解：平分，， ∴， ∴， ， ， ∴， ∴． 3．如图，在中，，．若的周长为17，求的长． 【答案】6 【分析】本题考查等腰三角形的判定，根据等角对等边得到，进而根据已知的三角形的周长求解即可． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∵，的周长为17， ∴， 解得． 题型6.含30度角的直角三角形 1．如图，在中，，的垂直平分线交于点，垂足为，若，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查垂直平分线的性质，角的直角三角形的对边等于斜边的一半，解题关键是理解这些图形的性质． 【详解】∵是的垂直平分线， ∴， ∵，， ∴， 即． 2．如图是屋架设计图的一部分，立柱垂直于横梁，，，，则的长度为______m． 【答案】8 【分析】利用等边对等角得出，再结合30度角所对的直角边等于斜边一半求解即可． 【详解】解：，， ， ， 在中，， ， ． 3．在如图的房屋人字梁架中，斜梁米，立柱垂直于横梁于点，且顶角，求立柱的长． 【答案】4米 【分析】根据等腰三角形的性质以及三角形的内角和定理得出，最后根据含角的直角三角形的性质进行求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵垂直于点， ∴， ∴ （米）． 题型7.格点图中画等腰三角形 1．如图，在由边长为1的小正方形组成的的网格中，点A、B都在格点上，现要在图中确定格点C，连接和，使得是等腰三角形．则满足条件的格点C的个数有（     ）个． A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】根据等腰三角形的定义结合网格的特点求解即可． 【详解】解：如图所示， 当点C在或或或的位置上时，， 当点C在或位置上时，， ∴满足条件的格点C的个数有6个． 2．如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知线段是等腰三角形的一边，的三个顶点都在正方形网格的格点上，则这样的等腰三角形的个数为______． 【答案】10 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，分别找到以为底和以为腰时，符合题意的点C的个数即可得到答案． 【详解】解：如图所示，以为底有6个点符合题意； 以为腰有4个点符合题意； ∴一共有10个点符合题意， 故答案为：10． 3．图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1个单位长度，每个小正方形的顶点称为格点，线段的端点都在格点上，在图①、图②给定网格中按要求作图，使所作图形的顶点均在格点上．      (1)在图①中以为腰画一个等腰三角形； (2)在图②中以为底边画一个等腰三角形． 【答案】(1) 解：如图所示，即为所求（画出其中一个即可）； (2) 解：如图所示，即为所求； 【分析】本题主要考查了在网格中画等腰三角形，画轴对称图形，熟知等腰三角形的定义和轴对称图形的定义是解题的关键． （1）如图所示，取格点C，连接，由网格的特点可得，则即为所求； （2）如图所示，取格点D，连接，由网格的特点可得，则即为所求． 【详解】（1）略 （2） 略 题型8.找出图中的等腰三角形 1．如图所示，共有等腰三角形（    ） A．2 B．3 C．5 D．4 【答案】C 【分析】本题主要考查等腰三角形的判定，根据有两个角相等的三角形是等腰三角形，结合三角形的内角和定理求解即可． 【详解】解：∵， ∴是等腰三角形，， ∴ ， ∴，， ∴、是等腰三角形， ∵，， ∴，， ∴、是等腰三角形， 故图中共有5个等腰三角形， 故选：C． 2．如图，已知中，，在所在平面内一条直线，使其中有一个边长为3的等腰三角形，则这样的直线最多可画 _____条．    【答案】4 【分析】此题主要考查了等腰三角形的判定等知识， 根据等腰三角形的性质分别利用AB为底以及AB为腰得出符合题意的图形即可． 【详解】如图所示，当时，都能得到符合题意的等腰三角形．    ∴这样的直线最多可画4条． 故答案为：4． 3．如图，在中，点D，E在边和边上，且． (1)图中共有 个三角形，写出以点 C为顶点的三角形； (2)找出图中所有的等腰三角形． 【答案】(1)5，， (2)， 【分析】本题主要考查了三角形的认识，等腰三角形的定义，熟练掌握等腰三角形的定义，是解题的关键． （1）根据三角形的相关定义进行求解即可； （2）根据等腰三角形定义进行解答即可． 【详解】（1）解：图中三角形有，，，，，共5个， 以点 C为顶点的三角形是，． （2）解：∵， ∴，是等腰三角形． 题型9.求与图形中任意两点构成等腰三角形的点 1．如图，已知直线于点O，点A，B分别在，上，，，在直线或直线上找一点C，使是等腰三角形，则这样的C点有（   ） A．3个 B．4个 C．7个 D．8个 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的判定；根据等腰三角形的判定分类别分别找寻，分可能为底，可能是腰进行分析． 【详解】解：使是等腰三角形， 当当底时，则作的垂直平分线，交的有两点，即有两个三角形． 当让当腰时，则以点A为圆心，为半径画圆交有三点，所以有三个． 当以点B为圆心，为半径画圆，交有三点，所以有三个． 所以共8个． 故选：D． 2．如图，M，N是∠AOB的边OA上的两个点(OM＜ON)，∠AOB＝30°，OM＝a，MN＝4．若边OB上有且只有1个点P，满足△PMN是等腰三角形，则a的取值范围是__________． 【答案】a＞8或a=4 【分析】如图，作线段MN的垂直平分线交OB于点OP，连接PM，PN，则PM=PN，△PMN是等腰三角形，另外当△PMN是等边三角形时，满足构成等腰三角形的点P恰好只有一个． 【详解】如图，作线段MN的垂直平分线交OB于点OP，连接PM，PN，则PM=PN，△PMN是等腰三角形， 过点M作MH⊥OB于H，当MH＞MN，即MH＞4时，满足构成等腰三角形的点P恰好只有一个， 当MH=4时， ∵∠AOB=30°， ∴OM=2MH=8， ∴当a＞8时，满足构成等腰三角形的点P恰好只有一个， 另外当△PMN是等边三角形时，满足构成等腰三角形的点P恰好只有一个， 此时a=4， 故答案为：a＞8或a=4 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会特殊位置解决问题． 3．如图，在平面直角坐标系中，，，． (1)画出关于x轴对称的，并直接写出点的坐标 ； (2)在坐标轴上找一点Q，使与全等，请直接写出一个符合条件的点Q的坐标 ； (3)点F在y轴上，且为等腰三角形，满足条件的点F有 个． 【答案】(1) 如图所示，即为所求； (2)或 (3)4 【分析】本题考查了作轴对称图形，全等三角形的判定，等腰三角形的定义，线段垂直平分线的性质；能根据轴对称图形的性质，全等三角形的判定，等腰三角形的定义，线段垂直平分线的性质进行作图是解题的关键． （1）根据轴对称的性质作图即可； （2）根据找出点即可求解； （3）等腰三角形的定义及线段垂直平分线的性质进行作图，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：如图所示，和即为所求； 点Q的坐标为或 故答案为：或； （3）解：如图，以A为圆心，长为半径作圆与y轴有两个交点，其中交点在直线上，所以只有一个点符合条件；以C为圆心，长为半径作圆交y轴两个交点；作的垂直平分线交y轴有一个交点，则满足条件的点F共有个， 故答案为：4． 题型10.等腰三角形的性质和判定 1．如图，在中，，平分，垂直平分，垂足为点，连接，，则的度数为（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，根据等腰三角形三线合一性质及线段垂直平分线性质得出及的度数，进而求解. 【详解】解：连接， ，， ，， 平分， ， 垂直平分， ， ， ，平分， 垂直平分， ， ， 2．如图，在中，，，，，分别是和的角平分线，且，，则的周长为_________． 【答案】17 【分析】由角平分线的定义和平行线的性质得出，，从而可得，，再结合三角形周长公式计算即可得出结果． 【详解】解：∵，分别是和的角平分线， ∴，， ∵，， ∴，， ∴，， ∴，， ∴的周长为． 3．已知，D是上一点，于E，的延长线交的延长线于F，试说明是等腰三角形的理由． 【答案】解：， ， ， ， 在中，； 在中，， 又， ， ， ， 是等腰三角形． 【分析】根据等腰三角形的性质得到，再根据等角的余角相等得到，再由，可得，即可判定是等腰三角形． 【详解】略 ✺课堂小练 一、单选题 1．我们把两组邻边分别相等的四边形叫作“筝形”：如图，四边形是一个筝形，其中，，则下列结论不正确的是（     ） A．垂直平分 B． C． D．筝形的面积 【答案】B 【分析】根据垂直平分线的判定，等腰三角形的性质和分割法求面积，逐项判断即可． 【详解】解：A、，， 是的垂直平分线，即垂直平分； B、根据题中的条件，无法证明； C、，垂直， ； D、垂直， 筝形的面积； 综上：选项B符合题意． 2．如图，在中，已知和的平分线相交于点F，过点F作，交于点D，交于点E，若、，则线段的长为（　　） A．6 B．12 C．10 D．8 【答案】D 【分析】根据角平分线的定义可得，，再利用平行线的性质可得，，从而可得，，然后利用等角对等边可得，，即可解答． 【详解】解：∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∵，， ∴． 3．如图，在中，是边上的中线，若，，，则的面积是（     ） A．4 B．6 C．12 D．24 【答案】B 【分析】过作于，根据得到，再根据中线得到，最后根据计算即可． 【详解】解：过作于， ∵，， ∴， ∵是边上的中线，， ∴， ∴． 4．如图所示，在长方形的对称轴上找点，使得均为等腰三角形则满足条件的点的个数（    ）． A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质和等腰三角形的判定与性质，注意分类讨论是解题的关键，利用分类讨论的思想，当时分别找到点P即可． 【详解】解：如图，l为长方形的对称轴，即l为的垂直平分线． 当P在l上时满足． 作的垂直平分线线交于P，满足； 作与l交于两点，满足； 作与l交于两点，满足． 满足题意的点P共5个． 故选：C． 二、填空题 5．如图，中，G、D两点分别在、上，为的中垂线，为的角平分线，若，则__ ． 【答案】/度 【分析】根据角平分线的定义可得，结合线段垂直平分线的性质可推出，然后根据三角形的内角和即可求解． 【详解】解：∵为的角平分线， ∴， ∵为的中垂线， ∴，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵，，且的内角和为， ∴， ∴，， ∴． 6．已知：的三条边都不相等，，将沿直线翻折，点C恰好落在点E处，边的延长线与射线相交于点D，如果为直角三角形，那么的度数为_______． 【答案】或或 【分析】本题主要考查了折叠的性质，三角形内角和定理，根据为直角三角形分情况讨论是解题的关键．根据题意可分解析中图1，图2，图3，图4共四种情况，据此根据折叠的性质和三角形内角和定理讨论求解即可． 【详解】解：如图1所示，当，则， 由折叠的性质可得， ∴， ∴， ∴， ∴，此时不符合题意； 如图2所示，当时， 由折叠的性质可得， ∴， 又∵， ∴； 如图3所示，当时，则， 由折叠的性质可得， ∴； 如图4所示，当，则， 由折叠的性质可得； 综上所述，的度数为或或， 故答案为：或或． 7．如图，在中，点D为的中点，点E是下方一点，连接平分，，若，，则的长为__________． 【答案】10 【分析】连接并延长，交于点F，延长到点G，使，连接，证明，得出，再证明，得出，进而得出，即可求出结论． 【详解】解：连接并延长，交于点F， ， ， ∵点D为的中点， ， 在和中， ， ， ， 延长到点G，使，连接， 在和中， ， ， ， 平分， ， ， ， ， ． 三、解答题 8．如图，在中，，点D是边上的中点，． (1)求的度数； (2)求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据三线合一的性质求解即可； （2）先根据等边对等角和三角形的内角和定理求出的度数，然后根据三线合一的性质求解即可. 【详解】（1）解：∵，点D是边上的中点， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∵，点D是边上的中点， ∴. 9．如图，把一个长方形的纸片沿对角线折叠（长方形中，且，且，），重合部分为． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明：∵折叠， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； (2)4 【分析】（1）根据折叠的性质，平行线的性质，推出，即可得证； （2）根据含30度角的直角三角形的性质，求出的长即可得出结果． 【详解】（1）略 （2）解：∵，，， ∴， 由（1）知：， ∴． 10．已知，中，，，点，分别在，边上， ． (1)如图1，若，且恰好平分，则的度数为 ． 类比思考： (2)如图2，若，且点是边上的任意一点，小颖发现的度数为定值．求的度数； 联系拓广： (3)如图3，将问题情境中的“点，分别在，边上”改为“点，分别在、的延长线上”，其余条件不变．直接写出的度数 （用含的式子表示）． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据等腰三角形的性质，可得，，再根据角之间的数量关系，计算即可求解； （2）根据等腰三角形的性质，可得，再根据外角的性质和角之间的数量关系，可得； （3）根据等腰三角形的性质，可得，再根据角之间的数量关系和三角形内角和定理，即可求解． 【详解】（1）解：， 是等腰三角形， 平分，， ，，即， ， ， ； （2）解：，， ， ，， ， 则的度数为； （3）解：，， ， ， ， 则的度数为． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题09等腰三角形同步培优讲义 ✺知识框架 本节围绕等腰三角形展开，研究其定义、性质、判定，并运用相关结论解决角度、线段的计算与证明问题。 1.三角形、轴对称、等腰三角形 2.等腰三角形定义、性质定理、判定定理 3.角度计算、线段证明、分类讨论问题 ✅等腰三角形是两边相等的特殊三角形，具有轴对称性。本节学习等腰三角形的性质与判定，解题常结合三角形内角和定理，重点体会分类讨论思想。 ✺学习目标 1.掌握等腰三角形的定义，理解等腰三角形的性质定理与判定定理，区分性质与判定的逻辑差异。 2.能利用等腰三角形性质求解角度、证明线段相等；能规范书写几何证明过程；对等腰三角形边长、角度问题进行分类讨论。 3.感受轴对称的几何思想，养成严谨审题、检验结果的解题习惯。 ✺题型归纳 题型1.等边对等角 题型2.三线合一 题型3.根据等角对等边证明等腰三角形 题型4.根据等角对等边证明边相等 题型5.根据等角对等边求边长 题型6.含30度角的直角三角形 题型7.格点图中画等腰三角形 题型8.找出图中的等腰三角形 题型9.求与图形中任意两点构成等腰三角形的点 题型10.等腰三角形的性质和判定 题型11.课堂小练 ✺知识清单 知识点一、等腰三角形的定义 有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。相等的两边叫做腰，第三边叫做底边；两腰的夹角叫做顶角，腰与底边的夹角叫做底角。 补充说明：等腰三角形是轴对称图形。 知识点二、等腰三角形的性质 性质1：等边对等角，即等腰三角形的两个底角相等。 几何语言：在△ABC 中，AB=AC，则∠B=∠C。（等腰三角形的两个底角相等） 性质2：三线合一，等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。 几何语言：在△ABC 中，AB=AC。 ① 若 AD 平分∠BAC，则 AD⊥BC，BD=DC； ② 若 AD 是 BC 边上的中线，则 AD 平分∠BAC，AD⊥BC； ③ 若 AD 是 BC 边上的高，则 AD 平分∠BAC，BD=DC。 性质3：轴对称性，等腰三角形的对称轴是底边上的高（或顶角平分线、底边中线）所在直线，仅有1条对称轴。 知识点三、等腰三角形的判定 判定定理：等角对等边，即如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等。 几何语言：在△ABC 中，∠B=∠C，则 AB=AC。 定义判定：有两条边相等的三角形是等腰三角形。 【计算常用依据】等腰三角形计算常结合三角形内角和定理、三角形三边关系；已知边、角，未说明该边为腰或底边、该角为顶角或底角时，需要分类讨论，并检验能否构成三角形。 【易错点警示】 （1） “等边对等角”“等角对等边” 仅适用于同一个三角形，不能跨三角形使用。 （2）三线合一仅指顶角平分线、底边上中线、底边上的高重合；腰上的中线、腰上的高一般不满足三线合一。 （3）题目未指明边是腰还是底边、角是顶角还是底角，必须分类讨论，最后利用三边关系、内角和检验结果。 （4）分清性质与判定：性质是由边相等推角相等；判定是由角相等推边相等。 ✺题型精讲 题型1.等边对等角 1．如图，在中，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 2．如图，中，的垂直平分线交于点，垂足为，若，，则的度数是______ ． 3．如图，是的边上的一点，，，．求的度数． 题型2.三线合一 1．如图，屋顶钢架外框是等腰三角形，其中，工人师傅在焊接立柱时，只需找到的中点，就可以说明竖梁垂直于横梁了，工人师傅这种操作方法的依据是（     ） A．等边对等角 B．等角对等边 C．垂直平分线的性质 D．等腰三角形的“三线合一” 2．如图，在四边形中，对角线与相交于点，若平分，且，则与的位置关系是________． 3．如图，在等腰三角形中，，是的高，边的垂直平分线分别交，于点，，连接，． (1)若，求的长度； (2)若，则___________°． 题型3.根据等角对等边证明等腰三角形 1．如图，在中，点D在边上，连接，若，则图中的等腰三角形共有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 2．在△ABC中，，，则△ABC是______三角形． 3．如图，在中，点为边上一点，连接，过点分别作于点，于点，交于点，且． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，求的度数． 题型4.根据等角对等边证明边相等 1．如图，在中，点D在边上，．若，，则的周长为（     ） A．10 B．11 C．15 D．16 2．如图，在中，，和的平分线相交于点D，过点D作的平行线交于点E，交于点F，若的周长为14，则的周长是________． 3．如图，在中，，，点D在边上，连接，过点C作，连接，且，求证：． 题型5.根据等角对等边求边长 1．如图，在中，，点在的延长线上，于点，交于点，若，，则的长度为（   ） A．7 B．7.5 C．8 D．8.25 2．如图，为的边上一点，且，平分，与相交于点，．若，，则的长为_________________． 3．如图，在中，，．若的周长为17，求的长． 题型6.含30度角的直角三角形 1．如图，在中，，的垂直平分线交于点，垂足为，若，则的长为（     ） A． B． C． D． 2．如图是屋架设计图的一部分，立柱垂直于横梁，，，，则的长度为______m． 3．在如图的房屋人字梁架中，斜梁米，立柱垂直于横梁于点，且顶角，求立柱的长． 题型7.格点图中画等腰三角形 1．如图，在由边长为1的小正方形组成的的网格中，点A、B都在格点上，现要在图中确定格点C，连接和，使得是等腰三角形．则满足条件的格点C的个数有（     ）个． A．4 B．5 C．6 D．7 2．如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知线段是等腰三角形的一边，的三个顶点都在正方形网格的格点上，则这样的等腰三角形的个数为______． 3．图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1个单位长度，每个小正方形的顶点称为格点，线段的端点都在格点上，在图①、图②给定网格中按要求作图，使所作图形的顶点均在格点上．      (1)在图①中以为腰画一个等腰三角形； (2)在图②中以为底边画一个等腰三角形． 题型8.找出图中的等腰三角形 1．如图所示，共有等腰三角形（    ） A．2 B．3 C．5 D．4 2．如图，已知中，，在所在平面内一条直线，使其中有一个边长为3的等腰三角形，则这样的直线最多可画 _____条．    3．如图，在中，点D，E在边和边上，且． (1)图中共有 个三角形，写出以点 C为顶点的三角形； (2)找出图中所有的等腰三角形． 题型9.求与图形中任意两点构成等腰三角形的点 1．如图，已知直线于点O，点A，B分别在，上，，，在直线或直线上找一点C，使是等腰三角形，则这样的C点有（   ） A．3个 B．4个 C．7个 D．8个 2．如图，M，N是∠AOB的边OA上的两个点(OM＜ON)，∠AOB＝30°，OM＝a，MN＝4．若边OB上有且只有1个点P，满足△PMN是等腰三角形，则a的取值范围是__________． 3．如图，在平面直角坐标系中，，，． (1)画出关于x轴对称的，并直接写出点的坐标 ； (2)在坐标轴上找一点Q，使与全等，请直接写出一个符合条件的点Q的坐标 ； (3)点F在y轴上，且为等腰三角形，满足条件的点F有 个． 题型10.等腰三角形的性质和判定 1．如图，在中，，平分，垂直平分，垂足为点，连接，，则的度数为（） A． B． C． D． 2．如图，在中，，，，，分别是和的角平分线，且，，则的周长为_________． 3．已知，D是上一点，于E，的延长线交的延长线于F，试说明是等腰三角形的理由． ✺课堂小练 一、单选题 1．我们把两组邻边分别相等的四边形叫作“筝形”：如图，四边形是一个筝形，其中，，则下列结论不正确的是（     ） A．垂直平分 B． C． D．筝形的面积 2．如图，在中，已知和的平分线相交于点F，过点F作，交于点D，交于点E，若、，则线段的长为（　　） A．6 B．12 C．10 D．8 3．如图，在中，是边上的中线，若，，，则的面积是（     ） A．4 B．6 C．12 D．24 4．如图所示，在长方形的对称轴上找点，使得均为等腰三角形则满足条件的点的个数（    ）． A．3 B．4 C．5 D．6 二、填空题 5．如图，中，G、D两点分别在、上，为的中垂线，为的角平分线，若，则__ ． 6．已知：的三条边都不相等，，将沿直线翻折，点C恰好落在点E处，边的延长线与射线相交于点D，如果为直角三角形，那么的度数为_______． 7．如图，在中，点D为的中点，点E是下方一点，连接平分，，若，，则的长为__________． 三、解答题 8．如图，在中，，点D是边上的中点，． (1)求的度数； (2)求的度数． 9．如图，把一个长方形的纸片沿对角线折叠（长方形中，且，且，），重合部分为． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，，求的长． 10．已知，中，，，点，分别在，边上， ． (1)如图1，若，且恰好平分，则的度数为 ． 类比思考： (2)如图2，若，且点是边上的任意一点，小颖发现的度数为定值．求的度数； 联系拓广： (3)如图3，将问题情境中的“点，分别在，边上”改为“点，分别在、的延长线上”，其余条件不变．直接写出的度数 （用含的式子表示）． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $